secuencia 27 eventos independientes - telesecundarias de... · 166 libro para el maestro propósito...

166 L ib ro para e l maest ro

Propósito de la sesión. Definir cuáles eventos son independientes y conocer la forma en que se determinan.

Descripción del video. Se presentan diferentes ejemplos de situaciones de azar en que se dan eventos independientes. Se recomienda ver el video antes de comenzar con la actividad del libro, pues se muestran de inicio ejemplos muy sencillos en donde la independencia de los eventos es evidente y se concluye presentando situaciones en donde no es claro que lo sean.

Sugerencia didáctica. Dé unos minutos para que los alumnos comenten qué es una situación de azar, cuáles conocen y qué conceptos recuerdan de los estudiados en otras secuencias que abordan el tema.

Tal vez, algunos alumnos le propongan los experimentos de lanzar una moneda, lanzar un dado o lanzar un par de dados. Si esto ocurre seria conveniente que hiciera notar a los alumnos que, por ejemplo, el espacio muestral de una moneda es águila o sol (o tal vez acostumbren a decir, cara o cruz), el de un dado son los números del 1 al 6. Cuando les pida que definan algunos eventos relacionados con este último experimento, debe tener cuidado con eventos como: “la suma de los números de las caras superiores de los dados es 7” y “los números de las caras superiores de los dados que caen son iguales”, porque estrictamente hablando cuando sumamos los números de las caras superiores de los dados, los resultados posibles pueden ser 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 y estamos obteniendo un espacio muestral distinto pero equivalente al experimento, pero se recomienda utilizar el que tiene los números que caen en cada cara como se utiliza en el problema 2 del apartado Lo que aprendimos.

Pídales también que opinen sobre lo que se plantea en el Para empezar, ¿creen que después de caer un 6 es más probable que caiga un número entre 1 y 5?

Propósito de la actividad. La situación que se presenta corresponde a dos experimentos aleatorios simples que la mayoría de los alumnos conoce (lanzar un dado y lanzar una moneda). A partir de dichos experimentos se pretende introducir un concepto nuevo: al lanzar una moneda y un dado al mismo tiempo, el resultado de uno no afecta al otro, por eso se les llama eventos independientes. Este concepto, que podría parecer sencillo, puede de hecho ser difícil de comprender para algunos alumnos, por lo que es importante que no les comente en este momento que el resultado de uno no afecta el resultado de otro. Conforme vayan resolviendo la sesión irán avanzando hacia ese sentido.

150

secuencia 27

En está secuencia aprenderás a distinguir cuando dos o más eventos son independientes en una situación de azar.

¿CUÁLES SON LOS EVENTOSINDEPENDIENTES?Para empezar¿Cuándo dos eventos son independientes?

Tal vez cuando juegas a lanzar un dado y cae varias veces seguidas un mismo valor, por ejemplo el número 6, has escuchado decir a alguna persona que si lanzas de nuevo el dado, lo más probable es que caiga cualquier otro número entre 1 y 5. Otros dirán que volverá a caer 6. ¿Será cierto esto? ¿Acaso el dado tiene memoria y recuerda el último resultado?

Consideremos lo siguienteSi se realiza el experimento:

Lanzar una moneda y un dado, al mismo tiempo, y observar la figura y el número de las caras superiores que caen en la moneda y en el dado.

a) ¿Cuáles de los siguientes resultados corresponden al experimento anterior? Már-quenlos con una .

SESIóN 1

Eventosindependientes

b) ¿Cuántos resultados posibles hay en este experimento?

MAT2 B4 S27.indd 150 9/10/07 12:41:45 PM

Eje

Manejo de la información.

Tema

Análisis de la información.

Antecedentes

Los alumnos conocen la noción de resultados equiprobables, han enumerado los resultados posibles en situaciones aleatorias y expresado su probabilidad. Ahora se pretende que determinen cuándo dos o más eventos son independientes y que calculen su probabilidad.

Sugerencia didáctica. Las preguntas de este apartado tienen la intención de ayudar al alumno a recordar qué es un experimento aleatorio, cuál es el espacio muestral del experimento y a leer de diferentes maneras los resultados. Usted puede ayudarles recordándoles los conceptos que estudiaron primer grado en la secuencia 24 Nociones de Probabilidad, en especial la sesión 2.

Respuestas.

a) Los que corresponden son aquellos en los que se muestran posibles resultados al lanzar una moneda y un dado al mismo tiempo.

b) Hay doce posibles resultados, sin embargo, lo importante no es que los alumnos sepan exactamente cuántos son sino que empiecen a reflexionar sobre el experimento, así que permita que den resultados aproximados como "me imagino que pueden ser tantos".

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151

IIMATEMÁTICASc) ¿Qué tienen en común los siguientes pares de resultados que se obtienen al lanzar

la moneda y el dado? Anótenlo sobre la línea de la derecha.

y

y

Al lanzar al mismo tiempo la moneda y el dado, tres eventos que se pueden observar son:

A: “en la moneda cae águila”.

B: “en el dado cae 1”.

C: “en la moneda cae águila y en el dado cae 1”.

a) Si al realizar una vez el experimento en la moneda cae águila y en el dado cae 2,

¿a cuál de los tres eventos es favorable este resultado?

b) ¿Cuál es un resultado favorable al even-

to B?

c) ¿Cuántos resultados son favorables al

evento C: “en la moneda cae águila y en

el dado cae 1”?

d) ¿Cuál es la probabilidad del evento C?

e) En el experimento de lanzar al mismo tiempo la moneda y el dado, consideran que

si en la moneda cae águila afecta el resultado que cae en el dado. ¿Por qué?

Manos a la obraI. Completen el siguiente diagrama de árbol que corresponde a todos los resultados

posibles del experimento: lanzar una moneda y un dado, al mismo tiempo.

Recuerden que:

Para obtener la probabilidad clásica de un evento

se requiere conocer el número total de resultados

posibles que se pueden obtener en el experimento

y el número de resultados favorables del evento.

P(E) = número de resultados favorables del evento

número total de resultados posibles

MAT2 B4 S27.indd 151 9/10/07 12:41:49 PM

Propósitos de la secuencia Distinguir en diversas situaciones de azar eventos que son independientes. Determinar la forma en

que se puede calcular la probabilidad de ocurrencia de dos o más eventos independientes.

Sesión Propósitos de la sesión Recursos

1¿Cuáles son los eventos independientes? Determinar cuándo dos eventos son independientes y conocer la forma en que se determinan.

Video ¿Cuándo dos eventos son

independientes?

2Dos o más eventos independientes Determinar cuándo dos o más eventos son independientes.

3Eventos independientes y dependientes Distinguir entre eventos independientes y dependientes.

Interactivo Diagrama de árbol

Eventos independientes Frecuencia y probabilidad Programa integrador 22

Respuesta.

c) En el dado cae 3, en la moneda cae águila.

Propósito de la actividad. Un aspecto importante que deben aprender los alumnos a lo largo de esta sesión es que están trabajando con un experimento compuesto por dos objetos, el dado y la moneda, y si bien los dos primeros eventos (A y B) se han definido a partir de uno de ellos no significa que solamente se observan los resultados de ese objeto y se olvida el otro. Por ejemplo, el evento A tiene seis resultados posibles que son favorables a él (son todos los resultados posibles en que la moneda cae águila y en el dado cae uno de los seis números de las caras). Observe que los resultados son (águila, 1), (águila, 2), etc., y no se separan. Otro ejemplo de un evento como A y B es: “en el dado cae un número par”, los resultados favorables son: (águila, 2), (águila,4) ,(águila, 6), (sol, 2), (sol, 4), (sol,6). Si sus alumnos contestaron el inciso b) del apartado Consideremos lo siguiente tomando en cuenta sólo el resultado del dado (cae 1) y olvidándose del resultado de la moneda; cuando completen el diagrama de árbol (actividad I del apartado Manos a la obra) enfatice la importancia de considerar a los dos objetos pues juntos forman el experimento.

Respuestas.

a) Al evento A.

b) Que en el dado caiga 1 y en la moneda caiga sol. También que en el dado caiga 1 y en la moneda águila.

c) Uno.

d) 112

e) No, no influye, pero tal vez algunos alumnos piensen que sí. Pídales que justifiquen sus respuestas y anote en el pizarrón los diferentes argumentos para que al final de la sesión los comparen.

Propósito de la actividad. En esta actividad los alumnos utilizarán el diagrama de árbol como un recurso para enumerar los resultados del experimento. Una vez que se tiene el espacio muestral se determinan las probabilidades de los eventos.

Propósito del interactivo. Utilizar el diagrama de árbol como técnica de conteo en la resolución de problemas.

Sugerencia didáctica. Si lo considera oportuno puede ocupar el interactivo Diagrama de árbol en la opción Colecciones diferentes para construir el diagrama completo.


152

secuencia 27

a) En total para este experimento, ¿cuántos resultados posi-

bles hay?

b) ¿En cuántos de esos resultados posibles en la moneda cae

águila? Marquénlos con color rojo en el diagrama

c) En este experimento, ¿cuál es la probabilidad del evento

A: “en la moneda cae águila”?

P(A) = número de resultados favorables del eventonúmero total de resultados posibles

=

Recuerden que: Todos los resultados sencillos posibles de un experimento forman el espacio muestral o espacio de resultados y se puede presentar en forma de diagrama de árbol o arreglo rectangular.

Cuando se considera alguno o algunos de los resultados posibles se define un evento.Por ejemplo, si se lanza un dado en el que todas sus caras tienen la misma probabilidad de caer y se observa el número que cae en la cara superior, dos eventos que se pueden definir son: “cae 4” y “cae un número par”.

Los resultados favorables de cada evento, respectivamente, son: {4} y {2,4,6}.Cuando se combinan dos eventos como los anteriores, al nuevo evento se le llama evento compuesto. Por ejemplo, el evento: “cae 4 y es un número par”.

Moneda Dado

Águila

Sol

Águila, 1

Sol, 1

1

2

3

1

2

3

d) ¿En cuántos de los resultados posibles en el dado cae 1? Márquenlos con color

azul en el diagrama

e) ¿Cuál es la probabilidad del evento B: “en el dado cae 1”?

P(B) = número de resultados favorables del eventonúmero total de resultados posibles

=

f) ¿En cuántos de los resultados posibles la moneda cae en águila y el dado en 1, es

decir, caen águila y 1, al mismo tiempo?

Resultadosposibles

Lanzaruna moneda y

un dado al mismo tiempo

MAT2 B4 S27.indd 152 9/10/07 12:41:50 PM

Respuestas.

a) 12

b) En 6.

c) 612

= 12

d) En dos, (águila,1) y (sol,1).

e) 212

= 16

f) En uno, (águila,1).

Águila, 2 Águila, 3

4 Águila, 45 Águila, 56 Águila, 6

Sol, 2 Sol, 3

4 Sol, 45 Sol, 56 Sol, 6


153

IIMATEMÁTICASg) ¿Cuál es la probabilidad del evento C: “en la moneda cae águila y en el dado cae 1”?

P(C) =

h) Multipliquen las probabilidades de los eventos: “en la moneda cae águila” y “en el dado cae 1”.

P(A) × P(B)= × =

i) Comparen el valor de la probabilidad del evento C: “en la moneda cae águila y en el dado cae 1” con el producto de las probabilidades de los dos eventos que obtuvieron en el inciso anterior. ¿Son iguales o diferentes?

P(en la moneda cae águila y en el dado cae 1) P(en la moneda cae águila) ×

P(en el dado cae 1) = P(C) P(A) × P(B)

A lo que llegamosSe dice que dos eventos son independientes si la ocurrencia de uno de los eventos no afecta al valor de la probabilidad de ocurrencia del otro. Por lo que, la probabilidad de que los dos eventos ocurran simultáneamente es igual al producto de la probabilidad de un evento por la del otro.

Comparen sus resultados.

De acuerdo con lo que leyeron en el apartado A lo que llegamos, ¿son independientes los

eventos: “en la moneda cae águila” y “en el dado cae 1”?

II. Nuevamente, consideren el experimento:

Lanzar una moneda y un dado, al mismo tiempo, y. observar la figura y el número de las caras superiores que caen en la moneda y en el dado.

También, utilicen el diagrama de árbol que completaron en la actividad anterior y contesten las siguientes preguntas:

Uno de los eventos que se puede considerar al realizar el experimento, es: “en la mo-neda no cae águila”.

a) ¿Cuáles son todos los resultados favorables a este evento?

b) ¿Qué tienen en común todos esos resultados que anotaron?

c) ¿Cuál es la probabilidad del evento: “en la moneda no cae águila”?

P(en la moneda no cae águila) = número de resultados favorables del eventonúmero total de resultados posibles

=

MAT2 B4 S27.indd 153 9/10/07 12:41:51 PM

Respuestas.

g) 112

h) 12

× 16

= 112

i) Son iguales.

Posibles dificultades. Esta afirmación puede ser confusa para los alumnos. Use como ejemplo lo que acaban de hacer en el apartado Manos a la obra:

En el inciso g) calcularon la probabilidad del evento “caer águila y caer 1” a partir del diagrama de árbol, en el inciso h) multiplica-ron la probabilidad de “caer águila” por la probabilidad de “caer 1” y vieron que en ambos casos se obtiene 1

12 . Cuando la probabilidad del evento compuesto (“cae águila y cae 1”) es igual a la que se obtiene al multiplicar la probabilidad de los eventos simples (“cae águila” y “cae 1”), se dice que son esos eventos son independientes.

También pueden fijarse en cuántos resultados en el diagrama de árbol están marcados de rojo y azul a la vez. Se darán cuenta de que únicamente el resultado (águila,1) tiene los dos colores.

Propósito de la actividad. Ahora los alumnos trabajarán con los eventos complementarios de la actividad anterior, que también son indepen-dientes.

