series
DESCRIPTION
Una breve descripción matemática de las series aritméticas, geométricas y telescópicas con los criterios de solución de convergencia y divergencia.TRANSCRIPT
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Series
Definicin
Dada una sucesin an es posible formar una nueva sucesin Sn del siguiente modo:
S1 = a1
S2 = a1 + a2
S3 = a1 + a2 + a3
S4 = a1 + a2 + a3 + a4
...
Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an
La sucesin Sn se llama serie y se denota por
+inf
n=1 an o simplemente an
Los elementos a1, a2, a3, ..., an, ... de la sucesin original son los trminos de la serie y
S1, S2, S3, ..., Sn, ... se denominan las sumas parciales de la serie.
Una serie es una sucesin de sumas parciales.
Clasificacin de una serie
Si la sucesin Sn tiene lmite finito S, la serie es convergente (converge a S). A S
se le llama suma de la serie.
Si lim Sn = +inf o -inf se dice que la serie es divergente.
Si Sn no tiene lmite, se dice que la serie es oscilante.
Nota: Sn es la sucesin de sumas parciales, no la sucesin an.
Propiedades de las series
Propiedad asociativa
En toda serie se pueden sustituir varios trminos por su suma efectuada, sin que vare el
caracter ni la suma de la serie.
Nota:
a. La propiedad asociativa no es vlida en series oscilantes. b. La propiedad disociativa no es vlida para series convergentes o divergentes.
Propiedad distributiva
H) an converge y su suma es S T) kan converge y su suma es kS
Demostracin:
-
Sn = an Tn = kan
lim Sn = lim a0 + a1 + ... + an = S
lim Tn = lim ka0 + ka1 + ... + kan = lim k(a0 + a1 + ... + an) = kS
=> kan converge y su suma es kS.
De manera anloga:
Si an diverge, kan tambin diverge. Si an es oscilante, kan tambin es oscilante.
Propiedad aditiva
H) Sean Sn = an y Tn = bn dos series convergentes con sumas S y T respectivamente. T) La serie an+bn es convergente y su suma es S + T.
Demostracin:
El trmino n-simo de la serie an+bn es Sn + Tn
lim Sn + Tn = lim Sn + lim Tn = S + T (por lmite de una suma de sucesiones)
=> an+bn converge a S+T
Propiedad de linealidad
H) Sean Sn = an y Tn = bn dos series convergentes con sumas S y T respectivamente, y sean h y k dos constantes.
T) La serie kan+hbn es convergente y su suma es kS + hT.
Demostracin:
an converge a S => por la propiedad distributiva, kan converge a kS bn converge a T => por la propiedad distributiva, hbn converge a hT
=> por la propiedad aditiva kan+hbn converge a kS + hT
Teorema
Condicin necesaria para la convergencia
Es condicin necesaria para que la serie an sea convergente, que lim an = 0.
H) Sn = an convergente T) lim an = 0
Demostracin:
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Sn = a1 + a2 + ... + an-1 + an
Sn-1 = a1 + a2 + ... + an-1
an = Sn - Sn-1
Sn es convergente => lim Sn = lim Sn-1 = S
lim an = lim Sn - Sn-1 = S - S = 0
Nota: Este criterio es necesario pero no suficiente, es decir que, si el trmino n-simo
tiende a 0, no se puede afirmar que la serie sea convergente.
Contraejemplo: 1/n es divergente aunque lim an=0
Definicin
Serie geomtrica
Aquella cuyos trminos forman una progresin geomtrica. (Cada trmino es igual al
anterior multiplicado por una constante).
Si llamamos a al primer trmino y k a la constante,
Sn = a + ak + ak2 + ak
3 + ... + ak
n-1 = akn-1
Multipliquemos ambos miembros por k:
kSn = ak +ak2 + ak
3 + ak
4 + ... + ak
n = akn
Restamos ambas ecuaciones:
Sn - kSn = a - akn
(a-akn)
Sn = -------
(1-k)
a akn
Sn = --- - ---
1-k 1-k
Para |k| < 1 lim Sn = a/(1-k) pues kn -> 0, la serie geomtrica converge.
