serie de taylor 222

Metodos NuméricosTema: El desarrollo de Taylor

Irene Tischer

Escuela de Ingeniería y Computación

Universidad del Valle, Cali

– Typeset by FoilTEX – 1

Métodos numéricos Tema: Desarrollo de Taylor

Contenido

1. El Teorema de Taylor

2. El desarrollo de Taylor en varios dimensiones

3. Implementación en Scilab



Contenido





Métodos numéricos Tema: Desarrollo de Taylor 1. El Teorema de Taylor

Justificación

La aplicación del teorema de Taylor es central para el desarrollo de muchosmétodos numéricos. Permite aproximar una función por un polinomio y estimar elerror de truncamiento.



Teorema de Taylor

Sea f una función que es n + 1 veces continuamente derivable en un intervaloque contiene los puntos x0 y x. Entonces el valor de la función f en el punto xestá dado por

f(x) = f(x0) + f′(x0)(x − x0) +

f ′′(x0)

2!(x − x0)

2+

f (3)(x0)

3!(x − x0)

3+ · · ·

· · · +f (n)(x0)

n!(x − x0)

n+ Rn(x)

donde el residuo Rnestá dado por:

Rn(x) =∫ x

x0

(x − t)n

n!f (n+1)(t) dt

.



Representación de la función con las deriviadas enun punto

fHxL

f’HxL

f’’HxL

f’’’HxL

xo x +ho

Figura 1: El valor desconocido f(x0 + h) se aproxima por los valores conocidos en x0 def y sus derivadas.



Otra forma de la fórmula de TaylorUsando h = x − x0:

f(x0 + h) = f(x0) + f′(x0)h +

f ′′(x0)

2!h

2+

f (3)(x0)

3!h

3+ · · ·

· · · +f (n)(x0)

n!h

n+ Rn(x)

x0 x0+h

f

orden 0

orden 1

R0

R1

Figura 2. La función f y las aproximaciones obtenidas por la serie de Taylor de orden 0 y 1.



Teorema (forma de Lagrange del residuo)

Bajo las condiciones del teorema del Taylor, el residuo puede expresarse como:

Rn(x) =f (n+1)(ξx)(n + 1)!

hn+1

donde ξx es un punto en el intervalo entre x0 y x, que depende de x.

En esta forma, el residuo es más fácil de estimar, ya que sólo depende de laderivada de orden n + 1 en un (desconocido) punto.



Ejemplo

Para una función que es 2 veces continuamente derivable, se tiene

f(x) = f(x0) + f ′(x0)(x − x0) + R1(x);

es decir se aproxima f por una recta, ¨se linealiza la función f¨:

f(x) ≈ f(x0) + f ′(x0)(x − x0).



Corolario

Para un polinomio p de grado n, el desarrollo de Taylor de orden n es exacto, yaque p(n+1) es contonte igual a 0 y por consecuencia , el residuo es 0.



Definición

La serie de Taylor que usa el desarrollo en el punto 0 se llama la serie deMcLaurin.



Ejemplo

Sea f(x) := ex2 . Las derivadas de f son de la forma f (n)(x) =

(12

)n

ex2 .

La aproximación de f por la serie de McLaurin (en x0 = 0) da para el puntox = x0 + h = h :

Aproximación orden residuo

f(x) ≈ f(0) 0 R0(x) = f′(ξx)h

1

f(x) ≈ f(0) + (x − 0)f ′(0) 1 R1(x) =f(2)(ξx)

2!h2

f(x) ≈ f(0) + xf ′(0) + x2

2 f(2)(0) 2 R2(x) =f(3)(ξx)

3!h3

f(x) ≈ f(0) + xf ′(0) + x2

2 f(2)(0) + x3

3!f(3)(0) 3 R3(x) =

f(4)(ξx)

4!h4

f(x) ≈ f(0) + xf ′(0) + x2

2 f(2)(0) + x3

3!f(3)(0) + ... + x10

10!f(10)(0) 10 R10(x) =

f(11)(ξx)

11!h11



Ejemplo (continuación)

En el punto x = 1 se obtiene las siguientes aproximaciones. Comparando con elvalor exacto de la función en 1 (f(1) = 1,64872) podemos determinar el valordel residuo.

Aproximación orden residuo en x = 1

f(1) ≈ f(0) = 1 0 R0(1) = 0,64871

f(1) ≈ f(0) + 1 − 0)f ′(0) = 1 + 12 = 1,5 1 R1(1) = 0,148721

f(1) ≈ f(0) + 12f(2)(0) = 1,5 +

“

12

”2= 1,625 2 R2(1) = 0,0237213

f(1) ≈ f(0) + f ′(0) + 12f(2)(0) + 1

3!f(3)(0) = 1,64583 3 R3(1) = 0,002888794

f(1) ≈ f(0) + f ′(0) + 12f(2)(0) + 1

3!f(3)(0) + · · · + 1

10!f(10)(0) = 1,64872 10 R10(1) = 1,2 10

−11



Ejercicio

Determinar el valor de la función f(x) = cos x en el punto x = 0,5 usando larepresentación de la función cos como serie de McLaurin. Se quiere el resultadocon un error absoluto menor que 10−4.



