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semana 9 cepunsTRANSCRIPT
Trigonometría
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SEMANA 9
IDENTIDADES
TRIGONOMÉTRICAS PARA
EL ARCO SIMPLE
1. Simplifique:
cos sen sec CscW
tg ctg
A) 2 B) -2 C) 1
2
D) 1 E) -1
RESOLUCIÓN
1 1cos sen
cos senW
sen cos
cos sen
2 2
sen cossen cos
cos senW
sen cos
sen cos
sen cos
Wsen cos
2 2
2 2
W 1 RPTA.: E
2. Simplifique:
sec x sen x tg x cos xQ
csc x cos x ctg x sen x
22 2 2 4
22 2 2 4
A) 1 B) tg x2 C) 2ctg x
D) sec x2 E) csc x2
RESOLUCIÓN
1
sec x tg x sen x cos xQ
csc x c tg x cos x sen x
2 22 2 2 2
2 22 2 2 2
“1”
sen x sen x sen xQ
cos xcos x cos x
2 22 2 2
2 2 22 2
1 1 4 1
4 11 1
2Q tg x
RPTA.: B
3. Simplifique:
cosb tgbsenb secb tgb
A) 2 sen b B) 2 cos b C) tg b
D) sec b E) ctg b
RESOLUCIÓN
senb senbV cos b senb
cosb cosb cosb
1
sen b senbV cos b
cosb cosb cosb
21
cos b sen b senbV
cosb
2 21
V tgb
RPTA.: C
4. Indique el equivalente de la
expresión:
P sen x cos x tgx ctgx
2 22 2
A) sen x cos x6 6
B) sen x cos x 2 21
C) sen x cos x 2 21
D) sen x cos x 2 21 3
E) sen x cos x6 6
RESOLUCIÓN
P sen x cos x sen x cos x senx cscx
24 4 2 2
2
P sen x cos x sen x cos xcosx senx
2
2 2 2 2 1 11 2 2
P sen x cos x cosx senx 22 2
1 4
P sen x cos x sen x cos x 2 2 2 21 4
P sen x cos x 2 21 3
Trigonometría
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P sen x cos x 6 6
RPTA.: E
5. Simplifique:
P sen tg cos ctg sen cos 2 22
A) sec csc 2 2 B) sec csc
C) tg ctg D) tg c tg
E) 1
RESOLUCIÓN
P sen tg cos ctg sen cos 2 22
sen cosP sen cos
cos sen
3 3
2
sen cos sen cosP
sen cos
4 4 2 22
sen cos sen cosP
cos sen
2 2 2 21 2 2
P sec csc
P tg ctg
RPTA.: C
6. Reducir:
E tg ctg ctg tg 2 21 1
A) sen B) cos
C) tg D) sen º30
E) sen 180º
RESOLUCIÓN
E tg ctg ctg tg 2 21 1
E tg ctg tg ctg tg ctg 2 2
E tg ctg ctg tg
E 0
E sen º 180
RPTA.: E
7. Si: tgx ctgx b
Calcule: E tgx ctgx
A) b 24 B) b 2
4
C) b 24 D) b 2
4
E) b 24
RESOLUCIÓN
tgx ctgx b
Elevando al cuadrado:
tg x ctg x b 2 2 22
tg x ctg x b 2 2 22 4
tgx ctgx b 2 2
4
tgx ctgx b 24
RPTA.: D
8. Calcule: senxcosx
Si: a b
senx cosx
A)a b
ab
2 2
B) b a
ab
2 2
C)ab
a b2 2 D)
ab
a b2 2
E) a
a b
2
RESOLUCIÓN
senx cosx ??secxcscx tgx ctgx
1 1
a b atgx
senx cosx b
ab
senxcosxa b a b
b a
2 2
1
RPTA.: D
9. Reduce:
E sen cos tg ctg csc
A) sen B) cos
C) sec D) csc
E) 1
Trigonometría
Página 3
RESOLUCIÓN
H sen cos tg ctg csc
H sen cos sec csc csc
H csc sen sec 1 1
H csc sen sec
1
H sec
RPTA.: C
10. Si: sen x sen y 2 2 1
8
Halle:
A cos xcos y sen xsen y 2 2 2 2
A) 1
8 B)
5
8 C)
7
8
D) 9
8 E)
11
8
RESOLUCIÓN
sen x sen y 2 2 1
8……………..…..
