sesiÓn: proporciones y polinomios
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SESIÓN: PROPORCIONES Y POLINOMIOS
Proporciones
Objetivo general Resolver situaciones problemáticas en contextos diversos y significativos que involucren proporciones y polinomios y la aplicación práctica de sus propiedades, enfatizando el análisis crítico. No olvidar
Expresiones numéricas reconocidas y asociadas a sistemas como Números Enteros y Racionales
¿Qué es una razón, en matemática?
Es una comparación, que se hace de dos cantidades, por medio de división o cuociente.
Así por ejemplo , la razón entre los números simbolizados por a y b donde b es un número
distinto de cero , es b
a o bien ba : y se lee “ a es a b ” así la razón de 7 es a 3 se escribe
3
7
En la razón b
a, el número asignado por a se llama antecedente en cambio el número
asignado por b se llama consecuente y debe ser distinto de cero. Consideremos el ejemplo que señala que Pedro tiene 5000 pesos y Claudio tiene 20000 pesos, Por lo tanto, se
deduce que la razón que se obtiene es 20000
5000que es equivalente a
4
1lo que podemos
deducir que :
“Pedro tiene la cuarta parte de lo que tiene Claudio o bien decir que Claudio tiene 4 veces más que la cantidad que tiene Pedro”
Esto es 5000
20000 que es equivalente a 4
Ejercicio:
Se tiene un tambor que contiene 2 litros de agua y otro tambor que contiene 4 litros de agua, los tiempos de llenado del tambor de 2 litros, se hizo en 30 segundos y el de 4 litros en 60 segundos
Las razones que se pueden determinar a partir de la lectura son:
a) Razón de los contenidos 4
2 o
2
1
b) Razón de los tiempos 60
30 o
2
1
¿Qué es una proporción?
Corresponde a la igualdad de dos razones, esto es si consideramos las expresiones
numéricas dcba ,,, tal que d
c
b
a con 0,0 db se tiene la proporción
Si consideramos el ejemplo anterior la proporción que se forma es la igualdad de las razones de los contenidos y los tiempos:
60
30
4
2 y su lectura es “2 es a 4 como 30 es a 60”
De acá se deduce que la razón de la proporción es 4
1
En una proporción como d
c
b
a se debe cumplir cbda
Por ejemplo:
a) 42426721221
6
7
2
b) 12520320
12
5
3
A partir de una proporción se pueden establecer diversas ecuaciones, cuya solución se determina por la igualdad que la define
Consideremos , la proporción 84
3 x para calcular el valor asociado a x bastará, realizar
un despeje simple como 64
24244834 xxx de este modo se determina la
proporción 8
6
4
3
Para la siguiente proporción 416282
8 22 xxxx
x
Analicemos algunos problemas que requieren de una proporción, para su solución
a) Para tejer 2 chalecos de niño se utilizarán 240 gramos de lana. Si queremos tejer 5 chalecos, ¿cuántos gramos de lana necesitaremos?
Primero debemos distinguir las variables: gramos de lana y número de chalecos.
Luego debemos preguntarnos: Si aumentamos los gramos de lana, ¿aumentarán los chalecos que podremos tejer? La respuesta es sí. Como al aumentar una variable, también aumentará la otra, entonces se dice que la proporción es directa.
La proporción sería la siguiente:
6002
52405240)(2
5
240
2
lanadeGramoslanadeGramos
lanadeGramos
b) Dos trabajadores construyen una muralla en 9 horas. Si se contratan 4 trabajadores más en cuantas horas podrán terminar la muralla?
En este caso, las variables son: número de trabajadores y horas.
Si aumentamos el número de trabajadores, disminuirán las horas que demoraremos en construir la cerca. Como al aumentar una variable, la otra disminuyó, entonces la proporción es inversa.
La proporción sería la siguiente:
36
92
96
2
horas
horas es lo que demoran los seis trabajadores
Porcentaje
El porcentaje es una proporcionalidad directa en que el total se considera como 100%
Así si se dice que un artículo sube 5% es que se ha incrementado 5 partes de términos
fraccionarios es decir ha subido la 100
5 parte.
Por ejemplo, si luego de una encuesta se concluye que uno de cada 4 alumnos tiene
notebook, tenemos la razón 4
1, esto significa que por cada 25 alumnos de un total de 100
tienen notebook
La explicación se interpreta así 100
25
254
251
4
1
concluyendo que el porcentaje es 25%
Las siguientes razones expresadas en porcentajes:
a) 5
4 es el 80%
b) 25
3es el 12%
c) 3
2 es el 33,3% acá sucede que aprox%66.0
100
66,66
100
3
200
3
1003
3
1002
3
2
¿Qué significa extraer un porcentaje de una cifra?
Por ejemplo, se quiere determinar el 25% de 350 en efecto:
100
25%25 luego 5,87
100
35025
350100
25350
100
25
x
xx
Ejercicios propuestos:
a) Un artículo cuyo precio original es 35 750 pesos se rebaja un 20% ¿en cuánto queda?
b) Una persona pagaba por el arriendo de un departamento 450 mil pesos, al tiempo se le incrementa en un 2,9% ¿cuál es su precio actual?
c) Los habitantes de un poblado son 1550 , luego de un tiempo aumentó el 2,3% y mucho más tarde el aumento fue aproximado de un 1,5%¿cuál fue el incremento total?
