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GEOMETRA ANALTICA Y

ALGEBRA

Angulo entre palnos

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Una puerta rotatoria de un centro comercialconsta de dos planos:

CASO 01: Ecuac!n "el plano

Cunto medir el ngulo entre estas dospuertas?

1 2: 5 3 9 0, : 3 2 5 6 0P x y z P x y z+ = + =

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#$u% necestas

recor"ar&

1.Ecuacin de la recta.

2.Ecuacin del plano.

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Al fnalizar la clase el alumno ser capaz de:

1. Determinar el ngulo entre dos planos en el

espacio.

2.Calcular la distancia de un punto al plano.De orma ordenada ! lgica.

Logro "e la ses!n

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'NG(LO ENTRE )LANOS

*e+nc!n : El ngulo entre planos es el mismo ngulo "ue

orman sus respecti#os #ectores normales.

Donde los #ectoresnormales son:

$ean los planos:

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

: 0

: 0

a x b y c z d

a x b y c z d

+ + + =

+ + + =( )

( )

1 1 1 1

2 2 2 2

, ,

, ,

n a b c

n a b c

=

=uur

1 2

1 2

arccos.

n n

n n

=

ur uur

ur uur

1

2

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E%emplo 1:&allar el ngulo entre los planos:

1: 4 2 6 3 0x y z

+ + =2: 2 3 5 0x y z + + =

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G(LO ENTRE (NA RECTA Y (N )LANO

*e+nc!

n :

El ngulo entre una recta ! un plano es el

complemento del ngulo "ue orman el #ectordirector de la recta ! el #ector normal al plano.Donde el #ector director !el normal respecti#amenteson:

$ean la recta ! el plano:

0 0 0 1 1 1

1 2 2 2 2

: ( ; ; ) ( ; ; ) ;

: 0

L x y z t a b c t R

a x b y c z d

+

+ + + =( )

( )

1 1 1

1 2 2 2

, ,

, ,

u a b c

n a b c

=

=ur

1

1

arccos.

u n

u n

=

r ur

r ur

1

1n Lur

90 =

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E,e-plo .:Dados la recta ! el plano:

Determinar el ngulo "ue orman.

2 3

: 1 0

x y z

L x y z

+ = + + =

:Plano XY

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*e+nc!n:'a distancia m(nima de un punto e)teriora un plano es la longitud ortogonal trazado del puntoal plano.

*roposicin: 'a distancia del punto e)terioral plano

Es:

( )

( )0 00

0 0 0

2 2 2

,

Q P n

d Q n

ax by cz d

A B C

=

+ + +=

+ +

r

r

0 0 0 0( , , )Q x y z =

0 0 0 0( , , )Q x y z =

: 0ax by zc d + + + =

( )0,d Q

0Q

0P

Q

nr

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E,e-plo /:&allar la distancia del punto A+,-2-/0 al plano

{ }(2; 1,6) (1;0;3) (2; 2;3) / ,t s t s R

= + +

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E,e-plo :Dados los planos:

Determinar si el punto A+/-2-,0 est entre dicos planos.

1: 2 3 6 14 0x y z

+ =2: 4 6 12 21 0x y z + + =

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3 C4D567 AU879 858U'7ED58795A'

A7

1,1;./797