Seminario de Resolucion de problemasMiercoles 30 de marzo del 2016

1. Sea f una funcion continua y monotona en ninguna parte de [0, 1]. Pruebe que elconjunto de puntos en los que f alcanza mınimo local es denso en [0, 1].

(Una funcion es monotona en ninguna parte si no existe intervalo donde la funcion seamonotona. Un conjunto es denso si todo intervalo abierto no vacio contiene al menosun elemento del conjunto.)

2. Sea A una matriz 3× 2 y B una matriz 2× 3 tales que

AB =

8 2 −22 5 4−2 4 5

.

Pruebe que

BA =

(9 00 9

).

3. Pruebe que existen infinitos primos de la forma 4k+1.

4. Se escogen aleatoriamente 4 numeros distintos y con probabilidad uniforme del conjunto{1, 2, . . . , 3n}. Calcule la probabilidad de que la suma de estos numeros sea divisiblepor 3.

5. Encuentre el valor de la serie

∞∑m=1

∞∑n=1

m2n

3m(n3m + m3n).

6. Definimos la sucesion de fracciones de Farey de orden n como el conjunto de fracciones

reducidasa

btales que 0 ≤ a

b≤ 1, 1 ≤ b ≤ n, ordenadas de mayor a menor.

a) Demuestre que sia

by

c

dson dos terminos consecutivos de una sucesion de Farey,

entonces cb− da = 1.

b) Demuestre que sia1b1,a2b2,a3b3

son tres terminos consecutivos de sucesion de Farey,

entonces a2 = a1 + a3 y b2 = b1 + b3.