Polinomios No olvidar P es un polinomio en el conjunto de los números reales si y sólo si P es una función de números reales que, en x, admite una representación de la forma:
01
12
21
1)( axaxaxaxaxP nn
nn
nn
P(x)=
Donde:
• 01,...,, aaa nn son números reales llamados “coeficientes”.
• n es un número natural {1, 2, 3, 4……}.
Por ejemplo, son polinomios en x, las siguientes expresiones:
¿Qué debo saber para realizar operaciones con polinomios?
• Operatoria con números enteros (suma, resta, multiplicación y división). • Reducción de términos semejantes. • Factorización de expresiones algebraicas.
Operatoria en polinomios
i.Evaluar un polinomio
Evaluar un polinomio , consiste en determinar qué valor toma el polinomio cuando x se sustituye por un número real. Si al evaluar x en el polinomio da como resultado cero ( P(x)=0 ), se dice que x es una raíz o cero del polinomio. Ejemplo:
Evaluar el polinomio en Solución:
Sustituyendo en tenemos:
Entonces, el valor que toma , cuando es -29.
ii. Suma de polinomios Consiste en sumar aquellos términos algebraicos que son semejantes, esto es, mismo exponente y mismo factor literal. Ejemplo:
Se tiene y . Obtener Solución:
iii. Resta de polinomios Consiste en restar aquellos términos algebraicos que son semejantes, pero debemos considerar que, si existe un signo negativo delante de un paréntesis, éste cambia el signo de los elementos al interior. Ejemplo:
Sean los polinomios y .
Obtener Solución:
iv. Producto de polinomios El producto de dos polinomios se obtiene aplicando la propiedad distributiva del producto respecto de la suma en forma reiterada. En caso de ser necesario se deben reducir términos semejantes. Ejemplo:
Sean los polinomios y . Calcular P(x)∙Q(x) Solución:
SESIÓN: POTENCIAS, RAÍCES Y LOGARITMOS
Potencias
Objetivo general Resolver situaciones problemáticas en contextos diversos y significativos que involucren potencias, raíces y logaritmos y la aplicación práctica de sus propiedades, enfatizando el análisis crítico.
No olvidar
Una potencia es una expresión del algebra que representa el producto sucesivo de números y expresiones y es utilizadas en contextos diversos
Una potencia es una expresión de la forma
Donde n es un número entero
El número b , es el resultado de la expresión na que para Zn , corresponde a ),( vecesnaaaaaaa (el producto de a , ,n veces)
Por ejemplo: )5,2(2222225 vecesdeproducto , es decir, 3225
Para la potencia 81
16
3
2
3
2
3
2
3
2
3
24
Del mismo modo para )3,)5()(5()5()5()5( 3 vecesdeproducto es decir,
125)5( 3
Algunas propiedades de las potencias son
Propiedad Ejemplo
0
bquesiempre
b
a
b
an
nn
21666663
nnn baba )( 2433333335
ban
mnmn aaa 655364444 85353
nm
n
m
aa
a 422222
2 235
3
5
nmnm aa )( 409622)2( 124343
n
n
aa
1 con 0a Zn
32
1
22222
1
2
12
5
5
Expresiones Algebraicas y las potencias
Cuando las bases son expresiones literales, se pueden conformar otras que, por propiedades de potencias pueden ser reducidas a una mínima expresión y ser equivalente, veamos unos ejemplos:
I) Solucionar
4
12
97
3
9
x
y
y
x
4
12
97
3
9
x
y
y
x= Aplicamos, propiedad, potencia de un cociente
412
49
73
79
)(
)(
)(
)(
x
y
y
x Aplicamos, potencia de una potencia
48
36
21
63
x
y
y
x= Aplicamos ordenamiento de potencias con base igual
Aplicamos reducción por cuociente de potencias
igual base
15111
21
36
48
63
yx
y
y
x
x
II) Solucionar 376535 baba
376535 baba = Aplicamos propiedad de potencia de un producto
)( 21181525 baba Aplicamos asociación de expresiones en el producto
6721151825 )( babbaa Aplicamos propiedad potencias de igual base
III) 2732
36
))8(16(
)(2
nm
nm
2732
36
))8(16(
)(2
nm
nm Aplicamos potencia de un producto al denominador
27232
36
)8()16(
)(2
nm
nm Aplicamos potencia de un producto
2722322
36
)(8)()16(
)(2
nm
nm Aplicamos nuevamente potencia a un producto y
transformación de constantes a potencias de base común
146648
36
22
)(2
nm
nm Aplicamos ordenamiento de potencias de base común
)(2 115815 nm Aplicamos reducción por cuociente de potencias
igual base
Potencias base 10
Una de las potencias de vital importancia en el desarrollo de las Ciencias, es la potencia cuya base es 10, esto es:
1000010
100010
10010
1010
)(110
4
3
2
1
0
convenciónpor
Potencias con exponente positivo, en cambio al tener exponente negativo se obtienen expresiones decimales que se detallan a continuación:
0001,010000
1
10
110
001,01000
1
10
110
01,0100
1
10
110
1,010
110
4
4
3
3
2
2
1
Por ejemplo: I)
6
2
5
100
10 Aplicamos reducción a potencias base 10
6
2
5
100
10
6
22
5
))10((
10 Aplicamos potencia de una potencia
22
5
))10((
10
6
4
5
10
10 Aplicamos potencia de un cuociente
61645 )10()10( Aplicamos potencia de una potencia
000001,01000000
1
10
110
6
6
Ejemplo II)
25
7
64
001,0
10
)0001,0(
)1000(
25
7
64
001,0
10
)0001,0(
)1000(
=
2
3
5
74
643
10
10
)10((
))10((
Aplicamos potencia de una
potencia
2
3
5
28
72
10
10
10
10 Aplicamos potencia de un cuociente
18429228100 10)10(1010
Una de las aplicaciones que tienen estas potencias , es la Notación Científica , donde se
puede representar una expresión decimal (E.D.)en otra , donde una constante A queda
en producto con una potencia base 10, esto es : ZnAdondeADE n ,9110..
