semana_07-calculo 1.pdf

7/25/2019 SEMANA_07-calculo 1.pdf

1/18

Facultad de Ingeniera y Arquitectura Semestre 2012-I

Semana 7CURSO : CLCULO I

Tema :

LIMITES AL INFINITO

Madrid 6 AGO 2009

9,51 segundos, el lmite para el rcord masculino de los 100

metros planos

Investigadores de la universidad de Tilburg calculan la barrera de la pruebareina de velocidad con la teora de los valores extremos

Hasta cunto se puede rebajar el rcord de los 100 metros, la prueba reina del atletismo

de velocidad? Cul es el lmite? Dos economistas de la universidad de Tilburg (Holanda)

han calculado la marca futura que pueden alcanzar hombres y mujeres en esta distancia.

Para establecer el rcord probable de los 100 metros, John Einmahl y Sander Smeets han

analizado las mejores marcas personales de 762 atletas masculinos y 479 atletas

femeninas entre enero de 1991 y junio de 2008. Los investigadores desestimaron las

marcas anteriores a estas fechas, ya que no existan unos controles de antidopaje

eficaces. Las marcas oscilaban, en el caso de los hombres, entre los 9,72 y los 10,30

segundos, y en el caso de las mujeres entre los 10,65 y los 11,38 segundos.

Lmites al infinito Continuidad de funciones Asntota de una funcin


2/18


Cmo ha ido evolucionando el rcord a lo largo del tiempo? Como se podr ver en lasiguiente grfica, se trabaja el concepto de tendencia, ya que se sabe que por las

limitaciones humanas, los 100 metros planos no se podrn correr nunca tardando slo dos

segundos, y as, el tiempo que se tarda en correr los 100 metros planos se ir acercando a un

valor cuyo tope no se podr bajar por ms que pasen los aos, apareciendo de nuevo la

nocin de lmite.

Podemos considerar una funcin )(tf que proporcione el tiempo (en segundos) en que un

atleta recorre los 100 m lisos en el ao t. Luego, se podra decir que cuando pasen los aos

( t ) el rcord llegar a los 9,51 segundos ( 51,9)( tf ) o en la notacin de limite

51,9)( =

tflmt

El infinito es una idea muy especial. Sabemos que no podemos alcanzarlo, pero podemos

calcular el valor de funciones que tienden al infinito.

UNO ENTRE INFINITOEmpecemos por un ejemplo interesante

Pregunta: Cul es el valor de /1 ?

Respuesta: No lo sabemos!

Por qu no lo sabemos?

La razn ms simple es que infinito no es un nmero, es una idea. A lo mejor podramos

decir que ...0/1 = pero eso es un poco problemtico, porque si dividimos 1 en infinitas

partes y resulta que cada una es 0, qu ha pasado con el 1?

De hecho /1 es indefinido.


3/18


Pero podemos acercarnos a l!As que en lugar de intentar calcular con infinito (porque no sacaremos ninguna respuesta

razonable), vamos a probar con valores dexms y ms grandes:

Vemos que cuandox crece, x/1 tiende a 0. Ahora tenemos una situacin interesante:

No podemos decir qu pasa cuandoxllega a infinito

Pero vemos que x/1 va hacia 0

Queremos decir que la respuesta es 0 pero no podemos, as que los matemticos usan la

palabra lmite para referirse exactamente a esto

El lmitede x/1 cuandoxtiende a infinito es 0

Y lo escribimos as; 01

=

xlmx

Definicin1. Decimos que )(xf tiene lmiteLcuandoxtiende al infinito y escribimos

Lxflmx

=

)(

Si, para cada nmero 0> , existe un correspondiente nmero M tal que para todox

Mx >


4/18


2. Decimos que )(xf tiene lmiteLcuandoxtiende a menos infinito y escribimos

Lxflmx

=

)(

Si, para cada nmero 0> , existe un correspondiente nmero N tal que para todox

Nx < a

( ) +=+a

( ) =+ a

( ) =a ( ) += a

Si )(xf es un polinomio, se debe factorizar y luego aplicar las propiedades mencionadas

anteriormente, es decir

++++=++++=

n

n

n

nn

nn

nn

x

a

x

a

x

aaxaxaxaxaxf

1

1101

1

10)( LL


5/18


Ejemplo:1. Dada la funcin polinomial 7654)( 23 ++= xxxxf , calcular )(xflmx

y

)(xflmx +

Solucin:

Ya que

++=++=

32

323 76547654)(xxx

xxxxxf , entonces

+==

++=

)4)((765

4)(32

3

xxxxlmxflm

xx

=+=

++=

++

)4)((7654)(32

3

xxxxlmxflm

xx

Si)(

)()(xQ

xPxf = es una funcin racional con

mm

mmaxaxaxaxP ++++=

1

1

10)( L y nnnn

bxbxbxbxQ ++++=

1

1

10)( L , entonces

>

=

+= xx

xxxf

Solucina) f(2) = 3b) Analice los lmites laterales.

x 2

lim f(x) 2+

=

x 2 x 2lim f(x) lim (x 2) 3

= + =

Entonces, )(lim2xf

xno existe.

