rodrigo bamon - matemática · cap´ıtulo 1 topolog´ıa general a no ser que se diga lo...

Universidad de Chile

Facultad de Ciencia

Departamento de Matematica

TOPOLOGIA Y GEOMETRIA

Rodrigo Bamon

π1( ) ∼= Z ⊕ Z

Santiago de Chile

2009

Indice

1 Topologıa General 5

1.1 Subespacios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Espacios productos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Espacios cocientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4 Conos y suspension. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.5 Sumas topologicas y espacios cunas . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.6 Pegar un espacio a otro por una funcion. . . . . . . . . . . . . 8

1.7 Variedades topologicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.8 Suma conexa, o pegado, de n-variedades. . . . . . . . . . . . . 10

1.9 Cortar y pegar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.10 Orientacion en superficies. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.11 Triangulacion en superficies. Caracterıstica de Euler. . . . . . 14

1.12 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 Homotopıa 29

2.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3 Grupo Fundamental 37

3.1 Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2 Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.3 Funtorialidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.4 El grupo fundamental de Sn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.5 Invariancia homotopica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.6 Grupo fundamental de espacios productos. . . . . . . . . . . . 43

3

4 INDICE

3.7 Recubrimiento Universal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.8 Teorema de Van Kampen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.9 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4 Aplicaciones 53

4.1 Teorema fundamental del algebra . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.2 Teorema del punto fijo de Brouwer . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.3 Teorema de Bursuk-Ulam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.4 Grado de funciones S1

→ S1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.5 Campos de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.6 Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5 Recubrimientos 63

5.1 Levantamiento de caminos y homotopias . . . . . . . . . . . . 66

5.2 Espacios de recubrimiento y grupo fundamental . . . . . . . . 68

5.3 El grupo fundamental de S1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.4 Recubrimiento universal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5.5 Levantamiento de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.6 El grupo fundamental de un espacio de recubrimiento. . . . . 76

5.7 Homomorfismos y automorfismos de recubrimiento. . . . . . . 77

5.8 Accion de π1(X, x) en la fibra p−1(x). . . . . . . . . . . . . . . 80

5.9 Existencia de recubrimientos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.10 Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

Capıtulo 1

Topologıa General

A no ser que se diga lo contrario, toda funcion considerada aquı es continua.

1.1 Subespacios

Definicion 1.1. Si Y es un subconjunto de un espacio topologico X, entonces

las intersecciones de los abiertos de X con Y definen una topologıa de Y ,

llamada la topologıa inducida de X a Y . Se dice que Y es un subespacio de

X.

Ejemplo 1.1. Las esferas Sn = {x ∈ Rn+1 | ‖x‖ = 1}, n = 0, 1, 2, . . . con la

topologıa inducida por Rn+1.

Definicion 1.2. Sea f : X → Y una funcion continua. Se dice que f es

incrustacion si f es inyectiva y es un homeomorfismo con su imagen f(X).

En este caso f(X) es un subespacio de Y que es homeomorfo a X. Se dice

que X vive dentro de Y . O bien, que Y admite copias de X como subespacio.

Una buena fuente de ejemplos consiste en quitar puntos, u otros con-

juntos, a espacios topologicos conocidos, para obtener ası nuevos espacios

topologicos.

5

6 CAPITULO 1. TOPOLOGIA GENERAL

1.2 Espacios productos

Definicion 1.3. Dados dos espacios topologicos X e Y , la topologıa producto

en X × Y es la topologıa definida por la base dada por los productos de

abiertos.

Con esta construccion obtenemos nuevos espacios topologicos a partir de

los ya conocidos.

Ejemplo 1.2. El toro T 2 = S1 × S1 y el cilindro S1 × R.

1.3 Espacios cocientes

Definicion 1.4. Sea X un espacio topologico y sea ∼ una relacion de equiva-

lencia en X. Denotamos por X/ ∼ al conjunto de clases de equivalencia. Sea

p : X → X/ ∼ la proyeccion canonica. Definimos la topologıa cociente en

X/ ∼ diciendo que U ⊂ X/ ∼ es abierto en X/ ∼ si y solo si p−1(U) es

abierto en X.

Si A ⊂ X definimos la relacion de equivalencia xAy ⇔ x, y ∈ A. En este

caso el espacio cociente se denota por X/A.

Ejemplo 1.3. Una clase importante de espacios topologicos que se definen

con espacios cocientes son los espacios proyectivos RPn. Aquı los definiremos

de cierta forma, y en los ejercicios se vera otras presentaciones del mismo

espacio. Definimos RPn = Sn/ ∼ donde x ∼ −x para todo x ∈ Sn.

Definicion 1.5. Sea f : X → Y una funcion continua y epiyectiva. Podemos

defnir la relacion de equivalencia en X por x ∼ y ⇔ f(x) = f(y).

En este caso, X/ ∼ lo anotamos por X/f y observamos que es natural-

mente biyectivo a Y . Pero no necesariamente homeomorfos.

Definicion 1.6. Sea f : X → Y una funcion continua y epiyectiva. Se dice

que f es una funcion cociente si V ⊂ Y es abierto si y solo si f−1(V ) es

abierto en X.

1.4. CONOS Y SUSPENSION. 7

Lema 1.1. Sea p : X → X/ ∼ proyeccion canonica. Sea f : X → Y

que respeta la relacion de equivalencia. Es decir: x ∼ y ⇒ f(x) = f(y).

Entonces existe una funcion F : X/∼ → Y continua tal que F ◦ p = f .

Ademas, si f es epiyectiva y x ∼ y ⇔ f(x) = f(y), entonces F es biyectiva.

Basta considerar F ([x]) = f(x) y probar que F esta bien definida y es

continua. Esta aplicacion F del Lema es muy usada para probar existencia

de homeomorfismo entre un espacio cociente y otro espacio.

Ejemplo 1.4. [0, 1]/0 ∼ 1 es homeomorfo al cırculo S1.

1.4 Conos y suspension.

Denotemos por I = [0, 1] y J = [−1, 1]

Definicion 1.7. Dado un espacio topologico X se define el cono de X, que

denotamos por CX, como el espacio cociente X × I/ ∼ donde (x, 1) ∼ (y, 1)

para todo x, y ∈ X.

Definicion 1.8. Se define la suspension de X, que denotamos por∑

X,

como el espacio cociente X × J/ ∼ donde (x,−1) ∼ (y,−1) y (x, 1) ∼ (y, 1)

para todo par de puntos x, y ∈ X.

Definicion 1.9. Dada f : X → Y continua, se define el cono de f como

el espacioo C(f) = CX ⊔f Y . Se define el cilındro de f como el espacio

Zf = (X × [0, 1]) ⊔f Y , donde X ≡ X × {0} ⊂ X × [0, 1].

1.5 Sumas topologicas y espacios cunas

Definicion 1.10. Sean X, Y dos espacios topologicos. La union disjunta de

ellos dos es un nuevo espacio topologico llamado la suma topologica de X e

Y , que se anota por X ⊔ Y .

Ejemplo 1.5. S1 ⊔ S1 es un espacio topologico formado por dos cırculos

disjuntos.


Definicion 1.11. Sean X e Y dos espacio topologicos. Sean x ∈ X e y ∈ Y .

Entonces el espacio cociente X⊔Y/{x, y} se llama espacio racimo (o espacio

cuna) de X e Y y se anota por X ∨ Y , siempre que se subentienda cuales

son los puntos elegidos.

1.6 Pegar un espacio a otro por una funcion.

Definicion 1.12. Sean X e Y dos espacios topologicos disjuntos. Sea A ⊂ X

y sea f : A→ Y una funcion continua. Definimos el espacio X⊔f Y , llamado

el pegado del espacio X a Y mediante la funcion f de la siguente forma:

X ⊔f Y = X ⊔ Y/x ∼ f(x).

1.7 Variedades topologicas.

Definicion 1.13. Una n−variedad (topologia) es un espacio topologico Haus-

dorff de base numerable X tal que para todo x ∈ X existe una vecindad

abierta U de x y existe un homeomorfismo h : U → int(Dn). Es decir, X es

localmente homeomorfo a Rn. Una definicion equivalente es que exista una

coleccion

A = {(Oi, ϕi)|∀i,Oiabierto deRnyϕi : Oi → Xhomeomorfismo con la imagen}

tal que⋃

i ϕi(Oi) = X. Un par (Oi, ϕi) se llama una carta, o parametrizacion

de X. A la coleccion de cartas que cubren a X se le llama Atlas de X.

