seguro de retiro, un enfoque argentino

5/16/2018 Seguro de Retiro, Un Enfoque Argentino - slidepdf.com

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Seguros de retiro:

Un enfoque argentino

Concurso Proyección 2011

Septiembre 2011

Autores: Coltrane y Joseph Bauer



Seguros de retiro: Un enfoque argentino

2

ÍNDICE

Índice 2

Introducción 3

Aspecto biométrico 4

Aspecto Financiero 11

Seguro de Retiro: Un ejemplo argentino 18

Conclusión 26

Bibliografía 27

Anexo 28




3

INTRODUCCIÓN

Según la Society of Actuaries (SOA), “el actuario es un profesional de negocios que analiza

las consecuencias financieras del riesgo. Los actuarios usan la matemática, la estadística y la

teoría de finanzas para estudiar eventos futuros inciertos, especialmente aquellos que están

vinculados con los seguros y los programas de pensiones… ”.

A partir de la definición anterior, creemos conveniente destacar la importancia para las

ciencias actuariales de dos de estas disciplinas:

- Por un lado, la estadística provee el herramental básico para la medición en términos de

probabilidades de los eventos de interés.- Por el otro, el cálculo financiero permite incluir en el análisis la noción del valor tiempo

del dinero y por ende contribuye a valuar sucesos que ocurren en un momento distinto al de

valuación.

En los orígenes de la profesión, la necesidad de valuar financieramente eventos aleatorios en

el campo de los seguros dio lugar al uso de técnicas que combinan ambas disciplinas y forman las

bases de las ciencias actuariales. Por este motivo, mediante la utilización del mencionado

herramental teórico nos proponemos en este trabajo: Diseñar un seguro de retiro que cubra a

ambos cónyuges de la contingencia de muerte durante la etapa activa y que a su vez permita

recibir un ingreso en la etapa pasiva, conservando una cobertura en caso de muerte, siempre

utilizando una experiencia argentina ya sea desde la mortalidad hasta la inversión de los fondos.

Para abordar este diseño dividiremos el trabajo en tres secciones. En una primera sección nos

abocaremos al aspecto biométrico, que tendrá como novedad la utilización de un enfoque

estocástico y la aplicación de una ley de mortalidad durante la etapa activa, y una cobertura por

orden de fallecimiento durante la etapa pasiva.

En una segunda sección referente al cálculo financiero, nos ocuparemos del diseño de la

estrategia de inversión que estará estructurada en tres carteras con distintos perfiles de riesgo

(conservador, moderado y agresivo). A través de esta aproximación, el asegurado podrá optar por

la cartera acorde con su nivel de tolerancia al riesgo.

Finalmente, materializaremos el seguro utilizando componentes argentinos y simularemos un

caso como ejemplo para mostrar su atractivo.




4

ASPECTO BIOMÉTRICO

El campo de los seguros puede ser abordado desde distintos enfoques. Por un lado el enfoque

determinístico utiliza como sustento una tabla de mortalidad considerando que la misma sigue

ese comportamiento. Por el otro, el enfoque estocástico modela la función de densidad de la

mortalidad a través de una ley de mortalidad o de alguna distribución continua.

El enfoque determinístico presenta las siguientes características (Bowers et al, 1997):

• El grupo consiste de l0 vidas a la edad cero.

• Los miembros del grupo están sujetos a cada edad a la tasa efectiva de mortalidad

especificado por los valores de q x en la tabla de mortalidad.• El grupo es cerrado. No se permiten más ingresos más allá de las iniciales l0 vidas.

En el enfoque estocástico se definen algunas variables aleatorias y trabajaremos con las

funciones de distribución y de densidad:

• X: Edad al fallecimiento de un recién nacido

• T(x): Tiempo hasta el fallecimiento (X-x)

• F X (x): Función de distribución de X

• F T(x)(x): Función de distribución de T(x)

En este trabajo utilizaremos este último enfoque y a continuación desarrollaremos las fórmulas

que utilizaremos en la última sección de esta exposición.

Seguros pagaderos al momento de fallecimiento:

La prima del seguro de fallecimiento de los seguros de retiro se cotiza a prima natural por lo

que nuestro análisis será para coberturas de un año de plazo.

Definimos la función beneficio (bt ) y la función de descuento (vt ). t es la longitud del intervalodesde el momento de emisión hasta el momento de fallecimiento.

La función de valor presente se define como: zt =bt vt . El tiempo que media entre la emisión de

la póliza hasta el momento de fallecimiento del asegurado es el tiempo hasta el fallecimiento

(T(x)). Por lo tanto el valor presente del beneficio al momento de emisión es la variable aleatoria

zT (Z)..




5

Para un seguro que abona una unidad al momento de fallecimiento durante un año de

cobertura:

1 1

0 1t

t

b t

≤

=

>

0t t v v t = ≥

1

0 1

T v T

Z T

≤

=

>

La prima pura de este seguro estará dada por el valor esperado de la variable aleatoria Z.

Esto es.

( )1 1

0 0

t T T T t x x

E Z E z z f t dt v p dt µ = = =∫ ∫

Como vemos más arriba, lo importante para poder calcular las primas de seguro es una función

de densidad para la variable Tiempo al fallecimiento.

