ruta de aprendizaje del iv ciclo para el área de matemática

79TODOS PODEMOS APRENDER, NADIE SE QUEDA ATRS

Orientaciones didcticas3.3.1 Estrategias para el desarrollo de la competencia

Acta y piensa matemticamente en situaciones de cantidad

3.1.1 Visita al mercado o a la tienda de artefactos para resolver y formular problemas

Descripcin

A partir de esta situacin se generar un conjunto de actividades para hacer matemtica en contextos reales, relacionados con los nmeros naturales y las fracciones. Esta actividad permitir generar situaciones para recoger datos e informacin sobre los productos, cantidades que se venden, precios de los productos, organizacin del mercado, etc. para que se puedan resolver problemas en contextos reales. En el desarrollo de actividades surgirn muchas situaciones autnticas en las que la matemtica se presentar como algo real e integrado al quehacer cotidiano del estudiante dando mucho sentido a su aprendizaje.

Para desarrollar esta actividad es necesario contar con el apoyo de los padres de familia para organizarse y velar por la seguridad de los nios. Tambin se requiere del permiso de los administradores de la tienda o vendedores del mercado para que los estudiantes puedan ser atendidos con amabilidad.

Relacin con capacidades e indicadores

El propsito de esta actividad es que los nios matematicen al plantear un problema y expresarlo en un modelo de solucin aditivo o multiplicativo; comunican y representan al registrar y expresar de diversas formas los precios de los productos; elaboran y usan diversas estrategias de clculo escrito o mental al resolver los problemas y razonan y argumentan cuando explican en forma coherente y clara sus procedimientos y evalan si los resultados son factibles de ser reales.Esta actividad tambin puede estar relacionada con desarrollar la competencia 4 relacionada a las formas, pues los chicos pueden elaborar una maqueta del mercado o un croquis de ubicacin.

80

Aplicacin de la estrategia

1. Visitan al mercado para recoger datos

El propsito es que los estudiantes escriban y recolecten la mayor informacin posible con respecto a: Productos que se venden Precios de los productos Tipo de venta de los productos, si se venden por paquete, atados, kilogramo, litro, etc.

En grupos los estudiantes se organizan para recoger informacin de una seccin del mercado o de un puesto, por ejemplo la seccin de abarrotes o el puesto de

venta de papas verduras, haciendo las siguientes preguntas: Cuntos puestos hay en la seccin de abarrotes? Cuntos tipos de granos o menestras hay? Cuntos kilogramos venden por da? Cuntos sacos de papa vende por da? Y cul es el costo? Qu instrumentos utilizan? En el puesto de abarrotes los productos los venden por unidad, por

docena, por paquete, por kilogramo. Elabora una tabla donde se muestre cmo se venden los productos.

2. Elaboran el catlogo de los precios de los productos

Plantear a los estudiantes que elaboren el catlogo de precios de productos por categoras, por ejemplo: de ropa, artefactos, verduras, juguetes, etc. Y puedan escribir los precios de los productos usando tres o cuatro cifras.

3. Representan de diferentes formas

Solicite a los nios que representen el precio de los productos de distintas formas, usando billetes y monedas, Base Diez, en el baco, usando descomposiciones aditivas o multiplicativas. As por ejemplo:

El precio de una casaca de S/. 285 puede ser expresado de diferentes maneras:

Solicita a los estudiantes que organicen los datos recolectados en tablas o esquemas y pueda ser visibilizado por todos los estudiantes

Producto cmo se vende?Costo por unidad, por kilogramo, por

paquete, etc.

Arroz Por kilogramo

Aceite Por litro

En sumandos Descomposicin multiplicativa Segn su valor posicional

200 + 80 + 5 2 100 + 8 10 + 5 2C 8 D 5 U

Otras formas no usuales

100 + 100 + 80 + 5

100 + 100 + 50 + 30 + 5


2 10 10 + 8 2 5 + 5


2C 7D 15U

1C 17 D 15 U


4. Plantean y resuelven problemas

Solicitar a los estudiantes que expongan en tablas, cuadros o esquemas y puedan formular y resolver problemas aditivos o multiplicativos.

5. Resuelven problemas usando diferentes estrategias

Propicie a que los estudiantes resuelvan los problemas usando diferentes caminos, por diferentes procedimientos o estrategias.

6. El cajero

Organice a los alumnos en grupos de 5 o 6 alumnos y uno de ellos ser el cajero y el otro su ayudante y los dems los clientes.

Cada cliente ver el catlogo y solicitar 2 o 3 artculos y dar al cajero la cantidad exacta que debe pagar por ellos. Los clientes no deben dar al cajero ms de 9 monedas o billetes de una misma denominacin.

El cajero y su ayudante verifican que le den la cantidad correcta y anotarn en un cuadro: el nombre del cliente, los precios de los artculos que compr y el total de cada venta.

La actividad termina cuando todos los clientes hayan entregado la cantidad exacta. La actividad puede repetirse con otros catlogos.

7. Los precios de los productos en tablas

Los nios organizados en parejas o en tros, se les pide que recojan los artculos de la mesa con sus respectivos precios.

Entregar una tabla como la que se muestra.

Completarn la tabla segn el artculo escogido.

Formularn y resolvern problemas a partir de la tabla. Por ejemplo: Marisol quiere comprar 3 blusas. cunto tendr que ahorrar para comprarlas?

Expondrn sus problemas y sus procedimientos de resolucin.

Con esta actividad se propiciar resolver problemas de proporcionalidad simple aplicando diversas estrategias para multiplicar.

Cliente Artculos Precio

Marisol 1 chompa1 par de zapatos

S/. 56S/. 79

Total

Cantidad de polos

Precio (S/.)

1 15

2

3

4

5

6

S/. 15

S/. 2S/. 8

82

Paso 1. Juego libre. El estudiante se familiariza con los materiales y que vaya descubriendo por si mismo, las propiedades matemticas en los materiales.

Paso 2. Juego orientado. Esta actividad estar orientada y dirigida, se darn las reglas de juego segn lo que se pretenda lograr.

Paso 3. Abstraccin. Los nios observan la regularidad en el juego, las relaciones matemticas involucradas o crean otros juegos con estructura parecida al anterior.

Paso 4. Representacin. Se representa la regularidad o relaciones matemticas en un grfico o un esquema.

3.1.2 Juegos para aplicar o construir conocimientos numricos

En mi opinin, el objetivo primordial de la enseanza bsica y media no consiste en embutir en la mente del nio un amasijo de informacin que, pensamos, le va a ser muy necesaria como ciudadano en nuestra sociedad. El objetivo fundamental consiste en ayudarle a desarrollar su mente y sus potencialidades intelectuales, sensitivas, afectivas, fsicas, de modo armonioso. Y para ello nuestro instrumento principal debe consistir en el estmulo de su propia accin, colocndole en situaciones que fomenten el ejercicio de aquellas actividades que mejor pueden conducir a la adquisicin de las actitudes bsicas ms caractersticas que se pretende transmitir con el cultivo de cada materia.

Miguel de Guzmn (1984)Juegos matemticos en la enseanza. Actas de las IV Jornadas sobre Aprendizaje y Enseanza de

las Matemticas. Santa cruz de Tenerife, 10-14 Septiembre 1984. Sociedad Canaria de Profesores de Matemticas Isaac Newton

Descripcin

Los juegos numricos constituyen una herramienta de ayuda para la construccin o aplicacin de diversos conocimientos matemticos. Tambin permite desarrollar el pensamiento estratgico por lo que potencia el desarrollo de diversas estrategias heursticas y usar estrategias de clculo mental o escrito con los nmeros naturales y las fracciones. Se recomienda usar los juegos numricos para reemplazar a las planas de ejercicios.

La estrategia que aplicaremos es la de Zoltan Dienes.


El propsito de esta actividad es que los nios matematicen al plantear un problema y expresarlo en un modelo de solucin aditivo; comunican y representan al usar los trminos tcnicos de la adicin; elaboran y usan diversas estrategias de clculo escrito o mental al resolver el problemas y razonan y argumentan cuando elaboran conjeturas respecto a los resultados posibles y explican en forma coherente y clara sus procedimientos y resultados.

Pasos de la estrategia de Zoltan Dienes


Paso 5. Simbolizacin. Se pide a los estudiantes que describan el proceso y sus representaciones usando primero su lenguaje materno o coloquial, para luego reemplazar algunas palabras por lenguaje matemtico.

Paso 6.Generalizacin. El maestro orienta la introduccin forma de la matemtica y construye los significados a partir de las construcciones de los nios. El nio expone lo aprendido de manera segura usando lenguaje matemtico y lo aplica a otras situaciones, estudian las propiedades de la representacin, las relaciones matemticas.

Paso 1. Juego libre. El estudiante se familiariza con los materiales (las fichas y el esquema para que vaya descubriendo por si mismo, las propiedades matemticas. Por ejemplo: que vaya descubriendo cules son los nmeros pares e impares, por qu se llaman as? Por qu hay cuadrados y crculos? En el esquema, cuntos nmeros pares e impares hay? Qu pasa cuando sumas dos pares y dos impares?

Paso 2. Juego orientado. Se darn las reglas de juego segn lo que se pretenda lograr. Realice preguntas para comprender el problema, por ejemplo: di el problema con tus propias palabras, qu datos o informacin tienes? Qu es lo que se pide?

Paso 3. Abstraccin. Los nios observan la regularidad en el juego, las relaciones matemticas involucradas o crean otros juegos con estructura parecida al anterior. Pida a los estudiantes que creen un problema parecido al resuelto.

Las regularidades encontradas en este juego, estn relacionadas con que si sumas un par con un par que me dan, otro par? Comienza con ejemplos sencillos para que puedan generalizar, por ejemplo: 2 + 2 = 4; 2+6= 8; 8+2= 10, de estos ejemplos podemos concluir que si sumamos un nmero par con otro par, me da un nmero par. Y qu sucede con un impar e impar? Y un nmero par con un impar? Proporciona ejemplos para que los nios y preguntas para que los nios conjeturen con respecto a estas relaciones y luego verifiquen sus conjeturas con ejemplos. Pregunte tambin sobre todas las combinaciones posibles con los nmeros pares e impares y cules segn el esquema quedan descartadas.

Paso 4. Representacin. Los estudiantes representan las regularidades matemticas encontradas en un esquema. Por ejemplo:

En este juego se aplican estrategias

de clculo mental y la estrategia

heurstica de ensayo y error, si es

que no se conoce el juego. Tambin

se puede emplear la estrategia

de empezar por atrs. Luego de

jugar, se sugiere encontrar formas

diferentes de resolver el juego.


