Series de tiempo con aplicaciones:Enfoque temporal

Gladys E. Salcedo E.25o Simposio Internacional de Estadística

Agosto 6,7 de 2015Armenia, Quindío

Datos 1: Series igualmente espaciadas

Mes

Turbi

edad

0 20 40 60 80 100

2040

6080

Mes

Silica

tos

0 20 40 60 80 100

050

150

Mes

Cloro

fila

0 20 40 60 80 100

040

8012

0

Mes

Nitrit

os

0 20 40 60 80 100

0.00

0.15

0.30

Mes

pH

0 20 40 60 80 100

7.08.0

9.0

Mes

Ortof

osfat

os

0 20 40 60 80 100

0.00.2

0.40.6

Datos 2: Series estacionales

Datos 3: Series desigualmente espaciadas

0 100 200 300 400

0.10.3

0.5

Delta_i

Nitrit

os

0 100 200 300 400

0.51.0

1.52.0

Delta_i

Fosfa

tos

0 100 200 300 400

7.07.5

8.08.5

Delta_i

pH

0 100 200 300 400

13

57

Delta_i

Silica

tos

0 100 200 300 400

02

46

8

Delta_i

Cloro

fila

1. Algunas generalidades

Sea (Ω,A,P) un espacio de probabilidad y sea T un conjunto deíndices, un proceso estocástico es una función X(t, ω), definida enT × Ω, tal que para cada t fijo X(t, ω) es una variable aleatoria sobre(Ω,A,P) y para cada ω fijo, X(t, ω) es una trayectoria, realización,función muestral del proceso o una serie de tiempo.

Graficamente un proceso estacionario puede representarse así:

Proceso estocástico como una familia de variables aleatorias

Proceso estocástico como una familia de trayectorias

Tiempo

Xt

0 20 40 60 80 100

−2−1

01

23

La serie de tiempo como una trayectoria

El proceso Xt, t ∈ T se dice que es estrictamente o fuertementeestacionario si las distribuciones conjuntas de (Xt1 , Xt2 , ..., Xtk)

′ y(Xt1+h, Xt2+h, ..., Xtk+h)

′ son iguales para todo t1, t2, . . . , tk, h ∈ T, osea, son invariantes a translaciones en el tiempo. Esto es,

FXt1 ,Xt2 ,...,Xtk(x1, x2, . . . , xk) = FXt1+h,Xt2+h,...,Xtk+h(x1, x2, . . . , xk).

Proceso estocástico estacionario

Dado el proceso Xt, t ∈ T se defineI la función media del proceso por

µt = E(Xt) =

∫ ∞

−∞Xt dFXt ,

I la función varianza del proceso por

σ2t = E(Xt − µt)

2 =

∫ ∞

−∞(Xt − µ)2 dFXt ,

I y la función de autocovarianza entre las variables Xt1 y Xt2 por

γx(t1, t2) = E(Xt1 − µ1)(Xt2 − µ2)

=

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞(Xt1 − µ1)(Xt2 − µ2) dFXt1 ,Xt2

.

si las integrales de Riemann-Stieltjes son finitas.

Cuando un proceso Xt, t ∈ T es estrictamente estacionario, conEX2

t < ∞, se tiene en particular que FXtk(x) permanece invariante

para todo k. Por otra parte,

FXt1 , Xt2(x1, x2) = FXt1+k,Xt2+k(x1, x2)

implicando que

i) E(Xt) = µt = µ, ∀ t ∈ T;

ii) Var(Xt) = σ2 = σ2x , ∀ t ∈ T;

iii) γx(ti, tj) = γx(|ti − tj|) = γx(k), para cualesquier ti, tj, k ∈ T .Esto es, la covarianza entre las dos variables Xti y Xtj sólodepende de su separación |ti − tj| = k.

Note que γx(0) = σ2x y γx(k) = γ(−k) , es decir, la función de

autocovarianza tiene su máximo en cero y es una función simétricaalrededor de cero.Un proceso Xt, t ∈ T que satisface las propiedades (i), (ii) y (iii) sedice que es débilmente estacionario o estacionario de segundoorden.