Ley de mortalidad: estimación de parámetros

Benjamin Gompertz al momento de presentar su famosa ley de mortalidad en 1835

consideraba que la mortalidad estaba sujeta a dos causas coexistentes: una “el azar”, la otra la

“creciente inhabilidad de soportar la destrucción”. En su ley Gompertz sólo consideró la segunda

de estas causas. La incorporación de la primera fue realizada veinticinco años más adelante por

Makeham mediante la adición de un término constante a la tasa instantánea de mortalidad

(Jordan, 1967):

x x A Bc µ = +

O también

x x c x l ks g =




6

Esta fórmula de Makeham no es útil para las edades iniciales o más avanzadas (Gonzales

Galé, 1977). Para darle mayor flexibilidad, él mismo añadió un término adicional dependiente de

la edad, haciendo que:

x x A Hx Bc µ = + +

O

2 x x x c x

l ks w g =

Esta última ley es la que utilizaremos a lo largo de nuestro trabajo. Los parámetros que

debemos estimar son cinco: k, s, w, g y c. Para la estimación usaremos el método de King y

Hardy.

El método de King y Hardy consiste en formar la misma cantidad de series de datos

experimentales como de parámetros a estimar. En nuestro caso particular, dado que la tabla tiene

cien años, hemos agrupado series de veinte datos cada una.

En primera instancia, debemos tomar el logaritmo de l x para simplificar las operaciones al

utilizar sumas:

2log log log log logx

x l k x s x w c g = + + +

Luego, el método nos indica que sumemos miembro a miembro todos los valores

correspondientes a cada serie de datos:

1 1 1 1 12log log log log log

x x x

x t x t x t x t x t

x

x

x

x

l k x s x w c g + − + − + − + − + −

= + + +∑ ∑ ∑ ∑ ∑

Donde t es el número de edades que intervienen en cada serie. Resolviendo las sumas queda:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )21 12 1 6 2 3 6 1log log log log log

2 6 1

x x

x

t t

x

c c x t t tx x t t t t x l t k s w g

c

+ − −+ − + + − − −= + + + +

−∑




7

Las cuatro series restantes son:

( ) ( ) ( ) ( )

( )

22 1

2 3 1 6 3 14 9 6 1log log log log2 6

1log

1

x t

x

x

t

t

x

t

x t t tx x t t t t x l t k s w

c c g

c

+ −

+

+

+ − + + − − −= + + + +

−

+−

∑

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

2

3

23 1

2

24 1

3

5 1

4

2 5 1 6 5 38 15 6 1log log log log

2 6

1 log1

2 7 1 6 7 74 21 6 1log log log log

2 6

1log

1

2 9 1log log lo

2

x t

x t

x t

x t

x

x t t

x t

x

x t t

x t

x


c c g c


c c g

c

x t t l t k

+ −

+

+ −

+

+

+

−

+

+

+ − + + − − −= + + + +

−

+−

+ − + + − − −= + + + +

−

+−

+ −

= +

∑

∑

∑ ( ) ( ) ( )

( )

2

4

6 9 122 27 6 1g log

6

1log

1

x t t

tx x t t t t x s w

c c g

c

+

+ + − − −

+ + +

−

+−

Una vez que planteadas estas ecuaciones, debemos hallar hasta la diferencia finita de tercer

orden.

Las de primer orden serán:




8

( )

( )

( )

( )

22 2 2

22 2 2

2 22 2 2

2

2 2 2

3

( 1)log log 2 2 1 log log

1


1


1

log log 2 8 1 log

x t

x

x t t

x t

x t t

x t

x

x t

c c l t s xt t t w g

c


c


c

c l t s xt t t w

+

+

+

+

+

+

−∆ = + + − +

−

−∆ = + + − +

−

−∆ = + + − +

−

∆ = + + − +

3 2( 1)log

1

t t c g

c

−

−

Las de segundo orden:3

2 3

32 3

2 32 3

2

( 1)log 2 log log

1

( 1)log 2 log log

1

( 1)log 2 log log

1

x t

x

x t t

x t

x t t

x t

c c l t w g

c

c c l t w g

c

c c l t w g

c

+

+

+

+

∆

∆

−= +

−

−= +

−

−=∆ +

−

Finalmente las diferencias terceras son:

43

43

( 1)log log

1

( 1)log log

1

x t

x

x t t

x t

c c l g

c

c c l g

c

+

+

−=

−

−

−

∆

∆ =

Realizando el cociente de estas diferencias se conseguirá el valor de t c

3

3

log

log

t x t

x

l c

l

+∆

∆=

Con este valor despejo g y luego voy reemplazando en cada diferencia de orden inferior para

obtener el resto de los valores faltantes.

Entre los parámetros de l x y los de µ x existen las siguientes relaciones:




9

2

x

A ln s

B ln g ln c

H ln w

= −

= −

= −

Funciones contigentes: Beneficio por orden de fallecimiento

Tal como enunciamos en la Introducción, durante la etapa de cobro de rentas se incluirá una

cobertura por orden de fallecimiento en caso que fallezca el cónyuge del titular del seguro. Esto

permitirá reducir la prima pura a abonar por los asegurados haciendo más atractivo este producto.

A continuación explicaremos los pasos para obtener esta cobertura desde el punto de vista

conceptual. En todos los casos asumiremos vidas independientes.

