Señales de tiempo continuo

Ing. Armando Cajahuaringa Camaco

FIEE-UNI 2012

Series de Fourier. 17

Ejemplo: ¿Cuál es el período de la función

Solución.- Si f(t) es periódica se debe cumplir:

Pero como se sabe cos(x+2kp)=cos(x) para cualquier entero k, entonces para que se cumpla la igualdad se requiere que

T/3=2k1p, T/4=2k2pEs decir,

T = 6k1 p = 8k2p

Donde k1 y k2 son enteros,

El valor mínimo de T se obtiene con k1=4, k2=3, es decir, T=24p

)?cos()cos(f(t) 4t

3t

)cos()cos(T)f(t 4Tt

3Tt )cos()cos(f(t) 4

t3t

Gráfica de la función

0 50 100 150 200-3

-2

-1

0

1

2

3

f(t)=cos(t/3)+cos(t/4)

t

f(t)

24p

Funciones Periódicas

Funciones PeriódicasPodríamos pensar que cualquier suma de funciones seno y coseno produce una función periódica.

Esto no es así, por ejemplo, consideremos la función

f(t) = cos(w1t)+cos(w2t).

Para que sea periódica se requiere encontrar dos enteros m, n tales que

w1T= 2pm, w2T=2pn

De donde

Es decir, la relación w1/ w2 debe ser un número racional.

n

m

2

1

Funciones Periódicas

Ejemplo: la función cos(3t)+cos(p+3)t no es periódica,

ya que no es un número racional.

3

3

2

1

0 5 10 15 20 25 30-2

-1

0

1

2f(t)=cos(3t)+cos((3+pi)t)

t

f(t)

Propiedades de la función impulso

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)(8) y (9) son una generalización de (7)

∫−∞

+∞

𝜹(𝒏 ) (𝝉 ) 𝒇 (𝝉 )𝒅𝝉=(−𝟏 )𝒏 𝒇 (𝒏 )(𝟎)

Convolucion como operación matemática

Sistemas continuos

Francisco Carlos Calderón

PUJ 2010

Objetivos

Definir las propiedades básicas de los sistemas continuos

Analizar la respuesta en el tiempo de un SLIT continuo

Definición y clasificación Conjunto de componentes físicos (hardware) y/o

algoritmos (software) que calculan la señal de salida de una señal de entrada.

Un sistema esta caracterizado por sus entradas, sus salidas, y las reglas de operación (o leyes) adecuados para describir su comportamiento.

Sistemas en tiempo continuo

tx tyH

)(tx)(tyH

Sistemas en tiempo discreto

][nx ][nyH

Sistemas híbridos o mixtos

][nx ][nyH x t o y t o

Propiedades de los sistemas en tiempo continuo

1) Sistemas lineales y no lineales

Un sistema lineal es aquel que cumple la propiedad de superposición.

1. La respuesta a x2(t)+ x1(t) es y1(t)+ y2(t)

2. La respuesta a

Conocidas como las propiedades de aditividad y escalamiento u homogeneidad

)( es )( 11 taytax

Clasificación de los sistemas en tiempo continuo

Si el sistema es lineal, una entrada que sea cero todo el tiempo resulta en una salida que sea cero todo el tiempo.

0)(0)(00

)()(

tytx

tytx

Sistemas lineales “deben cumplir”

tx1

tx 2

H

H

a

b

a

b

tx1

tx 2

H ty 3

tx 3

Que sean iguales

𝑎 𝑦1 (𝑡 )+𝑏𝑦 2(𝑡)

Clasificación de los sistemas en tiempo continuo2) Sistemas con y sin memoria

Sistema SIN memoria: Es aquel cuya salida para cada valor de la variable independiente en un tiempo dado depende solamente de la entrada en ese mismo momento.

Ej

Si entrada es la salida es: . De donde se aprecia que la salida depende de entradas a tiempos diferentes de t0. Por lo tanto el sistema es Con Memoria.

0tx 00 22 txtx

txtxty 22

Clasificación de los sistemas en tiempo continuo

3) Invertibilidad y sistemas inversos

Sistema Invertible: Si un sistema es invertible debe existir un sistema inverso, tal que al interconectarlo en cascada con el sistema original produce una salida igual a la entrada del primer sistema.

tx tx ty

Clasificación de los sistemas en tiempo continuo

4) Causalidad

Sistema Causal: Si su salida en cualquier instante de tiempo depende sólo de los valores de la entrada en el momento presente y en el pasado. (No-anticipativo).

