separata n1 matrices

2

CAPITULO 1

ECUACIONES LINEALES Y MATRICES

1.1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Se llama ecuacin lineal sobre un campo K, a una expresin de la forma:

bxaxaxa nn =+++ K2211 (1) donde los K, bai y los ix son indeterminadas, incgnitas o variables. Los escalares ia se denominan coeficientes y b es llamado trmino constante o

independiente de la ecuacin. Un conjunto de valores de las incgnitas, por ejemplo:

nn kxkxkx === ,,, 2211 K se dice que es una solucin de la ecuacin (1) si:

bkakaka nn =+++ K2211 generalmente si no hay ambigedad acerca de la posicin de las incgnitas, se

denotar esta solucin como la n-upla ),,,( 21 nkkkS K= NOTA.- En lo que sigue del curso el campo K que se considerar, ser el campo de

los nmeros reales (R) o el campo de los nmeros complejos (C).

Ejemplo.1.- Sea la ecuacin

22 = yx una solucin para la ecuacin es 1=x e 0=y ; pues reemplazando estos valores en la ecuacin, sta se verifica

20)1(2 =x Ntese que no son los nicos valores para x e y que satisfacen la ecuacin. Tambin si

se considera 0=x e 2=y se verifica la ecuacin. El conjunto de todas las soluciones de la ecuacin es llamado conjunto solucin de la

ecuacin lineal y se obtiene asignando a una de sus variables un valor arbitrario

llamado parmetro y luego despejando la otra variable en trminos del parmetro.

As dando el valor de ax = se tiene ay 22 = .

3

Interpretacin geomtrica.- La ecuacin 22 = yx representa una recta en el plano que se denotar por L. En consecuencia, cualquier punto que pertenece a la recta L es

una solucin de la ecuacin 22 = yx .

Ejemplo.2.- Si se considera la ecuacin

1=++ zyx una solucin para la ecuacin es 1=x , 0== zy . Otra sera 1=y , 0== zx . El conjunto solucin de la ecuacin se obtiene asignando dos parmetros diferentes a

dos de las variables y despejando la tercera en trminos de los parmetros asignados.

Es decir haciendo ax = e by = se tiene baz = 1 , donde a y b pueden tomar el valor de cualquier nmero real.

Interpretacin geomtrica.- La ecuacin 1=++ zyx representa un plano en el espacio que se denotar por P. Luego, cualquier punto del plano P es solucin de la

ecuacin.

A continuacin se definir un sistema de ecuaciones lineales como una coleccin

finita de ecuaciones lineales.

O 1

-2

22: = yxL

X

Y

Z

Y

X

1: =++ zyxP

O 1

1

1

4

Se llamar un sistema de m ecuaciones lineales con n incgnitas nxxx ,,, 21 K sobre

el campo K, a una expresin de la forma

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

=+++

=+++=+++

KMMMM

KK

2211

22222121

11212111

(2)

donde los Kiji ba , . Una forma fcil de resolver un sistema de ecuaciones lineales es haciendo uso del

conocido mtodo de eliminacin gaussiana; ste mtodo consiste en reducir un

sistema de ecuaciones lineales a otro equivalente ms simple que tiene el mismo

conjunto solucin. Para aplicar el mtodo de eliminacin hay que tener en cuenta que

el conjunto solucin del sistema no se altera si se realizan cuantas veces sean

necesarias las siguientes operaciones:

1. Intercambiar dos ecuaciones.

2. Multiplicar una ecuacin por una constante distinta de cero.

3. Sumar el mltiplo de una ecuacin a otra.

Ejemplo 3.- Sea el sistema

422

=+=

yxyx

(3)

Solucin

Multiplicando la segunda ecuacin por 2

82222

=+=

yxyx

multiplicando la primera ecuacin por 1 y luego sumando a la segunda

6322

==

yyx

despejando la variable de la segunda ecuacin se tiene

2=y reemplazando el valor de 2=y en la primera ecuacin se obtiene el valor de

2=x Luego, 2=x e 2=y es la solucin del sistema (3). El sistema (3) geomtricamente representa dos rectas en el plano, y resolver simultneamente el sistema significa

hallar los puntos de interseccin de las rectas. Si denotamos por 1L la recta

5

determinada por la ecuacin 22 = yx y por 2L la recta determinada por la ecuacin 4=+ yx , entonces })2,2({21 =LL como se puede ver en el siguiente grfico.

Ejemplo 4..- Sea el sistema

42422=+

=yx

yx (4)

Solucin


2222

==

yxyx

ntese que las dos ecuaciones son iguales, por consiguiente resolver el sistema se

reduce solamente a resolver una de las ecuaciones. As dando el valor de ax = se tiene ay 22 = lo que significa que el sistema tiene infinitas soluciones. Geomtricamente el sistema (4) representa dos rectas paralelas coincidentes en el

plano como se puede apreciar en el grfico siguiente.

Y

X

22:1 = yxL4:2 =+ yxL

O

(2 ; 2)

Y

X O

424:2 =+ yxL 22:1 = yxL

6

Ejemplo 5.- Sea el sistema

82422=+

=yx

yx (5)

Solucin


4222

==

yxyx

en ste ejemplo ntese que la expresiones de la izquierda en ambas ecuaciones son

iguales, en consecuencia se tendra que 42 = , lo cual es un absurdo. El sistema (5) no tiene solucin. Los sistemas que no tienen solucin se denominan incompatibles o

inconsistentes. Geomtricamente el sistema (5) representa dos rectas paralelas. Si

denotamos por 1L la recta determinada por la ecuacin 22 = yx y por 2L la recta determinada por la ecuacin 824 =+ yx , entonces = 21 LL , como se puede ver en el siguiente grfico.

Ejemplo 6.- Un club social tiene un comedor con 56 mesas de tres tipos diferentes, x

mesas con 4 asientos cada una, y mesas con 8 asientos cada una, y z mesas con 10

asientos cada una. La capacidad de asientos del comedor es de 468. Durante un

almuerzo se ocuparon la mitad de las x mesas, un cuarto de las y mesas y un dcimo

de las z mesas, haciendo un total de 12 mesas. Cuntas mesas de cada tipo se usaron

en el almuerzo?.

Solucin

El enunciado del problema, se puede expresar mediante el siguiente sistema

Y

X

22:1 = yxL

42:2 = yxL

O

7

12101

41

21

468108456

=++=++=++

zyx

zyxzyx

(6)

multiplicando la primera ecuacin por 4 y sumando a la segunda; luego multiplicando la primera ecuacin por

21 y sumando a la tercera se tiene

1652

41

2446456

==++=++

zy

zyzyx

multiplicando la tercera ecuacin por 16

2565

324

2446456

=+=++=++

zy

zyzyx

multiplicando a la segunda ecuacin por 1 y sumando a la tercera

1252

2446456

=+=++=++

z

zyzyx

en este ltimo sistema, de la tercera ecuacin se obtiene el valor de

30=z y sustituyendo el valor de z en la segunda ecuacin se tiene

16=y y as sucesivamente por retroceso, sustituyendo los valores de z e y en la primera

ecuacin se tiene

10=x Luego, la solucin para el sistema (6) es 10=x , 16=y y 30=z .

EJERCICIOS

1. Resuelva el sistema lineal dado mediante el mtodo de eliminacin

a) 44382

==+

yxyx

b) 10335

=+=+

yxyx

c) 1335

2642=

=+yxyx

d) 1596532=+

=yxyx

8

e) 941114

26523438

==+

=

yxyxyx

f) 12332

12432

=++=+=+

zyxzyxzyx

g) 48224223

=+=++=++

zyxzyx

zyx h)

85431543212642

=++=

=++

zyxzyxzyx

i) 632

=+=+

zyxzyx

j) 3266123

=++=+

zyxzyx

2. Dado el sistema lineal

tyxyx

==

2452

a) Determine el valor de t de modo que el sistema tenga una solucin.

b) Determine un valor de t de modo que el sistema no tenga solucin.

c) Cuntos valores distintos de t se pueden elegir en la parte (b)?

3. Dado le sistema lineal

054032

=+=+

zyxzyx

a) Verifique que 1,1,1 111 === zyx ; es una solucin. b) Verifique que 2,2,2 222 === zyx ; es una solucin. c) Es 1,1 2121 =+==+= yyyxxx y 121 =+= zzz una solucin del sistema

lineal?

d) Es zyx 3,3,3 , donde yx, y z son como en la parte (c) solucin del sistema

lineal?

4. Sin utilizar el mtodo de eliminacin, resuelva los siguientes sistemas:

a) 473522

==+

=

zzyzyx

b) 12253

13284

=+==

zyxyx

x

5. Hay un valor de r tal que 1=x , 2=y , rz = sea una soluciona del siguiente sistema lineal? En tal caso, determnelo.

1224

721132

=+=+

=+

zyxzyx

zyx

9

6 Hay un valor de r tal que 1,2, === zyrx sea una solucin del siguiente sistema lineal? En tal caso determnelo.

923254

423

=++=+

=

zyxzyxzx

7. La suma de dos nmeros es 15. El quntuplo del primer nmero ms el triple del

segundo es 61. Encuentre los dos nmeros. 8. Una refinera produce gasolina con y sin azufre. Cada tonelada de gasolina sin azufre

requiere 5 minutos en la planta de mezclado y 4 en la planta de refinacin. Por su parte, cada tonelada de gasolina con azufre requiere 4 minutos en la planta de mezclado y 2 en la planta de refinacin. Si la planta de mezclado tiene 3 horas disponibles y la de refinacin 2, cuntas toneladas de cada gasolina se deben producir para que las plantas se utilicen al mximo?

9. Un industrial produce dos tipos de plstico: regular y especial. Cada tonelada de

plstico regular necesita 2 horas en la planta A y 5 en la planta B; cada tonelada de plstico especial necesita 2 horas en la planta A y 3 en la planta B. Si la planta A tiene disponibles 8 horas al da y la planta B 15, cuntas toneladas de cada tipo de plstico pueden fabricarse diariamente de modo que las plantas operen a toda su capacidad?

