seminario “matemáticas aplicadas en finanzas”
TRANSCRIPT
TEMARIO
1) Construcción y manejo de portafolios
2) Smart Beta: Momentum, Value, Low-Vol
3) PCA, datamining y burbujas financieras
4) Proyectos de investigación
Universo de Inversiones
1) Equity, Acciones locales o internacionales
2) Renta fija local o internacional: credito y bonos gobierno
3) Monedas
4) Commodities
5) Derivados (Hedge Funds) y productos estructurados
Universo de Inversiones
1) Mucha Información hace difícil tomar decisiones de forma
manual. Informacion economica, fluctuaciones de precios,
riesgos geo-politicos, etc.
2) Juego de suma cero?? Inversores tienen dinero y necesitan
retornos. Los que piden prestamos necesitan dinero y toman
riesgos. Se realiza un trade entre ambos grupos.
Ejemplos
1) Un importador/exportador quiere cubrirse de fluctuaciones
en el tipo de cambio.
2) Un emisor de un bono quiere cubrirse de su exposicion a
fluctuaciones en la tasa de interes.
Ejemplos
1) Modelos de pricing: relative value, arbitraje
2) Risk management: human risk aversion, greed/fear
80% perder 500 y 20% ganar 500 o 100% perder 280
80% ganar 500 y 20% perder 500 o 100% ganar 280.
3) Trading Strategies: robo-trader, momentum, low-vol,
mean-revertion.
Asset Allocation • Black-Litterman
• Basic Steps
• Implied returns
• Investor views
• Expected returns
• Optimal asset allocation proposal
Within the mean-variance optimization framework, Black and
Litterman combine the equilibrium returns vector implied in the market
(arising from the Reverse Optimization of the market capitalization
benchmark) and manager’s views vector using the Bayes’ theorem
𝐵𝑎𝑦𝑒𝑠′𝑇ℎ𝑚: 𝑃 𝐴 𝐵) =𝑃 𝐵 𝐴) 𝑃(𝐴)
𝑃(𝐵)
Implied Returns + Investor Views = Expected Returns
Risk Aversion Coefficient
• δ = (E(r) – rf)/σ2
Covariance Matrix
•∑
Market capitalization weights
• wmkt
Views
•(P)
•(Q)
Uncertainty of Views
• (Ω)
Implied return vector
•Π= δ Σ wmkt
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What is Diversification?
Diversification is the “magic” by which combining a set of non-fully correlated assets always
results in a portfolio whose risk is lower than the weighted average of the single assets’ risks:
Risk of the combination < Combination of the risks
1, BA
BABA %20%80)%20%80(
12
Definition of the Diversification Ratio®
TOBAM’s unique Diversification Ratio® is the tool to measure the diversification of
any portfolio P:
)(PDRThe weighted average of
stock volatilities
Portfolio Volatility
P
nnwww
...2211
X1,X2,…Xn = Risky assets in universe U
i = Volatility of asset i
P = (w1, w2,…wn) = The vector of asset weights
= (1,2,…n) = The vector of asset volatilities
V = Covariance matrix
C = Correlation matrix
Combination of Risks
Risk of the Combination
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Diversification Ratio® - Stability
characteristic
The above graph illustrates that the Most Diversified Portfolios® of random
subsets of a universe tend to have similar behaviour versus the market cap
benchmark.
Applying a 100% bottom-up selection methodology, the resulting portfolio will
build a more balanced allocation across sources of risk
Growth Model
• US Cycle Model: (Goldman Sachs). • Objetivo: usar variables macroeconómicas para entender el estado del
ciclo económico Norteamericano.
• Principio: La economía Norteamericana esta en ciclo positivo cuando: -Múltiplos suben
-Empresas suben utilidades (EPS, ROE)
-Momentum positivo de producción (ISM Manufacturero)
-Tasas suben y curva se empina
-Dólar sube.
• Variables (+1 si >0, -1 si <0): • Russell 3000 P/E FRW, variación 1Y
• Russell 3000 Trail 12M EPS , variación 1Y
• S&P 500 ROE, variación 1Y
• 10y Treasury , variación 1M, 6M, 12M
• 10y-2y US Slope, nivel vs promedio 10Y
• DXY (Dollar Index), variación 1M, 6M, 12M
• ISM Man., variación 1M, 6M, 12M
Growth Model
• US Cycle Model: (Goldman Sachs).