1. Pares e impares en la adicin

Elabora fichas de cartulina o papel del 1 al 9, cuadrados para los pares y crculos para los impares, para que puedan mover las piezas sin necesidad de usar lpiz y papel.

Reto: Coloca los nmeros del 1 al 9 y realiza la adicin que aparece en el tablero, colocando los nmeros pares en los cuadrados y los impares en los crculos. Cuntas formas diferentes has encontrado de solucin?

impar + impar

par

par + par

par

par + impar

par

84

Paso 5. Simbolizacin. Solicite a los nios que describan el proceso de solucin e incorporen en su lenguaje los trminos tcnicos de la adicin: sumando y suma. De otro lado, tambin es preciso identificar el valor posicional de sus cifras y si es una adicin con canjes o llevadas.

Paso 6. Generalizacin. Este juego numrico puede ser el punto de partida para hacer precisiones con respecto a las propiedades de los nmeros pares e impares, a los trminos tcnicos de la adicin y el valor posicional de sus cifras.

Cada jugador elige una fraccin y comienza el juego. En su turno, un jugador lanza los dos dados y construye la fraccin resultante. Si la fraccin es equivalente a la que el jugador eligi, se anota un punto, si no es as, no se anota nada y pasa el turno al siguiente jugador.

Gana quien tenga ms puntos despus de 15 turnos.

a. Despus de jugar algunas partidas, investiga qu fraccin (o fracciones) merece la pena elegir para tener ms posibilidades de ganar el juego.

b. Vueve a jugar despus de haber hecho la investigacin. Te ha ido mejor ahora?

Autores como Polya, Burton, Mason, Stacey y Shoenfield sugieren pautas para la resolucin de problemas. Los siguientes pasos cuadro (Garca 1992) se basa en los modelos de los autores.

Pasos de la estrategia

1. Comprender el problema Lee el problema despacio de qu trata el problema?

OtROS JuEGOS

2. El producto con nueve nmeros Ordena las cifras del 1 al 9 sobre el esquema,

de forma que el producto resultante sea el correcto.

El objetivo de este juego es que se refuerce el algoritmo de la multiplicacin, las tablas de multiplicar y los trminos tcnicos de la multiplicacin.

Puedes buscar otros

juegos numricos que

te permitan construir o

aplicar conocimientos

numricos en el siguiente artculo: Juegos numricos.

Publicado en la revista

Suma, nmero 39, 2002.

O en la pgina web

de Divulgamat. Centro

virtual de Divulgacin

de las matemticas.

3. Dados y fracciones equivalentes}

Es un juego para dos o ms jugadores y se necesita un dado (con caras del 1 al 6) para el numerador de la fraccin, y otro dado cuyas caras lleven los valores 2, 4, 6, 8, 10 y 12, que se utilizar para el denominador.

26

4

26

4

3.1.3 Estrategias para la resolucin de problemas


Orientaciones para el planteamiento de problemas

El verdadero problema es aquel que pone a los estudiantes en una situacin nueva, ante la cual no disponen de procedimientos inmediatos para su resolucin. Por ende, un problema se define en cuanto a su relacin con el sujeto que lo enfrenta y no en cuanto a sus propiedades intrnsecas; es un reactivo que involucra a los estudiantes en una actividad orientada a la abstraccin, la modelacin, la formulacin, la discusin, etc. (Isoda y Olfos 2009).

Un buen problema para la clase es aquel accesible a la amyor parte de los estudiantes y cuya resolucin admite varios mtodos o caminos, tanto intuitivos como formales. Si bien el proceso de exploracin es lento, lleva a una comprensin ms profunda (Isoda y Olfos 2009).

Cmo lo diras con tus propias palabras? Cules son los datos?. Lo que conoces!. Cul es la incgnita? Lo que buscas! Cules son las palabras que no conoces en el problema? Encuentras relacin entre los datos y la incgnita? Si puedes haz un esquema o dibujo de la situacin

2. Concebir un plan o disear una estrategia Este problema es parecido a otro que ya conoces? Podras plantear el problema de otra forma? Imagnate un problema parecido pero ms sencillo Supn que el problema ya est resuelto Cmo se relaciona la situacin de

llegada con la de partida? Utilizas todos los datos cuando haces el plan?

3. Llevar a cabo el plan o ejecutar la estrategia Al ejecutar el plan, compruebas cada uno de los pasos. Puedes ver claramente que cada paso es el correcto? Antes de hacer algo piensa qu consigo con esto? Acompaa cada operacin matemtica de una explicacin contando lo que

haces y para que lo haces. Cuando tropieces con una dificultad que te deja bloqueado, vuelve al

principio, reordena las ideas y prueba de nuevo.

4. Reflexionar sobre el proceso seguido Lee de nuevo el enunciado y comprueba que lo que te pedan es lo que has

averiguado Fjate en la solucin te parece que lgicamente es posible? Puedes comprobar la solucin? Puedes hallar alguna otra solucin? Acompaa la solucin con una explicacin que indique claramente lo que

has hallado Utiliza el resultado obtenido y el proceso que has seguido para formular y

plantear nuevos problemas.

86

Cmo diferenciar un problema de un ejercicio?

Veamos el siguiente cuadro:

Clasificacin de los problemas segn su solucin y proceso

Ejercicio Problema

Segn las acciones

La actividad es simple y reproductiva.Apliquen un algoritmo, una frmula, conocimientos ya adquiridos.

Requiere un tiempo de la comprensin de la situacin.Disear estrategias y desarrollarlas.Evaluar sus resultados y consecuencias.

Cantidad y calidad

Resolver una gran cantidad de ejercicios no garantiza ser un buen resolutor de problemas.

Los buenos resolutores invierten tiempo en dos procesos: la comprensin y la metacognicin o evaluacin de sus resultados.

Desarrollo de capacidades

Replican conocimientos aprendidos. Los desafa y los motiva a investigar, experimentar, hallar regularidades y desarrollar estrategias de resolucin.

Desarrollo de cualidades personales

Reproducir conocimientos, procedimientos, tcnicas y mtodos genera con el tiempo pasividad en los estudiantes.

Despierta una alta motivacin y participacin por querer resolver el problema.

Movilizan experiencias previas y conocimientos adquiridos.

Hacen supuestos, experimentan, trazan planes y, por ltimo, sienten la satisfaccin de haber solucionado el problema.

Problemas segn su solucin

Problemas segn su proceso

Descripcin

Problemas abiertos

Situacin de problemas reales

Aqu se trata de plantear actividades o problemas lo ms cercanas posibles a situaciones reales y que requieran el uso de habilidades, conceptos y procesos matemticos.

Problemas cerrados

Problemas de una etapa (PAEV aditivos)

Son problemas cuyo texto es formulado con precisin y donde aparecen todos los datos necesarios para obtener la respuesta. Se presentan en formatos continuos y discontinuos.

Problemas cerrados

Problemas de varias etapas

Son problemas formulados en un contexto concreto y en cuya solucin intervienen dos o ms operaciones aritmticas consecutivas. Se presentan en formatos continuos y discontinuos.

Problemas abiertos

Problemas ldicos y de rompecabezas

En este caso, el contexto descubre el potencial recreativo de la matemtica, obligando al resolutor a ser flexible y considerar varias perspectivas: torre de Hani, tangram, cuadrado mgico, ajedrez, ludo, liga, sudoku, etc.


Problemas aritmticos de enunciado verbal (PAEV) sugeridos para el IV ciclo

En el IV Ciclo se recomienda el planteamiento de problemas aritmticos para la construccin y aplicacin de las nociones de adicin-sustraccin-multiplicacin y divisin.

Los problemas aritmticos pueden ser de una etapa en cuya solucin se requiere solo de una operacin, problemas aritmticos de dos etapas que requieren de dos operaciones y problemas de varias etapas en cuya solucin se usan dos o ms operaciones aritmticas.

Los problemas pueden ser de contexto real (ocurren efectivamente en la realidad) o factibles de producirse. Tambien pueden ser fruto de la imaginacin, sin base real.

Problemas aditivos de una etapa de adicin o sustraccin

Cambio (CA) Cambio 3 (CA3)Cambio 4 (CA4)

3.er grado

Cambio 5 (CA5)Cambio 6 (CA6)

4. grado

Combinacion (CO) Combinacin 1 (CO1)Combinacin 2 (CO2)

3.er grado

Con cantidades hasta de tres cifras

Comparacion (CM)

Comparacin 3 (CM3)Comparacin 4 (CM4)

3.er grado

Comparacin 5 (CM5)Comparacin 6 (CM6)

4. grado

Igualacin (IG) Igualacin 1 (IG1)

Igualacin 2 (IG2)

3.er grado

Igualacin 5 (IG5)Igualacin 6 (IG6)

4. grado

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Problemas aditivos de dos etapas en cuya solucin interviene de la adicin o sustraccin en forma consecutiva

Problemas aditivos-sustractivos Los problemas admiten 16 posibilidades. Por ejemplo, se pueden combinar problemas de:Cambio-cambio (CA,CA)Cambio-combinacinCambio-comparacin

Problemas con la misma estructura repetida y las operaciones de (+,+) (-,-)

Tenemos 8 problemas de:

( CA,CA ) ; ( CO,CO ) ; ( CM,CM ); (IG,IG) y con las dos operaciones idnticas

3.er grado

Cambio-igualacinY en cada problema se dan 4 variantes referidos a las operaciones involucradas.As en el problema de cambio-cambio hay 4 posibilidades de combinar las operaciones: (+,+)(+,-) (-,+) (-,-).

Problemas donde se combina la estructura y tambin se combina las operaciones (+,+)(+,-) (-,+) (-,-).As tenemos 16 problemas para cambio :

(CA,CA) y la combinacin de las dos operaciones: (+,+)(+,-) (-,+) (-,-).(CA,CO): (+,+)(+,-) (-,+) (-,-).( CA,CM ): (+,+)(+,-) (-,+) (-,-).( CA, IG): (+,+)(+,-) (-,+) (-,-).

16 problemas para combinacin

(CO,CO) y la combinacin de las dos operaciones: (+,+)(+,-) (-,+) (-,-).(CO,CA: (+,+)(+,-) (-,+) (-,-).( COCM ): (+,+)(+,-) (-,+) (-,-).( CO, IG): (+,+)(+,-) (-,+) (-,-).

4. grado

Problemas aditivos de dos o ms etapas o de varias etapas

Problemas donde se repite la misma estructura aditiva

Se combinan la estructura aditiva de tal manera que se repita, por ejemplo:

CA,CA,CA

4. grado

En Ruta 2013, se dio una

versin acotada y simplificada

de los tipos de problemas.

En esta versin 2015 se est

proporcionando una versin

ms completa de los tipos de

problemas, y para efectos

didcticos, optamos por una

denominacin ms sencilla.