Para |k| > 1 la serie diverge pues kn -> inf.
Para k = 1 la serie diverge pues Sn = na.
Para k = -1 la serie es oscilante.
D Osc C D D
------|------|------
-1 1
Definicin
Serie telescpica
Serie tal que cada trmino se expresa como una diferencia de la forma an = bn - bn+1.
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Teorema
Suma de una serie telescpica
Sean an y bn dos sucesiones tales que an = bn - bn+1.
La serie telescpica an converge si y slo si la sucesin bn converge y se cumple que an = b1 - L donde L = lim bn+1.
Demostracin:
Sn = an = (bn - bn+1) = (b1 - b2) + (b2 - b3) + ... + (bn - bn+1) = b1 - bn+1
lim Sn = lim b1 - lim bn+1
Por lo tanto an converge si y slo si bn converge, y en ese caso su suma es b1 - L, donde L = lim bn+1. (Si bn diverge, an tambin).
Ejemplo: Sn = 1/(n2 + n)
an = 1/(n2 + n) = 1/n - 1/n+1
bn = 1/n converge a 0
=> 1/(n2 + n) converge a 1 - lim 1/n+1 = 1
Series de trminos positivos
Definicin
Serie de trminos positivos (STP)
Es una serie an tal que an>=0 para todo n. (La serie es siempre una sucesin creciente).
Ejemplo: 1/2n
Criterios de convergencia para STP
Teorema previo
Una serie de trminos positivos an converge si y slo si la sucesin de sus sumas parciales est acotada superiormente.
Demostracin:
Directo:
-
an converge => lim Sn = S => (por def. de lmite finito de una sucesin) para todo > 0 existe N / para todo n>N S - < Sn < S + => Sn est acotada superiormente.
Recproco:
an es montona creciente por ser de trminos positivos.
Sn < M para todo n
Toda sucesin montona y acotada converge (ver teorema) => Sn converge
Ejemplo: 1/n!
1/n! =1 pues n! >= 2n-1
ya que n! es el producto de (n-1) factores
mayores o iguales que 2.
Por lo tanto 1/n! 0 tal que an Sn an es convergente pues la sucesin de sus sumas parciales est acotada superiormente (teorema).
Nota: El teorema tambin es valido si an = N.
Sean an y bn dos series de trminos positivos. Si existe una constante c > 0 tal que an >= cbn para todo n, entonces si bn diverge, an tambin diverge.
Demostracin:
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Sn = an Tn = bn
bn diverge => lim Tn = +inf => lim cTn = c.lim Tn = +inf
Sn >= cTn => lim Sn = +inf => an diverge.
Ampliacin del criterio
Sean an y cn dos series de trminos positivos. an y cnan convergen o divergen simultneamente.
Criterio de comparacin por paso al lmite
Sean an y bn dos series de trminos positivos. Si lim an/bn = k > 0, entonces an converge si y slo si bn converge. ( an y bn son de la misma clase).
Demostracin:
lim an/bn = k > 0 => (por def. de lmite finito de una sucesin) para todo > 0 existe N / para todo n > N |an/bn - k| < o sea k - < an/bn < k +
Directo:
bn < (1/(k-))an
=> por el criterio anterior, si an converge, bn converge .
Recproco:
an < (k+)bn
=> por el criterio anterior, si bn converge, an converge.
Si an y bn son sucesiones equivalentes (lim an/bn = 1) => por el teorema anterior, an y bn son de la misma clase. Por lo tanto, para clasificar una serie de trminos positivos an, se puede sustituir an por su equivalente bn.
Ejemplo:
1
-----
n(n+1)
1 1
----- es equiv. a ---
n(n+1) n2
1 1
=> ----- converge pues --- converge
n(n+1) n2
-
Criterio de D'Alembert
H) Sea an una serie de trminos positivos. an+1/an = N
T) an converge.
Demostracin:
an+1 = ... >= aN > 0
an es creciente
an >= 0 para todo n
=> an no tiende a 0 => (por Condicin necesaria para la convergencia) an diverge.
