Captulo 5

Series Numericas

5.1. Sucesiones de numeros reales.

Se llama sucesion de numeros reales a cualquier funcion f : N R, esdecir, a cualquier funcion real cuyo dominio es N. Para poner enfasis en el

hecho de que la variable independiente solo toma valores naturales, esta se

denota por n.

Ejemplos 5.1.1. 1) f(n) = n!. 2) f(n) = 2n. 3) f(n) = nn2 + n.

En las aplicaciones, las sucesiones se presentan cuando estudiamos el com-

portamiento de una magnitud a intervalos fijos de tiempo: cada minuto, hora,

da, etc. Por ejemplo, si estudiamos el peso de un cultivo bacteriano da a

da, podemos denotar el peso del cultivo el da nesimo por p(n).Ahora vamos a justificar el nombre de sucesion. Cuando tratamos con su-

cesiones, existe la posibilidad de usar la notacion matricial. En efecto, toda

sucesion f : N R queda determinada en cuanto conocemos los numerosf(1), f(2), .... Por tanto, una tal funcion se comporta como la matriz fila in-

finita: f(1), f(2), f(3), ...., f(n), .... es decir, como una sucesionde numeros.

f(n) recibe el nombre de termino general de la sucesion. Por esta razon, la

138

notacion usual consiste en escribir el termino general entre parentesis: (f(n)).

Disponemos, por tanto, de tres notaciones posibles:

a) La notacion usual de funciones. Ejemplo: f(n) = 2n.

b) La notacion matricial, (2n).

c) La notacion matricial desarrollada, 21, 22, 23, .....

Cualquiera de ellas puede ser usada; especialmente, las dos primeras por

ser mas comodas.

5.2. Lmite de una sucesion

El concepto mas importante que vamos a estudiar en relacion con las su-

cesiones es el de lmite. El simbolismo l = lmn f(n) no supone para nosotros

novedad alguna. Es un caso particular de lmite de funciones y, de hecho, la

unica novedad consiste en el cambio de la variable x por n. De todas formas,

recordamos la definicion:

La igualdad l = lmn f(n) significa que, por pequeno que sea > 0, existe

n0 de modo que |f(n) l| < , para cada n > n0.Las sucesiones se clasifican en tres grandes grupos: a) convergentes, cuan-

do tienen lmite finito, b) divergentes, cuando tienen lmite infinito, y c)

oscilantes, cuando no existe el lmite.

Es usual, al tratar con sucesiones, hacer otra simplificacion; en lugar de

denotar el termino general por f(n), se usa la notacion mas breve fn. En-

tonces, en lugar de escribir (a(n)) o a(1), a(2), a(3), ..., escribiremos (an) o

a1, a2, a3, ....

5.3. Concepto de serie convergente. Ejemplos

Con el smboloX

n=1

an se denota la suma con infinitos sumandos a1+a2+

a3+ . A primera vista puede parecer un sin sentido querer sumar infinitossumandos. Sin embargo, el concepto de lmite nos va a permitir darle un

139

sentido razonable a esta operacion. Podemos realizar si problema alguno las

sumas finitas:

8

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

:

S1 = a1

S2 = a1 + a2

S3 = a1 + a2 + a3

... .. .....

Sn = a1 + a2 + + an... .. .....

(Sn) se llama sucesion de sumas parciales de la serie. Si existe y es

finito S = lmnSn, diremos que la serie es convergente y que su suma

es S. Este numero S se denota porX

n=1

an. Si lmnSn es , la serie se dice

divergente. Si no existe el lmite, la serie se llama oscilante.