La probabilidad que una persona fallezca entre t y t+1 está definida por

( )1

|1

t

t s

t

x x q p x s ds µ

+

= +∫

En el caso de tener más de una cabeza se definirá la probabilidad que se extinga el grupo

como:

( ) ( )1

|1[ ]

t

t xy s xy

t

q p x s y s ds µ µ +

= + + +∫

Ahora, si a este último concepto le incorporamos que x fallezca antes que y estaremos diciendo

que el grupo se extingue sólo si x fallece primero:

( )1

1

|1

t

t s x

t xy

y q p x s ds µ

+

= +∫

Dada la ley de mortalidad seleccionada, tiene una forma conocida y la utilizaremos

para llegar a una expresión más sencilla para el cálculo que la anterior.

( ) ( )1

1

|1

t

t x s

t s xy x y

q p A H x s BC ds +

+

= + + + =∫




10

( ) ( )

( ) ( )¯ ¯

¯ ¯

1 1 1

1 1

1: | : |

1

1 1: | : |

|1 2

2

t t t x y s x

s xy s xy s xy y x

t t x

s xy s xy x s y s y x xy n xy n

t

s x

t

y xy n xy

t t

t t

n

x

xy t y x

t

A e H x e s p ds

C q A

C C

C

A p ds H p x s ds p BC C C ds C C

C A e H xe s p ds p A H x s H y s ds

C C µ µ

+ + +

+ +

+ +

+

+ + +

+ −

+

= + + + + =

+

+ + + + − − + − +

+

∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫

¯ ¯ ¯

1 1

1 1 1: | : | : |

t t

s xy s xy xy n xy n t xy n t

e H x e s p ds H y e s p ds

+ +

− + − + =

∫ ∫

Para simplificar los cálculos reemplazaremos a x e y por la edad uniforme w, dado que

1 ¯

1

|1 1 |1: |

1 1 12 2 2

t x x x x x

t s ww t www w w w w x y ww n

t

C C C C C q e A H x y H s p ds q C C C C C

+

= − + − − + − +∫

Para poder calcular el valor de la prima pura de este seguro deberemos incorporar el

componente financiero dentro de la integral original haciendo que las resulten en rentas

vitalicias,|1t ww

q en un seguro de muerte y1t

s ww

t

s p ds +

∫ en1t

s ww

t

s E ds +

∫

Una vez terminado el desarrollo de los elementos de biometría que utilizaremos, seguimos con

el aspecto financiero.




11

ASPECTO FINANCIERO

Elaboración de estrategias óptimas de inversión

Otro de los aspectos fuertes en los que las empresas aseguradores se valen de la teoría

financiera es el que se refiere a la inversión de las primas pagadas por los asegurados. Sabemos

que las compañías de seguro están reguladas en este sentido y es por ello que las estrategias de

inversión deben ser las mejores para poder garantizar las tasas de rendimientos mínimas con el

menor riesgo posible.

Marco teórico: Criterio de Media-Varianza

Cuando no se dispone de la información relativa a las preferencias de los inversores esnecesario diseñar métodos que permitan la elección entre distintos activos o carteras financieras.

En este sentido se desarrollan los denominados "criterios de eficiencia" que permiten determinar

mediante parámetros concretos un conjunto de activos a los que llamaremos "eficientes" y otro al

que llamaremos de activos "ineficientes" (los cuales no serán elegidos por ningún inversor

racional).

En el presente trabajo utilizaremos el criterio de eficiencia conocido como de "Media-

Varianza" el cual plantea una simplificación en relación a otros criterios al valerse únicamente delos dos primeros momentos de la distribución de probabilidad de los retornos. Este criterio

supone que los inversores tomarán sus decisiones basados exclusivamente en la información

proporcionada por la esperanza de los rendimientos y por la varianza de los mismos.

Formalmente definido, bajo un criterio de Media-Varianza una alternativa A domina a otra B

sí y sólo si

2 2( ) ( ) ( ) ( ) A B A B E R E R R Rσ σ ≥ ∧ < ó

2 2( ) ( ) ( ) ( ) A B A B

E R E R R Rσ σ > ∧ ≤

con

( ) A E R : Esperanza de la V.A "rendimiento de un activo"

2 ( ) A Rσ : Varianza de la V.A "rendimiento de un activo"




12

( ) ( )( )

, ,

1

ˆ ˆ.ˆ

1

T t i i t j j

ij

t

R R

T

µ µ σ

=

− −=

−∑

( )

( )

2

2

1

ˆˆ

1

T i

i

R

T

µ σ

=

−=

−∑

1

ˆT

i

i

R

T µ

=

= ∑

Es importante notar que al no disponer de información sobre la distribución de probabilidades

de los rendimientos, los primeros dos momentos deben ser estimados de la distribución empírica

(normalmente este procedimiento es llevado a cabo mediante la recolección de una serie de datos

sobre los retornos previa al análisis). Es fundamental entonces, contar con los mejores

estimadores disponibles para el cálculo de estos momentos y de las medidas que los

complementan. En nuestro caso estaremos utilizando los siguientes estimadores para la media, la

varianza y la covarianza:

Por último queremos mencionar que el criterio de Media-Varianza es especialmente efectivo

cuando las tasas de rendimiento de las inversiones tienen una distribución normal. La asunción de

este último supuesto permite la utilización del criterio para cualquier individuo racional averso al

riesgo.

Definición de la variable aleatoria: ¿Qué entendemos por rendimiento de los activos?

El primer paso en la implementación de nuestro modelo para la elección óptima de los activos

de inversión será definir con claridad la manera en que computaremos el rendimiento de losactivos.

