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LGICA

CUANTIFICACIO

NAL PRINCIPALES PROPIEDADES LGICASDE LOS CUANTIFICADORES

MAG. ALFREDO MORA

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Reglas de intercambio de

canti!cadoresLas reglas de intercambio de cuantifcadores

son relaciones lgicas de equivalencia quepermiten reemplazar un cuantifcadoruniersal por otro particular ! iceersa. Acontinuacin pasaremos a e"plicar las cuatroreglas b#sicas de intercambio decuantifcadores.

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$rimera Regla%&odos los " son abogados%.

Este enunciado nos dice que una propiedad distintia detodos los indiiduos " es ser abogados. $or lo tanto es

equialente al enunciado' %(o e"iste alg)n " que no seaabogado%.

Formalizando para el primer enunciado' *+", A".

$ara el segundo enunciado' -*", -A".

$odemos ormular la siguiente equialencia lgica'

*+", A" / -*", -A"

0i representa cualquier predicado lgicamente posiblepodemos ormular esta regla de manera general'

*+", "/ -*", -"

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Segnda regla%(ing)n " es abogado%Este enunciado nos dice que una propiedad distintia de

todos los indiiduos " es no ser abogados. $or lo tanto es

equialente al enunciado' (o e"iste alg)n " que seaabogado%

Formalizando para el primer enunciado' *+", -A".

$ara el segundo enunciado' *", A".

$odemos ormular la siguiente equialencia lgica'

*+", -A" / -*", A"

0i representa cualquier predicado lgicamente posiblepodemos ormular esta regla de manera general'

*+", -" / -*", "

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Tercera regla%Algunos " son Abogados%Este enunciado nos dice que una propiedad distintia de

algunos de los indiiduos " es ser abogados. $or lo tanto

es equialente al enunciado' %(o todos los " son noabogados% *!a que e"isten algunos " que s1 lo son,.

Formalizando el primer enunciado' *", A".

$ara el segundo enunciado' -*+", -A".

$odemos ormular la siguiente equialencia lgica'

*", A" / -*+", -A"

0i representa cualquier predicado lgicamente posiblepodemos ormular esta regla de manera general'

*", " / -*+", -"

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Carta regla%Algunos " no son abogados%Dice que una propiedad distintia de algunos de los

indiiduos " es no ser abogados. Es equialente al

enunciado' %(o todos los " son abogados% *!a que e"istenalgunos " que no lo son,.

Formalizando para el primer enunciado' *", -A".

2 para el segundo enunciado' -*+", A".

$odemos ormular la siguiente equialencia lgica'

*", -A" -*+", A"

0i representa cualquier predicado lgicamente posiblepodemos ormular esta regla de manera general'

*", -" / -*+", "

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Estas reglas pueden aplicarse #cilmente aproposiciones del tipo categricas3 pore4emplo3 sea la proposicin' *+", *0" $",.

0i consideramos la primera proposicin nosdice %&odos los 0 son $%3 entonces es #cildeducir su equialente' %(o e"iste alg)n 0 queno sea $5

Lo cual representamos ormalmente delsiguiente modo'

-*", *0" 6-$",

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Alcance de loscanti!cadoresEl alcance de un cuantifcador es el rango del alcance de 7ste3 8acia la

derec8a3 para ligar las ocurrencias o apariciones de la ariable a que 7stese refere. Este alcance est# limitado por los signos de agrupacin.+eamos algunos casos'

a, *+", *E", 6 *!, *$!,

b, *", *A" 69!,

c, *+", :A" ; *9" 6 "> sino la ariable sin cuantifcar 'y'.

"> est#n abarcadas por el cuantifcador uniersal puesto que elalcance de 7ste a desde el inicio del corc8ete 8asta el fnal de 7ste.

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Es"emas abiertos # cerrados?n esquema o rmula se considera abierto

slo si por lo menos una ocurrencia de por lomenos una de sus ariables del tipo "3 !3 z3 noest# ba4o el alcance de un cuantifcador*ariable libre,.

?n esquema o rmula se considera cerrado

slo si todas las ocurrencias de todas susariables est#n ba4o el alcance de uncuantifcador *ariable ligada,.

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Cierre de es"emas$ara que un esquema en L< o una inerencia ormalizada enL< pueda ser analizada en una prueba de alidez3 se requiereque sea una ormula cerrada. 2a que slo si est# delimitada ocuantifcada todas las ariables del tipo "3 !3 z podemossaber con e"actitud la erdad o alsedad del enunciado3 estoes3 reci7n en ese caso es una proposicin en t7rminos de LC$En caso de que luego del proceso de una ormalizacin de

una inerencia @< 8a!an quedado ariables del tipo "3 !3 z3libres se proceder# a ligar 7stas3 para cerrar el esquema3 por

medio de cuantifcadores uniersales.$or otro lado3 si estamos rente a un esquema en L< que

tiene ariables libres se proceder# a ligar 7stas introduciendocuantifcadores uniersales en las posiciones pertinentes.