10. Un nutricionista est preparando una dieta que consta de los alimentos A, B y C. Cada

onza del alimento A contiene 2 unidades de protena, 3 unidades de grasa y 4 unidades de carbohidratos. Cada onza del alimento B contiene 3 unidades de protena. 2 unidades de grasa y 1 unidad de carbohidratos. Cada onza del alimento C contiene 3 unidades de protena, 3 unidades de grasa y 2 unidades de carbohidratos. Si la dieta debe proporcionar exactamente 25 unidades de protena. 24 unidades de grasa y 21 unidades de carbohidratos, cuntas onzas de cada comida se necesitan?

11. Una farmacia vende 100 unidades de vitamina A, 50 unidades de vitamina C y 25

unidades de vitamina D por un total de $17.50; 200 unidades de vitamina A, 100 unidades de vitamina C y 100 unidades de vitamina D por $45.00; 500 unidades de vitamina A, 80 unidades de vitamina C y 50 unidades de vitamina D por $64.00. Encuentre el costo por unidad de cada una de las vitaminas A, C y D.

12. Un fabricante produce reveladores de pelculas de 2, 6 y 9 minutos. Cada tonelada de

revelador de 2 minutos requiere 6 minutos en la planta A y 24 en la planta B. Cada tonelada de revelador de 6 minutos requiere 12 minutos en la planta A y 12 en la planta B. cada tonelada de revelador de 9 minutos requiere 12.

10

1.2. MATRICES

Al resolver el sistema

12101

41

21

468108456

=++=++=++

zyx

zyxzyx

(1)

por el mtodo de eliminacin, se ha trabajado bsicamente con los coeficientes del

sistema, sin tener que preocuparse por las variables. En la prctica, despus de

establecer un orden en la disposicin de las variables, el sistema se puede expresar

mediante un arreglo rectangular de la siguiente manera

12101

41

21

468108456111

(2)

el arreglo rectangular (2) descrito anteriormente recibe el nombre de matriz

aumentada o matriz ampliada asociada al sistema (1). El concepto de matriz que es

de suma importancia en el lgebra lineal se formaliza en la siguiente definicin.

DEFINICIN.- Sea K un campo (R o C) y sean m, n nmeros enteros mayores o

iguales a uno. Se llama matriz en K a todo arreglo A de escalares en K de la forma:

=

nmmm

n

n

aaa

aaaaaa

A

KMKMM

KK

21

22221

11211

que de manera abreviada se escribir miaA ji ,,1],[ K== y nj ,,1 K= . Si la matriz A tiene m filas y n columnas, se dir que A es una matriz de orden m por n, lo

que se escribe como )( nm . Ejemplo 1

= 103412

A ,

= 4321

B ,

=

102

C ,

=

231102011

D ,

[ ]3=E , [ ]5021 =F y

+

=

iiii

iiG

213132201

11

son matrices. La matriz A es de orden 32 , B es una matriz de orden 22 , C es una matriz de orden 13 , D es una matriz de orden 33 , E en una matriz de orden 11 , F es una matriz de orden 41 y G es una matriz de orden 33 . Las matrices A, B, C, D, y E tienen como entradas nmeros reales; mientras que las entradas de la matriz G

son nmeros complejos.

NOTA.- Las matrices que tienen una sola fila como la matriz F del ejemplo 1 se

denominan matrices fila o vectores fila y las matrices que tienen una sola columna

como la matriz C del ejemplo 1 son llamadas matrices columna o vectores columna.

Ejemplo 2.- Una empresa tiene cuatro plantas, en cada una de ellas se fabrican tres

productos. Si ija denota el nmero de unidades del producto i elaborado por la planta

j durante una semana. La siguiente matriz

3800

80

200480390

370400350

210240420

3Pr2Pr1Pr

4321

oductooductooducto

PlantaPlantaPlantaPlanta

da la produccin de la empresa en una semana.

42011 =a , es el nmero de unidades del producto 1 que produce la empresa en la planta 1

37032 =a , es el nmero de unidades del producto 3 que produce la empresa en la planta 2

Ntese que la empresa no produce el producto 2 en la planta 4.

Ejemplo 3.- La siguiente matriz da las distancias (en kilmetros) entre las ciudades

de Lima, Tumbes, Tacna y Huaraz.

01787897452

17870

26841335

8972684

01349

45213351349

0

HuarazTacna

TumbesLima

HuarazTacnaTumbesLima

12

El conjunto formado por todas las matrices de orden nm con elementos en el campo K se denota por

AAnm /{=K es una matriz de orden )( nm con elementos en el campo K }

Igualdad de matrices.- Dos matrices de orden nm nmjiaA = ][ y nmjibB = ][ se dice que son iguales si ijij ba = para todo njmi 1,1 . Ejemplo 4.-Si

=

++

21064

yxtztzyx

hallar los valores de x, y, z y t.

Solucin

De la definicin de igualdad de matrices se tiene

21064

===+=+

yxtztz

yx

sumando la primera y cuarta ecuacin se obtiene

362 == xx y sustituyendo el valor de x en la primera ecuacin se obtiene el valor de 1=y . Anlogamente, sumando la segunda y tercera ecuacin se tiene

8162 == zz y reemplazando el valor de z en las segunda ecuacin resulta 2=t . Luego, 8,1,3 === zyx y 2=t .

TIPOS DE MATRICES

1. Matriz nula.- Dada la matriz nmjiaA = ][ , se dice que A es una matriz nula y denota por 0=A si y solo si 0=jia para todo mi ,,1 K= y nj ,,1 K= . Explcitamente, se escribe como

nm

=

000

000000

0

KMKMM

KK

13

2. Matriz cuadrada.- Una matriz nmjiaA = ][ se dice que es cuadrada si y solo si nm = .

=

nnnn

n

n

aaa

aaaaaa

A

KMKMM

KK

21

22221

11211

es decir una matriz es cuadrada si el nmero de sus filas es igual al nmero de sus

columnas. En una matriz cuadrada de orden n se llama diagonal principal a los

escalares nnaaa ,,, 2211 L y a la suma de los elementos de la diagonal principal

se denomina traza de A lo que se denota por )(ATr ; es decir

nnn

iii aaaaATr +++==

=L2211

1)(

Ejemplo 5.- Dadas las siguientes matrices

=4132

A y

=

243531021

B

se tiene que:

642)( =+=ATr 2231)( =+=BTr

3. Vector fila y vector columna de una matriz.

Dada la matriz

=

nmmm

n

n

aaa

aaaaaa

A

KMKMM

KK

21

22221

11211

La primera fila de A se denotar por: ][)( 112111 naaaAF K= y a la i-sima fila por: ][)( 21 niiii aaaAF K= , de manera anloga,

14

la primera columna por:

=

1

21

11

1 )(

ma

aa

AC M y a la j-sima columna por:

=

jm

j

j

j

a

aa

AC M2

1

)(

Luego la matriz A se puede escribir como

=

)(

)()(

2

1

AF

AFAF

A

m

M en trmino de sus filas y

como [ ])()()( 21 ACACACA nK= en trmino de sus columnas. a) )(,),(),( 21 AFAFAF mK se denominan vectores filas de la matriz A.

b) )(,),(),( 21 ACACAC nK se denominan vectores columnas de la matriz A.

Ejemplo 6.- Dada la matriz

=

627450

312A

Los vectores fila de la matriz A son: [ ]312)(1 =AF , [ ]450)(2 =AF y [ ]627)(3 =AF .

Los vectores columna de A son:

=

702

)(1 AC ,

=

251

)(2 AC ,

=64

3)(3 AC

4. Matriz diagonal.- Se dice que una matriz cuadrada nnijaA = ][ de orden n es diagonal si y solo si 0=ija para todo ji ; nji ,1

Ejemplo 7.- Las siguientes matrices son diagonales

=

500030002

A ,

=

100010001

B y

=

3000030000300003

C

15

5. Matriz escalar.- Se llama matriz escalar a una matriz diagonal donde todos los

elementos de la diagonal principal son iguales a una constante k diferente de 0 y

de 1.

Ejemplo 8.- Las siguientes matrices son escalares

=

200020002

A ,

=

500050005

B ,

=

3000030000300003

C

6. Matriz identidad.- Una matriz cuadrada ][ ijaA = de orden n tal que

==

jisijisi

aij 01

.

para i, j variando de 1 hasta n es llamada matriz identidad de orden n y se

denota por nI .

Ejemplo 9.- Las siguientes matrices son matrices identidades

[ ]11 =I ,

=1001

2I ,

=

100010001

3I ,

=

100

010001

KMKMM

KK

nI

1. Matriz triangular superior y matriz triangular inferior.- Una matriz cuadrada

][ ijaA = de orden n se dice que es a) Triangular superior si 0=ija para ji > . Es decir, explcitamente

=

nn

n

n

n

a

aaaaaaaa

A

0000

000

a

333

22322

1131211

OMMMLLL

b) Triangular inferior si 0=ija para ji < . Es decir, explcitamente

=

nnnnn aaaa

aaa

A

0

0a00a000a

321

333231

2221

11

OMMMLLL

16

OPERACIONES CON MATRICES

1. SUMA DE MATRICES.- Dadas dos matrices nmjiaA = ][ y nmjibB = ][ del mismo orden. La suma de A y B es una matriz del mismo orden que se define

como

( )nmjiji

baBA +=+ njmi 1,1 Explcitamente si

=

nmmm

n

n

aaa

aaaaaa

A

KMKMM

KK

21

22221

11211

y

=

nmmm

n

n

bbb

bbbbbb

B

KMKMM

KK

21

22221

11211

se tiene que

+++

++++++

=+mnnmmmmm

nn

nn

bababa

babababababa

BA

KMKMM

KK

2211

2222222121

1112121111

Dos matrices del mismo orden se dice que son conformables respecto a la adicin

de matrices.

Ejemplo 10.- Dadas las matrices

= 401

132A y

=142321

B

calcular BA+ . Solucin

+

=+ 142

321401132

BA

++++++=

1440)2(131)2(312

= 543

413

Ejemplo 11.- Una empresa metalmecnica fabrica tres modelos A, B y C de un

producto. Partes de cada uno se elaboran en la fbrica 1F ubicada en Arequipa, y

despus se terminan en la fbrica 2F ubicada en Lima. El costo total de cada

17

producto consta de los costos de manufactura y de embarque. Entonces los costos

en cada fbrica (en dlares) se pueden describir mediante las matrices 1F y 2F

CModeloBModeloAModelo

F

embarquedeCosto

amanufacturdeCosto

=

353020

804035

1


F

embarquedeCosto

amanufacturdeCosto

=

302030

1406050

2

La matriz


FF

embarquedeCosto

amanufacturdeCosto

=+

655050

22010085

21

proporciona los costos totales de manufactura y embarque de cada producto. As,

los costos totales del modelo B por manufactura y embarque son 100 y 50 dlares

respectivamente.

2. Multiplicacin de una matriz por un escalar.- Dada la matriz

K= kaA nmji ,][ . La multiplicacin de la matriz A por el escalar k denotado por kA se define como

nmjiakkA = ][ Explcitamente si

=

nmmm

n

n

aaa

aaaaaa

A

KMKMM

KK

21

22221

11211

y Kk

=

nmmm

n

n

kakaka

kakakakakaka

kA

KMKMM

KK

21

22221

11211

18

Ejemplo 12.- Dada las matrices

= 401

132A

calcular A3

SOLUCIN

=

= 1203

396401132

33A


= 401

132A y

=142321

B

calcular BA 25 SOLUCIN

= 142

3212

401132

525 BA

= 284

642200551510

=1881

1198

3. Transpuesta de una matriz.- Dada una matriz nmjiaA = ][ se llama transpuesta de A a la matriz denotada por TA que se define como

mnijT aA = ][

Escrito en forma explicita,

si

nmnmmm

n

n

aaa

aaaaaa

A

=

KMKMM

KK

21

22221

11211

, entonces

mnnmnn

m

m

T

aaa

aaaaaa

A

=

KMKMM

KK

21

22212

12111

Ejemplo 14.- Sean las matrices

=2413

A ,

=034751

B ,

=043

5

C y [ ]7421 =D

entonces, sus transpuestas son:

19

= 21

43TA ,

=

073541

TB , [ ]0435 =TC y

=

7421

TD

EJERCICIOS

1. Calcular la matriz BA 335 . Sabiendo que:

=3122/102

A y

=3/203/1

012B

2. Determinar la matriz:

=uzyx

X , sabiendo que IX =

+

2210

3. Si

=

++

3424

2222

dcdcbaba

determinar los valores de a, b, c y d.

4. Encuentre todos los valores de x para los cuales

=

+

xxx

exxxx

x 199319941994

)ln(1993

2

22

5. Sean las matrices:

=412321

A ,

=

231201

B ,

=

312514313

C ,

=4223

D ,

=

123410542

E y

=3254

F

en caso de ser posible calcular:

a) EC 52 b) )(3 FD + c) TEC )32( + d) TT AB )23( e) TFD )23( f) TTFEC )( ++

6. Sean

=

423331352

A y

=

100010001

I

20

Si es un nmero real, calcule AI . 7. Escribir en forma explcita las siguientes matrices:

a) 43][ = ijaA , si jij ia )1(2 +=

b) 33][ = ijbB , si

21

1.3. PRODUCTO PUNTO Y MULTIPLICACIN DE MATRICES

Producto punto o producto interior .- El producto punto o producto interior o

producto escalar de los n-vectores [ ]naaa L21=a y

=

nb

bb

M2

1

b se define como

[ ] =

+++==

= n

innii

n

n babababa

b

bb

aaa1

22112

1

21 LMLba

Ejemplo 1.- Dados los 4-vectores [ ]4312 =u y

=5

23

1

v se tiene

[ ] 9)5)(4()2)(3()3)(1()1)(2(5

23

1

4312 =+++=

= vu

Ejemplo 2.- Sean los 3-vectores [ ]x23=a y

=

x23

b

Si 17=ba hallar x. Solucin

[ ] 24174923

23 22 ===++=

= xxx

xxba

Producto de matrices.- Sean las matrices pmjiaA = ][ y npjibB = ][ el producto de A por B denotado por AB se define como:

nmjicCAB == ][ donde =

=p

kjkkiji bac

1 ; para todo njmi ,,1,,,1 KK ==

la componente ijc es el producto punto o producto interior de la i-sima fila de A y

la j-sima columna de B. Es decir, si )(,),(),( 21 AFAFAF mK denotan los vectores

22

filas de la matriz A y )(),(),( 21 BCBCBC nK denotan los vectores columnas de la

matriz B, entonces

)()( BCAFc jiji = donde mi ,,1 K= y nj ,,1 K= . Escrito de manera explcita

=

)()()()()()(

)()()()()()()()()()()()(

21

22212

12111

BCAFBCAFBCAF

BCAFBCAFBCAFBCAFBCAFBCAF

AB

nmmm

n

n

LMKMM

KK

Observaciones

1) El producto AB est definido si y solo si el nmero de columnas de la matriz A es

igual al nmero de filas de la matriz B.

2) Si el producto AB est definido, se dice que A es conformable con B respecto a la

multiplicacin.

3) Si AB est definido, no necesariamente BA est definido.

Ejemplo 3. Dadas las matrices

4214322103

=A y

34214203110121

=B se tiene

=

=1269814

214203110121

14322103

AB

Ntese que BA no est definido; pues el nmero de columnas de B es 3 y es diferente

al nmero de filas de A que es 2.


= 21321 x

A y

=

1xy

B .

Si

=26

AB , hallar los valores de x, y.

Solucin

23

=

++

+=

= 2

623

3

1213

21yxyx

xy

xAB

22363

=++=+

yxyx

0363

=+=+

yxyx

multiplicando la primera ecuacin por 3

03

1839=+=+

yxyx

y restando la segunda ecuacin de la primera

59

1810 == xx y finalmente reemplazando el valor de x en la segunda ecuacin se obtiene

53

59

3 == yy Ejemplo 5.- Dadas las matrices

=

304132

A y

=421313

B

calcular las siguientes entradas del producto AB .

a) La entrada )2,1(

b) La entrada )3,2(

c) La entrada )1,3(

d) La entrada )3,3(

Solucin

a) La entrada )2,1( se halla multiplicando la primera fila de la matriz A por la

segunda columna de la matriz B.

[ ] 4)2)(3()1)(2(21

32)()( 21 =+=

= BCAF

b) La entrada )3,2( se calcula multiplicando la segunda fila de la matriz A por la

tercera columna de la matriz B.

[ ] 13)4)(4()3)(1(43

41)()( 32 =+=

= BCAF

24

c) La entrada )1,3( se halla multiplicando la tercera fila de la matriz A por la

primera columna de la matriz B.

[ ] 3)1)(3()3)(0(13

30)()( 13 =+=

= BCAF

d) La entrada )3,3( se halla multiplicando la tercera fila de la matriz A por la tercera

columna de la matriz B.

[ ] 12)4)(3()3)(0(43

30)()( 33 =+=

= BCAF

Ejemplo 6. Un proyecto de investigacin nutricional comprende adultos y nios de

ambos sexos. La composicin de los participantes est dada por la matriz:

MujeresHombres

A

niosadultos

=200120

10080

El nmero de gramos diarios de protenas, grasa y carbohidratos que consume cada

nio y cada adulto est dada por la matriz

NioAdulto

B

tosCarbohidraGrasaotenas

=3020

2020

1020

Pr

a) Cuntos gramos de protenas ingieren diariamente todos los hombres del

proyecto?.

b) Cuntos gramos de grasa consumen a diario todas las mujeres?.

Solucin

Calculando el producto de las matrices A y B se obtiene

=

=800060004000520040002800

302010202020

20010012080

AB

a) Al multiplicar la primera fila de la matriz A (hombres) por la primera columna de

la matriz B (protenas) se obtiene 2800 gramos de protenas que es lo que

consumen todos los hombres del proyecto.

b) Al multiplicar la segunda fila de la matriz A (mujeres) por la segunda columna de

la matriz B (grasa) se obtiene 6000 gramos de grasa que es lo que consumen todas

las mujeres del proyecto.

25


=532141

A y

=

142332

B

al efectuar el producto de la matriz A por B se obtiene

=1725106

AB

Por otra parte ntese que:

a) al multiplicar la matriz A por la primera columna de la matriz B se obtiene

=

=256

432

532141

)(1 BAC

b) anlogamente al multiplicar la matriz A por la segunda columna de la matriz B se

tiene

=

=1710

123

532141

)(2 BAC

Luego, de a) se puede observar que multiplicando la matriz A por la primera columna

de B se obtiene la primera columna de la matriz AB; es decir )()( 11 ABCBAC = . De igual manera, multiplicando la matriz A por la segunda columna de B se obtiene la

segunda columna de la matriz AB; es decir )()( 22 ABCBAC = . NOTA.- El resultado del ejemplo anterior se puede generalizar del siguiente modo. Si

A es una matriz de orden pm y B es una matriz de orden np , entonces la columna j-sima del producto de AB se calcula multiplicando la matriz A por la

columna j-sima de la matriz B. Es decir, )()( BACABC jj = . Observacin.- Sean u y v dos n-vectores que representan matrices columna de orden

1n , el producto punto de u por v denotado por vu se define por vuvu T = . Escribiendo explcitamente se tiene

Si

=

nu

uu

M2

1

u ,

=

nv

vv

M2

1

v , entonces [ ]

==

n

n

v

vv

uuu ML2

1

21vuvuT

nnvuvuvu +++= L2211

26

Ejemplo 8.- Si

=31

2u y

=

241

v , entonces

[ ]

==

241

312vuvu T

)2)(3()4)(1()1)(2( ++= 2=

Producto de matriz-vector escrito en trminos de columna.

Sea

=

nmmm

n

n

aaa

aaaaaa

A

KMKMM

KK

21

22221

11211

una matriz de orden nm

=

nb

bb

M2

1

b un n-vector o

matriz columna de n componentes. El producto bA es una matriz de orden 1n .

+++

++++++

=

nmnmm

nn

nn

nnmmm

n

n

bababa

babababababa

b

bb

aaa

aaaaaa

LM

LL

MK

MKMMKK

2211

2222121

1212111

2

1

21

22221

11211

++

+

=

nmn

nn

nn

mm ba

baba

ba

baba

ba

baba

MLMM2

1

22

222

212

11

121

111

++

+

=

mn

n

n

n

mm a

aa

b

a

aa

b

a

aa

b MLMM2

1

2

22

12

2

1

21

11

1

)()()( 2211 ACbACbACb nn+++= L Luego se tiene

)()()( 2211 ACbACbACbA nn+++= Lb (1) La expresin (1) es llamada combinacin lineal de las columnas de A.

27

Ejemplo 9

Dada la matriz

=514123

A y el vector columna

=

231

b ; expresar el

producto bA como una combinacin lineal de las columnas de A.

Solucin

Efectuando el producto bA se tiene

=

=35

231

514123

bA

Luego usando el resultado obtenido en (1)

+

=

51

212

343

135

Matrices y sistemas de ecuaciones

Sea el sistema de m ecuaciones con n incgnitas

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

=+++

=+++=+++

KMMMM

KK

2211

22222121

11212111

(2)

donde los Kiij ba , . Haciendo uso del producto de matrices el sistema (2) se puede escribir como:

=

mnmnmm

n

b

bb

x

xx

aaa

aaaaaa

MMK

MKMMKK

2

1

2

1

21

212221

11211

(3)

denotando por

=

mnmm

n

aaa

aaaaaa

A

KMKMM

KK

21

212221

11211

,

=

nx

xx

M2

1

x ,

=

mb

bb

M2

1

b

luego el sistema (2) se puede escribir como

bx =A (4)

28

donde la matriz nmA K es llamada matriz de coeficientes del sistema, 1 nKx es el vector de incgnitas y 1 mKb es el vector de trminos independientes. La matriz que se obtiene agregando o aumentando a la matriz de coeficientes la

columna del vector de trminos independientes es una matriz de orden )1( + nm y es llamada matriz ampliada o aumentada asociada al sistema (2) y se denota por

[ ]

=

mmnmm

n

b

bb

aaa

aaaaaa

A MK

MKMMKK

2

1

21

212221

11211

b

Nota.- El vector de trminos independientes del sistema (2) se puede expresar

como una combinacin lineal de los vectores columna de su matriz

asociada. Es decir

=

++

+

mmn

n

n

n

mm b

bb

a

aa

x

a

aa

x

a

aa

x MMLMM2

1

2

1

2

22

12

2

1

22

11

1

Ejemplo 10.- Dado el sistema

56162121521562

=+==+

zyxyx

zyx (5)

expresar como un producto de matrices y determinar su matriz aumentada.

Solucin

Denotando la matriz de coeficientes por

=

11620152621

A , el vector de incgnitas

por

=

zyx

x y el vector de trminos independientes por

=

561215

b el sistema (5) se

puede escribir como

29

=

561215

11620152621

zyx

La matriz ampliada asociada al sistema es [ ]

=

561215

11620152621

bA .

Ejemplo 11.- Escriba el sistema de ecuaciones lineales cuya matriz ampliada es

1532

7201201245033022

Solucin

El sistema correspondiente a la matriz ampliada es

17252234532322

431

421

431

421

=++=++=+++=++

xxxxxxxxxxxx

EJERCICIOS

1. En los siguientes ejercicios calcular el producto punto ba .

a) [ ]13 =a ,

=52

b b) [ ]24 =a ,

=32

b

c) [ ]432 =a ,

=

126

b d) [ ]121 =a ,

=

126

b

2. Sean [ ]13 = xa ,

=

1

2xb . Si 15=ba , hallar el valor de x.

30

3. Sean

=y

A13

121 y

=

2yx

B . Si

=36

AB , hallar x e y.

4. Dada las matrices

=

304221

A ,

=

531241

B ,

=

212133541

C ,

= 2132

D

=

343502213

E y

=2431

F

en caso de ser posible calcule

a) AB b) BA c) DCB + d) DFAB + e) )(BDA f) DAB)( g) AEAC + h) AFD )( +

5. Dadas A una matriz de 33 , B una matriz de 33 , C una matriz de orden 43 , D una matriz de 34 y E una matriz de 24 . Determine cules de las siguientes expresiones matriciales existe, en caso que existan indicar el orden de

la matriz resultante.

a) AB b) CB )( 2 c) )(53 CDA + d) ABDB 2+ e) )(3 DBDA + f) DC 2 g) DACBCDAB ))(3())((2 +

6. Sean las matrices:

=

112010122/1

A ,

=

213011

B y

=

22

C

Hallar: 2A , ABC y TT AB .

e) Dada las matrices

=

201530

223A ,

=

176122053

B , ABC = y

BAD = . Sin calcular en cada caso, toda la matriz, calcule los siguientes elementos:

a) 31c y 32c de C b) 12d y 33d de D

31

8. Mediante un ejemplo muestre que la multiplicacin de matrices no es

conmutativa.

9. Dadas las matrices

=

512130431231

A y

=

224154301331

B . Usando el

mtodo descrito en el ejemplo 9 calcule:

a) La segunda y cuarta columnas de AB.

b) La primera y tercera columnas de BA.

10. Sean

=

321242513

A y

=

312

b . Exprese bA como una combinacin

lineal de las columnas de A.


=213412

A y

=

212343101

B , exprese las columnas

del producto AB como una combinacin lineal de las columnas de A.

12. Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

3235549532222

=++=+=+=++

uzyxuzyxuzyxuzyx

a) Determine la matriz de coeficientes asociada al sistema..

c) Escriba el sistema lineal en forma matricial.

d) Determine la matriz aumentada asociada al sistema

13. Escriba cada una de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales en forma de

una ecuacin matricial bx =A .

a) 374

1252328

321

321

321

=+==+

xxxxxxxxx

b) 234

93625

21

21

21

==+=+

xxxxxx

32

c) 957

263

321

321

=++=+

xxxxxx

d) 44352

125925833

4321

431

4321

=++=+++

=+

xxxxxxxxxxx

14. En los siguientes ejercicios se da la matriz ampliada a sistema de ecuaciones

lineales. Se pide escribir el sistema correspondiente.

a)

223

401110

121 b)

1632

720120121203

3012

15. Cul es la relacin entre los sistemas lineales cuyas matrices aumentadas son las

siguientes:

12

622331

y

01

2

000622331

16. Determine en cada uno de los siguientes ejercicios el valor de a tal que 0=TAB donde:

a) [ ]13 = aA y [ ]412=B b) [ ]12= aA y [ ]aB 13= 17. Un empresario fabrica sillas y mesas, que deben de pasar por un proceso de

armado y acabado. Los tiempos que se requieren para estos procesos estn dados

(en horas) por la matriz

SillaMesa

A

acabadodeoceso

armadodeoceso

=42

32

PrPr

El empresario tiene una planta en Pucallpa y otra en Lima. Los costos por hora

de cada proceso estn dadas (en dlares) por la matriz

acabadodeocesoarmadodeoceso

B

LimaPucallpa

PrPr

1210

109

=

33

Cmo debe interpretar el empresario las entradas del producto de las matrices

AB ?.

18. Un fabricante elabora dos tipos de productos P y Q, en dos plantas, X e Y. En el

proceso de fabricacin, se producen los contaminantes bixido de azufre, xido

ntrico y partculas suspendidas. Las cantidades de cada contaminante estn dadas

(en kilogramos) por la matriz

QoductoPoducto

A

Partculasntricoxido

AzufredeBixido

PrPr

400150

250100

200300

=

Existen normas de proteccin del medio ambiente que exigen la eliminacin de

estos contaminantes. El costo diario por eliminar cada kilogramo de contaminante

esta dado (en dlares) por la matriz.

ssuspendidaPartculasntricoxido

azufredeBixidoB

YPlantaXPlanta

=

109

12

1578

Cmo debe interpretar el empresario las entradas del producto de matrices AB ?.

19. Una empresa paga a sus ejecutivos un salario, adems les da acciones de la compaa a manera de gratificacin anual. El ao pasado el presidente de la compaa recibi $80 000 y 50 acciones, cada uno de los tres vicepresidentes recibi $45 000 y 20 acciones y al tesorero se le dieron $40 000 y 10 acciones. a) Exprese los pagos hechos en dinero y en acciones mediante una matriz de

32 . b) Exprese el nmero de ejecutivos de cada rango por medio de un vector

columna. c) Utilice la multiplicacin matricial a fin de calcular la cantidad total de dinero

y el nmero total de acciones que la compaa pag a estos ejecutivos el ao pasado

34

1.4 PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON MATRICES

A continuacin se enunciar a modo de teoremas las propiedades ms importantes del

lgebra de matrices.

Teorema 1 [Propiedades de la suma de matrices]

Sean A, B y C matrices de orden nm , entonces se verifican las siguientes propiedades:

a) BA + es una matriz de orden nm . b) ABBA +=+ c) CBACBA ++=++ )()( d) Existe una nica matriz de orden nm denotada por 0 tal que AA =+ 0 la matriz 0 es llamada matriz nula o elemento neutro aditivo.

e) Para toda matriz A existe una nica matriz denotada por A tal que 0)( =+ AA la matriz A es llamada opuesto o inverso aditivo de A. PRUEBA

Se verificarn algunas propiedades y de las otras, se dar un ejemplo para ilustrar la

aplicacin de la propiedad.

a) Esta propiedad lo que nos dice es si se suman dos matrices de orden nm , entonces el resultado es una matriz tambin de orden nm . Es decir la operacin de adicin en las matrices es cerrada o cumple con la propiedad de cerradura.

b) Sean ][ ijaA = , ][ ijbB = matrices de orden nm ][][ ijij baBA +=+ sustitucin njmiba ijij += 1,1;][ por definicin de adicin ][ ijij ab += , por ser Kijij ba ,

35

njmiab ijij += 1,1;][][ por definicin de adicin AB += sustitucin

Luego queda demostrado que ABBA +=+ , es decir que la operacin de adicin definida en las matrices es conmutativa.

d) Sean ][ ijaA = y ][ ijxX = matrices de orden nm . Si se verifica que AXA =+ para toda matriz A de orden nm se tiene

][][][ ijijij axa =+ sustitucin njmiaxa ijijij =+ 1,1;][][ por definicin de adicin de matrices. njmiaxa ijijij =+ 1,1; por definicin de igualdad de matrices njmixij = 1,1;0 Luego 0=X es la matriz nula de orden nm . Las propiedades anteriores se ilustran mediante los siguientes ejemplos:

Ejemplo 1.- Dadas las siguientes matrices

=210312

A ,

=311121

B y

=103

241C

Verificando b) la propiedad conmutativa de la suma ABBA +=+

+

=+311121

210312

BA

++++++=32)1(110

)1(32112

=501213

Por otra parte calculando,

+

=+210312

311121

AB

++++++=231)1(0131)1(221

=501213

Luego se verifica que ABBA +=+

36

Verificando c) la propiedad asociativa de la suma CBACBA ++=++ )()(

+

+

=++103

241311121

210312

)( CBA

+

=

214122

210312

=404434

Por otra parte

+

+

=++103

241311121

210312

)( CBA

+

=103

241501213

=404434

Luego se verifica que CBACBA ++=++ )()( . Verificando d) la existencia del elemento neutro aditivo.

Existe la matriz

=000000

0 de orden 32 .

Si se considera la matriz

=210312

A , se tiene que

+

=+000000

210312

0A sustitucin

++++++=

020100030102

por definicin de adicin

=210312

propiedad de la adicin en K.

A= sustitucin Luego se verifica que AA =+ 0

Verificando e) la existencia del inverso aditivo.

Para

=210312

A existe

=

210312

A tal que

37

+

=+

210312

210312

)( AA

=000000

0= Teorema 2 [Propiedades de la multiplicacin de matrices]

Sean A, B y C matrices conformables respecto a la suma y producto, entonces se

verifican las siguientes propiedades:

a) CABBCA )()( = b) ACABCBA +=+ )( c) BCACCBA +=+ )( d) Si A es una matriz de orden nm y mI y nI son matrices identidad de

ordenes m y n respectivamente, entonces se verifica

AAIAI nm == Con los siguientes ejemplos se ilustran las propiedades antes enunciadas.


=

110312

A ,

=110211

B y

=

131201

C

Verificando a) la propiedad asociativa de la multiplicacin

=

131201

110211

110312

)(BCA

=

2119

110312

=

18327017

Por otra parte

38

=

131201

110211

110312

)( CAB

=131201

121633332

)( CAB

=

18327017

Luego se verifica la propiedad asociativa del producto de matrices.


=

110312

A ,

=110211

B y

=113121

C

Verificando c) la propiedad distributiva de la multiplicacin con respecto a la suma

+

=+

113121

110211

110312

)( CBA

=

223132

110312

=151396081

Por otro lado, calculando

+

=+

113121

110312

110211

110312

ACAB

+

=232363351

121633332

=151396081

39

Luego se verifica ACABCBA +=+ )( . Ejemplo 4.- Para ilustrar la propiedad d) .

Dada la matriz

=

110312

A

considerando

=

100010001

3I se tiene AAI =3

y considerando

=1001

2I se tiene AAI =2

Observacin.

El producto de matrices no es conmutativo. En efecto, para las matrices

=101312

A y

=

113121

011B se tiene que

=113121

011

101312

AB

=1044110

Sin embargo el producto BA no es posible efectuar pues el nmero de columnas

de B es 3 que es diferente al nmero de filas de A que es 2.

Cuando existen matrices A, B tales que su producto sea conmutativo se dice que

las matrices son permutables.

Potenciacin de matrices.- Sea A una matriz cuadrada de orden n, se define

nIA =0 AAA =2 AAA 23 = M AAA kk 1= donde 2, kk Z

40

Teorema 3.- [Propiedades de la potenciacin de matrices]

Dada una matriz A cuadrada de orden n, para todo +Zqp, se cumplen las siguientes propiedades.

a) qpqp AAA += b) pqqp AA =)( Observacin.- En general ppp BAAB )( . Solo se cumple la igualdad si y solo si

BAAB = . Ejemplo 5.-

Si

=

100110111

A , calcular nA .

Solucin

+=

=

=

1002102

)12(221

100210321

100110111

100110111

2A

+=

=

==

1003102

)13(331

100310631

100110111

100210321

23 AAA

Luego, se puede conjeturar que

+=

10010

2)1(1

n

nnn

An

lo cual se puede verificar usando induccin matemtica.

Teorema 4.- [Propiedades de la multiplicacin por escalares]

Si A y B son matrices conformables respecto a la adicin y multiplicacin de matrices

y r y s escalares, entonces se verifican las siguientes propiedades:

a) ArssAr )()( = b) sArAAsr +=+ )( c) rBrABAr +=+ )(

41

d) )()()( ABrBrArBA == Ejemplo 6. Ilustrando la propiedad d).

Sea 3=r ,

=203112

A y

=

120131

B se tiene

=

=3331515

360393

203112

)3( BA

Ahora calculando,

=

=21211515

120131

609336

)3( BA

Ahora calculando,

=

=

21211515

7755

3)(3 AB

Lugo se tiene que se verifica )()()( ABrBrArBA == .

Teorema 5.- [Propiedades de la transpuesta]

Sea r un escalar, A y B matrices conformables respecto a la adicin y multiplicacin

de matrices, respectivamente. Se verifican las siguientes propiedades:

a) AA TT =)( b) TTT BABA +=+ )( c) TTT ABAB =)( d) TT rArA =)( PRUEBA

Se probar a modo de ejemplo la propiedad c)

c) Sean pmijaA = ][ , npijbB = ][ . Denotando nmijcCAB == ][ se tiene que )()( BCAFcc ijji

Tij ==

42

[ ]

=

pi

i

i

jpjj

b

bb

aaa ML2

1

21

pijpijij bababa +++= L2211 Tip

Tpj

Ti

Tj

Ti

Tj bababa +++= L2211

TpjTip

Tj

Ti

Tj

Ti ababab +++= L2211

)()(2T

jT ACBF=

Luego, se puede ver que Tijc es la ),( ji entrada de la matriz TT AB .

Ejemplo 7.- Para ilustrar la propiedad c) del teorema 5 consideremos las matrices

=213121

A y

=

112311201

B

=

=

11313

21)(

1112331 TABAB

Por otra parte,

=

=

11313

21

211231

132110

211TT AB

Luego se verifica la propiedad c) TTT ABAB =)( . Matrices simtricas y antisimtricas

Dada una matriz A cuadrada de orden n se dice que es:

a) Simtrica si y solo si TAA = . Las matrices simtricas tienen la propiedad de que sus entradas que equidistan de la diagonal principal son iguales.

b) Antisimtrica si y solo si TAA = . Las matrices antisimtricas tienen la propiedad de que todas las entradas correspondientes a la diagonal principal son

iguales a cero y sus entradas que equidistan de la diagonal principal son iguales

en valor absoluto pero de signos opuestos.

43

Ejemplo 8.- Las siguientes matrices son simtricas

= 3221

A ,

=

423201312

B y

=

017872974521787026841335297268401349452133513490

C

Ejemplo 9.-Las siguientes matrices son antisimtricas

= 02

20D ,

=

023201

310E y

=

017872974521787026841335297268401349452133513490

F

Observacin .- Toda matriz cuadrada A de orden n se puede expresar como la suma de una matriz simtrica y una matriz antisimtrica. En efecto, toda matriz se puede escribir como

)(21

)(21 TT AAAAA ++=

Se deja como al lector, a modo de ejercicio verificar que TAA + es una matriz simtrica y TAA es una matriz antisimtica.

EJERCICIOS

1. Calcular la matriz X, si se cumple que ( ) ( )TTTT BABXXBA =+ , donde

= 21

11A y

= 31

12B

2. Calcular la matriz X, si satisface la ecuacin matricial ICBABX TTT = 2)( .

Sabiendo que

==3241

2CBA TT y

=3/103/13/1

B .

3. Hallar la matriz X, si satisface la ecuacin matricial ( ) TTTT XBBACX = , donde

=

4321

A ;

=

5322

B y

=

2102

C .

4. Hallar la matriz triangular superior B, si

=

6403683B .

5. Sabiendo que la matriz

+++

=

1120

211

2 wxxyw

xA , donde 0>x es simtrica.

Demostrar que 3A es simtrica.

44

6. Una matriz cuadrada nnA K , se dice que es idempotente si y solo si AA =2 . Averige si las siguientes matrices son idempotentes:

a)

=

2163

A b)

=100100

221B

7. Demostrar que si A y B son matrices idempotentes y permutables en nnK ,

entonces AB es idempotente.

8. Una matriz cuadrada nnA K , se dice que es involutiva si y solo si nIA =2 . Averige si las siguientes matrices son involutivas:

a)

= 1001

A b)

=441331

340B

9. Demostrar que una matriz nnA K es involutiva si y solo si 0))(( =+ AIAI nn .


=

110010011

A y

=

444222111

B

a) Verificar que la matriz A es involutiva y B es una matriz idempotente.

b) Calcular: ( ) 7563 BABA + 11. Dada la matriz

=

100111001

A , resolver la siguiente ecuacin matricial:

=

412

18 XA .

12. Una matriz cuadrada nnA K se dice que es peridica si existe un entero positivo k tal que AAk =+1 . El menor k positivo que cumple dicha condicin es llamado periodo de A.

Averige si las siguientes matrices son peridicas. En caso que sea peridica,

indicar su periodo.

a)

=

1110

A b)

=010111010

B

45

13. Resuelva la siguiente ecuacin matricial: [ ]6232

21 =

X y use este

resultado para calcular el producto:

62

X .

