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Septiembre 2013. Reserva 1/2

SEPTIEMBRE 2013. RESERVA

PRIMERA PARTE: CUESTIONES TERICO-CONCEPTUALES

Respuesta.- Sea P la funcin de probabilidad definida para los sucesos de un determinado

experimento aleatorio, siendo E su espacio muestral. Sea X: E una aplicacin que a cada suceso elemental le haga corresponder un nmero real y representemos por [X a] el suceso

{xE/X(x) a}. Diremos que X es una variable aleatoria si existe la probabilidad P[Xx] para todo nmero real x.

Respuesta.-

En condiciones bastante generales, los estimadores obtenidos por el mtodo de los

momentos son consistentes, asintticamente normales y, en general, no son insesgados (s lo

son si se pretende estimar momentos poblacionales respecto del origen). Por tanto, en general

no son eficientes.

Los obtenidos por el mtodo de la mxima verosimilitud son consistentes, no son en

general insesgados, pero entonces son asintticamente insesgados. Son asintticamente

eficientes y asintticamente normales.

Respuesta.-

Para un nivel de significacin fijo, al aumentar el tamao muestral disminuye el error

de tipo II, = P[Aceptar H0/H0 falsa], por tanto, aumenta la potencia del contraste 1 = = P[Rechazar H0/H0 falsa]. Si representamos la curva de potencia para dos tamaos muestrales,

p. ej. n = 25 y n = 100, se obtienen curvas del tipo:

Respuesta.-

Un estimador n

de un parmetro , obtenido de una muestra de tamao n, es

consistente en probabilidad si > 0, se cumple que 1Plim nn

.

Tambin se dice que n

es consistente en media cuadrtica si 0Elim 2nn

.

En ambos casos significa que, a mayor tamao de la muestra, ms se asemeja el

estimador (en probabilidad o en media cuadrtica) al parmetro.

n=25 n=100

1

= 0 1

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PROBLEMAS

Solucin.-

a) La variable X = nmero de impagos en 300 prstamos es binomial B(300; 0,094)

N 906,0094,0300;094,0300 N(28,2; 5,055). Luego: P(X = 20) = (correccin por continuidad) = P(19,5 X 20,5) = (tipificando) =

=

055,5

2,285,20Z

055,5

2,285,19P = P(1,72 Z 1,52) = (tablas) = 0,0216

b) La variable X = nmero de impagos en 60 prstamos ser binomial B(60; 0,094),

luego P(X = 0) = 0,90660

0,0027. c) En el apartado a) se ha aproximado la binomial por la normal porque np = 28,2 > 5 y

p = 0,094 < .

Solucin.-

a) Tales intervalos tienen la forma:

nzx,

nzx 2/2/ . Entonces:

- Para = 0,1, de las tablas 2/z = 1,65 , luego el intervalo es

200

80065,11800,

200

80065,11800 = [1706,66; 1893,34]

- Para = 0,05, de las tablas 2/z = 1,96 , luego el intervalo es

200

80096,11800,

200

80096,11800 = [1689,13 ; 1910,87]

b) Debe ser 1,96n

800= 300, de donde n 27,32, por lo que tomaremos n = 28.