Ejemplos 5.3.1. a)X

n=1

(1)n es una serie oscilante.

b)X

n=1

log(n

n+ 1) es divergente.

c)X

n=1

a1 rn1 = a1+a1 r+a1 r2+ es una serie geometrica de razonr (cada termino se obtiene multiplicando el anterior por la razon). Esta serie

solo converge si |r| < 1 (suponemos que a1 6= 0). Veamos la prueba de esto:Como en el ejemplo anterior, vamos a tratar de calcular la suma parcial

Sn. Para ello, restamos las expresiones de Sn y rSn y vemos que se cancelan

los sumandos que contienen potencias de la forma rk con k = 1, 2, ..., n 1:

Sn = a1 + a1 r + a1 r2 + + a1 rn1

r Sn = a1 r + a1 r2 + + a1 rn1 + a1 rn.Resultando Sn rSn = a1 a1rn. Si despejamos Sn, obtenemos

Sn =a1 a1 rn

1 r .

140

Naturalmente, esta expresion solo es valida para r 6= 1. Ahora podemos tratarde encontrar lm

nSn. Como |r| < 1, se sigue que lmn rn = 0, de modo que

lmnSn =

a11 r . Hemos probado, pues, que la serie geometrica de razon r es

convergente si |r| < 1 y hemos encontrado su suma en funcion de la razon ry del primer termino a1.

5.4. Propiedades elementales de las series.

Teorema 5.4.1. (Condicion necesaria de convergencia). SiP

an es una serie

convergente, entonces lmn an = 0.

DEMOSTRACION: Cualquiera que sea n, se tiene la relacion obvia an =

Sn Sn1. Por otra parte, si P an es una serie convergente, existe y es finitoS = lm

nSn. Entonces, cuanto mas grande sea n tanto mas proximos seran

Sn y Sn1 a S. Esto obliga a que an = SnSn1 sea muy proximo a 0 (tantocomo queramos).

Este resultado se usa para descartar la convergencia de una serieP

an tal

que lmn an no existe o, de existir, no es cero.

Ejemplos 5.4.2. 1.X

n=1

n

n+ 1. Esta serie no es convergente pues lm

nn

n+ 1=

1 6= 0.2.X

n2n. Como lm

n 2n = +, la serie no puede ser convergente.

Es importante destacar que una serieP

an no tiene que ser convergente

por el hecho de que lmn an = 0. Un ejemplo de esto lo constituye la serieP

log

nn+1

que hemos estudiado en la seccion anterior. All vimos que la

serie es divergente y, sin embargo, lmn log n

n+ 1

= log 1 = 0.

Terminamos esta seccion estudiando el comportamiento de las series con-

vergentes con respecto a la suma y al producto por un numero.

141

1. SiP

an yP

bn son dos series convergentes, entonces la serieP

(an +

bn) (que se obtiene sumando termino a termino ambas series) tambien es

convergente y su suma es la suma de ambas.

2. SiP

an es convergente y c un numero real, entonces la serieP

can

tambien es convergente y su suma es igual al producto de c por la suma deP

an.

Ejemplo 5.4.3. Calcular la suma de la serieX

n=1

1

2n 24n

. Por las propie-

dades anteriores podemos escribir

X

n=1

1

2n 24n

=X

n=1

1

2n 2

X

n=1

1

4n.

Las dos series del segundo miembro son geometricas y sus razones son 12y 1

4,

respectivamente. Por tanto, ambas son convergentes. Usando la formula que

hemos obtenido para la suma de una serie geometrica, obtenemos

X

n=1

1

2n 24n

=12

1 12

214

1 14

= 1 2 13=

1

3.

5.5. Series de terminos positivos.

Decimos que una serieP

an es de terminos positivos si an 0, para cadan. En esta seccion y la siguiente solo consideramos series de terminos positi-

vos. Vamos a ver que estas series solo pueden ser convergentes o divergentes

a +. Tambien veremos que para este tipo de series hay varias formas, muyutiles en la practica, de descubrir si son convergentes. Es importante senalar

que, en general, no sera posible encontrar la suma exacta de una serie con-

vergente y nos contentaremos con descubrir si es convergente o no, y, en caso

positivo, se tratara de calcular un valor aproximado de la suma escogiendo

una suma parcial Sn adecuada.

Lo primero que vamos a ver es que, siP

an es una serie de terminos

142

positivos, entonces las sumas parciales crecen

S1 S2 S3 .