La tasa de rendimiento aritmética es definida bajo cierto horizonte temporal como la ganancia

de capital más los eventuales pagos intermedios, esto es:

1

1

t t t t

t

P D Pr

P

−

−

+ −=

Con

Pt : El precio de nuestro activo financiero en el momento t.

Dt : Cualquier ganancia intermedia (Como ser los dividendos de las acciones).




13

El problema con la definición anterior radica en que ningún flujo intermedio es reinvertido

durante el período de tiempo analizado. Es por ello que, para períodos de tiempo relativamente

largos, lo más correcto es la utilización de los denominados rendimientos geométricos:

1

ln t t t

t

P D R

P−

+=

Esta manera de expresar los retornos posee dos ventajas fundamentales:

Posee un mayor significado económico: Si los retornos geométricos están normalmente

distribuidos entonces la distribución jamás podrá arribar a precios de los activos negativos

(cuestión que no ocurre con los retornos aritméticos). Permite (por las propiedades del logaritmo) extender el análisis a períodos múltiples de

una manera muy simple:

,2 2 1 1 2 1ln( / ) ln( / ) ln( / )t t t t t t t t t

R P P P P P P R R− − − − −

= = + = +

Por último es importante mencionar que para períodos de tiempo intermedios (meses) la

diferencia entre los retornos geométricos y los aritméticos es pequeña y justifica la adopción delos rendimientos geométricos por las ventajas antes expuestas.

Instrumentos financieros Argentinos: Particularidades para el cálculo de los rendimientos

El IAMC (Instituto Argentino de Mercado de Capitales) precisa en su trabajo publicado sobre

Análisis de Bonos que 'Para el cálculo de ciertos indicadores, entre ellos para obtener el

rendimiento histórico de un bono, es necesario contar con series de precios ajustados. Como por

lo general se dispone de precios corrientes, es necesario ajustarlas cada vez que el bono corta

cupón de renta y/o amortización. Esto se debe a que, al producirse el corte de cupón, el precio

de mercado del bono cae (en una magnitud igual a la del pago) por razones técnicas y no de

mercado, y por lo tanto ya no es comparable con los precios anteriores. Este precio se denomina

"ex cupón" y es el precio con el cual el bono comienza a cotizar en la rueda de la fecha de corte.'

Matemáticamente: 1t t I I C

−= −

It: Precio de mercado o inversión "ex cupón".




14

It-1: Cierre de mercado o inversión anterior

C: Pago en pesos de amortización y/o renta.

Para poder homogeneizar la serie debemos aplicar un coeficiente de ajuste:

1

1 1

t t

t t

I I C CA

I I

−

− −

−= =

El mismo concepto de homogeneización de la serie de precios es aplicable para acciones para

incluir en el análisis todos los eventos societarios (pagos de dividendos, suscripciones,

capitalización de ajuste integral del capital, capitalización de reservas, disminuciones de capital,

etc.)

Un paso más en la elaboración de la estrategia óptima de inversión: Medición de riesgo y

retorno de un portafolio

Normalmente, al realizar inversiones, las personas o empresas deciden invertir sus fondos en

más de un activo financiero. Este tipo de conducta no es casual, ya que existen importantes

beneficios asociados con lo que normalmente se denomina “diversificación de cartera”. Este

beneficio está relacionado con la disminución del riesgo total de la inversión y será comentado

con mayor detalle en lo subsiguiente.

El análisis de la inversión en portafolios comienza con una mención sobre la manera en que el

rendimiento esperado y la volatilizad de los mismos es calculada.

Sea wi la proporción de nuestra riqueza invertida en el activo i (sobre un total de n activos), tal

que ∑=

=

n

i

iw

1

1 podemos calcular el rendimiento esperado del portafolio mediante el siguiente

promedio ponderado:

∑=

=

n

i

ii pw R E R E

1

).()(

Del mismo modo la varianza del portafolio se puede calcular de la siguiente forma:

∑ ∑∑= = >

+=

n

i

n

i

n

j

ij jiii pwww R

1 1 1

222 ...2.)( σ σ σ

Que alternativamente puede expresarse en forma matricial como sigue:




15

[ ]

=

nnnn

n

n

n p

w

w

w

www R

....

...............

...

...

....)( 2

1

221

22

221

1122

1

21

2

σ σ σ

σ σ σ

σ σ σ

σ

En cuanto a lo comentado sobre las ventajas de la diversificación de los portafolios se debe

notar que la inclusión de activos cuya covarianza sea negativa contribuirá a la disminución del

riesgo de la cartera en su conjunto, pues el efecto compensatorio generado por los rendimientos

de ambos activos disminuirá la dispersión total del portafolio.

Si el riesgo de invertir en un determinado portafolio es medido mediante la varianza de sus

rendimientos entonces dicho riesgo queda determinado por las siguientes tres variables: el monto

invertido en cada activo, la varianza en los rendimiento de cada activo y la variabilidad conjunta

de los rendimientos tomando los activos financieros de a pares, es decir, su covarianza.

Construcción de la frontera eficiente

El problema de la construcción de una frontera eficiente (conjunto de portafolios eficientes)

implica la determinación de las proporciones de capital a invertir en cada uno de los activos

financieros.

Se trata de un problema dual que puede ser tratado desde cualquiera de estas dos perspectivas:

Encontrar la combinación de proporciones (i

w ) que hace mínima la varianza del

portafolio ( 2 ( ) p Rσ ) para un nivel de rendimiento esperado prefijado ( ( )

p E R ).

