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1 UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE FACULTAD DE CIENCIAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Y CC. CALCULO AVANZADO: SERIES DE FOURIER: Ejercicios resueltos y propuestos. Prof. Jorge Inostroza L. 1.- Hallar el período de la función: x a b Sen x f ) 2 ( ) ( . Solución: Si ) 2 ( ) 2 ( u Sen u Sen u Sen x a b Sen Si T es el período ) 2 ( ) 2 2 ( )) ( 2 ( ) 2 ( u Sen T a b x a b Sen T x a b Sen x a b Sen 2 2 T a b a bien ) ( a b T el período buscado. Por ejemplo si x Sen x f ) 5 3 ( ) ( y como 3 10 2 ) ( Sen x f el período será 3 10 . 2.- Probar que si ) ( x f ,tiene período p; ) ( x f tiene período p . Solución: p T p x f T x f x f ) ( )) ( ( ) ( ó p T . Del mismo modo entonces ) ( x f tendrá período p T (Basta cambiar 1 por ).Entonces el período de x a b Sen 2 será 2 2 a b T o sea b-a.

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1

UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE FACULTAD DE CIENCIAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Y CC.

CALCULO AVANZADO: SERIES DE FOURIER:

Ejercicios resueltos y propuestos.

Prof. Jorge Inostroza L.

1.- Hallar el período de la función: xab

Senxf )2()( .

Solución:

Si )2()2( uSenuSenuSenxab

Sen Si T es el período

)2()22())(2()2( uSenTab

xab

SenTxab

Senxab

Sen

22 Tab

a bien )( abT el período buscado.

Por ejemplo si xSenxf )5

3()( y como

3102)( Senxf el período será

310 .

2.- Probar que si )(xf ,tiene período p; )( xf tiene período p .

Solución:

pTpxfTxfxf )())(()( ó pT .

Del mismo modo entonces )( xf tendrá período pT (Basta cambiar 1por ).Entonces

el período de xab

Sen 2 será2

2 abT o sea b-a.

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2

Y el período de lxCos será l

l

22 .

3.- Pruebe que la función :

xSenxSenxSenxf 5513

31)( , es de período 6

Solución.

xSen , tiene periodo 12k

xSen3 “ “ 3

2 2k

xSen5 “ “ 5

2 3k haciendo 1593 321 kykk cada una será de período 6 .

Y por lo tanto la función dada.

4.- Pruebe la ortogonalidad de la base: ...............;............;.........;;1 SenkxCoskxSenxCosx

Solución:

01 CoskxdxCoskx

01 SenkxdxSenkx

0........mxdxSenCosnxmxSennxCos

0.......mxdxCosnxCosmxCosnxCos

0........mxdxSennxSenmxSennxSen .

5.- Si la función : tCostCostf )( es de periodo “p”.Demostrar que existen m,n

enteros tal :nm

Solución.

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3

mpptCostCos 2)(

npptCostCos 2)( . Luego el cuocientenm .

6.- Pruebe que la función tCostCostf )10()10()( , no es periódica.

Solución.

Del ejemplo anterior Si fuera periódica tendríamos: nm

1010 )(10 nm

esto no es posible pues el primer miembro es un entero .

7.- Pruebe que la función : tCostf 2210)( , es de período .

Solución.

)2

21(10)( 2 tCostf = )21(50 tCos , Como Cos 2t tiene período 221 , la función lo es.

8.- Encontrar el período de la función:43

)( tCostCostf .

Solución.

3tCos es de período 6

4tCos es de período 8 , luego ambas lo son de período 24

9.- Determinar los coeficientes de Fourier, de la función:

xxx

xf2/0

2/02/00

)(

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4

Solución.

Los coeficientes serán: dxxfa )(10 =

2/

21 dx =……….=

4.

221..........

21)(1 2/

0

Senkk

CoskxdxCoskxdxxfak =

)2

1(21..........

21)(1 2/

0

Coskk

SenkxdxSenkxdxxfbk =

16,12,8,4.......0

...14,10,6,2......1

........21

k

kk

imparkk

10.- Encontrar la Serie de Fourier de la función: xxxx

xf0..............

0......)(

Solución.

Como lo muestra el gráfico es una función par

luego su Serie será :

1

0

2Coskxa

ak , con

00

2 xdxa

imparkk

parkCosk

kxCoskxdxak ....2

........0)1(1........2

202

La S de F será:1

2)12(

)12(22 k

xkCos

11.- Si f(x) = Cos ( x ), x ; una constante no entera. Probar que a partir de suSerie de Fourier.