Corolario de D'Alembert
H) Sea an una serie de trminos positivos. lim an+1/an = L < 1
T) an converge.
Demostracin:
lim an+1/an = L => (por def. de lmite finito de una sucesin) para todo > 0 existe N / para todo n > N |an+1/an - L| < o sea L - < an+1/an < L +
Para que L + < 1 basta elegir < 1 - L
-
Para todo n>N an+1/an < L+ < 1 => por el teorema anterior an converge.
H) Sea an una serie de trminos positivos. lim an+1/an = L > 1
T) an diverge.
Demostracin:
lim an+1/an = L => (por def. de lmite finito de una sucesin) para todo > 0 existe N / para todo n > N |an+1/an - L| < o sea L - < an+1/an < L +
Para que L - > 1 basta elegir < L - 1
Para todo n>N an+1/an > 1 => por el teorema anterior an diverge.
Cuando el lim an+1/an = 1+ la serie an diverge.
lim an+1/an = 1+ => an+1 >= an => el trmino general an no tiende a 0 => an diverge.
Cuando lim an+1/an = 1- D'Alembert no se aplica.
1/n
lim an+1/an = lim (1/n+1)/(1/n) = lim n/n+1 = 1- y 1/n diverge.
1/n2
lim an+1/an = lim (1/(n+1)2)/(1/n
2) = lim n
2/(n+1)
2 = 1
- y 1/n2 converge.
Criterio de Cauchy
H) Sea an una serie de trminos positivos. n __
\|an = N
T) an converge.
Demostracin:
n __
\|an an por el criterio de comparacin an converge.
H) Sea an una serie de trminos positivos. n __
\|an > 1 para todo n >= N
T) an diverge.
Demostracin:
-
n __
\|an > 1 =>
an > 1 => an no tiende a 0 => an diverge.
Cauchy por paso al lmite
H) Sea an una serie de trminos positivos. n __
lim \|an = L < 1
T) an converge. n __
lim \|an = L => (por def. de lmite finito de una sucesin)
n __
para todo > 0 existe N / para todo n > N |\|an - L| < o sea
n __
L - < \|an < L +
Para que L + < 1 basta elegir < 1 - L
n __
\|an < L + < 1
=> por el teorema anterior an converge.
H) Sea an una serie de trminos positivos. n __
lim \|an = L > 1
T) an converge. n __
lim \|an = L => (por def. de lmite finito de una sucesin)
n __
para todo > 0 existe N / para todo n > N |\|an - L| < o sea
n __
L - < \|an < L +
Para que L - > 1 basta elegir < L - 1
n __
\|an > L - > 1
=> por el teorema anterior an diverge.
Raabe
H) Sea an una serie de trminos positivos. n(1 - an+1/an) >= 1+k para todo n >= N, k perteneciente a R
+
T) an converge.
Demostracin:
Escribamos la desigualdad como: nan - nan+1 >= an + kan
Pasemos an para el lado izquierdo: (n-1)an - nan+1 >= kan
-
La desigualdad se cumple para todo n>=N:
(N-1)aN - NaN+1 >= kaN
NaN+1 - (N+1)aN+2 >= kaN+1
...
(n-1)an - nan+1 >= kan
Sumamos: (N-1)aN - nan+1 >= k(aN + aN+1 + ... + an) = k(Sn - H)
(donde H es la suma de los trminos anteriores a aN)
k(Sn - H) = (n-2)an-1 >= ... >= (N-1)aN
nan+1 >= (N-1)aN
an+1 >= H.1/n donde H = (N-1)aN
1/n diverge => por distributiva H.1/n diverge => por el criterio de comparacin an diverge.
Generalizacin por paso al lmite
H) Sea an una serie de trminos positivos. lim n(1 - an+1/an) = L > 1
T) an converge.
Demostracin:
lim n(1 - an+1/an) = L => (por def. de lmite finito de una sucesin) para todo > 0 existe N / para todo n > N L - < n(1 - an+1/an) < L +
Para que L - > 1 basta elegir < L - 1
Para todo n > N n(1 - an+1/an) > L - > 1 => por el teorema anterior an converge.
