Dr. Manuel Sánchez Cheromanuelsanchezchero@gmail.com

http://aulavirtual.lambayequeaprende.com

Modelos de Colas

SIMULACION DE SISTEMAS

Teoría de Colas…

Se refiere al estudio matemático de las líneas de espera, permitiendo así el análisis de varios procesos como: llegada, espera en la cola etc.

Objetivos de la Teoría de Colas

Predecir los resultados del sistema.

Evaluar estrategias alternativas para elegir la mejor.

Determinar cómo Dimensionar el sistema Controlar la entrada Grado de servicio Retardo

Objetos en las colas

Donde se generan los

clientes

Donde los clientes dejan

el sistema

Objetos dinámicos

Objetos estáticos

Estructura Básica de los Modelos de Colas

ColaMecanismo de

ServicioClientes Clientes

servidos

Sistema de colas

Fuente de Entrada Tamaño de población: Es el número total de

clientes que pueden requerir servicio en determinado momento.

Forma de las llegadas: Patrón estadístico mediante el cuál se generan los clientes a través del tiempo.

ENTRADA

Mecanismo de servicio

• Canal: Hace referencia al número de servidores que hay en el sistema (Serie, Paralelo).

• Tiempo de Servicio: Es el tiempo que transcurre desde el inicio del servicio para un cliente hasta su terminación. La distribución más usada para los tiempos de servicio es la EXPONENCIAL.

EVOLUCIÓN DEL TIEMPO

tiempo...

Actividad

InicioPrimer Evento

SegundoEvento

TercerEvento

EventoFinal

ActividadActividad

FORMULACIÓN DEL MODELO DE COLAS

Formulación del modeloComponentes de un modelo de colas.

1. Población FuenteEs el origen de las entidades que requieren algún servicio, pueden ser:Finitas:

– Su número se puede contar.– Por ejemplo el número que máquinas a ser atendidas por un

servicio de mantenimiento.

Infinitas:– Su número no se puede contar o su número es muy grande en

relación a la capacidad de servicio.– Por ejemplo piezas que llegan a una máquina para ser

procesadas, número de carros que se atienden en un grifo.

2. Proceso de llegadas• Se refiere a la determinación de cómo se tiene

lugar las llegadas al sistema de colas de las unidades que requieren servicio, es decir la formalización de la necesidad de recibir un servicio. Puede ser:

• Determinístico. Regla pre-fijada. Ejemplo plan de mantenimiento preventivo.

• Probabilístico. No se sabe cuando va ha suceder el evento, solo se puede determinar el tiempo medio de ellos o la distribución de probabilidad del tiempo entre eventos

2. Proceso de llegadasExponencial. Distribución de probabilidad del tiempo entre eventos.

Poisson. Distribución de probabilidad del número de eventos (λ) en un intervalo T

λ: Tasa media de llegadas por unidad de tiempo

3. Características de la ColaEl tamaño de las colas pueden ser finitas o

infinitas:• Cola finita. Existe restricción para el tamaño de la

cola, ejemplo la cola de un almacén intermedio entre dos máquina, si se llena se debe de detener la operación de la primera cola.

• Cola infinita. No hay restricción para el tamaño de la cola, ejemplo la cola de peaje. Se considera que es infinita si es que tiene gran capacidad.

3. Características de la ColaLas colas pueden ser únicas o múltiples:

4. Política de gestión• La política de gestión queda determinada por la disciplina de la cola, es decir las reglas que determinan el orden en que deben ser atendidas las unidades que requieren servicios:

– FIFO– LIFO– Por prioridades– Tiempo de servicio mayor.– Tiempo de espera mayor.

5. Unidades de ServicioLas unidades de servicio pueden ser:• Servidor único (servicio único

monofase).• Servidores en tandem (servicio

multifase o servicio con múltiples operaciones).

• Múltiples servidores monofásicas en paralelo.

• Múltiples estaciones multifásicas en paralelo.

• Sistemas mixtos.

5. Unidades de Servicio• Descripción de la distribución de probabilidad

del tiempo de duración del proceso de servicio:• El caso típico de distribución de probabilidad de

tiempos de servicio es la exponencial:

• Donde f(t) es la probabilidad de que la duración del servicios sea t unidades de tiempo.

Subprocesos

• Procesos de llegada

• Procesos de espera • Procesos de servidor

Proceso de llegada

• Si el nº de clientes que llegan es finito o infinito

• Si se tiene uno o varios tipos de clientes

• Si se tiene uno o varios tipos de demanda distintos

• Si las llegadas son deterministicas o estocasticas

• Si la tasa de llegada depende de la longitud de la cola

Proceso del servidor

• Cuantos servidores estan disponibles al mismo tiempo para los mismos clientes con demandas identicas.

• Si hay uno o varios tipos de servidores

• Si la tasa de servicio debe ser constante o dependiente de las exigencias del cliente

• Si el tiempo de servicio debe ser fijo(deterministico) o estocastico

Tipos de colas

Colas tipo M/M/C

Colas tipo M/M/1

Colas tipo M/G/1

Numero de Servidores

Un servidor . . .

Customers ServiceCenter

Multiples servidores . . .

Customers

ServiceCenters

Multiples Servidores sencillos

. . .

