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UNIVERSIDAD CATOLICA ANDRÉS BELLO

Facultad de IngenieríaEscuela de Telecomunicaciones

© 2004 by R.Banchs SEÑALES Y SISTEMAS II: TRANSFORMADA Y SERIE DE FOURIER EN TIEMPO DISCRETO

1

Señales y Sistemas IIMódulo II: Transformada y Serie de

Fourier en Tiempo Discreto




2Contenido de este módulo

1.- Respuesta en frecuencia de un sistema LIT

2.- La transformada de Fourier en tiempo discreto (DTFT)

3.- La serie de Fourier en tiempo discreto (DTFS)

4.- Las transformadas discreta (DFT) y rápida (FFT)




3








4Entrada exponencial compleja

Consideremos un sistema LIT con entrada x[n] = e jω n

Entonces su salida y[n] está dada por:

e jωn y[n]SISTEMALIT

y[n] = h[n] e jω n = h[k] e jω (n -k) = e jω n h[k] e - jω kΣk - ∞=

∞

Σk - ∞=

∞

*




5Respuesta en frecuencia

Donde la función compleja H(e jω) definida por:

se denomina la respuesta en frecuencia del sistema.

H(e jω) = h[k] e - jω k = | H(e jω) | eΣk - ∞=

∞j H(e jω)




6Autofunción de los sistemas LIT

La exponencial compleja e jωn constituye una autofunción

para los sistemas LIT

La respuesta de un sistema LIT a una entrada del tipo e jωn

es una versión escalada y retardada de la entrada:

y[n] = H(e jω) e jωn = | H(e jω) | e

e jωn H(e jω) e jω nSISTEMALIT

j (ωn + H(e jω) )




7Ejercicio II.1

• RESPUESTA EN FRECUENCIA

Halla una expresión para la respuesta en frecuencia

H(e jω) del diferenciador discreto causal, y esboza los

gráficos del factor de escala | H(e jω) | y del retardo

H(e jω)




8Ejercicio II.1

• RESPUESTA

Para el diferenciador discreto causal: h[k] = δ[k] – δ[k-1]

Y de la definición de respuesta en frecuencia:

H(e jω) = h[k] e - jω k = δ[k] e - jω k – δ[k-1] e - jω kΣ Σ Σk - ∞=

∞

k - ∞=

∞

k - ∞=

∞

H(e jω) = 1 – e - jω = 1 – cos(ω) + j sin(ω)




9Ejercicio II.1

• RESPUESTA (continuación)

H(e jω)=Atan sin(ω) 1– cos(ω)

| H(e jω) |= 2(1–cos(ω))

-3

-2

-1

0

1

2

3

−2π −π 0 π 2π0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

−2π −π 0 π 2π




10








11DTFT fórmula de síntesis

Toda secuencia discreta x[n] absolutamente sumable puede

ser representada mediante una suma ponderada de infinitas

exponenciales complejas infinitesimales:

donde la función de ponderación X(e jω) se conoce como la

transformada de Fourier en tiempo discreto (DTFT) de x[n]

x[n] = X(e jω) e jωn dωπ

∫−π

12π




12DTFT fórmula de análisis

X(e jω) = x[n] e - jω nΣn - ∞=

∞

La función de ponderación X(e jω) se construye mediante la

proyección ortogonal* de la secuencia x[n] sobre el espacio

definido por las exponenciales complejas:

* Sobre este asunto de la proyección volveremos con más detalle en el móduloVI




13Par transformado único

x[n] y X(e jω) constituyen un par transformado único

x[n] X(e jω)

donde es importante destacar que x[n] es una señal discreta

en tiempo y X(e jω) es una señal analógica.