Respuestas.

a) Son 6, todos los resultados en los que ocurre el evento “cae sol”.

b) En la moneda cae sol.

c) 612

o 12

•

•


154

secuencia 27d) Si reúnen los resultados favorables de los eventos: “en la moneda cae águila” y “en

la moneda no cae águila”, en total, ¿cuántos resultados tienen?

e) Sumen las probabilidades de los eventos: “en la moneda cae águila” y “en la mo-

neda no cae águila”.

P(en la moneda cae águila) + P(en la moneda no cae águila)= + =

Otro evento que también pueden observar al realizar el experimento, es

“en el dado cae un número diferente de 1”

f) ¿Cuáles y cuántos son todos los resultados favorables a este evento?

g) ¿Cuál es la probabilidad del evento: “en el dado cae un número diferente de 1”?

P(en el dado cae un número diferente de 1) = número de resultados favorables del eventonúmero total de resultados posibles

=

h) Si reúnen los resultados favorables de los eventos: “en el dado cae 1” y “en el dado

cae un número diferente de 1”, en total, ¿cuántos resultados tienen?

i) Sumen las probabilidades de los eventos: “en el dado cae 1” y “en el dado cae un

número diferente de 1”.

P(en el dado cae 1) + P(en el dado cae un número diferente de 1)= + =

A lo que llegamosEn el caso del experimento:

Lanzar al mismo tiempo una moneda y un dado y observar la figura y el número de las caras superiores que caen en la moneda y en el dado.Se dice que el evento “en el dado cae un número diferente de 1” es complemento del evento “en el dado cae 1”, porque todos los resul-tados favorables del primer evento son diferentes a los resultados favorables del segundo evento y al reunirlos forman el espacio mues-tral del experimento.

Por ejemplo: Al realizar una prueba, “fracaso” es el complemento del evento “éxito”; en el lanzamiento de una moneda, “caer águila” es el complemento de “caer sol”; en 10 lanzamientos de una moneda, “al menos una águila” es el complemento de “ninguna águila”.

Todo evento tiene un evento complementario y la suma de sus proba-bilidades es igual a 1.

MAT2 B4 S27.indd 154 9/10/07 12:41:51 PM

Sugerencia didáctica. Pregunte a los alumnos cuál sería el evento complementario de:

Caer 5 en un dado de seis caras.

No caer 5 en un dado de seis caras.

Que llueva.

Sacar 10 en al menos uno de los cinco exámenes.

Analicen el último ejemplo porque puede ser difícil saber cuál es el evento complementario cuando dice “al menos en…”. Pueden hacer un diagrama de árbol para averiguar cuál es el espacio muestral y obtener así el evento complementario.

•

•

•

•

Respuestas.

d) Son doce, todos los resultados posibles.

e) 12

+ 12

=1

f) Son diez, (águila,2), (águila,3), (águila,4), (águila,5), (águila,6), (sol,2), (sol,3), (sol,4), (sol,5), (sol,6).

g) 1012

o 56

h) Doce, son todos los resultados posibles.

i) 16

+ 56


155

IIMATEMÁTICASIII. En la actividad I del apartado Manos a la obra de esta sesión, dos eventos que se

observaron fueron:

“En la moneda cae águila” y “en el dado cae 1”.

Y encontraron que son eventos independientes.

En la actividad II del apartado Manos a la obra de esta sesión, trabajaron con los complementos de estos dos eventos:

“En la moneda no cae águila” y “en el dado no cae 1”.

a) ¿Creen que estos nuevos eventos son independientes?

¿Por qué?

El evento “en la moneda no cae águila es equivalente a “en la moneda cae sol” y el even-

to “en el dado no cae 1” es equivalente a “en el dado cae un número diferente que 1”.

b) ¿Cuál es el producto de la probabilidad del evento: “en la moneda cae sol” y del

evento: “en el dado cae un número diferente de 1”?

P(en la moneda cae sol) × P(en el dado cae número diferente de 1) = × =

c) Comparen la probabilidad del evento “en la moneda cae sol y en el dado cae un número diferente de 1” con el producto de las probabilidades de los dos eventos que obtuvieron en el inciso b).

P(en la moneda cae sol y en el dado cae un número diferente de 1) P(en la moneda cae sol)

× P(en el dado cae un número diferente de 1)

¿Son iguales o diferentes?

d) ¿Son independientes los eventos: “en la moneda cae sol” y “en el dado cae un

número diferente de 1”?

Lo que aprendimos1. Considera el experimento y el diagrama de árbol que completaste en la sesión 1 de

esta secuencia para contestar las siguientes preguntas.

Experimento: Lanzar una moneda y un dado, al mismo tiempo, observar la figura y

el número de las caras superiores que caen en la moneda y en el dado.

Si ahora consideras los eventos:

“En la moneda cae sol”.

“En el dado cae 1”.

“En la moneda cae sol y en el dado cae 1”.

MAT2 B4 S27.indd 155 9/10/07 12:41:52 PM

Sugerencia didáctica. Nuevamente pida a sus alumnos que se apoyen en el diagrama de árbol para identificar los resultados favorables a los eventos que se definen en estas preguntas.

Respuestas.

a) Sí son independientes porque la ocurrencia de uno de los eventos no depende de la del otro. Eso puede verificarse multiplicando las probabilidades de cada evento simple y comparando el resultado con la probabilidad del evento compuesto (que es lo que harán en seguida). Sin embargo, permita que los alumnos opinen al respecto y sigan contestan-do.

b) 612

× 1012

= 60144

= 512

, o bien, 12

× 56

= 512

.

c) Son iguales.

d) El que las probabilidades que se calcularon en el inciso c) sean iguales quiere decir que el evento “en la moneda cae sol” y el evento “en el dado cae un número diferente de 1”, son independientes.

Sugerencia didáctica. Si lo considera conveniente pida a sus alumnos que copien el diagrama de árbol en sus cuadernos y que marquen los eventos que se señalan a continua-ción para que cuenten los resultados favorables y puedan determinar las probabilidades.


156

secuencia 27

SESIóN 2

a) ¿Son independientes los eventos: “en la moneda cae sol” y “en el dado cae 1”?

¿Por qué?

Si los eventos a considerar son:

“En la moneda cae águila”.

“En el dado cae un número diferente de 1”.

b) ¿Son independientes los eventos: “en la moneda cae águila” y “en el dado cae un

número diferente de 1”? ¿Por qué?

DOS O mÁS EVENTOS INDEPENDIENTESConsideremos lo siguienteRealicen el siguiente experimento y contesten las preguntas que se plantean.

Lancen al mismo tiempo dos monedas al aire y observen el resultado.

Anoten el resultado que obtuvieron en el siguiente recuadro:

Moneda 1 Moneda 2

Comparen sus resultados con sus compañeros.

a) Escriban en la siguiente tabla los resultados diferentes que obtuvieron:

Moneda 1 Moneda 2

Si definimos los eventos:

A: “Cae sol en la primera moneda”.

B: “Cae sol en la segunda moneda”.

C: “Cae sol en ambas monedas”.

Recuerden que:

En el experimento de lanzar dos

monedas al aire y observar el

resultado, se están considerando

dos monedas en las que sus caras

tienen la misma probabilidad de

ocurrir, es decir, son equiprobables.

En general, cuando en un

experimento de azar ocurre lo

anterior, se dice que las monedas

son no trucadas o legales.

MAT2 B4 S27.indd 156 9/10/07 12:41:53 PM

Respuestas.

a) La probabilidad del evento “en la moneda cae sol” es 1

2 , la probabilidad del evento “en el dado cae 1” es 1

6 , la probabilidad del evento “en la moneda cae sol y en el dado cae 1” es 112 . Como 1

2 × 16 = 1

12 se puede afirmar que los eventos son independientes.

b) La probabilidad del evento “en la moneda cae águila” es 1

2 , la probabilidad del evento “en el dado cae un número diferente de 1” es 5

6 , la probabilidad del evento “en la moneda cae águila y en el dado cae un número diferente de 1” es 5

12 . Como 12 × 5

6 = 512 se puede

afirmar que los eventos son independientes.

Propósito de la sesión. Determinar cuándo dos o más eventos son independientes.

Propósito de la actividad. Aparentemente distinguir si dos o más eventos son independien-tes es sencillo, solamente hay que multiplicar las probabilidades de cada evento simple y comparar el producto con la probabilidad del evento compuesto para ver si son iguales; sin embargo hay situaciones en las que no es tan evidente. En esta sesión los alumnos utilizarán las monedas y los dados por separado porque cuando los experimentos se realizan con una misma moneda o dado es más difícil distinguir que el resultado de cada lanzamiento es independiente del anterior.

Sugerencia didáctica. Es importante que realicen los experimentos para que las actividades no consistan sólo en hacer cálculos; por otra parte, puede pedirles que anticipen sus resultados preguntándoles cosas como ¿qué creen que va a salir al lanzar las dos monedas?, ¿si en la primera cae águila qué creen que va a caer en la segunda?, ¿qué resultado creen que sea más probable (águila,águila) o (águila,sol)?

Posibles resultados. Aunque hay sólo cuatro posibles resultados, es posible que los alumnos consideren resultados repetidos. Cuando terminen la actividad I del apartado Manos a la obra regresen a esta tabla y corrijan si fuera necesario.


157

IIMATEMÁTICASb) ¿Consideran que si cae sol en la primera moneda, este resultado afecta la ocurren-

cia o no ocurrencia del resultado de la segunda moneda?

¿Por qué?

Manos a la obraI. Completen el siguiente diagrama de árbol con los resultados diferentes que pueden

obtenerse al lanzar dos monedas al aire.

a) En total, ¿cuántos resultados posibles hay?

b) Si en la primera moneda cae sol, ¿qué resultados pue-

den caer en la segunda moneda?

c) ¿Cuántos resultados favorables hay para el evento: “cae

sol en la primera moneda”?

d) Si en la segunda moneda cae águila, ¿qué resultados

pueden caer en la primera moneda?

e) ¿Cuántos resultados favorables hay para el evento: “cae

sol en la segunda moneda”?

f) ¿Cuál es la probabilidad del evento: “caer sol en la primera moneda”?

P(caer sol en la primera moneda) =

g) ¿Cuál es la probabilidad de “caer sol en la segunda moneda”?

P(caer sol en la segunda moneda) =

ÁguilaA12

SolS

Lanzar dos monedas

ÁguilaA12

ÁguilaA

(A,A)

Moneda 1 Moneda 2 Resultadosposibles

Recuerden que:

Dos eventos son independientes si la

ocurrencia de uno de los eventos no

afecta al valor de la probabilidad de

ocurrencia del otro. Por lo que la

probabilidad de que los dos eventos

ocurran simultáneamente es igual al

producto de la probabilidad de un

evento por la del otro.

MAT2 B4 S27.indd 157 9/10/07 12:41:53 PM

Sugerencia didáctica. Acepte dos o tres intervenciones de los alumnos y anote algunas respuestas en el pizarrón para recuperarlas al final de la sesión.

Respuestas.

a) Cuatro.

b) Águila o sol.

c) Hay dos resultados posibles.

d) Águila o sol.

e) Hay dos resultados posibles.

f) 24

= 12

g) 24

= 12


Sugerencia didáctica. Si lo considera oportuno puede ocupar el interactivo Diagrama de árbol, Opciones iguales para construir el diagrama completo.

SolS12

12

SolS12

(A, S)

(S, A)

(S, S)


158

secuencia 27h) ¿Cuántos resultados favorables hay para el evento: “cae sol en la primera moneda

y sol en la segunda moneda”, es decir, “cae sol en ambas monedas”?

i) ¿Cuál es la probabilidad del evento: “cae sol en ambas monedas”?

P(cae sol en ambas monedas) =

j) Multipliquen las probabilidades de los eventos: “cae sol en la primera moneda” y

“cae sol en la segunda moneda”.

P(cae sol en la primera moneda) × P(cae sol en la segunda moneda) =

× =

k) Comparen la probabilidad del evento: “cae sol en ambas monedas” con el produc-

to de las probabilidades de los dos eventos que obtuvieron en el inciso anterior.

¿Son iguales o diferentes?

¿Son independientes los eventos: “cae sol en la primera moneda” y “cae sol en la

segunda moneda”?

ii. Ahora, realicen el siguiente experimento:

Lancen una moneda dos veces al aire y observen la sucesión de águila y sol que ob-

tienen.

a) Anoten el resultado que obtuvieron al realizar el experimento en el siguiente recuadro:

Primer lanzamiento Segundo lanzamiento

b) Comparen sus resultados con sus compañeros.

Escriban en la siguiente tabla los resultados diferentes que obtuvieron en su grupo.

Primer lanzamiento Segundo lanzamiento

MAT2 B4 S27.indd 158 9/10/07 12:41:54 PM

Respuestas.

h) Uno.

i) 14

j) 12

× 12

= 14

k) Las probabilidades son iguales, por lo tanto, el evento “en la primera moneda cae sol” y el evento “en la segunda moneda cae sol” son independientes.

Propósito de la actividad. Se pretende que los alumnos identifiquen que lanzar dos monedas no trucadas al aire es equivalente a lanzar dos veces una misma moneda. También es importante que sepan que el evento “en el primer lanzamiento cae sol” es independiente del evento “en el segundo lanzamiento cae sol”. Con esta actividad aprenderán que en este tipo de experimentos (aleatorios que se repiten en las mismas condiciones) el producto de las probabilidades de los eventos es una potencia en la que el exponente es el número de veces que se repite el experimento o el número de objetos que se lanzan. Por ejemplo, si se lanzan dos monedas, la potencia será al cuadrado por que se multiplica dos veces la probabilidad, si se lanzan tres será al cubo, etc. Si el experimen-to es lanzar la misma moneda dos veces también se multiplica dos veces la probabilidad de 1

2 , entonces el producto será al cuadrado, si se lanza tres veces será al cubo, etcétera. Por otra parte, con el análisis y comparación de estos dos experimentos se establece un antecedente para los contenidos y habilidades que se estudiarán en tercer grado sobre simulación.