Sin embargo, autores como

Vernaud, Puig a los problemas

multiplicativos los denominan

de forma diferente, por lo

que se sugiere ahondar en su

investigacin.


Problemas de estructura multiplicativa de multiplicacin o divisin

Para este ciclo se desarrollar tres tipos de problemas:

1. Multiplicacin-divisin razn Son problemas de proporcionalidad directa

Multiplicacin- Razn 1

Multiplicacin-Razn 2

Multiplicacin-Razn 3

Divisin particin-razn

Divisin cuoticin o agrupamiento.

3.er grado

2. Problemas de comparacin Multiplicacin- Comparacin en ms

Divisin-partitiva-comparacin en ms.

Divisin agrupacin-comparacin en ms.

3.er grado

4. grado

3. Problemas de combinacin- multiplicacino producto cartesiano.

Combinacin-multiplicacin o producto cartesiano 1.

4. grado

Problemas aritmticos de varias etapas

Problemas en los cuales se resuelven por operaciones de adicin, sustraccin, multiplicacin o divisin.

Problemas de operaciones combinadas.

4. Grado

Problemas aditivos de una etapa

Describiremos los problemas aditivos-sustractivos sugeridos para el IV ciclo, en los cuales se darn sugerencias sobre los tipos de modelos de solucion planteados con material concreto, pictrico y grfico.

1. Problemas de cambio (CA)

Estos problemas presentan las siguientes caractersticas:

Se evidencian las acciones de agregar-quitar, avanzar-retroceder, ganar-perder.

La cantidad inicial y la que se agrega o quita son de la misma naturaleza.

Se parte de una cantidad inicial, la cual se modifica o se transforma en el tiempo para dar lugar a otra cantidad final.

Las cantidades estn relacionadas a la cantidad inicial, al cambio o la transformacin y a la cantidad final.

La cantidad inicial crece o la cantidad inicial decrece.

Surgen 6 tipos de problemas, segn donde est la incgnita o sean problemas para aumentar o disminuir.

A continuacion describimos los problemas para el IV ciclo.

90

Cambio 3 (CA3)Se conoce la cantidad inicial y por una transformacin se llega a la cantidad final, que es mayor que la cantidad inicial. Se pregunta por el aumento que es el cambio o la transformacin a la cantidad inicial.Es un problema de sustraccin.Sugerido para 3.er grado.

Esther tiene ahorrado 545 soles, recibe una cierta cantidad por un trabajo extra, ahora tiene 638 soles Cunto le pagaron a Esther por el trabajo extra?

Modelo donde se expresa la operacin a realizar, donde el primer sumando es el estado inicial, el segundo sumando es el operador o la transformacin de aumento y el resultado es el estado final.

En este modelo la operacin es una mquina que transforma nmeros en otros nmeros, mediante una ley determinada.

La operacin 545 + ? = 638, se esquematiza por:

Cambio 4 (CA4)Se conoce la cantidad inicial y la cantidad final, que es menor que la cantidad inicial. Se pregunta por la disminucin que es el cambio o la transformacin a la cantidad inicial.

Es un problema de sustraccin.Sugerido para 3.er grado.

Andrea se compr una falda que meda 38 cm y le hizo un dobladillo para convertirla en minifalda y midiera 31 cm. De cuntos centmetros es el dobladillo o la basta?

Cambio 5 (CA5)Se conoce la cantidad final y su aumento. Se pregunta por la cantidad inicial. Sugerido para 3.er y 4 grado.

Pedro tena algunos caramelos Nati le regal 12, ahora tiene 20. Cuntos caramelos tena Pedro al inicio?

Cambio 6 (CA6)Se conoce la cantidad final y su disminucin. Se pregunta por la cantidad inicial. Sugerido para 4 grado.

Rosa tena algunos lpices, le dio a Carlos 6, ahora tiene 9. Cuntos lpices tena Rosa?

545 638+ ? 545 545

cantidad inicial

cantidad final

cambio?

38 31+ ? 38 31

medida inicial

medida final

cambio?

Cantidad inicial

Cantidad final

12 ms

? 20

Te regal12.Tena algunos caramelos.

Se conoce la cantidad inicial y el aumento. Se pregunta por la cantidad inicial.

Cantidad inicial

Cantidad final

algunos menos

? 9

Ahora tengo 9 lpices.

Me diste 6.

Se conoce la cantidad final y la disminucin. Se pregunta por la cantidad inicial.


2. Problemas de comparacin (CM)

Estos problemas presentan las siguientes caractersticas:

En este problema se comparan dos cantidades a travs de ms que, menos que y se establece una relacin de comparacin entre las dos cantidades.

Los datos son las cantidades y la diferencia que existe entre ellas.

La diferencia es la distancia que se establece entre las dos cantidades o la cantidad en que un conjunto excede al otro.

Dado que una cantidad se compara con otra, una cantidad es el referente y la otra cantidad es la comparada, es decir la cantidad que se compara con respecto al referente.

A continuacin se describe los problemas para el IV ciclo.

Comparacin 3Se conoce la cantidad referente y la diferencia en ms. Se pregunta por la cantidad comparada. Se conoce la primera cantidad, menor que la segunda y su diferencia en ms respecto a ella. Se pregunta por la segunda cantidad.

Sugerido para 3.er grado.

Marisol tiene ahorrado 120 nuevos soles. Giovanna tiene 25 nuevos soles ms que Marisol. Cunto dinero tiene Giovanna?

Modelo de solucin longitudinal

Comparacin 4Se conoce la cantidad referente y la diferencia en menos. Se pregunta por la cantidad comparada.Se conoce la primera cantidad, mayor que la segunda y la diferencia en menos de la segunda respecto a la primera. Se pregunta por la segunda cantidad.


Roger tiene ahorrado 80 nuevos soles. Oscar tiene 15 nuevos soles menos que Roger. Cunto dinero ahorrado tiene Oscar?

Modelo de solucin

Comparacin 5Situacin en la que se quiere averiguar la cantidad referente conociendo la comparada y la diferencia en ms de esta. Se conoce la primera cantidad, mayor que la segunda y la diferencia en ms con la del primero. Se pregunta por la segunda cantidad.

Sugerido para 4 grado.

Jess mide 130 cm y mide 12 cm ms que Juana. Cunto mide Juana?

120

5

Marisol Giovanna

?

+

80?

Roger Oscar

15

130?

Jess Juana

+12

120

?Marisol

Giovanna+5

92

Comparacin 6Se conoce la cantidad del primero y su diferencia en menos con la del segundo. Se pregunta por la cantidad del segundo.La primera cantidad es menor que la segunda cantidad.

Sugerido para 4 grado.

Miguel pesa 48 kg, y pesa 9 kg menos que Jos. Cunto pesa Jos

3. Problemas de igualacin (IG)

Estos problemas presentan las siguientes caractersticas: En el enunciado se incluyen las palabras tantos como, igual que En este problema se trata de igualar dos cantidades. Se acta en una de las cantidades aumentndolo o disminuyndola hasta

conseguir hacerla igual a la otra. Es al mismo tiempo un problema de cambio y otro de comparacin, pues

una de las cantidades se modifica creciendo o disminuyendo para ser igual a la otra cantidad.

Surgen 6 tipos de problemas.

A continuacin describiremos los problemas sugeridos para el IV ciclo.

Igualacin 1 (IG1)Se conocen las dos cantidades a igualar. Se pregunta por el aumento de la cantidad menor para ser igual a la mayor.

Es un problema de restar.


Marisol tiene ahorrado 26 nuevos soles. Giovanna tiene 17 nuevo soles. Cuntos nuevos soles ms tiene que ahorrar Giovanna para que tenga lo mismo que Marisol?

Igualacin 2 (IG2)Se conocen las dos cantidades a igualar. Se pregunta por la disminucin de la cantidad mayor para ser igual a la menor.

Es un problema de restar. Sugerido para 3.er grado.

En un platillo de la balanza hay 27kg, en el otro 18kg. Cuntos kg hay que retirar de la cantidad mayor para que la balanza se equilibre?

Modelo de solucin con medidas

Igualacin 5 (IG 5) Se conoce la cantidad a igualar y la igualacin (aadiendo o en ms), debiendo averiguar la cantidad que sirve de referente.

Flavio gana 645 nuevos soles, si le dieran 120 soles ms, ganara lo mismo que Ernesto. Cunto gana Ernesto?

48

kg

?

9

S/. 26S/. 17

Marisol Giovanna

+?

2718

Cantidad mayor

Cantidad menor

120

645 Flavio Ernesto

?

18 kg

27 kg


Multiplicacin-razn 1.Repeticin de una medida.Se da como dato una cantidad de determinada naturaleza y esta se repite un nmero de veces, se pregunta por la cantidad resultante (producto) que es de la misma naturaleza.

Sugerido para 3.er y 4. grado.

Oscar lleva 8 envases de plstico y siempre lleva el mismo nmero de envases 4 veces a la semana. Cuntos envases ha llevado en total durante la semana?

Modelo cardinal donde se expresa la cantidad

Modelo longitudinal con regletas, el nmero como longitud

Tambin se puede expresar en un modelo de organizacin rectangular con cantidades y tambin en el geoplano (se cuentan 32 cuadraditos que sera el producto)

Modelo numrico

4 veces 8 = 8 + 8 + 8 + 8 = 4 8

4. Problemas multiplicativos

Iniciar a los estudiantes en la multiplicacin es una tarea nada sencilla y es conveniente reforzar lo realizado en el ciclo anterior, donde se gener la nocin de multiplicacin como la suma reiterada de una misma cantidad y la divisin como reparto en partes iguales. Encontramos tres tipos de problemas multiplicativos, los de proporcionalidad simple, de combinacin y comparacin, para el IV ciclo se sugiere el trabajo con los problemas de proporcionalidad directa, es decir que al aumentar o disminuir una o ambas medidas, el resultado aumenta o disminuye en la misma proporcin.

A continuacin describimos los problemas sugeridos para el IV ciclo:

Igualacin 6 (IG 6)Se conoce la cantidad a igualar y la igualacin (quitando o en menos), debiendo averiguar la cantidad que sirve de referente.

En el saln A hay 34 estudiantes. Si se retiran 6, habra la misma cantidad de estudiantes que el saln B. Cuntos estudiantes hay en el segundo saln?

6

36 Saln A Saln 2

?

1 vez 2 veces 3 veces 4 veces

8 columnas

4 fil

as

1 2 3 4 5 6 7 8

Tambin se puede usar un

modelo lineal, usando la

lnea o cinta numrica.

Plantea un problema

donde se a ms adecuado

usar la lnea o cinta

numrica.