Por ejemplo:
i) 10350,250,23
ii) 110563,77563,0
iii) 21035589,1589,135
Ejercicios Propuestos
I) Para cada una de las siguientes potencias, reduzca por aplicación de propiedades:
a)
7
34
93
yx
yx
b) 1226938 ))(125()25( cbacba
c)
16
1
6313
32
27
81
4
2
3
d)
70
8189
258
)( pnm
pnm
e)
1064
64
6
)()( yxyx
xy
II) Exprese en notación científica:
a) 0,0000235 b) 3287,567 c) 1980000 d) 230000000
Raíces
No olvidar Una raíz corresponde a un número que, al multiplicarse por sí mismo la cantidad de veces que indique el índice, se obtiene la cantidad subradical. Elementos de una raíz: Una raíz está formada por dos elementos: un índice representado por n y una cantidad subradical representada por a . Se lee “raíz n -ésima de a ”, y representa el valor de un número que si se multiplica n veces por sí mismo, se obtiene la cantidad subradical a
. Restricciones:
Índice
Cantidad subradical
n a Raíz
1/ nNn
Condiciones: Radicando mayor que cero
Sí 0a entonces n a existe siempre
Si n par: Dos soluciones. Ejemplo: 24
Si n impar: Una solución positiva. Ejemplo: 51253
Radicando menor que cero
Sí 0a , n a se cumple que:
Si n par: No existe en R . Ejemplo: R4 81 .
Si n impar: Tiene una solución, y es negativa. Ejemplo: 3273
Algunas propiedades de las raíces Ejemplos
Cuando la cantidad subradical es la unidad
11 n
11 ; 113 ; 1127
Cuando la cantidad subradical es cero
00 n
00 ; 003 ; 0039
Multiplicación de raíces de igual índice nnn baba
282424 3333
División de raíces de igual índice
nn
n
b
a
b
a donde 0b
53
15
3
15
Raíz de una raíz
nmm n aa .
12266 2 444 •
Raíz como potencia con exponente racional
n
m
n m aa
5
2
5 2 33
Incorporación de un elemento a una raíz n nn baba
333 33 24383232
Álgebra de radicales: Desarrollar las siguientes operaciones
434 Se identifican raíces iguales: 4 (Dos raíces son iguales si tienen el mismo índice y la misma cantidad subradical)
4)31(
44
Se suman los coeficientes y se conserva la raíz semejante.
24 Se calcula la raíz de 4 y se resuelve la multiplicación.
8
51052258 Se identifican raíces iguales: 5
5)10228(
520
Se suman o restan los coeficientes, según sea el caso, y se conserva la raíz igual.
Multiplicación de raíces 44 635
4 635 4 185
Como los índices son iguales, se conserva la raíz con el mismo índice y se multiplican las cantidades subradicales.
53 22
mcm .. entre 3 y 155 Se calcula el mínimo común múltiplo entre todos los índices
15 315 5 22 El mcm .. se convierte en el nuevo índice de las raíces; luego este índice se divide entre cada uno de los índices de las raíces y su resultado se multiplica por el exponente de la cantidad subradical.
15 35 22 Se aplica propiedad de multiplicación de potencia de igual base
15 82 15 256
Se resuelve la potencia.
División de raíces
3
3
6
12
33 26
12
Como las raíces tienen el mismo índice, se conserva la raíz y se dividen las cantidades subradicales.
4 6
6
mcm .. entre 2 y 44 Se calcula el mínimo común múltiplo entre todos los índices
4
2
4
4 2
6
24
6
24
El nuevo índice se divide entre cada uno de los índices de las raíces y su resultado se multiplica por el exponente de la cantidad subradical.
4
6
576
Se resuelve la potencia.
4 96 Se resuelve la división.
4 44 62616 Se descompone 96.
4 62 Se aplican propiedades para sacar el 2 de la raíz.
Racionalización de raíces: Racionalización de raíces: Consiste en eliminar las raíces que se encuentran en el denominado de una fracción. Para ello, se multiplica tanto el numerador como el denominado de la fracción por raíz que se encuentra en el denominador.
23
8
Caso 1: Caso en que el denominador contenga una raíz cuadrada, sin adiciones ni sustracciones.
2
2
23
8
Se multiplica tanto el numerador como el denominador por la raíz del denominador de la fracción.
