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Hctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemtica UdeC. 1

1 Series de Fourier

1.1 El espacio PC [a, b]Definicin 1 f : [a, b] R es seccionalmente continua en[a, b] si f es continua en[a, b] salvo quizs en un nmero finito de puntos {x1, x2, ..., xn} en los cuales f tieneuna discontinuidad de salto finito, esto es, para cada i {1, ..., n} existen

fx+i= lim

h0+f (xi + h) R

fxi= lim

h0+f (xi h) R

La magnitud del salto en xi se define como fx+i f

xi

PC [a, b] = {f : [a, b] R / f es secc. continua}Observe que las funciones definidas en el intervalo I = [1, 1]

f (x) =

1xsi x 6= 0

0 si x = 0, g (x) =

sin 1

xsi x 6= 0

1 si x = 0

no son seccionalmete continuas.Tambin es importante mencionar que si f PC [a, b], entonces R b

af (x) dx existe

y es independiente de los valores que tome f en los posibles puntos de discontinuidad.Las siguientes propiedades sern de relevancia para funciones en este espacio.

Definicin 2 Sea f : [a, a] R.f es par x [a, a] : f (x) = f (x) ( graf(f) es simtrico c/r al eje y)f es impar x [a, a] : f (x) = f (x) ( graf(f) es simtrico c/r al

origen )

Observacin 3 Sea f : [a, a] R integrable.f es par

R aa f (x) dx = 2

R a0f (x) dx

f es impar R aa f (x) dx = 0

Una propiedad importante para este tipo de funciones es:

(par)(par) = (impar)(impar) = par(par)(impar) = (impar)(par) = imparToda funcin f : [a, b] R puede descomponerse como la suma de una funcin

par y una funcin impar. De hecho, con

fp (x) =f (x) + f (x)

2, fi (x) =

f (x) f (x)2


se tiene

f = fp + fi

Adems, dada f : [0, a] R, ella puede extenderse:

a) a una funcin par en [a, a]

f (x) =

f (x) si a x < 0f (x) si 0 x a

b) a una funcin impar en [a, a]

f (x) =

f (x) si a x < 0f (x) si 0 x a

Ahora, si se considera en este conjunto las operaciones suma y producto porescalar de funciones, se tiene un espacio vectorial.En este espacio la frmula

f g =Z ba

f (x) g (x) dx

verifica las propiedades de un producto interior, excepto que

f f =Z aa

f (x)2 dx = 0 NO IMPLICA f = 0

Por esto se define la relacin de equivalencia

f = g c.t.p. f (x) = g (x) , x [a, b]E, con m (E) = 0

Esta relacin se expresa diciendo que: f = g casi en todas partes.Esencialmente una relacin de equivalencia es una relacin de igualdad, bajo la

cual dos funciones equivalentes se consideran iguales. As, toda funcin f = 0c.t.p. se considera como la funcin nula.Esto permite considerar a f g definido antes como un producto interior en

PC [a, b], el cual induce la norma

kfk =Z b

a

f (x)2 dx

1/2En definitiva, tenemos el espacio vectorial normado (tambin espacio euclidiano)

(PC [a, b] , kk) .


La convergencia en este espacio se denomina convergencia en media o con-vergencia cuadrtica.

La sucesin (fn) en PC [a, b] converge en media a f en PC [a, b] si, y slo sikfn fk 0, cuando n. Se escribe, f = lim fn [en media] en [a, b] .Luego, f = lim fn [en media] en [a, b]

Z b

a

(fn (x) f (x))2 dx1/2

0

Z ba

(fn (x) f (x))2 dx 0

De un teorema anterior se sigue que, si fn f [unif] en [a, b],entonces lim (fn (x) f (x)) = 0 [unif] en [a, b] y

lim

Z ba

(fn (x) f (x))2 dx =Z ba

lim (fn (x) f (x))2 dx

=

Z ba

0 dx = 0

lo que muestra que f = lim fn [en media] en [a, b] .

O sea, [cv. unif] [cv. en media].

Observacin 4 No hay relacin entre convergencia puntual y convergencia en me-dia.

Para una seriePfn, si la sucesin de sumas parciales converge a la funcin f

en PC [a, b] se escribir

f =Xn=1

fn [en media]

o bien, f Xn=1

fn


1.2 Desarrollos ortogonales

Definicin 5 Sea F un espacio de funciones dotado de un producto interior. Sedice que

B = {1,2, ...,n, ...} = {n}nNes una base ortogonal de F si:a) i, j N , i 6= j i j = 0b) Para cada f F existen escalares (cn)nN tales que f

Pcnn

Una base ortogonal se denomina tambin un sistema ortogonal completo.