Xt, t ∈ T es un proceso gaussiano si y solamente si las funcionesde distribución de Xt1 , Xt2 , ..., Xtk , para cualquier k, son todasnormales multivariadas.

Cómo correlacionar las variables del proceso?

La Función de Autocorrelación Simple (FAS) del proceso Xt, t ∈ Ta rezago k se define mediante la función

ρx(k) = Corr(Xt, Xt+k) =γx(k)γx(0)

, k ∈ Z.

La FAS de un proceso estacionario cumple las siguientes propiedades:

i) ρx(0) = 1,ii) |ρx(k)| ≤ 1, ∀k ∈ Z,

iii) ρx(−k) = ρx(k), ∀k ∈ Z,iv) ρx(k) es no negativa definida en el sentido que∑n

j=1∑n

k=1 ajakρx(|ti − tj|) ≥ 0, para cualesquier realesa1, . . . , an y t1, . . . , tn de Z.

La Función de Autocorrelación Parcial(FAP) entre Xt y Xt+k

corresponde a la función de correlación entre los errores et y et+k

dada porϕx(k) = Corr(et, et+k),

donde

Xt = α1Xt+1 + α2Xt+2 + . . .+ αk−1Xt+k−1 + et

yXt+k = β1Xt+1 + β2Xt+2 + . . .+ βk−1Xt+k−1 + et+k.

Función de Autocorrelación

Cuando ambas funciones de autocorrelación, la simple y la parcial,son todas nulas para todo k = 0 se dice que el proceso es sin memoriao es un ruido blanco.Una sucesión de variables aleatorias at, t ∈ T es un proceso ruidoblanco de media cero si

i) E(at) = 0, ∀ t ∈ T

ii) γ(k) =

σ2a para k = 0

0 para k = 0,

Función de Autocovarianza de un Ruido Blanco

o sea que su esperanza es cero, su varianza es constante y losat, t = 1, 2, ..., son variables aleatorias no correlacionadas.

Transformaciones a series estacionariasDada una serie Xt, t ∈ T , considere el operador de rezagosBd, d ∈ Z+, tal que

BdXt = Xt−d, t ∈ T

I B0Xt = Xt y BdC = C, para C una constante.I A partir del operador Bd se puede construir un nuevo operador

(1 − B)d, el cual transforma la serie Xt, t ∈ T en la serie de lasd-ésimas diferencias.

Ejm. Si d = 1, se tiene

Yt = (1 − B)Xt = Xt − BXt = Xt − Xt−1,

Y1 = X2 − X1

Y2 = X3 − X2...

...

Yt−1 = Xt − Xt−1

Si d = 2, se tiene

Wt = (1 − B)2Xt = (1 − B)(1 − B)Xt = (1 − B)Yt = Yt − Yt−1,

es decir que Wt, t ∈ T es la serie con las variaciones de las primerasdiferencias, o sea la serie de las segundas diferencias de Xt, t ∈ T. .Y así sucesivamente.

Cuando la no estacionariedad de una serie se debe a que la mediapresenta tendencias polinómicas de orden d, una transformación de laserie original a través del operador (1 − B)d permite convertirla enuna serie estacionaria.

En la práctica rara vez se requieren los valores de d mayores a 2.

Ejemplos:

0 10 20 30 40 50

020

4060

80100

120140

(a)t

Xt

0 10 20 30 40 50

01000

20003000

40005000

(b)t

Xt

Series no estacionarias generadas en el programa R

Note que las series presentan tendencia, la figura (a) muestra unatendencia de tipo lineal mientras que la figura (b) presenta unatendencia de tipo cuadrático.

0 10 20 30 40 50

020

4060

80100

120140

(a)t

Xt

0 10 20 30 40 50

−30−20

−100

1020

30

(b)t

Yt=diff(Xt

)

Serie estacionaria luego de transformada

Cuando la no estacionariedad se debe a que la varianza no permanececonstante se podría realizar una Transformación de Box y Cox:

I Suponga que la varianza σ2t de la variable aleatoria Xt puede

expresarse como una función de su media, es σ2t = f (µt).

