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Alumno: Bustamante Gonzalez, Luis Fernando Código: 20102554J 2013-II TRACCION CON DEFORMACION TERMICA Segunda práctica calificada Calculo por elementos finitos (MC-516D) UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA FACULTAD DE INGENIERIA

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TRACCION CON DEFORMACION TERMICA

TRACCION CON DEFORMACION TERMICAUNI-FIM

PRIMERA PRCTICACALIFICADAFACULTAD DE INGENIERIA MECANICAAlumno: Bustamante Gonzalez, Luis FernandoCdigo:20102554JUNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA

Tabla de contenido

ENUNCIADO DEL PROBLEMA: 2SOLUCION: 3MODELADO DEL CUERPO REAL4GRADOS DE LIBERTAD NODALES (Vector Desplazamiento) 5VECTOR CARGA 5MATRIZ DE RIGIDEZ 6ECUACIONES DE RIGIDEZ Y CONDICIONES DE CONTORNO7ESFUERZOS 8DIAGRAMA DE FLUJO9PROGRAMACIN EN MATLAB10CONCLUSIONES11

ENUNCIADO DEL PROBLEMA:

Dado la siguiente placa triangular, cuyo espesor es constante, t=150mm, calcular los esfuerzos en cada elemento finito y la reaccin en el apoyo. Utilizar tres elementos finitos. Tomando en cuenta un aumento de temperatura de 210C.

1000 mm

600mm600mm

Considerar:

SOLUCION:

1. MODELADO DEL CUERPO REAL

Se consideraran tres elementos finitos. Para facilitar los clculos los elementos finitos tendrn longitud de 1000, 500 y 500 mm.

Y los espesores lo calculamos tomando el punto medio de cada elemento finito:

1000mm

250mm500mm300mm600mm

300mm(X)

Entonces, el modelado del cuerpo sera el siguiente:

600mm

750mm

375mm300mm

300mm

125mm

Y las reas se calculan de la siguiente relacin:

Cuadro de conectividad:

eNODOSGDLle(mm)Ae(mm2)

(1)Primer nodo(2)SegundoNodo12

112Q1Q2600112500

223Q2Q330056250

334Q3Q430018750

2. GRADOS DE LIBERTAD NODALES (Vector Desplazamiento)

A travs del grafico se muestran los grados de libertad nodales globales:

600 mm

300 mm

300 mm

Luego el vector de desplazamiento ser:

Donde Q1= 0 pues la placa esta empotrada y los dems desplazamientos son incgnitas que tendrn que ser calculadas.

3. VECTOR CARGA

1000 mm

1000 mm 600 mm

5 300 mm

50 300mm 0

Analizando las fuerzas en cada elemento finito:

Entonces, el vector carga se expresara de la siguiente manera

4. MATRIZ DE RIGIDEZ

A continuacin pasamos a calcular la matriz de Rigidez Global, que esta determinada por la siguiente ecuacin:

Reemplazando para los valores calculados y utilizando la tabla de conectividad obtenemos:

Finalmente:

5. ECUACIONES DE RIGIDEZ Y CONDICIONES DE CONTORNO

La ecuacin de rigidez esta determinada por la siguiente ecuacin:

Lo que con nuestros valores calculados tenemos:

Para obtener los desplazamientos tomamos la siguiente sub-matriz:

Resolviendo este sistema de ecuaciones obtenemos:

Y para obtener la reaccin en el empotramiento tmanos la siguiente submatriz:

Resolviendo obtenemos:

6. ESFUERZOS

Para calcular los valores de los esfuerzos por elemento, aplicamos la siguiente ecuacin:

Y obtenemos lo siguiente:

7. DIAGRAMA DE FLUJO

INICIO

INGRESO DE DATOSCONSTANTES: E, f, tVECTORES: L, A, P

CALCULO DE VECTORES;

K=

CALCULO DE LOS DESPLAZAMIENTOS

IMPRESIN DE RESULTADOS

FIN

8. PROGRAMACIN EN MATLAB:

E=input('Ingrese modulo de young [N/mm2]: ');pe=input('Ingrese densidad [kg/mm3]: ');cd=input('Ingrese coeficiente de dilatacin [1/C]: ');ht=input('Altura de la placa [mm]: ');bt=input('Base de la placa [mm]: ');at=input('Espesor de la placa [mm]: ');

cp=input('Valor de la carga puntual [N]: ');hp=input('Posicin de la carga puntual (x=0base) [mm]: ');tv=input('Variacin de temperatura [K]: ');

ne=input('Ingrese nmero de elementos finitos: ');eu=ceil(ne/2);%elementos finitos encima de la carga puntualed=ne-ceil(ne/2);%elementos finitos debajo de la carga puntual

