secuencia de 7º _operaciones_con_naturales

Direccin General de Educacin Primaria Ministerio de Educacin, Ciencia y Tecnologa

Av. Ortiz de Ocampo 1700 La Rioja

Secuencia para 7 Grado: Estudiar la multiplicacin y la divisin

Contenidos que se abordan:

Tal como se expresan en los NAP:

El reconocimiento y uso de las operaciones entre nmero naturales y la explicitacin de sus

propiedades en situaciones problemticas que requieran:

Producir y analizar afirmaciones sobre propiedades de la multiplicacin y la divisin

(distributiva, asociativa,...), y argumentar sobre su validez.

El uso de distintas expresiones simblicas en situaciones problemticas que requieran:

Explorar y explicitar relaciones y propiedades de la multiplicacin y la divisin con

nmeros naturales (distributiva, asociativa,...)

Producir y validar enunciados sobre relaciones y propiedades, avanzando desde las

argumentaciones empricas hacia otras ms generales.

Propsito y comentarios sobre las actividades:

Esta secuencia promueve la profundizacin del anlisis de la multiplicacin y la

divisin, ya no solo como operaciones tiles para resolver cierto tipo de problemas, sino como

objetos matemticos en s mismos. Para ello, se proponen actividades

en las que se centra la atencin sobre la relacin a x b = c (a, b y c naturales) y se

estudia la variacin del producto cuando se modifica el valor de sus factores,

que involucran las propiedades de la multiplicacin,

que incluyen la manipulacin de expresiones con letras que permiten trabajar sobre

argumentos de validez general,

que relacionan los trminos de la divisin (D = c x d + r (0 r d))

que recapitulan lo estudiado y ponen en comn aquellos conocimientos que han

circulado y que es necesario registrar para tenerlos disponibles.

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LLAA EENNSSEEAANNZZAA DDEE LLAASS OOPPEERRAACCIIOONNEESS

CCOONN NNMMEERROOSS NNAATTUURRAALLEESS



Estructura de las secuencias en general

Actividad 1

Actividad 8

Actividad 3

Actividad 4

Actividad 5

Actividad 6

Actividad 7

Actividad 2

Actividad 9

Actividad 10

Actividad 0/11

Recuperacin de saberes previos

Trabajo con saberes especficos

Institucionalizaciones parciales

Institucionalizacin Final

Autoevaluacin

Seguimiento

Comprobar los

avances

Conocer las

herramientas de las

que disponen los

alumnos



Actividad 1: Juego Multiplico y Sumo

Preparen los materiales para este juego con el maestro y organcense en parejas. Necesitan

una calculadora, papel, lpiz, tapitas u otros elementos para contar puntos y seis tarjetas:+ 10,

+100, +1000, x 10, x 100 y x1000.

Reglas del juego: Se colocan las tarjetas con el signo de suma en una pila y las tarjetas con el

signo de multiplicacin en la otra pila, todas boca abajo. Uno de los jugadores dice un nmero

de dos cifras. El otro saca una tarjeta de cada pila y deber, mentalmente, primero multiplicar

el nmero que dijo su compaero por el nmero que indica la tarjeta con x y luego sumarle el

nmero que indica la tarjeta con +; por ltimo, debe anotar en un papel el nmero inicial, las

operaciones que aparecen en las tarjetas y el resultado que haba calculado. Por ejemplo:

Nmero x... +... Resultado

25 x10 +100 350

El primero controla la exactitud del resultado con la calculadora. Si es correcto, le da una tapita

e invierten los roles. Cada jugador juega 5 veces y gana el que sac ms puntos.

Actividad 2: Comparacin de los clculos que aparecieron en el juego

a. Jugando a Multiplico y sumo Jons dijo 34:

Qu transformacin produce multiplicar 34 por 10? Y por 100? Y por 1000? Por

qu?

Qu transformacin produce sumarle 10? Y sumar 100? Y 1000? Por qu?

b. Cambian los resultados si en lugar de Multiplico y sumo el juego fuera Sumo y

multiplico?