I Si T(∗) es una función cuya primera derivada existe, por laexpansión de Taylor de primer orden se puede obtener lasiguiente aproximación lineal de T(Xt) alrededor de µt:

T(Xt) ≈ T(µt) +

(dTdXt

∣∣∣∣Xt=µt

)(Xt − µt).

I Aplicando varianza a ambos lados y resolviendo el lado derechode la ecuación anterior se obtiene una aproximación lineal a lavarianza de T(Xt) dada por

Var(T(Xt)) ≈

(dTdXt

∣∣∣∣Xt=µt

)2

f (µt).

I Se desea entonces que Var(T(Xt)) = C2, esto es(dTdXt

∣∣∣∣Xt=µt

)2

f (µt) = C2

de dondeT(µt) =

∫C√f (µt)

dµt.

I Restringiendo la forma funcional de f a la familia de funcionespotencia, resulta fácil determinar la transformación T .

I Si la varianza es proporcional a µ2(1−α)t para algún α, se tiene

que

T(µt) =

∫C

µt1−α

dµt =

Cµtα

α α = 0Cln(µt) α = 0

I En general, la función T que estabiliza la varianza de Xt es

T(Xt) =

Xtα

α α = 0ln(Xt) α = 0

que es la Transformación de Box y Cox.

El valor de α puede identificarse mediante el siguiente procedimiento:

1. Divida la realización en varios subconjuntos y calcule para cadasubconjunto la media, el rango y la desviación típica.

2. Haga un gráfico cartesiano con los valores de las medias en el ejehorizontal y las desviaciones típicas en el vertical.

3. Si los puntos presentan una tendencia paralela al eje horizontaltome α = 1 y en tal caso no se necesita una transformación. Silos puntos se aproximan a una recta con pendiente positiva tomeα = 0 y en este caso la transformación logarítmica es adecuada.

Valores de α para la transformación de Box y Cox

2. Modelos Lineales para Series de Tiempo

De acuerdo al tipo de relación lineal que se establezca entre lasvariables del proceso, los modelos lineales para series de tiempopueden ser Autorregresivos(AR), de Medias Móviles(MA) yAutorregresivos de Medias Móviles (ARMA).

2.1. Los Procesos Autorregresivos

El proceso Xt, t ∈ T es Autorregresivo de orden p, p ∈ Z+, si

Xt = C + ϕ1Xt−1 + ϕ2Xt−2 + · · ·+ ϕpXt−p + at,

donde at, t ∈ T es un ruido blanco.

Notación: AR(p).

Si el proceso es estacionario en media, y tomando esperanza a amboslados de esta ecuación se tiene

E[Xt] = E[C] + ϕ1E[Xt−1] + ϕ2E[Xt−2] + · · ·+ ϕpE[Xt−p] + E[at],

µ = C + ϕ1µ+ ϕ2µ+ · · ·+ ϕpµ, de donde,

C = µ(1 −p∑

i=1

ϕi).

I Reemplazando C y denotando por Xt = Xt − µ, se tiene

Xt = ϕ1Xt−1 + ϕ2Xt−2 + · · ·+ ϕpXt−p + at,

la cual corresponde a un AR(p) de media cero.I En términos del operador B el modelo queda en la forma

Xt = ϕ1BXt + ϕ2B2Xt + · · ·+ ϕpBpXt + at

(1 − ϕ1B − ϕ2B2 − · · · − ϕpBp)Xt = at,

ϕp(B)Xt = at.

I ϕp(B) = 0 es la ecuación característica del proceso.I El proceso AR(p) es estacionario si todas las raíces de ϕp(B) = 0

están fuera del círculo unitario.

2.1.1. Procesos Autorregresivos de orden 1

En particular cuando p = 1 se tiene

Xt = ϕ1Xt−1 + at,

donde ϕ1(B) = 1 − ϕ1B y la ecuación característica 1 − ϕ1B = 0tiene su raíz fuera del círculo unitario cuando |ϕ1| < 1, lo cualcorresponde a la condición de estacionariedad para el proceso AR(1).