23
28
)2(3
282
3
24
Se resuelven los productos tanto del numerador como del denominador. Se aplican propiedades de potencias de igual base y luego se simplifica el exponente con el índice de la raíz. Se simplifican los valores correspondientes.
22
10
Caso 2: Caso en que el denominador contenga una raíz cuadrada, con adiciones o sustracciones.
22
22
22
10
22 2)2(
2210
Se multiplica tanto el numerador como el denominador, por el denominador de la fracción, pero en este caso, el signo que separa los términos
del denominador cambia de )( a )( para formar
en el denominador una suma por su diferencia.
2
)22(10
24
)22(10
)22(5
Se realizan las operaciones indicadas tanto en el numerador como en el denominador. Se simplifican los valores correspondientes.
3 2
6
Caso 3:
3 2
3 2
32
2
2
6
Como hay una raíz cúbica en el denominador, sin adiciones o sustracciones, se multiplica tanto el numerador como el denominador por el denominador de la fracción, pero en este caso, el exponente de la cantidad subradical será la diferencia entre el índice de la raíz y el exponente inicial de dicha cantidad subradical.
3 2
3 2
3 23
3 2
3 23
3 2
22
26
22
26
)2()2(
26
3 23 2
3 3
3 2
232
26
2
26
Se aplica propiedades de raíces en el denominador. Se aplica propiedades de raíces en el denominador y se simplifican los valores correspondientes
Ejercicios resueltos: Calcular
a) 2
3
36
32
3
3636 Se aplica la propiedad que permite transformar una base con exponente fraccionario en raíz.
632 6)6
Se descompone la cantidad subradical en y se aplica la propiedad de potencia de una potencia.
21663
Se simplifica el exponente de la cantidad subradical con el índice de la raíz y se aplica operatoria básica.
b) 3 3168 752
3 2523 31526 5275275522
Se descomponen las cantidades subradicales de tal manera que los exponentes sean múltiplos de 3 (índice de la raíz).
3 54)7()3125()4(
3 20500.87
Se resuelven las potencias y se plantea resultado.
c) Una habitación tiene de largo 16 metros y de ancho 9 metros. Construirse otra habitación,
pero cuadrada de igual área. ¿Cuánto mide el lado de la nueva habitación?
Largo: 16 m Ancho: 9 m Área inicial: Rectangular Área a calcular: Cuadrada
Se identifican y asocian datos
Área inicial: Rectangular hbA
144
)16()9(
A
A
Área a calcular: Cuadrado 2lA
Al
12144 l
Se relacionan los datos Se relacionan los datos Se calcula el lado de la habitación
Resultado: El lado de la habitación cuadrada es de 12 metros.
Se entrega la respuesta
d) La suma de dos números es 540, y la raíz cuadrada de uno de ellos es igual a la raíz
cuadrada del otro aumentada en 36 ¿Cuáles son los números? 1er número: x 2do número y
xy
yx
540
540
Se identifican los datos del problema
36)540(36 xyx
xx 576
Se modela la expresión del problema considerando que la raíz cuadrada de uno de los números es igual a la raíz
cuadrada del otro, aumentada en .36 22 )576(()( xx Se elevan las igualdades al cuadrado para eliminar las
raíces.
2882
5765762 xxx
Se despeja x para conocer el valor del 1er número.
252288540
540
y
xy
Se reemplaza valor de x en la expresión xy 540
para conocer el segundo número.
Los números buscados son 288 y 525. Se entrega la respuesta
Ejercicios propuestos:
1. Resolver y reducir aplicando las propiedades de radicación.
12
24
33426
)(x
xxx
2. La hipotenusa de un triangulo rectángulo mide 29 cm y uno de sus catetos mide 12cm. ¿Cuál es la medida del otro cateto?
3. Un colegio tiene 529 estudiantes. Se sabe que hay tantos estudiantes por aulas, como aulas tiene el colegio. ¿Cuántas aulas hay en el colegio?
4. El área de un terreno rectangular es de 23136m . Sí se sabe que e l terreno es cuadrado, determine el perímetro del terreno.
5. Sabiendo que el volumen de un cubo es a 3512m , determine las dimensiones de dicho cubo.
6. Una caja en forma cúbica tiene un volumen de 3125000cm . Si se corta la mitad superior. ¿Cuáles serán las dimensiones del recipiente resultante?
Ecuación Exponencial y Logarítmica
No olvidar
¿Cómo se define una ecuación exponencial?
Estas expresiones son potencias, en las cuales, la incógnita se encuentra en el exponente de esta, cuya forma es
ba x
Un ejemplo de estos es la siguiente pregunta: ¿Tres elevado a qué número es igual a nueve? El planteamiento de esta ecuación es:
93 x
Estas ecuaciones tienen directa relación con las potencias, dado que conservan las mismas propiedades, véase algunos ejemplos:
1- xxxx 12)34(34
2- 223131 5555 xxxxx
3- xxxxxx 3333)3( 22
Continuando con la ecuación anterior, para poder encontrar el valor de 𝑥, es posible solucionarla mediante intuición, de tal manera que reconocemos visualmente, o con un
ejercicio mental que las respuesta es 2, ya que 932 . Sin embargo, existen ecuaciones donde es muy poco posible encontrar el valor de la incógnita mediante intuición.
Para poder resolver ecuaciones de ese estilo, se hace uso de la herramienta matemática llamada logaritmo.
