SERIES Y SUCESIONES

Cristian Castillo

Series.Sea una sucesión, entonces una serie, viene dada por:

Convergencia Serie.Dada una seria , tal que , entonces:

Si existe y es igual a S, entonces la serie Converge a S.

Si no existe entonces la serie Diverge.

na

1

321n

nn aaaaa

1nna n

nn Sa

1

nnS

lim

nnS

lim

SERIES Y SUCESIONES

Cristian Castillo

Propiedades de las Series

• Dadas las series convergente , y c un

número real, entonces las siguientes series también son

convergentes, y sus sumas son:

• Si es convergente y es divergente, entonces:

es Divergente

Aan Bbn

cAac n BAba nn )( BAba nn )(

na nb

BAba nn )(

Importante: Si y son Divergente, entonces no se tiene certeza si es Convergente o Divergente

na nb

BAba nn )(

SERIES Y SUCESIONES

Cristian Castillo

Serie Geométrica.A toda aquella serie que se puede expresar de la forma:

o

se denomina serie geométrica.

La Convergencia o no de una serie geométrica viene dada

por:

• Si , entonces la serie Diverge.

• Si , entonces la serie Converge y su suma es

0n

nra

1

1

n

nra

1r

1rraS

1

SERIES Y SUCESIONES

Cristian Castillo

Serie Telescópica.Es aquella serie que se puede expresar de la forma:

La serie telescópica siempre converge a L si .

Serie Armónica.Es aquella serie que se puede expresar de la forma:

La serie armónica siempre es Divergente.

11

nnn aa

Lann

lim

1

1n n

SERIES Y SUCESIONES

Cristian Castillo

Serie pA toda aquella serie que se puede expresar de la forma:

se denomina serie p.

La Convergencia o no de una serie p viene dada por:

• Si , entonces la serie Diverge.

• Si , entonces la serie Converge.

1

1n

pn

1p

1p

SERIES Y SUCESIONES

Cristian Castillo

Criterio de la Divergencia

Si la serie infinita converge, entonces , con

lo cual se puede concluir que:

Si , entonces la serie es Divergente.

Importante: Si no implica que la serie sea Convergente, por lo tanto se debe utilizar otro criterio.

1nna 0lim

nna

0lim nna

0lim nna

SERIES Y SUCESIONES

Cristian Castillo

Criterio de la Integral

Si , tal que f es continua, positiva y decreciente,

entonces:

y

Convergen o Divergen ambas en forma simultanea.

)(nfan

dnnf

1

)(

1nna

Importante: Antes de aplicar el Criterio de la Integral se debe verificar que cumpla con las condiciones iniciales,

sino se debe utilizar otro criterio

SERIES Y SUCESIONES

Cristian Castillo

Criterio de Comparación

Si , para todo n entonces:

• Si Converge, entonces también Converge.

• Si Diverge, entonces también Diverge.

1nnb

1nna

1nna

1nnb

nn ba 0

Importante: En caso de que no se cumpla alguna de las dos condiciones anteriores, no se tiene certeza si la serie converge o no, por lo tanto se debe elegir otro criterio.

SERIES Y SUCESIONES

Cristian Castillo

Criterio de Comparación

Sean y , dos series de términos positivos entonces:

• Si , entonces ambas series Converge o Divergen.

• Si y Converge, entonces Converge.

• Si y Diverge, entonces Diverge.

na nb

0lim

n

n

n ba

0lim

n

n

n ba nb na

n

n

n balim nb na

SERIES Y SUCESIONES

Cristian Castillo

Criterio del Cociente o de la Razón

Sea una serie de términos positivos tal que an es

distinto de 0, entonces:

• Si , entonces Converge.

• Si ó , entonces Diverge.

• Si el criterio falla.

1lim 1

n

n

n aa

na

na

1lim 1

n

n

n aa

n

n

n aa 1lim na

1lim 1

n

n

n aa

SERIES Y SUCESIONES

Cristian Castillo

Criterio de la Raíz

Sea una serie de términos no negativos, entonces:

• Si , entonces Converge.

• Si ó , entonces Diverge.

• Si el criterio falla.

na

1lim

nn

na

1lim

nn

na

nn

nalim

1lim

nn

na

na

na

SERIES Y SUCESIONES

Cristian Castillo

Series Alternantes

Son aquellas series que poseen términos tanto positivos

como negativos en forma alternante. Estas series tienen la

forma :

ó

1

)1(n

nna

1

1)1(n

nn a

SERIES Y SUCESIONES

Cristian Castillo

Criterio de las Series Alternantes

Se dice que una serie alternante es convergente si cumple

con las siguientes condiciones:

•

• Sea decreciente para todo n, es decir que se cumpla:

0lim nna

1 nn aa

Importante: En caso de que no se cumpla alguna de las dos condiciones anteriores, se dice que la serie es

Divergente.

SERIES Y SUCESIONES

Cristian Castillo

Convergencia Absoluta

Se dice que la serie alternante es absolutamente

convergente si es convergente.

Convergencia Condicional

Se dice que la serie alternante es condicionalmente

convergente si es convergente y es

divergente.

1

)1(n

nna

1nna

1

)1(n

nna

1nna

1

)1(n

nna