Si el proceso también es estacionario en varianza se tiene que

V(Xt) = ϕ21V(Xt) + V(at),

de donde

σ2x =

σ2a

(1 − ϕ21).

Luego la condición de estacionariedad, |ϕ1| < 1, también garantizaque σ2

x sea finita y positiva.

I La función de autocorrelación simple del proceso AR(1) tiene laforma

ρx(k) = ϕk1, para |k| ≥ 1,

y por lo tanto cuando el proceso es estacionario, la función ρx(k)decrece a cero en forma exponencial.

I La función de autocorrelación parcial tiene la forma

ϕx(k) =

ϕ1 si k = 10 si k = 1.

I Gráficamente:

0 2 4 6 8 10

0.00.2

0.40.6

0.81.0

Rezago

FAS

2 4 6 8 10

0.00.2

0.40.6

Rezago

FAP

FAS y FAP de un modelo AR(1) para ϕ1 = 0.65

Ejemplo:

Mes

Color Ri

o Quind

io

0 20 40 60 80 100 120

23

45

67

89

Serie Color Rio Quindío

0 5 10 15 20

−0.20.0

0.20.4

0.60.8

1.0

Rezago

FAS

5 10 15 20

−0.20.0

0.20.4

0.60.8

Rezago

FAP

FAS y FAP para Color

Modelo:Xt = 3.51 + 0.86Xt−1 + at

Mes

Residua

les colo

r

0 20 40 60 80 100 120

−2−1

01

23

Serie residual para modelo de Color

0 5 10 15 20

−0.20.0

0.20.4

0.60.8

1.0

Rezago

FAS

5 10 15 20

−0.10.0

0.10.2

Rezago

FAP

FAS y FAP para residuales de Color

2.1.2. Procesos Autorregresivos de orden 2

Cuando p = 2, se tiene

Xt = ϕ1Xt−1 + ϕ2Xt−2 + at,

donde ϕ2(B) = 1 − ϕ1B − ϕ2B2 = 0, es la ecuación característica ytiene sus raíces fuera del círculo unitario cuando se cumplen las tressiguientes condiciones:

|ϕ2| < 1,

ϕ1 + ϕ2 < 1,

ϕ2 − ϕ1 < 1,

las cuales corresponden a las condiciones de estacionariedad delproceso AR(2), y además también garantizan que la varianza de Xt seafinita, dado que

Var(Xt) =(1 − ϕ2)σ

2a

(1 + ϕ2)(1 − ϕ1 − ϕ2)(1 + ϕ1 − ϕ2).

Si el modelo AR(2) se premultiplica por Xt−k y se toma valoresperado se llega a la ecuación en diferencias

γx(k) = ϕ1γx(k − 1) + ϕ2γx(k − 2), |k| ≥ 1.

Al dividir la anterior ecuación entre γx(0) se obtiene

ρx(k) = ϕ1ρx(k − 1) + ϕ2ρx(k − 2), |k| ≥ 1,

cuya ecuación característica es justamente

ϕ2(B) = 1 − ϕ1B − ϕ2B2 = 0.

Luego la función de autocorrelación simple ρx(k), para el procesoAR(2), depende de la solución de la ecuación característica, así:

i) Si ambas raíces denotadas G−11 y G−1

2 son reales pero distintasentonces ρx(k) = A1Gk

1 + A2Gk2 con A1 y A2 dos constantes

resultantes de aplicar las condiciones iniciales ρ(0) = 1 yρ1 = ϕ1

1−ϕ2.

ii) Si ambas raíces son reales e iguales (G−1), entoncesρx(k) = A1Gk + A2kGk donde A1 y A2 se obtienen de lascondiciones iniciales.

iii) Si las raíces son un par de complejos conjugados denotados G−11

y G−12 , entonces la función de autocorrelación tiene una forma

sinusoidal amortiguada dada por

ρx(k) = signo(ϕ1)k r|k| sin(kω + α)

sinα

donde r =√−ϕ2, cosω = ϕ1

2√−ϕ2

, tanα = 1+r2

1−r2 tanω.