Teorema 1.1. Toda m-variedad compacta M se incrusta em algun Rn.

Para probar este Teorema necesitamos una definicion y dos Lemas.

Definicion 1.14. Sea U = {U1, U2, . . . , Un} un cubrimiento abierto de un

espacio topologico X. Una particion de la unidad subordinada a U es una

coleccion de funciones continuas ϕi : X → [0, 1], i = 1, 2 . . . , n, tales que

(i) Sop(ϕi) ⊂ Ui, ∀ i, donde Sop(ϕi) = {x ∈ X | ϕi(x) 6= 0},

1.7. VARIEDADES TOPOLOGICAS. 9

(ii)∑n

i=1 ϕi(x) = 1, ∀ x ∈ X.

Lema 1.2. Sea U = {U1, U2, . . . , Un} un cubrimiento abierto de un es-

pacio topologico normal X. Entonces existe un cubrimiento abierto V =

{V1, V2, . . . , Vn} tal que Vi ⊂ Ui, ∀ i = 1, 2, . . . , n.

Demostracion: basta probar que para cualquier subındie i ∈ {1, 2, . . . , n}

existe un abierto Vi con Vi ⊂ Ui y tal que {U1, . . . , Ui−1, Vi, Ui+1, . . . , Un} es

un cubrimiento (abierto) de X.

Sin perdida de generalidad tomemos i = 1. Sea C1 = (⋃n

i=2 Ui)c. Entonces

C1 es un cerrado y C1 ⊂ U1. De hecho, C1 son los puntos de X que son

cubiertos solo por U1.

Entonces C1 y (U1)c son cerrados disjuntos. Como X es normal, existen

abiertos disjuntos V1 y O1 tales que C1 ⊂ V1 y (U1)c ⊂ O1.

Se puede probar entonces que V1 ⊂ U1 y {V1, U2, . . . , Un} es un cubrimiento

de X.

Lema 1.3. Todo recubrimiento abierto finito de un espacio topologico nor-

mal, tiene una particion de la unidad asociada.

Demostracion: Sea X un espacio normal, y sea U = {U1, U2, . . . , Un} un

cubrimiento abierto de X. Entonces, existen cubrimientos abiertos V =

{V1, V2, . . . , Vn} y W = {W1,W2, . . . ,Wn} tales que para cada i = 1, 2 . . . , n

se tiene Wi ⊂ Vi y Vi ⊂ Ui.

Por el Lema de Uryhson, para cada i = 1, 2, . . . , n existe ψi : X → [0, 1]

continua con sop(ψi) ⊂ Vi y ψi ≡ 1 sobre Wi.

Entonces ψ(x) =∑n

i=1 ψi(x) 6= 0 ∀ x ∈ X.

Se puede probar entonces que {ϕi}ni=1 con ϕi(x) = ψi(x)/ψ(x) es una par-

ticion de la unidad subordinada a U .

Demostracion Teorema 1.1. Sea M una variedad compacta de dimension

m. Sea U = {U1, U2, . . . , Un} un cubrimiento abierto de X tal que cada Ui

se incrusta en Rm mediante hi : Ui → Rm. Como toda variedad compacta es

un espacio normal, existe una particion de la unidad {ϕi}ni=1 subordinada a


U .

Para cada i = 1, 2, . . . , n sea gi : M → Rm definida por

gi(x) =

{

hi(x)ϕi(x) si x ∈ Ui

0 si n /∈ Vi

Se puede probar entonces que F : M → Rn+m definida por

F (x) = (ϕ1(x), . . . , ϕn(x), g1(x), . . . , gn(x))

es una incrustacion. De hecho, basta probar que F es inyectiva.

1.8 Suma conexa, o pegado, de n-variedades.

Definicion 1.15. Sean X e Y dos n−variedades. En X y en Y quitamos un

abierto DX y DY respectivamente, homeomorfos a una bola abierta. Sea A ⊂

X el borde de la bola quitada en X y sea B ⊂ Y el borde de la bola quitada

en Y . Observemos que A y B son homeomorfos a Sn−1. Sea h : A→ B ⊂ Y

un homeomorfismo. Definimos la suma conexa de X con Y por

X#Y = (X \DX) ⊔h (Y \Dy) .

Ejemplo 1.6.

T 2#T 2T 2 \ D T 2 \ D

1.9 Cortar y pegar.

Considere que la esfera S2 la cortamos por el ecuador. Lo que queda entonces

es el hemisferio superior y el hemisferio inferior separados. Para recuperar la

1.9. CORTAR Y PEGAR. 11

esfera, simplemente pegamos ambos hemisferios por el ecuador.

Este ejemplo muestra que una variedad se puede separar en pedazos, y si se

indica las identificaciones que se debe hacer entre los distintos pedazos, en

realidad se obtiene una representacion de la variedad.

A una 2-variedad se le denomina superficie. Hay un Teorema de Rado

de 1925 que demuestra que toda superficie compacta se puede triangulizar.

Es decir, se puede cortar en un numero finito de triangulos de modo que los

lados de triangulos distintos o bien coinciden, o bien se tocan en un vertice,

o bien son disjuntos.

Usando este resultado vemos que toda superficie compacta se puede repre-

sentar por un polıgono de un numero par de lados, los que se identifican dos a

dos por homeomorfismo. Estos homeomorfismos tiene una orientacion dada

por la superficie.

En lo que sigue probaremos el siguiente Teorema

Teorema 1.2. Toda superficie compacta es homeomorfa a una de las siguien-

tes superficies:

S2; T 2#T 2# · · ·#T 2; P2(R)#P2(R)# · · ·#P2(R) .

Demostracion: Sea S una superficie compacta. Sabemos que podemos

representar S por un polıgono de 2n lados, en los que se identifica sus lados

dos a dos.

Consideremos un tal polıgono con las identificaciones que corresponde de sus

lados. La demostracion resultad siguiendo un algoritmo de corte y pegado.

Supongamos que el polıgono tiene 2n lados. Primero que nada nombramos

por α1, α2, . . . , αn un conjunto de lados que no se identifican. Estos lados

estan orientados sobre el borde. Los bautizamos de modo que esten ori-

entados en el sentido positivo. Para cada αi, el lado correspondiente que

se identifica con el, los llamamos con el mismo nombre, y le damos la ori-

entacion que corresponde. Si recorremos el borde del polıgono en sentido

positivo, entonces encontraremos cada lado αi dos veces, orientado positiva-

mente, o negativamente.


Decimos que un par de lados que se identifcan tiene orientacion positiva si

aparecen en sentido opuesto al recorrer el borde. Y que tienen orientacion

negativa si aparecen en el mismo sentido.

El Teorema se prueba siguiendo los siguientes pasos.

Paso I: Eliminacion de lados adyacentes αiα−1i .

αi

αi αi

Paso II: Si hay mas de una clase de vertices equivalentes, cortar y pegar en

la forma indicada en la figura.

P

Qca

a

P

Qc

a

c

P

Q

Este corte y pegado aumenta en 1 el numero de vertices equivalentes a Q y

disminuye en 1 el numero de vertices equivalentes a P .

Repitiendo este paso un numero finito de veces, se consigue que todos los

vertices sean equivalentes. Cada vez que se realiza este paso, se debe chequear

el paso I. Si es posible, hacerlo cada vez.

Paso III: Buscamos si hay pares de lados que se identifican que tengan

1.9. CORTAR Y PEGAR. 13

orientacion negativa. Si son adyacentes no hacemos nada. Si no son adya-

centes, hacemos el siguiente corte y pegado, de modo a dejar un par de lados

adyacentes que se identifica y que tienen orientacion negativa.

a

c

P P

PP

P

P

P

a

c

c

Este paso no aumenta el numero de clases de vertices equivalentes. Ni es

necesario chequear el paso I.

Se repite este paso hasta que todos los pares de lados que se identifican que

tienen orientacion negativa queden adyacentes.

Paso IV: Ahora miramos pares de lados que se identifican y que tienen ori-

entacion positiva. Ellos no pueden ser adyacentes, pues ya fueron eliminados

por el paso I.