Cuando f Pcnn los coeficientes se determinan como sigue:

Fijado k N,

f k = Xn=1

cnn

! k

=Xn=1

cnn k= ck (k k)

y as

ck =f kk k

=1

kkk2Z ba

f (x)k (x) dx

con

kkk2 =Z ba

k (x)2 dx

El coeficiente

ck =1

kkk2Z ba

f (x)k (x) dx

se llama coeficiente generalizado de Fourier y

Xn=1

cnn

se llama serie generalizada de Fourier de f.


1.3 Sistema trigonomtrico en [,]En el espacio PC [,] la familia

B = {1, cosx, sinx, ..., cosnx, sinnx, ...}es un sistema ortogonal completo, llamado sistema trigonomtrico.Para este sistema se tiene:

k1k =Z

dx

1/2=2

kcosnxk =Z

cos2 nxdx

1/2=

ksinnxk =Z

sin2 nxdx

1/2=

y dada f PC [,], su desarrollo en serie de Fourier se escribe

f a02+

Xn=1

[an cosnx+ bn sinnx]

De la frmula general para los coeficientes se sigue que

a02

=1

2

Z f (x) dx

an =1

Z f (x) cosnx dx

bn =1

Z f (x) sinnx dx

Ejemplo 6 Encuentre el desarrollo en serie de Fourier en PC [,] de las fun-ciones:a) f (x) = sin 3x.

b) f (x) = |x| .

c) f (x) =0 si x 01 si 0 < x

La grfica de f es:

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-3 -2 -1 0 1 2 3x


y los coeficientes de la serie de Fourier de f estn dados por

a0 =1

R f (x) dx =

1

R 0dx = 1

an =1

R f (x) cosnxdx =

1

R 0cosnxdx = 1

sinnn

= 0

bn =1

R f (x) sinnxdx =

1

R 0sinnxdx = 1

cosn1

n

y considerando que cosn = (1)n se obtiene

bn =

0 si n es par2n

si n es impar

Luego, la serie de Fourier de f es

1

2+2

Xn=1

1

2n 1 sin (2n 1)x

=1

2+2

sinx+

1

3sin 3x+

1

5sin 5x+ ...

Las sumas parciales, polinomios trigonomtricos, de esta serie son:

T0 (x) =12, T1 (x) = T2 (x) = 12 +

2sinx ,

T3 (x) = T4 (x) =12+ 2

sinx+ 2

3sin 3x , etc.

Los siguientes son grficos de cada uno de stos (en azul), junto a la grfica def (en rojo).

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-3 -2 -1 0 1 2 3x

y = T0 (x)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-3 -2 -1 0 1 2 3x

y = T1 (x) =12+ 2

sinx

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-3 -2 -1 0 1 2 3x

y = T3 (x)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-3 -2 -1 0 1 2 3x

y = T9 (x)

con T9 (x) = 12 +2

sinx+ 1

3sin 3x+ 1

5sin 5x+ 1

7sin 7x+ 1

9sin 9x


1.4 Sistema trigonomtrico en [0,]

En el espacio PC [0,] las familiasB1 = {1, cosx, ..., cosnx, ...}B2 = {sinx, ..., sinnx, ...}

son sistemas ortogonales completos.En efecto:La ortogonalidad queda de ejercicio.Ahora, sea f PC [0,] y considere la extensin par de f a [,], esto es,

fp : [,] R

fp (x) =

f (x) si 0 x f (x) si x < 0

Esta funcin fp tiene un desarrollo en serie de Fourier en el sistema ortogonal{1, cosx, sinx, ..., cosnx, sinnx, ...} :

fp a02+

Xn=1

[an cosnx+ bn sinnx]

donde

a0 =1

Z fp (x) dx

an =1

Z fp (x) cosnxdx

bn =1

Z fp (x) sinnxdx

Pero como fp es par

a0 =2

Z 0

f (x) dx

an =2

Z 0

f (x) cosnxdx

bn = 0

Luego, el desarrollo anterior queda

f a02+

Xn=1

an cosnx

que corresponde a una serie de cosenos para f.Queda de ejercicio describir el desarrollo en serie de senos para f


Ejemplo 7 Sea f : [0,] R

f (x) =

1 si 0 x

2

1 si 2< x

Encontrar los desarrollos de f en los dos sistemas ortogonales anteriores.