La función de autocorrelación parcial del proceso AR(2) tiene laforma

ϕx(k) =

ρ1 = ϕ1

1−ϕ2si k = 1

ρ2−ρ21

1−ρ21= ϕ22 si k = 2

0 si k ≥ 3.

En resumen gráficamente:

0 2 4 6 8 10

−0.4−0.2

0.00.2

0.40.6

0.81.0

Rezago

FAS

2 4 6 8 10

−0.6−0.4

−0.20.0

0.20.4

Rezago

FAP

FAS y FAP de un AR(2) para ϕ1 = 0.85 y ϕ2 = −0.55

En general, para el proceso AR(p)

ϕp(B)Xt = at,

la ecuación característica ϕp(B) = 0, tiene p raíces, G−11 ,

G−12 , ...,G−1

p , con lo cual se genera la solución general de la ecuaciónen diferencias, de la forma

ρx(k) = A1Gk1 + A2Gk

2 + · · ·+ ApGkp, |Gi| < 1,

donde los Ai se obtienen de las condiciones iniciales y los Gi sonreales o complejos; por lo tanto la función de autocorrelación simpleρx(k) es una combinación lineal de funciones sinusoidalesamortiguadas.

Note que la función de autocorrelación parcial caracteriza losprocesos autorregresivos, ya que el número de valores no nulos deesta función corresponden a su orden.

Ejemplo:

Mes

Turbidez

0 20 40 60 80 100

2040

6080

100

Serie de Turbidez Ciénaga Grande

0 5 10 15 20

−0.20.0

0.20.4

0.60.8

1.0

Rezago

FAS

5 10 15 20

−0.2−0.1

0.00.1

0.20.3

0.40.5

Rezago

FAP

FAS y FAP para la serie de Turbidez

El modelo:

Xt = C + ϕ1Xt−1 + ϕ2Xt−2 + at,

ϕ1 ϕ2 C0.3457 0.3434 56.5328

(0.0901) (0.0905) 4.7558

Modelo sin constante:

Xt = ϕ1Xt−1 + ϕ2Xt−2 + at,

ϕ1 ϕ2 C0.3457 0.3434 -0.7055

(0.0901) (0.0905) 4.7558

Normalidad residual:

Test p-valorKolmogorov-Smirnov 0.489

Mes

Residua

les

0 20 40 60 80 100

−200

2040

60

Serie residual de Turbidez Ciénaga Grande

0 5 10 15 20

−0.20.0

0.20.4

0.60.8

1.0

Rezago

FAS

5 10 15 20

−0.2−0.1

0.00.1

0.2

Rezago

FAP

FAS y FAP para la serie residual del modelo AR(2)

2.2. Procesos de Medias Móviles

Cuando las variables del proceso dependen solamente de las variablesde un proceso ruido blanco, surgen los modelos de Medias Móviles(MA).

Un modelo de Medias Móviles de orden q está dado por

Xt = at − θ1at−1 − θ2at−2 − · · · − θqat−q, q ∈ Z+,

donde at, t ∈ T es un proceso de ruido blanco.I En términos del operador de rezagos B, el modelo MA(q) puede

representarse como

Xt = (1 − θ1B − θ2B2 − · · · − θqBq)at

Xt = θq(B)at,

donde θq(B) representa el polinomio característico del proceso.

I De la ecuación Xt = at − θ1at−1 − θ2at−2 − · · · − θqat−q,

I observe que E(Xt) = 0 y Var(Xt) = (1 + θ21 + · · ·+ θ2

q)σ2a,

I así que el proceso MA(q) es siempre estacionario y si las raícesde la ecuación θq(B) = 0 caen fuera del círculo unitario, se diceque el proceso es invertible.

2.2.1. Procesos de Medias Móviles de orden 1

En el modelo MA(q), cuando q = 1 se tiene el proceso de mediasmóviles de orden 1, MA(1)

Xt = (1 − θ1B)at,

así que el proceso es invertible si |θ1| < 1.