CAUSAL:

NO-CAUSAL:

txty

txty

Clasificación de los sistemas en tiempo continuo

5) Estabilidad (BIBO)

Sistema Estable: Es aquel que a entradas acotadas produce salidas que no divergen.

ESTABLE: , NO-ESTABLE: ,

Clasificación de los sistemas en tiempo continuo

6) Invariante en el tiempo

Sistema Invariante en el tiempo: Si el comportamiento y características del mismo están fijos en el tiempo.

Sistemas Invariantes “deben cumplir”

tx1 otty 1H 0t

tx1 ty 2H0t tx 2

ty1

Que sean iguales

Sistemas Lineales e invariantes en el tiempo Este tipo de sistemas son conocidos como

SLIT o LTI(ingles). Muchos fenómenos físicos pueden

modelarse mediante estos sistemas. El análisis matemático del comportamiento

de estos sistemas puede desarrollarse a través de procedimientos directos.

anaxannx

x[n] puede escribirse como una suma de impulsos desplazados

k

knkxnx

Dada una señal discreta x[n]

SLIT discretos.Las señales discretas pueden representarse por medio de una secuencia de impulsos, aplicando la propiedad:

...11011... nxnxnxnx

Sistemas Lineales e invariantes en el tiempo continuosSe puede encontrar una caracterización para los SLIT en término de su respuesta al impulso unitario.

k

ktkxtx

k

ktkxlímtx 0

∫

dtxtx

La salida y(t) puede verse como una combinación lineal de respuestas a las señales impulso

)( tH

),( th

Y como mi sistema es invariante en el tiempo se tiene que:

)(),( thth

Sistemas Lineales e invariantes en el tiempo continuos

Este resultado se conoce como la integral de convolución.También representada como:

)()()( thtxty

Un sistema SLIT continuo puede caracterizarse totalmente con la respuesta al impulso.

𝑦 (𝑡 )=∫−∞

∞

𝑥 (𝜏 )h (𝑡−𝜏 )𝑑𝜏

𝑦 (𝑡 )=∫−∞

∞

𝑥 (𝜏 )h (𝑡−𝜏 )𝑑𝜏

Propiedades de los Sistemas Lineales e invariantes en el tiempo

Propiedad distributiva

Propiedades de los Sistemas Lineales e invariantes en el tiempo

Propiedad asociativa

Propiedades de los Sistemas Lineales e invariantes en el tiempo

Propiedad conmutativa

Propiedades de los Sistemas Lineales e invariantes en el tiempo

SLIT con y sin memoria.

Sistema SIN memoria: Es aquel cuya salida para cada valor de la variable independiente en un tiempo dado depende solamente de la entrada en ese mismo momento.

En el caso continuo esto se cumple si:

( ) 0 para t 0h t

( ) ( )y t Kx t

Por lo que la suma de convolución se reduce a:

Donde K=

Propiedades de los Sistemas Lineales e invariantes en el tiempo

Causalidad para los SLIT

Si su salida en cualquier instante de tiempo depende sólo de los valores de la entrada en el momento presente y en el pasado. (No-anticipativo).La respuesta impulso de un SLIT causal discreto, basándose en la definición debe ser de la forma:

( ) 0h t para t < 0 que a su vez implica:

0

( ) ( ) ( )y t x h t d

∫

Invertibilidad de los SLIT

Si el sistema es invertible, posee un sistema inverso, de tal forma que si el sistema es un SLIT se cumple que:

Figura 38. SLIT invertible y su sistema inverso

Es decir, para el caso continuo: 

De forma análoga se puede concluir una expresión para el caso discreto.

Propiedades de los Sistemas Lineales e invariantes en el tiempo

tthth 21

Propiedades de los Sistemas Lineales e invariantes en el tiempo

Estabilidad para los SLIT

Aquel que a entrada limitadas en amplitud produce salidas limitadas en amplitud

Puede encontrarse “ver Oppenheim pag 113” que el sistema es estable si la respuesta al impulso unitario es absolutamente integrable

( )h d

∫

Referencias

Señales y sistemas continuos y discretos, Soliman. S y Srinath. M. 2ª edición cap 2

Señales y sistemas ,Oppenheim, alan cap 1