¿Qué es una expresión logarítmica?
Está expresión nace de la necesidad de responder de solucionar ecuaciones exponenciales, dando respuesta a la pregunta con que se inició.
La forma de una expresión logarítmica es
cba log
Sus elementos son:
• a es la base del logaritmo.
• b es el argumento del logaritmo.
• c es el valor del logaritmo.
Respondiendo a la interrogante: ¿a elevado a qué número es igual a b?, el resultado de esta pregunta es c.
Por lo tanto, cada ecuación logarítmica tiene asociada una ecuación exponencial. En los siguientes ejemplos, se muestra una ecuación logarítmica, su forma narrada, y la ecuación exponencial asociada.
Condiciones de un logaritmo
La expresión logarítmica, debe cumplir ciertas condiciones para poder ser calculada o aplicada, entre ellas están:
1) La base del logaritmo debe ser estrictamente mayor a cero ( 0base ) y distinto de 1.
2) El argumento del logaritmo debe ser estrictamente mayor a cero.
Se debe tener en consideración que cuando se escribe un logaritmo, que no lleva un número en la base, se asume que dicho argumento es de valor 10, ejemplo:
14log14log10 .
Ejemplos
Expresión logarítmica Forma narrada Ecuación exponencial
correspondiente
x16log4 ¿Cuatro elevado a qué número es igual 16? 164 x
x10log7 ¿Siete elevado a qué número es igual 10?
107 x
Las expresiones logarítmicas también poseen propiedades de operación, son las siguientes:
1) bcb ac
a loglog
Ejemplo: 4log34log 23
2
2) cbcb aaa loglog)(log
Ejemplo: 7log3log)73(log 666
3) cbc
baaa logloglog
, con 𝑐 ≠ 0
Ejemplo: 4log3log4
3log 555
4) baba
log
Ejemplo: 13813log8
5) ab ba log
Ejemplo: 612 12log6
6) bc
bc
a
a loglog
log , con 0log ca (logaritmo cambio de base)
Esta propiedad, es más compleja que las anteriores, aunque, solo basta visualizar que
si las bases de los logaritmos que se están dividiendo son iguales, entonces se pueden
agrupar, tal como se muestra a continuación.
Ejemplo: 5log2log
5log2
4
4
7) El valor de un logaritmo es nulo, si solo si, el argumento es igual a 1
Ejemplo: 01log34 , 01log6
Relación de las expresiones exponencial y logarítmica en una ecuación
Se desea resolver la siguiente ecuación exponencial: 43 x . Esta ecuación no es posible resolver por intuición, para ello usaremos la operación logarítmica de la siguiente manera.
43 x
Aplicamos logaritmo de base 10 a ambos lados de la ecuación (normalmente por la comodidad al trabajar, se elige el logaritmo en base 10, sin embargo, queda a criterio personal, que base es más adecuada en cada caso)
4log3log x
Utilizando la propiedad 1 de logaritmos y despejando 𝑥 se tiene:
4log3log x
Dividiendo por log 3 (de valor no nulo) a ambos lados de la ecuación
3log
4log
3log
3log
x
Simplificando
3log
4logx
Finalmente utilizando la propiedad 6 de logaritmos (cambio de base)
4log3x
Ejercicios Resueltos
1) Encontrar el valor de x en las siguientes ecuaciones
a. xx 45 1
Solución:
xx 4log5log 1
Se aplica la operación de logaritmo a ambos lados
de la ecuación.
4log5log)1( xx
Se aplica la propiedad de 1 de logaritmos, la cuales
el exponente del argumento, este se traslada como
factor frente al logaritmo.
4log5log5log xx
Se distribuye bajo multiplicación respecto a la
suma, en el lado izquierdo de la ecuación.
5log4log5log xx
Se agrupan términos semejantes.
5log)4log5(log x
Se factoriza por el término común x en el lado
izquierdo de la ecuación.
5log4
5log
x
la propiedad 3 de logaritmos, en la expresión
4log5log , identificando que 04log
4
5log
5logx
Se divide a ambos lados de la ecuación por
4
5log
,
cuyo valor es no nulo.
5log
4
5x
Se utiliza la propiedad de cambio de base en el lado
derecho de la ecuación.
b. 24)log( 2 x
Solución:
24log2 x
Se aplica la propiedad 1 en el lado izquierdo de la ecuación, el exponente del argumento, se traslada como factor frente al logaritmo.
12log x Se divide por 2 a ambos lados de la ecuación.
1210loglog x
Se aplica la propiedad 5 en el lado derecho de la ecuación, eligiendo la misma base del logaritmo correspondiente al lado izquierdo de la ecuación.
1210x
Se cancela el operador de logaritmo a ambos lados de la ecuación (sólo es posible, si fuera del logaritmo no hay otras operaciones).
Ejercicios Propuestos
1) Reducir las siguientes expresiones utilizando las propiedades antes mencionadas.