I La función de autocorrelación del proceso es dada por

ρx(k) =

−θ1

1+θ21

si k = 1

0 si k > 1,

I La función de autocorrelación parcial es dada por

ϕx(k) =−θk

1(1 − θ21)

1 − θ2(k+1)1

, k ≥ 1.

I En un MA(1) la FAS es cero a partir del rezago dos, mientrasque la FAP decrece a cero exponencialmente.

0 2 4 6 8 10

−0.50.0

0.51.0

Rezago

FAS

2 4 6 8 10

−0.4−0.3

−0.2−0.1

0.00.1

Rezago

FAP

FAS y FAP de un MA(1) para θ1 = −0.75

2.2.2. Procesos de Medias Móviles de orden 2

I Cuando q = 2 se tiene el proceso Xt = (1 − θ1B − θ2B2)at.

I El proceso estacionario, y las condiciones de invertibilidad son:

|θ2| < 1, θ1 + θ2 < 1, θ2 − θ1 < 1.

I La función de autocorrelación del proceso MA(2) es dada por

ρx(k) =

−θ1(1−θ2)

1+θ21+θ2

2si k = 1

−θ21+θ2

1+θ22

si k = 2

0 si k > 2

0 2 4 6 8 10

−0.20.0

0.20.4

0.60.8

1.0

Rezago

FAS

2 4 6 8 10

−0.3−0.2

−0.10.0

0.10.2

Rezago

FAP

FAS y FAP de un MA(2) para θ1 = 0.94 y θ2 = −0.33

En general, en el proceso MA(q),

Xt = at − θ1at−1 − θ2at−2 − · · · − θqat−q,

la varianza es dada por Var(Xt) = σ2a∑q

j=0 θ2j .

I Por su parte, la función de autocorrelación simple tiene la forma

ρx(k) =

−θk+θ1θk+1+···+θq−kθq

1+θ21+···+θ2

qsi k = 1, 2, . . . , q

0 si k > q.

I Como en el proceso MA(2), la función de autocorrelación parcialdel proceso MA(q) decae a cero, en forma exponencial osinusoidal, dependiendo de las raíces de la ecuacióncaracterística 1 − θ1B − · · · − θqBq = 0.

I Note que, en los procesos de medias móviles, el número devalores no nulos de la función de autocorrelación simplecaracterizan su orden.

Muchas situaciones prácticas corresponden a procesos mixtos, esdecir que tienen parte autorregresiva y parte promedio móvil, seconocen como procesos ARMA.

2.3. Procesos de Autoregresivos de Medias Móviles

Un modelo ARMA(p, q) con p el orden de la parte autorregresiva y qel orden del promedio móvil, tiene por ecuación

Xt = ϕ1Xt−1+ϕ2Xt−2+· · ·+ϕpXt−p−θ1at−1−θ2at−2−· · ·−θqat−q+at.

En términos del operador de rezagos la ecuación toma la forma

ϕp(B)Xt = θq(B)at,

dondeϕp(B) = 1 − ϕ1B − ϕ2B2 − · · · − ϕpBp

yθq(B) = 1 − θ1B − θ2B2 − · · · − θqBq.

La estacionariedad y la invertibilidad del proceso depende de que lasraices de las ecuaciones ϕp(B) = 0 y θq(B) = 0 estén fuera del C.U.

I Para construir la FAS se se multiplica la ecuación del modelo aambos lados por Xt−k y se toman las esperanzas

γk −ϕ1γk−1− . . .−ϕpγk−p = E[Xt−kat−1]−· · ·−θqE[Xt−kat−q].

Puede verificarse, que para k > q los valores esperados se hacencero. Dividiendo luego por γ0 se llega a

ρk − ϕ1ρk−1 − · · · − ϕpρk−p = 0,

o sea,ϕp(B)ρk = 0, k > q.

I Por lo tanto para valores de k > q la FAS tiene el mismocomportamiento que el ρk de un AR(p) y para k = 1, 2, · · · , q, elcomportamiento depende de los parámetros ϕi y θi. Así que laFAS tiene un comportamiento irregular en los primeros q valoresy a partir de allí se comporta como un AR(p).