Si hay solo un par de ellos, necesariamente se trata de la Botella de Klein,

pues por el Paso II solo hay una clase de vertices equivalentes. Si hay mas

de un par de ellos, necesariamente dos de esos pares estan entrelazados en la

forma de la figura de la izquierda.

b

c

b

a a

a a

d

c

c d

c

c

d

De hecho, si no hay pares entrelazados quiere decir que hay mas de una clase

de vertices equivalentes, lo que ya no es posible por el paso II. Siguiendo un


numero finito de veces el corte y pegado de la figura arriba, dejamos todos

los pares de lados que se identificas que tienen orientacion positiva alternados

consecutivamente en la forma α, β, α−1, β−1.

Para terminar la demostracion basta cortar y pegar la Botella de Klein, para

ver que es homeomorfa a P2(R)#P2(R), y cortar y pegar P2(R)#T 2 para ver

que es homemorfa a P2(R2)#P2(R2)#P2(R2).

Corolario 1.1. Todo polıgono de un numero par de lados en los que se

identifican sus lados dos a dos, representa una superficie compacta.

De hecho, el algoritmo en la demostracion del Teorema se aplica a cualquier

2n-polıgono con identificaciones dos a dos en sus lados. Este Corolario se

puede tambien probar directamente, sin necesidad del Teorema de clasifi-

cacion recien probado.

1.10 Orientacion en superficies.

Definicion 1.16. Una superficie S se dice orientable si para toda curva

cerrada simple en S, al recorrerla partiendo desde un punto de ella con una

orientacion cualquiera (una orientacion en un punto de la curva se elige

determinando cual es el lado izquierdo y cual el derecho) se regresa con la

misma orientacion. En caso contrario se dice que es no orientable.

Una definicion equivalente, es que para toda curva cerrada simple γ en S

existe una vecindad U de ella tal que U \ γ tiene dos componentes conexas.

1.11 Triangulacion en superficies. Caracterıstica

de Euler.

Un triangulo en una superficie S es un subconjunto T = α(△), donde △ =

{(x, y) ∈ R2 | x ≥ 0, y ≥ 0, x+ y ≤ 1} y α : △ → S continua y α restringida

al interior de △ una incrustacion. Definimos vertice, arista y cara de un

triangulo T ⊂ S de manera natural.

1.11. TRIANGULACION EN SUPERFICIES. CARACTERISTICA DE EULER.15

Definicion 1.17. Una triangulacion de una superficie S es un conjunto de

triangulos {T1, T2, . . . , Tn} tales que

(i)

n⋃

i=1

Ti = S,

(ii) Dos triangulos o son disjuntos, o se tocan en vertices, o coinciden exac-

tamente en aristas.

Definicion 1.18. Dada una triangulacion de una superficie S sea v el numero

de vertices, a el numero de aristas, y c el numero de caras. Definimos la

caracterıstica de Euler de S por

χ(S) = v − a+ c .

Teorema 1.3. χ(S) no depende de la triangulacion.

Demostracion: En vez de triangular una superficie la podemos “poligonar”.

Probaremos que contando vertices, aristas y caras de una poligonizacion de

S obtenemos el mismo numero.

La suma v − a+ c es invariante por las siguiente operaciones:

(a) Subdividir una arista agregando un vertice en el punto interior de una

arista. Y su proceso inverso, eliminar un vertice al cual solo llegan dos

aristas.

(b) Subdividir polıgono por una arista que una dos vertices. Y su proceso

inverso: eliminar una arista juntando dos polıgonos.

(c) Introducir una arista y un vertice.

Usando estas operaciones, y un proceso de combinatoria, se prueba el Teo-

rema.

Teorema 1.4.

(i) χ(S1#S2) = χ(S1) + χ(S2) − 2,

(ii) χ(S2) = 2,


(iii) χ(T 2# · · ·#T 2) = 2 − 2n, n copias de T 2,

(iv) χ(P2(R2)# · · ·#P2(R2)) = 2 − n, n copias de P2(R2).

Teorema 1.5. Dos superficies son homeomorfas si y solo si tiene la misma

orientacion y la misma caracterıstica de Euler.

1.12 Ejercicios

§.1. Topologıa General

1.1 Sean A y B subconjuntos de R. Se define A ∗B = {a+ b | a ∈ A, b ∈ B}.

Diga si son verdaderas o falsas:

(a) A abierto ⇒ A+B abierto.

(b) A cerrado ⇒ A +B cerrado.

1.2 Encuentre los puntos de acumulacion del conjunto{

1p

+ 1q| p, q ∈ N, q 6= 0

}

.

1.3 Sea U un abierto de R2. Pruebe que U es conexo si y solo si U es

arco-conexo.

1.4 Demuestre que X = {(0, y) ∈ R2 | |y| ≤ 1} ∪ {(x, sin(1/x) | x > 0} es

conexo, pero no arco-conexo.

1.5 Encuentre un espacio arco-conexo que no sea localmente arco-conexo.

1.6 Sea (X, d) un espacio metrico y sean

(a) P = {f : R → X | f continua de periodo 1}

con la metrica d1(f, g) = sup{d(f(x), g(x)) | x ∈ R}.

(b) S = {ϕ : S1 → X | ϕ continua }

con la metrica d2(ϕ, ψ) = sup{d(ϕ(z), ψ(z)) | z ∈ S1}.

Pruebe que P y S son espacios homeomorfos.

1.12. EJERCICIOS 17

1.7 Considere un espacio metrico numerable (infinito) que solo contiene ele-

mentos que son puntos lımites. Pruebe que tal espacio no es completo.

1.8 Sea (X, d) un espacio metrico. Para cada x ∈ X denotamos por d0(x)

como la distancia de x a X \ {x}. Pruebe que X es compacto si y solo

si las siguientes dos propiedades se cumplen:

(a) toda funcion f : X → R es uniformemente continua.

(b) para cada ε > 0, el conjunto Eε = {x ∈ X | d0(x) > ε} es finito.

1.9 Sea Y un subespacio de un espacio topologico X. Suponga que A ⊂ Y

es un abierto de Y . ¿Es A un abierto de X? Demuestre o justifique su

respuesta.

1.10 Pruebe que todo subconjunto cerrado de un espacio compacto, es com-

pacto.

1.11 Pruebe que todo compacto en un Hausdorff es cerrado.

1.12 Sea p : E → X un homomorfismo local epiyectivo.

(a) Con un ejemplo muestre que p−1(x) no necesariamente tiene el mismo

cardinal para todo x ∈ X.

(b) Pruebe que si E es compacto Hausdorff y X es conexo, entonces

p−1(x) es finito y el cardinal es invariante por x.

(c) ¿Que pasa si solo quita la hipotesis E Hausdorff?

Diga si es verdadero o falso: para todo subconjunto propio no vacio A de

un espacio topologico conexo se tiene que ∂A 6= ∅. ¿Vale el recıproco?

1.13 Sea X un espacio topologico. Pruebe que son equivalentes:

(i) Las componentes arco-conexas de cualquier abiertoX son conjuntos

abiertos.

(ii) Para cada x ∈ X y para cada vecindad U de x existe una vecindad

V de x con V ⊂ U tal que todo par de puntos V se pueden unir

por un camino en V .


Encuentre un espacio X que no verifica las condiciones anteriores.

1.14 Sean X, Y espacios topologicos con X compacto. Sea f : X → Y un

homomorfismo local. Pruebe que para todo y ∈ Y el conjunto f−1(y) es

finito. Pruebe que si Y es Hausdorff conexo entonces f es epiyectiva.

§.2. Continuidad

2.1 Sean I = [0, 1], X un espacio topologico, y X × I con la topologıa

producto. Sea Y un espacio metrico y sea f : X × I → Y continua.

Dado ε > 0 y dado x0 ∈ X, pruebe que existe vecindad U de x0 tal que

d(f(x, t), f(x0, t)) < ε para todo x ∈ U y todo t ∈ I.

2.2 Sea p : E → Y un homeomorfismo local con E Hausdorff. Sea f : X → Y

continua con X conexo. Suponga que existe f, g : X → E tales que

f = p ◦ f = p ◦ g. Pruebe que si existe x0 ∈ X tal que f(x0) = g(x0)

entonces f(x) = g(x)· para todo x ∈ X.

2.3 Pruebe que toda funcion continua definida en un espacio metrico com-

pacto es uniformemente continua.

2.4 Encuentre una funcion g :]0, 1[→ X que sea continua biyectiva, pero que

no sea un homeomorfismo.