1 2 34 5 6

7 8 9 10

94

Multiplicacin-razn 2

Varios grupos de una misma cantidad

Hay 2 cantidades de la misma naturaleza. Hay un grupo de objetos y en cada grupo hay otra cantidad de objetos de la misma naturaleza. El producto es de la misma naturaleza.

Hay 3 montones de manzanas, cada montn tiene 7 manzanas. Cuntas manzanas hay en total en los 4 montones?

Modelo cardinal donde se expreTsa la cantidad.

Multiplicacin-razn 3

Producto de dos medidas

En este tipo de problemas la relacin de proporcionalidad est definida entre dos conjuntos de medidas (las pelotas y su precio). La presencia de la unidad (cada pelota cuesta 8 nuevos soles). Lo que se repite es la cantidad de soles segn el nmero de pelotas.

El producto resultante es de la misma naturaleza que el multiplicador.

Roger compra 5 pelotas. Cada pelota cuesta 8 nuevos soles. Cunto dinero pag?

Este problema tambin se puede expresar en un cuadro simple.

As:

Divisin- particin

Particin o reparto de los elementos del conjunto en partes iguales

Dada una cantidad de naturaleza A (dividendo) y otra de naturaleza B (divisor). Se pregunta por la cantidad resultante (cociente) de la misma naturaleza que el dividendo.

Se resuelve con una divisin partitiva porque el dividendo se divide o parte en subconjuntos iguales.

Sugerido para 3.er grado

Mara tiene 18 figuritas y desea regalar figuritas a sus tres amigos, de tal manera que a cada uno le toque la misma cantidad. Cuntas figuritas le corresponde a cada amigo?

La cantidad a repartir son las figuritas, es el dividendo.Se reparte entre sus tres amigos, es el divisor. Figuritas y amigos son cantidades de diferente naturaleza.El cociente debe ser de la misma naturaleza del dividendo, es decir la respuesta debe ser en figuritas.

Modelo cardinal de solucin, como reparto Al terminar de repartir una figurita para cada nio, se obtiene 6 figuritas para cada nio.

pelotas precio (S/.)

1

2

13

4

5

8

16

?

3 grupos de manzanas


Modelo longitudinal con regletas.

El dividendo es 18 (10 y 8) y el divisor es 3 (cuntas regletas de 3, entran exactamente en 18). El cociente es la cantidad de regletas de 3, es decir 6 regletas de 3 entran exactamente en 18.

Modelo numrico, de restas reiteradas. Se puede restar 4 veces 3 de12, hasta llegar a cero,

De esta manera se ha restado 4 veces 3 de 12, luego 12: 3 = 4

Divisin Cuoticin o agrupamiento

El dividendo y el divisor son de de la misma naturaleza. Se pregunta por la cuota o parte. El resultado que es el cociente es de distinta naturaleza.

Sugerido para 3.er grado

Para pagar a sus empleados Jos tiene 960 nuevos soles, si a cada uno le paga 320 nuevos soles. Cuntos empleados tiene Jos?

El dividendo es 960 nuevos soles. El divisor 320 nuevos soles. Ambas cantidades son de la misma naturaleza. Se pide el cociente que es la cantidad de empleados de Jos, por lo que es de distinta naturaleza que el dividendo y el divisor.

El modelo numrico de restas reiteradas, pagar a cada empleado 320 nuevos soles hasta llegar a nada, por lo que se resta 3 veces 320 de 960, luego 960: 320 = 3.

Problemas de multiplicativos de comparacin

En los problemas de comparacin se utilizan los trminos veces ms, veces menos, doble, triple

Multiplicacin o Amplificacin de la magnitud o comparacin en ms.

Divisin partitiva comparacin en ms. Divisin por agrupamiento comparacin

en ms.

1239

936

633

330

96

De multiplicacin (ampliacin de la magnitud)

Comparacin en ms.

Dada la cantidad de uno (multiplicando) y las veces que otro la tiene dems. Se pregunta por la cantidad resultante (producto) que es de la misma naturaleza.

La primera cantidad est contenida n veces en la segunda cantidad.

Sugerido 3.er grado.

Juan ahorr 32 nuevos soles y su hermano Pedro logr ahorrar tres veces ms dinero que Juan. Cunto dinero tiene Pedro?

Este problema expresa la regla de proporcin entre el dinero de ambos hermanos. 32 soles est contenido 3 veces en la cantidad de Pedro.

El problema se puede expresar a partir de estos modelos donde se expresa la cantidad a travs de esquemas.

Tambin se puede expresar como un modelo funcional, ya que se puede considerar cada operacin como una mquina-operador que transforma estados.

Divisin partitivaComparacin en ms

Dada la cantidad de uno (dividendo) y las veces que otro la tiene dems (divisor). Se pregunta por la cantidad resultante (cociente) que es de la misma naturaleza que el dividendo.

La primera cantidad contiene n veces a la segunda cantidad.

Sugerido 4to grado.

Andrs tiene 45 aos y es tres veces ms que la edad de su hijo. Cuntos aos tiene su hijo?

A continuacin describimos los problemas sugeridos para el IV ciclo.

32 ?x3

S/. 32

S/. 32

S/. 32

S/. 32Juan

Pedro

3 veces ms dinero que Juan

x332

?

Juan

Pedro

Andrs

45

hijo3 veces

msx3

Hijo

Andrs

?

45


Divisin cuotitiva por agrupacin, comparacin en ms

Dadas dos cantidades de la misma naturaleza (dividendo y divisor) se pregunta por el nmero de veces (cociente) que una es mayor que la otra.

Sugerido 4to grado

Anita tiene 14 aos y su mam 56 aos. Cuntas veces mayor es la mam de Anita?

Es un problema de pura comparacin, puesto que no hay nada que se parezca a un reparto. Y una de las cantidades est contenida exactamente en la otra una cantidad de veces. Se resuelve por una divisin pues la cantidad mayor se divide en partes o cuotas. No se da como dato la relacin multiplicativa.

x3

14

56

Anita

mam de Anita

Cuntas veces est contenido 14 en 56?

mam de Anita

56

98

Un patrn geomtrico es un patrn de repeticin formado siguiendo un criterio geomtrico. Este criterio geomtrico est relacionado con transformaciones geomtricas como reflexiones (vueltas), rotaciones (giros) y traslaciones (imgenes deslizadas). En el IV ciclo los estudiantes estn bastante familiarizados con la simetra y la reflexin, y son capaces de utilizar estas transformaciones en la creacin de patrones de repeticin. Adems, sabemos que un patrn de repeticin se forma por la reiteracin ordenada de un grupo de elementos llamado ncleo de repeticin.Actualmente, en todas las comunidades nativas de la selva se puede observar que hay una riqueza en la utilizacin de patrones geomtricos en mantos, bolsos, cusmas, etc., lo mismo sucede en comunidades andinas de nuestro pas.Los nios pueden iniciarse identificando patrones con simetra, al observar estos diseos en mantos, cenefas, colchas de tejido a crochet, etc., a travs de una situacin muy sencilla como esta:

En este ejemplo los nios ubican las piezas que completen otro elemento ms de la secuencia; primero, tendrn que identificar el ncleo de repeticin del patrn (se observa que el ncleo es de la forma ABABABA) para saber qu pieza contina. Una vez que colocan la pieza que corresponde, pueden hacer tantas repeticiones segn el largo de la correa que quieren elaborar, y finalmente, ponerle una hebilla en forma grfica.

Qu pieza contina?

3.2 Estrategias para el desarrollo de la competencia Acta y piensa matemticamente en situaciones de regularidad, equivalencia y cambio

3.2.1 Patrones de repeticin geomtricos con simetra.

Construyendo una correa:

A B A B A B A


Descripcin: Un modo de descubrir patrones con transformaciones geomtricas de reflexin es con el espejo. Al colocar un objeto frente a este, los nios descubren la simetra de una figura geomtrica en el reflejo de su imagen. As los estudiantes pueden formar patrones de repeticin con reflexiones.

Relacin con capacidades e indicadoresCon la estrategia del espejo, los nios sern capaces de identificar la simetra que presentan los elementos de una secuencia y determinar su conformacin. De esa manera podrn matematizar la secuencia y expresar el patrn de repeticin con simetra. Asimismo, podrn proponer nuevos patrones de repeticin, al crear el ncleo de repeticin con elementos concretos, utilizando el espejo para formar simetra por reflexin.

Aplicacin de la estrategiaEn esta actividad, utilizando figuras de tringulos rectngulos de colores en forma concreta, prueban varias posibilidades para construir patrones con reflexin horizontal. Esto significa que el espejo lo ubicar al lado de la ltima figura geomtrica formada y podrn encontrar la posicin de la figura y el color que tiene y as sucesivamente podrn armar cenefas, guardillas, frisos, etc.

Qu necesitamos? Figuras de tringulos equilteros de colores en papel lustre en un sobre. Dos papelotes. Goma. Un espejo.

Cmo nos organizamos? Se forman grupos de trabajo a nivel de aula y se les entrega un sobre con

tringulos equilteros cortados previamente en varios colores.

Aplicacin 1: Se pide a todos los grupos que en forma concreta (con los tringulos del sobre)

armen diversos diseos donde se evidencie la repeticin de elementos (pegarn en un papelote). Pregunte: qu criterio utilizaron para su diseo? Necesitaron colocar los tringulos en una misma posicin? Cmo se combinaron los colores? Qu tuvieron que hacer para seleccionar qu piezas elegirn?

Se les orienta para formar una figura geomtrica con los tringulos y construir la figura simtrica con ayuda del espejo, al colocarlo al lado de la figura inclinada adecuadamente. Pueden construir ms de una figura compuesta con la simtrica para constituir el ncleo de repeticin del patrn que crearn y adems se puede conservar la simetra en la forma, pero cambiar el color de las piezas.

1. Jugando con el espejo

100

Aplicacin 2: Se les presenta el siguiente patrn en la pizarra con piezas que previamente el

docente ha preparado. Los estudiantes observarn esta secuencia de banderitas y cada grupo lo armar con el material que recibieron en el sobre, colocarn el espejo en la ltima figura geomtrica y reproducirn lo que observan en el espejo en el papelote con el color y la posicin del tringulo que aparecen en la imagen. Esta accin la repetirn en forma sucesiva hasta formar una franja significativa (8 repeticiones, aproximadamente).

Pregunte a los estudiantes: Qu pieza sigue? Qu figura formar? Cmo te das cuenta que esa es la que sigue? Qu grupo de figuras da origen al patrn formado? Qu caractersticas tiene?

Tiene un solo color? S, no, por qu? Est en la misma posicin?

