Segundo Examen.Problema 1. Determine y pruebe cuales de las siguientes transformaciones son lineales.

• T : P 2(x) → R3. (0.5 puntos).

T (a0 + a1 x + a2 x2) = (a0, a1 − a2, a1 a2)

• T : R4 → P 2(x). (0.5 puntos).

T (a1, a2, a3, a4) = (a1 − a4) + (a2 + a3)x + (a2 − a3)x2

Problema 2. Considere la siguiente transformacion lineal T : M2×2 → P 3(x).

T

([m11 m12

m21 m22

])= (m11 − m12) + (m21 + m22)x + (m21 + m12)x2 + (m21 − m12)x3.

1. Encuentre el espacio nulo de T y el rango, como subespacio, de T . (2 puntos).

2. Determine si la transformacion es biyectiva. (1 punto).

3. Si la transformacion es biyectiva encuentre su transformacion lineal inversa. (1 punto adicional).

4. Determine la imagen bajo T de

N =[

3 11 −2

]

(0.5 puntos)

Problema 3. Considere la transformacion lineal del problema 2. Considere las bases

BM2×2 ={[

1 00 0

],

[0 1−1 0

],

[0 11 0

],

[0 00 1

]}

y BP 3(x) = {1, x, x2, x3}.1. Encuentre la matriz representativa de T respecto a las bases BM2×2 y BP 3(x). (2 puntos).

2. Encuentre el rango de la matriz representativa y verifique que es igual al rango de la transformacionlineal. (1 punto).

3. Empleando la matriz representativa, encuentre la imagen bajo T de la matriz N . (1 punto).

4. Encuentre la matriz inversa de la matriz representativa. (1 punto adicional).

Problema 4. Determine el valor del siguiente determinante (1.5 puntos)∣∣∣∣∣∣∣∣

1 0 2 53 2 −1 4−1 3 2 −35 7 0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣

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