semana 4
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Enith Cecilia Niebles Lara Especialista educación Matemática Ingeniera Civil Curso para hacer clase Estadística Inferencial Basada en recopilación Bibliográfica indicada
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SEMANA 4
4. INTERVALOS DE CONFIANZA PARA DOS MUESTRAS
4.1 Estimación por Intervalos de Confianza para la diferencia de medias
poblacionales (µ1 - µ2), con Varianzas desconocidas, pero consideradas iguales.
Considérese la situación donde se desconocen y
, sí consideramos
=
=
Entonces, supongamos que se tienen las medias de nuestras aleatorias
independientes con tamaño n1 y n2, respectivamente, de poblaciones
aproximadamente normales con varianzas iguales pero desconocidas, un
intervalo de confianza de ( 1- ) 100% para (µ1 - µ2), esta dado por
( - ) - t
√
< ( µ1 - µ2 )< - ) - t
√
Donde Sp es la estimación de la desviación estándar poblacional y t
es el valor
t con V= n1+ n2- 2 grados de libertad, que deja un área de
a la derecha.
El valor de =
Vemos que es un promedio ponderado de las dos varianzas muestrales S1 y
S2
Ejemplo:
Cierta revista de gestión ambiental publica un reporte sobre una investigación
realizada en la ciudad xxx para determinar la relación entre parámetros
fisicoquímicos seleccionados y diversas mediciones de la estructura de la
comunidad de macro invertebrados. Una faceta de la investigación fue una
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evaluación de la efectividad de un índice numérico de la diversidad de especies
para indicar la degradación del agua debida al desagüe ácido de una mina.
Conceptualmente, un índice alto de la diversidad de especies macroinvertebradas
debe indicar un sistema acuático no contaminado, mientras un índice de
diversidad baja inca lo contrario.
Se eligieron dos estaciones de muestreo independientes para este estudio, una
que se localiza corriente abajo del punto de descarga de la mina de ácido y la otra
localizada corriente arriba.
Para 12 muestras mensuales reunidas en la estación corriente abajo el índice de
diversidad de especies tuvo un valor medio = 3.11 y una desviación estándar
S1 = o.771, mientras 10 muestras mensuales reunidas en la estación corriente
arriba tuvieron un valor medio del índice = 2.04 y una desviación estándar
S1 = 0.448.
Encuentre un intervalo de confianza de 90% para la diferencia entre las medias
poblacionales pera los dos sitios, suponga que las poblaciones están distribuidas
en forma aproximadamente normal con varianzas iguales.
Solución:
Representemos con µ1 y µ2 las medias poblacionales para los índices de
diversidad de especies en las estaciones corriente abajo y arriba.
Deseamos encontrar un intervalo de confianza de 90% para µ1 - µ2. Nuestra
estimación puntual de µ1 - µ2 es - = 3.11 – 2.04 = 1.07
La estimación de la unión, de la varianza común, , es
=
=
= 0.417
Sacando raíz cuadrada obtenemos Sp = 0.646
(1 – )= 90%; es decir, (1 – )= 0.90
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De donde = 0.1 y
= 0.05 ahora buscamos en las tablas A41 y A42 y
encontramos que t 0.05 = 1.725 para v= n1+n2 – 2 = 20 grados de libertad.
Por tanto el intervalo de confianza de 90% para µ1 - µ2 es:
1.07 – (1.725)(0.646)√
< µ1 - µ2 < 1. 7 + (1.725)(0.646)√
0
Teniendo como resultado: 0.593 < µ1 - µ2 < 1.547
Interpretación: Las dos medias se están comparando. Como la diferencia entre
ellas es positiva, nos indica que µ1 > µ2. Por tanto podemos afirmar con una
confianza del 90% que el índice para la estación que se encuentra aguas abajo del
punto de descarga es mayor que el que se encuentra aguas arriba.
4.1 Estimación por Intervalos de Confianza para la diferencia de medias
poblacionales (µ1 - µ2), con Varianzas desconocidas, pero consideradas
diferentes.
Considérese la situación donde se desconocen y
, consideramos
Sí y , y y
, son las medias y las varianzas de muestras pequeñas
independientes de tamaño y , respectivamente, de distribuciones
aproximadamente normales con varianzas desconocidas y diferentes, un intervalo
de confianza aproximado del ( 1- ) 100% para (µ1 - µ2), esta dado por:
( - ) - t
√
( µ1 - µ2 )< - ) + t
√
Donde t
es el valor t con V =
[ (
)
( )
]
[ (
)
( )
] grados de libertad que deja
a la
derecha
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El valor de V, representa una estimación de los grados de libertad, normalmente v
no da un número entero, por lo que se debe trabajar redondeando al siguiente
entero
Ejemplo:
El departamento de Zoología de cierta Universidad realizó un estudio para estimar
la diferencia en la cantidad de ortofósforo químico medido en dos estaciones
diferentes del río James. El ortofósforo se mide en miligramos por litro. Se
reunieron 15 muestras de la estación 1 y 12 muestras de la estación 2.
Las 15 muestras de la estación1 tuvieron un contenido promedio de ortofósforo de
3.84 miligramos por litro y una desviación estándar de 3.07 miligramos por litro,
mientras que las 12 muestras de la estación 2 tuvieron un contenido promedio de
1.49 miligramos por litro y una desviación estándar de 0.80 miligramos por litro.
Encuentre un intervalo de confianza de 95% para la diferencia en el contenido
de ortofósforo en las dos estaciones, suponga que las observaciones vienen de
poblaciones normales con varianzas diferentes.
Solución:
Para la estación 1 se tiene =3.84 , S1 = 3.07 y n1 =15.
Para estación 2 se tiene = 1.49 , S2 = 0.80 y n1 =12.
Deseamos encontrar un intervalo de confianza del 95% para µ1 - µ2
Como las varianzas se suponen diferentes, solo podemos encontrar un intervalo
de confianza aproximado basado en la distribución t con v grados de libertad.
Donde:
V =
[ (
)
]
[ (
)
] = 16.3 16 Ahora, nuestra estimación puntual de µ1 - µ2 es
- = 3.84 – 1.49 = 2.35 , buscamos el nivel de error
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(1 – )= 90%; es decir, (1 – )= 0.95
De donde = 0.05 y
= 0.025 ahora buscamos en las tablas A41 y A42 y
encontramos que t 0.025 = 2.12 para v= 16 grados de libertad.
Entonces el intervalo de confianza del 95% para µ1 - µ2 es
( ) – 2,12√
< ( µ1 - µ2 )< ( ) + 2,12√
Es decir: 0.60 < ( µ1 - µ2 )< 4.10 .
Podemos concluir diciendo: Se tiene una confianza de 95% de que la diferencia de
los contenidos promedios reales de ortofósforo para éstos dos lugares está entre
0.60 y 4.40 miligramos por litro.1
1 Algunos apartes del contenido de la semana fueron tomados del sitio web http://www2.dis.ulpgc.es/~ii-
pest/tema7-ESTIMACION.pdf