2.5 Pruebe que g : X → Y es continua si y solo si la imagen de una sucesion

convergente en X es convergente en Y . Es decir, si para toda {xn}n∈N

sucesion en X con limn→∞

xn = x0 se tiene que limn→∞

g(xn) = g(x0). Se

necesita alguna hipotesis en los espacio X y/o Y agreguela.

§.3. Homomorfismos

3.1. Pruebe que R2 es homeomorfo a C.

3.2. Demuestre que todo par de intervalos de R son homeomorfos.

3.3. Demuestre que f : R →] − 1, 1[ definida por f(x) = x1+|x|

es un homeo-

morfismo.

1.12. EJERCICIOS 19

3.4. Sea B = B(0, 1) = {z ∈ C : |z| < 1} y sea f : R2 → B definida por

f(z) = z1+|z|

. Muestre que f es biyectiva y calcule su inversa g = f−1.

Demuestre que f es un homeomorfismo.

3.5. (a) Sea f : X → Y continua y biyectiva. Demuestre que si X es com-

pacto e Y Hausdorff entonces f es homeomorfismo.

(b) Encuentre una funcion f :]0, 1[→ X que sea continua, biyectiva,

pero que no sea homeomorfismo.

3.6. Construya un homeomorfismo explicito entre:

(a) R y la hiperbola y2 − x2 + c2 = 0.

(b) R2 \ {(0, 0)} y el cilindro {(x, y, z) | x2 + y2 = 1}

(c) El anillo {(x, y) |a2 < x2 + y2 < b2} y el hiperboloide {(x, y, z) | z2 −

x2 − y2 + c2 = 0}.

(d) Rn y Sn \ {p}.

(e) {(x, y) ∈ R2 | x2 + y1 < 1} y {(x, y) ∈ R2 | (x/a)2 + (y/b)2 < 1}

3.7. Pruebe que los siguientes pares de espacios no son homeomorfos:

(a) El intervalo abierto ]a, b[ y el intervalo cerrado [a, b].

(b) R y R2.

(c) R y la hiperbola y2 − x2 + c2 = 0.

(d) S1 y S1 ∨ S1.

(e) La esfera S2 y el toro S1 × S1.

3.8. Dados p, q ∈ S2 emcuentre un homeomorfismo explicito h : S2 → S2 tal

que h(p) = 1 y h(−p) = −q.

3.9. Pruebe que S2 \ {p, q} ∼= R2 \ {0} ∼= S1 × R.

3.10. Pruebe que T 2 \ {(z0, w0)} no es homeomorfo a R2 \ {p0, q0}. Es decir,

el toro menos un punto no es homeomorfo al plano menos dos puntos.


§.4. Inmersion, incrustacion.

4.1. Pruebe que f : [0, 1[→ R2 definida por f(t) = (cos 2πt, sin 2πt) es una

inmersion pero no una incrustacion.

4.2. Encuentre una incrustacion explicita de S1 en R2.

4.3. Encuentre una incrustacion explicita de S1 × S1 en R3.

4.4. ¿Se puede incrustar S2 en R2?

4.5. Sea I2 = I × I, donde I = [0, 1] es el intervalo unitario. Sea ∼ la

relacion de equivalnecia en I2 definida por: (0, y) ∼ (1, 1−y). El espacio

M = I2/ ∼ se llama la banda de Mobius. Sea p : I2 → M la proyeccion

canonica.

(a) Demuestre que M es compacto y conexo.

(b) Sea L = {(x, 1/2) | x ∈ I} ⊂ I2. Pruebe que I2 \ L no es conexo, y

que M\ P (L) es arco-conexo.

(c) Sea µ : I2 → R3 definida por µ(x, y) = (X, Y, Z) con,

X = (1 + (y − 1/2) cosπx) cos 2πx

Y = (1 + (y − 1/2) cosπx) sin 2πx

Z = (y − 1/2) sin πx

Demuestre que pasando al cociente la funcion µ, se obtiene una

incrsutacion µ de M en R3.

§.5 Recubrimientos.

5.1. Sea p : E → X un recubrimiento con X conexo. Pruebe que si para un

punto x0 ∈ X se tiene que p−1(x0) es finito, entonces para todo x ∈ X

se tiene que p−1(x) es finito, y mas aun, todas las fibras tienen la misma

cantidad de puntos.

5.2. Encuentre un homeomorfismo local epiyectivo h : R → S1 que no sea

un recubrimiento.

1.12. EJERCICIOS 21

5.3. Pruebe que exp : C → C \ {0}, exp(z) = ez es un recubrimiento.

5.4. Pruebe que para cada n ∈ Z, la funcion ϕn : S1 → S1, ϕn(z) = zn es un

recubrimiento.

5.5. Sea T 2 = S1×S1 el toro, donde S1 = {z ∈ C | |z| = 1}. Sea π : R → S1,

π(t) = e2πit. Sea f : T 2 → T 2 definida por f(z, w) = (znwm, zkwl) ,

donde n,m, k, l son enteros. Encuentre F : R2 × R2 → R2 × R2 tal que

(π × π) ◦ F = f ◦ (π × π). Pruebe que f es homeomorfismo local si y

solo si nl −mk 6= 0. ¿Cuando f es un homeomorfismo?

5.6. Encuentre un homeomorfismo local epiyectivo h : X → Y con X com-

pacto e Y Hausdorff que no sea un recubrimiento.

5.7. Sea p : X → Y continua y epiyectiva tal que p es un homeomorfismo

local y p−1(y) es finito con mismo cardinal para todo y ∈ Y .

(a) Pruebe que si X es Hausdorff entonces p : X → Y es un recubri-

miento.

(b) Pruebe que si X es compacto e Y es Hausdorff entonces p : X → Y

es un recubrimiento.

(c) Pruebe que p : X → Y no necesariamente es un recubrimiento,

incluso si Y es Hausdorff.

(d) Pruebe que p : X → Y no necesariamente es un recubrimiento,

incluso si X es compacto.

5.8. Sea p : E → B recubrimiento con B conexo. Pruebe que el cardinal de

p−1(b) es invariante por b.

5.9. Pruebe que todo recubrimiento es una funcion abierta.

§.6 Espacios cocientes.

6.1. Sea I = [0, 1] con la topologıa usual. Sea T 1 = I/{0, 1} espacio cociente

llamado el toro de dimension 1. Sea r : I → T 1 la proyeccion canonica.

Demuestre que r es cerrada pero no abierta.


6.2. Sea S1 = {z ∈ C | |z| = 1} con la topologıa inducida por la de C. Sea

f : I → S1, f(t) = e2πit. Demuestre que f es continua y que existe una

biyeccion continua f : T 1 → S1. Demuestre que f es un homeomorfismo.

6.3. Demuestre S1 ∼= [0, 1]/0∼1.

6.4. Demuestre S1 ∼= R/Z donde R/Z es el espacio R cocientado por la

relacion de equivalencia x ∼ y ⇔ x− y ∈ Z.

6.5. Demuestre que T 2 ∼= R2/Z2, donde R2/Z2 es R2 cocientado por la

relacion de equivalencia x ∼ y ⇔ x− y ∈ Z2.

6.6. Generalice y demuestre T n ∼= Rn/Zn.

6.7. Definicion del Proyectivo real: RPn = (Rn+1 \ {0})/∼, donde

x ∼ y ⇔ x = λy para algun λ ∈ R \ {0} .

(a) Demuestre: RPn ∼= Sn/∼ donde x ∼ ±x.

(b) Demuestre: RPn ∼= Dn/∼ donde x ∼ y ⇔ x, y ∈ ∂Dn y x = ±y.

(c) Demuestre: RPn ∼= Dn ⊔p RPn−1 donde p : Sn−1 → RPn−1 en la

proyeccion canonica.

(d) Demuestre: RPn/RPn−1 ∼= Sn.

6.8. Proyectivo complejo. CPn = (Cn+1 \ {0})/∼, donde

z ∼ w ⇔ z = λw para algun λ ∈ C \ {0} .

Recordemos que S2n+1 ⊂ R2(n+1) ≡ Cn+1 es la esfera unidad. Tambien,

∂D2n = S2n−1 = {z ∈ Cn | |z| = 1}.

(a) Pruebe que CPn ∼= S2n+1/∼, z ∼ w ⇔ z = λw para algun λ ∈ S1.

(b) Pruebe que CPn ∼= D2n/∼, z ∼ w ⇔ z, w ∈ ∂d2n, z = λw para algun

λ ∈ S1.

