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Programación Lineal. Sesión Nro. 07

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Page 1: Sesion 07 -

ProgramaciónLineal.

Sesión Nro. 07

Page 2: Sesion 07 -

Objetivos:• Establecer la naturaleza de un

problema de programación lineal.• Introducir la terminología asociada

a él.• Resolver problemas de

programación lineal geométricamente.

Facultad de Ciencias Empresariales UCV

Ing. Marco L. Pérez Silva

Page 3: Sesion 07 -

Introducción:

• Programar linealmente, es la asignación de un recurso para la solución de un problema que se presenta.

• La cuantificación de problemas complicados de la vida cotidiana utilizando este enfoque es de la competencia llamada Investigación de Operaciones.

• Se utiliza cuando un problema se puede describir utilizando ecuaciones y desigualdades que son todas lineales.

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Ing. Marco L. Pérez Silva

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Definición:Sea una función lineal en “x” e “y” que tiene la forma:

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Ing. Marco L. Pérez Silva

Donde “a” y “b” son constantes.• Se desea maximizar o minimizar la función bajo

ciertas restricciones (representadas por desigualdades que incluyen “≥” o “≤”).

• Todas las variables sean no negativas.

Por lo tanto: Se le considera un problema de programación Lineal.Función Objetivo: Aquella que se desea maximizar o minimizar.Soluciones factibles o Puntos factibles: Aquellas que tienen un numero infinito de soluciones para el sistema de restricciones.Solución optima: es la solución que da el valor máximo y mínimo de la función objetivo.

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Ejemplo Práctico:Problema:Una compañía produce dos tipos de artículos manuales y eléctricos. Cada uno requiere para su fabricación del uso de tres máquinas, A, B y C. La siguiente tabla da la información relacionada con la fabricación de estos artículos:

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A(hrs)

B(hrs)

C(hrs)

Utilidad/Unidad($)

Manual 2 1 1 4

Eléctrico 1 2 1 6

Horas Disponibles 180 160 100

Page 6: Sesion 07 -

Ejemplo Práctico:

• ¿Cuántos artículos de cada tipo debe producir con el fin de maximizar la utilidad mensual?

• Para resolver el problema establezcamos que “x e “y” son el número de artículos manuales y eléctricos, respectivamente, fabricados en un mes. Ya que el número de artículos producidos no es negativo, entonces:

x ≥ 0 y y ≥ 0Facultad de Ciencias Empresariales UCV

Ing. Marco L. Pérez Silva

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Ejemplo Práctico:

• Para la maquina A, el tiempo necesario para trabajar sobre x artículos es 2x horas y sobre y artículos es 1y horas: La suma de ambos tiempos no debe ser mayor de 180 horas, expresado matemáticamente tenemos:

• De manera semejante para las maquina B y C, tenemos:

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Ejemplo Práctico:

• La utilidad P es una función de x e y, y está dada por la función de utilidad:

• Queremos maximizar la función objetivo:

• Sujeta a las restricciones siguientes:

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Ing. Marco L. Pérez Silva

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Ejemplo Práctico:

• La utilidad P es una función de x e y, y está dada por la función de utilidad:

• Queremos maximizar la función objetivo:

• Sujeta a las restricciones siguientes:

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Ing. Marco L. Pérez Silva

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Ejemplo Práctico:

• A las ecuaciones (2) y (3) se les llaman condiciones de no negatividad.

• La grafica que muestra la región que satisface de manera simultanea las restricciones de la (2) a la (6) la cual se llama región factible.

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2x+y=180

x+2y=160

x+y=100

A

B

CD

E

Regiónfactible

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Ejemplo Práctico:

• De la ecuación (1), despejamos “y”, encontrando las líneas de isoutilidad y región factible:

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A

B

CD

E

Regiónfactible

Línea de utilidad máxima

P=300

P=600, y=-2/3x+100

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Ejemplo Práctico:Encontrando los puntos A y B:Como vemos el punto A es común a la ecuación (5) y (6), entonces:

Donde x = 40 e y = 60.Para encontrar el punto B, este es común a las ecuaciones (4) y (6), entonces:

Donde x = 80 e y = 20.

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Ejemplo Práctico:Los valores de C, D y E, tenemos:C(90, 0)D(0, 0)E(0, 80)Evaluando la función objetivo para cada punto encontrado:

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Valor máximo

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Región Factible Vacía:Minimizar la función objetivo: Z = 8x – 3y, sujeta a las siguientes restricciones:

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x+y=5

-x+3y=215

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Región factible vacía

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Región Factible No Acotada:Suponga que la región factible está definida por:

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y = 2

2 Región factibleno acotada

Z = x + y = x + 2

Z=2 Z=6

Z=10 Z=1

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Ejemplos para la pizarra:

1. Maximizar la función objetivo: Z = 3x + y sujeta a las restricciones:

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2. Maximizar la función objetivo: Z = 4,1x – 3,2y sujeta a las restricciones: