señales y vibraciones

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONALESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA

MECÁNICA Y ELÉCTRICAINGENIERÍA EN COMUNICACIONES Y

ELECTRÓNICA

SEÑALES Y VIBRACIONES: UNIDAD IIIVIBRACIONES MECÁNICAS EN ELEMENTOS

ACÚSTICOS

ANDRADE BARRERA MARCO ANTONIOCHAVEZ CHAVEZ ALDO

MANDUJANO DURAN HÉCTOR FRANCISCOMONTOYA ALVAREZ SALVADOR

UC LOZANO JOSÉ LUIS

Grupo:6CV4

Vibraciones en cuerdas

Ahora nos vamos a ocupar de una de las ramas más antiguas de las matemáticas, la teoría de la cuerda vibrante, que tiene sus raíces en las ideas del matemático griego Pitágoras.

Norbert Wiener, I Am a Mathematician (1956)

Puntos históricos de la ciencia de los instrumentos de cuerdas

• Pitágoras (siglo 6 A.C.). Cultura griega. Estudió las vibraciones en las cuerdas y los sonidos musicales. Reportó que al dividir la longitud de una cuerda vibrante en fracciones simples se producen intervalos musicales consonantes.


• Galileo (siglo 16 D.C.). Relacionó el número de vibraciones por unidad de tiempo y el tono de una cuerda.


• Brook Taylor (siglo 18 D.C.). Encontró una solución dinámica para la frecuencia de una cuerda vibrante basándose en la forma curva de una cuerda cuando ésta se encuentra en su modo fundamental.


• Daniel Bernoulli (Siglo 18 D.C.). Desarrolló y resolvió las ecuaciones diferenciales parciales que caracterizan a una cuerda vibrante.

Vibraciones estacionarias

Cada punto de una cuerda vibra transversalmente con un movimiento armónico simple de amplitud constante, cuya frecuencia de vibración es la misma para todas las partes de la cuerda


Dinámica de las vibraciones

Frecuencia de las vibraciones: , donde n representa el modo, L la longitud de la cuerda, T la tensión y la densidad lineal uniforme.



Longitud de onda asociada al modo n: .

Forma de la cuerda en el modo n:



Movimiento de la cuerda: ,

Donde



Ejemplo: La cuerda E de un violín ha de ajustarse a una frecuencia de 640 Hz en el modo 1. Su longitud y masa (desde el puente a su extremo) son 33cm y 0.125g, respectivamente. ¿Qué tensión se necesita?

Como la frecuencia de las vibraciones en una cuerda es , haciendo n=1, y despejando T, tenemos

Información detallada sobre instrumentos de cuerdas

Se recomienda revisar el libro The Science String Instruments, editado por Tomas Rossing (2010). En el se discute una basta cantidad de instrumentos de cuerdas, entre los que se encuentran aquellos de cuerdas pulsadas, guitarras, piano, instrumentos eléctricos y virtuales, entre otros.

Vibraciones en Barras

Al estudiar las vibraciones de las cuerdas se supuso que la única fuerza de restitución era debida a la tensión de la cuerda y no se tuvo en cuenta su rigidez.

Pasaremos ahora al extremo opuesto, donde la fuerza de restitución se debe únicamente a la rigidez del objeto vibrante. Este es el caso de una varilla o de una viga sujeta en uno o más puntos, pero no sometida a ninguna tensión.

L

b

h

Figura 1. Barra sujeta en uno de sus extremos.

• Barra sujeta en un extremo. Consideremos una barra rectangular de longitud L, altura h y ancho b (Fig.1). El módulo de elasticidad de la barra (módulo de Young) es E y su masa por unidad de volumen o densidad es r.

L

b

h

Figura 1. Barra sujeta en uno de sus extremos.

• La forma de vibración de la varilla en su modo fundamental, con un solo nodo en su extremo fijo, se muestra en la Fig. 2; se muestra como vibra la varilla en el segundo y tercer modo (con dos y tres nodos, respectivamente, incluyendo el extremo fijo).

• Varilla libre en sus dos extremos. En la Fig. 3 se muestran los tres primeros modos normales de oscilación de una varilla que está libre en sus dos extremos.

modo 3

modo 2

modo 1

Figura 3. Los tres primeros modos de vibración de una

varilla libre en sus dos extremos.

Vibración en columnas de aire

COLUMNA DE AIRE

ES EL VOLUMEN DE AIRE QUE SE ENCUENTRA EN VIBRACION DENTRO DE UN INSTRUMENTO DE VIENTO. Esta vibración esta en una frecuencia en relación a la nota musical interpretada, que se corresponde a un régimen de resonancia.

Vibraciones de la columna de aire contenida en un tubo sonoro

• Las vibraciones de las columnas de aire contenidas en tubos sonoros es debida a la formación de una onda estacionaria. Por tanto las columnas poseen nodos(vibración nula) y vientres(amplitud de vibración máxima), equidistantes de los anteriores. La distancia entre dos nodos o dos vientres consecutivos es siempre de media longitud de onda.

• La vibración de las columnas de aire es longitudinal; los nodos serán por tanto, puntos de condensación y los vientres puntos de dilatación o rarefacción; en los extremos cerrados siempre se producen nodos y en los extremos abiertos generalmente se producen vientres. El punto de excitación no puede ser un nodo, pero no necesita ser un vientre, pudiendo estar en un punto intermedio.

• Tomando como punto de partida el que en los extremos de un tubo abierto solo pueden haber vientres de vibración, el tubo producirá su fundamental cuando vibre con un nodo único en su centro. Cuando el tubo produce su segundo armónico, producirá dos nodos y tres vientres; cuando produce su tercer armónico, producirá tres nodos y cuatro vientres, y así sucesivamente.