159

IIMATEMÁTICASc) Completen el siguiente diagrama de árbol con los resultados diferentes que pue-

den obtenerse al lanzar una moneda dos veces al aire.

Recuerden que:

Una potencia es una

multiplicación de un

número por sí mismo

varias veces.

Primer Lanzamiento Segundo Lanzamiento Resultadosposibles

ÁguilaA12

SolS

Lanzar una moneda dos

veces

ÁguilaA12

ÁguilaA

(A,A)

d) Comparen los resultados posibles que obtuvieron en el diagrama de árbol de este

experimento con los resultados posibles del experimento de las dos monedas que

realizaron en el apartado Manos a la obra. ¿Son iguales o diferentes?

e) Al lanzar una moneda dos veces al aire. ¿Cuál es la probabilidad del evento: "caer

sol en el primer lanzamiento"?

P(cae sol en el primer lanzamiento) =

f) ¿Cuál es la probabilidad del evento: "caer sol en el segundo lanzamiento"?

P(cae sol en el segundo lanzamiento) =

g) ¿Cuál es la probabilidad del evento: "caer sol en ambos lanzamientos"?

P(caer sol en ambos lanzamientos) =

h) Multipliquen las probabilidades de los eventos: “cae sol en el primer lanzamiento”

y “cae sol en el segunda lanzamiento”.

P(cae sol en el primer lanzamiento) × P(cae sol en el segundo lanzamiento) = × =

i) Comparen la probabilidad del evento: “cae sol en ambos lanzamientos” con el

producto de las probabilidades de los dos eventos que obtuvieron en el inciso

anterior. ¿Son iguales o diferentes?

MAT2 B4 S27.indd 159 9/10/07 12:41:54 PM

Sugerencia didáctica. Los diagramas son iguales porque los resultados de los experimen-tos no varían si se hacen con dos monedas o con una. Pida a los alumnos que opinen por qué creen que sucede esto.

Respuestas.

d) Son iguales.

e) 24

= 12

f) 24

= 12

g) 14

h) 24

× 24

= 416

= 14

, o bien, 12

× 12

= 14

i) Son iguales, por lo tanto, el evento “en la primera moneda cae sol” y el evento “en la segunda moneda cae sol” son independientes.

SolS12

12

SolS12

(A, S)

(S, A)

(S, S)


160

secuencia 27¿Son independientes los eventos: “cae sol en el primer lanzamiento” y “cae sol en

el segundo lanzamiento”?

iii. Se lanzan tres monedas (no trucadas) al mismo tiempo y se observa la sucesión de

águilas y soles que caen.

a) ¿Cuántas veces tienes que lanzar una moneda para realizar un experimento equi-

valente a lanzar tres monedas al mismo tiempo?

b) En tu cuaderno, elabora el diagrama de árbol con los resultados diferentes que se

obtienen al lanzar tres monedas al aire. ¿En total, cuántos resultados posibles di-

ferentes hay?

c) Si en la segunda moneda cae águila, ¿qué resultados pueden caer en la tercera

moneda?

¿Y cuáles en la primera?

d) Si en la tercera moneda cae sol, ¿qué resultados pueden caer en la segunda mo-

neda?

¿Y cuáles en la primera?

e) ¿Cuántos resultados favorables hay para el evento: “cae sol en las tres monedas”?

f) ¿Cuál es la probabilidad del evento: “cae sol en las tres monedas”?

g) Calcula la probabilidad de los siguientes eventos:

P(cae sol en la primera moneda) =

P(cae águila en la segunda moneda) =

P(cae sol en la tercera moneda) =

h) Multiplica las probabilidades de los 3 eventos que calculaste en el inciso anterior.

P(cae sol en la primera moneda) × P(cae sol en la segunda moneda) × P(cae sol en la tercera moneda) =

× × =

i) Compara la probabilidad del evento: “cae sol en las tres monedas” con el producto

de las probabilidades de los tres eventos que obtuviste en el inciso anterior. ¿Son

iguales o diferentes?

MAT2 B4 S27.indd 160 9/10/07 12:41:55 PM

Respuestas.

a) Tres veces.

b) Ocho resultados diferentes. Si A es águila y S es sol, son los siguientes:

SSS

SSA

SAS

SAA

ASS

ASA

AAS

AAA

c) Sol o águila en cualquiera de los casos.

d) Sol o águila en cualquiera de los casos.

e) Uno.

f) 18

g) 48

o 12

en todos los casos.

h) 48

× 48

× 48

= 64512

= 18

o 12

× 12

× 12

= 18

i) Son iguales.

j) Son eventos independientes.


161

IIMATEMÁTICASj) ¿Son independientes los eventos: “cae sol en la primera moneda”, “cae sol en la

segunda moneda” y “cae sol en la tercera moneda”?

Comparen sus respuestas y comenten:

a) Si se lanzan las tres monedas al mismo tiempo, ¿cuál es la probabilidad de “caer

sol en la primera moneda, águila en la segunda y sol en la tercera”?

b) Si se lanzan tres monedas, los eventos: “cae sol en la primera moneda”, “cae águi-

la en la segunda moneda” y “cae sol en la tercera moneda”, ¿son independientes?

¿Por qué?

A lo que llegamosCuando un mismo experimento se repite dos o más veces, y los even-tos que se observan tienen probabilidades iguales y son independien-tes, entonces el producto de las probabilidades es una potencia.

Lo que aprendimos1. Se lanza una moneda (no trucada) cinco veces consecutivamente, ¿cuál de las si-

guientes sucesiones es más posible que resulte? (A = águila y S = sol)

a) SSSAA

b) ASSAS

c) ASAAA

d) SASAS

e) Las cuatro sucesiones son igual de posibles.

¿Por qué crees que sucede eso?

2. Se lanzan dos dados (no trucados) de seis caras cada uno, al mismo tiempo. Comple-ta el siguiente arreglo rectangular con los resultados diferentes que pueden obtener-se al lanzar dos dados.

MAT2 B4 S27.indd 161 9/10/07 12:41:56 PM

Respuestas.

a) y b) La probabilidad es la misma en ambos casos, 1

2 × 12 × 1

2 = 18 porque “caer sol en x

lanzamiento” es un evento independiente de anteriores o posteriores lanzamientos, ya sea que se realicen con una moneda o con varias.

Sugerencia didáctica. Comenten esta información en grupo. Explique que el cálculo de la probabilidad de los eventos anteriores también pueden expresarlo como una potencia, en este caso ( 1

2 )3. Plantee varios ejercicios en los que expresen el cálculo de la probabilidad como una potencia, por ejemplo:

La probabilidad de que al lanzar tres veces un dado de seis caras salga siempre 5.

La probabilidad de que al lanzar tres veces un dado de seis caras salga 1,2 y 3 en ese orden.

La probabilidad de que llueva el sábado y llueva el domingo.

La probabilidad de que al lanzar cuatro monedas al mismo tiempo en todas caiga águila.

Respuesta. Cualquiera de las cuatro sucesiones puede ocurrir con la misma probabilidad de 1

2 elevado a la quinta potencia.

Otra manera de interpretarlo es que cada sucesión de águilas y soles es única, como decir que caigan 5 soles o 5 águilas.

Posibles dificultades. Quizá los alumnos antepongan intuiciones al cálculo de probabili-dades, por ejemplo, supuestas rachas en las que cae una moneda.

Son importantes la justificaciones que den, así que pídales que expliquen sus creencias y coméntenlas en grupo.

•

•

•

•

Propósito de la actividad. Ahora se les recomienda que utilicen el arreglo rectangular como otro recurso para analizar qué sucede al lanzar dos dados al mismo tiempo. También puede preguntarles qué sucede al lanzar tres dados y cómo se haría el experimento si se tiene únicamente un dado.


Respuestas.

a) 36 resultados posibles.

b) 636

= 16

c) 636

= 16

d) 136

e) Sí son independientes porque la probabilidad del evento “obtener seis en el primer dado” multiplicada por la probabilidad del evento “obtener seis en el segundo dado” es igual a la probabilidad del evento compuesto “obtener seis en el primer dado y obtener seis en el segundo dado”.

Propósito de la sesión. Distinguir entre eventos independientes y dependientes.

Propósito de la actividad. Las situaciones A y B plantean dos experimentos aleatorios distintos debido a que al regresar o no regresar la primera pluma a la bolsa, el número de resultados posibles cambia por lo que se obtienen dos espacios de resultados diferentes. Los alumnos verán que cambiando las condiciones en las que se realiza un experimento los eventos pueden ser independientes o dependientes.

162

secuencia 27

Segundo dado

1 2 3 4 5 6

Prim

er d

ado

1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6

2 2,1 2,3 2,4 2,5 2,6

3 3,1 3,4 3,5 3,6

4 4,1 4,4 4,5 4,6

5 5,1 5,5 5,6

6 6,1 6,2

a) ¿En total, cuántos resultados posibles hay?

b) ¿Cuál es la probabilidad del evento: “obtener un seis en el primer dado”?

P(obtener un seis en el primer dado) =

c) ¿Cuál es la probabilidad del evento: “obtener un seis en el segundo dado”?

P(obtener un seis en el segundo dado) =

d) ¿Cuál es la probabilidad del evento: “obtener seis en ambos dados al lanzarlos al

mismo tiempo?

e) Al lanzar dos dados, los eventos, “obtener un seis en el primer dado” y “obtener un

seis en el segundo dado”, ¿son independientes? ¿Por qué?

EVENTOS INDEPENDIENTES yDEPENDIENTESConsideremos lo siguienteUn profesor tiene una bolsa con cinco plumas iguales, dos de las cuales ya no pintan. Saca una pluma al azar y se la presta a un alumno; luego éste la regresa a la bolsa. Mo-mentos después, otro alumno también le pide una pluma, luego la regresa a la bolsa.

¿Cuáles son los resultados posibles en esta situación?

SESIóN 3

MAT2 B4 S27.indd 162 9/10/07 12:41:56 PM

Sugerencia didáctica. Traten de simular esta situación porque quizá no sea sencillo para los alumnos determinar el espacio muestral.

Si se extrae una pluma y se regresa a la bolsa, en cada extracción hay 5 resultados posibles, y en las dos extracciones hay 5 × 5 resultados posibles. Esta situación también está relacionada con la sesión anterior porque es equivalente a 52.


163

IIMATEMÁTICASSituación A

Si se consideran los eventos:

“En la primera extracción al azar la pluma no pinta”.

“En la segunda extracción al azar la pluma no pinta”.

“En la primera y en la segunda extracción al azar las plumas no pintan”.

Encuentra la probabilidad de los siguientes eventos.

a) “En la primera extracción al azar la pluma no pinta”.

b) “En la segunda extracción al azar la pluma no pinta”.

c) “En la primera y en la segunda extracción al azar las plumas no pintan”.

d) Los eventos: “en la primera extracción al azar la pluma no pinta” y “en la segunda

extracción al azar la pluma no pinta”, ¿son independientes?

Situación B

Si ahora al realizar la primera extracción, el profesor no regresa la pluma a la bolsa.

e) ¿Cuáles son los resultados posibles que hay?

f) ¿Cuál es la probabilidad del evento “en la primera extracción la pluma no pinta”?

g) ¿Cuál es la probabilidad del evento “en la segunda extracción la pluma no pinta”?

h) ¿Y cuál es la probabilidad del evento “en la primera y en la segunda extracción las

plumas no pintan”?

i) Si en la primera extracción al azar, la pluma no pinta y no se regresa a la bolsa,

¿afecta la probabilidad de que en la segunda extracción la pluma que se saque ya

no sirva? ¿Por qué?

Manos a la obraI. En su cuaderno, elaboren el diagrama de árbol para la situación A, como muestra en

la siguiente figura, y utilicenlo para contestar las siguientes preguntas.

MAT2 B4 S27.indd 163 9/10/07 12:41:57 PM

Respuestas.

a) Para este evento hay 10 resultados favorables de 25 resultados posibles, por lo que la probabilidad es 10

25 = 2

5 .

b) 1025

= 25

c) Hay cuatro resultados favorables, por lo tanto la probabilidad es 4

25 .

d) Sí son independientes.

Posibles dificultades. Con esta condición los resultados posibles cambian porque en la segunda extracción hay una pluma menos. Tal vez algunos alumnos tengan problemas al enumerar todos los resultados y traten de distinguir cada pluma. Permítales utilizar cualquier recurso del que dispongan para determinar el espacio muestral.

Sugerencia didáctica. Es importante que permita a los alumnos explorar la situación y llegar a sus propias conclusiones, aunque sean erróneas. En el apartado Manos a la obra tendrán oportunidad de verificar sus resultados.

Respuestas.

e) Si no se regresa la pluma a la bolsa después de cada extracción, entonces para la segunda extracción habrá cuatro resultados posibles (en vez de cinco). Entonces en las dos extracciones habrá 5 × 4 resultados posibles.

f) La probabilidad del evento “en la primera extracción la pluma no pinta” es 8

20 = 25 .

g) La probabilidad del evento “en la segunda extracción la pluma no pinta” es 8

20 = 25 .

h) La probabilidad del evento “en la primera y en la segunda extracción la pluma no pinta” es 2

20 = 110 .

i) Si después de la primera extracción la pluma no se regresa a la bolsa sí afecta los resultados de la segunda extracción porque hay un resultado posible menos.


Sugerencia didáctica. Si lo considera oportuno puede ocupar el interactivo Diagrama de árbol, Opciones iguales para construir el diagrama completo.