(c) Pruebe que CPn ∼= D2n ⊔p CPn−1 donde p : S2n−1 → CPn−1 es la


1.12. EJERCICIOS 23

(d) Pruebe que CPn/CPn−1 ∼= S2n.

6.9. Demuestre: RP1 ∼= S1. ¿Es RP2 homeomorfo a S2? Demuestre que

CP1 ∼= S2.

6.10. (a) Encuentre explıcitamente una funcion continua f : [−1, 1] → S1 tal

que f(−1) = f(1) = (0, 1) y tal que f :] − 1, 1[→ S1 \ {(0, 1)} sea

un homeomorfismo. Pruebe que [−1, 1]/−1∼1∼= S1.

(b) Encuentre explıcitamente una funcion continua f : D2 → S2 tal

que f(x, y) = (0, 0, 1) si (x, y) ∈ ∂D2 y tal que f : D2 \ ∂D2 →

S2 \ {(0, 0, 1)} sea un homeomorfismo. Pruebe que D2/∂D2∼= S2-

(c) Generalice y pruebe que Dn/∂Dn∼= Sn.

6.11. Si X es compacto y ∼ es una relacion de equivalencia en XC, pruebe

que X/∼ es compacto. ¿Vale lo mismo para conexidad?

6.12. Recuerde que:

(i) Una funcion f : X → Y es abierta (cerrada) si para todo abierto

(cerrado) U de X se tiene que f(U) es abierto (cerrado) en Y .

(ii) Si p : X → Y es epiyectiva entonces A ⊂ X es un conjunto

saturado si A = p−1(p(A)).

Demuestre:

(a) Toda funcion cociente es continua.

(b) Una funcion cociente puede ser abierta y no cerrada.

(c) Una funcion cociente puede ser cerrada y no abierta.

(d) Una funcion cociente puede ser no cerrada y no abierta.

(e) Una funcion continua epiyectiva no necesariamente es cociente.

(f) Una funcion continua epiyectiva que es abierta (o cerrada) es una

funcion cociente.

(g) Una funcion continua epiyectiva que lleva saturados abiertos en

abiertos es una funcion cociente.


(h) Una funcion continua epiyectiva que lleva saturados cerrados en

cerrados es una funcion coociente.

(i) Si p : X → Y es funcion cociente y A ⊂ X es tal que p|A : A → Y

es epiyectiva, entonces p|A : A→ Y no necesariamente es cociente.

(j) La proyeccion π1 : X × Y → X es cociente, abierta y no necesaria-

mente cerrada.

6.13. Sea X un espacio topologico y sea Y un conjunto cualquiera. Sea p :

X → Y epiyectiva. Demuestre que la topologıa cociente en Y es la

topologıa mas fina (la mas grande) en Y de modo que p es continua.

6.14. Sea X =⋃

n∈N(R×{n}) la union de enumerables rectas horizontales en

R2 con la topologıa del subespacio (de R2). Sea Y =⋃

n∈N{(x, nx) | x ∈

R} la union de enumerables rectas que pasan por el origen. Observe que

Y ⊂ R2. Sea p : X → Y epiyectiva dada por p(x, n) = (x, nx). ¿Es la

topologıa cociente en Y la misma que la topologıa como subespacio de

R2?

6.15. Defina ∼ la relacion de equivalencia en el plano dada por (x, y) ∼

(x′, y′) ⇔ x + y2 = x′ + y′2. Sea X/∼ el espacio cociente. ¿A que

espacio conocido es homeomorfo el espacio X/∼?

6.16. Sea Z = (R × {0}) ∪ ({0} × R) subespacio de R2. Sea g : R2 → Z

definida por g(x, y) = (x, 0) si x 6= 0 y g(0, y) = (0, y) para todo y. ¿Es

g una funcion cociente? ¿Es continua? Pruebe que Z con la topologıa

del cociente no es Hausdorff.

6.17. Sea ∼ la relacion de equivalencia en R2 dada por (x, y) ∼ (x′, y′) ⇔

xy = x′y′. Pruebe que R2/∼ ∼= R.

6.18. Recuerdo de ecuaciones diferenciales: Dada una ecuacion diferencial x =

X(t) en Rn (aqui x ∈ Rn y X : Rn → Rn) la solucion (u orbita) que en

T = 0 pasa por x se denota por ϕ(x, t). En Rn definimos la relacion de

equivalencia x ∼ y ⇔ y = ϕ(x, t) para algun t ∈ R. El espacio cociente

Rn/∼ se denomina el espacio de orbitas de la ecuacion diferencial. Cada

1.12. EJERCICIOS 25

clase de equivalencia es una orbita de la ecuacion. Pruebe que el espacio

de orbitas de la ecuacion diferencial en R2 dada por

{

x = x

y = −y

no es Hausdorff. Aquı, (x, y) ∈ R2.

(Indicacion: Esta ecuacion diferencial tiene integral primera H(x, y) =

xy. Es decir, las orbitas de la ecuacion estan sobre las curvas de nivel

de H .

6.19. Pruebe que S1 × X ∼= ([0, 1] × X)/∼ donde (0, x) ∼ (1, x) para todo

x ∈ X.

6.20. Sea I2 = I×I, donde I = [0, 1] es el intervalo unitario. Sea ∼ la relacion

de equivalencia en I2 definida por: (x, 0) ∼ (x, 1) y (0, y) ∼ (1, y).

Pruebe que I2/∼ es homeomorfo a S1 × S1.

6.21. Sea A = {x1, x2, . . . , xn}, n puntos de un intervalo [a, b]. Represente

graficamente el espacio cociente [a, b]/A. ¿Se obtiene siempre espacio

homeomorfos, sin importar cuales son los n puntos elegidos?

6.22. Sean A = S1×{(1, 0)} y B = {(1, 0)}×S1 subespacios de T 2 = S1×S1.

Encuentre X/(A ∪ B) y (X/A)/B.

6.23. Sean A,B dos subconjuntos de un espacio topologico X. Diga cuando

los siguientes espacios son homeomorfos: X/(A ∪ B) y (X/A)/B. jus-

tifique. Encuentre X,A,B de modo que estos mismos espacios no sean

homeomorfos.

6.24. Pruebe que la proyeccion canonica p : Sn → RPn es un 2-recubrimiento.

6.25. ¿Es la proyeccion canonica p : S2n+1 → CPn un recubrimiento?

§.7. Subespacios.

7.1. Pruebe que S1 × S1 es homeomorfo a un subespacio de R3.


7.2. Pruebe que S1 × [0, 1] es homeomorfo a un subespacio del plano.

7.3. Pruebe que S1 × R es homeomorfo a un subespacio acotado del plano.

7.4. Demuestre que R × R con la topologıa producto es homeomorfo a R2

con la metrica euclideana. Generalice.

§.8. Suma topologica, espacios cuna.

8.1. Pruebe que R2/S1 ∼= R2 ∨ S2.

8.2. Haga un dibujo de S1 ∨ S1. Pruebe que siempre se obtiene el mismo

espacio topologico, independientemente de los puntos elegidos.

(Indicacion: Dados p1, p2 ∈ S1, existe un homeomorfismo h : S1 → S1

que lleva p1 en p2.)

8.3. Haga undibujo de I ∨S1, donde I = [0, 1]. ¿Se obtiene siempre espacios

homeomorfos, sin importar cuales son los puntos elegidos? ¿Cuantos

espacios distintos se puede obtener?

8.4. ¿Que espacio es S1 ∨ (S1 ∨ S1)? Haga dibujos.

8.5. Escriba el espacio cociente [0, 1]/{0, 1/3, 2/3, 1} como espacio cuna de

otros espacios. Haga lo mismo con [0, 2]/{0, 1/3, 2/3, 1}.

§.9. Pegar un espacio a otro por una funcion.

9.1. Diga que espacio conocido es el siguiente pegoteo: [0, 1] ⊔f {p}, donde

f : {0, 1} → {p} definida trivialmente.

9.2. Haga un dibujo que represente el pegoteo: [0, 1]⊔fS1, donde f : {0, 1} →

S1 esta definida por f(0) = (1, 0) y f(1) = (0, 1).

9.3. Demuestre: RPn ∼= Dn ⊔f RPn−1 donde f : ∂Dn → RPn−1 es la


(Indicacion: Observe que ∂Dn = Sn−1 y use el hecho que RPn−1 =

Sn−1/x∼±x.)