Transformada directa

Transformada inversa




14Ejercicio II.2

• VERIFICACIÓN DE LA DTFT

Verifica que las ecuaciones de análisis y síntesis pre-

sentadas constituyen realmente un par transformado.

x[n] = X(e jω) e jωn dωπ

∫−π

12π

X(e jω) = x[n] e - jω nΣn - ∞=

∞




15Ejercicio II.2

• RESPUESTA

Reemplazando la ecuación de análisis en la de síntesis:

e intercambiando el orden de la sumatoria y la integral:

x[n] = e jωn dωπ

∫−π

12π x[m] e - jω mΣ

m - ∞=

∞

x[n] = e jω(n-m) dωπ

∫−π

12πx[m]Σ

m - ∞=

∞




16Ejercicio II.2


donde:

con lo que finalmente se verifica la relación inversa entre

las ecuaciones consideradas:

e jω(n-m) dω = sinc[n-m] = δ[n-m]π

∫−π

12π

x[n] = x[m] δ[n-m] = x[n]Σm - ∞=

∞




17Espectro de frecuencias

La señal X(e jω) también se conoce como espectro de frecuen-

cias, ó simplemente espectro, de la secuencia x[n].

| X(e jω) | se denomina el espectro de amplitud ó magnitud,

y X(e jω) se denomina el espectro de fase.

X(e jω) = | X(e jω) | e j X(e jω)




18Periodicidad de la DTFT

X(e j(ω +2πk)) = x[n] e – j (ω +2πk) nΣn - ∞=

∞

= x[n] e – jω n e – j 2πk n = X(e jω)Σn - ∞=

∞

X(e jω) es por definición una función periódica con período 2π

• Frecuencias mínimas: ω = 2mπ con m entero

• Frecuencias máximas: ω = (2m+1)π con m entero




19Respuesta en frecuencia y DTFT

H(e jω) = h[k] e - jω kΣk - ∞=

∞

¿ Recuerdas la definición de la respuesta en frecuencia de

un sistema lineal e invariante en tiempo ?

¡ No es más que la DTFT de su respuesta impulsiva h[n] !!!




20Simetrías complejas

• Secuencia conjugada simétrica (simetría hermiciana):

x[n] = x*[-n] Re{x[n]}+j Im{x[n]} = Re{x[-n]} -j Im{x[-n]}

• Secuencia conjugada antisimétrica:

x[n] = -x*[-n] Re{x[n]}+j Im{x[n]} = -Re{x[-n]}+j Im{x[-n]}

• Descomposición de una secuencia x[n] en partes conjugadas,

simétrica xs [n] y antisimétrica xa [n]: x[n] = xs [n] + xa [n]

donde xs [n] = ½ ( x[n] + x*[-n] ) y xa [n] = ½ ( x[n] - x*[-n] )




21Propiedades de simetría de la DTFT

Dado el par transformado x[n] X(e jω)se puede demostrar que:

x*[n]

x*[-n]

Re{x[n]}

j Im{x[n]}

xs [n]

xa [n]

X*(e–jω)

X*(e jω)

Xs (e jω)

Xa (e jω)

Re{X(e jω)}

j Im{X(e jω)}




22DTFT de secuencias reales

Dado el par transformado x[n] X(e jω)si x[n] es una secuencia real, se puede demostrar que:

: Simetría hermiciana

: Simetría par

: Simetría impar

: Simetría par

: Simetría impar

X(e jω) = X*(e–jω)

Re{X(e jω)} = Re{X(e–jω)}

Im{X(e jω)} = -Im{X(e –jω)}

|X(e jω)| = |X(e –jω)|

X(e jω) = - X(e –jω)




23Linealidad de la DTFT

Dados los pares transformados: x[n] X(e jω)y[n] Y(e jω)

Entonces se cumple que:

A x[n] + B y[n] A X(e jω) + B Y(e jω)




24Retardo en tiempo y modulación

Dado el par transformado: x[n] X(e jω)


¡ La transformada de Fourier no es invariante en tiempo !

x[n-k ]

e jλn x[n]

e–jωk X(e jω)

X(e j (ω−λ) )




25Rebatimiento



y si x[n] es real, entonces se cumple que X(e–jω) = X*(e jω)

x[-n ] X(e–jω)




26Diferencia en tiempo



x[n+k] – x[n-k] 2 j sin(ωk) X(e jω)




27Diferenciación en frecuencia



dk X(e jω)dωk

(-jn)k x[n ]




28Teorema de convolución



X(e jω) Y(e jω)x[n] y[n]*




29Teorema de modulación



X(e jλ) Y(e j(ω−λ)) dλπ

∫−π

12π

x[n] y[n]




