LOGICA CUANTIFICACIONAL

• Importancia y presentación de la Lógica Cuantificacional.

• Las proposiciones categóricas típicas.• Principales propiedades lógicas de los

cuantificadores.• Método decisorio.

Importancia de la Lógica(Copy – Cohen, Introducción a la Lógica, México, Limusa, 1995)

Si bien la lógica proposicional es un instrumento relativamente potente para el análisis de las inferencias tiene también, no obstante sus virtudes, sus limitaciones.

La siguiente inferencia es intuitivamente válida:“Todos los hombres son mortales. Sócrates es un hombre. Por lo tanto Sócrates es mortal.

Sin embargo si la analizamos a través del lenguaje y los métodos de la lógica proposicional nos daremos cuenta, con sorpresa, que ella no sería lógicamente válida (dejamos la tarea al lector).

Importancia de la Lógica(Copy – Cohen, Introducción a la Lógica, México, Limusa, 1995)

La LC es llamada también "lógica de las proposiciones analizadas" ya que, a diferencia de la lógica proposicional, no sólo analiza la conexión y/o relación lógico estructural entre las distintas proposiciones sino que también analiza la estructura interna de éstas, esto es, cómo los distintos elementos internos de cada proposición están estructurados y/o conectados entre sí a la vez que interproposicionalmente.

Si analizamos el ejemplo dado anteriormente con los métodos de LC nos daremos cuenta que dicha inferencia es lógicamente válida, sin embargo, por no haber aún desarrollado este tema, dejaremos dicho análisis para más adelante.

El lenguaje de LCSímbolos primitivos

Variables preposicionales: p, q, r, s, ... Conectivas u operadores: ~, , v, →, ↔ Símbolos auxiliares: (),[],{} Variables individuales: a, b, c, d, ... Constantes individuales: x, y, z, ... Símbolos predicativos: F, G, H, ... Cuantificadores: (Ұ), (Ǝ)

Algunos pájaros = Algunos x que son pájaros. Algunos solteros o casados = Algunos x que son solteros o

algunos y que son casados. Los símbolos predicativos representan, por otro lado, no a los

objetos (individuos) que poseen tales o cuales propiedades sino a dichas propiedades.

El lenguaje de LCReglas de Formacion

Todo símbolo proposicional es una FBF.Todo predicado seguido de una variable individual

o una constante individual es una FBFSi A es una FBF, entonces ~ A también lo es.

Si A y B son FBF, entonces:◦A B ◦A v B ◦A→B ◦A↔B

También son FBF

Formalización de enunciados con variables individuales y términos predicativos

En estos casos los primero es asignar una variable individual a cada individuo, y segundo un término predicativo a cada predicado. Luego al formalizar, el término predicativo se escribirá junto y a la izquierda de variable individual. Ejemplos:

Pepe es mortal Pepe es mortal p Pepe es mortal p M Formalización: Mp

Formalización de enunciados con variables individuales y términos predicativos

Primer caso Mario es gordo y Jesualdo es delgado. Asignado variables individuales: Mario es gordo y Jesualdo es delgado. m j Asignando términos predicativos: Mario es gordo y Jesualdo es delgado, m G j D Reemplazando la conectiva por el operador lógico respectivo: Mario es gordo y Jesualdo es delgado, m G Λ j D Formalización: Gm Λ Dj

Formalización de enunciados con variables individuales y términos predicativos

Segundo caso Miriam y Javier son primos Asignando variables individuales: Miriam y Javier son primos m j Asignando término predicativo: Miriam y Javier son primos m j P Reemplazando la conectiva por el operador lógico respectivo: Miriam (y) Javier son primos m Λ j P Formalizando: Pmj Λ Pjm

Formalización de cuantificadores

Todos los enunciados formalizados en LC, para el análisis de validez deberán incluir cuantificadores, estos, como sabemos, pueden el ser universal (Ұ) que se lee "para todo(s)" y el particular (Ǝ) que se lee "existe algún(os)". Dado que profundizaremos este tema más adelante por ahora sólo nos detendremos en enunciados que poseen términos cuantificables. Veamos algunos ejemplos:

Todos los x son sapos. Formalizando el término cuantificacional tendríamos: (Ұx) x es sapo A su vez, si asumimos que 'sapo' es un término predicativo,

tendríamos el siguiente esquema: (Ұx) Sx Que se lee 'Para todo x, x es sapo'

Los 4 esquemas proposicionales básicos : Universal afirmativo

En LC para que un enunciado sea considerado una proposición todas las constantes que acompañan a los términos predicativos deberán estar bajo el alcance de un cuantificador. Cuatro son las proposiciones categóricas básicas y por lo tanto cuatro son los esquemas proposicionales básicos.