. . .

. . .

Customers ServiceCenters

Algunos Modelos

1. Un servidor, tiempo de servicio exponencial (M/M/1)

2. Un servidor, tiempo de servicio general (M/G/1)

3. Servidores multiples, tiempo de servicio exponencial (M/M/s)

Nomenclatura A / B / s

Distribucion Distribucion Numero deDe llegada de servicio Servidores

dondeM = distribucion exponencial (“Markovian”)D = deterministica (constante)G = distribucion general

M/G/1- Cola de aviones para aterrizar

λ Tasa de arribo: 8 aviones por hora μ Tasa de servicio : media 4 min. y varianza 0.15 C Servidores: una pista de aterrizaje Llegadas tienen una dist. Poisson y los servicios tienen distribución desconocida. Calcular el tiempo medio de espera de un avión desde que llega al aeropuerto hasta que recibe la

autorización para aterrizar? 2.30 minutos

SERVIDOR

COLA DE ESPERA POR EL SERVICIO

Sistema Múltiple M/M/1

Sistema Múltiple M/M/S

Dos o más servidores o canales están disponibles para atender a los clientes que arriban.

Sistema Múltiple M/M/1/K

Un solo servidor, capacidad de cola ilimitada y población infinita de arribos potenciales. Los tiempos entre arribos y los tiempos de servicio son distribuidos exponencialmente.

Sistemas de colas: modelo básico

Llegadas

Sistema de colas

ColaInstalación del servicio

Disciplinade la cola

Salidas

Estructuras típicas de sistemas de colas: una línea, un servidor

Llegadas

Sistema de colas

Cola ServidorSalidas

Estructuras típicas de sistemas de colas: una línea, múltiples servidores

Llegadas

Sistema de colas

Cola

ServidorSalidas

Servidor

Servidor

Salidas

Salidas

Estructuras típicas de colas: varias líneas, múltiples servidores

Llegadas

Sistema de colas

Cola ServidorSalidas

Servidor

Servidor

Salidas

Salidas

Cola

Cola

Estructuras típicas de colas: una línea, servidores secuenciales

LlegadasSistema de colas

Cola

Servidor

Salidas

Cola

Servidor

Estructura del Sistema1. Gráfico del Sistema.2. Elementos del

Sistema.– Entidades.– Atributos.– Actividades.

3. Análisis del Sistema– Eventos.– Eventos Principales– DRE

4. Variables – Tiempo.– Contadores– Estado del Sistema

5. Diagrama de Flujo– Programa Principal– Eventos Principales

6. Variables Aleatorias– Distribución de

Frecuencias

GR EVEL VA FL VA

Ejemplo de un Sistema de Colas

• Un restaurante de comidas rápidas para automovilistas posee una vía de circulación y dos empleados (Ana y Jorge) encargados de atender a los clientes.

• Estado del sistema:– Cantidad de autos esperando en la cola.– Estado en que se encuentra Ana (ocupada o libre).– Estado en que se encuentra Jorge (ocupado o libre).

• Entidades:– clientes (autos).– servidores (Ana y Jorge).

• Eventos:– arribos de autos.– terminación de servicio por parte de Ana.– terminación de servicio por parte de Jorge.

• Actividades:– tiempo entre arribos.– tiempo de servicio de Ana.– tiempo de servicio de Jorge.

Librería COPIAMOSLAS24HORAS

1. GRAFICO DEL SISTEMA

1. Gráfico del Sistema• Intenta representar mediante un diagrama las entidades del sistema y los objetos o recursos a ser procesados.• Se intenta representar las entradas y salidas del sistema.• Se intenta representar los eventos y las colas que se pueden formar.• Se indica la distribución de probabilidad de las variables aleatorias.

GR EVEL VA FL VA

Ejemplo

fotocopiadora

documentosa copiar

trabajosterminados

EjemploElementos Atributos Actividades

Documentos a Copiar

Tiempo de Llegada Llegar a la fotocopiadora

Tiempo de espera máxima Esperar en la colaEntregar requerimiento de copias

Tamaño de la cola Salirse de la cola por sobrepasar el tiempo de espera máxima

Abandonos de la cola Recepcionar las copias

Fotocopiadora Tiempo de servicio (fotocopiado)

Iniciar el copiado

Tiempo de inicio de servicio Esperar nuevos requerimientos de copiado

Estado: Operativa, 1 = Ocupada, 0 = Desocupada

Terminar el copiado

Tiempo desocupada

GR EVEL VA FL VA

Sandoval, A. (s/f), Estadística II, Escuela de Ciencias Contable Económico Administrativas de la Universidad Panamericana. Grupo Editorial Iberoamérica. México.

Mendenhall, Willian. (1978), Estadística para Administradores y Economía. Universidad Nacional Autónoma de México. Grupo Editorial Iberoamérica. México.

Navarro, A. (2000), Estadística Aplicada al área económica y empresarial. Ediciones de la Universidad Ezequiel Zamora. Colección Docencia Universitaria. Barinas, Venezuela

Tarjeta de referencia rápida: Funciones estadísticas de Excel http://support.microsoft.com/kb/828296/es

Referencias

Actividad

motores de almacenamiento de Base de Datos MYSQL