sección 6.2 ecuaciones trigonométricas - mate 3172 · como el periodo de tan 1 2 ... solucion...
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Introducción • Una ecuación trigonométrica es una
ecuación que contiene expresiones
trigonométricas.
• Si una ecuación trigonométrica no es
una identidad, podemos encontrar
sus soluciones, si existen, por medios
similares a los que usamos para las
ecuaciones algebraicas.
Introducción La diferencia principal es que para las
ecuaciones trigonométricas
o primero se resuelve la ecuación para la
función trigonométrica
• tener la razón trigonmétrica aislada en
un lado de la ecuación.
o luego, resolver para el argumento.
• aislar la variable en un lado de la
ecuación
Ejemplo Hallar todas las soluciones para la
ecuación cos 2θ = 2
2 si θ está en el
intervalo [0, 2π)
Solución: a) Supones que x = 2θ, entonces
b) Si cos x = 2
2 , entonces el ángulo de referencia es
𝜋
4
c) Existen dos soluciones para cos x = 2
2 en [0, 2𝜋) :
y
*A este paso le llamamos resolver para la función
trigonométrica.
x = 𝜋
4 x = 2𝜋 −
𝜋
4=
7𝜋
4
Solución (cont.) Debemos encontrar θ en [0, 2π), tal que:
2θ = 𝜋
4 y 2θ =
7𝜋
4 , si cos 2θ =
2
2
Existen dos soluciones en [0, 𝜋]
θ = 𝜋
8 y θ =
7𝜋
8
Y en [𝜋, 2𝜋]: θ =𝜋
8+ 𝜋 =
9𝜋
8 y
θ =7𝜋
8+ 𝜋 =
15𝜋
8
*A este paso le llamamos resolver para el argumento.
Ejemplo
Como la función cos 2𝜃 tiene periodo de 𝜋,
podemos obtener las soluciones para
cualquier número real sumando múltiplos de
𝜋 a cada solución de la parte a.
θ = 𝜋
8 + 𝜋n y θ =
7𝜋
8 + 𝜋n, donde n= 0,1, 2, …
Hallar todas las soluciones para la ecuación
cos 2θ = 2
2
si θ es cualquier número real .
Solution (cont’d)
y=cos 2x
y = 2
2
𝟕𝜋
8
𝟗𝜋
8
𝟏𝟓𝜋
8
𝟏𝟕𝜋
8
𝟐𝟑𝜋
8
𝟐𝟓𝜋
8
𝟑𝟏𝜋
8
Como alternativa, podemos obtener una solución
gráfica observando la intersección de las gráficas de
y = cos 2x , y = 2
2
Ejemplo • Hallar todas las soluciones para la
ecuación tan 1
2u = –1.
• Solución
• tan x tiene un periodo de π, por lo
tanto tan1
2𝑥 tiene periodo de 2π
• Resolveremos de la siguiente forma: o Resolver para tan x
o Luego, resolver para u.
o Finalmente, sumar múltiplos de 2π a las soluciones hallados en el paso anterior.
Si tan x = -1, entonces el
ángulo de referencia es 𝜋
4.
Como tan x < 0 en los
cuadrantes II y IV,
existen dos soluciones en [0, 2𝜋] para tan x = -1 :
y
*A este paso le llamamos resolver
para la función trigonométrica.
Solución (cont)
x = 3𝜋
4 x = 𝜋 +
3𝜋
4=
7𝜋
4
Solución (cont) • Entonces si
1
2u =
3𝜋
4 y
1
2u =
7𝜋
4
Entonces, en [0, 2𝜋)
u = 6𝜋
4=
3𝜋
2 y u =
14𝜋
4=
7𝜋
2
*A este paso le llamamos resolver para el argumento.
Solución (cont) Como el periodo de tan
1
2u es 2𝜋,
las demás soluciones se pueden
determinar como sigue:
u = 3𝜋
𝟐+ 2𝜋𝑛, n ∈ 𝑍
*Note que 3𝜋
2+ 2𝜋 =
7𝜋
2 . Así que, en este caso, NO
necesitamos otra fórmula para obtener todas las soluciones reales.
Solucion (cont) Podemos obtener una solución gráfica observando la
intersección de las gráficas de y = tan 1
2x , y = -1
𝟑𝜋
2
𝟕𝜋
2
𝟏𝟏𝜋
2
𝟏𝟓𝜋
2
Ejemplo • Resolver la ecuación
sin θ tan θ = sin θ.
• Solución
Nota: Sería incorrecto comenzar el ejercicio dividiendo ambos lados entre sin θ, ya que no hubiéramos obtenido las soluciones a sin θ = 0.
Hemos resuelto para las funciones trigonométricas.
Solución (cont.)
• Las soluciones de la ecuación
sin θ = 0 son
0, ±π, ±2π,…. etc,
Si el sin θ = 0 entonces θ = 𝜋𝑛, para n entero.
Solución (cont) En un periodo de tan x, la ecuación
tan θ = 1
tiene una sola solución, esto es θ = π/4.
Las soluciones a tan θ = 1 para todos los reales están
dadas por
𝜃 =𝜋
4+ 𝜋𝑛, 𝑛 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜.
En conclusión, las soluciones para la ecuación
sin θ tan θ = sin θ
son
𝜽 = 𝝅𝒏 𝒚 𝜽 =𝝅
𝟒+ 𝝅𝒏, 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒏 𝒆𝒏𝒕𝒆𝒓𝒐
Ejemplo
• Solución
Hemos resuelto para la función trigonométrica. Ahora resolvemos para el argumento
• Resolver la ecuación en
[0, 360o)
2cos2 u = 1 - cos u.
Ejemplo Resolver, gráficamente, en [0, 360o) la
ecuación 2cos2 u = 1 - cos u
• Solución
x=60 x=180 x=300
Ejemplo Resolver en [0, 2𝜋),
tan2 x + sec x - 1 = 0
Hemos resuelto para la función trigonométrica.
Solución
Resolveremos para el argumento, usando las relaciones recíprocas.
Ejemplo Resolver gráficamente, en [0, 2𝜋),
la ecuación tan2 x + sec x - 1 = 0
Solución (cont.)
Graficaremos, y1= tan2 x + sec x y2 = 1
𝛑
𝟒
𝛑
𝟐 𝛑 𝟐𝛑
𝟎 𝟐𝛑
𝟑
𝟒𝛑
𝟑
Solución (cont.) • La segunda ecuación no tiene solución.
• La primera ecuación es equivalente a
• Como el ángulo de referencia para 2u es π/4, obtenemos la siguiente tabla :