Por lo tanto, f no es continua en x= 2.


10/18


Tipos de discontinuidad1.

Discontinuidad removible o evitableUna funcinf tiene una discontinuidad removible o evitable en a si

Existe )(lim xfax

)()( afxflmax

o no existef(a)

En ambos casos si redefinisemos )(af o definisemos )(af como el valor de

)(xflmax

, la funcin f resultara continua en a

=

=

axsixflm

axsixfxf

ax),(

,)()(*

En este caso diremos que )(* xf es una extensin continua de )(xf .

2. Discontinuidad por salto

Diremos quef(x)tiene una discontinuidad no removible de primera clase en asi

existen )(xflmax

+

y )(xflmax

, pero son diferentes.

Ejemplos:

1. Sea h la funcin definida por

>

+=

1,-3

1,3)(

xx

xxxh .

La figura muestra la grfica de h . Como la grfica de

h se rompe en el punto donde 1=x , se investigaran las

condiciones de continuidad.

(i) 4)1( =h (ii) 4)3()(

11=+=

xlmxhlmxx

2)3()(11

==++

xlmxhlmxx

Debido a que )()(11xhlmxhlm

xx +

, entonces )(1xhlm

xno existe.

La condicin (ii) no se cumple en 1; de modo que h es discontinua en 1. Puesto que

)(1xhlm

xno existe, la discontinuidad es por salto.


11/18


2.

Sea f la funcin definida por

=

=

3,2

3,3)(

x

xxxf .

La figura muestra la grfica de f . Se investigaran

alas tres condiciones de continuidad.

(i) 2)3( =f

(ii) 0)3()(33

==

xlmxflmxx

0)3()( 33==

++ xlmxflm xx .Por tanto 0)(

3=

xflmx

(iii) )3()(3fxflm

x

Debido a que la condicin (iii) no se satisface, f es discontinua en 3.

Esta discontinuidad es removible porque si se redefine )3(f como 0, entonces la nueva

funcin ser continua en 3.

=

=

=

=

3,0

3,3

3),(

3,)(

)(3

*

xsi

xsix

xsixflm

xsixf

xfx

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Determinar si la funcin es continua en el punto dado c. Si la funcin no es continua,determinar el tipo de discontinuidad.

1. xxf cos)( = , c=0

2. 9

81

)(

2

= x

x

xf , c = 9 3. 43

82

)( 2

2

+

+

= xx

xx

xf , c= -4

4.x

xxf

42)(

+= , c=0 5.

39)(

+=x

xxf , c= 0 6.

1

1)(

3

+

+=x

xxf , c= -1

7.x

xxf

=

2

4)( , c = 4 8.

+


12/18


2.

Analizar la continuidad de f en el punto 2/=x , siendo

=

=

2/,3

2/,1

2

)(

2

x

xsenx

xsensenx

xf

3.

Halle los valores de a, by cpara que la funcin f sea continua en todo los reales

+


13/18


ASINTOTAS DE UNA FUNCIN

DefinicinConsideremos una recta L y un punto A que se desplaza a lo largo de la curva C: )(xfy = ,

cuando la distancia entre la recta L y el punto A de la curva tiende a cero, cuando el punto

A tiende al infinito, entonces a la recta L se denomina asntota de la curva, es decir:

0),(lim =

ALdA

Se pueden aplicar lmites infinitos para determinar las asntotas verticales de una grfica, y

los lmites al infinito para determinar las asntotas horizontales y oblicuas.

ASINTOTA VERTICALDefinicinSi )(xf tiende a infinito (o menos infinito) cuandoxtiende a c por la derecha o por la

izquierda, se dice que la rectax= ces una asntota vertical de la grfica de f.

Observe la siguiente funcin2

3)(

=x

xf


14/18


es uncociente

y la asntota vertical aparece en el nmero que anula el denominador pero noel numerador. El siguiente teorema generaliza esta observacin.

TEOREMA Asntotas VerticalesSean f y g funciones continuas en un intervalo abierto que contienen a c. Si 0)( cf ,

0)( =cg , y existe un intervalo abierto que contiene a c tal que 0)( xg para todo cx

del intervalo, entonces la grfica de la funcin

)(

)()(xg

xfxh =

posee una asntota vertical en cx =

Ejemplo:Hallar todas las asntotas verticales de cada una de las grficas de las siguiente funciones:

1.)1(2

1)(

+=x

xf

Solucin

Cuando 1=x , el denominador de)1(2

1)(

+=x

xf es 0 y el numerador no es cero.