Solución

Las derivadas del cos son

f (0)(x) = f(x) = cos x f (0)(0) = f(0) = cos 0 = 1f (1)(x) = − sin x f (1)(0) = 0f (2)(x) = − cos x f (2)(0) = −1f (3)(x) = sin x f (2)(0) = −1f (4)(x) = f(x) = cos x f (4)(0) = 1

Con esto se tienecos x = 1 − x2

2 + x4

4! −x6

6! · · · y por eso cos 12 = 1 − 1

2122 + 1

4!124 − 1

6!126 · · ·

Para los residuos se tiene:

Rn = f (n+1)(ξx)(n+1)!

12

n+1 =⇒ |Rn| ≤ 12n+1 =⇒ |Rn| ≤ 10−4 si 2n+1 ≤ 104,

es decir (por 214 = 16384): n ≥ 13.



Solución (continuación)

Esta estimación es muy gruesa, como se ve en la tabla siguiente. El residuoverdadero ( es el error verdadero!) se obtiene comparando las aproximaciones conel valor verdadero:cos 1

2 = 0,877583.

orden de la serie aproximación de cos 12 estimación del residuo residuo verdadero

0 1 0.5 -0.122417

2 0.875 0.125 0.002583

4 0.877604 0.03125 -0.000021

6 0.877582 0.0078125 0.000001

8 0.877583 0.0019531 coincide en 6 decimales



Nomenclatura O

Se dice que el residuo Rn de la fórmula de Taylor es de orden O(hn) o el n-ésimoresiduo converge con rapidez O(hn).

Esto significa: si (hk)k∈N es una sucesión que converge a 0, entonces la sucesión(Rn(hk)k∈N converge a 0 de tal forma que |Rn(hk)| ≤ C |(hk)

n| para k > k0.

En términos generales:Sea (αk)k∈N una sucesión que converge a α y(βk)k∈N una sucesión que converge a 0.

Se dice que (αk)k∈N converge a α con una rapidez de O(βk)si existe k0 ∈ N y una constante C, tal que |αk − α| ≤ C |βk| para k > k0.



Ejemplo

La sucesión (αk)k∈N definida por αk := 1 − 12k2 − k

converge a 1 con O(1k2

).

La rapidez de convergencia no es O(1k3

).

Demostración

1

2k − 1≤

1

k⇒ k ≤ 2k − 1 ⇒ k

2 ≤ 2k2 − k ⇒

⇒ |αk − 1| =˛

˛

˛

1 − 12k2−k

− 1˛

˛

˛

= 12k2−k

≤ 1k , es decir convergencia con O( 1

k2).

Sea C una constante positiva y k > 2C

⇒ k2 > C 2k > C(2k − 1) ⇒ k3 > C(2k2 − k) ⇒

⇒ |αk − 1| =˛

˛

˛

1 − 12k2−k

− 1˛

˛

˛

= 12k2−k

> C 1k3 .

Entonces la convergencia no es de O(1k3

).



Contenido





Métodos numéricos Tema: Desarrollo de Taylor 2. El desarrollo de Taylor en varios dimensiones

El desarrollo de Taylor para funciones de variasdimensiones

Sea F : R2 → R tal que sus derivadas parciales de orden n + 1 existany sean continuas en un conjunto abierto que contenga los puntos (x0, y0) y(x, y) = (x0 + h, y0 + k). Entonces:

F (x, y) == F (x0 + h, y0 + k) =

= F (x0, y0) +n∑

i=1

1i!

(h

∂

∂x+ k

∂

∂y

)i

F (x0, y0) + Rn(x, y)

Similar al caso de una dimension, se expresa el valor de la función como expresionrelacionado con las derivadas parciales en el punto inicial (x0, y0):

1i!

(h ∂

∂x + k ∂∂y

)i

F (x0, y0) (se explica ahora)

y un residuo Rn(x, y), que depende del punto que interesa (x, y).



El desarrollo de Taylor para funciones de variasdimension: el término de las derivadas

El término„

h∂

∂x+ k

∂

∂y

«i

F (x, y) se define de la siguiente manera:

i = 1 :

„

h∂

∂x+ k

∂

∂y

«1

F (x, y) =

„

h∂F

∂x+ k

∂F

∂y

«

(x, y)

i = 2 :

„

h∂

∂x+ k

∂

∂y

«2

F (x, y) =

h2∂2F

∂x2+ 2hk

∂2F

∂x∂y+ k

2∂2F

∂2y

!

(x, y)

i = 3 : aparecen las derivadas parciales combinadas de orden 3,„

h∂

∂x+ k

∂

∂y

«3

F (x, y) =

h3∂3F

∂x3+ 3h

2k

∂3F

∂x2∂y+ 3hk

2 ∂3F

∂x∂y2+ k

3∂3F

∂y3

!

