UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRS FACULTAD DE INGENIERA CURSO PREFACULTATIVO GESTIN II / 2008

SEGUNDO EXAMEN PARCIAL REA: MATEMTICA FECHA: 27.10.2008 TIEMPO DE DESARROLLO DEL EXAMEN: 90 MINUTOS NO EST PERMITIDO EL USO DE CALCULADORAS

SOLUCIONARIO

a) El seno de cualquier ngulo tiene como mximo valor: 1

b) El argumento de un logaritmo en cualquier base debe ser siempre un nmero:i) Positivo ii) Negativo iii) Ninguno iv) Todos

c) Para que valor de razn q en una progresin geomtrica, se forma una progresin geomtricatrivial.

a) 1 b) 0 c) q < 0 d) q > 0 e) ninguno

d) 250 grados centecimales equivalen a:4

5p. Radianes

2.-a) (10 puntos) Hallar la suma de los mltiplos de 3 comprendidos entre 53 y 98.

SOLUCIONSe forma una progresin aritmtica de razn 3, su primer termino 54 y el ltimo termino 96

( )( )

153

54961

3154961

39654

1

1

=-

=-

-+=-+=

===

nn

ndntt

dtt

n

n

( )

( )

11252

9654152

1

=

+=

+=

n

n

nn

S

S

ttnS

b) (10 puntos) Sea un tringulo ABC, recto en C donde se verifica que:sec2 A + sec2 B = k ( tg2 A ctg2 A)

Se pide hallar: sen2 A sen2 B

SOLUCIN:

Graficando un tringulo rectngulo ABC

B

AC

c

b

a

F IUMSA

FACULTAD DE INGE NIERA

Reemplazando en la ecuacin proporcionada se obtiene:

-

=

+

2222

ab

bak

ac

bc

( ) ( )

-=

+ 22

44

22

222

babak

babac c2 (a2 +b2) = k (a4 b4)

c2(a2+ b2) = k ( a2+ b2) ( a2 b2) c2 = k ( a2- b2) 1/k = (a2-b2)/ c2

Entonces la ecuacin pedida sera:

kcba

cb

caBsenAsen 12

222222 =

-=

-

=-

3) (20 puntos) Resolver el sistema:( ) ( )

( )

=

=-

257632

142yx

yxLog ( ))3(4

)2(:1 4

yxyxdefinicionPorde+==-

( ) 576322 4 =+ yyen( )

2663*22*32

2

264

==

=

yLogaritmosAplicandoy

y

Reemplazando en (3)

6244

=+=+=

xxyx

4.- (20 puntos) El primer trmino y la razn de una progresin aritmtica, viene dado por la solucin delsistema de ecuaciones adjunto y adems el ltimo termino es 97. Cuntos trminos existen en laprogresin?

22 =-+-+ arrara

ra +=8

De la ecuacin (1) 02)()2( =---+- rarara

02)()( 2 =---- rara

Donde:sec A = c/bsec B = c/atg A = a/bctg A = b/a

b=

a=

l=

Factorizando: 0)1)(2( =+--- rara

Formndose los siguientes sistemas:

2=- ra 1-=- ra

8=+ ra 8=+ ra

Resolviendo los sistemas de ecuaciones, tendremos:

9,......25 == ra481,.....

449

== ra

Por el trmino ensimo, tendremos: rnaan )1(1 -+=

9)1(2597 -+= n481)1(

44997 -+= n

.9=n trminos. Solucin81

339=n Solucin descartada, porque n debe

l correcta ser entero

5.- (20 puntos) Desde la punta de una torre de altura h un observador ve a su izquierda, una piedranegra en el piso, con un ngulo de depresin de 30. Exactamente sobre la piedra ve un globo con unangulo de elevacin igual al doble del de depresin. En ese mismo instante, otro observador que seencuentra en el piso, en direccin este, respecto de la piedra negra observa el globo con un ngulo deelevacin igual a la mitad del ngulo de elevacin con que ve el observador de la torre. Hallar la distanciaa la que se encuentra el segundo observador de la torre.

Se puede realizar el siguiente bosquejo:

Globo b = 30, a = 2b = 60, l = a/ 2 = 30Luego:

tg b = htg

haah 3

30=

=

tga = hhtgahah 3336011 ===

luego H = h + h1 = h + 3h = 4h

Por otra parte:

hDhD

hhahD

htg

hDaDa

Htg

2.533

33434

34304

==

-=-=

=

=++

=l

h1