..)..........3

12

11

12

1(2 222222Sen

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5

Solución.

Se trata de una función par ,luego 0kb y SenxdxCosa 210

0

2 kxdxCosxCosak =0

)()(1 dxxkCosxkCos

kkSen

kkSen

kxkSen

kxkSenak

)()(1)()(1

0

kCoskSen

kCoskSenak

1 =kk

Senk 111

Senk

ak

k 22

12 .

Luego la representación quedará:

)()1(21

)()1(2

221

22 kCoskxSen

kSenSenxCos

kk

; si x = 0

)()1(

212 222 kSen

k

.

12.- Determinar la representación en Serie de Fourier para la función

xxx

xf0

00)(

Graficar la extensión periódica que ella representa y probar que: 1

2

2

)12(1

8 k.

Solución.

Fig.

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6

La serie debe ser de la forma: 1

0

2SenkxbCoskxa

akk ; donde :

00 2

1 xdxa0

1 xCoskxdxak imparkk

parkCosk

k ...............2...................0

)1(1

22

0

1)1(11 kk k

xSenkxdxb . Luego la representación será:

2)12()12(2

4)(

kxkCosxf + Senkx

k

k

2)1( .

En x = 0 la serie converge al valor de la función, por ser continua

12)12(

124

0k

.)12(

18 1

2

2

k

Sin embargo en x converge al valor promedio de los limites laterales o sea a 2

y el

resultado es el mismo.

Fig

13.- Hallar la Serie de Fourier parta la función2/32/2/2/

)(xxxx

xf .

Solución.

Fig.

Aquí el intervalo es )2/3,2/( por lo que la serie debe tener la fórmula más general aunque (b-a) = 2 , luego será de la forma.

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7

SenkxbCoskxaa

kk20 , siendo

2/

2/

2/3

2/0 )(1 dxxxdxa = 0

2/

2/

2/3

2/

2/3

2/

(1 xCoskxdxCoskxdxxCoskxdxak ) = 0

2/

2/

2/3

2/

2/3

2/

(1 xSenkxdxSenkxdxxSenkxdxbk ) =

=parkkimpark

kparkimpark

k

k

.........)1(................0

21

................0........)1(3 1

2

Luego la serie de Fourier para esta función queda:

.24

)1()12()12(

)1(32 kxSen

kxkSen

k

kk

Observación.

Nótese que al trasladar el gráfico de la función dada hacia la izquierda en 2/ se transforma en una función par cuya serie no es la misma.

14.- Encontrar la Serie de Fourier y su Serie de Cosenos para la función:

21...............2/310................2/1

)(xxxx

xf

Fig.

Solución.

a) Como el intervalo es de dimensión 2 la Serie tomará la forma:

xSenkbxkCosaa

kik20 ,

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8

con2

0

1

0

2

10 )2/3()2/1()( dxxdxxdxxfa 0

1

0

2

1

)2/3()2/1( dxxkCosxdxxCoskxak =………impark

k

park

....4...........0

22

1

0

2

1

)2/3()2/1( dxxkSenxdxxkSenxbk =………..impark

k

park

......3

...........0

Así la S de F quedará:

)12()12(3

)12()12(422 k

xkkSenk

xkkCos

b) La extensión par de la función hace que la Serie sea

: xkCosaa

k 220 con (b-a) = 4

Donde2

00 )(

212 dxxfa 0 y

2

0 2)(

212 xdxkCosxfak

xdxkCosxdxkxCosdxxkxCosdxxkCosak2

1

2

1

1

0

1

0 223

22221 =

…………………….= .)24(..........10,6,2.1622 kksi

k

La Serie: 22 )24(2

)24(16

k

xkCos.(¿)

15.- Sea la función Senxxf )( a) determine el período. b) Pruebe que es par

c) encuentre la S de F. en 2/,2/ .

Fig.

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9

Solución.

SenxSenxCosxSenSenxCosxSen )( , período , que el gráficotambién confirma.

b) SenxSenxxSen )( par.

c) La S de F. será : kxCosaa

k 22

0 ; pues el intervalo es de magnitud ,donde

1222/

00 xdxSena

2/

0 ).14(221kkkxdxCosSenxak quedando .

)14(22

21

kkxkCos

. Como la serie pedida.

16.- Sea la función y = f(x) seccionalmente continua, par y de período l4 e impar respecto a la recta lx .Determinar que su Serie de Fourier para f(x) está dada por:

xl

nCosa n 2)12(

112 con x

lnCosxf

la

l

n0

12 2)12()(2

Fig.