(x, y)

y así sucesivamente:

el término n se construye en analogía formal al polinimio(h ∂

∂x + k ∂∂y

)n



El desarrollo de Taylor para funciones de variasdimension: el residuo

El residuo en el punto (x, y) = (x0 + h, y0 + k) se obtiene como

Rn(x, y) =1

(n + 1)!

(h

∂

∂x+ k

∂

∂y

)n+1

F (x0 + αh, y0 + αk)

para un α ∈]0, 1[.

Se observa la analogía al caso de una dimsensión:x0 + αh es un punto en el interval (x0, x0 + h),y + αk es el punto en el interval (y0, y0 + k) que conserva la proporción.



Ejemplo

Sea F (x, y) = x4 + x2y + y2 ysea x0 = 1; y0 = 2.

Aplique el desarrollo de Taylor en (x0, y0) de orden 1 y 2 para obtener aproxima-ciones en (x0 + h, y0 + k) para h = 0,1; k = 0,2.

Determine el residuo correspondiente y estime el error.



SoluciónLas derivadas parciales de F respecto a x y y son

orden 1:∂F

∂x= 4x

3+ 2xy;

∂F

∂y= x

2+ 2y;

„

h∂

∂x+ k

∂

∂y

«1

F (x, y) = h(4x3+ 2xy) + k(x

2+ 3y

2)

orden 2:∂2F

∂x2= 12x

2+ 2y;

∂2F

∂x∂y= 2x;

∂2F

∂y2= 6y;

„

h∂

∂x+ k

∂

∂y

«2

F (x, y) = h2(12x

2+ 2y) + hk(4x) + k

2(6y)

orden 3:∂3F

∂x3= 24x;

∂3F

∂x2∂y= 2;

∂3F

∂x∂y2= 0;

∂3F

∂y3= 6.

„

h∂

∂x+ k

∂

∂y

«3

F (x, y) = h3(24x) + h

2k(6) + k

3(6)



Solucion (continuación)

Serie de Taylor de Orden 0

F (1,1, 2,2) ≈ F (1, 1) = 11

|R0| ≤ 0,1(4 · 1,13 + 2 · 1,1 · 2,2) + 0,2(1,12 + 3 · 2,22) = 4,1624

Serie de Taylor de Orden 1 (Linealización de F )

F (1,1, 2,2) ≈ F (1, 1) + 0,1(4 · 13 + 2 · 1 · 2) + 0,2(12 + 3 · 22) = 14,4

|R1| ≤12

(0,01(12 · 1,12 + 2 · 2,2 + 0,02 · 4 · 1,1) + 0,04 · 6 · 2,2

)= 0,4026

Serie de Taylor de Orden 2

F (1,1, 2,2) ≈ 14,4+12

(0,01 · (12 · 12 + 2 · 2) + 0,02 · 4 · 1 + 0,04 · 6 · 2

)=

14,76

|R1| ≤ 16 (0,001 · 24 · 1,1) + 0,002 · 6 + 0,008 · 6) = 0,0144.



Contenido





Métodos numéricos Tema: Desarrollo de Taylor 3. Implementación en Scilab

La serie de McLaurin para la función cos(x)usando Scilab

Se define la función factorial en Scilab:

–>function [y]=factorial(x)–>y=1–>for i=1:x, y=y*i; end;–>endfunction

También se puede usar una definición recursiva:

–>function [y]=factorialREC(x)–>if x == 1 then y=1;–>else y=factorialREC(x-1)*x; end–>endfunction



La serie de McLaurin (serie de Taylor para x0 = 0)

Se usa el vector v que contiene el cos y sus primeras 3 derivadas. Para lasderivadas superiores se usa el cálculo modulo 4, ya que se repiten.

Los 2 parámetros de la función se refieren al punto, donde se quiere evaluar laserie de McLaurin (x) y al orden de la serie (k).

–>function [y]=TaylorCOS(x,k)–>v=[1 0 -1 0] –>y=1;–>for i=1:k, y=y+v(modulo(i,4)+1)*x^i/factorial(i); end–>endfunction



La siguiente modificación de la función TaylorCOS estima además el residuo.

La función cos y sus derivadas son menor que 1 en valor absoluto, de manera quepara el k−ésimo residuo Rk se tiene:

|Rk| ≤|x|k+1

(k + 1)!

La mano derecha de esta ecuación se calcula en la segunda componente delparámetro y que en esta función se considera un vector.

–>function [y]=TaylorCOS1(x,k)–>v=[1 0 -1 0] –>y(1)=1;–>for i=1:k, y(1)=y(1)+v(modulo(i,4)+1)*x^i/factorial(i);end–>y(2)=x^(k+1)/factorial(k+1)–>endfunction



La siguiente función devuelve el valor del cos con una tolerancia dada, aplicandola serie de McLaurin

–>function [y]=TaylorCOS2(x,tau)–>v=[1 0 -1 0]–>y=1;–>i=1;–>e=abs(x)^(i)/factorial(i)–>while e>=tau, y=y+v(modulo(i,4)+1)*x^i/factorial(i);–>i=i+1;–>e=abs(x)^(i)/factorial(i); end–>endfunction


serie de taylor 222

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