Encontrar la combinación de proporciones (iw ) que hacen máximo el rendimiento

esperado del portafolio ( ( ) p

E R ) para un nivel de riesgo prefijado ( 2 ( ) p

Rσ ).

En el presente desarrollaremos la construcción de la frontera eficiente encarando el problema

mediante la 1er alternativa a la que sumaremos la condición vinculada a la restricción

presupuestaria:

Mín ∑ ∑∑= = >

+=

n

i

n

i

n

j

ij jiii p www R1 1 1

222 ...2.)( σ σ σ

s.a:



Seguros de retiro: Un enfoque

1

( ) ( ).n

p i i

i

E R E R w=

= ∑

1

1n

i

i

w=

=∑

Este problema puede ser

mediante el planteo de la sigui

2 2

1 1 1

. 2. .n n n

i i i

i i j

L w wσ = = >

= +∑ ∑∑

Probando con distintos re

minimizan la varianza del por

Sin embargo, como se visu

y por ende se deberá determi

portfolios eficientes e ineficie

Lagrange prescindiendo ahora

Gráfico 1. Conjunto de oportunidades de

propia.

5.00%

7.00%

9.00%

11.00%

13.00%

15.00%

17.00%

19.00%

21.00%

0.00% 10.00% 20.0

E s p e r a n z a

d e l p o r t a f o l i o

Conjunto de oport

rgentino

16

resuelto mediante el método de los multip

ente función:

1 21 1

. . ( ). ( ) .n n

j ij i i p i

i i

E R w E R wσ λ λ = =

+ − +

∑ ∑

ndimientos esperados se podrán obtener lo

afolio para un retorno determinado:

aliza en el gráfico, algunas de las carteras ob

ar el portafolio de mínima varianza el cual

ntes, para ello podemos utilizar el método de

de la condición vinculada al rendimiento pr

i

nversión para dos activos (coeficiente de correlación ρ = -0,9 ). El

% 30.00% 40.00% 50.00% 60.00% 70.00%

Desvío estándar del portfolio

nidades de inversión (Mín σ2 para E(Rp) fijo )

Po

Efi

Po

In

licadores de Lagrange

1

−

s diversos puntos que

enidas son ineficientes

permitirá dividir entre

los multiplicadores de

fijado.

l

aboración

rtafolios

cientes

rtafolios

ficientes




17

Restricciones adicionales sobre la frontera eficiente

En determinadas situaciones (como por ejemplo en la operatoria de las compañías de seguros

de retiro) hay ciertas limitaciones legales en cuanto a la operatoria financiera. Estas limitaciones

están vinculadas con la imposibilidad de realizar ventas en corto y con ciertas limitaciones sobre

la proporción de riqueza invertida que se puede tener en determinados activos, las mismas pueden

ser incluidas al problema de la minimización:

Mín ∑ ∑∑= = >

+=

n

i

n

i

n

j

ij jiii pwww R

1 1 1

222 ...2.)( σ σ σ

s.a:

1

( ) ( ).n

p i i

i

E R E R w=

= ∑

1

1n

i

i

w=

=∑

0iw ≥ i∀

i iw G≤ (siendo Gi la restricción correspondiente al activo i, si la hubiera)

La introducción de las restricciones de desigualdad transforma el problema en uno de

programación cuadrática.




18

SEGURO DE RETIRO: UN EJEMPLO ARGENTINO

A continuación integraremos los desarrollos de las secciones anteriores para confeccionar

nuestro seguro.

Como en todo seguro, es necesario definir cuáles serán las bases técnicas. Dado que en la

actualidad las compañías de seguros utilizan tablas extranjeras, consideramos que usar una

experiencia local haría un producto más accesible al público dado que la prima pura única de la

renta vitalicia será menor por la mayor mortalidad y colaboraría al desarrollo de tablas futuras

que puedan generalizarse en su uso al resto de las compañías.

La tabla es la Arg’01 que fue estimada por Grushka y Belliard (2009) en base a la tablaabreviada publicada por el INDEC (2005) y luego considerando estos datos estimamos los

parámetros de Makeham II. La tabla se encuentra en el anexo.

Entendemos que el uso de mortalidad del total del país no es lo más correcto pensando que los

contratantes de este tipo de productos tienen un nivel de vida que los hace tener una esperanza de

vida mayor.

La tasa técnica será efectiva anual del 4%.

En todo seguro de retiro debemos invertir el fondo de primas durante la etapa activa por lo

que también detallaremos el análisis de los instrumentos permitidos por la legislación para así

conformar las estrategias de inversión.

Ley de mortalidad

Utilizando el método desarrollado en la primera parte de este trabajo se calculó la tasa

instantánea de mortalidad por edad:

2

x 3

(0.304129006697947 0.0739229787857179x

0.06961993389974311.09506755927654 )10

x µ

−

= + +

+

Esto implica que la probabilidad de supervivencia es:

2 2( ) t x t x t c t x p s w g + −

=

Donde



c = 1.09506755927654

g = 0.999233689990787

La ley de mortalidad ajust

menores a 90 tal como se ve

superior a la real.

Dado que la tabla será utili

primeras edades no es un i

tendrán una edad superior.