La docente orienta a los estudiantes a que este grupo de figuras constituye la estructura base de formacin de todo el diseo al cual le llamamos ncleo de repeticin.

Podran continuar con la secuencia sin utilizar el espejo? Qu tienen que tomar en cuenta? Pueden explicarlo?

DescripcinUn problemas comn en el tema de patrones es el de poder predecir qu elemento del patrn o que pieza de la guardilla, loseta, etc., est en una determianda posicin. Para resolver esta cuestin es muy til codificar los elementos que se repiten en el patrn y tener en cuenta cuntos elementos tienen el ncleo de repeticin. De esa manera sabremos que si el ncleo del patrn tiene 4 elementos, entonces cada 4 posiciones se repite el mismo elemento.

Relacin con capacidades e indicadoresEsta estrategia permite al estudiante ampliar su repertorio de estrategias relacionadas con patrones de repeticin y, adems, desarrollar la capacidad de Razonar y argumentar mediante la cual el estudiante hace supuestos y conjeturas para predecir qu pieza corresponde colocar en una posicin muy posterior y cundo no se quiere extender el patrn, tanto como para llegar al elemento en cuestin.

Aplicacin de la estrategiaEn este paso se espera que los estudiantes consigan determinar cul ser la posicin y el color del primer tringulo de la banderita n. 34. Para encontrar un trmino desconocido en la secuencia, se puede optar por asignarle un smbolo (letra) a cada pieza o banderita.

2. Prediciendo elementos del patrn


DescripcinEl desarrollo del pensamiento variacional se inicia desde los primeros grados con el tratamiento de los patrones de repeticin o numricos, los cuales propician el abordaje de la generalizacin propia del lgebra. Para este proceso de generalizacin se tomarn en cuenta las indicaciones propuestas por Mason (1985).

Relacin con capacidades e indicadoresLos estudiantes desarrollan la habilidad de identificar en una secuencia las regularidades que hay entre sus elementos y lleguen a expresar dicha secuencia como un patrn (matematizar). Las formas de expresar el patrn requerirn del uso del lenguaje matemtico y diferentes representaciones.

Pasos de la estrategiaPaso 1: Percibir un patrnEn esta etapa se pueden presentar actividades con secuencias de figuras o de nmeros, donde se solicite a los alumnos la figura o el nmero siguiente. Se espera que el alumno observe lo que est pasando de una figura a la otra, o de un nmero al siguiente y en esta observacin el alumno perciba la regularidad.

3. Generalizacin de patrones

Con esta estrategia se puede codificar los elementos del ncleo del patrn de la siguiente manera:

Esta codificacin nos permitir saber si la banderita que seguir en la secuencia ser A que representa a los nmeros impares o B, que es de los nmeros pares.

Si es A (impar): la banderita empezar con el tringulo de color rosado.Si es B (par): la banderita empezar con el tringulo de color verde.

Es muy importante la mediacin del docente que permita a los estudiantes encontrar la relacin entre esta codificacin y la posicin de los elementos. El docente puede preguntar: Cmo te ayudan estos smbolos a identificar elementos desconocidos? Cmo identificaras la posicin de un trmino desconocido en esta secuencia? Es necesario elaborar una tabla u otro organizador de informacin? Basta saber si son pares o impares? Crees que te ayuda? Cmo?

Si respondemos la interrogante planteada anteriormente, la banderita n. 34 ser de color verde en el lado izquierdo y rosado en el lado derecho porque corresponde al elemento B y es nmero par; si queremos averiguar cmo ser la banderita n. 67, basta identificar si es A o B; en este caso el 67 es impar, por lo tanto, la banderita ser verde en el lado izquierdo y rosado en el lado derecho.

A B

102

Paso 2: Decir cul es el patrnEl alumno necesita expresar lo que observ y para ello es necesario incluir en las actividades preguntas que indaguen sobre cmo encontr la figura o el nmero siguiente y que comente este proceso con los dems compaeros: en esta reflexin puede percatarse si lo que dice est correcto o no.

Paso 3: Registrar el patrnSe requiere que el alumno exprese de forma sucinta lo que ya haba expresado, con la intencin de que las ideas queden asentadas y no olvide las conjeturas que va deduciendo; puede apreciarse que se inicia en la manipulacin de expresiones en el momento que las construye y reconstruye. El registro del patrn puede iniciarse con oraciones donde se mezclen palabras, dibujos, y smbolos. Se debe insistir en este proceso hasta obtener expresiones exclusivamente simblicas.

Paso 4: Prueba de la validez de las frmulasEl alumno puede comprobar su frmula en la actividad de la que surgi o en otros casos. La prueba se puede realizar con clculos aritmticos, con dibujos o contando.

Esta fase de reproduccin del patrn permite manipular las piezas, jugar y/o probar la posicin y el orden de estas, las acciones realizadas con las manos ayudarn a que perciban de mejor manera el patrn.

Aplicacin 1: Elaborando guardillas para decorar cuadrosUna situacin cotidiana en la que son muy tiles los patrones es la de decorar un marco de fotos con guardillas en las que se utilizan patrones geomtricos de repeticin. Esta actividad consiste en elaborar un marco para un collage de fotos familiares o personales, el cual estar hecho de cartulina dplex de color blanco.

Qu necesitamos? Fotografas pegadas en una cartulina dplex de 20 cm por 30 cm. Tijeras, goma. Regla. Papel lustre de colores (verde y anaranjado). Moldes de corazones (grande y pequeo).

El docente puede iniciar proponiendo una secuencia grfica o concreta que describa un patrn geomtrico de simetra. Paso 1. Percibiendo el patrnReproducen el patrn construido en la pizarra con ayuda de todos y del docente, con los materiales recibidos.


Paso 2. Expresando el patrnCuando el nio ejerce accin sobre los objetos (en este caso los corazones entregados son de distinto tamao y con dos colores a la vez) ha tenido la posibilidad de identificar las caractersticas que le ha llamado la atencin, lo cual tambin le ha permitido aislarlos y/o separarlos para encontrar las semejanzas y las diferencias. Ahora tiene la posibilidad de expresar sus acciones (pues ha comprendido), de identificar qu piezas conforman el ncleo del patrn, y describir qu relaciones encontr.

Paso 3. Registrando el patrn El nio registra o representa el patrn de varias formas. Pueden hacer cuadros, asignar valores numricos a cada pieza, letras u otras representaciones pictricas.

Paso 4. Probando la validez de la frmulaEn este nivel el nio tendr que probar en otras situaciones que el ncleo que eligieron forma todo el patrn al repetirse. Es decir, que la regularidad hallada funciona y es vlida. Para ello es necesario hacer un anlisis cuidadoso del patrn observado, la identificacin de las regularidades le ayudar a visualizar algunas relaciones, por lo tanto, estar en capacidad de hacer generalizaciones.

En este caso se observa que el ncleo tiene 6 elementos, es decir, que cada 6 posiciones se repite un elemento. Si queremos averiguar qu tamao y qu combinacin de colores tendr el trmino 45 de la secuencia, tendremos que avanzar a partir del elemento 6, de 6 en 6 hasta llegar lo ms prximo antes del 45. Entonces, tendremos: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42. Significa que a partir del trmino 43 comienza nuevamente el ncleo de repeticin.

A B C D E F

1 2 3 4 5 6

Observan y reconocen las caractersticas de las figuras: Qu forma tienen? Todas las piezas tiene el mismo color? Cmo son los tamaos? En qu se parecen? En qu se diferencian? Identifican el ncleo que se repite en el patrn? De cuntas piezas est constituido ese ncleo? Por qu creen que hay dos piezas en una misma figura? Qu relaciones encuentran? El patrn est formado con un criterio de simetra? S, no, por qu? Cmo se dan cuenta de ello?

Se espera que los estudiantes respondan que el ncleo del patrn est constituido por 6 piezas y si tienen que simbolizarlo pueden asignarle, como en casos anteriores, letras: A-B-C-D-E-F. El patrn est formado con un criterio de simetra, a su vez se evidencian los criterios de tamao y color. Hay corazones partidos por la mitad los cuales tienen dos colores (anaranjado y verde); tambin se observa que unos son grandes y otros pequeos; en algunos corazones est insertado un corazn pequeo, pero formado con colores que no se corresponden respecto de sus mitades.

43 44 45

104

Otra estrategia es la de usar una tabla

Se espera que los estudiantes comprendan que los patrones tienen un origen, que es el ncleo de formacin; una vez identificado este ncleo, es posible continuar con la secuencia, determinar trminos desconocidos. Al asumir como base las regularidades encontradas, podrn llegar a generalizaciones.

A B C D E F

1 2 3 4 5 6

7 8 9 10 11 12

18

24

30

36

42

43 44 45

DescripcinEsta actividad se refiere a construir un mosaico, utilizando el proceso de teselado o teselacin que es un patrn repetitivo de figuras geomtricas. La tesela es cada pieza con la que se forma el mosaico; estas encajan y cubren el plano sin superponerse y sin dejar huecos. Estas teselas conforman una regularidad o patrn de figuras que cubre o pavimenta completamente una superficie plana, de tal manera que no queden huecos ni se superpongan las figuras unas sobre otras. En este sentido, teselar es sinnimo de embaldosar o colocar cermicos en una determinada superficie.Los estudiantes vivenciarn la actividad de teselar una superficie rectangular de 1,20 cm2. La dimensin de cada pieza o tesela es de 5 cm2.

Relacin con capacidades e indicadoresAprender a utilizar patrones de repeticin, combinando un criterio geomtrico de simetra y/o perceptuales de color. Matematizar identificando los elementos que se repiten para formar el ncleo. Justificar estas posibles relaciones encontradas (regularidades), los cuales servirn para llegar a la generalidad de la regla de formacin. Tambin matematizar al proponer un diseo de mosaico, probando con distintos ncleos de formacin. Con esta actividad tambin los estudiantes estimularn su creatividad al disear patrones con figuras geomtricas combinando color, forma y tamao en forma simtrica.

3. Construyendo mosaicos

Mosaico armado con teselas en forma simtrica (sala de espera un consultorio mdico).


Materiales Tijeras. Goma. Papel lustre para confeccionar cada tesela de 5 cm2. Una cartulina de una superficie de 30x40 cm2. Regla. Modelos de teselas para cubrir la superficie con diseos geomtricos (solo

sern de referencia).

Desarrollo de la estrategia:

Paso 1. Formar grupos en el aula y designar responsabilidades. Confeccionar las piezas teselas de 5 x 5 cm, con las que se cubrir la superficie

solicitada. Debern ser pintadas de colores (las piezas presentadas son referenciales).

Preparar la cartulina con las dimensiones solicitadas.

Paso 2.