14. Una matriz cuadrada nnA K se dice que es nilpotente o nulipotente si existe un entero positivo k tal que 0=kA . El menor k positivo que cumple dicha condicin es llamado ndice de nilpotencia de A.

Averige si las siguientes matrices son nilpotentes. En caso sea nilpotente indicar

su ndice de nilpotencia.

a)

=

1111

A b)

=

312625311

B

15. Sea la matriz

= 11

01A . Demostrar que IAA = 22 y calcular nA .

16. Hallar la matriz X, si se cumple que CABX =+ 101)( , donde

=110010011

A ; [ ]312=B ; y T

C

=

102

17. Sean las matrices

=

100010101

A y

=010010011

B

Calcular: )2)(( 202055 BABAE ++= 18. Una matriz cuadrada nnA K se dice que es ortogonal si y solo si

nTT IAAAA == .

Averige si las siguientes matrices son ortogonales.

a)

= 01

10A b)

=

100001010

B

19. Determinar las matrices 22RX tales que 02 =X , donde 0 es la matriz nula. 20. Demostrar que si 0=TAA , entonces 0=A . 21. Demostrar que si A y B son matrices diagonales en 22R , entonces AB es diagonal

y AB=BA.

46

22. Demostrar que si una matriz es simtrica, idempotente y con algn elemento nulo

en la diagonal, entonces la fila y la columna de dicho elemento son el vector nulo.

23. Demostrar:

a) 022 ====+= BAABBBIBAAA n b) TT BABABBAAAB ,,,== son idempotentes. c) AABIBA n ==+ 0 y B son idempotentes.

24. Resolver la ecuacin 222 IXA =+ , donde A, X, 2I son matrices cuadradas de

orden 22 y

= i

iA

11

.

25. Una multiplicacin diferente de la usual es importante en muchas reas de la

ciencia y de la ingeniera; se define entre dos matrices cualesquiera. Si A es una

matriz de orden qp y B una matriz de orden sr , entonces el producto de Kronecker ( o producto tensorial) denotado por BA se define como la matriz de orden qspr que contiene todos los productos de un elemento de A con un elemento de B, dispuestos de un modo especial: denotando por qpijaA = ][ , las primeras r filas de BA se definen escribiendo Ba11 seguido por Ba12 a su derecha, seguido por Ba13 a su derecha y as sucesivamente hasta Ba q1 a su

derecha; las segundas r filas se generan de manera similar escribiendo Ba21 ,

Ba22 , y as sucesivamente; y esto continua a lo largo del p-simo conjunto de r

filas.

De acuerdo a la definicin dada anteriormente, calcular

1098765

4321

47

1.5 OPERACIONES ELEMENTALES Y SOLUCIONES DE SISTEMAS DE

ECUACIONES.

Matriz escalonada reducida por filas

Sea A una matriz de orden nm cuyas filas son los n-vectores )(,),(),( 21 AFAFAF mL y cuyas columnas son los m-vectores

)(,),(),( 21 ACACAC nL . Se dice que A es una matriz escalonada reducida por filas

si satisface las siguientes condiciones:

a) Las primeras r filas ( mr ) son vectores no nulos y las restantes todos nulos. b) La primera componente de cada fila no nula es 1 y es llamada entrada principal de

su fila.

c) Dadas dos filas sucesivas i y 1+i no nulas, la entrada principal de la fila 1+i est a la derecha de la entrada principal de la fila i. Las entradas principales estn

dispuestos en forma de escalera.

d) Si una columna contiene una entrada principal de alguna fila entonces el resto de

las entradas de esta columna son todos iguales a cero.

Es decir una matriz escalonada reducida por filas tiene la forma:

nm

A

=

0000000

0000000**10000

**01000**00100

KKMKMMKMMMM

KKKK

MKMMKMMMMKKKK

Ejemplo 1.- Las siguientes matrices son escalonadas reducidas por filas

a)

=

0000000021001010

A b)

=

000000000063100

54021

B

r filas no nulas

m-r filas nulas

48

c)

00001000010000100001

d)

=

000000000000000051000000

2010000010023100

D

Observacin.- Una matriz que cumple las condiciones a), b) y c) pero no la

condicin d) se dice simplemente que es una matriz escalonada por filas.

Ejemplo 2.- Las siguientes matrices son escalonadas por filas pero no escalonadas

reducida por filas.

a)

=

0000210043105201

A b)

=

0000210012105321

B

Operaciones elementales por filas

Sea ][ ijaA = una matriz de orden nm . Se llama operacin elemental sobre las filas de A a una de las siguientes tres operaciones:

a) Intercambiar dos filas de A. La operacin de intercambiar las posiciones relativas

de las filas i y j de la matriz A se denota por ji FF . b) Multiplicar una fila de A por un escalar diferente de cero. La operacin de

multiplicar la fila i de la matriz A por el escalar k se denota por ikF .

c) Sumar a una fila el mltiplo escalar de otra. La operacin de sumar a la fila i de A

la fila j de A multiplicada por el escalar 0k se denota por ji kFF + . Ejemplo 3.- Dada la matriz

=131144571

3063A

efectuar las siguientes operaciones elementales sobre las filas de A en forma

consecutiva:

a) Intercambiar las posiciones relativas de las filas 1 y 2.

b) Sumar a la segunda fila la primera fila multiplicada por 3 . c) Sumar a la tercera fila la primera fila multiplicada por 4 . d) Multiplicar la segunda fila por

151 .

49

e) Sumar a la primera fila la segunda fila multiplicada por 7 . f) Sumar a la tercera fila la segunda fila multiplicada por 17.

Solucin

a) Intercambiar las posiciones relativas de las filas 1 y 2. La operacin denotamos

por 21 FF y se tiene

=

1311430634571

131144571

306321 FFA

b) Sumar a la segunda fila la primera fila multiplicada por 3 . La operacin denotamos por )3( 12 FF + y se tiene

+

131141515150

4571)3(

1311430634571

12 FF

c) Sumar a la tercera fila la primera fila multiplicada por 4 . La operacin denotamos por )4( 13 FF + y se tiene

+

17171701515150

4571)4(

131141515150

457113 FF

d) Multiplicar la segunda fila por 151 . La operacin la denotamos por 215

1 F y se tiene

171717011104571

151

17171701515150

45712F

e) Sumar a la primera fila la segunda fila multiplicada por 7 . La operacin la denotamos por )7( 21 FF + y se tiene

+

17171701110

3201)7(

171717011104571

21 FF

f) Sumar a la tercera fila la segunda fila multiplicada por 17. La operacin la

denotamos por 23 17FF +

50

+

00001110

320117

171717011104571

23 FF

Matrices equivalentes.

Dada dos matrices A y B del mismo orden. Se dice que la matriz A es equivalente por

filas a la matriz B si existe un nmero finito de operaciones elementales que aplicadas

sucesivamente a las filas de A nos permite obtener la matriz B. Este hecho se denota

por BAF~ .

Ejemplo 4.- Las matrices

=131144571

3063A y

=

00001110

3201B

son equivalentes por filas; pues existe un nmero finito de operaciones elementales

que aplicadas sucesivamente a las filas de A nos permite obtener B. Del ejemplo 3 se

puede observar que las operaciones elementales aplicadas a las filas de A para obtener

B son: 21 FF , )3( 12 FF + , )4( 13 FF + , 2151 F , )7( 21 FF + y 23 17FF + .

Teorema 1.- Toda matriz A de orden nm no nula es equivalente a una matriz escalonada reducida por filas del mismo orden.

Prueba

Sea

=

mnmm

n

n

aaa

aaaaaa

A

KMKMM

KK

21

22221

11211

y sea

=

mj

j

j

j

a

aa

AC M2

1

)( la primera columna no nula, sin

prdida de generalidad podemos suponer que 01 ja . La matriz A tiene la forma:

=

mnmj

nj

nj

aa

aaaa

A

KKMKMMKM

KKKK

00

0000

22

11

51

Aplicando la operacin elemental del segundo tipo a la primera fila de A se tiene:

1

1,

21,22

11,1

1,

21,22

11,11

00

00100

1

00

0000

1 A

aaa

aaabb

Fija

aaa

aaaaaa

A

mnjmmj

njj

nj

mnjmmj

njj

njj

=

=

+

+

+

+

+

+

LLMOMMMLM

LLLL

LLMOMMMLM

LLLL

Luego aplicando las operaciones elementales del tercer tipo a las filas de 1A para

tener debajo de la entrada principal todos los elementos igual a cero se tiene

=++

+

+

+

mnjm

nj

nj

mjnmjn

bb

bbbb

AFaFFaF

LLMOMMMLM

LLLL

L

1,

21,2

11,1

111

000

000100

)]([)]([

Ahora tomando la primera columna de )( que tenga un 0lkb ;donde 1>l y jk > y repitiendo el proceso anterior las veces que sea necesario se tiene que:

as sucesivamente tenemos que:

=

00000

*1000*0*10

~

00

0000

22

11

KKKMKMKMMKM

KKKKKK

KKMKMMKM

KKKK

F

mnmj

nj

nj

aa

aaaa

A

Ejemplo 5.- Hallar la matriz escalonada reducida por filas equivalente a la matriz

=

14320213105423032100

A

Solucin

Paso 1.- Determinamos la primera columna no nula. La primera columna no nula es la

columna 2, sta es la columna pivote.

=

14320213105423032100

A

columna pivote

)(

52

Paso 2.- Como en la columna pivote hay un 1 en la tercera fila y 0 en la primera fila

realizamos la siguiente operacin elemental 31 FF sobre las filas de A obteniendo

=

14320321005423021310

14320213105423032100

31 FFA

Ahora 1 es el elemento pivote en la columna pivote.

Paso 3.- El objetivo siguiente es que todos los dems elementos donde aparece el 1 de

la columna pivote se transformen en ceros. Para ello, efectuamos las

operaciones elementales del tercer tipo sobre las filas de la matriz obtenida

en el paso 2.