En efecto, Sn = a1 + + an1 + an = Sn1 + an. Como an 0, sigueque Sn Sn1, cualquiera que sea n. Por tanto, podemos distinguir dosposibilidades:

a) Las sumas parciales crecen indefinidamente, entonces lmnSn = +,

y la serie es divergente.

b) Las sumas parciales estan acotadas superiormente, es decir, existe c > 0

tal que Sn c, para cada n. En este caso, se prueba que existe el lmite delas sumas parciales y, por tanto, la serie es convergente.

Podemos resumir estas ideas en el criterio siguiente.

Teorema 5.5.1. (Criterio de acotacion.) Una serie de terminos positivosP

an es convergente si y solo si existe c > 0 tal que Sn c, para cada n.

Terminamos esta seccion estudiando un par de criterios que se deducen del

anterior y cuya caracterstica fundamental es que se deduce la convergencia

o no de la serie por comparacion con alguna serie conocida adecuada.

Teorema 5.5.2. (Criterio de comparacion). SeanP

an yP

bn dos series de

terminos positivos tales que an bn, para cada n. Se verifica:(a) SiP

bn es convergente, entoncesP

an tambien lo es.

(b) SiP

an es divergente, entoncesP

bn tambien lo es.

Ejemplos 5.5.3. 1.X

n=1

1

2n + n. Dada la forma de la serie propuesta, parece

conveniente comparar con la serie geometricaP 1

2n. Esta serie es convergente

ya que su razon es r = 12< 1. Por otra parte, para cada n, se tiene, 1

2n+n

12n. Entonces el criterio de comparacion nos dice que debe ser convergente la

serie propuesta.

143

2.P n+sen2 n

n+1.Para cada n, se tiene

n+ sen2 n

n+ 1 n

n+ 1.

Como la serieP n

n+1es divergente ( lm

nn

n+ 1= 1 6= 0), de nuevo el criterio

de comparacion (b) nos asegura que nuestra serie es divergente.

El criterio siguiente es muy util en la practica:

Teorema 5.5.4. (Criterio de comparacion por paso al lmite). SeanP

an yP

bn dos series de terminos positivos tales que existe l = lmn

anbn. Se verifica:

(a) Si l es finito y no nulo, entonces las dos series tienen igual caracter.

(b) Si l = 0, entonces la convergencia deP

bn implica la deP

an.

(c) Si l = +, entonces la divergencia de P bn implica la de P an.

Ejemplo 5.5.5.P n

(n+1)2n. Sea bn =

12n, sabemos que la serie geometricaP 1

2nes convergente. Si an =

n(n+1)2n

, hacemos el calculo de lm anbn:

lmn

anbn

= lmn

n(n+1)2n

12n

= lmn

n

n+ 1= 1 6= 0.

El apartado (a) del criterio anterior nos garantiza que la serie propuesta

tambien es convergente.

5.6. La serie armonica.

Para que sean realmente utiles los criterios de comparacion se necesita

disponer de un amplio abanico de series conocidas para compararlas con la

serie en cuestion. Por ello, vamos a estudiar ahora una serie que nos puede

servir a tal efecto.

Se llama armonica a una serie del tipoP 1

n, donde es un numero

real positivo.

144

Teorema 5.6.1. (Convergencia de la serie armonica). La serie armonica

converge para > 1 y diverge para 1.

Ejemplos 5.6.2. 1.P n

n3+1. Se puede usar la serie armonicaP 1

npara apli-

car el criterio de comparacion por paso al lmite. Se toma igual a la di-

ferencia entre los grados del denominador y numerador. En nuestro caso,

= 3 1 = 2. Calculamos el lmite correspondiente

lmn

nn3+11n3

= lmn

n3

n3 + 1= 1 6= 0.

Por tanto, ambas series tienen igual caracter. Como la serie armonicaP 1

n2

es convergente, la propuesta tambien lo es.