164

secuencia 27

a) En la situación A, ¿cuántos resultados posibles diferentes hay?

b) ¿En cuántos de esos resultados posibles en la primera extracción la pluma no pin-

ta?

c) En la situación A, ¿cuál es la probabilidad del evento: “en la primera extracción la

pluma no pinta”?

d) ¿En cuántos resultados en la segunda extracción la pluma no pinta?

Primera extracción Segunda extracción Resultados posibles

Extraer de una bolsa dos plumas regresando la primera pluma que

se extrae

No pinta la pluma

No pinta la pluma

Sí pinta la pluma

Sí pinta la pluma

Sí pinta la pluma

No pinta la pluma

No pinta la pluma

Sí pinta la pluma

Sí pinta la pluma

Sí pinta la pluma

No pinta la pluma

No pinta la pluma

No pinta la pluma

Sí pinta la pluma

Sí pinta la pluma

Sí pinta la pluma

(No pinta, no pinta)

(Sí pinta, no pinta)

MAT2 B4 S27.indd 164 9/10/07 12:41:57 PM

Respuestas.

a) 25.

b) En 10.

c) La probabilidad es 1025

= 25

.

d) En 10, la probabilidad es 1025

= 25

.


165

IIMATEMÁTICAS¿Cuál es la probabilidad de ese evento?

e) ¿Cuál es la probabilidad del evento: “en la primera y en la segunda extracción las plumas no pintan”?

f) Comparen la probabilidad del evento: “en la primera y en la segunda extracción las

plumas no pintan” con el producto de la probabilidad del evento: "en la primera

extracción al azar, la pluma no pinta" y la probabilidad del evento: "en la segunda

extracción al azar, la pluma no pinta". ¿Son iguales o diferentes?

g) En la situación A, los eventos "en la primera extracción al azar la pluma no pinta"

y "en la segunda extracción al azar la pluma no pinta", ¿son independientes esos

eventos?

II. Ahora, completen el siguiente diagrama de árbol que corresponde a la situación B cuando no se regresa la pluma en la primera extracción.

Primera extracción Segunda extracción Resultados posibles

No pinta la pluma

Sí pinta la pluma

Sí pinta la pluma

Sí pinta la pluma

(Sí pinta, no pinta)No pinta la pluma

Sí pinta la plumaExtraer de una bolsa

dos plumas sin regresar la primera pluma que

se extrae

No pinta la pluma

No pinta la pluma

Sí pinta la pluma

Sí pinta la pluma

Sí pinta la pluma

(No pinta, no pinta)

MAT2 B4 S27.indd 165 9/10/07 12:41:58 PM


Sugerencia didáctica. Si lo considera oportuno puede ocupar el interactivo Diagrama de árbol en la opción Muchos recorridos, para construir el diagrama completo.

Respuestas.

e) 425

f) Son iguales.

g) Sí son independientes.


166

secuencia 27a) ¿En cuántos de estos resultados posibles en la primera extracción al azar la pluma

no pinta?

b) En la situación B, ¿cuál es la probabilidad del evento: “en la primera extracción al

azar la pluma no pinta”?

c) ¿En cuántos de los resultados posibles en la segunda extracción la pluma no pinta?

d) ¿Cuál es la probabilidad del evento: “en la segunda extracción la pluma no pinta?

e) ¿En cuántos resultados posibles en ambas extracciones las plumas no pintan?

f) ¿Cuál es la probabilidad del evento: “en la primera y en la segunda extracción las

plumas no pintan”?

g) En esta nueva situación, en la que no se regresa la primera pluma que se extrae,

los eventos: “en la primera extracción la pluma no pinta” y “en la segunda extrac-

ción la pluma no pinta”, ¿son independientes?

¿Por qué?

iii. En una caja hay 2 chicles de sabor menta y 2 de sabor canela, se saca sin ver un

chicle, se anota su sabor y luego, se regresa. Otra vez se saca un chicle y se anota su

sabor.

Los eventos que se observan son:

“El primer chicle que se saca es de sabor canela”.

”El segundo chicle que se saca es de sabor menta”.

”El primer chicle que se saca es sabor canela y el segundo chicles es de sabor menta”.

a) ¿Cuál es la probabilidad del evento: “el primer chicle que se saca es sabor canela y

el segundo es de sabor menta”?

b) ¿Son independientes los dos primeros eventos? ¿Por qué?

Si al sacar el primer chicle, no lo regresan a la caja y sacan otro chicle.

c) ¿Cuál es la probabilidad de que el primer chicle que se saca es de sabor canela?

MAT2 B4 S27.indd 166 9/10/07 12:41:58 PM

Respuestas.

a) 8 de 20 resultados posibles.

b) La probabilidad es 820

o 25

.

c) En ocho.

d) La probabilidad es 820

o 25

.

e) En dos.

f) La probabilidad es 220

= 110

.

g) No son independientes porque el resultado de multiplicar la probabilidad del evento “en la primera extracción no pinta” por la probabili-dad del evento “en la segunda extracción no pinta” ( 2

5 × 25 = 4

25 ), no es igual a la probabilidad del evento compuesto “en la primera y en la segunda extracción no pinta”

( 110 ).

Sugerencia didáctica. Puede ser útil que los alumnos elaboren un arreglo rectangular o un diagrama de árbol para encontrar las respuestas.

Respuestas.

a) 4 de 16 resultados posibles, así que la probabilidad es 4

16= 1

4.

b) Sí son independientes.

c) 6 de 12 resultados posibles, así que la probabilidad es 6

12= 1

2.


167

IIMATEMÁTICASd) ¿Cuál es la probabilidad de que el segundo chicle que se saca es de sabor menta?

e) ¿Cuál es la probabilidad del evento: “el primer chicle que se saca es de sabor ca-

nela y el segundo es de sabor menta”?

f) En este experimento, ¿son independientes los dos primeros eventos?

¿Por qué?

A lo que llegamosSe dice que dos eventos son dependientes cuando la ocurrencia de uno de los eventos afecta el valor de la probabilidad de ocurrencia del otro. Por lo que, la probabilidad de que los dos eventos ocurran simultáneamente es diferente que el producto de la probabilidad de un evento por la del otro.

Lo que aprendimos1. Escribe en la línea de la derecha si los eventos son independientes o dependientes en

cada inciso, y justifica tu respuesta.

a) Se lanzan un par de dados de seis caras. Los eventos son: “número par en el primer

dado” y “número impar en el segundo dado”.

b) Se escogen dos canicas de una urna que contiene 5 canicas rojas y 5 canicas azu-

les, con reemplazo. Los eventos son: “la primera canica es roja” y “la segunda ca-

nica es azul”.

2. Para conocer más ejemplos de situaciones de azar y eventos dependientes e indepen-dientes pueden ver el programa Probabilidad y eventos independientes.

Para saber más

Sobre otros ejemplos de problemas de eventos independientes, consulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula:Bosch, Carlos y Claudia Gómez. “El azar y el triángulo de Pascal” en Una ventana a la incertidumbre. México: SEP/Santillana, Libros del Rincón, 2003.

Post Kij, Kjardan. Esa condenada mala suerte. México: SEP/Editorial Motino, Libros del Rincón, 2001.

Explora las actividades de los interactivos Probabilidad. Eventos independientes y Frecuencia y probabilidad con Logo.

MAT2 B4 S27.indd 167 9/10/07 12:41:59 PM

Respuestas.

d) 612

= 12

e) 412

= 13

f) No son independientes.

Sugerencia didáctica. Es importante hacer notar a los alumnos que para calcular la probabilidad de la situación A y la de la situación B de las actividades I y II, (y las que aparecen en la actividad III), se multiplican las probabilidades de los eventos. Si el resultado de esa multiplicación es igual a la probabilidad de la intersección, es decir, cuando ocurren a la vez los eventos considerados, puede afirmarse que son independientes. Si no son iguales, los eventos son dependientes.

Integrar al portafolios. Incluya esta actividad y pida a los alumnos que en la copia que le entreguen se incluyan los procedimientos utilizados.

Respuestas.

a) Son independientes. Los resultados posibles son 36, los resultados favorables del primer evento son 12 y también del segundo evento son 12, los resultados favorables del evento compuesto son 9 de 36 resultados posibles. La probabilidad del evento compuesto es 1

4 y es igual al producto de probabilidades de los eventos simples.

b) Son independientes. Los resultados posibles son 100, los resultados favorables del primer evento son 50, los resultados favorables del segundo evento son 50, los resultados favorables del evento compuesto son 25.

La probabilidad del evento compuesto es 14 y

es igual al producto de probabilidades de los eventos simples.

Recuerde que. Los experimentos de azar “con reemplazo” son aquellos en los que, sin importar el número de repeticiones del experimento, siempre hay el mismo número de resultados posibles. En este caso, significa que después de sacar una canica de la urna hay que devolverla antes de hacer la segunda extracción.

Propósito del programa integrador 22. Mostrar ejemplos de situaciones de azar y distinguir si varios eventos son independientes o no.

Se transmite por la red satelital Edusat. Consultar la cartelera para saber horario y días de transmisión.

Propósito del interactivo. Ampliar los conceptos de probabilidad abordados en la secuencia.


Eje


Tema

Representación de la información.

Antecedentes

Los alumnos ya conocen distintas formas de representación de la información como los polígonos de frecuencias, las gráficas de barras y circulares tanto de frecuencia absoluta como de frecuencia relativa. En esta secuencia aprenderán a interpretar y utilizar las gráficas de línea.

Propósito de la secuencia Interpretar y utilizar dos o más gráficas de línea que representan características distintas de un

fenómeno o situación para tener información más completa y en su caso tomar decisiones.


1

Turismo, empleos y gráficas de línea Interpretar y relacionar diferentes gráficas de línea que representan la variación en el tiempo de uno o más elementos de una situación.

Video El turismo: una ocupación

interesante Interactivo

Gráficas de línea en la estadística

2

¿Sabes cuántas personas visitan el estado en que vives? Interpretar y elaborar gráficas de línea en un mismo plano.

Interactivo Gráficas de línea en la

estadística

3

¿Cuántos extranjeros nos visitaron? Interpretar y utilizar dos gráficas de línea que corresponden a aspectos diferentes de la misma situación.

Programa integrador 23

168

secuencia 28

En esta secuencia aprenderás a interpretar y utilizar gráficas de línea que representan características de un fenómeno para obtener infor-mación y tomar decisiones.

TURISMO, EMPLEOS Y GRÁFICAS DE LÍNEAPara empezarEl turismo: una ocupación interesante

México ofrece al mundo una diversidad de atractivos turísticos: playas, zonas arqueoló-gicas, eventos recreativos y culturales, etc. La Secretaría de Turismo pone a disposición de todos información sobre las cifras de dinero que se recauda mensualmente por la actividad turística y el número de empleos que se generan.

Por ejemplo, en el año 2005, cerca de dos millones de personas tuvieron un empleo re-lacionado directamente con la atención al turismo nacional e internacional.

Consideremos lo siguienteLa siguiente gráfica presenta la variación que se dio en el número de empleos relaciona-dos con la actividad turística en nuestro país en el año 2005.

SESIóN 1

Gráficas de línea

Número de empleos relacionados con el turismo en el año 2005

Meses

Nú

mer

o d

e em

ple

os

(en

mile

s)

1 840

1 830

1 820

1 810

1 800

1 790

1 780

1 770

1 760

ene feb mar abr may jun jul ago sep oct nov dic

MAT2 B4 S28.indd 168 9/10/07 12:42:30 PM

Propósito de la sesión. Interpretar y relacionar diferentes gráficas de línea que representan la variación en el tiempo de uno o más elementos de una situación.

Descripción del video. Se da un panorama general de la importancia del turismo para nuestro país. El video es de introducción al tema y su objetivo es presentar el contexto a partir de datos y gráficas que muestran la evolución y el crecimiento de esta actividad en las principales plazas turísticas de México.

Sugerencia didáctica. Sin duda, el turismo es una de las principales actividades económicas del país. Pregunte a sus alumnos si en su localidad hay algún sitio o actividad que atraiga al turismo local o extranjero.

Propósito de la actividad. Hasta este momento, en el eje horizontal de las gráficas estadísticas los alumnos habían representado intervalos, en su mayoría iguales (del mismo tamaño). En esta secuencia los alumnos verán que cuando en el eje horizontal se gráfica alguna unidad de tiempo (días, meses, años, etc.) corresponde a una gráfica de línea.

Respuestas.

a) 1 765 000 empleos en enero y 1 775 000 en febrero.

b) 5 000 empleos.

c) Mayo y junio.


169

IIMATEMÁTICASa) ¿Cuántos empleos generó el turismo en enero de 2005?

¿Y en febrero?

b) ¿Cuánto disminuyó el número de empleos de abril a mayo de 2005?

c) ¿En qué par de meses consecutivos se dio el mayor aumento en el número de

empleos?

Comparen sus respuestas.

Manos a la obraI. Observen la gráfica y contesten las siguientes preguntas:

a) ¿Qué datos están representados en el eje horizontal?

¿Y en el eje vertical?

b) ¿Cuál es el valor mínimo que se representa en el eje vertical?

¿Y cuál es el valor máximo?

c) ¿Cuál es la escala utilizada en ese eje?

d) ¿En qué mes se generaron 1 820 000 empleos relacionados con el turismo?

e) ¿Cuál es el mes en que se dio el mayor número de empleos?

La gráfica anterior se llama gráfica de línea y muestra que, durante el año 2005, hubo tres periodos de incrementos en el número de empleos relacionados con el turismo; el primero fue del mes de enero al mes de abril.

f) ¿Cuáles fueron los otros periodos que tuvieron incrementos en el número de em-

pleos?

g) ¿Cuál fue el mayor incremento que se dio en el número de empleos relacionados

con el turismo?

h) Durante el año 2005, ¿cuántos decrementos en el número de empleos relaciona-

dos con el turismo se dieron?

i) ¿Hubo algún periodo en el que no cambiara el número de empleos relacionados

con el turismo?