E cos xcos y sen xsen y 2 2 2 2
E sen x sen y sen xsen y 2 2 2 21 1
E sen x sen y sen xsen y sen xsen y 2 2 2 2 2 21
E sen x sen y 2 21
E 1
18
E= 7
8
RPTA.: C
11. Reduce:
E sen x cos x cos x sen x
26 6 2 2
4 3
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
RESOLUCIÓN
E sen x cos x cos x sen x
26 6 2 2
4 3
E sen x cos x cos x sen x sen xcos x
22 2 4 4 2 2
4 1 3 3 2
E sen xcos x sen xcos x sen xcos x
22 2 2 2 2 2
4 12 3 1 2 2
E sen xcos x sen xcos x 2 2 2 2
4 12 3 1 4
E sen xcos x sen xcos x 2 2 2 24 12 3 12
E 4 3 1
RPTA.: A
12. Halle el valor de “A” si:
sec x sec x tg x A 4 2 4
A) tgx B) ctgx
C) ctg x2 D) tg x2
E) 1
RESOLUCIÓN
sec x sec x tg x A 4 2 4
sec x tg x sec x A 4 4 2
sec x tg x sec x tg x sec x A 2 2 2 2 2
sec x tg x sec x A 2 2 2
A tg x 2
RPTA.: D
13. Si: cos x senx 212 23 22
Entonces “sen x” es:
A) 5
4 B)
2
3 C)
1
3
D) 4
5 E) ;
2 5
3 4
I
1
Trigonometría
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RESOLUCIÓN
Donde:
sen x senx 212 1 23 22
sen x senx 212 23 10 0
senx senx 3 2 4 5 0
senx 2
3
RPTA.: B
14. Simplifique:
V sec x tg x tg x tg x 6 6 4 23 3
A) 0 B) 1 C) 2
D) 3 E) 4
RESOLUCIÓN
V tg x tg x tg x tg x 3
2 6 4 21 3 3
V tg x tg x tg x tg x tg x 2 2 6 4 21 3 1 3 3
V 1 RPTA.: B
15. Calcule “n” para que la siguiente
igualdad sea una identidad.
cosx cosxsenx n
senxcosx n
1 1
A) tg x B) ctg x C) sen x
D) cos x E) sec x
RESOLUCIÓN
El primer miembro:
cosx
N senxsenxcosx
1
N cosx tgx ctgx senx 1
N cosx tgx ( cosx)ctgx senx 1 1
cosx
N tgxtgx
1
N tgx
RPTA.: A
16. Si: ctg x ctg y 2 22 3 1
Halle: sen x csc y2 2
A) 1 B) 1
3 C)
2
3
D) 2 E) 1
9
RESOLUCIÓN
ctg x ctg y 2 22 3 1
csc x csc y 2 22 1 3 1 1
csc x csc y2 22 3
sen xcsc y 2 2 2
3
RPTA.: C
17. Indique el equivalente de :
cosx senxW
senx ctgx cosx tgx
2 2
1 1
1 1
A) sec x cos x2 2
B) sen x cos x2 2
C) sen x csc x2 2
D) sec x csc x2 2
E) 1
RESOLUCIÓN
senx cosx
W tgx ctgxcosx senx
2 2
1 1
senx senx cosx cosx
Wcosx cosx cosx senx senx senx
2
1 1
2
W secx cscx2 2
W sec x csc x 2 2
W sec x csc x 2 2
RPTA.: D
Trigonometría
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18. Si: cscx ctgx ;Halle :"tgx" 3
A) 3
4 B)
3
4 C)
4
3
D) 4
3 E)
1
3
RESOLUCIÓN
Piden: tg x =?
Dato: cscx ctgx cscx ctgx 3 3
csc x ctgx ctg x 22 2
3 1
ctgx ctg x 29 6
ctgx tgxctgx
1 6 38 6
8 4
RPTA.: B
19. Si: sen cos x; 2 halle:
" sen cos " 2
A) x x 2 2
B) x x 3 1
C) x x 3 1
D) x x 3 1
E) x x 3 1
RESOLUCIÒN
Piden: sen cos ? 2
Dato: sen cos x 2
sen cos x 2
sen cos sen cos x x 2 2 22 4 4
“1”