2.P n

n3+n. Ahora = 3/21 = 1/2, por tanto, comparamos con la serie

armonicaP 1

nque es divergente. Calculamos el lmite

lmn

nn3+n1n

= lmn

nn

n3 + n.

Para calcular el lmite anterior, dividiremos numerador y denominador por

nn =

n3, resultando:

lmn

nn3+n1n

= lmn

11 + n2

= 1 6= 0.

De nuevo, las dos series tienen igual caracter.

5.7. Criterios de Cauchy y DAlambert.

En esta seccion vamos a estudiar dos criterios que tienen la ventaja sobre

los anteriores de que no se necesita una serie conocida para comparar con la

propuesta.

145

Teorema 5.7.1. (Criterio de Cauchy). SeaP

an una serie de terminos po-

sitivos tal que existe l = lmn

nan. Se verifica:

(a) Si l < 1,P

an es convergente.

(b) Si l > 1,P

an es divergente.

(c) Caso dudoso: si l = 1, no se puede asegurar nada, salvo cuando se

verifica nan > 1, para infinitos valores de n, en cuyo casoP

an es divergente.

El criterio de DAlambert es consecuencia directa del de Cauchy, si tene-

mos en cuenta la propiedad siguiente que no demostramos: Sea an > 0, para

todo n. Si existe lmn

an+1an

, entonces existe lmn

nan y son iguales.

Teorema 5.7.2. (Criterio de DAlambert). SeaP

an una serie de terminos

positivos tal que existe l = lmn

an+1an

. Se verifica:

(a) Si l < 1,P

an es convergente.

(b) Si l > 1,P

an es divergente.

(c) Caso dudoso: si l = 1, no se puede asegurar nada, salvo cuando se

verifica an+1an

> 1, para n n0, en cuyo caso P an es divergente.

Ejemplos 5.7.3. 1. Estudiar la convergencia de la serieP n!

nn.

lmn

an+1an

= lmn

n

n+ 1

n

= e1 =1

e< 1.

Luego la serie es convergente.

2. Estudiar la convergencia de la serieX

2

1 2n

n2

.

lmn

nan = lm

n

1 2n

n

= e2 < 1.

Por tanto, es convergente.

146

5.8. Series de terminos positivos y negativos.

El estudio de las series de terminos positivos y negativos es, en general,

mas difcil que el de las series de terminos positivos.

Convergencia absoluta. Dado que disponemos de varios criterios para es-

tudiar el caracter de una serie de terminos positivos, cuando nos planteamos

el problema de averiguar el caracter de una serie generalP

an, podemos con-

siderar la serie de terminos positivosP |an| y, una vez conocido su caracter,

tratar de deducir el deP

an. El siguiente criterio nos dice que esto funciona

cuando es convergente la serieP |an|.

Teorema 5.8.1. (Criterio de convergencia absoluta). SeaP

an una serie

cualquiera. SiP |an| es convergente, entonces tambien lo es P an.

Cuando la serieP |an| es convergente, diremos que P an converge ab-

solutamente. El criterio anterior afirma que toda serie absolutamente con-

vergente es, de hecho, convergente. CuandoP

an es convergente, peroP |an|

no, se dira queP

an converge condicionalmente.

Ejemplos 5.8.2. 1)P (1)n

n2.La serieP 1

n2es una serie armonica conver-

gente. Por tanto, el criterio anterior nos asegura que la serie propuesta es

absolutamente convergente.

2)P senn

n!.Consideramos la serieP | senn|

n!y estudiamos su caracter. Co-

mo | senn|n!

1n!. Por el criterio de comparacion, para probar que la serieP | senn|

n!es convergente, basta mostrar que es convergente la serieP 1

n!. La

convergencia de esta ultima serie se deduce facilmente aplicando el criterio

de DAlambert. Por tanto, queda probado que la serie propuesta es absoluta-

mente convergente.

147

5.9. Necesidad de las series en Mecanica: vi-

braciones elasticas

Para mostrar la necesidad del uso de las series en Mecanica vamos a

considerar el problema de las vibraciones mecanicas de una cuerda elastica y

homogenea.