Universal Afirmativo Su forma es: 'Todos los x son ' Donde: representa cualquier predicado posible, 'x' cualquier objeto del cual se predica.

Formalizando tenemos: (Ұx) x Que se lee: ‘Para todo x, x es ’

Los 4 esquemas proposicionales básicos : El Universal Negativo

Su forma es: 'Ningún x es ´Donde:'' representa cualquier predicado posible.´x´ cualquier objeto del cual se predica.

Formalizando tenemos: (Ұx) ~xQue se lee: Para todo x, x no es '

Los 4 esquemas proposicionales básicos : El Particular Afirmativo

Su forma es: 'Algunos x que son ' Donde:'' representa cualquier predicado posible, 'x' cualquier objeto del cual se predica.

Formalizando tenemos:(Ǝx) xQue se lee: 'Existe(n) algún(os) x que son

Los 4 esquemas proposicionales básicos : El Particular Negativo

Su forma es: 'Algunos x no son ' Donde: '' representa cualquier predicado posible, 'x' cualquier objeto del cual se predica.

Formalizando tenemos:(Ǝx) ~xQue se lee: 'Existe(n) algún(os) x que no son

El cuadro básico de oposición

El cuadro de oposición es un instrumento que nos permite establecer de manera automática una serie de relaciones lógicas inter preposicionales para proposiciones categóricas.

Contradictorios

Subalternante (Ұx) x Contrarios (Ұx) ~x Subalternante

Subalterna (Ǝx)x Sub contrarios (Ǝx) ~x Subalterna

EJERCICIOS

Las cuatro proposiciones categóricas típicas (UA)

Las proposiciones categóricas son enunciados que se refieren a una clase o conjunto de individuos en su totalidad o parcialmente. Universal afirmativa (UA) Tiene la forma: 'Todos los S son P'. Donde: 'S' representa cualquier grupo de sujetos y 'P' un predicado

cualquiera que se refiere a ellos. Ejemplos: Todos los hombres son mortales. Todas las sandías son vegetales. Todos los profesores son practicantes de fútbol.

Ahora bien, si bien la forma básica acepta el verbo 'son', no necesariamente enunciados de la forma 'Todos los S' supone el verbo son. Así, por ejemplo, enunciados como 'Todos los animales tienen vértebras' y (Todos los jueces sentencian' se consideran como enunciados universales afirmativos ya que pueden expresarse en la forma Universal Afirmativa.

Las cuatro proposiciones categóricas típicas (UN)

Universal Negativa (UN) Forma: 'Todos los S son no P' o bien 'Ningún S es P' Ejemplos: 'Todos los mamíferos son no peces'. 'Ningún mamífero es ave'. 'Todos los alumnos son no ingenieros'. 'Ningún presente es dentista'. Al igual que en el caso de la Universal Afirmativa, si bien la forma

básica acepta el verbo ser en sus correspondientes conjugaciones, no necesariamente enunciados de la forma 'Todos los S son no' o 'Ningún S' sur el verbo ser. Así, por ejemplo, enunciados como 'Ningún batracio vuela´ y 'Todos los jueces sentencian' se consideran como enunciados universales negativos ya que pueden expresarse en la forma Universal Negativa.

Las cuatro proposiciones categóricas típicas (PA)

Particular Afirmativa (PA) Forma: 'Algunos S son P' o 'Existen S que son P' Ejemplos: Algunos abogados son incumplidos. Algunos profesores son tardones. Existen personas que son ciegas.

