Semana 6Productos notables. Parte II

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Semana 7 Factorización. Parte I

El tema que estudiarás en esta sesión está muy relacionado con el de productos notables, la relación entre estos y la factori-zación, dado que son operacio-nes inversas. Así como la resta es la operación contraria de la adición, la factorización es una herramienta que permite sim-plificar expresiones algebraicas

complejas. La comprensión de la factorización, conjuntamente con su prácti-ca constante, te permitirá:

• Identificarexpresionesalgebraicasquepuedanfactorizarse.

• Reconocerlosdiferentescasosdefactorización.

• Aplicarcorrectamentelosmétodosdefactorizaciónenlasexpresionesalgebraicas.

1. Escribe una ecuación de segundo grado que tenga por soluciones 3y-5

2. ¿Qué significan las soluciones de una ecuación de segundo grado?

3. Desarrolla el siguiente producto notable: (12x-5)(12x-5)

Con el estudio de esta semana podrás resolver problemas como el siguiente: un acuario en forma de prisma rectangular tiene un volumen de 2x3-20x2+50x ¿Cuál es la longitud del prisma en función de x de la longitud de la caja?

¿Qué sabes de...?

El reto es...

¡Empecemos!

Factorización. Parte ISemana 7

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Los números pueden ser expresados como producto de dos o más números, así 60 se puede escribir de diversas maneras como:

60=12·5 60=10·6 60=(-10)·(-6) 60=10 ·2·3 60=5·22·3

El proceso de factorización puede considerarse como inverso al proceso de multiplicar.

Factorizar una expresión (un número, polinomio…) significa descomponer-la como producto de dos o más expresiones (factores). Cuando se factoriza una expresión, se obtiene una expresión equivalente a la original.

Los polinomios, al igual que los números, pueden ser expresados como el producto de dos o más factores algebraicos (polinomios de menor grado).

Casos de factorización

Para realizar la factorización se pueden utilizar varias técnicas: sacar factor común, productos notables o aplicar la regla de Ruffini (esta última no será abordada en este semestre). A continuación esbozaremos algunos métodos; cabe agregar que estos son los más elementales y que no todas las expresio-nes pueden factorizarse con los citados en esta guía.

Caso 1. Factor común

Recordarás que en la multiplicación de un monomio con un polinomio uti-lizamos la propiedad distributiva para multiplicar cada término del monomio por el polinomio. Al factorizar hacemos lo contrario, “sacamos” el factor co-mún: número, letra o ambos (monomios) que aparecen en cada uno de los términos del polinomio.

Detalla los siguientes ejemplos:

a) 5x2y+5xy3 b) -2a2b+4a2b+6b2ax c) 3z4-6z3+18z2-9z d) 6x+18

Observa que en el ejercicio a) en todos los monomios aparece el 5, la x y la y, así 5xy es un factor común; en el b) el factor común es 2ab, ¿por qué? En el caso c) determina cuál es el factor común; en d) a simple vista pareciera que no tiene términos comunes, pero el 18 se puede descomponer como 6·3=18, reescribimos la expresión 6x+18=6x+3·6 y observamos que el 6 es común a los dos términos.

En general, ¿cómo factorizamos este tipo de expresiones?

Vamos al grano

Semana 7Factorización. Parte I

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Se debe transformar la expresión polinómica dada en un producto, donde uno de los factores es común entre todos los términos y el otro se obtiene al dividir cada término del polinomio “original” entre el factor común.

Fíjate en la factorización del siguiente polinomio: 7m3z-21m2nz-56m2z

Relacionemos este caso con algunas de las formas de la función cuadrática, por ejemplo y=6x2+24x. Si tienes que hallar el punto de corte con el eje de las x, ¿qué tienes que hacer? Debes sustituir y=0 en la función, obteniendo así la ecuación de segundo grado: 0=6x2+24x. Cuando estudiamos la función cua-drática resolvimos esta ecuación mediante la fórmula general:

Esta fórmula fue abordada en semestres anteriores. Veamos que es posi-ble resolverla aplicando factor común: 0=6x(x+4). Cuando el producto de los factores es cero, al menos una de las cantidades es cero, así 6x=0 o x+4=0; al despejar la x de ambas ecuaciones, resulta que x=0 o x=-4. Es importante observar que en 6x2+24x=6x(x+4) el miembro derecho es la factorización y está expresado como el producto de dos factores de menor grado, 1, que el polinomio original, cuyo grado es 2.