Por ejemplo, multiplicar primero por 100 y despus sumar 10, da lo mismo que sumar

primero 10 y despus multiplicar por 100? Por qu?

Si quiero obtener el nmero ms grande posible, qu conviene hacer primero,

sumar 100 o multiplicar 100? Por qu?

c. Algunos de estos clculos dan el mismo resultado? Cmo pueden anticipar su respuesta

antes de saber cunto dan las cuentas?

56 + 10 x 100= 56 x 100 + 10= (56 + 10) x 100= 56 x (100 + 10)= 56 + 100 x 10= 56 x 10 + 100= 56 x (10 + 100)= (56 + 100) x 10=

d. Registren en sus carpetas cmo se modifica un nmero al sumar o multiplicar por la

unidad seguida de ceros y en qu casos se usan los parntesis cuando se combinan en un

clculo una multiplicacin o una suma.

Si en un clculo se combinan una multiplicacin y una resta, valen las mismas

conclusiones?



Actividad 3: Baldosas con Propiedades

I. Una terraza rectangular tiene 34 filas de 22 baldosas cada una.

a. Si se duplican la cantidad de filas y la cantidad de baldosas por fila, se duplica la

cantidad total de baldosas?

b. Si la cantidad de baldosas del largo y del ancho se triplican, se triplica la cantidad

total de baldosas? Por qu?

c. Teniendo en cuenta los dos casos anteriores, Qu sucedera si el patio fuese de

996 filas de 20 baldosas cada una? Y de 42 filas de 112 baldosas?

d. Llegaste a una conclusin? Ennciala.

II. Una terraza rectangular se cubri exactamente con 1200 baldosas iguales.

a. Cuntas baldosas de las mismas se necesitan para cubrir otra terraza, que tenga

el doble del ancho y el doble del largo que la anterior? Cmo la averiguaste?

b. Comparen sus clculos con los de otros compaeros, hay otras formas de resolver

y obtener el mismo resultado? Cules?

c. Qu ventajas y desventajas tiene cada estrategia? Si tuvieses que elegir una de

ellas, cul seleccionaras y por qu?

Actividad 4: Las letras como recurso para estudiar sobre la multiplicacin

I. El producto de dos nmeros naturales es 924. A partir de este dato, es posible conocer el

producto del doble del primero por el triple del segundo? Si piensas que si, indica el

resultado y explica cmo lo obtuviste; si piensas que no, explica por qu.

II. Se sabe que a x b = 450 (a y b son nmero naturales, pero no se conoce el valor de cada

uno de ellos)

a. Qu valores podran tener los nmeros a y b?

b. Se podr saber cul es el resultado del doble del primero por el triple del

segundo?

c. Cambiara la respuesta si se consideran distintos pares de nmeros? Por qu?

d. Marcos, concluy: no se puede responder el tem b si no se conocen los valores

de a y b, ya que al intentar resolver 2 x a x 3 x b no encuentra solucin posibles.

Cmo orientaras a Marcos? Qu propiedades de la multiplicacin permiten

resolver la situacin?

Tarea:

Se sabe que 23 x 48 = 1104. Sin hacer los clculos y utilizando el resultado que se brinda, explica

cmo puede saberse el producto de la multiplicacin del doble de 23 por el triple de 48.



Actividad 5: Otras Propiedades de la Multiplicacin

I. Se sabe que a x b = 240 (a y b son nmero naturales, pero no se conoce el valor de cada

uno de ellos)

a. Se podr saber cul es el resultado si se suma 1 al primer nmero y luego se lo

multiplica por el segundo?

b. Qu opinas de lo que hizo este chico para resolver el problema? Ests de

acuerdo? Por qu?

II. Se sabe que a x b = 500. Se podr saber cul es el resultado si se resta 1 al primer nmero

y se multiplica por el segundo? Intenta responder sin hacer pruebas con distintos valores

para a y b.

III. Determina si es posible averiguar los siguientes productos a partir de saber que a x b = 65.

a x (b + 1) =

5 x a x b =

5 x a x 4 x b =

a x (b x 10) =

a x (b - 1) =

a x (a x b) x b =

IV. Compara tus respuestas con las de otros compaeros. Qu propiedades de la

multiplicacin usaron para resolver la situacin anterior?