+ +

=

363003210017700

21310

)2(

)3(

14320321005423021310

14

12

FF

FFA

)3( 12 FF + significa que a la segunda fila se le ha sumado la primera fila multiplicada por 3 y )2( 14 FF + significa que a la cuarta fila se le ha sumado la primera fila multiplicada por 2 .

Paso 4.- El objetivo es haciendo operaciones elementales sobre las filas de la ltima

matriz del paso 3; el 7 de la segunda fila y tercera columna transformarlo en 1; para ello multiplicamos la segunda fila por

71 obteniendo

3630032100

110021310

71

363003210017700

21310

712F

Paso 5.- Ahora se debe transformar todos los dems elementos donde aparece el 1 de

la columna pivote 2 en ceros. Para ello, efectuamos las operaciones

elementales del tercer tipo sobre las filas de la matriz obtenida en el paso 4

53

+ +

+

718

722

71

711

24

21

71

300010001100

2010

3

)3(

3630032100

110021310

23

FF

FFFF

Paso 6.- Observando la matriz obtenida en el paso 5, la cuarta fila es la columna

pivote y el 1 ubicado en la cuarta fila es el elemento pivote. Luego hay que

transformar los elementos que estn encima y debajo del elemento pivote en cero lo

cual se obtiene aplicando las operaciones elementales del tercer tipo

+ +

+

120000100001000010

)3(

)2(

300010001100

2010

722

723

733

34

31

718

722

71

71

32

FF

FFFF

Paso 7.- Ahora la columna pivote es la quinta columna y el elemento pivote es -12

que est ubicado en la cuarta fila, luego hay que transformar 12 en 1 aplicando una operacin elemental del segundo tipo.

10000100001000010

)121(

120000100001000010

722

723

733

722

723

733

4F

Paso 8.- En la matriz obtenida en el paso 7 solo resta transformar en ceros los

elementos que estn encima del elemento pivote. Esto se consigue, aplicando las

operaciones elementales del tercer tipo

+

++

10000010000010000010

)722

(

)723(733

10000100001000010

43

41

722

723

733

42

FF

FF

FF

Luego, se ha obtenido finalmente la matriz escalonada reducida por filas equivalente

a A.

=

10000010000010000010

~

14320213105423032100

FA

54

Ejemplo 6.- Hallar la matriz escalonada reducida por filas equivalente a la matriz:

=

562533214212121

A

Solucin

Sumando a la segunda fila la primera fila multiplicada por 2 . Luego sumando a la tercera fila la primera multiplicada por 3 , se tiene

+ +

=

2125101630012121

)3(

)2(

562533214212121

13

12

FF

FFA

Intercambiando la segunda fila con la tercera

1630021251012121

2125101630012121

32 FF

Multiplicando la segunda fila por 1

16300212510

12121)1(

1630021251012121

2F

Sumando a la primera fila la segunda multiplicada por 2 se tiene

+

16300212510

522901)2(

16300212510

1212121 FF

Multiplicando la tercera fila por 31

.

312100212510

52290131

1630021251012121

3F

Sumando a la primera fila la tercera multiplicada por 9 y luego sumando a la segunda fila la tercera multiplicada por 5 se tiene

55

+ +

31

31

3231 2100

201024001

5

)9(

2100212510

52290131

FF

FF

Luego,

=

31

31

21002010

24001~

562533214212121

FA

Ejemplo 7.

Verificar que

0000000011/311/51011/1311/401

~

51141352351102131

Solucin de sistemas de ecuaciones lineales

Dos sistemas de ecuaciones lineales bx =A y dx =C cada una con m ecuaciones y n incgnitas se dice que son equivalentes si y solo si sus matrices ampliadas son

equivalentes. Es decir, [ ] [ ]db CA ~ . Teorema 2.- Si bx =A y dx =C , son dos sistemas equivalentes, entonces tienen las mismas soluciones.

Prueba

La prueba es una consecuencia directa de la definicin de matrices equivalentes. Es

decir, una de las matrices ampliadas se obtiene a partir de la otra aplicando un nmero

finito de operaciones elementales a sus filas. La solucin no vara cuando se efectan

cualesquiera de los tres tipos de operaciones elementales.

Corolario 1.- Si 0=xA y 0=xC son dos sistemas tal que A es equivalente por filas a C, entonces tienen las mismas soluciones.

Corolario 2.- Si bx =A y dx =C son dos sistemas equivalentes y bx =A no tiene solucin, entonces dx =C tampoco tiene solucin. Ejemplo 8.- Averiguar si son equivalentes los siguientes sistemas:

=++=+=++=++

125021235432

wyxwz

zyxwzyx

(1)

56

=+=+=+

=++

022121518131211

444

wzwzy

wzywzyx

(2)

Solucin

Las matrices ampliadas asociadas a los sistemas (1) y (2) son:

[ ]

=

1015

1025120002134132

bA y [ ]

=

02113

4

1200215180121110

4141

dC

Aplicando operaciones elementales sobre las filas de [ ]bA se tiene

[ ]

+

=

104

5

102512004141

4132)(

1015

1025120002134132

12 FFA b

1054

1025120041324141

104

5

102512004141

4132

21 FF

+

21054

215180120041324141

)5(

1054

1025120041324141

14 FF

02154

120021518041324141

21054

215180120041324141

43 FF

57

[ ]dCFF =

+

02113

4

1200215180121110

4141)2(

02154

120021518041324141

12

Del desarrollo anterior se tiene

[ ] [ ]bd AFFFFFFFFFFC ))()())(5()())(2(( 1221144312 +++= Luego, [ ]bA es equivalente por filas a [ ]dC y en consecuencia los sistemas (1) y (2) son equivalentes.

Mtodo de Gauss-Jordan para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

El mtodo de Gauss-Jordan es uno de los ms conocidos para resolver sistemas de

ecuaciones lineales. ste mtodo se basa en hallar la matriz escalonada reducida por

filas que es equivalente a la matriz ampliada asociada al sistema de ecuaciones

lineales dado. Se consideran los siguientes pasos:

Paso 1.- Construir la matriz aumentada asociada al sistema ]|[ bA .

Paso 2.- Efectuando operaciones elementales sobre las filas de ]|[ bA , hallar la matriz

escalonada reducida por filas equivalente a ]|[ bA .

Paso 3.- El sistema lineal asociado a la matriz escalonada reducida por filas obtenida

en el paso 2 es equivalente al sistema dado inicialmente. Es decir, tiene las mismas

soluciones que el sistema original; en cada fila no nula de la matriz escalonada

reducida por filas se despeja la incgnita correspondiente a la entrada principal de la

fila. Las filas nulas se omiten, pues la ecuacin correspondiente ser satisfecha para

cualquier valor que tomen las incgnitas.

Ejemplo 9.- Resolver el sistema

335252

=++=++=+

zyxzyx

zyx (3)

Solucin

Paso 1. La matriz ampliada correspondiente al sistema es

=315

113211121

]|[ bA

58

Paso 2.- Hallando la matriz escalonada reducida por filas equivalente a ]|[ bA .

+ +

=1845

270130121

)3(

)(

315

113211121

]|[

43

12

FF

FFA b

18

5

27010

12131

1845

270130121

34

31

2F

+ +

326

34

37

313

31

35

23

34

31

001001

)7(

2

18

5

27010

12121

FF

FF

21001001

133

001001

34

37

31

35

326

34

37

313

31

35

3F

+

+

221

100010001

)31

(

)35(

21001001

32

34

37

31

35

31

FF

FF

Luego,

=2

21

100010001

~315

113211121

]|[ bA

Paso 3.- El sistema original

335252

=++=++=+

zyxzyx

zyx (3)

es equivalente al sistema

59

2

21

===

zy

x (4)

Al ser equivalentes los sistemas (3) y (4) tienen la misma solucin. Las ventajas de

hallar la solucin en el sistema (4) saltan a la vista, la solucin del sistema est dado

por

2

21

===

zyx

Ejemplo 10.- Resolver el siguiente sistema

7267532422342225732

54321

5431

54321

54321

=++=++

=++=++

xxxxxxxxxxxxxxxxxxx

(5)

Solucin


=7

322

26751124021342125732

]|[ bA

Paso 2.- Calcular la matriz escalonada reducida por filas equivalente a ]|[ bA .

=7

322

26751124022573213421

7322

26751124021342125732

]|[ 21FF

A b

+ +

+

5722

1333014440

0111013421

)(

)2(

)2(

7322

26751124022573213421

14

12

13

FF

FF

FF

+ +

+

11

22

1000010000

0111011201

3

)4(

2

5722

1333014440

0111013421

24

21

23

FF

FF

FF

60

1122

10000100000111011201

)1(

11

22

1000010000

0111011201

3F

+ +

0121

00000100000111001201

)(

)(

1122

10000100000111011201

34

31

FF

FF

Luego,

=0121

00000100000111001201

~

7322

26751124021342125732

]|[ bA

Paso 3.- El sistema original es equivalente al sistema

1212

5

432

431

==+=+

xxxxxxx

(6)

Luego, al despejar en cada una de las ecuaciones la incgnita correspondiente a la

entrada principal se tiene

12

21

5

432

431

=+=+=

xxxxxxx

Asignando los parmetros r y s a las variables 3x y 4x , respectivamente se tiene

la solucin del sistema

===

+=+=

Rsrxsxrx

srxsrx

,;1

221

5

4

3

2

1

61


76257234532132

342

=+=+=+

=+=+

zyxzyx

zyxzyxzyx

(7)

Solucin


=

7751

3

625234132

321421

]|[ bA

Paso 2.- Hay que determinar la matriz escalonada reducida por filas que es

equivalente a la matriz ampliada correspondiente al paso 1.