Probarn varios diseos de ncleos para formar patrones. Este proceso requiere del acompaamiento y mediacin del docente Qu criterios de formacin van a considerar? Cmo ubicarn las teselas? Cmo las tienen que colocar para que sean simtricas? Una tesela se parece a una pieza de cermica? Qu significa teselar?

Seleccionarn un diseo diferente (por cada grupo) del ncleo o estructura de base para construir el patrn con el cual empezarn a teselar.

Extendern este diseo por toda la superficie solicitada (30 x 40 cm) sin que quede ningn espacio vaco.

Se puede orientar el trabajo con las siguientes interrogantes: Lograron cubrir toda la superficie solicitada? Cmo se ubicaron las piezas del mosaico? Cuntas piezas de tesela han utilizado? Explica cul es el ncleo o estructura base del patrn.

Paso 3.

Finalmente, se puede hacer un museo con las construcciones de mosaicos de todos los grupos.

Pueden elaborar distintos diseos por grupos y socializarlos.

106

Se espera que en esta teselacin, los estudiantes formen un mosaico con 6 filas y 8 columnas de teselas (superficie de 30 x 40 cm2), utilizando cualquier diseo, explicando y justificando el proceso de formacin del ncleo.

4. Juegos de estrategiasDescripcin: El desafio de este juego consiste en que los estudiantes encuentren un regla que les permita determinar la cantidad mnima de movimientos que deben realizar para intercambiar de posicin fichas de dos colores en un tablero rectangular de 2x1, 2x2, 2x3, 2x4, etc. Es as que buscarn la solucin haciendo uso de diferentes estrategias heursticas y habilidades con el propsito de identificar y determinar las reglas de formacin de patrones aditivos y multiplicativos.

Relacin con capacidades e indicadoresEl estudiante, en el proceso de resolucin de esta situacin problemtica desarrollar con mayor nfasis la capacidad de matematizar. Significa que transformar el problema planteado a una forma matemtica expresada en un modelo con expresiones aditivas y multiplicativas. Para ello identificar la regla de formacin de un patrn aditivo y multiplicativo.

Apliacin de la estrategiaQu necesitamos?

Fichas o chapas de dos colores, hojas cuadriculadas, regla y lpiz.

Resolvemos situaciones como la siguiente:

Edwin est jugando saltos y brincos intercambiando todas las fichas amarillas en el lugar de las fichas verdes y las fichas verdes en el lugar de las fichas amarillas.

Para realizar el intercambio de fichas tiene en cuenta las siguientes reglas: Mueve solo una ficha a la vez, hacia una casilla vaca en direccin

horizontal, vertical o diagonal. No pueden coincidir dos fichas en la misma casilla.

Termina el juego cuando las fichas verdes y amarillas han intercambiado sus posiciones; es decir las amarillas estn ubicadas en la fila inferior y las verdes en la fila superior, esto se debe hacer en la menor cantidad de movimientos.

Despus de varios intentos, Elwin an no puede responder las siguientes preguntas:Cuntos movimientos se necesitan como mnimo para intercambiar de pisicin las 4 fichas verdes y las 4 amarillas?Si tuviera 10 fichas de cada color cuntos movimientos hara?Ayudemos a Elwin a resolver este desafo!


Entrega 8 fichas o chapas, 4 de cada color y una hoja cuadriculada. Sugiere que elaboren sus tableros en las hojas cuadriculadas teniendo en cuenta el tamao de las fichas. Una de las estrategias a utilizar ser la simulacin usando material concreto (chapas y tableros). Permitir vivenciar y experimentar el juego propuesto.

Deles un tiempo prudente para que intenten intercambiar de posicin las 4 fichas de cada color. Promueve el anlisis: Cmo podemos hacer que el problema se haga ms sencillo?, cuntas fichas es ms fcil de intercambiar? Si tuvisemos una, dos o tres fichas de cada color cuntos movimientos se necesitara?, cmo sera el tablero, cuntos casilleros se utilizara? Los estudiantes deben justificar sus respuestas.

Genere que los estudiantes reflexionan y lleguen a la conclusin de que es ms fcil resolver el problema cuando se tiene una ficha de cada color. Que experimenten con una ficha, luego con dos fichas y finalmente con tres fichas de cada color. Los estudiantes deben comprender que con mayor cantidad de fichas y realizarlo con material concreto demanda mayor tiempo y que necesitan una estrategia que les permita determinar la cantidad de movimientos en el menor tiempo.

Sugiere que utilicen una tabla para que registren los resultados de cada situacin experimentada. Por ejemplo: con 1 ficha de cada color se necesita 3 movimientos como mnimo y con 2 fichas de cada color se necesita 5 movimientos como mnimo, esta informacin se registra en la tabla.

Indica que observen la tabla y pregunta: Qu representan los nmeros de la primera y segunda fila?, observan alguna relacin en los nmeros?, incrementa o disminuye los nmeros?, en cunto?, cmo completaramos los nmeros de las columnas? Los estudiantes deben identificar que existe una regla de formacin en las secuencias de ambas columnas. Adems deben establecer la relacin (regla de formacin) que existe entre el nmero de fichas por color y el nmero de movimientos, y deben expresarla en forma simblica utilizando expresione aditivas y multiplciativas.

Qu completen la informacin en la tabla para dar respuesta a las preguntas planteadas en el problema.

Nmero de fichas por

color

Nmero mnimo de

movimientos

1 3

2 5

3 7

... ...

En la secuencia, los nmeros van incrementando de 2 en 2.

El Algoritmo para determinar la cantidad mnima de movimientos: Duplicar el nmero de fichas por color y sumarle una unidad.

1 x 2 + 1 = 3

2 x 2 + 1 = 3

3 x 2 + 1 = 7

108

5. Descubriendo patrones aditivos y multiplicativos en el tablero del cien

Descripcin

En esta estrategia se har uso del tablero del cien para desarrollar actividades que

permitan a los estudiantes aprender sobre los patrones aditivos y multiplicativos.

Descubrirn patrones en los nmeros que se encuentran distribuidos en la figura de

una cruz, la cual se formar en el tablero del cien. Luego los estudiantes identificarn las

reglas de formacin de patrones aditivos - multiplicativos y a partir de ella propondrn

algoritmos de clculo para determinar de manera rpida algunos elementos de la cruz

numrica.


Los estudiantes durante el proceso de ejecucin de las actividades propuestas,

desarrollarn la capacidad de matematizar, elaborar y usar estrategias en problemas

de regularidad a travs del uso del tablero del cien. Para lograr este propsito, harn

uso de sus habilidades para identificar las reglas de formacin de regularidades

y secuencias descubiertas por ellos en el tablero del cien y luego expresarlos en

patrones aditivos-multiplicativos, generando propuestas de algoritmos de clculo para

determinar trminos o elementos de los patrones numricos identificados.

Qu necesitamos?

Tablero del cien numerado, chapas o fichas numeradas del uno al cien, hoja

cuadriculada y lpiz.


Indica a los estudiantes que formen en su tablero una cruz con cuatro chapas o

fichas como se muestra en la figura. Mencinales que llamarn a esta figura cruz

numrica 25, porque el 25 es el nmero que se encuentra en el centro de la cruz.

Motive a que observen la cruz e identifiquen algunas regularidades entre los

nmeros que se encuentran en dicha figura. Por ejemplo:

Los nmeros 24, 25 y 26 son consecutivos y se incrementan de 1 en 1.

Los nmeros 15, 25 y 35 avanzan de 10 en 10.

Si ordenamos los nmeros de las puntas de la cruz en sentido horario 15, 26,

35, 24 se observa que del 15 al 26 incrementa en 11, del 26 al 35 se incrementa

en 9 , del 35 al 24 disminuye en 11 y si regresamos del 24 al 15 disminuye en 9.

Otra regularidad, al sumar 15 y 35 se obtiene 50 que es el doble del nmero

central de la figura, lo mismo sucede con 24 y 26 ambos suman 50 y es el

doble del nmero central.

Cada regularidad identificada por los estudiantes debe ser explicada y justificada.


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Rete a los estudiantes a encontrar los nmeros de las siguientes cruces: cruz

12, cruz 56, cruz 79 y que verifiquen si se cumple en ellas las regularidades

encontradas en la cruz 25. Que comenten sus hallazgos.

Problematice a travs de preguntas: cules son los nmeros que conforman la cruz 48? cunto suman los cuatro nmeros ubicados en las puntas?, en qu cruz, al sumar sus cuatro nmeros se tiene como resultado 336?, cmo podemos responder de manera rpida estas preguntas sin observar el tablero? D el tiempo necesario para que propongan alternativas de solucin a las interrogantes planteadas.

Sugiere a los estudiantes que hallen las sumas de diversas cruces y que las organicen en una tabla: En la cruz 25, se tiene 100 = 15 + 35 + 48 + 12. Esto les permitir establecer relaciones entre los nmeros. Anmalos a formular sus propias reglas.

Finalmente, realice preguntas para validar sus propuestas:Cules son los nmeros que conforman la cruz 82?Cunto suman los cuatro nmeros de la cruz 29?, cules son esos nmeros?Cul es nmero de la cruz cuyo resultado de sumar sus cuatro nmeros es 276?Cada respuesta debe ser explicada y justificada.

Rtelos a que investiguen otras regularidades en las cruces formadas, al sumar los cinco nmeros, incluido el nmero del centro y que propongan algoritmos de clculo.

Nmero de la cruz numrica

Suma de los 4 nmeros

25 100

12 48

56 224

25 x 4 = 100 100 4 = 100

12 x 4 = 48 48 4 = 12

56 x 4 = 224 224 4 = 56

Cul es la relacin?

100 es el cudruplo de 25 o 25 es la cuarta parte de 100

224 es el cudruplo de 56 o56 es la cuarta parte de 224

48 es el cudruplo de 12 o12 es la cuarta parte de 48

110

6. Descubriendo patrones aditivos en el calendarioDescripcin

Haciendo uso del calendario, los estudiantes

participarn en actividades como el anlisis de

columnas y diagonales, demarcacin de sectores

rectangulares (2x2, 3x3 y 4x4) o desplazamientos

(izquierda-derecha, arriba abajo), mediante

las cuales se promover que los estudiantes

identifiquen regularidades numricas y determinen

las reglas de formacin para expresarlos como

algoritmos.


Los estudiantes desarrollarn la capacidad de matematizar a partir de identificar

patrones aditivos en los nmeros establecidos en el calendario que ellos seleccionen,

luego identificarn las reglas de formacin de los patrones descubiertos expresndolos

en algoritmos que permitan identificar algn elemento del patrn numrico.

Materiales: Calendario 2015, hoja cuadriculada, colores y lpiz .