sen cos x x 22 4 3
x -3 x -1
sen cos x x 2 3 1
RPTA.: E
20. Si: cos x cosx 21 0.
Halle: W sec x ctg x 2 2
A) 0 B) 1 C) 2
D) -1 E) -2
RESOLUCIÓN
* cos x cosx cosx 21 0
cos x cosx sen x 2 21
cosx senx
senx tgx cscxsenx cosx senx
1
tg x csc x sec x 2 2 21
ctg x sec x ctg x 2 2 21 2
RPTA.: C
21. Si: "sec " y "csc " son las
“raíces” de la ecuación:
x p x q 20; luego se cumple
la relación:
A) q q p 2 22
B) p p q 2 22
C) q q p 2 22
D) p p q 2 22
E) p q 2 21
RESOLUCIÓN x sec
1
x px q 20
x csc 2
Se observa:
i) x x q sec csc q 1 2
…..(I)
ii) x x p sec csc p 1 2
..(II)
2(II) : sec csc p 2 2
sec csc sec csc p 2 2 22
"sec csc " 2 2
sec csc sec csc p 2 2
2
Trigonometría
Página 6
q q p 2 22
RPTA.: A
22. Si: senx sen x 21
Calcule: E cos x 21
A) sen x2 B) cos x2
C) tg x2 D) ctg x2
E) csc x2
RESOLUCIÓN
* senx sen x 21
senx sen x 21
senx cos x 2
tgx cosx ctg x = sec x
E cos x 21
E tg x 21
E sec x 2
E ctg x 2
RPTA.: D
23. Simplifique:
covx versx covxE
versx covx
1 1
1
A) vers x B) cov x C) 2 -vers x D)2-cov x E) 2 + cov x
RESOLUCIÓN
covx versx covxE
versx covx
1 1
1
senx cosx senxE
cosx senx
1 1 1 1 1
1 1 1
senx senx cosx senx cosxE
cosx senx senx cosx
1 1
1 1
senx cosx sen xE
senxcosx
2 21
2
cosx cosx cosxE
cosx
2
1 1 1
2
cosx cosx cosxE
cosx
1 1 1
2
E cosx 1
E versx 1 1
E versx 2
RPTA.: C
24. Simplifique: cosx
ksenx cosx
2 21
1
A) cosx
senx1 B)
senx
cosx
1
C) 1- sen x D) 1 + sen x
E) cosx
senx1
RESOLUCIÓN
cosx
Ksenx cosx
2 21
1
senx cosx cosxK
senx cosx
1 2 2
1
senx cosx senx cosxK
senx cosx senx cosx
1 1
1 1
senx cos xK
senxcosx
2 21
2
senx senx senxK
senxcosx
2
1 1 1
2
senx senx senxK
senxcosx
1 1 1
2
senx senx senxK k
senxcosx cosx
1 2 1
2
RPTA.: B
25. Eliminar “x” si:
sec x atgx 22
csc x ctgx 22
Trigonometría
Página 7
A) a b2 B)a b 2 20
C) a b 0 D)a b 0
E) a b 2
RESOLUCIÓN
sec x atgx tg x 2 22 2 1
atgx tg x atgx 21 ………(*)
csc x bctgx ctg x 2 22 2 1
bctgx ctg x b ctgx 21
tg x b
tg x tgx
2
2
1
tg x btgx 21 …………….…(*)(*)
(*) + (*) (*)
(a b)tgx a b 0 0
RPTA.: D
26. Si: Btg x sen xA tg x
ctg x cos x
2 2
2 2
Halle: (A + B)
A) 3 B) 6 C) 7
D) 8 E) 10
RESOLUCIÓN
sen xsen x
sen x sec xcos x
cos x cos x csc xcos x
sen x
2
22 2
2
2 2 22
2
1
1
sen x tg x tg x tg x
tg xcos x ctg x
tg x
2 2 2 2
6
2 2
2
1 1
11 1
Btg x A tg x6
1
A = 1 B = 6
A + B =7
RPTA.: C
27. Reducir:
H tg x tg x tg x tg x 2 4 6 81 ……………
A) sen x2 B) cos x2 C) tg x2
D) ctg x2 E) 1
RESOLUCIÓN
H tg x tgx tgx tgx 2 4 6 81 ……………
H tg x tg x tg x tg x ............. 2 2 4 6
1 1
“H”
H tg x H 21
H Htg x 21
H tg x Hsec x 2 21 1 1
H cos x 2
RPTA.: B
28. Si: sen x csc x 3 37
Calcule: sen x csc x3 3
A) 51 B) 53 C) 57
D) 59 E) 61
RESOLUCIÓN
sen x csc x 2
3 3 27
sen x sen xcsc x csc x 6 3 3 62 49
sen x csc x 6 649 2
sen x csc x 6 651
sen x csc x sen xcsc x 6 6 3 32
51 2
sen x csc x sen x csc x 2
3 3 3 353
53
RPTA.: B
Trigonometría
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29. Si: csc csc 21
Halle:
H ctg ctg ctg 21 1
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 0
RESOLUCIÓN
csc csc 21
ctg csc csc ctg 2 21 1
H ctg ctg ctg 21 1
H ctg ctg 2 2
1
H ctg ctg 4 2
H csc ctg 2 2
H 1
RPTA.: A
30. Si: cscx 2 10
Calcule el valor de tgx secx
A) 5 10 14
9
B) 5 10 14
9
C) 5 5 14
9
D) 5 5 14
9
E) 5 2 14
9
RESOLUCIÓN
senx
E tgx secxcosx cosx
1
senx senx
Ecos x sen x
2 2
1
csc xcsc x
Ecsc x
csc x
2
2
1
1 11
Reemplazando
E
5 10 14
9
RPTA.: A