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EER

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%ETODO DECISORIOReglas l&gicas de introdcci&n # eliminaci&n decanti!cadores

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Regla de Eliminaci n delUni'ersal (EU)

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Regla de Introdcci&n delUni'ersal (IU)Es la regla inersa a la anterior. En ella iniciamos con un esquema no

cuantifcado ' C! ; $!.Este esquema es luego cuantifcado3 pero3 as1 como al descuantifcar en el

caso anterior se reemplaz una ariable cuantifcada por otra nocuantifcada3 igual3 en este caso3 tenemos que reemplazar la ariable nocuantifcada por otra cuantifcada.

$or la Regla de @ntroduccin del ?niersal obtenemos el siguiente

esquema cuantifcado' *+", *C" ; $",.(o seguimos usando %!% por cuanto es una ariable no cuantifcada3 por lo

que3 al cuantifcar el esquema es necesario reemplazar tambi7n laariable cuantifcada por otra. 0in embargo no tiene por qu7 sernecesariamente %!5 podr1a tambi7n 8aber sido %z%3 %%3 etc. esto escualquier constante o ariable la que estuiese descuantifcada ! luego

8ubi7ramos de cuantifcar.Generalizando'

*+", "

Donde' >% representa cualquier enunciado posible *tanto categrico t1picocomo no,3 '' representa a cualquier indiiduo3 !a sea ariable indiidual o

constante indiidual ! %"% representa '' cuantifcada.

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Regla de Eliminaci&n delE*istencial (EE)

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Regla de Introdcci&n delE*istencial (IE)Regla inersa a la anterior. @niciamos con un esquema no

cuantifcado' C! $!.Este esquema es luego cuantifcado3 pero3 as1 como al

descuantifcar en el caso anterior se reemplaz unaariable cuantifcada por otra no cuantifcada3 igual3 eneste caso3 tenemos que reemplazar la ariable nocuantifcada por otra cuantifcada.$or Regla de @ntroduccin del E"istencial obtenemos ' *",

*C" $",.

Generalizando'

*", "

Donde' representa cualquier enunciado posible *tantocategrico t1pico como no,3 ' ' representa a cualquierindiiduo3 !a sea ariable indiidual o constante indiidual

! >"> representa >> cuantifcada.

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%+todo decisorio, Deri'acionesEl procedimiento es el mismo que el isto

para L$ slo que a8ora tenemos las cuatroreglas adicionales acabadas de presentar. Enese sentido3 m#sque dar una e"plicacinterica de 7ste3 lo que 8aremos ser# realizarla presentacin de algunos casos.

En todos ellos solo usaremos la $ruebaDirecta3 sin embargo tambi7n puedenimplementarse las pruebas

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Primer an-lisis de casoH&odos los 8ombres son mortales. 0crates es 8ombre. $or

lo tanto 0ocrates es mortalB

Formalizando tenemos'

I. *+", *C" ; M",J. Cs K Ms

0e lee' $ara todo "3 si " es 8ombre entonces " es mortal.0crates es Combre3 lo tanto 0crates es Mortal.

Aplicando las reglas inerencia '

. Cs ; Ms De I por E?

. Ms De J ! por M$

De este modo 8emos demostrado que la inerencia es#lida.

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0egundo caso&odas las criaturas agresias son istas con desconfanza. &odas las1boras son criaturas agresias. Luego3 todas las 1boras son istas condesconfanza.

Formalizando '

I. *+", *

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Para in.erencias asilog/sticas?na inerencia asilog1stica es un razonamiento en cu!a estructura 8a! proposiciones cu!o

esquema no se corresponde con el de las proposiciones categricas t1picas. 0olo eremosesquemas b#sicos3 que contienen una sola ariable de indiiduo.

Las 8ostales son baratas pero sucias. Adem#s algunas 8ostales son srdidas. $or lo tantoalgunas cosas baratas son srdidas.

Formalizando' El primer enunciado *premisa, sostiene que las 8ostales son a la ez quebaratas3 sucias. En otras palabras ambas propiedades se predican del mismo su4eto '

*+",:C" ; *9" 0",=

El segundo enunciado *segunda premisa, sostiene que algunas 8ostales tienen lapropiedad de ser srdidas. (o se trata de las 8ostales en general sino de algunas.Formalizando '

*",*C" O",

El tercer enunciado *conclusin, sostiene que algunas cosas baratas son srdidas '

*",*9" ; 0",

Determinacin de la 'alide0 de la in.erencia !a ormalizada'

I. *+", :C" ; *9" 0",=J. *",*C" O", K*",*9" ; 0",

. Ca Oa De J por EE

3 Ca ; *9a ; 0a, De I por E?

N. CaDe por 0imp.

. 9a ; 0a De ! N por M$

P. *",*9" ; 0", De por @E

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