• En los tubos cerrados, la onda se forma con un nodo en el extremo cerrado y un vientre en el extremo abierto.

• Las variaciones de temperatura influyen sobre la frecuencia de los sonidos que emite un tubo sonoro: cuando aumenta la temperatura, aumenta la velocidad del sonido y por lo tanto la frecuencia de los sonidos que este emite. Por otra parte, el aumento de temperatura afecta también a las dimensiones del tubo; al aumentar su longitud el sonido será mas grave, compensándose en parte el efecto de la temperatura sobre la velocidad del sonido.

FormulasTubos abiertos

L = n

λn =

Tubos cerrados

L = (2n – 1)

λn =

Vn = (2n – 1)

Vibración en Membranas y Placas

Los modos de oscilación resultan de la combinación de los modos de oscilación de las cuerdas.Las membranas circulares (más usadas) no producen series armónicas. Se producen modos radiales y circulares (figuras de Chladni). ej: bombo, tom-tom, tambor.

Vibración en Membranas y Placas

De manera similar a las cuerdas, la frecuencia más grave de la onda de una membrana en oscilación será directamente proporcional a la tensión a la que está sometida e inversamente proporcional a su radio y densidad de superficie.Las placas no están fijas en sus extremos, no podemos decir que estén sometidas a una tensión determinada. ej: platos, campanas.

Primeros 10 modos naturales de una membrana ideal tensa, agrupados en familias según sus líneas nodales circulares.

Analogía Electromecano

acústica

Analogía Electromecanoacústica

Las analogías electro mecánico acústicas son utilizadas para describir, caracterizar y analizar el comportamiento de los diferentes sistemas de sonido recurriendo a la modelación mecánica y eléctrica de los fenómenos acústicos, para así facilitar su comprensión sin necesidad de resolver las complicadas ecuaciones diferenciales que generalmente se usan para describir el comportamiento de las ondas de sonido, los fenómenos acústicos y los dispositivos de audio.


Para crear una representación esquemática de los fenómenos sonoros utilizando componentes mecánicos y eléctricos se deben cumplir cuatro condiciones básicas.• El fenómeno debe permitir la creación de una representación esquemática

por inspección del mismo.

• Debe permitir la manipulación de los diferentes componentes y variables inherentes al fenómeno para poder realizar una agrupación de elementos mecánicos y eléctricos que representen en un solo modelo el evento analizado.

• Debe conservar la identidad de cada elemento del circuito con el fin de generar una representación exacta del fenómeno reconociendo las fuerzas, inductancias, voltajes y cargas asociadas al mismo.

• Se debe utilizar y representar con los símbolos y convenciones propias de la representación de los circuitos eléctricos.


La representación mecánica y acústica de los fenómenos sonoros a partir de elementos de diagramación de circuitos es de dos tipos: una analogía de impedancia y una de movilidad. En las figuras las letras a, b, c significan la caída de voltaje a través de un elemento del circuito, el flujo a través de un elemento del circuito y la magnitud del elemento del circuito respectivamente.


En las analogías tipo impedancia se cambia la fuerza por tensión, la masa por inductancia y la velocidad por corriente. En contraste, en las analogías tipo movilidad se tiene que la velocidad se sustituye por la tensión, la masa por capacitancia y la fuerza por corriente.

Analogía de las características variables

La tensión V origina el movimiento de las cargas, su análogo será la fuerza F pues esta origina el movimiento de los cuerpos y otros elementos mecánicos.

Analogía de las características variables

La corriente eléctrica en un conductor es la velocidad del movimiento de las cargas . Su análogo es la velocidad de los cuerpos y otros elementos .Por lo anterior el desplazamiento de un cuerpo de su posición inicial se convierte en el análogo de la carga eléctrica.

Analogía de los parámetrosLa caída de tensión en una impedancia inductiva es: Comparando con la segunda ley de Newton Tomando en cuenta las analogías previas se llega a la conclusión de que la masa es el análogo de la inductancia.

Analogía de los parámetrosLa energía cinética: y la energía de campo magnético: son análogos entre si

Analogía de los parámetrosLa caída de tensión en una capacitancia es: .Comparando la expresión con la de la fuerza de Hooke:

Vemos que la capacidad eléctrica C es análoga al valor inverso de la elasticidad k del sistema mecánico.Si en lugar de la elasticidad tomamos el parámetro inverso, o sea, la flexibilidad se llega a la conclusión que la flexibilidad y la capacitancia son conceptos análogos.

Analogía de los parámetrosLa energía potencial de deformación longitudinal de un cuerpo es: .Y la energía del campo eléctrico de un condensador:

Son análogas entre si

Analogía de los parámetrosLa caída de tensión en una resistencia:

Y la fuerza de fricción:

Son conceptos análogos entre si. Por lo tanto el factor de fricción y la resistencia óhmica son también conceptos análogos.

Analogía de los parámetrosPor ultimo. La relación entre la tensión y la corriente, es decir, la resistencia eléctrica:

Es, en escancia, el análogo de la resistencia mecánica, siempre y cuando esta venga en la forma de relación entre la fuerza y la velocidad vibratoria

Esta relación se denomina frecuentemente ley de ohm en el ámbito de la mecánica.

Analogía de los parámetros


En la siguiente figura se relacionan las representaciones matemáticas de los diferentes elementos de un sistema eléctrico y, su equivalencia en las analogías tipo impedancia y movilidad para un sistema mecánico y acústico.

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