Pasos de la estrategia:

Solicite a los estudiantes que seleccionen en

el calendario el mes de su preferencia. Diles

que observen la distribucin de los nmeros en

columnas y en diagonales, luego pdeles que

descubran que sucede con esos nmeros. Se

espera que identifiquen regularidades:

En las columnas, los nmeros se incrementan de 7 en 7, esto se debe a que los

dias de la semana son siete.

En las diagonales que van desde la parte superior izquierda hacia la parte inferior

derecha, los nmeros se incrementan de 8 en 8.

En las diagonales que vn desde la parte superior derecha hacia la parte inferior

izquierda, los nmeros se incrementan de 6 en 6.

Comntales que continuarn identificando

regularidades en el calendario elegido. Pdeles

que marquen con colores los sectores que

tengan igual nmero de casillas por lado,

pueden ser de 2x2, 3x3 o 4x4, as como se

muestra en la imagen.

Lun Mar Mir Jue Vier Sab Dom

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10 11 12

13 14 15 16 17 18 19

20 21 22 23 24 25 26

27 28 29 30 31

J u l i o


1 2 3 4 5

6 7 8 9 10 11 12

13 14 15 16 17 18 19

20 21 22 23 24 25 26

27 28 29 30 31

J u l i o


1 2 3 4 5

6 7 8 9 10 11 12

13 14 15 16 17 18 19

20 21 22 23 24 25 26

27 28 29 30 31

J u l i o


Motive que observen la distribucin de los nmeros en cada sector y que identifiquen alguna regularidad entre los nmeros que lo conforman. Por ejemplo:

En el sector 3x3 de la imagen , el valor de la suma de los nmeros que se encuentran en cada diagonal son iguales:14+22+30 = 66 =16+22+28.

Si sumamos los dos nmeros ubicados en los extremos de una diagonal y la comparamos con la suma de la otra diagonal el resultado es el mismo nmero: en el sector 3x3 sumamos 14 + 30 = 44 y la otra diagonal 16 + 28 = 44, se verifica que ambos resultados son el mismo.

Al sumar todos los nmeros que se encuentran dentro del sector seleccionado, el resultado es mltiplo de la cantidad de casilleros que tiene el sector, es decir, si sumamo los nmeros del sector 2x2 de la imagen 4+5+11+12= 32, este resultado es mltiplo de 4. Y si seleccionamos el sector 3x3 , al sumar los nmeros 14+15+16+21+22+23+28+29+30=198, el resultado es mltiplo de 9. Esta regularidad se cumple para cualquier sector de la forma NxN formada en el calendario.

Cada propuesta de regularidad que formulen los estudiantes debe ser explicado y justificado por ellos.

Motive a que todas las regularidades descubiertas las verifiquen en los diferentes meses del ao. Cada hiptesis propuesta por los estudiantes debe ser verificada, explicada y justificada por ellos.

Otra variante Solicite a los estudiantes que ubiquen una ficha en el nmero 10, avancen dos

casilleros a la derecha y uno hacia abajo. Pregunte en qu nmero termina?, porque? Si ubicamos una ficha en el nmero 6 y continuamos con la misma regla (mover dos casilleros a la derecha y uno hacia abajo), en qu nmero termina por qu?

Propicie que experimenten con varios nmeros y expresen la regularidad encontrada mediante un patrn aditivo. Los estudiantes deben arribar a conclusiones como: por cada casillero que avanza hacia la derecha se incrementa en uno y por cada casillero que avanza hacia abajo se incrementa en 7. Por ejemplo, al realizar los desplazamientos del 10 al 19 el nmero inicial se incrementa en 9, esto sucede porque del 10 al 11 aument en 1, del 11 al 12 aument en dos y del 12 al 19 aument en 7, por lo tanto el patrn aditivo podra ser: (10) + 2 + 7 = 19.

Problematice mediante preguntas: Si ubicamos la ficha en el nmero 10 y desplazamos un casillero hacia abajo y luego dos a la derecha en qu nmero termina?, qu sucede con el nmero final?, cul sera el algoritmo?, existe alguna diferencia con el de la actividad anterior? por qu?, qu sucede si subimos un casillero y retrocedemos dos casilleros a la izquierda?

112

7. Jugando a los investigadores aprendemos sobre las equivalencias e igualdades DescripcinA partir de un problema, los estudiantes manipularn siluetas de cajas, pesas, bolsitas,

latas o cilindros, para resolver el problema y establecern equivalencias entre estos

objetos, al mantener en equilibrio una balanza.

Relacin con capacidades e indicadoresde la actividad es que los nios matematicen situaciones al identificar datos y relaciones

de equivalencia, elaboren y argumenten supuestos durante la busqueda de equilibrio

en el peso de diversos objetos en una balanza, las cuales sern expresados mediante

igualdades en forma concreta , grfica y simblica, haciendo uso de expresiones

aditivas - multiplicativas y del signo =.

Aplicacin de la estrategiaQu necesitamos?

Siluetas de cajas, pesas , bolsita, latas o cilindros.

Presenta la situacin garantizando que todos los estudiantes lean:

RELACIONAR PARA DESCUBRIRUn buen detective, adems de ser un gran observador, debe saber

relacionar sus pistas y elaborar conclusiones. Te pones a prueba?

1. Dos cajas se equilibran con tres pesas2. Una lata se equilibra con una caja3. Una bolsita requiere el agregado de una pesa para equilibrar una lata

Pues bien, te invitamos a descubrir cuntas bolsitas se necesitan para equilibrar el peso de una lata a partir de los datos que te brindan las ilustraciones

Promueve que los estudiantes respondan estas interrogantes haciendo uso del calendario y que comenten sus hallazgos. Rete a los estudiantes a que resuelvan los siguientes problemas:

Juber visit al dentista para su primera consulta el da mircoles 8 de julio a las 9:00 am. El odontlogo le program su segunda consulta dentro de tres semanas Qu da tiene que regresar Juan en el dentista para su segunda consulta?

Mara vive en la ciudad de Ayacucho y sus padres viven en la ciudad de Lima. Ella los visita cada quince das. Si su ltima visita lo realiz el 6 de julio en qu fecha visitar nuevamente a sus padres?

Sonia observa el calendario y comenta a Pedro: hoy estamos 28 de julio, han pasado dos semanas y 2 das desde que visitamos a Ethel. En qu fecha visitaron Sonia y Pedro a Ethel?

Estos problemas pueden resolverlo haciendo uso de diversas estrategias, pero se debe proponer que una de las estrategias de solucin sea el uso del calendario aplicando los patrones descubiertos.


Descripcin:La resolucin de problemas estadsticos no se limita al uso de tablas o grficos o al

mero recojo de informacin sin ningn propsito sino que puede ser considerada

como un proceso completo que va desde la definicin de un tema de estudio y las

preguntas apropiadas para el tema, hasta la interpretacin de los resultados y la toma

de decisiones. Un ejemplo de este proceso lo plantea GISE , que considera cuatro pasos

que podemos adoptar como estrategias didctica para plantear y resolver problemas

de gestin de datos:

Paso 1: Formular preguntas, que implica aclarar el problema en cuestin y formular una

o ms preguntas que pueden ser respondidas con datos.

Paso 2: Recopilar datos, que implica disear un plan para recopilar datos apropiados

al problema en cuestin y emplear el plan para recoger los datos.

Paso 3: Anlisis de datos, que implica seleccionar una grfica o mtodos numricos

apropiados y utilizar estos mtodos para analizar los datos.

Paso 4: Interpretar resultados, que implica comprender los resultados del anlisis y

relacionarlos con el problema planteado, tomar decisiones si fuera el caso y comunicar

la informacin obtenida.

3.3 Estrategias para el desarrollo de la competencia Acta y piensa matemticamente en situaciones de gestin de datos e incertidumbre

3.3.1 Situaciones de gestin de datos

1. un tema de estudio

Asegura la comprensin de la situacin problemtica presentada mediante preguntas: De qu trata el problema?, explica con tus propias palabras?, cules son las condiciones del problema?, qu tenemos que averiguar?

Propicia que los estudiantes diseen o adapten una estrategia a travs de preguntas: Cmo podemos resolver este problema?, alguna vez han resuelto un problema igual o similar?, podemos utilizar algn material para resolver este problema?

Una de las estrategias utilizadas por los estudiantes debe ser la simulacin con material representativo.

Entrega las siluetas de cajas, pesas y latas como las que menciona el problema, para que simulen el pesaje de los objetos que se indican y puedan establecer relaciones entre ellas.

Luego, rtelos a representar su solucin mediante simbolos o formas geomtricas.

1 Guidelines for assessment and instruction in statistics education (GAISE) report: a pre-k12 curriculum framework / Authors, Christine Franklin. 2007 by American Statistical Association Alexandria,

114

Relacin con capacidades e indicadoresEl propsito de esta estrategia es que los estudiantes logren proponer preguntas

adecuadas para obtener los datos necesarios que se necesitan para la resolucin del

problema y para el tema en estudio, desarrollando la capacidad de comunicacin y

representacin. As mismo, se espera que planteen estrategias de recoleccin de datos

como la aplicacin directa de encuestas. La resolucin del problema estadstico contina

con la elaboracin de tablas de frecuencia, tablas de doble entrada, para modelar el

problema presentado. Finalmente se espera que desarrollen su capacidad de razonar y

argumentar, al hacer algunos supuestos o conclusiones sobre la informacin obtenida.

Aplicacin:Veamos cmo utilizamos la estrategia en un problema de contexto social.

Se recomienda realizar esta actividad a travs del trabajo en grupos con un plan que comprende un conjunto de tareas, organizadas y secuenciadas con el objetivo de resolver el problema o una tarea especfica para la resolucin.Es necesario ayudar a los estudiantes a identificar las etapas que se requieren para llegar a la solucin, generar un ambiente de confianza y participacin.Es conveniente propiciar este tipo de actividad en el aula cuando se va a desarrollar algn tema relacionado con el rea curricular de Ciencia y Ambiente o que pudiera ser sobre datos curiosos de los animales o sobre el cuidado del ambiente para realizar el estudio completo y con el conocimiento necesario.

Qu necesitamos?

Hojas con las tablas de conteo para registrar las respuestas o con las fichas de encuesta.

Paso 1: Formular preguntasEl docente y los nios conversan sobre el problema de inters y plantean preguntas que pueden hacer a las personas que visitan el zoolgico:

Antes de plantear las preguntas, el docente propicia la conversacin sobre los datos que se necesitan para resolver el problema. Qu queremos saber? qu preguntaremos? Preguntaremos sobre los animales que hay en el zoolgico o sobre cualquier animal? Cul es la pregunta ms clara?, la ms corta? Cul se entiende mejor?