Expresión Reducción
2)3( x
xxx 16:24 13
210log
92 2log
4log5log
3log27log 44
6log
144log
5
5
2) Resolver las siguientes ecuaciones
a. 22 x
b. 43 1 x
c. 5log3 x
d. 164 xx
3) Resolver las siguientes ecuaciones
a. 164 x
b. 175 4 x
c. 31 73 xx
d. xlog2log16log2
13log2
4) Resolver los siguientes problemas
a. La magnitud de un terremoto se relaciona con cuánta energía libera. Instrumentos
llamados sismógrafos detectan el movimiento de la tierra; el movimiento más
pequeño que puede detectarse en un sismógrafo se denomina 0A . La letra para
analizar la amplitud de una onda del terremoto es A .
La medida en escala de Richter de la magnitud de un terremoto, lleva la siguiente
fórmula:
0
logA
AR
Entonces, si un terremoto se mide con una amplitud 392 veces más grande que 0A
¿Cuál es la magnitud de este terremoto usando la escala Richter?
b. La medida de acidez de un líquido se llama pH del líquido. Está basada en la
concentración de iones de hidrógeno (H+) en el líquido. La fórmula del pH es:
]log[ HpH
El pH tiene una escala de 0 a 14, donde el 0 significa un ácido fuerte y el 14 una base fuerte, mientras que un valor igual a 7 representa una acidez neutra, es decir ni ácido ni base.
Entonces, si el jugo de limón tiene un pH de 1.7, ¿cuál es la concentración de iones de hidrógeno en el jugo de limón, en centésimas?
c. El sonido se mide en una escala logarítmica usando una unidad que se llama decibel
( d ).
0
log10P
Pd
Donde P es la potencia del sonido y 0P es el sonido más débil que puede captar el
humano.
Entonces, si una bomba de agua caliente tiene un índice de ruido de 50 decibeles. Una lavadora de platos, tiene un índice de ruido de 62 decibeles. ¿Qué tan intenso es el ruido de la lavadora comparado con el ruido de la bomba?
Sesión: Algebra Objetivo: Resolver problemas en contextos diversos y significativos que involucran la reducción de expresiones algebraicas, productos notables y factorización de expresiones algebraicas enfatizando en el análisis crítico de los procedimientos de resolución y de los resultados obtenidos.
Expresiones algebraicas
Se denomina término algebraico a aquella expresión que está conformada por: Factor literal y/o Coeficiente numérico. Factor literal: son expresiones que están conformadas por letras y potencias de éstas. Coeficiente numérico: son expresiones que están conformadas por números.
LiteralFactor
nk
nnn
numéricoCoef
kxxxx 321321
.
Ejemplos:
• 25
3
5zxy , aquí
3
5 es el coeficiente numérico y 25zxy es el factor literal.
• 11
4, aquí
11
4 es el coeficiente numérico y NO posee factor literal.
• rst , aquí el coeficiente numérico es 1 y el factor literal es 11
4
Se denomina expresión algebraica a aquella combinación de términos algebraicos que pueden estar conectados mediante las operaciones aritméticas de la adición y la sustracción. Ejemplos:
• yx3
3
4
• accabbca 4367 3 Clasificación de Expresiones Algebraicas Las expresiones algebraicas se pueden clasificar de acuerdo a la cantidad de términos algebraicos que tengan.
Monomios: son expresiones algebraicas que poseen un término algebraico. Polinomios: son expresiones algebraicas que poseen dos o más términos algebraicos. Dentro de los polinomios se pueden distinguir dos casos particulares:
• Binomios: son expresiones algebraicas que poseen dos términos algebraicos • Trinomios: son expresiones algebraicas que poseen tres términos algebraicos
Productos notables No olvidar Los productos notables corresponden a multiplicaciones de expresiones algebraicas reconocibles, y que para determinar su desarrollo es necesario aplicar algunas fórmulas. Se emplea en la matemática para nombrar a determinadas expresiones algebraicas que pueden factorizarse de manera directa, sin recurrir a un proceso de varios pasos.
Productos notables más conocidos Ejemplos
Cuadrado de un binomio
222 2)( bababa 222 2)( bababa
En suma o resta: Es igual al cuadrado del primer término, más o menos según sea el caso, el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado segundo término.
442)2(2)2( 2222 xxxxx
442)2(2)2( 2222 xxxxx
Suma por su diferencia
22)()( bababa
Una suma por diferencia es igual al cuadrado del primero menos el cuadrado del segundo.
259)5()3()53()53( 222 xxxx
Productos de binomios con un término común
El producto de dos binomios con un término común es igual al cuadrado del primer término, más el producto de la suma de los dos segundos términos por el primer término, más el producto de los segundos términos.
Monomios Binomios Trinomios Polinomios
yx3
4
3yx 522 334 xayx 23 32 str
x leslgh 6534
7
23 caabc 22510
23 23 xzy
625
abcp25 3 qp pvnm
baxbaxbxax )()()( 2 65)32()32()3()2( 22 xxxxxx
Cubo de un binomio
32233 33)( bbabaaba
32233 33)( bbabaaba
Cubo de un binomio (suma) es igual al cubo del primer término, más el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo término.
32233 22323)2( xxxx
8126 23 xxx Cubo de un binomio (resta) es igual al cubo del primer término, menos el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo término.