-
H) Sea an una serie de trminos positivos. lim n(1 - an+1/an) = L < 1
T) an diverge.
Demostracin:
lim n(1 - an+1/an) = L => (por def. de lmite finito de una sucesin) para todo > 0 existe N / para todo n > N L - < n(1 - an+1/an) < L +
Para que L + < 1 basta elegir < 1 - L
Para todo n > N n(1 - an+1/an) < L + < 1 => por el teorema anterior an diverge.
Cuando lim n(1 - an+1/an) = 1- la serie an tambin diverge.
Definicin
Sucesin contenida o subsucesin
ain est contenida en an si in es natural y lim in = +inf
Ejemplo: an = n
1,2,3,4,5,6,...
Ejemplos de sucesiones contenidas:
a2n: 2,4,6,...
a2n-1: 1,3,5,...
a10n: 10,20,30,...
Teorema
H) ain y ai'n son sucesiones contenidas en an
lim ain = lim ai'n = p
{in} U {i'n} = {n/n > q}
T) lim an = p
Series alternadas
Definicin
Son series de la forma: (-1)n+1.an donde an > 0 Sus trminos son alternadamente positivos y negativos:
(-1)n+1.an = a1 - a2 + a3 - a4 + ... + (-1)n-1
.an
Criterio de Leibnitz
H) (-1)n+1.an, an>0 an -> 0
-
an montona decreciente
T) (-1)n+1.an converge.
Demostracin:
Consideremos las sumas parciales pares S2n por un lado y las sumas parciales impares
S2n-1 por otro.
S2n+2 - S2n = a1 - a2 + ... - a2n + a2n+1 - a2n+2 - (a1 - a2 + ... - a2n)
= a2n+1 - a2n+2 > 0 => S2n es creciente (1)
S2n+1 - S2n-1 = a1 - a2 + ... - a2n + a2n+1 - (a1 - a2 + ... + a2n-1)
a2n+1 - a2n < 0 => S2n-1 es decreciente (2)
(3) Para todo n S2n < S2n-1 pues S2n-1 - S2n = a2n > 0
lim a2n = 0 => lim S2n - S2n-1 = 0 => (por def. de lmite finito de una sucesin) para todo
> 0 existe N / para todo n > N |S2n-1 - S2n - 0| < (4)
De 1), 2), 3) y 4) por definicin de PSMC, (S2n,S2n-1) es un PSMC
=> por la propiedad de que todo PSMC tiene frontera, existe c perteneciente a R+ / lim
S2n = lim S2n-1 = c
S2n y S2n-1 son sucesiones contenidas en Sn
Por el teorema anterior, lim Sn = c => (-1)n+1
.an converge
Definicin
Convergencia absoluta
Una serie an es absolutamente convergente si |an| converge.
Teorema
H) an es absolutamente convergente. T) an converge.
Demostracin:
|an| converge por hiptesis
Consideremos bn = (|an| + an)/2
Si an > 0 bn = |an|
Si an < 0 bn = 0
-
Como an es una serie alternada (sus trminos son alternadamente positivos y negativos), bn valdr 0 o |an|.
Por lo tanto, 0 como bn y |an| convergen, por la propiedad de linealidad an converge.
Una serie convergente que no es absolutamente convergente se denomina
condicionalmente convergente.
Ejemplo: (-1)n+11/n converge pero |(-1)n+11/n| diverge.
(-1)n+11/n cumple con el criterio de Leibnitz.
|(-1)n+11/n| = 1/n que ya hemos visto que diverge.
Serie de potencias
Es una serie de la forma anxn.
Se puede demostrar que converge en un entorno simtrico de 0.
Determinacin del radio de convergencia R
Para hallar el radio de convergencia podemos utilizar cualquiera de las siguientes
frmulas:
D'Alembert:
L = lim |an+1/an|
Cauchy:
n __
L = \|an
L distinto de 0 => R = 1/L
L = +inf => R = 0
L = 0 => R = +inf
D ? C ? D
-----|-----|-----
-R R
La serie se debe clasificar en x=R y x=-R.