I En cuanto a la función de autocorrelación parcial, ya que elproceso ARMA(p, q) contiene el proceso MA(q), la FAP cae enforma exponencial o sinusoidal dependiendo de las raices de lasecuaciones ϕp(B) = 0 y θq(B) = 0.

2.3.1. Procesos ARMA(1,1)

La situación más simple en los procesos ARMA(p, q) ocurre cuandop = q = 1. En tal caso la ecuación del proceso está dada por

(1 − ϕ1B)Xt = (1 − θ1B)at

o tambiénXt = ϕ1Xt−1 − θ1at−1 + at

así el proceso es estacionario cuando |ϕ1| < 1 y para que seainvertible se requiere que |θ1| < 1.

I La FAS de un ARMA(1, 1) es

ρk =

1 para k = 0

(ϕ1−θ1)(1−ϕ1θ1)

1+θ21−2ϕ1θ1

para k = 1

ϕ1ρk−1 para k > 1

I Note que ρk tiene un decrecimiento geométrico que se inicia apartir de k = 1.

En cuanto a la función de autocorrelación parcial, ya que el procesocontiene un MA(1) la FAP decrece exponencialmente, y su formadepende de las magnitudes y signos de los parámetros del modelo, loque gráficamente puede representarse en la siguiente forma:

0 2 4 6 8 10

0.00.2

0.40.6

0.81.0

Rezago

FAS

2 4 6 8 10

−0.10.0

0.10.2

0.3

Rezago

FAP

FAS y FAP de un ARMA(1,1) para ϕ1 = 0.87 y θ1 = −0.62

0 2 4 6 8 10

−0.20.0

0.20.4

0.60.8

1.0

Rezago

FAS

2 4 6 8 10

−0.6−0.4

−0.20.0

0.20.4

0.6

Rezago

FAP

FAS y FAP de un ARMA(1,1) para ϕ1 = 0.73 y θ1 = −0.45

2.4. Procesos ARIMA

Lo analizado hasta ahora parte del supuesto de que el procesoXt, t ∈ T es estacionario en media. De no serlo sería necesario unatransformación del tipo Yt = (1 − B)dXt, y el análisis se haríaentonces sobre el proceso Yt, t ∈ T.Para obtener nuevamente Xt se requiere la transformación inversa

Xt =Yt

(1 − B)d ,

y por ejemplo para d = 1 se tiene

Xt =Yt

(1 − B)=

∞∑i=0

BiYt =

∞∑i=0

Yt−i =

t∑j=−∞

Yj,

o sea que Xt resulta ahora de un proceso de “Integración” de Yt.

La ecuación del proceso después de restar la media, toma entonces lasiguiente forma:

ϕp(B)Yt = θq(B)at,

que corresponde a

ϕp(B)(1 − B)dXt = θq(B)at,

o sea que depende de tres parámetros (p, d, q) con p como el orden dela parte autorregresiva, q el orden de la parte promedio móvil y d elorden de diferenciación para conseguir estacionariedad en media. Sedice entonces que el proceso Xt, t ∈ T es del tipo ARIMA(p, d, q),esto es, Autorregresivo Integrado de Médias móviles.

Ejemplo:

Semestre

Estudian

tes de P

eriodism

o

0 5 10 15 20 25 30

100200

300400

500

Semestre

Serie d

iferencia

da

0 5 10 15 20 25 30

−400

2040

0 5 10 15

−0.40.0

0.40.8

Rezago

FAS

2 4 6 8 10 12 14

−0.20.0

0.20.4

0.6

Rezago

FAP

Serie de ingresos semestrales a Periodismo UQ

Modelo ARIMA(1,1,0):

ϕ1(B)(1 − B)Xt = at,

(1 − 0.68B)Zt = at

Zt = 0.68Zt−1 + at.