Solución.

0nbll

l

dxxfl

dxxfl

a2

0

2

20 )(1)(

21 . Pero

l l

dxxfdxxf2

0 0

)()(l

l

dxxf2

)(

=l l

dxxfdxxf0 0

0)()(

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10

xlnCosxfx

lnCosxf

lxlnCosxf

la

l

l

ll

n

2

0

2

0 2)(

2)(1

2)(1 Si ulx 2 .

na ))((2

)(2

)(1

0

0

duulnCosufx

lnCosxf

l

l

l

0

0

))(2(2

)2(2

)(1

l

l

n dxxllnCosxlfx

lnCosxf

la ; )()2( xfxlf

dxxlnlSen

lnSenx

lnlCos

lnCosxfdx

lnCosxf

la

ll

n 22

222

2)(

2)(1

00

dxxlnCosxf

la

l

n0 2

)(1 + xlnCosxf

ln

2)()1(

0

1 dx

na = l

imparnsidxlnCosxf

l

parnsi

0 2)(2

0dx

lnCosxf

la

l

n0

12 2)12()(2

17.- Sea1

0 )(2

SenkxbCoskxaa

kk , la Serie de Fourier de f(x).Si )()( xfxg ,

mostrar que la Serie de Fourier de g(x) es )()1(2

0 SenkxbCoskxaa

kkk

Solución.

Fig

Nótese que el gráfico de g(x) se obtiene desplazando el de f(x) a la derecha en ,entonces:

Si SenkxBCoskxAA

xg kk2)( 0 donde 0<x< 2 pues x

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11

2

0

2

00 )(1)(1 dxxfdxxgA , si hacemos u= x u , luego

00 )(1 aduufA2

0

2

0

)(1)(1 CoskxdxxfCoskxdxxgAk

duuCosufAk )()(1

duuSenSenCosuCosufAk )()(1

duCosuCosufAk )()(1 = kkk aduuCosuf )1()()()1(1 .

Igualmente para kB .

18.- Sea Rt y ).()( tSenxCosxf

a) Probar que f(x) es par y de período

b) Escriba los coeficientes y la Serie de Fourier si ,0x

c) Probar que para )(0 ta se tiene : 0''' 000 taata .

Solución.

a) ;)()()( xxfxfsiiparxf

)())(()(()( tSenxCosxtSenCosxtSenCosxf luego es par.

?)()(¿ xfxf

).()()())(())(()( xftSenxCostSenxCosSenxtCosxtSenCosxf

b)0

0 )(2 dxtSenxCosa0

2)(2 kxdxCostSenxCosak

)(2

0

tSenxCosbk Sen2kxdx.

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12

c) Si00

00 ))((2)(')(2)( SenxdxtSenxSentadxtSenxCosta

0

20 .)(2)('' xdxSentSenxCosta

Luego:

dxtSenxtCosSenxtSenxSenxSentSenxtCostaata )()()(2''' 2

0000 .

Pero como: tCosxdxtSenxCosdutSenxSenuSi )()(CosxvSenxdxdv Entonces:

xdxCostSenxtCosxdxCostSenxtCosCosxtSenxSenSenxdxtSenxSen 2

0 0

2

0

)()()()(

Reemplazando se cumple.

19.- Si 20)( xexf x . Obtener la Serie de Fourier de g(x) ,función par de período 8 tal que g(x) = f(x) en .20 x

Solución.

Fig.

Hacemos g(x) como la extensión par de la función f(x) extendida al 40 x

42020

)(xxe

xfx

e

Así g(x) es la extensión par de )(xfe , por lo tanto:

xkSenbxkCosaa

xg kk 442)( 0 ;

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13

Con4

0

2

0

20 )1(

21

21)(

21 edxedxxfa x

imparkkpark

kexdxkCosea

k

k

xk

4)1(

1)1(

168...........

421

122

22

0

20.- Probar la relación de Parseval:

)(2

)(1 222

02kk

p

p

baa

dxxfp

.

Solución.

Si ppSCxf ;)( y xpkSenbx

pkCosa

axf kk2)( 0

)()()1(2

)()()( 02 fxpkSenbfx

pkCosaf

adxxfxfxf k

p

pk

Pero 0)(1 padxxffp

pkk pbx

pkSenfpax

pkCosf

222

02

2)( kk

p

p

baa

pdxxf

21.- Hallar la Serie de Fourier de solo cosenos para la función: f(x)= x en 2,0 y mediante la relación de Parseval, probar que :

14

2

)12(1

96 k.

Solución.