Por tanto, por el teorema se puede concluir que 1=x es una asntota vertical.

2.1

1)(

2

2

+=x

xxf

Solucin

Factorizando el denominador como )1)(1(12 += xxx puede verse que se anula en

1=x y en 1=x . Adems dado que el numerador no es 0 en ninguno de estos puntos,

del teorema se sigue que la grfica tiene dos asntotas verticales.

3.4

82)(

2

2

+=

x

xxxf

Solucin

Comenzamos simplificando la expresin como sigue

2,2

4

)2)(2(

)2)(4(

4

82)(

2

2

+

+=

+

+=

+= x

x

x

xx

xx

x

xxxf

En todos los 2x , la grfica de f coincide con la de )2/()4()( ++= xxxg . De modo

que podemos aplicar el teorema a gpara concluir que existe una asntota vertical en

2=x .


15/18


ASINTOTA VERTICAL

DefinicinLa recta by = es unaasntota horizontalde la grfica de la funcin f si al menos una de

las proposiciones siguientes es verdadera:

(i) bxflmx

=+

)( , bxf )(

(ii) bxflmx

=

)( , bxf )(

Ejemplo:

1.

Determinar las asntotas de la funcin1

2)( 2

2

+=xxxf

Solucin:

21

1

2

1

2

1

2

22

2

2

2

2

2

=

+

=+

=+ +++

x

lm

x

x

x

x

lmx

xlm

xxx , de la misma manera 2

1

22

2

=+ x

xlmx

.

Por tanto, la recta 2=y es una asntota horizontal de la grfica de f .

2. Obtenga las asntotas horizontales de la grfica de la funcin definida por

1)(

2+

=xxxf

SolucinPrimero se considerar el lmite )(xflm

x +

1)(

2+

=++ x

xlmxflmxx

Al dividir el numerador y el denominador entre 2x se tiene

22

2

2

2 1111

x

x

x

lm

x

x

x

x

lmx

xlm

xxx

+

=

+

=

+ +++

Puesto que +x , 0>x ; por tanto xx = . As,

101

1

11

1

11

122

2=

+=

+

=

+

=

+

++

+

++

xlmlm

lm

x

x

x

lmx

xlm

xx

x

xx

En consecuencia, por la definicin, la recta 1=y es una asntota horizontal de la grfica

de f .


16/18


Ahora se considerar el lmite )(xflmx , de nuevo se dividir el numerador y el

denominador entre 2x , que equivale a x . Como x , 0


17/18


11

1

1111

1)( 2

2

2

2

=

+

+

=+

+=

+

+

==++++

x

xlmxx

xlm

x

xx

lmx

xflmm

xxxx

[ ] 11

1

1

1)(

2

=+

=

+

+==

+++ x

xlmx

x

xlmmxxflmb

xxx

La asntota oblicua es: 1)1()1( =+=+= xxbmxy

OBSERVACINSe dice que la grfica de una funcin racional (sin factores comunes) tiene una asntota

oblicua si el grado del numerador excede en 1 al grado del denominador. Para hallar la

asntota oblicua, basta dividir los dos polinomios con el fin de reexpresar la funcin como

suma de un polinomio de grado 1 y otra funcin racional.

Ejemplo

La funcin2

42)(

2

+=x

xxxf se puede reescribir efectuando la divisin como

2

4

2

42)(

2

+=

+=

xx

x

xxxf

De esta forma xy = es una asntota oblicua.

EJERCICIOS PROPUESTOS

Determine las asntotas de la grfica de la funcin

1.3

12)(

+=x

xxf 2.

2

11)(x

xf += 3.2

54)(

2

+

=x

xxxf

4.1

34)(

+

=x

xxf 5.

4

2)(

2

=

x

xf 6.2

2

4

)(

x

xxf

=

7.9

4)(

2

2

=x

xxf 8.

3

3)(

2+

=

x

xxf 9.

10116

2)(

2+

=xx

xxf

10.9

)(2

=

x

xxf 11.

65

1)(

2++

=

xxxf 12.

1)(

2

=x

xxf

13.4

23)(

2

+

+=x

xxxf 14.

3

8)(

2

=x

xxf 15.

2

3 4)(x

xxf

=

16.1

143)(

2

23

+

++=x

xxxxf 17.

( )

( )2

3

1

1)(

+=

x

xxf 18.

2

23 42)(x

xxxf

++=


18/18


semana_07-calculo 1.pdf

Documents