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Enith Cecilia Niebles Lara Especialista educación Matemática Ingeniera Civil Curso para hacer clase Estadística Inferencial

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SEMANA UNO

1.1 Distribuciones de probabilidad

Una distribución de probabilidad es aquella que asocia todos los posibles

resultados de un experimento con las probabilidades de cada resultado.

Ej. Se quiere lanzar al aire tres veces una moneda y supongamos que se

quiere saber el número de caras que se obtiene al caer.

Entonces, todos los resultados posibles son: 0, 1, 2,3 caras, entonces su

espacio muestral será E = Nn = 23 = 8

Veamos cual será la distribución de probabilidad de este experimento:

Resultado posible

Lanzamiento N° de Cara Primero Segundo Tercero

1 sello sello sello 0

2 sello sello cara 1

3 sello cara sello 1

4 sello cara cara 2

5 cara sello sello 1

6 cara sello cara 2

7 cara cara sello 2

8 cara cara cara 3

Vemos que:

P(X)

Número de caras

P(X=Cara)

0 1/8

1 3/8

2 3/8

3 1/8

Total 1.0

Distribución para los eventos: 0, 1, 2, 3

Número de caras


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Recordando: Las características más importantes de una

distribución de probabilidad discreta

1. La probabilidad de un evento: 0< P(X) < 1.0

2. La suma de las probabilidades de ocurrencia de un evento en un

experimento es mutuamente excluyente.

∑ = 1.0

Esperanza Matemática o Valor esperado:( ) En una distribución de probabilidad

discreta (Cuando la variable solo toma valores enteros):

( )= ∑

Donde:

P(X) = Probabilidad de ocurrencia de la variable aleatoria.

X = Variable aleatoria

Varianza de una distribución de probabilidad discreta:

= ∑

Donde:

= Varianza de la distribución de probabilidad

= media de la distribución de probabilidad

Características más importantes de una distribución de

probabilidad continua:

1. F(X) 0 Para toda x R

2. ∫

3. X< b) = ∫

Esperanza Matemática o Valor esperado:(μ) En una distribución de

probabilidad continua (Cuando la variable toma valores enteros y decimales):

( )= ∫


3

Varianza de una distribución de probabilidad continua:

= ∫

Donde:

P(X) = F(X)= Probabilidad de ocurrencia de la variable aleatoria.

X = Variable aleatoria


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1.2 Distribución de Probabilidad Normal

“Es la distribución más importante en el campo de la estadística, es una distribución continua, su gráfica se denomina curva normal, tiene forma de campana, la cual describe muchos fenómenos de la naturaleza, en la industria, en la investigación”.1

La variable aleatoria X que tiene la distribución en forma de campana se llama variable aleatoria normal, la ecuación matemática para la distribución de probabilidad de la variable normal depende de dos parámetros µ y б (media y desviación estándar).

La familia de distribuciones de probabilidad normal

La distribución de probabilidad normal y su correspondiente curva normal tiene las

siguientes características:

1. “La curva normal es acampanada y presenta un sólo pico en el centro de la

distribución. La media aritmética, la mediana y la moda de la distribución

son iguales y están localizadas en el pico. De esta forma, la mitad del área

bajo la curva se encuentra por arriba de este punto central, y la otra mitad

por abajo”.2

2. La distribución de probabilidad normal es simétrica con respecto a su

media. Si se consta la curva normal verticalmente en este valor central,

ambas mitades serán como imágenes en el espejo

3. La curva norma decrece uniformemente en ambas direcciones a partir del

valor central. Es asintótica respecto al eje X

4. La variable varía:

1 Aparte tomado del sitio web. Pág. 4 http://www.mat.uda.cl/hsalinas/cursos/2011/2do/clase7.pdf

2 Aparte tomado del sitio web http://www.buenastareas.com/ensayos/Distribuci%C3%B3n-Normal/6205857.html

Teóricamente la curva se extiende a + α

Teóricamente la curva se extiende a - α

Media, mediana y moda son iguales

La curva normal es simétrica

Cola Cola


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5. Su media es

6. Su Varianza es

Área Bajo la Curva Normal

La curva de cualquier distribución continua de probabilidad se construye de tal manera que el área bajo la curva, limitada por las ordenadas x = X1 y x= X2 es igual a la probabilidad de que la variable aleatoria X tome valores entre X = X1 y x = X2 , representada por la integral, desde x1 hasta x2, así:

F(x) = P(x1 < X< x2 ) = ∫

√

[ ] x

Para encontrar el área bajo la curva normal se requiere hallar las integrales de función continua o de densidad, para evitar esto, se tipifica la variable aleatoria X, transformando los valores de X, en valores Z. Podemos decir entonces que toda distribución normal se puede transformar en una distribución normal estándar. Esta última es aquella que tiene .

Para convertir una distribución normal en una distribución normal estándar utilizamos el estadístico Z.


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Donde X = Variable aleatoria

Donde Z mide la distancia entre cualquier valor X de probabilidad y la media aritmética de la distribución, en unidades de desviación estándar.

Por tanto al usar la fórmula anterior y calcular Z, se puede entonces encontrar el área bajo la curva o lo que es igual la probabilidad bajo la curva normal.

Ejemplo nº 1

Dada una distribución normal estándar, encuentre el área bajo la curva, a) A la izquierda de Z= 1.65. b) A la derecha de Z =1.88. c) Entre Z= -1.95 y Z = 0.95

Solución

a) A la izquierda de Z= 1.65.

∑

N (z =1.65) = 0.9505 (Ver tabla A3 Probabilidad Estadística para Ingenieros por Walpole pág. 681 o consultar los anexos); El área a la izquierda es 95.05% la cual equivale a una probabilidad de 95.05%

b) A la derecha de Z =1.88

Z

Distribución normal estándar

Z= 1.88 𝝁 𝟎 -3.49 3..49 Z= 1.65


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Área a la derecha = 1 - N( z =1.88) =1- 0.9699 = 0.031 El área a la derecha es 3.1 % la cual equivale a una probabilidad de 3.1 %

c) Entre Z= -1.95 y Z = 0.95

Área = N( Z= 0.95) – N ( Z= -1.95) = 0.8289 - 0.0256 = 0.8033; área = 80.33% o lo que es igual una probabilidad de 80.33%

Ejercicio nº 23

Cierto tipo de piezas para automóvil tiene un promedio de duración de tres años, con una desviación estándar de 0.5 años. Suponga que las duraciones de las piezas son normalmente distribuidas y encuentre la probabilidad de que una pieza determinada tenga un tiempo de duración de más de 3.5 años.

Solución

Solución

Primero transformemos la variable aleatoria X en la variable Z.

3 Problema resuelto de la distribución normal. Tomado del sitio web raymastudillo.webcindario.com/unidac/UACA/.../ejemplo.doc

𝒙 𝟑 𝟎 Años

X

X = 3.5 años


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Z =

=

La probabilidad pedida esta representada por el área bajo la curva ala derecha de la variable x = 3.5 o Z = 1.0; entonces; P (Z

Por tanto P(x

Resuelva ejercicios en Probabilidad Estadística para Ingenieros por Walpole, página 158, sexta edición

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