Tarea:

Mira para atrs En qu problemas se necesita conocer los valores de los factores y en cual alcanza

con saber solamente el valor del producto de esos factores para poder resolverlos?



Actividad 6: Clculos en el Congreso

Para el prximo ao, se prev la realizacin de un congreso nacional al que se espera que

asista un gran nmero de personas, que provienen de todas partes del pas. Imagina que

formas parte del equipo organizador de dicho evento, y que les encargan la tarea de trasladar

625 asistentes desde el hotel hasta el lugar donde se llevarn a cabo las actividades

programadas. La empresa de transporte dispone de autobuses con capacidad para 45

personas, que slo se movilizan si estn completos.

a. Podrn trasladarse todas las personas? En tal caso, cuntos autobuses se

necesitarn?

b. En caso contrario, cuntos pasajeros se necesitaran para completar el pasaje?

Actividad 7: Dividir con calculadora

I. Para usar bien la calculadora es muy importante estimar antes el resultado para poder

decidir si lo que observamos en el visor es razonable. A veces las teclas no funcionan del

todo bien, o marcamos los nmeros muy rpido y no se marca alguno o se marca doble.

a. Decide, sin hacer la cuenta, si estas estimaciones te parecen adecuadas:

6.570 : 38 = 38 x2 76x2 152x2 304

Treinta y ocho por ocho, da 304, por 80 tres mil y otros tres mil y trescientos ms.

Debe dar como 168.

45.863 : 75 =

dos veces 75, ciento cincuenta, 20 veces 1500, 200 veces 15000.

El resultado debe ser 200, ms 200, ms de 600.

b. Compara estas dos formas de estimar. Cul te parece mejor? Por qu?

64.543 : 380

A: es como 66.000 : 400, 660 : 4, cerca de 160.

B: 380 x2 760 x2 1520 x2 3.040

x 80 30.400 con 160 da 60.800, ms de 168

c. Resuelve las cuentas anteriores con la calculadora y obtn la diferencia entre los

resultados y las estimaciones. Cules estuvieron ms cerca?



Actividad 8: Ensayamos divisiones

I. Propn una cuenta de dividir que tenga divisor 15, cociente 3 y resto 7.

a. Hay una sola?

b. Encuentra todas las que puedas.

II. Propn una cuenta de dividir por 23, con resto 8.

a. Qu elementos que intervienen en la divisin faltan?

b. Hay una sola respuesta? Compara tus clculos con los de sus compaeros.

c. Encuentra todas las que puedas.

III. Son iguales los problemas I y II? Por qu?

IV. a. Completa la tabla con valores posibles de dividendo y cociente para una cuenta en la

que el divisor es 15 y el resto es 6.

Cociente 1 2 3 4 5 6

Dividendo

b. Cul podra ser el cociente para que el dividendo sea mayor que 1000?

c. Cul es el mayor dividendo que podes encontrar?

d. Escribe un mtodo que sirva para encontrar dividendos a partir de asignarle

valores al cociente para el caso a.

e. Podras encontrar una expresin general que represente los clculos realizados?

Actividad 9: Abrimos la discusin

I. Propn una cuenta de dividir en la que el divisor sea 4 y el cociente sea 10 Hay una sola

cuenta? Encuentra todas las que puedas.

II. Propn una cuenta de dividir en la que el cociente sea 15 y el resto sea 6. Encuentra todas

las cuentas posibles que cumplan esta condicin.

III. Cmo se puede aprovechar el mtodo y expresin general que inventaron en el tem IV

de la actividad 8 para resolver el problema II?