1.12. EJERCICIOS 27

9.4. Demuestre que RP2 ∼= D2 ⊔f S1 donde f : ∂D2 → S1, z 7→ z2. Aqui

usamos que ∂D2 = S1 = {z ∈ C | |z| = 1}.

§.10. Cortar y pegar.

10.1. Considere dos triangulos cualesquiera. Indique en que forma se puede

identificar sus lados de modo a obtener un toro 2-dimensional. ¿Se

puede obtener un toro identificando lados de un solo triangulo?

10.2. ¿Es K homeomorfo al toro T 2?

§.12. Variedades topologicas, suma conexa.

12.1. Demuestre que Sn, n ≥ 0 es una n-variedad.

12.2. Demuestre que Pn(R), n ≥ 0 es una n-variedad.

12.3. Demuestre que T 2 = S1 × S1 es un 2-variedad. En general, T n es una

n-variedad.

12.4. Demuestre que si X e Y son n-variedades, entonces X#Y es tambien

una n-variedad.

12.5. ¿Es el siguiente espacio una variedad?

b b

b

α

α α

12.6. Demuestre que Sn#X ∼= X.

12.7. Demuestre que K ∼= P2(R)#P2(R).


12.8. Demuestre que el siguiente espacio es una 2-variedad compacta. ¿A

que superficie compacta es homeomorfa?

β

β

γα

αγ

12.9. Un espacio topologico X se dice homogeneo si para todo par de puntos

x e y en X, existe un homeomorfismo de X en X que lleva x en y.

Pruebe que toda variedad topologica conexa es homogenea.

(Indicacion: Defina x ∼ y ⇔ existe tal homeomorfismo, y pruebe que

las clases de equivalencia son abiertas.)

12.10. Dados [p], [q] ∈ RPn distintos, encuentre homeomorfismo explıcito ϕ :

RPn → RPn tal que ϕ([p]) = [q].

Capıtulo 2

Homotopıa

Definicion 2.1. Sea I = [0, 1] el intervalo unitario en R.

Sean f, g : X → Y dos funciones continuas. Decimos que f es homotopica

a g si esiste una funcion continua F : X × I → Y tal que F (x, 0) = f(x)

para todo x ∈ X y F (x, 1) = g(x) para todo x ∈ X. Decimos que F es una

homotopia de f a g y escribiremos F : f ∼ G.

La familia F la interpretamos como una familia de aplicaciones continuas

Ft : X → Y , Ft(x) = F (x, t), de modo que F0 = f y F1 = g.

Lema 2.1. La homotopıa de funciones es una relacion de equivalencia.

Demostracion.

(a) La funcion F (x, t) = f(x) para todo (x, t) es tal que F : f ∼ f .

(b) Si f : f ∼ g entonces f ′(x, t) = f(x, 1 − t) es tal que F ′ : g ∼ f .

(c) Si F : f ∼ g y F ′g ∼ h entonces F ′′(x, t) =

{

F (x, 2t) si t ≤ 1/2

F ′(x, 2t− 1) si t ≥ 1/2

es tal que F ′′ : f ∼ h.

Las clases de equivalencia en C(X, Y ), el espacio de funciones continua

en X en Y , se llaman clases de homotopıa de funciones.

29

30 CAPITULO 2. HOMOTOPIA

Ejemplo 2.1. Sean f, g : X → U , donde U es un subespacio convexo de Rn.

Entonces F (x, t) = (1 − t)f(x) + tg(x) es una homotopıa de f a g llamada

la homotopıa lineal.

Teorema 2.1. Si f ∼ f ′ entonces g ◦ f ◦ h ∼ g ◦ f ′ ◦ h.

Demostracion. Supongamos F : f ∼ f ′ entonces F ′ = g ◦ F ◦ (h × IdI) :

g ◦ f ◦ h ∼ g ◦ f ′ ◦ h. Observe que F ′(x, t) = g(F (h(x), t)).

Corolario 2.1. f ∼ f ′, g ∼ g′ ⇒ f ◦ g ∼ f ′ ◦ g′.

Definicion 2.2.

(a) Se dice que una funcion f : X → Y tiene una inversa homotopica g :

Y → X si f ◦ g ∼ idY y g ◦ f ∼ idX. Es claro que g tiene inversa

homotopica f . Ambas funciones se llman equivalencias homotopicas.

(b) Si entre dos espacio X e Y existe una equivalencia homotopica, decimos

que los espacios son homotopicamente equivalentes. Escribiremos X ≡ Y

y hablamos de tipo de homotopıa.

Definicion 2.3. Un espacio X se dice contractible si idX ∼ ctte.

Ejemplo 2.2. Dos espacios homeomorfos son siempre homotopicamente equiv-

alentes. El recıproco no es verdadero. De hecho, Rn ≡ {0} con i : {0} → Rn

una equivalencia homotopica, esto prueba que Rn es contractible.

Definicion 2.4.

(a) Sea A ⊂ X. Un retracto de X a A es una aplicacion r : X → A tal que

r(a) = a para todo a ∈ A.

(b) Un retracto r es un retracto de deformacion si i ◦ r ∼ idX, donde i :

A → X es la inclusion. Se dice que A es un retracto de deformacion de

X.

(c) Un retracto de deformacion es un retracto de deformacion fuerte si la

homotopıa entre i ◦ r ∼ idX mantiene fijos a los elementos de A.

2.1. EJERCICIOS 31

2.1 Ejercicios

§.1. Homotopıas.

1.1. Demuestre que si X ≡ Y es una relacion de equivalencia.

1.2. Demuestre que Rn \ {0} ≡ Sn−1.

1.3. Suponga que f : X → Y o g : Y → Z es una equivalencia homotopica.

Pruebe que si g ◦ f es una equivalencia homotopica, entonces f y g son

equivalencia homotopicas.

1.4. Demuestre que un espacio contractible si y solo si es homotopicamente

equivalente a un punto.

1.5. Pruebe que si Y es contractible entonces todo par de funciones f, g :

X → Y son homotopicas. En particular, toda funcion f : X → Y es

homotopica a una constante.

1.6. Demuestre que si r : X → A es un retracto de deformacion, entonces

r y la inclusion i : A → X son equivalencias homotopicas. Es decir,

X ≡ A.

1.7. Demuestre que si X es contractible, entonces X es conexo.

1.8. Demuestre que si X es contractible entonces todo punto de X es un

rectracto de deformacion de X. Recıprocamente, si un pnto de X es un

retracto de deformacion de X, entonces todos los otros puntos tambien

lo son, y X es contractible.

1.9. Encuentre espacios homotopicamente equivalentes a cada uno de los

siguientes espacios:

Rn \ {p};Sn \ {p};T 2 \ {p}; P2(R) \ {p}; Rn \ L donde L es una recta en

Rn; R3 \ S1; R3 \ (S1 ∪ L) donde L es un recta disjunta del cırculo S1.

1.10. Sea S una superficie compacta, y se p un punto en ella. ¿A que espacio

es homotopicamente equivalente S \ {p}?


1.11. Considere un espacio S1 ∨ S1 · · · ∨ S1, formado con n copias de S1.

Pruebe que sin importar en que puntos se pegan los cırculos, resulta un

espacio homotopicamente equivalente a una flor de n petalos.

1.12. ¿Es S1 un retracto de R2? ¿Es S1 un retracto de deformacion de R2 \

{(0, 0), (2, 0)}?

1.13. Sea r : X → A retracto. Si X es contractible. ¿es A contractible?

1.14. Sea f : Sn → Sn continua tal que f(x) 6= −x para todo x ∈ Sn. Pruebe

que f es homotopica a la identidad.

1.15. Sean f, g : X → Sn tales que ‖f(x) − g(x)‖ < 2 para todo x ∈ X.

Pruebe que f y g son homotopicas.

1.16. Sean f, g : X → Rn \ {0} continuas tales que ‖f(x) − g(x)‖ < ‖g(x)‖

para todo x ∈ X. Pruebe que f y g son homotopicas.

1.17. Sean id, a : Sn → Sn las funciones identidad y antipodal respectiva-

mente. Es decir, id(x) = x y a(x) = −x para todo x ∈ Sn. Pruebe que

si n es impar, entonces id y a son funciones homotopicas. ¿Si n es par?

1.18. Sean α, β dos caminos en Rn tales que α(0) = β(0) y α(1) = β(1).

Pruebe que α ∼{0,1} β. Construya la homotopıa.