Cmo nos organizamos?

Los estudiantes de cuarto grado visitarn el zoolgico de la ciudad y quieren saber qu saben las personas que visitan el zoolgico sobre la especie de animal que tienen ms tiempo de vida. Y si saben cuntos aos viven estos animales.

FALTA JIRAFA

Qu animal es el que ms

aos vive?

Yo creo que es el elefante!


Los nios y nias hacen preguntas relevantes para recoger datos relacionados con el tema de estudio y aportan con sugerencias a las preguntas formuladas por sus compaeros.

El docente propicia que se hagan ensayos de realizar las preguntas y responderlas, de esa manera se verifica si la pregunta est bien hecha y si las respuestas son las que se esperan.

Paso 2: Recopilar datosLos nios disean un plan para recopilar datos segn las preguntas que han elaborado relacionados al animal ms longevo y su edad:

El docente propicia que los estudiantes preparen fichas para que cada entrevistado escriba sus respuestas, es decir que el recojo de datos se har por medio de recursos escritos. Otra forma de recoger datos es con preguntas orales, para ello se preparan tablas de conteo en las que el estudiante registre las respuesta de sus entrevistados.

Para la elaboracin de los instrumentos de recoleccin de datos, los estudiantes construyen nociones de variable y tipos de datos, a travs de las siguiente preguntas:

Las preguntas que van a realizar tienen respuestas de un mismo tipo? cuntos tipos de respuesta hay? Cmo las clasificaras? Las respuestas son numricas o no? qu tipos de datos estamos recogiendo?

Para la elaboracin de las fichas o de las tablas de registro se necesita que los estudiantes identifiquen los dos tipos de datos y los rotulen. Por ejemplo: Nombres de animales, sabe cuntos aos vive, etc.

El siguiente modelo de ficha y el de tabla puede servir como pauta:

Paso 3: Anlisis de datos

Proponen ideas para organizar los datos y deciden cul es la mejor forma de organizarlos para realizar el anlisis deseado.

El docente orienta a cada grupo para que elaboren dos tablas de frecuencia: la primera para la especie de animal y su frecuencia; y la segunda para las respuestas si y no, y su frecuencia. Luego realizan el conteo y completan las tablas.

1. Qu animal del zoolgico es el que vive ms aos?

Nombre:

2. Sabe cuntos aos vive? Marca.

Si: No:

Nombre del animal

Sabes cuntos aos vive?

116

Deben considerar todos los elementos de la tabla: tipos de datos, ttulo, cmo registrar el conteo, la frecuencia y los totales. Presentamos algunos modelos que los estudiantes pueden adecuar:

Es importante que comprueben que el total de fichas corresponde al total de animales registrados en la tabla de frecuencias.

Discuten si puede poner ambos tipos de datos en un mismo grfico. Si no es as, cmo lo haran. El docente gua la elaboracin de dos grficos de barras que nos permitan obtener la informacin que necesitamos.

Para la elaboracin de grfico de barras el docente debe mediar la toma en cuenta de los siguiente: Anotar los elementos del grfico: ttulos, leyenda, ejes con datos y escalas. Elegir el grfico adecuado a la informacin que se quiere presentar. Poner los datos en los ejes vertical y horizontal, muy claros.

Comunican y representan, en un grfico de barras la informacin registrada en la tabla. La ventaja del grfico de barras frente a la tabla es que los resultados se visualizan fcilmente.

Determinan el dato que tiene mayor frecuencia y describen qu especie de animal es el que ms personas consideran que tienen mayor tiempo de vida. Construyen la nocin de moda: La moda es el dato que tiene mayor frecuencia. La moda representa a un conjunto de datos.

Paso 4: interpretar resultados: El docente propicia que los estudiantes den respuesta a la interrogante que se

plantearon desde el principio. En este caso queran conocer lo que saban las personas sobre el animal que tiene ms tiempo de vida, es decir que puede vivir ms aos.

Tipo de animal Frecuencias

TTULO:

Respuestas Frecuencias

SI

NO

TTULO:

Ttulo

Barras

Eje horizontal

Valores de la variable cualitativa

Eje vertical

Nm

ero

de p

erso

nas

El animal mas longevo

Animales

Tortuga Elefante Mono Jirafa Len

30

25

20

10

5


El docente gua a los estudiantes para que relacionen la moda con la pregunta planteada. Es importante comparar los resultados de cada grupo y discutir porqu hay una diferencia, esto implica darse cuenta que la moda representa a un conjunto de datos. Si el conjunto de datos cambia, la moda tambin puede cambiar.

Los estudiantes reflexionan y comentan a travs de algunas preguntas. Por ejemplo: Antes de realizar la investigacin, saban si las personas que visitan el

zoolgico conocan cul es la especie de animal que tiene mayor tiempo de vida? para qu nos interesaba saber si conocan cuntos aos podran vivir estas especies?

La informacin que hemos recogido nos dice cul es la especie que tiene mayor tiempo de vida? o nos muestra lo que creen las personas? Cul es la diferencia?

Comparan los datos reales que pueden obtener de algn texto o de internet, son los resultados de las encuestas y sacan conclusiones a cerca de lo bien o mal informadas que estn las personas, sobre si leen con atencin las descripciones que estn en las jaulas de los animales que visitan, etc.

Es muy importante que los estudiantes repasen el proceso que realizaron para desarrollar su investigacin: Cmo hicieron para saber qu datos necesitaban y cmo los iban a conseguir? Cmo recolectaron los datos? Cmo los organizaron? Cmo los

representaron? les fue til esta representacin? por qu? Todos los grupos trabajaron con los mismos datos? Comprobaste los

resultados? A tus compaeros y compaeras de grupo les sali igual? por qu?

Evalan la importancia de la estadstica en el estudio de una situacin concreta de su realidad.

La investigacin que han realizado sobre lo que saben las personas de los animales les ha servido? para qu? Qu acciones podemos tomar?

Descripcin de la estrategiaEsta estrategia permitir que los estudiantes se enfrenten a problemas y situaciones de azar con material concreto como bolas de colores, dados, monedas, etc. en las que estudien la posibilidad o imposibilidad de ocurrencia de sucesos. Se aplicar una adaptacin de los pasos de Zoltan Dienes a fin de motivar el aprendizaje de la matemtica mediante el juego.

Relacin con capacidades e indicadores El propsito es que los estudiantes analicen en una situacin aleatoria propuesta la posibilidad o imposibilidad de ocurrencia de sucesos, sustentando sus respuestas en la ocurrencia del suceso. Tambin sealarn algunos posibles sucesos de la misma,

3.3.2 Juegos para usar la probabilidad

118

siendo capaz de seleccionar entre ellos el que tiene ms probabilidad de suceder y lo explica demostrando que comprende el significado de la probabilidad; y razonen y argumenten al explicar sus procedimientos y resultados.Pasos de la estrategia

Paso 1: juego libre

Los estudiantes se familiarizarn con los materiales e irn descubriendo en estos las propiedades matemticas.

Paso 2: juego orientado

Esta actividad ser dirigida. Se establecern las reglas de juego segn lo que se pretenda lograr.

Paso 3: Abstraccin

Los estudiantes observarn la regularidad en el juego y las relaciones matemticas involucradas, o crearn otros juegos con estructura parecida al anterior.

Paso 4: Representacin

Se representar la regularidad o las relaciones matemticas en un grfico o un esquema.

Se pedir a los estudiantes que describan el proceso y sus representaciones, primero, usando lenguaje coloquial, y luego reemplazando algunos trminos por lenguaje matemtico.

Paso 5: Generalizacin

El docente orientar la introduccin de las relaciones y propiedades matemticas y construye los significados a partir de las construcciones de los estudiantes. Ellos expondrn lo aprendido de manera segura usando lenguaje matemtico y lo aplicarn en otras situaciones. As tambin, estudiarn las propiedades de la representacin y las relaciones matemticas.

Con esta estrategia, los estudiantes desarrollarn habilidades para identificar sucesos que dependen del azar y a reconocer cuando un suceso es seguro, posibles e imposible que suceda, a travs de la prctica concreta. Se organizarn en grupos de cuatro. Simulan una carrera de mulitas, cada una tendr un nmero del 1 al 12.

MaterialesDos dados cbicos, fichas o botones de distinto color para cada jugador, cartilla como la que mostramos para registrar los resultados.

Meta

Aplicacin de la estrategiaJuego 1: Carrera de mulitas!

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12


Paso 1: juego libre

Previamente, los estudiantes manipulan libremente los dados y reconocen sus caractersticas. Por ejemplo, mencionarn que el dado tiene seis caras iguales de forma cuadrada y los nmeros del 1 al 6.

Luego, hacerles algunas preguntas para introducirles la nocin de aleatorio:

a. Han jugado alguna vez con un dado? cundo? qu estaban jugando? Explica cmo era el juego.

b. Al lanzar un dado, saben que nmero saldr?

En cules de las siguientes experiencias que no se pueden saber su resultado con anticipacin porque dependen del azar, es decir son aleatorios:

Paso 2: juego orientado

Se presentarn las reglas para jugar:

1. Eligen sus mulitas, cada jugador elige el nmero de 3 mulitas que corresponden a la suma que consideran que saldr ms veces al lanzar los dos dados.

2. Deciden los turnos al azar, lanzan un dado y el que obtiene el nmero mayor, inicia el juego, se contina el juego por la derecha.

3. Cada jugador apuesta por tres valores del 1 al 12 y colocan sus fichas en el tablero, en el lugar de las mulitas que le corresponde.

4. Un valor no puede ser elegido por dos jugadores. Si no se ponen de acuerdo se decide a la suerte. Se vuelve a lanzar un dado para decidir quin tiene la primera opcin de elegir sus 3 mulitas.

5. En cada ronda, un jugador lanza el dado y avanza el casillero correspondiente a la suma obtenida, sea o no, la que l ha apostado.

6. Gana el que primero llega a la meta.

Pueden realizar el mismo juego ingresando a la siguiente direccin.

h t t p : / / w w w 3 . g o b i e r n o d e c a n a r i a s . o r g / m e d u s a / a g r e g a / v i s u a l i z a d o r - 1 / e s / p o d e / p r e s e n t a c i o n /visualizadorSinSecuencia/visualizar-datos.jsp

Aleatorio no aleatorio Lanzar una moneda y adivinar si sale cara o sello. Si hoy es martes, decir que da es maana. Sacar una bola roja de una bolsa que contiene 3 bolas rojas,

2 amarillas y 1 azul. Lanzar dos dados y saber cunto suman los puntos

obtenidos.

Identifica los siguientes sucesos como, seg

ruta de aprendizaje del iv ciclo para el área de matemática

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