30Teorema de Parseval



¡ La DTFT es una transformación que preserva la energía !

|X(e jω)|2 dωπ

∫−π

12π

|x[n]|2 =Σn - ∞=

∞




31Ejercicio II.3

• DEMOSTRACIÓN

Demuestra el Teorema de Parseval

|x[n]|2 =Σn - ∞=

∞

|X(e jω)|2 dωπ

∫−π

12π




32Ejercicio II.3

• RESPUESTA

Sabiendo que:

y utilizando el teorema de convolución:

podemos escribir el siguiente par transformado:

X(e jω)X*(e jω)

x[n]x*[-n]

X(e jω) X*(e jω)x[n] x*[-n]*

Σk - ∞=

∞

x[k] x*[n+k] | X(e jω) |2




34Teorema generalizado de Parseval



x[n] y*[n] =Σn - ∞=

∞

X(e jω) Y*(e jω) dωπ

∫−π

12π




35Pares transformados de interés

x[n] = δ[n]

x[n] = 1

x[n] = αn u[n] (|α|<1)

x[n] = u[n]

x[n] = e jλn

ΣX(e jω) = 2π δ(ω + 2πk)

X(e jω) = 1

X(e jω) = (1-αe–jω) –1

X(e jω) = (1-e–jω) –1 + π δ(ω+2πk)ΣX(e jω) = 2π δ(ω − λ + 2πk)Σ

k - ∞=

∞

k - ∞=

∞

k - ∞=

∞




36Más pares transformados de interés

Σk - ∞=

∞

X(e jω) =

X(e jω) = [u(ω+λ) u(λ−ω)] δ(ω+2π k)

X(e jω) = π [e jφ δ(ω−λ+2π k)

+ e–jφ δ(ω+λ+2π k)]

X(e jω) = δ(ω − 2πk/N)

Σ k - ∞=

∞

*

sin(ω (2M+1)/2)sin(ω /2)

2πN Σ

k - ∞=

∞

Σx[n] = δ[n-kN]

x[n] = u[n+M] u[M-n]

x[n]= (0<λ<π)

x[n] = cos(λn+φ)

sin(λn)πn

k - ∞=

∞




37Ejercicio II.4

• CÁLCULO DE UNA DTFT

Halla la DTFT de la secuencia pulso rectangular

Pa [n] = u[n] – u[n-a]




38Ejercicio II.4

• RESPUESTA

Partiendo de: u[n+M] u[M-n]

y aplicando un retardo de M muestras

u[n] u[2M-n] e –jωM sin(ω (2M+1)/2) / sin(ω /2)

donde u[n] u[2M-n] = u[n] - u[n-2M-1] = P2M+1 [n]

Finalmente, haciendo 2M+1 = a M = (a-1)/2

DTFT{Pa [n]} = e–jω (a-1)/2

sin(ω (2M+1)/2)sin(ω /2)

sin(ωa/2)sin(ω /2)




39Ejercicio II.4

0

1

2

3

4

5

6

−2π −π 0 π 2π

| Pa (e jω) |

Espectrode amplitud


Ejemplo: a = 5

-10 -5 0 5 10-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Pa [n]

-3

-2

-1

0

1

2

3

−2π −π 0 π 2π

Pa (e jω)

Espectrode fase




40








41DTFS fórmula de síntesis

Toda secuencia discreta periódica x[n] con período N, puede

ser representada mediante una suma ponderada de N expo-

nenciales complejas de la forma:

donde la secuencia de ponderación X[k] se conoce como la

serie de Fourier en tiempo discreto (DTFS) de x[n]

x[n] = X[k] e j2πnk/NΣk 0 =

N-11N




42DTFS fórmula de análisis

La secuencia de ponderación X[k] constituye realmente una

versión muestreada* de la DTFT de la secuencia x[n] y se

puede calcular de la siguiente manera:

* Sobre este asunto del muestreo volveremos con más detalle en el móduloVI

X[k] = x[n] e –j2πnk/NΣn 0 =

N-1




43Par transformado único

x[n] y X[k] constituyen un par transformado único

x[n] X[k]

donde es importante destacar que tanto x[n] como X[k] son

señales periódicas discretas en variable.