Observa que m2z está en cada término, ade-más los coeficientes son múltiplos de 7. Así el factor común es 7m2z. Otra manera es cal-cular el máximo común divisor de los coefi-cientes y multiplicarlo por la menor potencia de mz (en este caso es m2z).

El M.C.D. de (7, 21, 56)=7, luego el factor común es 7m2z

Se divide cada término del polinomio entre el factor común.

(7m3 z)/(7m2 z)−(21m2 nz)/(7m2 z)−(56m2 z)/(7m2 z)=

m−3n−8

El polinomio es igual al producto del factor común por el polinomio obtenido en el paso anterior.

7m3z-21m2nz-56m2z =

7m2z · (m-3n-8)

-b± b2-4ac 2ax =

Factorización. Parte ISemana 7

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Caso 2. Factorización por grupos

Observa la siguiente expresión3xy+15x-4y-20

¿Hay factor común? Puede darse el caso que aunque no aparece factor co-mún en todos sus términos, es posible factorizarlo en grupos iguales de tér-minos y luego se aplica el caso 1.

El polinomio de 4 términos puede factorizarse en dos grupos, se eligen de tal manera que los polinomios que quedan al factorizarlos (factor común) sean iguales, como se muestra a continuación:

Otro ejemplo más: a(m+4n)+bm+4bn

Agrupamos los términos:

=a(m+4n)+b(m+4n) Factor común a y b

=(a+b)(m+4n) Factorizamos (m+4n)

Caso 3. Diferencia de cuadrados

Dado el siguiente polinomio: 9z2-16 ¿es posible escribirlo como el producto de dos factores? Revisa la semana 5, donde abordamos productos notables en este semestre. El caso del producto notable de la suma por su diferencia es igual a la diferencia de cuadrados, es decir:

(x-a) (x+a) = x2 -a2(1)

Suma por su diferencia Diferencia de cuadrados

La expresión 9z2-16 es una diferencia de cuadrados. Al reescribirla (3z)2-42, se corresponde con el miembro derecho de la igualdad notable (1), así que su factorización de (3z) 2-42 viene dada por el miembro izquierdo: (3z-4)(3z+4).

En general, para factorizar diferencia de cuadrados se halla la raíz cuadrada de cada término, y se escriben estos dos valores como el producto de la suma por su diferencia.

121n2-169m2= (11n+13m)(11n+13m) 121n2=11n x11n 169m2=13mx13m

Se obtiene la raíz cuadrada

(3xy+15x)+(-4y-20) 3x(y+5)-4(y+5) (3x-4) (y+5)

Semana 7Factorización. Parte I

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Observa otro ejemplo más:

a4-64b6= ( a2)2 - (8b3)2 Re-escribiendo.

= ( a2+8b3) ( a2- 8b3) Aplicando la diferencia de cuadrados.

Caso 4. Trinomios cuadrados perfectos

De acuerdo a lo estudiado en el tema de productos notables, sabes que el cuadrado de un binomio es (a±b)2=a2±2ab+b2, donde el lado derecho de la igualdad se denomina trinomio cuadrado perfecto y se puede escribir como un cuadrado de una suma o diferencia.

¿Cómo identificar si el polinomio es un trinomio cuadrado perfecto? Observa el procedimiento a través del siguiente ejemplo: 4y2+81z2+36yz.

Un número cuadrado perfecto es aquel cuya raíz cuadrada es un número entero. Por ejemplo, 9 es un número cuadrado per-fecto, ya que 9=3

1 9

1 3

1 3

1 3

Ordenas el trinomio en forma decreciente con respecto a una variable.

4y2-36yz+81z2

El primer y el segundo término son cuadra-dos perfectos.