812622323)2( 2332233 xxxxxxx
Ejercicios Resueltos: 1. Resolver las siguientes expresiones aplicando productos notables
a) 2)5( x Se identifica el producto notable: 2)( ba 22 5)5(2 xx Se aplica el desarrollo del producto notable
25102 xx Se resuelven las operaciones indicadas
b) 243 )22( x Se identifica el producto notable: 2)( ba 244323 )2()22(2)2( xx Se aplica el desarrollo del producto notable
836
2443232
2644
2)22(22
••
xx
xx
Se aplica la propiedad de potencia de una potencia
256644 36 xx Se resuelve la potenciación y se obtiene resultado
c) 3)32( x Se identifica el producto notable: 3)( ba
3223 33233)2(3)2( xxx Se aplica el desarrollo del producto notable
27)96()343(8 23 xxx
2754368 23 xxx
Se resuelven las operaciones indicadas y se obtiene la respuesta
2. Reduzca y racionalice la siguiente expresión 3223
3223
)3223(
)3223(
)3223(
)3223(
Multiplicamos tanto el numerador como el denominador de la fracción, por el denominador cambiando el signo entre sus términos (conjugado), a fin de generar una expresión que permita reducirse con productos notables
22
2
)32()23(
)3223(
Se expresa el numerador como el cuadrado de un binomio
Se expresa el denominador la suma por su diferencia
)34()29(
)32()32()23(2)23( 22
Se resuelve el numerador como cuadrado de un binomio Se resuelven las potencias del denominador
6
1261218
1218
)34(612)29(
Se desarrollan las operaciones indicadas
6
61230
Se reducen términos
6
6256
Se factoriza el numerador
625 Se simplifica expresión
3. Sabiendo que 5ba y que 3ab . Calcular el valor de 22 ba 222 2)( bababa Tener en cuenta el producto notable cuadrado de un
binomio, ya que en él aparecen todos los términos involucrados en el problema
222 )3(25 ba Se reemplazan los datos identificados en el problema.
22 625 ba Se desarrollarlas operaciones indicadas
22625 ba Se despeja 22 ba
1922 ba Se obtiene valor buscado
4. Suponga que se tiene una región de forma cuadrada cuyo lado mide 7x unidades. Determine el área de la región.
Se representa la región cuadrada para identificar sus dimensiones.
22 )7( xlA Considerando que, para calcular el área de un cuadrado, se debe elevar su lado al cuadrado.
222 7)72()7( xxx Se aplica el producto notable de cuadrado de un binomio.
49142 xxA Se expresa el área de la región cuadrada.
7x
7x
Ejercicios propuestos: Solucione cada uno de los siguientes ejercicios.
7. 22 )2( yxy
8. 21 )1( ax
9. 332 )32( ba
10. Racionalice 32
32
11. En un club se desea crear una cancha para la práctica individual de tenis y se
dispone de una pared cuadrada de lado x metros. Los especialistas en ese deporte solicitan que sea más grande, por lo que se le añadieron 3m a cada lado. ¿Cuál es el área de la nueva pared?
12. Se tiene una región de forma rectangular como se muestra en la siguiente imagen. Determine el área el perímetro de la región.
De acuerdo con la expresión obtenida, analiza y responde:
• ¿Qué restricciones tiene el problema anterior?
• ¿Qué valores puede tomar x para que tenga solución el problema anterior?
13. Hallar la suma de: El doble del cuadrado de la diferencia entre x y 2 , con el triple del producto de la suma de x y 1 por su diferencia.
14. Daniel tiene un terreno cuadrado de lados a y planea construir una casa utilizando el terreno de lados b , como se muestra en la siguiente figura. ¿Cuál es la expresión algebraica que denota el área del terreno sobrante?
6x
4x
a
a a
a
b b
b
b
Factorización No olvidar
Factorizar: Consiste en escribir una suma de términos algebraicos como un producto de factores.
La factorización es el proceso inverso del producto notable, es decir, permite expresar un polinomio como un producto de factores simples de tal manera que, al multiplicarlos entre sí, se obtenga el mismo polinomio. La factorización se basa en el Axioma distributivo.
b c
a
cbaacab
;, Rcba
acbcabacbaacab
“Para todo número a , b y c que pertenecen a los números reales; la expresión acab
representa el mismo número que la expresión cba ”
Algunos tipos de factorización:
Factor común: es el factor que está presente en cada
término de la suma de términos algebraicos. cbaacab
Diferencia de cuadrados: sólo se aplica en el caso que
aparezcan dos términos cuadráticos separados por la
operación diferencia.
bababa 22
Trinomio cuadrado perfecto: solo se aplica en el caso
que aparezcan 3 términos de la forma 22 2 baba 222 2 bababa
Trinomio de la forma qpxx 2 : En esta factorización
se aplica la siguiente fórmula
baqybapdonde
bxaxqpxx
:
,2
bxaxabxbax 2
Suma y diferencia de cubos: La factorización suma o
diferencia de cubos solo se aplica en el caso que
aparezcan 2 términos de la forma: 3333 baoba
2233 babababa
2233 babababa
Suma de términos (polinomio)
Producto de Factores FACTORIZACIÓN
Responde:
• ¿Cuál es la relación que existe entre los productos notables y la factorización?
• ¿Las expresiones algebraicas solo se pueden factorizar si corresponden a un producto notable?
• ¿Un trinomio se podría factorizar como una suma por diferencia?
• ¿Un binomio se podría factorizar como un cuadrado de binomio?
• ¿Qué posibles factorizaciones podrían corresponder a un trinomio? ¿Y a un binomio?
