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Sede Santiago Padre Miguel de Olivares 1625, Santiago Centro Prof. Marco A. Vildoso F.

INGENIERIA EN PREVENCION DE RIESGOS Y MEDIO AMBIENTE

CONTENIDOS TRIGONOMETRIA BASICA:

+ ANGULOS Y SUS MEDIDAS+ TRIANGULOS CONCEPTOS BASICOS+ SENO, COSENO Y TANGENTE Y SUS FUNCIONES RECIPROCAS+ TEOREMA DE PITAGORAS, LEY DEL SENO TEOREMA DEL

COSENO+ APLICACIONES INGENIERILES



¿Qué es un ángulo?

¿Cual es su notación?

Son dos rayos cualesquiera que determinan dos regiones del plano.

Para nombrar los ángulos, utilizaremos los símbolos abc en donde el angulo estaria en el vertice “b” . Podemos además nombrarlos mediante una letra griega “β”. También se puede nombrar por la letra que represente al vértice.



¿Cómo pueden ser los ángulos? (Definición de cada uno)

Nulos: Si su medida es Cero

Agudos: Si su medida esta comprendida entre 0° y 90°.

1

Rectos: si su medida es 90°1

Obtusos: Si su medida esta comprendida entre 90° y 180°.

1



¿Cuál es el instrumento para medir un ángulo y en que consiste?

El transportador en el cual consiste en un semicírculo dividido en unidades que van desde 0 hasta 180. Cada una de estas medidas es un grado (1°) sexagesimal y todas las medidas que se tomen con este instrumento corresponden al sistema sexagesimal.



ANGULOS EN GRADOSES LA MEDIDA DE ANGULOS MAS UTILIZADA EN EL

MUNDO ENTERO, PERO NO ES LA UNICA, ESTA CONSISTE EN QUE LOS CUATRO CUADRANTES DEL PLANO CARTESIANO QUEDAN TOTALIZADOS EN 360°, CADA CUADRANTE ENTONCES SERA UN APORTE DE 90°, POR ESO:

CUARTO CUADRANTE: DE 270° A 360°

PRIMER CUADRANTE: DE 0° A 90°

SEGUNDO CUADRANTE: DE 90° A 180°

TERCER CUADRANTE: DE 180° A 270°



ANGULOS EN RADIANESES LA MEDIDA DE ANGULOS UTILIZADA PARA

GRAFICAR LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS, ESTA CONSISTE EN QUE LOS CUATRO CUADRANTES DEL PLANO CARTESIANO QUEDAN TOTALIZADOS EN 2¶ RADIANES°, POR ENDE CADA CUADRANTE, ENTREGARA UN APORTE DE ½ ¶ RADIAN°, POR ESO:

CUARTO CUADRANTE: DE ¶ A 2 ¶

PRIMER CUADRANTE: DE 0 A ½ ¶ RAD

SEGUNDO CUADRANTE: DE ½ ¶ A ¶ RAD

TERCER CUADRANTE: DE ¶ A ¶ RAD

23

23



ANGULOS EN GRADIANESES LA MEDIDA DE ANGULOS UTILIZADA PARA

GRAFICAR LAS COORDENADAS MARINAS, ESTA CONSISTE EN QUE LOS CUATRO CUADRANTES DEL PLANO CARTESIANO QUEDAN TOTALIZADOS EN 400 GRADIANES, POR ENDE CADA CUADRANTE, ENTREGARA UN APORTE DE 100 GRADIANES POR ESO:

CUARTO CUADRANTE: DE 300 A 400 GRAD

PRIMER CUADRANTE: DE 0 A 100 GRAD

SEGUNDO CUADRANTE: DE 100 A 200 GRAD

TERCER CUADRANTE: DE 200 A 300 GRAD



Operaciones con ángulos(suma y resta)

Suma de Ángulos

La suma de dos Angulo, ABC y DBE es otro ángulo ABE tal que: m ABE = m ABC + m DBE.

EJERCICIO:Un ángulo mide 49° 38´45” y otro 31° 54´18”. ¿Cuánto mide la suma de estos ángulos?



80° 92´ 63” 33

´

1°

63” = 60” + 3“ = 1´ + 3”Se sube 1´ a la columna de los minutos y se suma a estos. Quedan 3´.

93´ = 60´ + 33’ = 1° + 33’Se sube 1° a la columna de los grados, y se suma a estos. Quedan 33’.

49° 38´ 45”

31° 54´ 18”

La suma buscada es 81° 33’ 3”.

1´

3”

80° 93´ 63”

DESARROLLO



Clases de ángulos en termino de sus medidas

Ángulos Suplementarios: Dos ángulos son suplementarios si la suma de sus medidas es 180°.