Haciendo la extensión par de f(x) a 2;2

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14

0a2

0

2xdximpark

k

parkxdxkxCosak

22

2

08

0

221

Aplicando Parseval: p

p

dxxfp

dxx38)(1

316 2

2

2

2 y

4

4

442

20

)12(1

96)12(64

24

2 kka

ak

22.- Si kk bya son los coeficientes de Fourier para f(x) .Entonces:

0limlim kkkkba

Solución.

Siendo:p

pkk ba

adxxf

p)(

2)(1 2202 y que la serie es convergente, entonces su

termino general tiende a cero o sea .000)(lim 22kkkkkbaba

Ejercicios propuestos.

1.- Escribir la Serie de Fourier de las funciones:

a) xexf x)( b) 10)( xxSenxf

c)xxxx

xf0

0)( Graficar la extensión periódica d) xexf )( -1<x<1

e)x

xx

xf2/0

2/02/00

)(

f)xxx

xf0

00)( Graficar su extensión periódica y evaluar en x = 0

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15

2.- Si 111)( xxxf ,hallar su Serie de Fourier y deducir la convergencia de la

serie numérica: 1

2)12(1k

3.- Determinar la Serie de Fourier para la función 44)( xxxf con ello deducir la convergencia numérica del ejercicio anterior.

4.- Desarrollar en serie de cosenos la función f(x)= Sen x y analizar su convergencia para x = 0.

5.- Desarrollar en Serie de Fourier f(x) = 202 xx , y con ello pruebe que

2

2 116 k

6.- Dada la función de impulso unitario:

x

x

x

xf

21

201

01

)(

¿Cuál es el valor de la serie si a) kx b) x=2

)12( k , ?Zk

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16

CALCULO AVANZADO: INTEGRAL DE FOURIER.

Ejercicios resueltos y propuestos.

1.- Encontrar la integral de Fourier para la función:002/100

)(xexx

xfx

Solución.

Si la integral converge, escribimos:0

)()(1)( dwSenwxwBCoswxwAxf donde :

dvwvSenvfwBdvwvCosvfwA )()()()()()(

01)()()( 2

0 wwSenwvCoswvedvwvCosewA

vv = 21

1w

20

2 101)()()(

ww

wwCoswvSenwvedvwvSenewB

vv Luego:

021

1)( dwwwSenwxCoswxxf Si x = 0 dw

w021

12

2.- Demostrar que :1014/1

102/11

0 xx

xCoswxdw

wSenw

Solución.

La integral corresponde a una función par puesto que 0)(wB , luego consideremos la

función extendida par:10

14/!102/1

)(xxx

xf

Así00

1)(2/12)( Coswxdwwsenwxf

wSenwCoswvdvwA

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17

3.- Demostrar que:

xxSenx

SenwxdwwwSen

02/1

11

02 .

Solución.

La integral representa a una función impar, pues 0)(wA y 21)(

wwSenwB , luego debemos

considerar la extensión impar :x

xSenxxfi 0

2/1)(

De ese modo vSenvSenwvdSenwvdvvfwBywA 2/1)()(0)(

0 0

)1()1(21)( dvvwCosvwCosvSenvSenwvdwB

0)1(

11)1(

11

21)( vwSen

wvwSen

wwB

22 1)1()1()1()1(

)1(21)(

wSenwwSenwwSenw

wwB

Así0

211)( Senwxdw

wSenwxfi y corresponde con f(x) si ),0(x

4.- Representar mediante una integral de Fourier del tipo0

)(1 CoswxdxwA a la función:

2021210

)(xxxxx

xf

Solución .

Lo que se pide es representar a una función par por lo que hacemos la respectiva extensión de la función dada. Así

1

0

2

10

)()2()(2)()(2)( dvwvCosvdvwvvCosdvwvCosvfwA usando tablas.

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18

2

1222)(w

wCosCoswwA y por lo tanto:

Coswxdww

wCosCoswxf0

2

1222)(

5.- Si f(x) es una función par con su integral 0

)(1)( CoswxdwwAxf .Demostrar

que:0

2

22 )()(*)()(*1)(

dwwAdwAdondedwwxCoswAxfx

Solución.

Como 0

2 )()(*1)( dwwxCoswAxfx pues es una función par y como

0 0

)()(2)()(1)( dvwvCosvfwAcondwwxCosxf Entonces

0 0

22

2

)()(2)()(2 dvwvCosvfvdwAddvwvSenvvf

dwdA , comparando con

)(* wA0

2 )()(2 dvwvCosvfv 2

2 )()(*dwwAdwA .