f= zeros(1,ne+1);%vector de fuerzasa= zeros(1,ne);%vector que contiene las reas de cada e.fl= zeros(1,ne);%vector que contiene las longitudes de cada e.fk= zeros(ne+1,ne+1);%matriz de rigidezq= zeros(1,ne+1);%vector desplazamientos= zeros(1,ne);%vector que contiene los esfuerzos para los 'ne' e.f

for i=1:eu%calculo de geometria de los primeros 'eu' e.f haux1=((i-1)*((ht-hp)/eu)*bt)/ht; haux2=(i*((ht-hp)/eu)*bt)/ht;%estas son las bases del 'i'simo e.f %y es resultado de la semejanza de tringulos a(i)=((haux1+haux2)/2)*at;% A = ((b1+b2)/2)*espesor (base prom) l(i)=(ht-hp)/eu;%longitud del 'i'simo e.fendfor i=1:ed%calculo de geometria de los e.f restantes haux1=(((ht-hp)+(hp/ed)*(i-1))*bt)/ht; haux2=(((ht-hp)+(hp/ed)*i)*bt)/ht;%bases del 'i'simo e.f %por semejanza de tringulos a(i+eu)=((haux1+haux2)/2)*at;% A = ((b1+b2)/2)*espesor (base prom) l(i+eu)=hp/ed;%longitud del 'i'simo e.fend

f(1)=a(1)*l(1)*pe*9.81/2-E*a(1)*cd*tv;f(ne+1)=a(ne)*l(ne)*pe*9.81/2+E*a(ne)*cd*tv;for i=2:ne f(i)=a(i-1)*l(i-1)*pe*9.81/2+a(i)*l(i)*pe*9.81/2+E*a(i-1)*cd*tv-E*a(i)*cd*tv;end

f(eu+1)=f(eu+1)+cp;%la carga puntual se ubica en el 'eu+1'simo nodo

%f(ne+1)=f(ne+1)-rxn;%el ltimo nodo es afectado por el peso y la reaccin%rxn, pero esta ltima se hallar al final

for i=1:ne k(i,i)=k(i,i)+E*a(i)/l(i); k(i,i+1)=k(i,i+1)-E*a(i)/l(i); k(i+1,i)=k(i+1,i)-E*a(i)/l(i); k(i+1,i+1)=k(i+1,i+1)+E*a(i)/l(i);end

%aplicar el enfoque de eliminacin para este problema, pues slo hay 1%condicin de contorno q(ne+1)=0 (ltimo nodo). As, la columna y fila%'ne+1'sima de la matriz de rigidez sern eliminadas. Lo siguiente ser%eliminar los elementos 'ne'simos del vector de fuerza y desplazamiento,%y debido a que q(ne+1)=0, sus valores no sern afectados. Luego los%elementos eliminados los reutilizar para calcular la reaccin en el%apoyo (este clculo ir primero para no definir ms variables)

kaux=k(ne+1,:);%vector auxiliar para el clculo de la reaccinfaux=f(ne+1);%elemento que se necesita para el clculo de la reaccinqaux=q;%vector auxiliar

k(:,ne+1)=[];%elimino fila 'ne+1'simak(ne+1,:)=[];%elimino columna 'ne+1'simof(ne+1)=[];%elimino elemento 'ne+1'simoqaux(ne+1)=[];%elimino elemento 'ne+1'simo

qaux=(k^(-1))*f';%calculo de vector desplazamiento globalq=[qaux',0];rxn=faux-(kaux*q');%clculo de la reaccin en el apoyo

for i=1:ne s(1,i)=(E/l(i))*[-1,1]*[q(i);q(i+1)]-(E*cd*tv);%clculo de esfuerzosend

fprintf('\n');fprintf('La reaccin en el apoyo es: %f N\n',rxn);for i=1:ne fprintf('La deformacin del nodo %d es: %fe-4 mm\n',i,q(i)*10^4); fprintf('El esfuerzo del e.f. %d es: %fe-3 N mm-2\n',i,s(i)*10^3);end

9. CONCLUSIONES

Una vez ms podemos verificar que la programacin hace que los clculos complejos se realicen de una manera rpida y eficiente, ya que por ms que tenga un error al momento de arrojar los clculos este es casi despreciable.

Las fuerzas equivalentes para cada elemento son mucho mayores en comparacin con las obtenidas en traccin simple.

Se comprueba que el efecto de la temperatura no afecta el resultado de la reaccin en el empotramiento.

Los desplazamientos obtenidos son mayores a los de traccin simple, lo que se esperaba debido al efecto de la temperatura.

El mayor esfuerzo se encuentra en el primer elemento finito, el cual corresponde al empotramiento.

Los esfuerzos obtenidos son casi de la misma magnitud de los encontrados en traccin simple.

CALCULO POR ELEMENTOS FINITOSPgina 12