4y2 81z2

Raiz

2y 9z

Y si el segundo término es el doble producto de las raices cuadradas de los términos, en-tonces el polinomio es un trinomio cuadrado perfecto.

2·2y·9z= 36yz

Factorización. Parte ISemana 7

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¿Cómo se factorizan?

La función cuadrática puede aparecer también como trinomio cuadra-do perfecto. Por ejemplo, la función y=x2+12x+36, puede factorizarse así: y=x2+12x+36=(x+6)2. Esta forma es muy útil para buscar el punto de corte con el eje x, 0=(x+6)2. No tienes necesidad de aplicar la fórmula general. Observa que el único valor que anula al miembro derecho es -6, con lo cual la parábola tiene un punto de corte con el eje x.

Simplificación de expresiones algebraicas fraccionarias

Las fracciones algebraicas son aquellas en que su numerador y denomina-dor son polinomios.

Para simplificar una expresión algebraica fraccionaria, primero se factorizan numerador y denominador, de acuerdo a los casos estudiados y luego se di-viden (o cancelan) las expresiones iguales que aparecen en el numerador y denominador. Veamos algunos ejemplos simplificando las siguientes expre-siones algebraicas:

1.

=

Factoricemos el siguiente polinomio: 49x2-140x+100

Se ordena 49x2-140x+100

La raíz cuadrada de 49x2, es 7x. La raiz de 100, es 10.

Se extrae la raíz cuadra-da del primer y el tercer término (ordenado).

A=El doble producto de ambas 2·7x·10=140x

(7x-10)2=(7x-10)(7x-10)

La expresion factorizada es: 49x2-140x+100=(7x-10)2

Verificar que el produc-to doble de las raices sea igual al segundo término.

Se forma una suma (o resta) de las raices ele-vada al cuadrado, si el segundo término del trinomio es positivo (es negativo).

(a3-36a)(2a2-20a+72)

(a3-36a)(2a2-20a+72)

a(a2-36)2(a2-10a+36)

Se “sacó” factor co-mún tanto en el nu-merador como en el denominador.

Diferencias de cuadrados

Trinomio cuadrado perfecto

Semana 7Factorización. Parte I

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= =

= =

2. = = = =

Justifica cada uno de los pasos indicando los casos de factorización em-pleados.

3. Halla las soluciones de 2z3-16z2+32z=0

La ecuación está igualada a cero. Hay que factorizar e igualar sus factores a cero y resolver en términos de z.

2z (z2-8z+16)=0 z(z− 4)2=z(z− 4)(z-4)=0 z=0, z-4=0 z=4

Justifica cada uno de los pasos indicando los casos de factorización em-pleados.

Para saber más…

En la siguiente dirección web http://goo.gl/hrrDS puedes visualizar cómo resolver las ecuaciones cuadráticas por medio de la factorización.

Retoma el problema propuesto al inicio, pues tienes los conocimientos ne-cesarios para darle solución, factorizando la expresión: 2x3-20x2+50x. Observa que x aparece en los tres términos, ¿qué casos aplicarías?

1. Entrega a tu facilitador estos ejercicios factorizando las expresiones, usando el caso más conveniente.

a) 20x3y2+25x2y3 b) 10a4b5x3+35a2b7x2 c) x(3ª+1)+6a+2

d) y(5x+2)-15x-6 e) x2-2x+1 f ) y2+6xy+9x2

g) 100y6-49y4 h)16a2-9

Comprobemos y demostremos que…

a(a-6)(a+6)2(a2-10a+36)

x2+2xyx2+2xy-4x-8y

x(x+2y)x (x+2y)-4(x+2y)

a(a-6)(a+6) 2(a-6)(a-6)

a(a-6)(a+6)2(a-6)2

x(x+2y)(x2+2xy)-(4x+8y)

x(x+2y)(x-4) (x+2y)

xx-4

a(a+6)2(a-6)

(a-6)(a-6)

Se identifica los casos de factorización y se procede a resolver.

Se usaron propiedades de la potencia para cancelar: =(a-6)1-1=(a-6)0=1

Aplica tus saberes