1.19. Sea A ⊂ Rn un subconjutno estrellado. Pruebe que si α, β son caminos

en A tales que α(0) = β(0) y α(1) = β(1) entonces α ∼{0,1} β en A.

Construya la homotopıa.

1.20. Sea α un loop en (S1, (1, 0)). Pruebe que si α(I) 6= S1 entonces α es

homotopicamente trivial. Pruebe que el recıproco no necesariamente es

verdadero.

1.21. Suponga que f : S1 → S1 no es homotopica a una constante. Pruebe

que f es epiyectiva.

2.1. EJERCICIOS 33

1.22. Dado n ∈ Z demuestre que pn : S1 → S1, pn(z) = zn es homotopıcamente

trivial si y solo si n = 0. Pruebe que pn es homotopica a pm si y solo si

n = m.

1.23. ¿A que espacio es homotopicamente equivalente una superficie compacta

menos un punto? Si S es una superficie compacta, ¿puede construir

algun retracto de deformacion de S \{p} a un subespacio conocido? ¿Es

retracto de deformacion fuerte?

1.24. Sea f : Sn → X una funcion continua. Pruebe que son equivalentes:

(i) f es homotopico a una constante.

(ii) Existe una extension continua de f aDn+1. Es decir, wxiste F :

Dn+1 → X continua tal que F |Sn ≡ f . Recuerde que Sn es el borde

de Dn+1.

1.25. Pruebe que la nclusion i : Dn → Dn+1, i(x1, x2, . . . , xn) = (x1, x2, . . . , xn, 0),

es un retracto de deformacion fuerte.

1.26. Sean X e Y dos espacios contractibles. Pruebe que tienen el mismo

tipo homotopico, y que cualquier funcion continua entre ellos s una

equivalencia homotopica.

1.27. (a) Pruebe que la inclusion al ecuador i : Sn−1 → Sn, i(x1, x2, . . . , xn) =

(x1, x2, . . . , xn, 0), se puede extender a incrustaciones i+, i− : Dn →

Sn en el hemisferio norte y sur respectivamente.

(b) Pruebe que i+ e i− son homotopicas, pero no son homotopicas rel-

ativas de equivalencia.

1.28. Demuestre que la homotopıa relativa a un subconjunto A, es una relacion

de equivalencia.

1.29. Demuestre que cualquiera se el espacio X, el cono CX es un espacio

contractible.

1.30. Pruebe que f : X → Y es homotopica a una constante si y solo si f se

extiende continuamente al cono CX.


1.31. Demuestre que si X es contractible, entonces X es conexo.

1.32. Pruebe que la arco-conexidad es un invariante homotopico.

1.33. Sea Y = D2 ⊔ D2.

(a) Pruebe que para cualquier espacio X en C(X, Y ) solo hay dos clases

de homotopıa de funciones.

(b) ¿Cuantas clases de homotopıa de funciones hay en C(Y,D2).

1.34. ¿A que espacio son homotopicamente equivalentes los siguientes espa-

cios?

R2 \{p1, p2} donde p1 6= p2; S1×S1×S1 \{p}; M\{p}; R3({p1, p2}∪L)

donde p1 6= p2 y L es una recta con L ∩ {p1, p2} = ∅.

1.35. Sea X ⊂ R2 definido por X = X0 ∪ (∪∞n=1Xn), donde:

X0 = {(x, 0) | 0 ≤ x ≤ 1} y Xn = {(x, x/n) | 0 ≤ x ≤ 1} .

Sea id la identidad deX, y para cada x0 ∈ X sea Cx0la funcion constante

Cx0(x) = x0, ∀ x. Pruebe que X es contractible. De hecho, pruebe que

id ∼ C(0,0). Mas aun, pruebe que id ∼(0,0) C(0,0), y que id ∼ Cx0para

todo x0 ∈ X. Demuestre que id ≁(1,0) C(1,0).

1.36. Sea p(z) = zn + an−1zn−1 + · · ·+ a1z + z0 un polinomio con coeficientes

complejos. Sea q(z) = zn. Para r > 0, sea Cr = {z ∈ C | ‖z‖ = r}.

Pruebe que si r es suficientemente grande, entonces p = p|cry q = q|Cr

,

son homotopicas como funciones de Cr en C \ {0}.

1.37. Enceuntre el tipo topologico de S3 \ (s1 ∪ s2), donde s1 y s2 son dos

cırculos entrelazados contenidos en S3.

1.38. Sea Z = X ⊔f Y donde f : A → Y , A ⊂ X, es continua. Pruebe que

existe un extension contniua de f , F : X → Y , si y solo si Y es un

retracto de Z.

1.39. Sea f : Pn(R) → S1 continua, n ≥ 2. Pruebe que f∗ = 0.

2.1. EJERCICIOS 35

§.2. Retractos.

2.1. Sea X contractible, y sea f : X → Y continua. Demuestre que el grafico

de f

G(f) = {(x, f(x)) ∈ X × Y | x ∈ X}

es contractible.

2.2. Sea X contractible. Pruebe que X es homotopicamente equivalente a

su cono CX.

2.3. Pruebe que si un punto x0 ∈ X es un retracto de deformacion fuerte de

un espacioX entonces para toda vecindad U de x0 existe otra vecindad

V ⊂ U de x0 tal que la inclusion V → U es homotopicamente trivial.

2.4. SeaX el subespacio de R2 formado por el segmento horizontal [0, 1]×{0}

y los segmentos vertivales {r} × [0, r] para todo racional r ∈ [0, 1 − r].

Pruebe que todo punto de [0, 1]×{0} es un retraco de deformacion fuerte

de X, pero todo otro punto no lo es.

(Indicacion: USe el ejercicio anterior.)

2.5. Sea Y el subespacio de R2 formado por copias del espacioX del ejercicio

anterior ordenados en la forma de la figura abajo. Pruebe que Y es

contractible pero ningun punto de Y es retracto de deformacion fuerte

de T .

2.6. (a) Pruebe que S1 no es contractible.

(b) Pruebe que no existe retraccion r : D2 → S1.

2.7. Pruebe que {0, 1} no es un retracto de [0, 1].

2.8. Pruebe que {0, 1} no es un retracto de deformacion de [0, 1]\{1/3, 2/3}.

Capıtulo 3

Grupo Fundamental

3.1 Definiciones

Denotamos por I al intervalo cerrado [0, 1]. Sea X un espacio topologico y

sea x0 ∈ X un punto cualquiera. Un loop en (X, x0) es una funcion continua

α : (I, {0, 1}) → (X, x0).

Decimos que dos loops α, β en (X, x0) son loop-homotopicos si existe una

homotopia F : α ∼{0,1} β. Es decir, si existe una homotopıa relatica a {0, 1}.

Ejemplo 3.1. Todo loop α en (Rn, x0) es loop-homotopico al loop constante

ex0(s) = x0 ∀s ∈ I. Observacion: esta sera la notacion standard para loops

constantes.

Ejemplo 3.2. En un espacio contractible todo loops es loop-homotopico a

un loop constante.

Ejemplo 3.3. El loop α(s) = (cos 2πs, sin 2πs) no es loop-homotopico a un

loop constante en R2 \ {0}. De hecho, supongamos que F : α ∼{0,1} e(1,0) es

una loop-homotopıa en R2\{0}. Sea p : R+ → R → R2\{0} el recubrimiento

p(x, y) = xe2πiy. Vemos que parae0 = (1, 0) se tiene p(e0) = x0. Sean α′ y

e′(1,0) los levantamientos de α y e(1,0) con punto inicial en e0. Podemos probar

que α′(1) = (1, 1) y e(1,0)(1) = e0 lo que contradice el Lema de levantamientos

de homotopıas.

37

38 CAPITULO 3. GRUPO FUNDAMENTAL

Puesto que la homotopıa relativa a un subconjunto es una relacion de

equivalenci, dado un par (X, x0) el conjunto de loops en (X, x0) queda par-

ticionado en clases de equivalencia.

Ahora introducimos una operacion en el conjunto de clases de loops en

(X, x0). Sean α y β dos loops en (X, x0). Definimos el producto α ⋆ β por

α ⋆ β(s) =

{

α(2s) si 0 ≤ s ≤ 1/2

β(2s− 1) si 1/2 ≤ s ≤ 1

Lema 3.1. La operacion [α]⋆[β] = [α⋆β] esta bien definida en el conjunto de

clases de loops en (X, x0). Este conjunto con esta operacion tienen estructura

de grupo.