• ¿Por qué es posible factorizar una suma de cubos y no es posible factorizar una suma de cuadrados?
Ejercicios
1. Factoriza la expresión xx 36 2
Desarrollo Reconocer que la expresión corresponde a la forma de factor común: cbaacab
MCD entre 6 y 3 = 3
MCD entre xxyx 2
Encontrar el coeficiente numérico y literal
común
xxx 236 2 Descomponer en factores el término 26x
xxx 323 Reemplazar estos factores en la expresión
original y determinar el factor común.
)12(3323 xxxxx La expresión original se expresa en término del
factor común.
2. Factoriza la expresión 36122 xx
Desarrollo Reconocer que la expresión corresponde a un trinomio cuadrado perfecto )baba( 22 2 , ya
que 362 yx tienen raices cuadradas exactas
636
2
xx
Encontrar las raíces de 362 yx
1262 x Multiplicar por 2 las raíces encontradas para
obtener el segundo término de la expresión.
22 63612 xxx Sumas ambas raíces con el signo del segundo
término de la expresión original y elevas al
cuadrado el binomio resultante.
3. Factoriza la expresión 302 xx
Desarrollo
Reconocer que la expresión no corresponde a un trinomio cuadrado perfecto, ya que el tercer término 30 no tiene raíz exacta. Se debe usar la forma
baqybapdondebxaxqpxx ,2
xx Descomponer en dos factores. El signo “+” del
primer binomio corresponde al signo del
segundo término de la expresión original y el
signo “-” del segundo binomio, es el que resulta
de multiplicar los signos del segundo y tercer
término de la expresión original.
)()()(
156 3056
Identificar los números que sumados den por
resultado el coeficiente del segundo término
del trinomio, y que al multiplicarse su resultado
sea igual al tercer término del trinomio.
56 xx Completar los binomios con los números
identificados.
56302 xxxx La expresión original es igual al producto de
dos binomios.
4. Simplifica la siguiente expresión:
x
x:x
x
x 24
2
2 2
Desarrollo
x
xxx
x
x 2:22
2
2 , 2x , 0x ,
2x
Factorizar )4( 2 x y determinar sus
restricciones.
222
2
2
x
xxx
x
x ; 2x Multiplicar por el inverso multiplicativo del
divisor y determinar sus restricciones.
2
22
2
2
x
xxx
x
x
Se simplifica )2( x dentro del paréntesis y se
multiplican los demás factores.
2
22
x
xxx Se simplifica )2( x y se obtiene el resultado
final.
20;;2;2 xxxxx Expresar el resultado final con sus respectivas restricciones.
5. Nuestro grupo de trabajo necesita un marco para colocar una foto de la fiesta de navidad. Esta foto tiene forma rectangular, un área de
362 x y un ancho de 6x . ¿Cómo podemos encontrar la medida de la altura?
Desarrollo
alA
ancholagoÁrea
Recordar fórmula del área de un rectángulo
a
Al Despejar el largo, ya que se conoce el área y el
ancho.
6
362
x
xl
Reemplazar la medida del área y ancho
6
66
x
xxl Factorizar la expresión 362 x
6
66
x
xxl Simplificar por el término común 6x
6 xl El largo de la foto mide 6x
6. Si la altura y la base de un triángulo miden
1
42
x
xcm y
2
12
x
xcm respectivamente, ¿Cuál
es su área?
2
baseaturaÁrea
Recordar fórmula del área de un triángulo
2
2
1
1
42 2
x
x
x
x
Área
Reemplazar la medida de la altura y base
2
2
11
1
22
x
xx
x
x
Área
Factorizar las expresiones algebraicas que sean posibles y simplificar.
12
12
2
1
12
xx
x
Área
Realizar la división en el denominador y
simplificar.
1 xÁrea El área del triángulo es 1x
Responde:
• ¿Qué restricciones tiene el problema anterior?
• ¿Qué diferencias y similitudes existen entre la multiplicación y división de fracciones numéricas y algebraicas?
• ¿Qué dificultades observas en la multiplicación y división de fracciones algebraicas?
Ejercicios Propuestos 1. Factoriza las siguientes expresiones:
1) xxzx 2763
2) 11109 aaa
3) 222 yxyxx
4) bxaybzazbyax 859958
5) 36122 xx
2. Resuelva las siguientes operaciones:
1) 324
109
100
8022
2
2
2
xx
xx
x
xx
2) yx
x
yx
xy
2:
422
3) 22
22
22 22
66:
2
33
yxyx
yx
yx
yx
yxyx
yx
3. Si se define
bab
baabba
, ¿Cuál es el resultado de
5
32 ?
4. Calcular el área de un cuadrado de lado 22 x cm
5. Si los lados de un rectángulo son 𝒙 + 𝟓 y 𝒙 − 𝟑, y si el valor de su área es 𝟒𝟖𝒄𝒎𝟐, ¿cuánto miden sus lados?
6. El cuadrado 𝑨𝑩𝑪𝑫, de lado 8 cm, tiene en sus esquinas cuatro cuadrados de lado 𝒙 cm cada uno. ¿Cuál es el valor del área sombreada?
𝑫 𝒙 𝒙 𝑪
𝒙
𝒙
𝒙
𝒙
𝑨 𝒙 𝒙 𝑩