MAT2 B4 S28.indd 169 9/10/07 12:42:31 PM

Propósito de la actividad. Se pretende que los alumnos lean e interpreten la información que presenta la gráfica.

En general, para desarrollar en los alumnos la lectura crítica de datos se requiere que los alumnos realicen actividades en las que se consideren los tres niveles de comprensión de los gráficos:

a) Leer los datos. Este nivel de comprensión requiere una lectura literal del gráfico, no se realiza interpretación de la información conte-nida en el mismo.

b) Leer dentro de los datos. Incluye la interpreta-ción e integración de los datos en el gráfico, requiere la habilidad para comparar cantidades y el uso de otros conceptos y destrezas matemáticas.

c) Leer más allá de los datos. Requiere que el lector realice predicciones e inferencias a partir de los datos sobre informaciones que no se reflejan directamente en el gráfico.

Posibles dificultades. Quizá los alumnos no lean bien la escala del eje vertical. La informa-ción de dicho eje incluye la leyenda “en miles”, lo que quiere decir que se han quitado tres ceros a las cantidades para facilitar su lectura, pero a la hora de interpretar la gráfica deben considerarse. Así pues, si en el eje dice 1 760, en realidad ese número es el 1 760 000.

Respuestas.

a) En el eje horizontal, los meses del año 2005 ; y en el vertical, el número de empleos relacionados con el turismo que se generaron en ese año.

b) Mínimo 1 760 000 y máximo 1 840 000.

c) La escala es en miles.

d) En octubre.

e) En noviembre.

f) También hubo incrementos en los empleos de mayo a julio y de septiembre a noviembre.

g) El mayor incremento de empleos relacionados con el turismo fue de mayo a junio.

h) Dos, de abril a mayo y de noviembre a diciembre. Hubo un periodo en el que no hubo cambios en el número de empleos relaciona-dos con el turismo.

i) De julio septiembre (tres meses) no hubo cambios en el número de empleos relaciona-dos con el turismo.

j) Se mantuvieron los 1 805 000 empleos existentes.


170

secuencia 28¿Cuántos meses abarcó ese periodo?

j) ¿Cuál fue el número de empleos que se mantuvo constante?

ii. Completa el siguiente texto eligiendo la respuesta correcta en cada caso:

Comparen sus respuestas con sus compañeros.

A lo que llegamosUna gráfica de línea presenta los cambios o variaciones que se dan en una situación o fenómeno a través del tiempo. Por esta razón, en el eje horizontal se representan las unidades de tiempo (que pueden ser años, meses, días, horas, etcétera). En el eje vertical se representa el intervalo en el que varía el fenómeno durante el tiempo en que se analiza.

En general, el cero debe representarse siempre que sea posible sobre el eje vertical, pero si no lo fuera, conviene hacer un corte en el eje vertical.

iii. La siguiente tabla presenta la variación que se dio en el número de empleos genera-dos por la actividad turística en nuestro país en el año 2004.

La gráfica de línea muestra la variación en el número de empleos generados por el

turismo en el año que inició con un aumento en los primeros2005 / 2000

cuatro meses de a empleos, en el mes de1765 / 1 765 000 1785 / 1 785 000

mayo a 1 780 000, en aumentódisminuyó / aumentó junio / julio

empleos y permaneció constante durante los meses de 200 / 20 000 junio / julio

a (1 805 000 empleos); posteriormente, aumentó hastaagosto / septiembre

registrar el número de empleos en el mes de noviembre,menor / mayor

y finalizó en el mes de diciembre con empleos.1 825 / 1 825 000

MAT2 B4 S28.indd 170 9/10/07 12:42:32 PM

Sugerencia didáctica. Cuando se lleve a cabo la comparación grupal de respuestas, pida a sus alumnos que comparen esta gráfica con las que anteriormente han estudiado para que vean que en las gráficas de línea en el eje horizontal siempre hay una unidad de tiempo (por ejemplo, años, meses o días). Es importante comentar que, al igual que en los polígonos de frecuencias, estamos señalando la frecuencia de alguna variable (número de personas, número de empleos, etcétera), pero hay cuestiones que no sabemos con precisión, por ejemplo, en la gráfica podemos ver que entre enero y febrero aumentó el número de empleos, sin embargo, no sabemos cuántos empleos aumentaron el 15 de enero.

Propósito de la actividad. Hay dos propósitos en esta actividad: el primero es elaborar la gráfica de línea que corresponde a los datos presentados en una tabla; y el segundo propósito es que los alumnos usen diferentes escalas, especialmente en el eje vertical.

Sugerencia didáctica. Puesto que la mayor dificultad de esta actividad se encuentra en definir la escala y el valor inicial del eje vertical, comente a los alumnos que la escala en la que una de las variables es observada y registrada no es única. A veces, transformando los valores originales de la variable a una nueva escala se puede lograr que dichos valores sean más manejables.

2005

1 765 000 1 785 000

disminuyó junio

20 000 julio

septiembre

mayor

1 825 000

Propósito del interactivo. Que los alumnos construyan gráficas de línea.


171

IIMATEMÁTICAS

Empleos generados por el turismo en el año 2004

Mes Número de empleos

Enero 1 700 000

Febrero 1 705 000

Marzo 1 720 000

Abril 1 725 000

Mayo 1 730 000

Junio 1 740 000

Julio 1 745 000

Agosto 1 750 000

Septiembre 1 755 000

Octubre 1 765 000

Noviembre 1 780 000

Diciembre 1 770 000

a) Ahora grafica el número de empleos que generó la actividad turística cada mes.

MAT2 B4 S28.indd 171 9/10/07 12:42:32 PM

1790

1780

1770

1760

1750

1740

1730

1720

1710

1700

1690

1680

Meses



172

secuencia 28Comparen sus respuestas.

a) ¿Utilizaron la misma escala en el eje vertical?

b) ¿Cuáles fueron los valores mínimos que utilizaron en el eje vertical?

c) ¿Y cuáles fueron los valores máximos?

Lo que aprendimosDurante una semana se registró la cantidad de dinero que diariamente se obtuvo en las ventas de una panadería; así quedó:

Lunes, $2 600; martes, $ 1 200, miércoles, $3 400; jueves, $2 100; viernes, $5 300;sábado, $5 100; domingo, $4 950.

a) En tu cuaderno traza una gráfica de línea que represente las ventas que se tuvie-ron en la panadería.

b) Describe en tu cuaderno en qué días se obtuvieron las mejores ventas, cuándo hubo decrementos y cómo disminuyeron las ventas.

c) Comparen sus respuestas. ¿A partir de qué valor rotularon el eje vertical?

¿SABES CUÁNTAS PERSONAS VISITAN EL ESTADO EN QUE VIVES?Para empezarEn la sesión anterior aprendiste a elaborar gráficas de línea y, particularmente, te ente-raste de cuántos empleos relacionados con el turismo se generaron en el año 2005 en México. Otros aspectos relacionados con el turismo que también se pueden presentar a través de una gráfica de línea son: el número de turistas que visitaron un determinado estado durante el año, ciudades con playa, sitios arqueológicos, etcétera.

Posiblemente el lugar donde tú vives es un sitio turístico, quizá es una ciudad que tiene playa, o tal vez, es una ciudad colonial. También puede suceder que vivas cerca de un lugar muy visitado. ¿Cómo podrías investigar cuántas personas visitan tu estado? ¿Cuáles son los sitios turísticos que hay en tu población? ¿Cuáles conoces? ¿Conoces algunas personas que tengan un trabajo relacionado con la actividad turística? Si pudieras pro-mover el lugar donde vives, ¿qué información recopilarías para hacerlo?

Consideremos lo siguienteLas siguientes gráficas de línea presentan información sobre el número de habitaciones que se han ocupado por turistas nacionales que visitaron los estados de Guerrero y Quin-tana Roo, en el periodo comprendido entre los años 2000 y 2005.

SESIóN 2

MAT2 B4 S28.indd 172 9/10/07 12:42:33 PM

Sugerencia didáctica: Puede suceder que los alumnos utilicen diferentes escalas para graficar la variable del eje vertical, por ejemplo, expresándola en miles como se hace en la gráfica del Consideremos lo siguiente, o que escriban cada número como aparece en la tabla. Es importante que los alumnos analicen cuál es más conveniente y clara.

Sugerencia didáctica. Si hay poco tiempo en clase deje esta actividad como tarea, pero revisen juntos los incisos a), b) y c).

Integrar al portafolios. Pida a los alumnos una copia de su gráfica y de la descripción que hicieron del fenómeno (lo que se les pide en el inciso b).

Propósito de la sesión. Interpretar y elaborar gráficas de línea en un mismo plano.

$6,000

$5,000

$4,000

$3,000

$2,000

$1,000

Días

Vent

a en

pes

os

Panadería "El bolillo y la telera" ventas de la semana

Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Domingo

Respuestas:


173

IIMATEMÁTICAS

a) Si se quiere construir un hotel en alguno de estos dos estados y se consideran

como referencia la información que presentan las gráficas de línea, ¿en cuál de los

dos estados recomendarían que lo construyeran?

¿Por qué?

b) Comparen sus respuestas.

Manos a la obraI. Utilicen la información que presentan las gráficas de línea para contestar las siguien-

tes preguntas.

a) En Guerrero, ¿cuántas habitaciones estuvieron ocupadas por turistas en el año

2001?

b) ¿Cuál fue el número máximo de habitaciones ocupadas?

c) ¿En qué año sucedió?

d) En Quintana Roo, ¿en qué año se ocuparon 2 500 000 habitaciones?

Años

Nú

mer

o d

e h

abit

acio

nes

ocu

pad

as

(en

mile

s)

2000 2001 2002 2003 2004 2005

3 400

3 300

3 200

3 100

3 000

2 900

2 800

2 700

2 600

2 500

2 400

2 300

2 200

2 100

2 000

Número de habitaciones ocupadas por visitantes nacionales

Quintana Roo

Guerrero

MAT2 B4 S28.indd 173 9/10/07 12:42:33 PM

Posibles respuestas. Tal vez la mayoría de los alumnos diga que en Guerrero, porque tiene el mayor número de habitaciones ocupadas en el año 2005 por el turismo nacional. Sin embargo, puede suceder que otros digan que en Quintana Roo precisamente para aumentar el turismo. Algunos tal vez digan que no es suficiente la información de la que disponen o den otras razones.

Respuestas.

a) 2 840 000

b) 3 270 000

c) 2005

d) 2004


174

secuencia 28e) ¿Cuál fue el número máximo de habitaciones ocupadas?

f) ¿En que año sucedió?

g) ¿Fue el mismo que en el caso de Guerrero?

h) En general, ¿cuál de los dos estados, Guerrero o Quintana Roo, tuvo más habita-

ciones ocupadas por turistas nacionales en el periodo de 2004-2005?

i) ¿En qué año estos dos estados tuvieron el mismo número de habitaciones ocupa-

das?

j) ¿Cuántas habitaciones estuvieron ocupadas?

k) Describan cuál ha sido el comportamiento en el número de habitaciones ocupadas

por el turismo nacional en el estado de Guerrero.

l) ¿Y cuál ha sido el del estado de Quintana Roo?

m) De la siguiente lista, marquen con una “X” los aspectos que consideran también sería necesario analizar para tomar una mejor decisión sobre en cuál de los dos estados, Guerrero o Quintana Roo, es más conveniente construir un hotel.

( ) número de hoteles en servicio;

( ) número de habitaciones por hotel en servicio;

( ) número de turistas extranjeros;

( ) número de turistas nacionales;

( ) tipos de transporte;

( ) zonas turísticas que existen (playas, zonas arqueológicas, ciudades, etc.);

( ) número de habitantes;

( ) actividades culturales y recreativas (festivales, ferias, etc);

( ) seguridad y vigilancia.

Comparen sus respuestas.

MAT2 B4 S28.indd 174 9/10/07 12:42:34 PM

Respuestas.

e) 2 910 000

f) 2002

g) No.

h) Guerrero.

i) 2002

j) 2 910 000

Posibles respuestas. Se esperaría que los alumnos pudieran describir el comportamiento del fenómeno estudiado observando la gráfica, por ejemplo diciendo:

k) A partir del año 2003 ha aumentado el número de habitaciones ocupadas por el turismo nacional. En el año 2003 el número de habitaciones ocupadas por el turismo nacional tuvo un descenso.

l) A partir de 2003 ha descendido el número de habitaciones ocupadas por el turismo nacional. Entre los años de 2002 y 2003 hubo un descenso de alrededor de 350 000 habitaciones ocupadas.

Sugerencia didáctica. Pida a dos o tres alumnos que lean sus respuestas a los incisos d) y e) y que las justifiquen. Luego pregunte al resto del grupo si están de acuerdo o creen que la descripción no es buena o está incompleta, en cuyo caso, revísenla nuevamente.

Sugerencia didáctica. Pregunte a los alumnos si otros aspectos podrían complementar la información para decidir dónde construir un hotel, y cuáles serían.

Sugerencia didáctica. Es importante señalar aquí que puede haber respuestas distintas entre los alumnos acerca de dónde construir el hotel, pero todos tendrían que interpretar las gráficas de manera similar.


175

IIMATEMÁTICAS

A lo que llegamosEn un mismo plano se pueden mostrar dos o más gráficas de línea que corresponden a conjuntos de datos sobre el mismo aspecto de un fenómeno o situación para comparar la variación que existe entre ellos durante un determinado tiempo.