++

+

+

=

22514

3

14801450710740421

)5()4(

)2(

)(

7751

3

625234132

321421

]|[

15

14

12

13

FFFF

FF

FF

A b

2251

13

14801450710

10421

41

22514

3

14801450710740421

47

2F

++ +

+

140011

00000001001

85

)2(

2251

13

14801450710

10421

421

421

47

21

25

24

21

47

23

FFFF

FF

FF

62

140011

00000

1001001

214

140011

00000001001

421

47

21

421

421

47

21

3F

+

++

140011

000000100010001

)421

(

)47(21

140011

00000

1001001

34

31

421

47

21

32

FF

FF

FF

10011

000000100010001

141

140011

000000100010001

5F

01011

000000100010001

10011

000000100010001

54 FF

Luego

=

01011

000000100010001

~

7751

3

625234132

321421

]|[ bA

Paso 3.- El sistema (7) es equivalente al sistema

1000011

=++===

zy

x

(8)

63

Pero de la cuarta ecuacin del sistema (8) se tiene

1000 =++ zyx La ecuacin no se verifica para ningn valor de x, y y z. Luego el sistema (8) no

tiene solucin; es decir es incompatible. Por consiguiente, en virtud del corolario 3, el

sistema (7) no tiene solucin.

Sistemas homogneos

Se denomina sistema homogneo a un sistema de la forma

0

00

2211

2222121

1212111

=+++

=+++=+++

nmnmm

nn

nn

xaxaxa

xaxaxaxaxaxa

KMMMM

KK

(9)

matricialmente, de manera breve se escribe como

0=xA Todo sistema homogneo es compatible; es decir, tiene solucin al menos

021 ==== nxxx L que es la llamada solucin trivial. Para hallar las soluciones de un sistema

homogneo el procedimiento es similar a los ejemplos antes desarrollados, solo hay

que tener en cuenta que la columna de trminos independientes correspondiente a la

matriz ampliada tiene todos sus elementos igual a cero.

Ejemplo 12.- Resolver el sistema homogneo de ecuaciones

0303202

=+=++=+

zyxzyxzyx

(9)

Solucin

La matriz ampliada del sistema es

=

000

311312211

]|[ 0A

Hallando la matriz escalonada reducida por filas equivalente a la matriz ampliada

+ +

=

000

10010

21131

000

100130

211

)(

)2(

000

311312211

]|[ 31

13

212F

FF

FFA b

64

+

+

+

000

100010001

31

)35(

000

1001001

32

31

35

3121

FF

FFFF

Luego el sistema (9) es equivalente a

000

===

zy

x

y en consecuencia, el sistema (9) tiene una nica solucin que es la trivial

000

===

zyx


0854023064

=++=++=++

zyxzyxzyx

(10)

Solucin

La matriz ampliada del sistema es

=

000

854213641

]|[ 0A

Hallando la matriz escalonada reducida por filas asociada al sistema

+ +

=

000

1611016110641

)4(

)3(

000

854213641

]|[

13

12

FF

FFA 0

+ +

000

0001001

11

)4(

000

1611010

641111

000

1611016110641

1116

112

23

1116 212

FF

FFF

El sistema (10) es equivalente a

00

1116

112

=+=+

zyzx

(11)

De (11), despejando x e y en trminos de z se tiene

65

zyzx

1116

112

==

y asignando el parmetro t a z se puede escribir la solucin del sistema como

R=

==

ttztytx

;11

16

112

Del ejemplo 13, ntese que un sistema homogneo puede tener infinitas soluciones.

Teorema 3.- Un sistema homogneo 0=xA de m ecuaciones con n incgnitas tiene una solucin diferente de la trivial si el nmero de incgnitas es mayor que el nmero

de ecuaciones; es decir si nm < . Prueba

Sea el sistema 0=xA el sistema homogneo dado en (9) y ]|[ 0A su matriz ampliada que escribimos explcitamente

+

++++++

+

+

+

0

00

00

1,21

,11,1,12,11,1

1,21

11,222221

11,111211

M

M

LLMOMMOMM

LLLL

MOMMOMMLLLL

nnrmmrmm

nrrrrrrr

rnrrrrrr

nrr

nrr

aaaaa

aaaaaaaaaa

aaaaaaaaaa

Como nm < , sea nmr

66

diferente de cero se obtiene una solucin distinta de la trivial con lo cual queda

demostrado el teorema.

De 0=xB y por lo tanto de 0=xA se tiene:

0

0

0

11,

211,22

111,11

=+++

=+++=+++

++

++

++

nrnrrrr

nnrr

nnrr

xbxbx

xbxbxxbxbx

LMMO

LL

Asignando a las variables nr xx ,,1 L+ los parmetros nr tt ,,1 L+ se escribe la

solucin como

Rtttx

txtbtbx

tbtbxtbtbx

nrnn

rr

nrnrrrr

nnrr

nnrr

=

==

==

+

++

++

++

++

,,; 1

11

11,

211,22

111,11

LM

LMM

LL

Tambin se puede escribir como

Rtt

b

bb

tb

bb

t

x

xx

xx

nr

rn

n

n

nrr

r

r

r

n

r

r

++

=

+

+

+

+

+

+

,,;1

0

0

1

1

2

1

1,

1,2

1,1

1

1

2

1

LM

ML

M

M

M

M

Observacin .-Sea el sistema de ecuaciones lineales

bx =A (12) y 0=xA (13) su sistema homogneo asociado.

Si Px es una solucin particular e y una solucin cualesquiera del sistema (12) se

tiene que

0=== bbxyxy PP AAA )(

67

Esto significa que Pxy es una solucin del sistema homogneo asociado (13) lo que denotamos por

Ph xyx = Luego, se tiene que

hP xxy += (14) La relacin obtenida en (14) nos muestra que toda solucin del sistema (12) se puede

expresar como la suma de una solucin particular y una solucin del sistema

homogneo asociado.

Ejemplo 14.- Resolver el siguiente sistema:

117234832332

=++=++=++

zyxzyxzyx

(15)

Solucin

La matriz ampliada es

=

143

1723832321

]|[ bA

Hallando la matriz escalonada reducida por filas que es equivalente a ]|[ bA

+ +

=

82

3

840210321

)(

)2(

143

1723832321

]|[

13

12

FF

FFA b

823

840210

321)1(

82

3

840210321

2F

+ +

021

000210

701

4

)2(

823

840210

321

23

21

FF

FF

El sistema correspondiente a la matriz escalonada reducida por filas que es

equivalente al sistema (15) es

68

2217

==+

zyzx

(16)

y sus sistema homogneo asociado es

0207

==+

zyzx

(17)

Para hallar la solucin del sistema homogneo (17) asignamos a la variable z el

parmetro t, luego se tiene

Rttz

tytx

==

=

;27

Lo cual se puede escribir tambin como

Rttzyx

h

=

= ;

127

x

Para hallar una solucin particular Px del sistema (16) podemos asignar un valor

arbitrario a la variable z; por comodidad consideramos 0=z , luego se tiene

=

=

021

zyx

Px

Luego, en virtud de la relacin (14) de la observacin, el conjunto solucin SC

correspondiente al sistema (15) se puede escribir como

Rttzyx

CS

+

=

;

127

021

:

La interpretacin geomtrica de la solucin del sistema homogneo (17) es una recta

que pasa por el origen y que tiene la direccin del vector )1,2,7( ; el conjunto formado por todas las soluciones del sistema homogneo es llamado espacio

solucin. Mientras que el conjunto solucin del sistema (15) representa una recta que

pasa por el punto )0,2,1( en la direccin del vector )1,2,7( . En el siguiente grfico se ilustra este hecho; ntese en el grfico que la recta que representa a la

69

solucin del sistema homogneo es paralela a la recta que representa a la solucin del

sistema inicialmente dado

Ejemplo 14.-Resolver el siguiente sistema

7267532422342225732

=++=++

=++=++

wuzyxwuzxwuzyxwuzyx

(18)

Solucin

La matriz ampliada correspondiente al sistema es

=7

322

26751124021342125732

]|[ bA

Calculando la matriz escalonada reducida por filas equivalente a la matriz ampliada

X

Y

Z

SE

O

SC

)0,2,1(

70

=7

322

26751124022573213421

7322

26751124021342125732

]|[ 21 FFA b

+ +

+

5722

1333014440

0111013421

)(

)2(

)2(

7322

26751124022573213421

14

12

13

FF

FF

FF

+ +

+

11

22

1000010000

0111011201

3

)4(

2

7322

26751124022573213421

24

21

23

FF

FF

FF

1122

10000100000111011201

)1(

11

22

1000010000

0111011201

3F

+

+

0121

00000100000111001201

)(

)1(

)(

1122

10000100000111011201

34

31

3

FF

F

FF

El sistema correspondiente a la matriz escalonada reducida por filas es

1212

==+=+

wuzyuzx

(19)

y su sistema homogneo asociado es

0002

==+=+

wuzyuzx

(20)

Despejando las variables principales en el sistema homogneo (20) se tiene

71

0

2

=+==

wuzyuzx

y asignando los parmetros s y t respectivamente a las variables z y u se tiene

Rtststs

tsts

wuzyx

h

+

=

+

=

= ,;

01011

0011

2

0

2

x

Ahora para hallar una solucin particular, hacemos 0== uz en el sistema (19) y se tiene

=

=

00021

wuzyx

Px

Luego el conjunto solucin del sistema se puede escribir como

Rtsts

wuzyx

CS

+

+

=

,;

01011

0011

2

00021

:

EJERCICIOS

1. De las siguientes matrices diga cules tienen la forma escalonada reducida por

filas.

a)

=

210004010030001

A b)

=2100040100

50010B

c)

=

320104010050010

C d)

=

10000000004100010000

20010

D

72

e)

=

00000310000010020001

E f)

=000000100032100

00000

F

g)

=000001100020010

10001

G h)

=00001000

20101001

H

2. Dada la matriz

=

515413224301

A

Determine las matrices obtenidas al realizar las siguientes operaciones

elementales por filas en A

a) Intercambiar la segunda y cuarta fila.

b) Multiplicar la tercera fila por 3.

c) Sumar (-5) veces la primera fila a la cuarta

3. Dada la matriz

=

113124026523

A

Determine las matrices obtenidas al realizar las siguientes operaciones

elementales por filas en A

a) Intercambiar la segunda y tercera filas.

b) Multiplicar la segunda fila por 3.

c) Sumar (4) veces la tercera fila a la primera.

4. Determine tres matrices que sean equivalentes por renglones a

separata n1 matrices

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