Semestre

Residua

les

0 5 10 15 20 25 30

−40−20

020

Serie residual para modelo de Periodismo

p-valor test de Kolmogorov-Smirnov = 0.8378

0 5 10 15

−0.4−0.2

0.00.2

0.40.6

0.81.0

Rezago

FAS

2 4 6 8 10 14

−0.3−0.2

−0.10.0

0.10.2

0.3

Rezago

FAP

FAS y FAP para la serie residual

2.5. Procesos SARIMASuponga que se desconoce que el proceso Xt, t ∈ T presenta unacomponente periódica y se le ajusta un modelo ARIMA(p, d, q), estoes

ϕp(B)(1 − B)dXt = θq(B)Nt.

Obviamente Nt, t ∈ T no será un ruido blanco, y presentarácorrelaciones entre períodos estacionales, esto es

ρN(ks) =E(Nt − µN)(Nt−ks − µN)

σ2N

= 0, k = 1, 2, . . . .

Puede demostrarse que los períodos estacionales siguen un modeloARIMA(P,D,Q)

ΦP(Bs)(1 − Bs)DNt = ΘQ(Bs)at.

dondeΦP(Bs) = 1 − Φ1Bs − Φ2B2s − · · · − ΦPBPs

yΘQ(Bs) = 1 −Θ1Bs −Θ2B2s − · · · −ΘQBQs.

si las raíces de esos polinomios caen fuera del círculo unitario, delmodelo del proceso Nt, t ∈ T se puede llegar a la expresión

ϕp(B)ΦP(Bs)(1 − Bs)D(1 − B)dXt = θ(B)ΘQ(Bs)at,

que se denomina el modelo ARIMA estacional multiplicativo oSARIMA(p, d, q)× (P,D,Q)s.

Mes

Salinidad

0 20 40 60 80 100

05

1015

2025

3035

Serie Salinidad mensual Ciénaga Grande de Santa Marta

0 5 10 15 20 25 30

−0.20.0

0.20.4

0.60.8

1.0

Rezago

FAS

0 5 10 15 20 25 30

−0.20.0

0.20.4

0.6

Rezago

FAP

FAS y FAP para la serie de salinidad

Mes

Salinidad

diferenc

iada

0 20 40 60 80 100

−20−10

010

20

Serie salinidad diferenciada CGSM

0 5 10 15 20 25 30

−0.20.0

0.20.4

0.60.8

1.0

Rezago

FAS

0 5 10 15 20 25 30

−0.3−0.2

−0.10.0

0.10.2

Rezago

FAP

FAS y FAP para la serie de salinidad diferenciada

Algunos modelos candidatosModelo SARIMA AIC σ2

a Test K-S

(0, 1, 1)(1, 0, 0)12 644.41 31.08 0.3788(0, 1, 0)(1, 0, 1)12 648.82 32.15 0.162(0, 1, 0)(1, 0, 0)12 648.06 33.33 0.083(0, 1, 1)(0, 0, 1)12 651.15 34.80 0.292(0, 1, 0)(0, 0, 1)12 653.27 36.37 0.220

Mes

Residuales

Modelo 2

0 20 40 60 80 100

−20−10

010

Serie residual para el Modelo 1

0 5 10 15 20 25 30

−0.20.0

0.20.4

0.60.8

1.0

Rezago

FAS

0 5 10 15 20 25 30

−0.2−0.1

0.00.1

0.2

Rezago

FAP

FAS y FAP de la serie residual del Modelo 1

Referencias Bibliográficas

1. Box,G.E.P. and Jenkins,G.M.(1976), Time Series AnalysisForescasting and Control, 2nd. Ed., Holdan-Day, San Francisco.

2. Heyse, J.F. and Wei, W.W.S. (1984), Partial ProcessAutocorrelation for Vector Time Series, Tech. Report No.30,Department of Statistics, Temple University.

3. Lutkepohl, H. (1991), Introduction to Multiple Time SeriesAnalysis (MTS), Heidelberg. Springer Verlang.

4. Reinsel, G.C. (1993), Elements of Multivariate Time SeriesAnalysis, Springer Verlag, New York.

5. Wei, W.W.S. (1990), Time Series Analysis: Univariate andMultivariate methods, Addison Wesley, California.