Selección de instrumentos

Según el artículo 35 de la

"(...) a) Títulos u otros valo

b) Títulos públicos de

correspondientes a pólizas em

c) Debentures con garantí

país;

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

1 6 11 16 21 2

Comparació

T

Gráfico 2. Ajustamiento gráfico. Elaboraci

Seguros de retiro

19

w = 0.9999630391

s = 0.99969591723

bastante bien a la experiencia para las edad

en el Gráfico 2. Vemos que Makeham nos

zada para el cálculo de primas de seguros, q

pedimento ya que los potenciales compr

inancieros

ey 20.091 las compañías de seguros podrán i

res de la deuda pública nacional o garantiz

aíses extranjeros, hasta el importe de

itidas en moneda de esos países;

especial o flotante en primer grado sobre

31 36 41 46 51 56 61 66 71 76

n entre qx tabla y ley de mortalid

bla de mortalidad Ley de mortalidad

ón propia.

: Un enfoque argentino

3675

584

s mayores a 20 años y

brinda una mortalidad

e no ajuste bien en las

adores de este seguro

nvertir en:

dos por la Nación;

las reservas técnicas

bienes radicados en el

81 86 91 96

ad




d) Préstamos con garantía

el país, con exclusión de yaci

por ciento (50%) del valor

asegurador;

e) Inmuebles situados en el

f) Acciones de sociedades

artículo 124 de la ley 19.550

servicios públicos dentro de l

g) Préstamos garantizado

hasta el cincuenta por ciento (h) Operaciones financier

financieras debidamente auto

Argentina, previa autorizació

el estado económico-financie

Para simplificar el prese

financieros a las categorías

sociedades anónimas que teng

la Nación.

En lo que respecta a los

cotización regular de los acti

de liquidez. En el sentido exp

Cuadro 1. Preselección de títulos público

rgentino

20

prendaria o hipotecaria en primer grado so

mientos, canteras y minas. El préstamo no

de realización del bien, especialmente ta

país para uso propio, edificación, renta o v

nónimas constituidas en el país o extranjer

o de extranjeras que tengan por principal

Nación, que se coticen en bolsas del país o

con títulos, debentures y acciones de los

50%) del valor de mercado de esos valores;s garantizadas en su totalidad por ban

rizadas a operar en el país por el Banco C

en cada caso de la autoridad de control, y

o del asegurado. (...)"

te análisis optamos por restringir nuestr

de títulos públicos garantizados por la N

an por principal objeto la prestación de servi

títulos públicos una primer selección obe

os que permitiese a la compañía cumplir co

esto se preseleccionaron los siguientes título

s

garantizados por la nación. Elaboración propia.

bre bienes situados en

xcederá del cincuenta

ado al efecto por el

nta;

as comprendidas en el

bjeto la prestación de

del extranjero;

incisos a), b), c) y f),

os u otras entidades

entral de la República

iempre que lo permita

conjunto de activos

ción y a acciones de

ios públicos dentro de

eció a un criterio de

los requisitos básicos

s públicos:



En un segundo punto, y

especies expuestas aquellos

negociado más significativo:

En cuanto a las acciones, se t

arrojando como resultado las

Definición de la variable al

Para el presente análisis

comentáramos en el apartad

realizar posteriores análisis.

Cuadro 2. Volúmen promedio

mensual de títulos

preseleccionados. Elaboración

propia.

Cuadro 3. Selección de acciones de emp

Seguros de retiro

21

atentos también al criterio de liquidez, se

siete títulos que tuvieran los promedios

vieron en cuenta idénticos criterios que par

iguientes cinco especies:

eatoria y cálculo de medidas de tendencia ce

definimos la V.A. "Rendimiento geométri

teórico, nos permitirá contar con ciertas

r

áfico 3. Volúmen promedio mensual de títulos preseleccionados

esas de servicios públicos. Elaboración propia.


leccionamos entre las

ensuales de volumen

la selección de bonos

tral y dispersión

co diario" que, como

ventajas a la hora de

.

Elaboración propia.




Para el relevamiento de la i

12 activos seleccionados en

Considerando aquellos días e

datos. Con los mismos se calc

correlaciones de los activos:

Cuadro 4. Retornos promedio y desvíos

Cuadro 5. Matriz de varianzas y covaria

Cuadro 6. Matriz de coeficientes de cor

rgentino

22

nformación histórica se recurrió a la serie de

el período comprendido entre el 01/07/2

los que cotizaron todos los elementos lleg

ularon las estimaciones de las esperanzas, va

stándar para los activos financieros seleccionados. Elaboración pr

nzas para los activos financieros seleccionados. Elaboración propia

r

elación para los activos financieros seleccionados. Elaboración pr

precios ajustada de los

010 y el 31/06/2011.

mos a un total de 144

rianzas , covarianzas y

opia.

.

opia.



