segundo examen parcial Área matematica fecha 02-05-2011

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRS FACULTAD DE INGENIERA

CURSO PREFACULTATIVO GESTIN I / 2011

SEGUNDO EXAMEN PARCIAL REA: MATEMATICA FECHA: 02/05/2011

TIEMPO DE DESARROLLO DEL EXAMEN: 100 MINUTOS _______________________________________________________________________________________

1.- (20%) Si 2 2 1a b calcular:

log 1 log 1

log log 1

a b a bT

a b

2.- (20%) El Primer trmino de una Progresin Aritmtica es 2 y el ltimo es 26 con una

razn llamada R; si se intercalan (R2 - 2) medios aritmticos, calcular R y construir

la Progresin.

3.- Se tiene una P.A. de 3 trminos, al 3 termino se le suma una cantidad desconocida y

se convierte en P.G., si al 1 y 2 trminos de la P.G. se le multiplica por esa cantidad

desconocida y al 3 termino se le adiciona la suma de los trminos de la P.A. inicial,

vuelve a formarse otra P.A. Sabiendo que la razn de esta ltima es el triple de la

cantidad desconocida, escribir la primera P.A.

4.- (20%) Hallar las soluciones principales de la ecuacin trigonomtrica.

3 22 9 10 12 0cos x sen x cos x

5.- (20%) Un jugador de billar, ubicado en una de las esquinas de la mesa de billar,

golpea la bola con un ngulo de 45 respecto del eje horizontal (que coincide con el lado

mayor), la bola recorre una distancia de 127/50 metros antes de impactar con el lado

mayor opuesto y al rebotar forma un ngulo de 105, luego impacta con el lado menor y

rebota describiendo un ngulo de 60 que sigue una trayectoria que lo lleva a la misma

esquina de partida. Hallar las dimensiones de la mesa de billar?. Considere

4

132105

sen





1.- Solucin:

De la condicin 2 2 2 21 1 1 log log 1 1a b a b b a b b

2log log 1 log 1a b b (1)

REEMPLAZANDO

1 12log 2log

1 1

2log 2log 1 log 1

a b a b

a b a bT T

a b b

log 1 2log 1b b

22 2

2

11 1 loglog log11 1

1 1log 1 log 1log log

1 1

a ba b a b

a ba b a bT

b bb b

b b

como

2 2 2

1

2 2 2

1

1 1 2 2 1

1 1 2 2 1

a b a b ab a b ab a b

a b a b a b ab a b ab

22 1 loglog2 1

1log

1

ab a b

a b abT

b

b

1 1b a

2 1a 1

log1 1

1 1log log

1 1

bb b

b b

b b

log 1 log 1log 1 log 1

log 1 log 1

b bb bT

b b

log 1 log 1b b 1





2.- El Primer trmino de una Progresin Aritmtica es 2 y el ltimo es 26 con una razn

llamada R; si se intercalan (R2 - 2) medios aritmticos, calcular R y construir la

Progresin.

Solucin.- Se trata de una Progresin Aritmtica, por lo tanto la razn de interpolacin

de Medios Aritmticos es:

Tomando en cuenta que: a1 = 1 ; an = 26 ; r = R ; m = ( R2 2 )

con todos esos parmetros en (1)

La Progresin Aritmtica ser:

2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26

3. Se tiene una PA de 3 trminos, al 3 trmino se le suma una cantidad desconocida y

se convierte en PG, si al 1 y 2 trminos de la PG se les multiplica por esa cantidad

desconocida y al 3 trmino se le adiciona la suma de los trminos de la PA inicial,

vuelve a formarse otra PA. Sabiendo que la razn de este ltima es el triple de la

cantidad desconocida, escribir la primera PA.

Solucin:

PA1: a1 , a2 , a3 razn = ra1

PG: a1 , a2 , a3 + x razn = rg

Sx a x, a , x a :PA2 n1321 razn = ra2

De los datos del problema:





)5(333

)4(2

2

)3(

)2(3332

22

2

)1(2

)1(2

1212122

3121

1312213122

1

2

2331

2

2

2

3

1

2

21111

11

1

11

1

13

213223121

3

x-

2

aa aa xaxax xr

axaxaS

Sxaxaxa x aSxaxaxar

xa

aaxaaa

a

xa

a

ar

aSraSra

Snrna

S

aaaaaaaaaar

a

n

nna

g

nan

a

n

a

n

a

Igualando (1) y (5): )6(66232

131131

13 aaaaaaaa

Reemplazando (5) y (6) en (3):

)(

axxaxaaaaax

a

aa 7

99966

36

1111

21

211

1

21

1

Igualando (2) y (4): xx-aaxaa 3122 23

Reemplazando (5) y (7) en esta ltima ecuacin:

0456445393

969541893

96

99233

1

2

1

2

111

2

1

1

2

11111

1

1

1

1

1

311

aaaaaa

a

aaaaa

aa

aa

a aa

Resolviendo:

4

2133

8

5766

4*2

45*4*436611

aa

Con 4

21331

a : En (5):

4

21393

4

213322

aa

En (6): 4

21321

4

21336 33

aa





Con 4

21331

a : En (5):

4

21393

4

213322

aa

En (6): 4

21321

4

21336 33

aa

Respuesta.- Hay dos posibilidades:

4

21321

4

2139;

4

2133:1

; PA en este caso la razn es 3r

O bien : 4

21321

4

2139;

4

2133:1

; PA en este caso la razn tambin es 3r

4.-

300;360 xx

3 2

3 2

3 2

3 2

2 9 10 12 0

2 9 9 10 12 0

2 9 10 3 0

2 9 10 3 0

Llevando a ter minos de cos eno la ecuacio n :

cos x sen x cos x

cos x cos x cos x

cos x cos x cos x

Cambio de var iable, para simplificar la exp resio n :

cos x m

Entonces : m m m

Factoriza

1 2 1 3 0

11 3

2

ndo por Ruffini :

m m m

m m m

1 1 0

1 160

2 2

0 60

No

Del cambio de var iable :

cos x x arccos

cos x x arccos

x ; x





5. Un jugador de billar, ubicado en una de las esquinas de la mesa de billar, golpea la

bola con un ngulo de 45 respecto del eje horizontal (que coincide con el lado

mayor), la bola recorre una distancia de 127/50 metros antes de impactar con el lado

mayor opuesto y al rebotar forma un ngulo de 105, luego impacta con el lado menor

y rebota describiendo un ngulo de 60 que sigue una trayectoria que lo lleva a la

misma esquina de partida. Hallar las dimensiones de la mesa de billar?. Considere

4

132105

sen

En la lnea horizontal que pasa por el punto el punto B, se tiene:

A

AB=2,54

B

d2

105

D

?

60

45

c

?

Para el triangulo ABC, se cumple:

180 ; 18060105

15

1545

30

Los lados del triangulo estando dados por:

)45(1 senABd

)cos(2 ACd

d1





Dado el triangulo ABC,

Tambin:

sen

AB

sen

AC ;

)60(

50127

)105( sensen

AC ;

)105(

)60(

50127

sensen

AC

1323100

127

4

132

2

350

127

AC

300

136127 AC

Por ultimo:

El lado menor

)45(1 senABd

)45(50

1271 send

100

21271 d

El lado mayor:

CosACd 2

302 CosACd

2

3*132

3100

1272 d

200

1321272

d

segundo examen parcial Área matematica fecha 02-05-2011

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