La grfica de f :(no considerar el segmento vertical en x = 2)

-1

-0.5

0

0.5

1

0.5 1 1.5 2 2.5 3x

a) Desarrollo en serie de cosenos.- Los coeficientes son:

a0 =2

R 0f (x) dx = 0

an =2

R 0f (x) cosnxdx = 2

hR /20

cosnxdxR /2cosnxdx

i= 4

nsin 1

2n.

El valor de sin n2segn los valores de n N est dado por:

n 1 2 3 4 5sin n

21 0 -1 0 1

... etc.

En general,

sinn2=

0 si n es par1 si n es impar

Luego, la serie de Fourier de cosenos de f es

4

Xn=1

(1)n+1

(2n 1) cos (2n 1)x

=4

cosx 1

3cos 3x+

1

5cos 5x ...

Las sumas parciales y sus grficas son

T1 (x) =4cosx , T3 (x) = 4 cosx

43cos 3x , etc.

-1

-0.5

0

0.5

1

0.5 1 1.5 2 2.5 3x

y = 4cosx

-1

-0.5

0

0.5

1

0.5 1 1.5 2 2.5 3x

y = T3 (x)


-1

-0.5

0

0.5

1

0.5 1 1.5 2 2.5 3x

y = T11 (x)

donde

T11 (x) =4

cosx 1

3cos 3x+ 1

5cos 5x 1

7cos 7x+ 1

9cos 9x 1

11cos 11x

.

b) Desarrollo en serie de senos.- Los coeficientes son:

bn =2

R 0f (x) sinnxdx = 2

hR /20

sinnxdxR /2sinnxdx

i= 2

cosn+12 cos 12n

n

Con g (n) = cosn + 1 2 cos 12n se tiene: g (1) = 0 , g (2) = 4 , g (3) = 0 ,

g (4) = 0En general,

cosn + 1 2 cos 12n =

4 si n = 4k 2 con k N0 si n 6= 4k 2 con k N

Luego, la serie de Fourier de senos de f es

8

Xn=1

1

4n 2 sin (4n 2)x

=8

1

2sin 2x+

1

6sin 6x+

1

10sin 10x+ ...

Las sumas parciales y sus grficas son:

-1

-0.5

0

0.5

1

0.5 1 1.5 2 2.5 3x

y = 4sin 2x

-1

-0.5

0

0.5

1

0.5 1 1.5 2 2.5 3x

y = T6 (x)


-1

-0.5

0

0.5

1

0.5 1 1.5 2 2.5 3x

y = T18 (x)

dondeT18 (x) =

8

12sin 2x+ 1

6sin 6x+ 1

10sin 10x+ 1

14sin 14x+ 1

18sin 18x

1.5 Sistemas trigonomtricos para [p, p] y [a, b]

En el espacio PC [p, p] la familian1, cos nx

p, sin nx

p

onN

es un sistema ortogonal

completo.Queda de tarea mostrar la ortogonalidad.Para la completitud, tomamos f PC [p, p] y se considera la funcin :

[,] [p, p] , (t) = pt. Se tiene entonces g = f y g PC [,]. Luego,

g (t) a02+

Xn=1

[an cosnt+ bn sinnt]

donde a0 = 1R g (t) dt , an =

1

R g (t) cosntdt , bn =

1

R g (t) sinntdt.

Al hacer pt = x, se obtiene g (t) = f

pt= f (x) y as

f (x) a02+

Xn=1

an cos

nxp+ bn sin

nxp

y mediante el cambio de variables t =

px las integrales se transforman a

a0 =1

p

Z ppf (x) dx

an =1

p

Z ppf (x) cos

nxpdx

bn =1

p

Z ppf (x) sin

nxpdx

Ejercicio 1 Encontrar el desarrollo en serie de Fourier en PC[2, 2] de la funcin

f (x) =

0 si 2 x 0x si 0 < x 2


En forma similar a la discusin anterior, se muestra que en el espacio PC [a, b] lafamilia

1, cos 2n

bax, sin2nbax

nN es un sistema ortogonal completo.