Construcción de la frontera

Como mencionamos con

minimización de varianza n

problema de minimización de

un algoritmo en Matlab progr

La utilización del algoritm

eficientes:

Cuadro 7.Extracto de 20 portafolios efici

Gráfico 4. Frontera Eficiente para los

Seguros de retiro

23

eficiente y Selección de carteras

nterioridad la incorporación de restriccione

cesaria para la creación de la frontera e

uno de programación cuadrática. El mism

mado por Sebastián García (2011).

o nos permitió la generación de un conjunto

Gráfic

Eficiencia

caso la si

Como

el Cuadr

EDN y T

según el

Varianza

n

tes para los activos seleccionados (sobre total de 200). Elaborad

activos seleccionados. Elaboración propia.


s de desigualdad en la

ficiente transforma el

fue resuelto mediante

de doscientas carteras

mente la frontera de

toma para nuestro

uiente forma:

se puede observar en

7 los activos DICP,

CO2 no son eficientes

criterio de Media-

ya que no reciben

o por Sebastián García.




asignación de nuestra riqueza

Por otro lado, en el Gráfic

perfiles de riesgo siendo "A"

mínima varianza), "B" la corr

al perfil agresivo. No se han

cuenta el tipo de producto ofr

Numéricamente los result

"A", "B" y "C" son las marca

71 y 137 respectivamente.

Análisis de la adecuación

impuestas por el organismo re

Como bien es sabido, los

como la tasa que resulte

Queda entonces por último,

rendimientos anualizados par

Para realizar esta tarea sdistribución normal. Con la a

"Aleatorio" simulamos los r

hábiles en un año). Luego,

Gráfico 5. Histograma para los rendimienElaboración propia.

rgentino

24

para ninguna de las carteras.

4 se puede observar la elección que hemos

la cartera para el perfil conservador (y adici

espondiente al perfil de riesgo moderado y

onsiderado aquellas carteras con riesgo sup

cido.

dos de rendimiento, riesgo y ponderacione

das con color azul en el Cuadro 7 identifica

e los rendimientos de las carteras a las exi

gulador de la actividad aseguradora.

eguros de retiro deben garantizar un rendim

ayor entre la denominada "tasa técnica

n lo referente al armado de las carteras de

la cartera de mínima varianza

upusimos que los rendimientos geométricuda de Microsoft Excel y las funciones "Di

ndimientos para 252 días (aproximadamen

l estar utilizando rendimientos geométrico

rendi

obten

anual

proce

para

histo

rendi

C

en el

supu

t

os anualizados de la cartera conservadora.

echo para los distintos

nalmente la cartera de

"C" la correspondiente

rior a "C" teniendo en

(wi) para las carteras

as con los números 1,

encias de rendimiento

iento mínimo definido

y la "tasa testigo".

inversión, simular los

s diarios siguen unatr.Norm.Estand.Inv" y

te la cantidad de días

s, podemos sumar los

mientos diarios para

er el rendimiento

izado. Repitiendo este

dimiento 10000 veces

obtuvimos el

rama para los

mientos.

mo podemos observar

Gráfico 5 en base a os

stos realizados y la




25

metodología utilizada estaríamos ante una baja probabilidad de alcanzar rendimientos inferiores a

los que exige actualmente la SSN (4% anual para la tasa técnica).

Encontramos que los rendimientos obtenidos en todas las carteras son muy buenos por lo que hay

un incentivo para invertir localmente y agrandar el mercado de capitales argentino. Si esto mejora

el financiamiento de las empresas o del Estado, contribuirá al aumento del PBI y a su vez de las

pólizas de seguros emitidas ya que hay una correlación positiva entre estas variables.

Proyectando el beneficio

Para la proyección que sigue se utilizaron los siguientes supuestos:

Aporte mensual: $700

Edad del contratante: 30

Edad del cónyuge: 25

Inflación: 0%

Cartera elegida: Conservadora

Rendimiento excedente real: Entre ±3%

Gastos: 20% de la prima

Capital asegurado durante la etapa activa:$300000

Capital asegurado cónyuge: 50% del titular

Renta: mensual extensible al 70%

Capital asegurado cónyuge etapa pasiva:

50% etapa activa

Supuesto DUF para edades intermedias

Para el cálculo de las probabilidades de muerte se resolvió las integrales numéricamente a

través del método del trapecio con un h=0.001.

Se consideraron rendimientos excedentes aleatorios y se concedió un 50% del rendimiento

excedente en caso de ser positivos una vez por año.

Esto permitió acumular un fondo de aproximadamente $540.000 a los 65 años. Descontando el

costo del seguro por orden de fallecimiento ($17500), la renta que percibirá el titular es deaproximadamente $3500 mensuales. En el anexo se encuentra la marcha progresiva de este

seguro.




26

CONCLUSIÓN

A lo largo de este trabajo fuimos viendo como el cálculo financiero y la estadística intervienen

en el campo actuarial a través de toda la teoría explicada en las primeras secciones.

Demostramos cómo es posible efectuar un seguro íntegramente con una experiencia local.

Para salvar el problema de la menor mortalidad de los contratantes de este tipo de seguro, en un

análisis futuro se podría usar una tabla de la Ciudad de Buenos Aires. Queda pendiente estudiar si

el efecto de una menor mortalidad en el cálculo de la renta vitalicia (aumentando su costo) es

compensado por el efecto de la baja en el costo del seguro de vida durante la etapa activa.En lo relativo a las inversiones del plan, el hecho de realizar las inversiones localmente tiene

un efecto positivo para el crecimiento del país y tal como dijimos anteriormente, cuando el país

crece las compañías de seguro emiten una mayor cantidad de pólizas, creando una sinergia que

favorece a todas las partes.




27

BIBLIOGRAFÍA

GONZALEZ GALE, José. Elementos de cálculo actuarial. Quinta edición. Ediciones Macchi,

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JORDAN, Chester Wallace Jr. Life Contingencies. Segunda Edición.Society of Actuaries,

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Estados Unidos.