Transformada directa

Transformada inversa




44Notación

Las fórmulas de análisis y síntesis de la DTFS suelen

expresarse de la siguiente forma:

donde:

• El operador complejo WN se define como e –j2π /N

• Las ~ se incluyen para enfatizar el carácter periódicode las secuencias x[n] y X[k]

X[k] = x[n] WNΣn 0 =

N-1kn~ ~ x[n] = X[k] WNΣ

k 0 =

N-11N

–kn~ ~




45Ortogonalidad

Propiedad de ortogonalidad del operador WN

WN = = δ[n-mN]Σk 0 =

N-11N

–kn1, si n = mN

0, si n ≠ mNΣ

m 0 =

N-1




46Propiedades de simetría de la DTFS

Dado el par transformado x[n] X[k]se puede demostrar que:

X*[-k]

X*[k]

Xs [k]

Xa [k]

Re{X[k]}

j Im{X[k]}

x*[n]

x*[-n]

Re{x[n]}

j Im{x[n]}

xs [n]

xa [n]

~ ~

~ ~

~ ~

~ ~

~ ~

~ ~

~ ~




47DTFS de secuencias reales

Dado el par transformado x[n] X[k]si x[n] es una secuencia real, se puede demostrar que:

: Simetría hermiciana

: Simetría par

: Simetría impar

: Simetría par

: Simetría impar

X [k] = X*[-k]

Re{X [k]} = Re{X[-k]}

Im{X[k]} = -Im{X[-k]}

|X[k]| = |X[-k]|

X[k] = - X[-k]

~ ~~

~

~

~

~

~~

~

~

~

~




48Linealidad de la DTFS

Dados los pares transformados: x[n] X[k]y[n] Y[k]


~~

~~

A x[n] + B y[n] A X[k] + B Y[k]~ ~~ ~




49Dualidad

Dado el par transformado: x[n] X[k]


~~

X[n] N x[-k]~~




50Retardo en tiempo y modulación

Dado el par transformado: x[n] X[k]


~~

x[n-m]

x[n]

X[k]

X[k-λ]

WNmk~ ~

WN–λn ~ ~




51Convolución periódica en tiempo



x[m] y[n-m] X[k] Y[k]

~~

~~

~ ~~ ~Σm 0 =

N-1

Convolución Periódica




52Convolución periódica en frecuencia



~~

~~

X[i] Y[k-i]~ ~Σi 0 =

N-1

Convolución Periódica

x[n] y[n]~ ~ 1N




53Pares transformados de interés

Σm - ∞=

∞

X[k] = Nδ[k-mN]~

x[n] = 1~

Σm - ∞=

∞

x[n] = δ[n-mN]~ X[k] = 1~

Σm - ∞=

∞

X[k] = Nδ[k-p-mN]~

x[n] = e j2πnp/N~




54Más pares transformados de interés

Σm - ∞=

∞

x[n] = P2M+1 [n+M-mN]~ X[k] = sin(π (2M+1)k/N)sin(π k/N)

~

x[n] = cos(2π pn/N) Σm - ∞=

∞

X[k] = N/2 δ[k+p-mN]+δ[k-p-mN]~~

Σm - ∞=

∞

X[k] = N/(2j) δ[k+p-mN]–δ[k-p-mN]x[n] = sin(2π pn/N)~~




55Ejercicio II.5

• CÁLCULO DE UNA DTFS

Halla una expresión analítica para la serie de Fourier

en tiempo discreto de la siguiente secuencia:

Σm - ∞=

∞

x[n] = (δ[n-2m]–δ[n-2m+1])~




56Ejercicio II.5

• RESPUESTA

De la expresión de x[n] se desprende que N=2

Usando la fórmula de análisis de la DTFS

de donde finalmente se obtiene que:

X[k] = x[n] e –jπnk = (δ[n] – δ[n-1]) e –jπnkΣn 0 =

1

~

~ ~ Σn 0 =

1

X[k] = 1 – e –jπk~ X[k] = 1 – (–1)k~




57Representaciones de Fourier

En resumen, existen cuatro representaciones de Fourier

Continua en tiempo Discreta en tiempoTIPO DE SEÑAL

Periódica

No periódica

Serie en tiempocontinuo (CTFS)

