SESION 1: INTERES SIMPLE

1.1. OBJETIVOS

1.1.1. Establecer la relación entre interés simple y el comportamiento lineal de una

función.

1.1.2. Identificar los elementos y aplicar las relaciones en el interés simple para un

problema especifico.

1.2. DESARROLLO TEMATICO

Empecemos por proponernos el siguiente problema: Miguel Ángel le prestara

$1000000 a Sebastián. En vista de que Miguel Ángel es el que prestará el dinero el

espera una retribución en dinero por este préstamo aplicando un porcentaje sobre el

dinero prestado, también hay que decidir el tiempo o el plazo por el cual se prestara

el dinero. Supongamos que el porcentaje es del 3% mensual y que el tiempo es de 5

meses. Acuerdan que el porcentaje será pagado mensualmente y que al final de los

5 meses Sebastián le devolverá el dinero prestado. Para el primer mes de préstamo

se acuerda que la cantidad de dinero que recibirá Miguel Ángel es 1000000 +

3%(1000000) = 1000000(1 + 3%) = 1030000.Recordemos que

3% ∙ 1000000 =3

100∙

1000000

1=

3000000

100= 3000

Para el segundo mes Miguel ángel propone:

1000000 + 3% ∙ 1000000 + 3% ∙ 1000000 = 1000000 + 2 ∙ (3% ∙ 1000000) = 1060000

Para el tercer mes Miguel Ángel propone:

1000000 + 3 ∙ 3%1000000 = 1090000

Para el cuarto mes Miguel Ángel propone:

1000000 + 4 ∙ 3%1000000 = 1120000

Y para el quinto y último mes Miguel Ángel propone:

1000000 + 5 ∙ 3%1000000 = 1150000

En caso de seguir por más tiempo, tendríamos la siguiente fórmula para calcular

el dinero que Miguel Ángel recibiría:

1000000 + 𝑛 ∙ 3%1000000

Donde 𝑛 representa el número de periodos de tiempo al cual prestaríamos la

cantidad acordada. Para modelar un problema con otros datos, se hace necesario

definir variables que nos servirán para varios modelos.

𝑉𝐴 ≔ 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙 , 𝑉𝐹 ≔ 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑓𝑢𝑡𝑢𝑟𝑜,

𝑛 ≔ 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜

𝑖 ≔ 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑒𝑠, 𝐼 ≔ 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑒𝑠𝑒𝑠

Para el caso del problema propuesto tendríamos:

𝑉𝐴 = 1000000, 𝑉𝐹 = 1150000, 𝑛 = 5, 𝑖 = 3%, 𝐼 = 150000

La relación de las variables escrita a nivel de ecuación nos queda así inicialmente:

𝑉𝐹 = 𝑉𝐴 + 𝑛 ∙ 𝑖 ∙ 𝑉𝐴 (1) 𝐼 = 𝑛 ∙ 𝑖. 𝑉𝐴 (2)

𝑉𝐹 = 𝑉𝐴 ∙ (1 + 𝑛 ∙ 𝑖) (3)

Este modelo descrito en la ecuación (3) lo llamaremos de ahora en adelante interés

simple.

Tomando la ecuación (3) como referencia y suponiendo que las variables 𝑉𝐴, 𝑖

Toman valores constantes, tendremos que el valor futuro depende de 𝑛. Esta

dependencia es de naturaleza lineal ya que la ecuación nos quedaría de la forma

𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝐵 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑙í𝑛𝑒𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎

Para nuestro caso tendríamos que

𝑦 = 𝑉𝐹, 𝑚 = 𝑖 ∙ 𝑉𝐴, 𝐵 = 𝑉𝐴 , 𝑛 = 𝑥

Esta será la primera característica del interés simple, es que tiene

comportamiento lineal. En la ecuación (3) aparecen 4 variables, por tanto, es

necesario recurrir al algebra para expresar cada variable en termino de las otras 3

variables. Veamos como quedaría este proceso:

𝑉𝐴 =𝑉𝐹

(1 + 𝑛 ∙ 𝑖) (4) 𝑖 =

𝑉𝐹 − 𝑉𝐴

𝑉𝐴 ∙ 𝑛 =

𝐼

𝑉𝐴 ∙ 𝑛 (5)

𝑛 =𝑉𝐹 − 𝑉𝐴

𝑉𝐴 ∙ 𝑖 =

𝐼

𝑉𝐴 ∙ 𝑖 (6)