II. La siguiente gráfica muestra información sobre el turismo extranjero que visita los estados de Guerrero y Quintana Roo de 2000 al 2005.

a) ¿Cuántas habitaciones fueron ocupadas por turistas extranjeros en el estado de

Guerrero durante el año 2001?

b) ¿Y cuántas habitaciones fueron ocupadas en el estado de Quintana Roo?

c) ¿En cual de los dos estados, Guerrero o Quintana Roo, el número de habitaciones

ocupadas por extranjeros ha disminuido a través de los seis años?

d) En general, ¿cuál de los dos estados es más visitado por el turismo internacional?

Número de habitaciones ocupadas por extranjeros

Años

Nú

mer

o d

e h

abit

acio

nes

ocu

pad

as

(en

mile

s)

2000 2001 2002 2003 2004 2005

14 000

13 000

12 000

11 000

10 000

9 000

8 000

7 000

6 000

5 000

4 000

3 000

2 000

1 000

0

Quintana Roo

Guerrero

MAT2 B4 S28.indd 175 9/10/07 12:42:34 PM

Propósito de la actividad. Al analizar el número de habitaciones ocupadas por extranjeros, se invierte el comportamiento que se presentó en la gráfica anterior, es decir, Quintana Roo tiene mayor ocupación. Este es otro aspecto que podría considerarse al momento de tomar una decisión.

Respuestas.

a) 1 200 000

b) 8 400 000

c) En Guerrero.

d) Quintana Roo es más visitado por extranjeros.


176

secuencia 28e) En el caso de ese estado, ¿cuál ha sido el aumento que ha tenido el número de

habitaciones ocupadas en el año 2005 con respecto a las que se ocuparon en el

año 2000?

f) Utilicen las gráficas de esta sesión para describir la forma en que varía el número

de habitaciones ocupadas por turistas nacionales o por turistas extranjeros en

Quintana Roo.

iii. A continuación construye dos gráficas de línea para representar el número total de habitaciones ocupadas por turistas nacionales que visitaron el estado de Guerrero y el número total de habitaciones ocupadas por turistas extranjeros en ese estado du-rante el periodo de 2000 a 2005.

a) ¿Qué escala es más conveniente que utilices?

¿Por qué?

b) ¿Cuál de los dos tipos de turistas, extranjero o nacional, tiene mayor número de

habitaciones ocupadas por turistas durante estos años?

c) ¿En qué par de años consecutivos se tiene el mayor descenso en el número de

habitaciones ocupadas?

Extranjeros

Nacional

MAT2 B4 S28.indd 176 9/10/07 12:42:35 PM

Respuestas.

e) Ha habido un incremento de 6 400 000 habitaciones.

f) Se esperaría que los alumnos hicieran una descripción parecida a ésta: De acuerdo con el número de habitaciones ocupadas, el estado de Quintana Roo es más visitado por el turismo internacional o extranjero, mientras que el estado de Guerrero es más visitado por el turismo nacional.

Propósito de la actividad. Elaborar dos gráficas de línea en un mismo plano con la intención de compararlas. En este caso, corres-ponden a dos conjuntos de datos: habitaciones ocupadas por visitantes extranjeros y ocupadas por visitantes nacionales.

Sugerencia didáctica. Nuevamente, hay que ayudar a los alumnos a elegir la escala en el eje vertical de acuerdo a los datos que van a presentar. El valor mínimo puede ser 0 y el máximo 3500, en miles, con una escala de 500 mil; pero acepte otras posibilidades que sugieran los alumnos.

Propósito del interactivo. Las gráficas de línea que se piden en esta actividad pueden presentarse en el mismo plano porque son dos conjuntos de datos que se miden o cuentan con la misma unidad, en este caso, son personas (hay dos poblaciones diferentes, los visitantes nacionales y los extranjeros, pero la unidad para medir ambas variables consideradas es “número de personas”). Por lo tanto, se utilizan los mismos ejes, solamente es necesario distinguir a cada población de alguna de las siguientes maneras:

Diferente tipo de línea para unir los puntos de cada gráfica (las líneas pueden ser de distintos grosores o de diferentes colores cada uno representará a una población)

Diferente tipo de punto, por ejemplo, para señalar la intersección del mes con el número de visitantes, puede utilizarse un círculo para los visitantes nacionales y un triángulo o rombo para los visitantes extranjeros.

Propósito del interactivo. Que el alumno construya gráficas de línea.

•

•

Respuestas.

a) No hay una respuesta única a esta pregunta, permita a los alumnos expresar sus opiniones pero pídales que las argumenten.

b) Nacional.

c) En 2002 y 2003.

Respuesta:

Año Internacional Nacional

2000 1 400 2 620

2001 1 200 2 840

2002 1 000 2 920

2003 800 2 490

2004 1 000 3 190

2005 800 3 200

3500

3000

2500

2000

1500

1000

5000

2000 2001 2002 2003 2004 2005


177

IIMATEMÁTICAS

Lo que aprendimosLa siguiente tabla muestra la información sobre el turismo nacional e internacional que visitó las zonas arqueológicas de nuestro país.

Número de visitantes en zonas arqueológicas de México (en miles)

Año Nacionales Extranjeros Total

2000 6 270 3 200 9 470

2001 6 510 2 640 9 150

2002 7 140 2 650 9 790

2003 7 380 2 850 10 230

2004 7 240 3 130 10 370

2005 6 650 2 930 9 580

a) En el mismo eje de coordenadas, representa las tres gráficas de línea que corres-ponden a la información que presenta la tabla (turismo nacional, extranjero y

total).

MAT2 B4 S28.indd 177 9/10/07 12:42:35 PM

Propósito de la actividad. En esta actividad deberán elaborar una gráfica de línea con tres datos para cada año. Una vez más, hay que cuidar la escala y los valores en el eje vertical.


178

secuencia 28b) ¿En qué año se presentó el mayor número de visitantes nacionales en estas zonas?

¿Y de visitantes extranjeros?

c) En total, ¿en qué año se presentó el mayor número de visitantes a estas zonas?

d) Según la gráfica, ¿cuál de las siguientes frases representa el comportamiento que

ha tenido el turismo (nacional, extranjero y total) que visita las zonas arqueológi-

cas de México? Márcalas con una .

Del año 2000 al año 2003, el número total de turistas que visitaban las zonas arqueológicas aumentaba; sin embargo, a partir del año 2004 ha descendi-do.

En el año 2003, se presentó el mayor número de turistas nacionales que visi-taron las zonas arqueológicas.

En el año 2000, 3 200 turistas extranjeros visitaron las zonas arqueológicas, lo que representa el mayor número de visitantes extranjeros en el periodo de 2000 a 2005.

En el año 2005, aumentó el turismo extranjero en las zonas arqueológicas en México.

¿CUÁNTOS EXTRANJEROS NOS VISITARON?Consideremos lo siguienteLas gráficas de línea de la siguiente página presentan información sobre el número de visitantes extranjeros que estuvieron en nuestro país en el año 2005 y las cantidades de dinero que gastaron.

a) ¿Qué relación encuentran entre estas cantidades: número de visitantes y dinero

que gastaron?

b) ¿Corresponde el número máximo de visitantes con la cantidad mayor de dinero

que gastaron?

c) Una persona está interesada en abrir una tienda de artesanías; de acuerdo con la

información que presentan las gráficas, ¿cuándo le convendría abrirla, en enero,

marzo o diciembre?

¿Por qué?

d) ¿Consideran qué sería suficiente esta información para que decida cuándo le con-

viene abrir su tienda?

SESIóN 3

MAT2 B4 S28.indd 178 9/10/07 12:42:36 PM

Propósito de la sesión. Interpretar y utilizar dos gráficas de línea que corresponden a aspectos diferentes de la misma situación.

Posibles respuestas. Es importante tener en cuenta que puede haber distintas respuestas correctas. Pida a los alumnos que las expliquen.

a) En general, se comportan de manera similar, es decir, cuando hay un mayor número de visitantes hay mayor gasto, sin embargo en el periodo de mayo a agosto son diferentes.

b) No corresponden.

c) En marzo, porque es un mes en el que hay un buen número de visitantes y es cuando se reporta un mayor gasto por parte de los mismos.

d) Las gráficas nos ayudan a pensar en qué mes podría abrirse un negocio como ése, pero tal vez sea necesario conocer el lugar que visitan o el medio de transporte, además de conocer dónde se quiere abrir el local.

Sugerencia didáctica. Quizá los alumnos contesten en el inciso b) que sí corresponde el número máximo de visitantes con la cantidad mayor de dinero gastada por que las gráficas tienen formas similares. En este momento acepte esta respuesta y posteriormente, cuando terminen de contestar el apartado Manos a la obra, retome la pregunta.

2003

2000

2004


179

IIMATEMÁTICAS

Nú

mer

o d

e tu

rist

as

(en

mile

s)Visitantes extranjeros en México en el año 2005

2 400

2 350

2 300

2 250

2 200

2 150

2 100

2 050

2 000

1 950

1 900

1 850

1 800

1 750

1 700

1 650

1 600

1 550

1 500

1 450

1 400


Meses

Gastos de visitantes extranjeros en México en el año 2005

Can

tid

ad d

e d

óla

res

(en

mill

on

es)

1 400

1 350

1 300

1 250

1 200

1 150

1 100

1 050

1 000

950

900

850

800

750

700

650

600


Meses

MAT2 B4 S28.indd 179 9/10/07 12:42:36 PM


180

secuencia 28

Manos a la obrai. Utilicen los datos que presentan las gráficas y contesten las siguientes preguntas:

a) ¿Cuántos extranjeros visitaron nuestro país en enero de 2005?

b) ¿Cuánto dinero se recaudó en ese mes?

c) ¿En qué mes de ese año dejaron más dinero al país los turistas?

d) ¿Con la información que proporciona la primera gráfica de lí-

nea podemos saber cuántos visitantes tuvimos el 12 de agosto

de 2005?

¿Por qué?

e) ¿Es correcto decir que en julio de 2005 hubo 2 150 visitantes extranjeros y que

gastaron 1 050 dólares?

¿Por qué?

f) De enero a febrero se tuvo un aumento de 18 000 visitantes. ¿En qué par de me-

ses consecutivos se dio el mayor aumento de visitantes?

g) ¿En qué par de meses se dio la mayor disminución de visitantes?

A lo que llegamosDos o más aspectos de una misma situación o un mismo fenómeno se pueden analizar mediante dos o más gráficas de línea en dos planos diferentes debido a que en el eje vertical se utiliza la escala y rótulos adecuados a cada aspecto.

Recuerden que:

Una gráfica de línea presenta los

cambios o variaciones que se dan

en una situación o fenómeno a

través del tiempo. Por esta razón,

en el eje horizontal se representan

las unidades de tiempo (que

pueden ser años, meses, días,

horas, etc.). En el eje vertical se

anota el rango con que varía el

fenómeno en el período de tiempo

en que se analiza.

MAT2 B4 S28.indd 180 9/10/07 12:42:37 PM

Respuestas.

a) 1 810 000 visitantes.

b) 1 050 000 000 dólares.

c) Marzo.

d) No, lo que se sabe es cuántos visitantes hubo en todo ese mes.

e) No, hay que considerar las escalas de las gráficas. Efectivamente hubo 2 150 000 visitantes, pero gastaron 1 050 000 000 dólares o 1 050 millones de dólares.

f) De noviembre a diciembre

g) De julio a agosto.

Sugerencia didáctica. Aproveche la situación planteada para que los alumnos recuerden algunos aspectos del sistema de numeración decimal cuando se trabaja con números grandes. Pida que lean en voz alta el número 1 050 000 000 y que escriban en sus cuadernos cómo se lee ese número. También puede preguntarles:

¿cuál sería el resultado si a ese número se le suman 9 000 000 000?

¿cuánto se le tendría que sumar o restar para que el resultado fuera 1 000 050 000 000?

¿cómo se lee el número 1 000 050 000 000?

Comenten sus respuestas al inciso d). Es importante que tengan claro que no es posible saber cuántos visitantes hubo en un día específico porque la información de la gráfica presenta intervalos de un mes.

•

•

•


181

IIMATEMÁTICAS

Lo que aprendimos1. Para conocer las variaciones en el número de extranjeros, se consideran los resultados

obtenidos en los años 2004 y 2005. Las siguientes gráficas de línea presentan esa información.

II. De acuerdo con la información que presentan las gráficas, completen el siguiente párrafo:

Durante el año de 2005, el número de visitantes extranjeros en nuestro país fue de

turistas y gastaron

de dólares; sin embargo, la cantidad de

dinero que gastaron los visitantes extranjeros en México fue

de dólares y se registró en el mes de .

Nú

mer

o d

e tu

rist

as

(en

mile

s)

2 450

2 400

2 350

2 300

2 250

2 200

2 150

2 100

2 050

2 000

1 950

1 900

1 850

1 800

1 750

1 700

1 650

1 600

1 550

1 500

1 450

1 400

1 350

1 300


Meses

Visitantes extranjeros en México en los años 2004 y 2005

Año 2004

Año 2005

MAT2 B4 S28.indd 181 9/10/07 12:42:38 PM

22 050 000 12 000

mayor

1 300

marzo


182

secuencia 28a) ¿Cuántos extranjeros visitaron nuestro país en enero de 2004? ¿Y en enero de

2005?

b) ¿En qué mes de 2005 tuvimos más visitantes extranjeros? ¿Y de 2004?

c) La tendencia de las variaciones en el número de turistas que visitaron nuestro país

en el año 2004, ¿se mantiene en el 2005?

d) Considerando esta información y la que muestra la gráfica de línea del gasto que

hicieron los turistas, ¿en qué mes será más conveniente abrir la tienda de arte-

sanías, en marzo o diciembre?