Serie en tiempodiscreto (DTFS)

Transformada entiempo continuo (CTFT)

Transformada entiempo discreto (DTFT)




58








59Secuencias de duración finita

Considera una secuencia periódica x[n] con período N,esta puede ser representada de la siguiente forma:

donde la secuencia x[n] de duración finita se define como:

Σm - ∞=

∞

*x[n] = x[n] δ[n-mN]

~

~

x[n] = x[n], para 0 ≤ n < N

0, para el resto

~




60DFTS calculada con señales finitas

De forma que la DFTS de x[n] se puede calcular también

a partir de x[n]:

Y en forma totalmente análoga:

X[k] = x[n] WNΣn 0 =

N-1kn~ ~ = x[n] WNΣ

n 0 =

N-1kn

~

x[n] = X[k] WNΣk 0 =

N-11N

–kn~ ~= X[k] WNΣ

k 0 =

N-11N

–kn




61Transformada discreta de Fourier

De esta forma, se define la transformada discreta de

Fourier (DFT) de una secuencia finita x[n] de duración N,

como:

x[n] WNΣn 0 =

N-1kn

, para 0 ≤ k < NX[k] =

0 , para el resto




62Transformada discreta de Fourier

Cuya transformada inversa, o fórmula de síntesis, está

dada por:

, para 0 ≤ n < NX[k] WNΣk 0 =

N-11N

–kn

x[n] =

0 , para el resto




63Observación importante

CUIDADO !!!

La DTF es en realidad un artificio matemático mediante

el cual se usa la DTFS para representar secuencias de

duración finita. En la realidad lo que se está manipulando

son las versiones periódicas de dichas secuencias finitas.




64Transformada rápida de Fourier

Aprovechando las propiedades del operador

• Simetría:

• Periodicidad:

se pueden diseñar algoritmos de cómputo muy eficientes

para la DFT. Estos algoritmos se denominan transformadas

rápidas de Fourier (FFT).

El estudio de estos métodos no está dentro de los objetivos de este curso.

WNkn

WN = (WN )*knkn

WN = WN = WNk(n+N)kn n(k+N)




65Cálculo de la convolución vía FFT

De acuerdo con el teorema de convolución, la convolución

entre dos secuencias x[n] y y[n] puede calcularse como:

x[n] y[n] = IFFT{ FFT{x[n]} FFT{y[n]} }

la cual constituye, desde el punto de vista computacional,

una forma alternativa para el cálculo de la convolución; y

que, como veremos ahora, es más eficiente !!!

*




66Eficiencia computacional de la FFT

El costo computacional de la convolución para dos secuencias

de longitud N es de orden N2 (hay que realizar N multiplicacio-

nes N veces)

El costo computacional de la FFT de una secuencia de longitud

N es de orden (N/2) log2N

De forma que el costo computacional del cálculo de la convolu-

ción vía FFT es: 2 (N/2) log2N + 2N + (N/2) log2N




67Convolución directa vs. vía FFT

Comparación del costo computacional para el cálculo de

la convolución:

0 20 40 60 80 10010

0

101

102

103

104

Núm

ero

de o

pera

cion

es

Tamaño de las secuencias

DIRECTO

VÍA FFT




68Convolución periódica

ATENCIÓN !!! Recuerda que la representación de la DFT

asume que las secuencias son periódicas. Como consecuencia,

el resultado de calcular la convolución vía FFT es en realidad

una convolución periódica.

0 2 4 6 8 100

2

4

6

0 2 4 6 8 100

50

100

x[n] x[n] x[n]*




69Completación con ceros

Para calcular correctamente una convolución vía FFT se

deben añadir ceros al final de cada una de las secuencias

involucradas, hasta completar la longitud de la convolución

resultante.

0 5 10 15 200

2

4

6

0 5 10 15 200

50

100

x[n] x[n] x[n]*




70

Fin del Módulo IITransformada y Serie de Fourier

en Tiempo Discreto

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