Como ejemplo para hallar estas 3 últimas haremos el procedimiento algebraico para

obtener la ecuación (5), Veamos:

𝑉𝐹 = 𝑉𝐴 ∙ (1 + 𝑛 ∙ 𝑖)

Dividiendo por 𝑉𝐴 obtenemos:

𝑉𝐹

𝑉𝐴= 1 + 𝑛 ∙ 𝑖

Despejando 1 en ambos lados de la igualdad:

𝑉𝐹

𝑉𝐴− 1 = 𝑛 ∙ 𝑖

Realizando la resta entre fraccionarios en la parte izquierda tenemos:

𝑉𝐹 − 𝑉𝐴

𝑉𝐴= 𝑛 ∙ 𝑖

Usando la ecuación (2) tendríamos:

𝐼

𝑉𝐴= 𝑛 ∙ 𝑖

Y de aquí podemos obtener dos igualdades que equivalen a las ecuaciones (5) y (6)

respectivamente. En aras de hacer uso de estas ecuaciones proponemos el

siguiente problema:

Problema 1. Interés simple

El día de hoy obtenemos un préstamo por 5000000 y después de un año pagamos

5900000, determinar los intereses y el interés.

Solución: Nos preguntan por 𝐼 , 𝑖, asi que traigamos las formulas para calcular estos

valores.

𝐼 = 𝑉𝐹 − 𝑉𝐴 𝑖 =𝑉𝐹 − 𝑉𝐴

𝑉𝐴 ∙ 𝑛 =

𝐼

𝑉𝐴 ∙ 𝑛

Sabemos 𝑉𝐹 = 5900000, 𝑉𝐴 = 5000000, 𝑛 = 1, asi que reemplacemos

𝐼 = 𝑉𝐹 − 𝑉𝐴 = 5900000 − 5000000 = 900000

𝑖 =𝑉𝐹 − 𝑉𝐴

𝑉𝐴 ∙ 𝑛 =

𝐼

𝑉𝐴 ∙ 𝑛=

900000

5000000 ∙ 1 =

9

50 = 0,18 = 18% 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙

Problema 2. Interés simple.

Se desea invertir 5000000 al 5% trimestral durante 4 trimestres. Cuál será la

cantidad que se tendrá al final de los 4 trimestres y los intereses generados?.

Solución:

Nos piden hallar 𝑉𝐹, 𝐼, asi que traemos las formulas asociadas

𝑉𝐹 = 𝑉𝐴 ∙ (1 + 𝑛 ∙ 𝑖) 𝐼 = 𝑛 ∙ 𝑖. 𝑉𝐴

Estas dos formulas dependen de 𝑛, 𝑖.

𝑉𝐹 = 𝑉𝐴 ∙ (1 + 𝑛 ∙ 𝑖) = 5000000 ∙ (1 + 4 ∙ 5%) = 6000000

𝐼 = 𝑛 ∙ 𝑖. 𝑉𝐴 = 4 ∙ 5% ∙ 5000000 = 1000000

Problema 3. Interés simple

Al final de 5 meses se obtienen 1500000 al 4% mensual, cual es la cantidad que

teníamos al inicio?.

Solución:

Nos piden hallar 𝑉𝐴, así que traemos la formula correspondiente y reemplazamos:

𝑉𝐴 =𝑉𝐹

(1 + 𝑛 ∙ 𝑖)

𝑉𝐴 =1500000

(1 + 5 ∙ 4%) =

1500000

(1 + 20%)=

1500000

(1.2)= 1250000

Problema 4. Interés simple

En cuanto tiempo debo invertir 2000000 para obtener 2500000 al 2% mensual.

Solución:

Nos piden hallar 𝑛, así que traemos la formula correspondiente y reemplazamos por

los valores suministrados por los datos del problema.

𝑛 =𝑉𝐹 − 𝑉𝐴

𝑉𝐴 ∙ 𝑖

𝑛 =2500000 − 2000000

2000000 ∙ 2%=

500000

40000= 12,5 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠

Esto quiere decir que necesitamos 12 meses y medio. En la siguiente sesión

veremos un nuevo modelo que tiene las mismas variables, pero que se define

usando una nueva ecuación. Este nuevo modelo lo llamaremos interés compuesto.

1.3. CONCLUSIONES

1.3.1. El interés simple es un modelo financiero basado en un comportamiento

lineal.

1.3.2. El interés y el número de unidades de tiempo deben estar en la misma unidad

de tiempo.