• Output:
-1
0
1
2
3
4
5
(8,00)
(6,00)
(4,00)
(2,00)
-
2,00
4,00
6,00
8,00
feb
-95
sep
-95
abr-
96
no
v-9
6
jun
-97
ene
-98
ago
-98
mar
-99
oct
-99
may
-00
dic
-00
jul-
01
feb
-02
sep
-02
abr-
03
no
v-0
3
jun
-04
ene
-05
ago
-05
mar
-06
oct
-06
may
-07
dic
-07
jul-
08
feb
-09
sep
-09
abr-
10
no
v-1
0
jun
-11
ene
-12
ago
-12
mar
-13
oct
-13
may
-14
Señal + Backtest
SEÑAL SPX INDEX BACKTEST RETURN
Growth Model
• US Cycle Model: (Goldman Sachs).
• Output:
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
feb
-95
sep
-95
abr-
96
no
v-9
6
jun
-97
ene
-98
ago
-98
mar
-99
oct
-99
may
-00
dic
-00
jul-
01
feb
-02
sep
-02
abr-
03
no
v-0
3
jun
-04
ene
-05
ago
-05
mar
-06
oct
-06
may
-07
dic
-07
jul-
08
feb
-09
sep
-09
abr-
10
no
v-1
0
jun
-11
ene
-12
ago
-12
mar
-13
oct
-13
may
-14
Descomposición señal
Valuation Profitability Rates Steepness Dollar
Measure in Covariance’s matrices • Fear-Index = principal eigenvalue (RMT)
• First eigenvalue <=> market portfolio
• Z-score <=> score for anomalies
𝑧 − 𝑠𝑐𝑜𝑟𝑒 =𝑥 − 𝜇
𝜎
• Mahalanobis distance = z-score with correlations 𝑑𝑡 = 𝑥𝑡 − 𝜇
𝑡 Σ−1 𝑥𝑡 − 𝜇
𝑑𝑡 = 𝑥𝑖 − 𝜇𝑖 𝐶𝑖𝑗(𝑥𝑗 − 𝜇𝑗)
𝑗≥1𝑖≥1
Example: Diagonal matrix
𝑑𝑡 = 𝑥𝑖 − 𝜇𝑖
2
𝜎𝑖2
𝑖≥1
Strategies
• Value (Asness - Moskowitz - Pedersen)
• Bonds
• Carry (Koijen – Moskowitz – Pedersen - Vrugt)
• FX
• Equity
• Credit and Bonds
• Momentum (Jegadeesh – Titman)
• FX
• Equity
• Credit and Bonds
• Trend factors (Han & Zhou / JPMorgan research)
Estrategias In general, a security’s expected return can be decomposed into
its carry and its expected price appreciation.
Return = Carry + E(price appreciation) + price-shock
𝑅𝑒𝑡𝑢𝑟𝑛 = 𝐹𝑡+1 − 𝐹𝑡𝐹𝑡
An asset’s carry can be defined as its expected return assuming its
price does not change, i.e.,
𝐶𝑎𝑟𝑟𝑦 = 𝐶𝑡 ≝ 𝑆𝑡 − 𝐹𝑡𝐹𝑡, 𝐹𝑡+1 = 𝑆𝑡+1 = 𝑆𝑡
Estrategias Bond Carry:
The carry is the return on the bond if the entire term structure of the
interest rates stays constant, i.e., 𝑦𝑡+1𝜏 = 𝑦𝑡
τfor all maturities τ.
𝐶𝑡 = 𝑆𝑡 − 𝐹𝑡𝐹𝑡
𝐶𝑡 ≅ 𝑦𝑡𝜏 − 𝐷𝑚𝑜𝑑(𝑦𝑡
𝜏−1 − 𝑦𝑡𝜏)
Intuitively, carry is the bond yield plus the “roll down”
Estrategias Equity Carry:
In Equity, carry represents the expected dividend yield. If stock prices
do not change, then the return on equity comes from dividends.
𝐹𝑡 = 𝑆𝑡 1 + 𝑟𝑓 − Et(Dt+1)
𝐶𝑡 = 𝑆𝑡 − 𝐹𝑡𝐹𝑡
𝐶𝑡 =𝐸𝑡 𝐷𝑡𝑆𝑡− 𝑟𝑓
𝑆𝑡𝐹𝑡
Propuestas • Construcción óptima de portafolios, diversificación y
manejo activo de riesgos.
• Modelamiento de cambios en regímenes (PCA).
• Estrategias de inversión en diferentes clases de activos, definir tamaño de las apuestas.
• Modelamiento de burbujas financieras.
• Relación entre la ecuación de Black-Scholes y la ecuación del calor (teórica)