Tarea:

Encuentra cuentas de dividir que cumplan, con las siguientes condiciones. Establece cuantas

soluciones tiene el problema en cada caso.

a. Divisor = 8; cociente = 6

b. Cociente = 9; resto = 5

c. Dividendo = 65; cociente = 2; resto = 5



IV. Analiza si son ciertas las siguientes afirmaciones:

a. En el problema I, si pones 0 para el resto, te da dividendo 40, si pones 1 para el

resto te da dividendo 41; si pones 2, te da 42, etc. As podes seguir poniendo

cualquier valor al resto y calculando el dividendo.

b. Si en el problema 1 pones un resto cualquiera, por ejemplo, 15, te da dividendo

55. Pero si haces 55: 4, no te da 10 el cociente.

V. Cul es el menor dividendo que podes encontrar para el problema I? Y el mayor? Por

qu?

VI. Es posible encontrar una cuenta de dividir en la que el cociente sea 11, el dividendo sea

46 y el resto sea 4? Por qu?

Actividad opcional: A calcular sin lpiz ni papel!

Resuelve las siguientes actividades:

Sabiendo que:

12 x 10 = 120

12 x 100 = 1200

12 x 1000 = 12000

12 x 10000 = 120000

Decide si:

o 130:12 dar un nmero mayor, menor o igual que 10.




Actividad N 10: Mirar lo que aprendimos:

a) Qu actividades te resultaron ms fciles?

b) Cules te costaron ms?

c) Cules son las propiedades de las operaciones que ya conocas y pudiste utilizar? Escribe

esas propiedades de la manera ms sinttica que puedas.

d) Cmo podes darte cuenta al mirar un clculo resuelto, si se aplic la propiedad

distributiva? Y la asociativa? Y la conmutativa?

e) Aprendiste alguna forma nueva de hacer clculos o de estimar resultados? Cules?

f) Te sents cmodo usando calculadora? Y resolviendo mentalmente?

g) Tendras que repasar algo ms para resolver multiplicaciones y divisiones y poder

controlar si el resultado es correcto? Explicita.



Actividad o/11 Qu sabemos?

I. Tenemos una calculadora y la tecla 4 no funciona, a) Cmo puedes usarla para realizar las siguientes cuentas?

19 x 14= 440: 50 = 94 x 48 =

b) Qu propiedad te permiti hallar los resultados?

II. Lee atentamente los dilogos y explica cmo pueden haber resuelto los clculos

mencionados, sin hacer las cuentas:

a)-

b)

III. a) Se sabe que 35 x 27 = 945. Utilizando slo el resultado explica cmo se puede averiguar el resultado del doble de 35 por el triple de 27.

b)-Teniendo en cuenta que 7 x 13 = 91, aplica propiedades para mostrar que

35 x 26 = 91 x 10

c) Indica qu propiedades aplicaste en b)

IV. El producto entre dos nmeros es 62.460, Cunto vale el triple del primero por el cudruple del segundo?, se puede contestar esta pregunta sin conocer cada uno de los nmeros? Si la respuesta es afirmativa, indica que propiedades usas.

V. Cuntas cuentas de dividir se pueden inventar que den 25 con resto 11?

VI. a) Sin realizar las cuentas, estima cuntas cifras tendr el cociente en cada caso:

1.530 : 26 3286: 528 4825: 249 2430:31

b) Explica que procedimientos empleaste

VII. Para dividir 2438 por 8 un alumno hizo 2.438 : 2 y obtuvo 1.219, cmo seguiras este clculo?

Es fcil

1485!

15 x 99?

2800!

25 x 28 x 4



Bibliografa:

Broitman, C. Grimaldi, V. y Ponce, Hctor Estudiar Matemtica en 7. Ed. Santillana. Buenos

Aires. 2007

Daz, Adriana Aventura Matemtica 7/1. Ed. AIQUE. Buenos Aires. 2010.

Barallobres, G. Daz, Adriana Matemtica 7. Ciencia en Foco. Ed. AIQUE. Buenos Aires.

2007.

Barallobres, G. - Chara, S. Schaposchnik, R. Chemello, G. Matemtica 6. Carpeta de

Actividades. Ed. AIQUE. Buenos Aires. 2007.

Chemello, G. Agrasar, M. Entre Nivel Primario y Nivel Secundario. Una propuesta de

Articulacin. Ministerio de educacin. CABA: 2010.

secuencia de 7º _operaciones_con_naturales

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