2. La esperanza de vida al nacer se refiere al número de años que en promedio se espera viva un recién nacido, considerando que a lo largo de su vida estará expuesto a dife-rentes riesgos. En el año de 1930 en México, la esperanza de vida para una mujer era de 35 años, mientras que para los hombres era de 33 años, lo que significa una dife-rencia de 2 años. Para el año 2000, la esperanza de vida para una mujer era de 77años y para el hombre, de 72 años.

a) Las siguientes gráficas de línea resentan está información; en su cuaderno, elabo-ren una tabla que corresponda con está información.

Fuente: INEGI. Censo General de Población, 2000.

Esperanza de vida al nacer por sexo en México

Décadas

Añ

os

de

vid

a

1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000

90

80

70

60

50

40

30

20

10

0

Mujeres

Hombres

MAT2 B4 S28.indd 182 9/10/07 12:42:38 PM

Respuestas.

a) 1 640 000 en enero del 2004 y 1 810 000 en enero del 2005.

b) Diciembre en ambos años.

c) Sí se mantiene la tendencia, aunque en el 2005 el número de visitantes fue mayor.

d) En marzo, pues aunque no es el mes con mayor número de visitantes, es en el que los turistas hacen más gastos.

Respuestas.

a)

Mujeres Hombres

1930 35 33

1940 40 38

1950 49 45

1960 59 56

1970 63 59

1980 69 63

1990 74 68

2000 77 72


183

IIMATEMÁTICASb) ¿Cuál era la esperanza de vida para las mujeres en los años de 1950 y 1980?

c) En general, ¿cuál ha sido el comportamiento en cuanto a la esperanza de vida de

mujeres y hombres en México a través de los años?

d) ¿Se ha incrementado o se ha reducido?

e) ¿Entre qué años presentó el mayor incremento?

3. Para ampliar lo que saben sobre el uso de las gráficas de línea en la representación de distintos fenómenos pueden ver el programa Análisis de datos en gráficas de línea.

Para saber más

Sobre la variación en el número de turistas extranjeros y nacionales, los empleos relacionados con el turismo, la cantidad de vuelos y pasajeros consulten:http://www.sectur.gob.mxRuta: Estadísticas del Sector-DataTur Publicaciones y documentos Resultadosde la actividad Turística Seleccionar el reporte más actual del año 2007.[Fecha de consulta: 24 de agosto de 2007].Secretaría de turismo.

MAT2 B4 S28.indd 183 9/10/07 12:42:38 PM

Respuestas.

b) 49 años en 1950 y 69 años en 1980.

c) Ha aumentado a través de los años, aunque siempre la esperanza de vida de las mujeres es más alta que la de los hombres. El mayor incremento se dio de 1950 a 1960.

d) Se ha incrementado.

e) Entre 1950 y 1960.

Propósito del programa integrador 23. Presentar gráficas de línea que representan variaciones en el tiempo de ciertos fenómenos, interpretarlas y mencionar sus características.



Propósito de la actividad. Se pretende que los alumnos anticipen cómo se verá la gráfica en un fenómeno de llenado de recipientes.

Por ejemplo, si en un primer momento el nivel del agua sube más rápido que en un segundo momento, el primer segmento de la gráfica tendrá una pendiente mayor que la del segundo segmento.

Propósito del interactivo. Hacer experimentos para observar el comportamiento de la gráfica del nivel del agua contra el tiempo que tarda en llenarse.

Eje


Tema

Representación de la información.

Antecedentes

Anteriormente los alumnos han representado distintos tipos de situaciones mediante gráficas lineales. Ahora utilizarán gráficas lineales en segmentos para representar y analizar otros fenómenos.

Propósito de la secuencia Interpretar y elaborar gráficas formadas por segmentos de recta que modelan situaciones

relacionadas con movimiento, llenado de recipientes, etcétera.


1

Albercas para chicos y grandes Interpretar y anticipar el comportamiento de gráficas formadas por segmentos de recta que modelan situaciones de llenado de recipientes.

Video Llenado de recipientes

Interactivo Gráficas formadas por segmentos de rectas

2De aquí para allá y de allá para acá Interpretar gráficas formadas por segmentos de recta que modelan una situación.

3Camino a la escuela Construir gráficas asociadas a fenómenos lineales a pedazos.

Interactivo Gráficas formadas por segmentos de rectas

Programa integrador 24

184

secuencia 29

En esta secuencia aprenderás a interpretar y elaborar gráficas forma-das por segmentos de recta que modelan situaciones relacionadas con movimiento y llenado de recipientes.

ALBERCAS PARA CHICOS Y GRANDESPara empezarEn la comunidad del Rosario se ha instalado una nueva alberca que tiene dos niveles de profundidad; uno para los niños y otro para los adultos. La profundidad de la alberca en la sección para niños es de 1 m y corresponde a una tercera parte de la superficie de la alberca. La sección para adultos corresponde a las otras dos terceras partes y tiene 2 m de profundidad.

SESIóN 1

Gráficas formadas por rectas

Consideremos lo siguienteSe ha abierto la llave para llenar de agua la alberca de la Comunidad del Rosario. Esta llave arroja siempre la misma cantidad de agua por minuto. Conforme avanza el tiempo la altura que alcanza el nivel del agua va aumentando.

2 m

23

13

1 m

Nivel

1 m

MAT2 B4 S29.indd 184 9/10/07 12:43:07 PM

Propósito de la sesión. Interpretar y anticipar el comportamiento de gráficas formadas por segmentos de recta que modelan situaciones de llenado de recipientes.

Organización del grupo. En las tres sesiones se propone que los alumnos trabajen en parejas, excepto en los apartados Lo que aprendimos.


185

IIMATEMÁTICASDe las siguientes gráficas, ¿cuál representa la variación del nivel del agua con respecto al tiempo transcurrido?

Tiempo

Niv

el

TiempoN

ivel

Tiempo

Niv

el

Tiempo

Niv

el

a) b) c) d)

Comparen sus respuestas y comenten cómo le hicieron para decidir cuál gráfica era la correcta.

Manos a la obraI. Observen las siguientes dos albercas. Tienen la misma profundidad, pero una es más

pequeña que la otra. Las dos son llenadas con una llave que arroja la misma cantidad de agua por minuto.

Alberca 1 Alberca 2

a) ¿Cuál de las dos albercas tarda más tiempo en llenarse?

b) ¿En cuál de ellas el nivel de agua sube más rápido?

c) ¿Cuál de las siguientes gráficas corresponde a esta situación?

Tiempo

Niv

el

Alberca 1 Alberca 2

Tiempo

Niv

el

Alberca 2 Alberca 1

Tiempo

Niv

el

Alberca 2 Alberca 1

Tiempo

Niv

el

Alberca 2 Alberca 1

a) b) c) d)

MAT2 B4 S29.indd 185 9/10/07 12:43:08 PM

Sugerencia didáctica. Quizá los alumnos no puedan anticipar cómo se verá la gráfica que representa el fenómeno planteado. Si ocurre, no los corrija en este momento, pero pídales que expliquen por qué eligieron tal o cual gráfica.

Respuestas.

La respuesta correcta es c).

La gráfica debe estar formada por segmentos de recta, pues el nivel sube a una velocidad constante al principio y, después de alcanzar el metro de altura, cambia a una velocidad constante menor. En consecuencia, la pendiente al principio es mayor y luego disminuye.

Propósito de las actividades. En las siguientes actividades se estudiarán y repasarán algunas propiedades de la gráfica asociada al llenado de recipientes. Con esto el alumno tendrá disponibles los elementos para abordar la actividad del apartado Consideremos lo siguiente.

Respuestas.

a) La alberca 1 porque es más ancha.

b) En la alberca 2 porque es más angosta.

c) La gráfica b).


186

secuencia 29d) Comparen sus respuestas y comenten cómo le hicieron para decidir cuál gráfica

era la correcta.

II. Observen la alberca que construyeron en la Comunidad del Rosario. Podemos dividir-la en dos partes: antes de un metro de profundidad (parte 1) y después de un metro de profundidad (parte 2).

a) ¿Qué parte tiene más espacio?

b) Cuando el nivel del agua cambia de la parte 1 a la parte

2, la rapidez con la que sube el agua, ¿aumenta, disminu-

ye o se queda igual?

III. Observen la siguiente cisterna. Se está llenando con una llave que arroja la misma cantidad de agua cada minuto. De las dos gráficas de la derecha, ¿cuál representa la variación del nivel del agua con respecto al tiempo?

¿Por qué?

Tiempo

Niv

el

Tiempo

Niv

el

a) b)

A lo que llegamos Llenado de recipientes

Con frecuencia encontramos fenómenos donde la gráfica asociada a dos cantidades que varían resulta ser la unión de dos o más segmentos de recta. Por ejemplo, el llenado de una alberca o una cisterna que tiene diferentes formas y distintos niveles de profundidad. A las gráficas que se forman por segmentos de recta se les conoce como lineales por pedazos.

Cuando se estudia una gráfica lineal por pedazos hay que tomar en cuenta las pendientes de los segmentos. Por ejemplo, en la siguiente gráfica, la pendiente del primer segmento es mayor que la del segundo. Es decir, la ordenada aumenta más rápido en el primer segmento que en el segundo.

AbscisaO

rden

ada

Parte 1

Parte 2

MAT2 B4 S29.indd 186 9/10/07 12:43:10 PM

Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que expliquen por qué consideran que las opciones que no eligieron son incorrectas.

Explicar por qué las opciones c) y d) son incorrectas puede ser difícil. Ayúdelos explicando uno de los ejemplos y pidiendo que ellos expliquen el otro.

Respuestas.

a) La parte 2.

b) Disminuye.

Respuesta.

La gráfica a) porque la primera parte de la cisterna es más grande, por lo tanto, tardará más tiempo en subir el nivel. Una vez llena esa primera parte, en la segunda subirá el nivel con mayor rapidez.

Descripción del video. Se muestra de forma animada y a partir de ejemplos que, en el llenado de recipientes, el nivel del agua tiene un comportamiento lineal por pedazos. Además se hace notar cómo la velocidad a la que sube el nivel del agua cambia repentinamente en distintos niveles y que esto se refleja en la gráfica como un cambio en la pendiente (que aumenta o disminuye según sea el caso).


187

IIMATEMÁTICAS

Lo que aprendimos1. Observen la peculiar cisterna que aparece en la figura de abajo, su tamaño cambia en

tres niveles de profundidad. La cisterna está siendo llenada por una llave que arroja la misma cantidad de agua cada minuto. De las gráficas que aparecen más abajo, ¿cuál representa la variación del nivel del agua con respecto al tiempo? ¿Por qué?

Tiempo

Niv

el

Tiempo

Niv

el

Tiempo

Niv

el

TiempoN

ivel

a) b) c) d)

2. Comparen sus respuestas y decidan cuál de las gráficas anteriores corresponde al llenado de la siguiente cisterna.

MAT2 B4 S29.indd 187 9/10/07 12:43:11 PM

Respuesta. La cisterna tiene tres distintos niveles de profundidad; nivel inferior, intermedio y superior. Como el nivel intermedio es el más amplio, ahí debe subir el agua más lentamente y como el superior es el más angosto ahí debe subir el agua más rápidamente. En la gráfica esto se refleja así: el segmento intermedio debe ser el de menor inclinación (pendiente) y el último segmento debe ser el de mayor inclinación.

En la gráfica a) el primer segmento es el de menor pendiente y debiera ser el segundo.

En la gráfica b) el primer segmento es el de mayor pendiente y debiera ser el último.

En la gráfica d) el último segmento es el de menor pendiente y debiera ser el segundo.

La única gráfica que corresponde a la cisterna es la del inciso c).

Integrar al portafolios. Utilice una de estas dos actividades para ver si los alumnos comprendieron lo estudiado hasta aquí. Si fuera necesario, haga un repaso.

Respuesta.

La gráfica b).

Sugerencia didáctica. Una vez que hayan obtenido la respuesta correcta, forme equipos o parejas y pídales que dibujen una cisterna que corresponda a las gráficas a) y d).


188

secuencia 29

DE AQUÍ PARA ALLÁ Y DE ALLÁ PARA ACÁConsideremos lo siguienteUn autobús realiza un viaje redondo de la ciudad de México a Guanajuato. La siguiente gráfica muestra la distancia a la que se encontraba el autobús de la Ciudad de México durante todo el trayecto de ida y vuelta.

Tiempo (horas)

500

450

400

350

300

250

200

150

100

50

Dis

tan

cia

(kiló

met

ros)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Gráfica 1

El siguiente texto es narrado por el conductor del autobús; en él, el conductor nos pla-tica sus experiencias en el viaje México-Guanajuato. Léanlo y completen los espacios marcados haciendo uso de la gráfica.

SESIÓN 2

Esa mañana llegué a la central de autobuses una hora antes de mi salida, lo cuál me permitió comer un rico desayuno en la cafetería de la central. Se acercó la hora de la salida y gustosamente me subí a la unidad que me tocaría conducir para ese viaje. Los pasajeros llegaron a tiempo para cargar su equipaje, por lo que me fue posible salir sin demoras.

Como el tráfico en la carretera estaba tranquilo, aceleré un poco más de lo programado. Tal vez por ello, a las horas de viaje, la unidad empezó hacer un ruido y me vi forzado a detenerme. Algunos pasajeros se molestaron, les pedí que tuvieran paciencia. Bajé de la unidad y me puse a revi-sar el motor: lo bueno que en el curso de ingreso me enseñaron algunas cosas de mecánica y pude reparar el motor en más o menos . Tomé de nuevo la carretera y decidí irme más despacio para asegurar que no volviera a suceder lo mismo. Con todo y la demora, el viaje de ida duró en total

horas.

Una vez en Guanajuato, metí la unidad al taller de la empresa. ¡La dejaron muy bien! La tuvieron jus-to a tiempo para mi próxima salida de regreso a la ciudad de México. En las horas que estuve en Guanajuato, aproveché para comer y hablarle a mi familia. El regreso no tuvo problemas, el viaje duró lo normal, horas.

