sem08 2010 2 volumen por metodo de la arandela
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MATEMATICATRANSCRIPT
VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE LA ARANDELA
CALCULO INTEGRAL (ARQ)
21/04/23 1CI Arq
VOLUMEN DE UN SÓLIDO DE REVOLUCIÓN
Sólido de revolución es el que se obtiene al girar una región del plano alrededor de una recta del plano llamada eje de revolución.
ab
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SÓLIDO DE REVOLUCIÓN
Diferencial de volumen
∆xi
f(xi)
i2
ii x])x(f[V i
2ii x])x(f[V
a xi b
xi
y=f(x)
f(xi)
MÉTODO DEL DISCO
21/04/23 4CI Arq
TEOREMA
Sea f una función continua en el intervalo [a, b] y f(x) ≥ 0 en [a, b]. El volumen del sólido obtenido al girar alrededor del eje X la región limitada por la curva y = f(x), las rectas x=a, x=b y el eje X es:
b
a
2
n
1ii
2i
0)P(
dx)]x(f[
x)]x(f[limV
21/04/23 5CI Arq
Ejemplo 1:Calcule el volumen del sólido generado al rotar alrededor del eje X la región acotada por la curva y = x2 y las rectas x = 1, x = 2, y = 0.
21/04/23 6CI Arq
x
Ejemplo 2:Calcule el volumen del sólido de revolución generado al rotar alrededor del eje Y la región limitada por la curva y + x2 – 2 = 0, x = 0, y = 0, y = 1.
21/04/23 7CI Arq
y
Del ejemplo anterior se desprende lo siguiente:
El volumen obtenido al girar la región limitada por la curva x = g(y) y las rectas x = 0, y = c, y = d (c<d), alrededor del eje Y será igual a:
d
c
2 dy)]y(g[V
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MÉTODO DE LA ARANDELACuando la región a girar está limitada por dos
funciones f(x) y g(x) continuas en [a, b], las rectas x=a y x=b.
a bx
y
x
(*)
Diferencial de volumen
f(xi)g(xi)
xi
i22
i x))]x(g[)]x(f[(V
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TEOREMASean f y g dos funciones continuas en [a, b] tales que f(x) ≥ g(x) para toda x en [a, b]. El volumen del sólido generado al rotar alrededor del eje X la región limitada por f(x), g(x) y las rectas x=a y x=b será:
dx))]x(g[)]x(f[(
x))]x(g[)]x(f[(limV
b
a
22
n
1ii
2i
2i
0)P(
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Ejemplo 5:Calcule el volumen del sólido generado al girar alrededor del eje X la región acotada por la parábola y = x2 + 1 y la recta y = x + 3.
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-2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-3
-2
-1
1
2
3
x
y
Ejemplo 6:Calcule el volumen del sólido generado al girar alrededor del eje Y la región limitada por las curvas x = y2 + 1 y x = -y2 + y + 4.
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Ejemplo 7:La región limitada por la curva y = x2, el eje X y la recta x = 2 se gira alrededor del eje Y. Calcule el volumen generado.
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Ejemplo 8:Determine el volumen del sólido de revolución generado al girar alrededor del eje Y la región limitada por la curva y = 3x – x3, el eje Y y la recta y = 2.
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Ejemplo 9:La región limitada por la curva y = x2, las rectas y = 1 y x = 2 se gira alrededor de la recta y = - 3. Calcule el volumen generado.
y = -3