GRUSHKA, Carlos y BELLIARD, Matías. Nuevas tablas actuariales para Argentina 2000-

2001. ANSES, 2009 – Argentina.

MESSUTI, Domingo Jorgue, ÁLVAREZ, Victor Adrián y GRAFFI, Hugo Romano. Selección

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– Argentina.

JORION, Philippe. Value at Risk: The new benchmark for managing financial risk . Tercera

edición. McGraw-Hill, 2007 – Estados Unidos.

COPELAND, Thomas E., WESTON, J.Fred & KULDEEP SHASTRI, Joseph M. Katz.

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IAMC, Análisis de bonos: Aspectos metodológicos, información actualizada, sumario

estadístico. IAMC 1998 – Argentina

GARCÍA ERIZE, Sebastián y BERNARDELLO, Alicia. La aplicación del Excel y el Matlab

para armar una cartera eficiente. Trabajo expuesto en el "V Seminario Nacional de investigación

en modelos financieros 2011". 2011 – Argentina.




28

ANEXO

Tabla de Mortalidad Arg’01

X q(x) e(x)

0 0.0192 70.05

1 0.0011 70.42

2 0.00071 69.5

3 0.00059 68.54

4 0.0005 67.58

5 0.00044 66.62

6 0.00039 65.65

7 0.00035 64.67

8 0.00031 63.7

9 0.00029 62.72

10 0.00027 61.73

11 0.00028 60.75

12 0.0003 59.77

13 0.00038 58.79

14 0.00046 57.81

15 0.00059 56.83

16 0.00071 55.87

17 0.00083 54.91

18 0.00096 53.95

19 0.0011 5320 0.00124 52.06

21 0.00137 51.13

22 0.00147 50.19

23 0.00155 49.27

24 0.0016 48.34

25 0.00164 47.42

26 0.00169 46.5

27 0.00173 45.57

28 0.00179 44.65

29 0.00185 43.73

30 0.00192 42.8131 0.00199 41.89

32 0.00207 40.98

33 0.00216 40.06

34 0.00225 39.15

35 0.00236 38.23

36 0.00247 37.32

37 0.00261 36.41

38 0.00277 35.51

39 0.00295 34.61

40 0.00315 33.71

X q(x) e(x)

41 0.00338 32.81

42 0.00364 31.92

43 0.00394 31.04

44 0.00428 30.16

45 0.00465 29.28

46 0.00507 28.42

47 0.00553 27.56

48 0.00604 26.71

49 0.00661 25.87

50 0.00723 25.04

51 0.00791 24.22

52 0.00867 23.41

53 0.0095 22.61

54 0.01042 21.82

55 0.01142 21.04

56 0.01249 20.28

57 0.01366 19.53

58 0.01491 18.79

59 0.01626 18.07

60 0.01772 17.3661 0.01931 16.67

62 0.02103 15.98

63 0.02291 15.32

64 0.02497 14.66

65 0.0272 14.03

66 0.02957 13.41

67 0.03208 12.8

68 0.03475 12.21

69 0.03761 11.63

70 0.04071 11.06

71 0.04412 10.5172 0.04794 9.97

73 0.05222 9.45

74 0.05708 8.94

75 0.06256 8.45

76 0.06846 7.99

77 0.07476 7.54

78 0.08156 7.1

79 0.08895 6.69

80 0.09704 6.3

81 0.10584 5.92




29

X q(x) e(x)

82 0.11543 5.56

83 0.12593 5.22

84 0.1374 4.9

85 0.14948 4.6

86 0.16251 4.32

87 0.17685 4.06

88 0.19059 3.83

89 0.2055 3.61

90 0.22157 3.42

X q(x) e(x)

91 0.23879 3.25

92 0.25759 3.11

93 0.2751 3.01

94 0.28605 2.96

95 0.28986 2.95

96 0.28986 2.95

97 0.28986 2.95

98 0.28986 2.95

99 0.28986 2.95

Evolución del Saldo de la cuenta individual

Edad Saldo Cuenta Individual

30.00 433.92 ARS

31.00 5,815.91 ARS

32.00 11,488.54 ARS

33.00 17,373.73 ARS

34.00 23,580.89 ARS

35.00 30,206.78 ARS

36.00 36,938.22 ARS

37.00 44,058.05 ARS

38.00 51,322.83 ARS

39.00 58,796.81 ARS

40.00 66,964.33 ARS

41.00 75,330.10 ARS

42.00 83,964.17 ARS

43.00 93,277.00 ARS

44.00 102,800.03 ARS

45.00 113,216.00 ARS

46.00 123,859.05 ARS

47.00 135,557.63 ARS

Edad Saldo Cuenta Individual

48.00 147,701.86 ARS

49.00 160,360.42 ARS

50.00 173,580.09 ARS

51.00 187,967.60 ARS

52.00 202,854.10 ARS

53.00 218,934.22 ARS

54.00 234,605.84 ARS

55.00 253,442.20 ARS

56.00 272,469.92 ARS

57.00 292,392.73 ARS

58.00 314,840.16 ARS

59.00 338,065.12 ARS

60.00 364,744.18 ARS

61.00 392,944.21 ARS

62.00 422,347.98 ARS

63.00 458,337.97 ARS

64.00 497,945.03 ARS

65.00 540,542.75 ARS

El valor de la renta extensible es de ARS 147.81 por cada peso

seguro de retiro, un enfoque argentino

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