Al igual que en los casos de la Universal Afirmativa y la Universal Negativa, si bien la forma básica acepta el verbo ser en sus correspondientes conjugaciones, no necesariamente enunciados de la forma 'Todos los S no son' o ´Ningún S' suponía el verbo ser. Lo mismo ocurre en este caso. Así ejemplo, enunciados como 'Algunos hombres comen carne humana' y 'E hombres que tienen tres esposas' se consideran como enunciados particulares afirmativos ya que pueden expresarse en la forma Particular Afirmativa.

Las cuatro proposiciones categóricas típicas (PN)

Particular Negativa (PN) Forma: 'Algunos S no son P' o 'Existen S que no son P'.

Ejemplos: 'Algunos pingüinos no son buenos nadadores'. 'Algunos alumnos no están aprobados'. 'Existen profesores que no son solteros'. Al igual que en los casos anteriores, si bien la forma básica

acepta el o ser en sus correspondientes conjugaciones, no necesariamente ciados de la forma PN suponen ello. Así, por ejemplo, enunciados o 'Algunos hombres no comen carne humana' y 'Existen hombres que tienen manos' se consideran como enunciados particulares negativos ya pueden expresarse en la forma Particular Negativa.

Formalización de proposiciones categóricas típicas (UA)

(Vx) (Sx → Px) Donde: 'S' = cualquier clase 'P' = cualquier predicado posible sobre 'S' 'x' = cualquier individuo perteneciente a la clase o conjunto 'S' pues no se especifica en

concreto. Cuya lectura es: 'Para todo x, si x es 'S' entonces x es 'P''

Por ejemplo: Sea el enunciado 'Todas las mujeres son mortales'. Si lo analizamos nos percataremos que nos dice que la propiedad de Mortalidad es una

característica de todas las mujeres, esto es; que si algo es mujer entonces tiene la propiedad de la mortalidad. De ahí que se simbolice como (Vx) (Mx → Ox), donde; 'M' = mujer , y '0' = mortal.

Por ejemplo: El enunciado 'Todos los empleados trabajan', al ser formalizado tendrá la siguiente

estructura: (Vx) (Ex → Tx) Donde: 'E' = empleados y 'T' = trabajan 'Para todo x, si x es 'Empleado entonces x 'Trabaja'.

Ejemplos: Formalizando el siguiente enunciado: 'Todos los hombres son mortales (Vx) (Hx → Mx) Donde: 'H' = hombre, y 'M' = mortal.

Recordemos que la Universal Negativa tiene la forma 'Ningún S es T en ese sentido podemos simbolizarla de la siguiente manera:

(Vx) (Sx → ~Px) Donde: 'S' = cualquier clase ‘T' = cualquier predicado posible sobre 'S' V = cualquier individuo perteneciente a la clase o conjunto 'S' pues no se

especifica en concreto. 'Para todo x, si x es 'S' entonces x no es 'P''

Se utiliza un condicional seguido de una negación puesto que a diferencia de la Universal Afirmativa, en la Universal negativa se sostiene que los individuos que pertenecen a una determinada clase no poseen tal o cual característica. Así, si un individuo cualquiera pertenece a la clase 'S' entonces no tendrá la propiedad 'P'.

Ejemplos: Formalizando el siguiente enunciado: 'Ningún hombre es mortal' (Vx) (Hx → ~Mx) Donde: 'H' = hombre, y 'M' = mortal. Formalizando: 'Ninguno de nuestros empleados gana de acuerdo a su desempeño' (Vx) (Ex → ~Dx) Donde: 'E' = nuestro empleado, y 'D' = gana de acuerdo a su desempeño.

Formalización de proposiciones categóricas típicas (UN)

Recordemos que la Particular Afirmativa tiene la forma 'Algunos S son F en ese sentido podemos simbolizarla de la siguiente manera:

(Ǝx) (Sx Λ Px) Donde: 'S' = cualquier clase V = cualquier predicado posible sobre 'S' 'x' = cualquier individuo perteneciente a la clase o conjunto 'S' pues no se

especifica en concreto. 'Existe algún x, tal que x es 'S' y 'P''

Se utiliza una conjunción puesto que a diferencia de las proposiciones universales afirmativas, en la particular afirmativa no se sostiene que todos los individuos que pertenecen a una determinada clase poseen tal o cual característica sino que por lo menos uno la posee. Así, si un individuo cualquiera pertenece a la clase 'S' no necesariamente tendrá la propiedad 'P' pero, hay algún(os) individuos que pertenece a la clase 'S' y a la vez poseen la propiedad 'P'.