Con esta experiencia aprendí que no es bueno llevar la unidad a km/h, pues puede llegar a descomponerse.

MAT2 B4 S29.indd 188 9/10/07 12:43:11 PM

Propósito de la sesión. Interpretar gráficas formadas por segmentos de recta que modelan una situación.

Propósito de la actividad. Se pretende que el alumno recupere información de una gráfica lineal por pedazos apoyándose en la localización de puntos en el plano coordenado. En este caso, se trata de la velocidad.

3

6

1h

4

5100

Posibles dificultades. Como la velocidad no es un dato que se pueda obtener de la ordenada o la abscisa, sino analizando ambas, puede ser difícil para los alumnos saber cuál fue la velocidad en una parte del trayecto. Invítelos a que traten de dar un valor y que después lo comparen con la gráfica a ver si concuerda.


189

IIMATEMÁTICASComparen sus respuestas y comenten.

¿Cómo hicieron para completar el texto?

Después de reparar el motor, el chofer redujo la velocidad, ¿a qué velocidad creen que iba?

Manos a la obraI. Sobre la siguiente gráfica, se han marcado con letras algunos de sus puntos.

Tiempo (horas)

500

450

400

350

300

250

200

150

100

50

Dis

tan

cia

(kiló

met

ros)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

A

BC

D E

F

Cada uno de los siguientes enunciados se refiere a diferentes puntos sobre la gráfica. Escriban en el espacio marcado, el nombre del punto al que se refiere cada enunciado.

a) Sale el autobús de la ciudad de Guanajuato.

b) Regresa el autobús a la ciudad de México.

c) Se escucha un ruido y se detiene el autobús.

d) Se repara el motor y el autobús continúa su trayecto.

e) Sale el autobús de la ciudad de México.

f) Llega el autobús a la central de Guanajuato.

II. Observen la gráfica y contesten las siguientes preguntas:

a) Desde que salió de México hasta el momento de descomponerse, ¿cuál fue la dis-

tancia que recorrió el autobús? ¿en cuánto tiempo recorrió esa

distancia? ¿qué velocidad llevaba?

b) Desde que se reparó el motor hasta que llegó a Guanajuato, ¿cuál fue la distancia

que recorrió el autobús? ¿en cuánto tiempo recorrió esa dis-

tancia? ¿qué velocidad llevaba en ese tramo?

Comparen sus respuestas y comenten la siguiente información.

MAT2 B4 S29.indd 189 9/10/07 12:43:12 PM

Sugerencia didáctica. Pida a dos o tres alumnos que expliquen sus estrategias para completar el texto. Si hay diferentes respuestas, dígales que den argumentos a sus compañeros como para tratar de convencerlos de que la suya es la respuesta correcta. Si no hay acuerdos, sigan adelante y posteriormente vuelvan a esta actividad.

Respuestas.

a) Recorrió 300km en 3 horas a una velocidad de 100km/h.

b) Recorrió 150km en 2 horas a una velocidad de 75km/h.

E

F

B

C

A

D


190

secuencia 29

A lo que llegamosCuando una gráfica de distancia con respecto al tiempo resulta ser una gráfica lineal por pedazos, los distintos segmentos representan periodos de velocidad constante y los picos representan cambios de velocidad.

iii. Calculen las distintas velocidades representadas por cada uno de los segmentos en la gráfica 1.

Lo que aprendimosLa siguiente gráfica es lineal por pedazos y corresponde a la relación entre tiempo y distancia de alguna de las siguientes dos situaciones.

Lee con cuidado las dos situaciones y decide a cuál de ellas corresponde la gráfica. Señala con una .

Un automóvil sube a una meseta, llega a la parte plana, continúa avanzando y después desciende. Se grafica la distancia recorrida por el automóvil res-pecto al tiempo.

Un niño va de su casa a la escuela, se queda ahí un tiempo y regresa a su casa. Se grafica la distancia a la que el niño está de su casa respecto al tiempo.


a) ¿En algún momento ocurre que, conforme el tiempo pasa, la distancia recorrida por el automóvil aumenta?

b) ¿En algún momento ocurre que la distancia recorrida disminuye?

c) ¿Ocurre que, conforme pasa el tiempo, la distancia recorrida se queda igual?

d) ¿En algún momento la distancia a la que se encuentra el niño de su casa aumenta o disminuye?

e) ¿Cómo se debe ver esto en la gráfica?

CAMINO A LA ESCUELAPara empezarCruz es un niño muy estudioso, cada día camina dos kilómetros para ir a la escuela. En su camino, Cruz tiene que subir y bajar un pequeño cerro, el cerro de Santa Fe, como se muestra en la figura.

SESIÓN 3

Tiempo

Dis

tan

cia

MAT2 B4 S29.indd 190 9/10/07 12:43:13 PM

Sugerencia didáctica. Haga notar que en el ejemplo del autobús, el primer segmento representa un periodo de 3 horas a una velocidad constante de 100 km/h y el tercer representa un periodo de 2 hora a una velocidad constante de 75 km/h.

Sugerencia didáctica. Pida que tambíen calculen la velocidad en los segmentos horizontales dónde la velocidad resulta ser cero.

Posibles dificultades. La respuesta correcta es la situación del inciso b) porque es cierto que durante el tiempo que el niño estuvo en la escuela no hubo modificación en la distancia a la que se encontraba con respecto a su casa.

Sin embargo algunos alumnos podrían elegir la situación del inciso a) por el parecido que hay entre la gráfica y una meseta. La situación del automóvil no corresponde a la gráfica porque una vez que estuvo en la meseta siguió avanzando, es decir, no hubo ningún lapso en el que dejara de moverse. Además, en la gráfica se muestra que el automóvil regresó al punto de partida, lo cual tampoco concuerda con lo planteado en la situación.

Sugerencia didáctica. Organice una discusión grupal cuando lleguen a este punto. Lea cada pregunta y pida la participación de distintos alumnos para irlas contestando. Resalte las diferencias y semejanzas entre las participacio-nes de los alumnos y discutan cada punto hasta que lleguen a un acuerdo.

Una vez que sepan cuál es la respuesta correcta y que hayan contestado estas preguntas, pida a los alumnos que tracen una gráfica que sí represente la situación del automóvil. Propósito de la sesión. Construir gráficas

asociadas a fenómenos lineales a pedazos


191

IIMATEMÁTICAS

Consideremos lo siguienteCruz camina a una velocidad de 1.5 m/s cuando el terreno es plano, 0.5 m/s cuando es de subida y 3 m/s cuando es de bajada.

Grafiquen la distancia recorrida por Cruz con respecto al tiempo.

Tiempo en segundos

2 000

1 800

1 600

1 400

1 200

1 000

800

600

400

200

Dis

tan

cia

en m

etro

s

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1 000 1 100 1 200 1 300 1 400

Manos a la obraI. Contesten las siguientes preguntas:

a) ¿Cuántos segundos tarda Cruz en caminar los primeros 600 m?

b) ¿Cuántos segundos tarda en caminar los 200 m de subida al cerro de Santa Fe?

600 m600 m

200 m 600 m EscuelaCasa

MAT2 B4 S29.indd 191 9/10/07 12:43:16 PM

Propósito de la actividad. La intención es que los alumnos anticipen el comportamiento de una gráfica y que hagan una descripción detallada del mismo.

Sugerencia didáctica. Asegúrese de que los alumnos han comprendido la información para hacer la gráfica. Puede dibujar en el pizarrón la figura del recorrido de Cruz para hacer hincapié en la velocidad varía dependiendo del terreno (si es plano, de subida o de bajada).

Luego puede pedirles que se imaginen cómo se va a ver la gráfica una vez que la tracen. Podría preguntarles si creen que la gráfica se va a ver igual que el dibujo del trayecto o si se va a ver distinto. Si piensan que se va a ver distinto, pase a algunos alumnos al pizarrón para que hagan un dibujo sencillo de cómo creen que va a quedar la gráfica.

Sugerencia didáctica. Es importante que los alumnos entiendan diferencias que hay entre cada pregunta, especialmente en casos como el del inciso d). Usted podría hacer el dibujo en el pizarrón y explicar que los primeros 800 m son desde casa de Cruz hasta la cima del cerro.

Respuestas.

a) 400 segundos (son 600 metros y va a 1.5m/s).

b) 400 segundos (son 200 metros y va a 0.5m/s).

Propósito del interactivo. Construir gráficas asociadas a fenómenos lineales a pedazos.


192

secuencia 29c) ¿Cuántos segundos tarda en los 600 m de bajada?

d) ¿Cuántos segundos tarda en recorrer los primeros 800 m de su casa a la escuela?

e) ¿Cuántos segundos tarda en recorrer los primeros 1 400 m?

f) ¿Cuántos segundos tarda Cruz en llegar a la escuela desde su casa?

g) ¿A cuántos minutos equivale?

ii. Completen la siguiente tabla para determinar algunos puntos de la gráfica que repre-senta el recorrido de Cruz.

Tiempo x(en segundos)

Distancia y(en metros) Punto (x, y )

200 A = (200, )

600 B = ( , 600)

600 C = (600 , )

800 D = ( , 800)

1 000 E = (1 000, )

1 200 F = (1 200, )

1 400 G = (1 400, )

iii. Tracen (o ubiquen) los puntos cuyas coordenadas acaban de calcular, en el plano cartesiano del principio.


a) ¿Cómo hicieron para llenar la tabla?

b) ¿Todos los puntos quedaron sobre la gráfica que hicieron al principio?

iV. Contesten las siguientes preguntas.

a) ¿Cuál es la velocidad de Cruz en los primeros 600 m?

Denotemos con la letra y la distancia (en metros) que Cruz lleva recorrida y con xel tiempo (en segundos). Escribe una expresión que relacione x con y cuando Cruz aun no llega al cerro Santa Fe.

y =

¿Es esta relación lineal? ¿Cómo se ve su gráfica?

MAT2 B4 S29.indd 192 9/10/07 12:43:17 PM

Respuestas.

c) 200 segundos (son 600 metros y va a 3m/s).

d) 800 segundos.

e) 1000 segundos.

f) 1400 segundos.

g) 23.33 minutos.

Sugerencia didáctica. Cuando hayan contestado todos los incisos pregunte a los alumnos cuántos segundos son 0.333… minutos. Es común que los alumnos piensen que son 33 segundos, pero no es así. 0.333… es igual a 1

3 , es decir, la tercera parte de un

minuto o 20 segundos.

Sugerencia didáctica. Es posible que los alumnos se hayan percatado de que cometieron errores al trazar la gráfica en el apartado Consideremos lo siguiente. Déles un tiempo para que hagan las correcciones pertinentes.

Respuestas.

a) En los primeros 600 metros Cruz va a una velocidad de 1.5m/s, así que la expresión sería y = 1.5x. Es una relación lineal y su gráfica es de proporcionalidad directa (una recta que pasa por el origen).

300 300

400 400

700 700

800 800

1400 1400

1700 1700

2000 2000


193

IIMATEMÁTICASb) ¿Cuál es la velocidad a la que camina Cruz cuando recorre los 200 m de subida al

cerro?

En el intervalo de tiempo que tarda en subir, ¿cómo es la gráfica?

c) La gráfica que construyeron para describir el camino de Cruz a la escuela, ¿debe ser lineal por pedazos? ¿Por qué?

A lo que llegamosSi un fenómeno relaciona dos cantidades de tal manera que su comportamiento es lineal por pedazos, se puede hacer su gráfica encontrando sólo algunos puntos “clave”:

1. Los puntos que representan el inicio y el fin del fenómeno. Por ejemplo, el punto O = (0,0) es el punto que representa el momento cuando Cruz no ha salido de su casa (inicio), y el punto G = (1 400, 2 000) representa el momento en que Cruz llega a la escuela (fin).

2. Los puntos donde cambia la pendiente. Por ejemplo, los momentos en que Cruz cambió su velocidad (antes de subir al cerro, en la cima del cerro y cuan-do bajó del cerro).

Una vez que se calculan las coordenadas de esos puntos, se puede dibujar la gráfica localizándolos en el plano y luego uniéndolos con segmentos de recta. Por ejemplo, si O = (0,0), P = (2,3), Q = (4,5) y R = (8,4)son los puntos de inicio, fin y cambio de pendiente de un fenómeno, entonces la gráfica de éste es:

Lo que aprendimos1. En tu cuaderno, haz la gráfica de la distancia recorrida por Cruz con respecto al tiem-

po, cuando éste camina de regreso a su casa.

2. Para conocer más ejemplos de fenómenos que se representan con gráficas formadas por segmentos de recta pueden ver el programa Interpretación de gráficas forma-das por segmentos.

Para saber más

Sobre gráficas, consulta:

http://descartes.cnice.mecd.es/1y2_eso/Interpretacion_de_graficas/Graficas.htm[Fecha de consulta: 15 de junio de 2007].Proyecto Descartes, Ministerio de Educación y Ciencia, España.

y

xO

P

QR

MAT2 B4 S29.indd 193 9/10/07 12:43:18 PM

Respuesta.

b) En la subida al cerro Cruz camina a una velocidad de 0.5m/s. Ahí la gráfica es una línea con una pendiente menor que el pedazo anterior.

Posibles respuestas.

c) La gráfica sí es lineal por pedazos, lo importante es que los alumnos puedan argumentar sus respuestas. Podrían decir cosas como porque cada parte del trayecto es una recta pero con distinta pendiente.

Integrar al portafolios. Pida a los alumnos una copia de su gráfica. Analícela y si es necesario, repase los apartados Manos a la obra de las dos sesiones y proponga otras actividades similares a las de Lo que aprendimos.

Propósito del programa integrador 24. Mostrar gráficas formadas por segmentos de recta las cuales modelan situaciones o fenómenos que relacionan dos cantidades, e interpretarlas.


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