Observación:

Para representar la función:axaxx

xf0

0)(

2

Consideramos la extensión par de

axax

xf0

01)( y aplicamos lo anterior en que

wSenwawA 2)(

6.- Sea 0

)()(1)( dwwxSenwBxf . Hallar la integral de Fourier de la función

Senxxfxg )()( .

Solución.

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19

Como f(x) es una función impar, g(x) es par ,luego:0

)()(1 dwwxCoswAI g donde

0

)()(2)( dvwvCosvgwA0

)()(2 dvwvSenvCosvf0

)1()1()( dvvwSenvwSenvf

0 0

)1()1(21)1()()1()()( wBwBvdvwSenvfvdvwSenvfwA .Luego

bastaría con conocer el coeficiente ).(wB

7.- Si f(x) es una función par con integral: 0

.)()(1)( dwwxCoswAxf Entonces

dwwxSendwdAxxf )(1)(

0

.

Solución

Para0

)()(*1)( dwwxSenwBxxf donde0

)()(2)(* dvwvSenvvfwB .Pero como

0

)((2 SenwvdvvvfdwdA pues

0

)()(2)( dvwvCosvfwA )(* wBdwdA .

8.- Probar que si 0

)()()()(1)( dwwxSenwBwxCoswAxf . Entonces se cumple:

.)()(1)(0

222 dwwBwAdxxf

Solución.

dwfwxSenwBfwxCoswAdxxfff )()()()(1)(0

2

dwwBwA )()(1 2

0

2 .

9.- Aplicando lo anterior probar que:

adw

wawSen

2

2 )( .

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20

Solución.

Si tomamos: )(xf axa , función par

entonces:0

)(2)(2)(0

awvSen

wdvwvCoswA

a

= )(2 waSenw

)(4)( 22

22 waSen

wwA

Por otra parte:a

a

a

a

adxdxxf 222 2)(

Luego: dww

waSendwwAa0 0

2

2222 )(41)(12 dw

wwaSena

02

2 )(2

o bién

dwwwaSena 2

2 )(

10.- Probar que : xdwwxSenwwCos

wwSenx 0)()()(2

02

Solución.

Como se puede apreciar se trata de una función impar o seax

xxxf

0)(

0

)()(1)( dwwxSenwBxf donde

)(2)(2)(2)( 20

wSenw

wCosw

dvwvvSenwB

dwwxSenwwCos

wwSenxxf )()()(2)(

02

11.- Utilizar la función: 0)( xxexf x , para deducir que

dwwxSenwwdwwxCos

ww )(

)1(2)(

)1(1

022

022 .

Usar además esta igualdad y la convergencia para deducir que:

0 022

2

22 )1()1( wdww

wdw .-

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21

Solución.

a) Considerando la extensión par de la función dada:0

)()(1)( dwwxCoswAxf p

con:0 0

22

2

)1()1(............)(2)()(2)(

wwdvwvCosvedvwvCosvfwA v

p

dwwxCoswwxf p )(

)1()1(1)(

022

2

.

b) Considerando la extensión impar de la función dada. 0

)()(1)( dwwxSenwBxfi

donde0

22 )1(2.............)(2)(wwdvwvSenvewB v luego

022 )(

)1(21)( dwwxSenwwxfi

Entonces ambas funciones coinciden en x>0 o sea son iguales las integrales.

022

022

2

)()1(

2)()1()1( dwwxSen

wwdwwxCos

ww

En a) si x = 00

22

2

0)1()1(1 dw

ww

0 022

2

22 )1()1( wdww

wdw

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22

Ejercicios propuestos.

1.- Sea: xxexf )( . Pruebe que: 22 )1(4)(0)(wwwBwA

2.- Sea 10

11)(

x

xxf Verifique que

wSenwwAwB 2)(0)(

y que 0

)(2 dwwxCoswSenw converge a ½ si x =1 ó x = -1.

3.- Represente la función como una Integral de Fourier y discuta su convergencia en cada punto.

a)x

xxxf

0)( b)

100

10)(

x

xkxf

c)50

511152/1

)(xxx

xf d) xxexf )(

4.- Haciendo la extensión adecuada encontrar la Integral de Fourier de Senos y de Cosenos para:

a)100

100)(

2

xxx

xf b) 50

50)()(

xxxCosh

xf

5.- Para 0)( ; xexf kx , Hallar las Integrales de Senos y de Cosenos.

6.-Si 0)( xCosxexf x Hallar la integral de Fourier, además la de Senos y la de Cosenos.