Ángulos Complementarios:

Dos ángulos son complementarios si la suma de sus medidas es 90°.



Ángulos opuesto por el vértice

Dos ángulos son opuesto por el vértice si sus lados forman dos pares de rayos opuestos.

θ θ



Clasificación de los triángulos por sus lados

(definición de cada uno y sus gráficas)

Triángulos Escálenos: No tienen ningún lado igual.



Triángulos Isósceles: Son los que tienen dos lados iguales.

Triángulos Equiláteros: Son los que tienen tres lados iguales.



Clasificación de los triángulos por sus ángulos

(definición de cada uno y sus gráficos)

Acutángulos: Son todos los triángulos con todos los ángulos menores de 90°



Rectángulos: Es cuando uno de sus ángulos es de 90°.

Obtusángulos: Es cuando uno de sus ángulos es mayor de 90°



Diferentes tipos de rectas

(definición de cada una y sus gráficos)

Secante o Transversal: Es la recta que corta a otro par de rectas cualesquiera del plano en dos puntos.

1 2

43

5 6

87



Paralelas: Es cuando la intersección de dos rectas y una secante determina pares de ángulos alternos internos, alternos externos y correspondiente congruentes.

L2

L1

L

1 243

8

5

7

6



Perpendiculares: Es cuando la intersección de dos rectas determina un ángulo recto entre ellas (por ende 4 ángulos rectos).

L2

L1

12

43



a

bc

θ

TEOREMA DE PITAGORAS

a2 + b2 = c2

Siendo “a” y “b” los catetos del triangulo y “c” la hipotenusa (lado mayor)

Aplicable solamente, para triángulos rectángulos



TEOREMA DEL COSENO

Siendo “a” , “b” y “c” los lados de un triangulo cualquiera

a2 = b2 + c2 - 2bc Cos α

b2 = a2 + c2 - 2ac Cos β

c2 = a2 + b2 - 2ab Cos γ

Aplicable para cualquier tipo de triángulos



LEY DEL SENO

Siendo “a” , “b” y “c” los lados de un triangulo cualquiera

Sen α Sen β Sen γ

Aplicable para cualquier tipo de triángulos

a b c--------- = --------- = ---------



FUNC. TRIGONOMETRICAS


a

bc

θ

Sen θ =

Cos θ =

Tag θ =

--------- = ---------C. O.HIP.

bc

--------- = ---------C. A.HIP.

ac

--------- = ---------C. O.C.A.

ba



FUNC. RECIPROCAS


a

bc

θ

Cosec θ =

Sec θ =

Cotag θ =

--------- = ---------HIP.C.O.

cb

--------- = ---------HIP.C.A.

ca

--------- = ---------C. A.C.O.

ab



0º 30º 45º 60º 90º

sen 0 1 / 2 1 / √2 √3 / 2 1

cos 1 √3 / 2 1/ √2 1 / 2 0

tg 0 1 /√3 1 √3 ---

cosec --- 2 / 1 √2 2 / √3 1

sec 1 2 / √3 √2 2 ---

cotg --- √3 / 1 1 1 / √3 0

VALORES ELEMENTALES

Obtenga UD. los valores para los ángulos de 180°, 270° y 360° y de 120°, 135°, 240° y 300°Comente los resultados.



A EJERCITAR LO APRENDIDO

1) Transformar los ángulos de grados a rad y viceversa:a) 80º b) 150º c) d) rad 3 rad

4

17

2) Dada la siguiente función trigonométrica, obtenga los valores de las otras funciones.

5

3sen

3) Resolver un triángulo tal que a = 4.5 cm, β =30º y γ = 78º.

4) Resolver un triángulo tal que, α = 50, β = 60º, γ = 70º con el lado a = 10 cm.



7) La rueda de un vehículo tiene un diámetro de 90 cm. ¿Cuántas vueltas da aproximadamente por minuto cuando viaja a 120 km/h?

6) Halla el radio r de una rueda que gira 300 vueltas por minuto impulsada por una correa que se mueve a 45 m/s.

8) ¿Qué ángulo forman las agujas de un reloj a las cuatro y media en punto? Y a las 10:20 hrs.?

Comienzan a alejarse entre sí con un ángulo de 35°; después de media hora de competencia el segundo sufre un calambre. ¿Qué distancia recorrerá el primero para ir en su auxilio y que án gulo tendrá la nueva dirección de este?

5) En una competencia de natación dos amigos parten lanzándole al agua desde una balsa al mismo tiempo, el primero nada a una velocidad promedio de 6 km/h y el segundo a 5 km/h.

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