Suponemos que en el instante inicial la cuerda esta en equilibrio sobre el

intervalo [0, L] del eje OX, manteniendola tensa y sujeta por sus extremos.

Se la aparta de su estado de equilibrio hasta adoptar la forma de la curva

y = f(x) (f(0) = f(L) = 0).

O L

y = f(x)

Y

X

Se aplica una velocidad inicial g(x) en la direccion del eje OY y la cuerda

empieza a vibrar. Denotamos por y(x, t) la forma de la cuerda en el instante

t 0. La funcion y(x, t) verifica las condiciones iniciales

y(x, 0) = f(x),y

t(x, 0) = g(x) (5.1)

y las condiciones de frontera

y(0, t) = y(L, t) = 0. (5.2)

148

En Mecanica se prueba que, en determinadas condiciones (ausencia de fric-

cion, etc.), la funcion y(x, t) que describe la posicion de la cuerda en el ins-

tante t > 0 debe verificar la llamada ecuacion unidimensional de ondas

2y

t2= a2

2y

x2, (5.3)

donde a es una constante fsica (concretamente, a2 = T/, siendo la densi-

dad y T la tension de la cuerda en la posicion de equilibrio). Para simplificar,

supongamos que g(x) 0.Facilmente se comprueba que las funciones

y(x, t) = senkpix

L cos kpita

son soluciones de la ecuacion de ondas para todo k natural. De hecho, cual-

quier combinacion lineal de estas funciones es una solucion

y(x, t) =nX

k=1

ak senkpix

L cos kpita

siendo las ak constantes cualesquiera. Si obviamos los problemas de conver-

gencia, no es difcil comprobar que la suma infinita

y(x, t) =X

1

an sennpix

L cosnpita (5.4)

tambien es solucion de la ecuacion de ondas. Notese que

y(0, t) = y(L, t) = 0,

y

t(x, 0) 0.

Por tanto, a una funcion y(x, t) de la forma (5.4) solo le falta verificar la

condicion inicial

y(x, 0) = f(x)

para ser la solucion de nuestro problema de mecanica. Como las constantes

an son arbitrarias, parece factible que podamos determinar dichas constantes

149

de modo que (5.4) tambien verifique la condicion inicial. Si hacemos t = 0 en

(5.4), obtenemos

y(x, 0) =X

n

an sen(npix/L).

Por tanto, la funcion y(x, t) dada por (5.4) verifica la condicion inicial y(x, 0) =

f(x), si escogemos los coeficientes an de forma que

f(x) =X

n

an sen(npix/L).

Esto nos advierte de que podremos conseguir que (5.4) verifique la condicion

inicial y(x, 0) = f(x) si pudieramos y supieramos desarrollar f(x) en serie de

senos multiplos de pix/L. Una vez encontrado el desarrollo en serie de senos

de f(x), los coeficientes de este desarrollo seran los an que necesitamos.

Recapitulando, podremos resolver el problema de la cuerda vibrante si la

funcion f(x) puede desarrollarse en serie de senos. Estas series se denominan

series (de senos) de Fourier y se estudian en Matematicas IV.

PROBLEMAS

1. Encontrar las sumas de las series siguientes:

a)X

n=1

1

n(n+ 1)

b)X

n=1

3

2n+

4

3n

.

c) 2 + 4 + 6 + 16+ 1

12+ 1

24+ 1

48+ .

2. Usar los criterios de comparacion para estudiar el caracter de las series:

X

n

n3 + 4,X 1

nn,X n+ 1

n2n,X 1

1 + 2n.

3. Estudiar la convergencia de las series:

X n!

2n,X n(n+ 1)

4n,X

1 an

n2

,

150

Xnen2

,X

n+ 1

2n+ 1

n

,X n

3n,X

n

n3 + 1.

4. Comprobar que la serieX

n=1

n

(2n+ 1)2nes convergente y determinar un

valor aproximado de su suma con un error menor que 103.

151