Para cada f PC [a, b]

f (x) a02+

Xn=1

an cos

2nb ax+ bn sin

2nb ax

con

a0 =2

b a

Z ba

f (x) dx

an =2

b a

Z ba

f (x) cos2nb ax dx

bn =2

b a

Z ba

f (x) sin2nb ax dx

Ejercicio 2 Encontrar el desarrollo en serie de Fourier enPC [8, 10] def (x) =

1 si 8 x 910 x si 9 < x 10

1.6 Funciones peridicas

Definicin 8 Una funcin f : R R es peridica de periodo T , T 6= 0, six R : f (x+ T ) = f (x)

Si T es un periodo para la funcin f , entonces kT tambin es un periodo, paratodo k Z. El menor periodo positivo se llama periodo fundamental. De aquen adelante nos referiremos slo a periodo para designar periodo fundamental.Por ejemplo, las funciones seno y coseno son peridicas de periodo 2. Las

funciones f (x) = sin nxLy g (x) = cos nx

Lson de periodo 2L

n.

Sea f PC [a, b] y consideremos la extensin peridica de f a toda la recta real,la cual denotaremos por fe : R R

fe (x) = f (x+ ko (b a))donde ko Z es el nico entero que verifica x+ k0 (b a) [a, b] .fe es seccionalmente continua en todo intervalo de la forma [c, c+ (b a)] .

Luego, podemos obtener el desarrollo en serie de Fourier de fe en [c, c+ (b a)].Este desarrollo coincide con el de f en [a, b] puesto que:Si g es peridica de periodo (b a), entoncesZ b

a

g (x) dx =

Z c+(ba)c

g (x) dx

Finalmente, llamamos serie de Fourier de la funcin fe a la serie de Fourier def PC [a, b] .


1.7 Teoremas para series de Fourier

Definicin 9 Una funcin f : R R es seccionalmente continua ai en cualquierintervalo acotado ella tiene slo un nmero finito de discontinuidades de salto. Enotras palabras, dados a < b, existen a a1 < a2 < ... < an b tales que f escontinua en todo intervalo abierto ]aj, aj+1[ y existen los lmites

fa+j= lim

h0+f (aj + h)

faj= lim

h0+f (aj h)

Definicin 10 Una funcin f : R R es seccionalmente suave (seccionalmetediferenciable) si f es seccionalmente continua y f 0 es seccionalmente continua.Note que f 0 no est definida en todos los puntos.

Ejemplos .....

Teorema 11 de Fourier sobre convergencia puntualSea f : R R seccionalmente suave y de periodo 2L. Entonces la serie de

Fourier de f converge en cada punto x a 12[f (x+) + f (x)] , esto es

1

2

fx++ f

x=a02+

Xn=1

han cos

nxL

+ bn sinnxL

iNote que, en un punto de continuidad de f, 1

2[f (x+) + f (x)] = f (x) y en un

punto de discontinuidad 12[f (x+) + f (x)] es el promedio del salto.

Ejemplo 12 Sea f : R R

f (x) =

1 si 0 x < 0 si x < 0

de periodo 2

Obtener la serie de Fourier de f y trazar de la funcin definida por esta serie.

Ejemplo 13 Use el ejemplo anterior para obtener un desarrollo en serie para .

Teorema 14 (sobre la integracin de series de Fourier)Sea f : R R una funcin de periodo 2L y seccionalmente continua y sea

a02+

Xn=1

han cos

nxL

+ bn sinnxL

isu serie de Fourier. Entonces


i) la serie puede ser integrada trmino a trmino y el valor de la serie integradaes la integral de f . Ms precisamente,Z b

a

f (x) dx =

Z ba

a02dx+

Xn=1

an

Z ba

cosnxLdx+ bn

Z ba

sinnxLdx

ii) La funcin F (x) =

R x0

f (t) a0

2

dt es peridica de periodo 2L, continua,

tiene derivada F 0 seccionalmente continua y es representada por su serie de FourierZ x0

hf (t) a0

2

idt =

L

Xn=1

bnn+L

Xn=1

bnncos

nxL

+annsinnxL

y

L

Xn=1

bnn=1

2L

Z LLF (x) dx

Teorema 15 (1er teorema sobre C.U. de S.F.)Sea f una funcin de periodo 2L, continua y con derivada primera seccional-

mente continua. Entonces la serie de Fourier de f converge uniformamente a f.

Teorema 16 (2 teorema sobre C.U. de S.F.)Sea f de periodo 2L, seccionalmente continua y con derivada primera seccional-

mente continua. Entonces la serie de F. de f converge uniformemente a f en todointervalo cerrado que no contenga puntos de discontinuidad de f.

Teorema 17 (sobre derivacin de series de F)Sea f continua en R, con periodo 2L y con primera derivada f 0 seccionalmente

suave. Entonces la serie de de Fourier para f 0 puede obtenerse derivando trminoa trmino la serie de F. de f y la serie derivada converge puntualmente a f 0 (x)siempre que f 00 exista.

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