Ejemplos: Formalizando el siguiente enunciado: 'Algunos hombres son mortales' (x) (Hx A Mx) Donde: 'H' = hombre, y 'M' = mortal. Formalizando: 'Algunos enanos hacen

acrobacias' (Ǝx) (Ex Λ Ax) Donde: 'E' = enanos, y 'A' = hace acrobacias.Formalización de proposiciones categóricas típicas (PA)

Recordemos que la Particular Negativa tiene la forma 'Algunos S no P' en ese sentido podemos simbolizarla de la siguiente manera:

(Ǝx) (Sx Λ ~Px) Donde: 'S' = cualquier clase 'P' = cualquier predicado posible sobre 'S' 'x' = cualquier individuo perteneciente a la clase o conjunto 'S' pues no se especifica

en concreto. 'Existe algún x, tal que x es 'S' y no es 'P'.

Ejemplos: Formalizando el siguiente enunciado: 'Algunos hombres no son mortales' (Ǝx) (Hx ~ Mx) Donde: 'H' = hombre, y 'M' = mortal. Formalizando: 'Algunos enanos no hacen acrobacias' (Ǝx)(Ex ~Ax) Donde: 'E' = enanos, y 'A' = hace acrobacias.

Formalización de proposiciones categóricas típicas (PN)

Formalización de proposiciones con predicados de 2° y 3° grado

Veamos primero un caso de enunciado de grado 2: 'Todos los hombres son superiores a los chimpancés'

Esto se expresaría en LC, primero como; 'Para todo 'x' y para todo 'y', si 'x' es humano y 'y' es chimpancé, entonces 'x' es superior a 'y'.

(Vx) (Vy) [(Hx Cy) → ( Sxy)]

Veamos ahora dos casos de enunciados de tercer grado: El siguiente enunciado: 'Dos objetos iguales a un tercero son entre sí iguales'. No

puede simbolizarse dentro del esquema de las proposiciones categóricas pues éstas corresponden sólo a proposiciones de grado uno. En este caso necesitamos tres variables: 'x', 'y', y 'z'.

(Vx)(Vy)(Vz) [( Ix z Iy z) → Ixy ] Para todo 'x', para todo 'y' y para todo 'z', si V es igual a z' y 'y' es igual a 'z',

entonces 'x' es igual a 'y‘’

Cuadro de oposición para proposiciones categóricas típicas

Contradictorios

Subalternante Todo S es P Contrarios Ningun S es P Subalternante

Subalterna Ningun S es P Subcontrarios Algunos S no son P Subalterna

Versión tradicional La Universal Afirmativa recibe también la denominación de 'A' mientras que

la particular afirmativa el nombre de 'I'. Esto se debe a las dos primeras vocales del término latín 'AFFIRMO'.

La Universal Negativa se denomina también 'E' mientras que la particular negativa se denomina 'O'. Esto se debe a los dos sílabas que componen el término latino 'NEGÓ'.

Por lo demás, las relaciones lógica son similares a las de Cuadro Básico sólo que aquí están aplicadas a enunciados categóricos formulados en lenguaje natural.

Cuadro de oposición para proposiciones categóricas típicas

Contradictorios

Subalternante (Ұx) (Sx→ Px) Contrarios (Ұx) (Sx→ ~Px) Subalternante

Subalterna (Ǝx) (Sx Λ Px) Sub contrarios (Ǝx) (Sx Λ ~Px) Subalterna

Versión contemporánea

En este cuadro se aplica lo mismo que en el cuadro anterior sólo que su presentación se hace a través de las proposiciones categóricas formalizadas. En LC se suele trabajar con este cuadro y no tanto con los otros dos.

Ejercicios