Definicion 3.1. Este grupo se denomina el Grupo Fundamental del par

(X, x0) y se denota por π1(X, x0).

Ejemplo 3.4. π1(Rn, 0) = {1}. De hecho, si X es contractible, entonces

π1(X, x0) = {1}.

Ejemplo 3.5. π1(S1, (1, 0)) 6= {1} pues ya vimos que el camino α(t) =

(cos 2πt, sin 2πt) no es homotopico, relativo a puntos extremos, a un camino

constante.

Demostracion del Lema: (i) Buena definicion: Sean F : α ∼{0,1} α y

G : β ∼{0,1} β. Entonces

H(s, t) =

{

F (2s, t) si 0 ≤ s ≤ 1/2

G(2s− 1, t) si 1/2 ≤ s ≤ 1

es una homotopıa tal que H : α ⋆ α ∼{0,1} β ⋆ β.

(ii) Asociatividad: Sean α, β y γ tres loops en (X, x0). Entonces,

F (s, t) =

α(4s/(t+ 1)) si s ∈ [0, (t+ 1)/4]

β(4s− t− 1) si s ∈ [(t+ 1)/4, (t+ 2)/4]

γ((4s− t− 2)/(2 − t) si s ∈ [(t+ 2)/4, 1]

es una homotopıa tal que F : (α ⋆ β) ⋆ γ ∼{0,1} α ⋆ (β ⋆ γ).

3.2. GENERALIDADES 39

(iii) Elemento neutro: La funcion

F (s, t) =

{

α(2s/(2 − t)) si s ∈ [0, (2 − t)/2]

x0 si s ∈ [(2 − t)/2, 1]

es una homotopıa tal que F : α ∼{0,1} α ⋆ ex0. De la misma forma se

encuentra una homotopıa G : α ∼{0,1} ex0⋆ α.

(iv) Elemento inverso: La funcion

F (s, t) =

{

α(2ts) si s ∈ [0, 1/2]

α(2t(1 − s)) si s ∈ [1/2, 1]

es una homotopıa tal que F : ex0∼{0,1} α ⋆ α, donde α(t) = α(1 − t).

En adelante, α sera la notacion para el camino inverso a α.

Observamos que en las homotopıas anteriores no es necesario que los

caminos partan y lleguen al mismo punto. Basta que todos los caminos

salgan de un punto, digamos x0, y lleguen al mismo punto, digamos x1, que

no necesita ser el mismo que el punto de partida.

3.2 Generalidades

Lema 3.2. Sea α : [0, 1] → X tal que α(0) = x0 y α(1) = x1. Entonces α :

π1(X, x0) → π1(X, x1) definido por α([β]) = [α] ⋆ [β] ⋆ [α] es un isomorfismo

de grupos.

Demostracion: Para probar que α es un homomorfismo, basta ver que:

α([β]) ⋆ α([γ]) = ([α] ⋆ [β] ⋆ [α]) ⋆ ([α] ⋆ [γ] ⋆ [α])

= [α] ⋆ [β] ⋆ [γ] ⋆ [α]

= α([β] ⋆ [γ])

Se puede comprobar facilmente que α[β] = [α]⋆ [β]⋆ [α] es la inversa de α.


Corolario 3.1. Si X es arco-conexo, entonces π1(X, x0) solo depende de

X y no del punto base x0. Es decir, π1(X, x0) y π1(X, x1) son isomorfos

cualesquiera sean x0 y x1 en X.

Observamos que si X no es arco-conexo y C es la componente arcoconexa

que contiene a x0, entonces π1(X, x0) = π1(C, x0). Por esto, para estudiar

grupos fundamentales, solo consideramos espacios arco-conexos.

Definicion 3.2. Un espacio arco-conexo se dice simplemente conexo si todo

loop es loop-homotopico a un camino constante. Es decir, si π1(X, x0) es

trivial.

Lema 3.3. En un espacio simplemente conexo, dos caminos con el mismo

punto inicial y el mismo punto final, son homotopicas relativa a puntos ex-

tremos.

Demostracion: Sean α y β caminos tales que α(0) = β(0) = x0 y α(1) =

β(1) = x1. Como X es simplemente conexo α ⋆ β ∼{0,1} ex0. Entonces:

[β] = [ex0⋆ β = [(α ⋆ β) ⋆ β] = [α ⋆ (⋆β)] = [α ⋆ ex1

] = [α] .

3.3 Funtorialidad.

Sea f : (X, x0) → (Y, y0) continua. Sea f∗ : π1(X, x0) → π1(Y, y0) la funcion

definida por f∗([α]) = [f ◦ α]. Entonces, se tiene:

Lema 3.4. La funcion f∗ esta bien definida y es un homomorfismo de grupos.

Demostracion: (i) Buena definicion: Sea F : α ∼{0,1} β. Es inmediato

ver que f ◦ F : f ◦ α ∼{0,1} f ◦ β.

(ii) Homomorfismo: Sabemos que α⋆β(s) =

{

α(2s) si s ∈ [0, 1/2]

β(2s− 1) si s ∈ [1/2, 1].

Entonces

(f ◦ (α⋆β))(s) =

{

(f ◦ α)(2s) si s ∈ [0, 1/2]

(f ◦ β)(2s− 1) si s ∈ [1/2, 1]= (f ◦α)⋆ (f ◦β) .

3.4. EL GRUPO FUNDAMENTAL DE SN . 41

Lema 3.5. La aplicacion

{

(X, x0) 7→ π1(X, x0)

f 7→ f∗es funtorial.

Es decir, (f ◦ g)∗ = f∗ ◦ g∗ e id∗ = id.

Demostracion:

(f ◦ g)∗([α]) = [(f ◦ g) ◦ α] = [(f ◦ (g ◦ α)] = f∗([g ◦ α]) = f∗g∗([α]) .

Ademas, id∗([α]) = [id ◦ α] = [α].

Corolario 3.2. Si f : (X, x0) → (Y, y0) es un homeomorfismo, entonces

f∗ : π1(X, x0) → π1(Y, y0) es un isomorfismo.

3.4 El grupo fundamental de Sn.

Sea x0 ∈ Sn−1 un punto en el ecuador de Sn. Sean UN = Sn \ {S}, donde

S = −en+1 es el polo sur, US = Sn \ {N}, donde N = en+1 es el polo norte.

Entonces, U = {UN , US} es un cubrimiento de Sn.

Sea α un loop en (Sn, x0). Si α(I) 6= Sn, sabemos que α ∼{0,1} ex0. Si

α(I) = Sn, sea 0 = t0 < t1 < · · · < tn = 1 una particion tal que para cada

i = 1, 2 . . . , n se tiene que α([ti−1, ti]) ⊂ UN o α([ti−1, ti]) ⊂ US. Como UN y

US son homemorfos a Rn, cada pedazo de camino α|[ti−1, ti] es homotopico

relativo a puntos extremos a la geodesica desde α(ti−1) a α(ti).

Esto prueba que α es un loop, que es loop-homotopico a un loop poligonal

β en Sn. Como β(I) 6= Sn, se obtiene que α ∼{0,1} ex0, probando que Sn es

simplemente conexo.

3.5 Invariancia homotopica

Lema 3.6. Sean f, g : (X, x0) → (Y, y0) tales que existe F : f ∼x0g.

Entonces f∗ = g∗ : π1(X, x0) → π1(Y, y0).


Demostracion: Si α es un loop en (X, x0) debemos probar que f ◦ α y

g ◦ α son loop-homotopicos en (Y, y0). Pero es inmediato ver que G(s, t) =

F (α(s), t) es tal que G : f ◦ α ∼{0,1} g ◦ α.

Corolario 3.3. Si f : (X, x0) → (Y, y0) tiene inversa homotopica g : (Y, y0) →

(X, x0) de tal modo que f ◦ g ∼y0idY y g ◦ f ∼x0

idX , entonces f∗ y g∗ son

isomorfismos, uno inverso al otro.

Corolario 3.4. Si r : (X, a0) → (A, a0) es un retracto de deformacion fuerte,

entonces r∗ : π1(X, a0) → π1(A, a0) es un isomorfismo.

Observacion: Se puede probar qe si f : X → Y tiene inversa homotopica

entonces f∗ es un isomorfismo, sin importar los puntos bases. La prueba de

este hecho es un asunto tecnico, en que se debe combinar convenientemente lo

aquı expuesto, con el hecho que en un espacio arco-conexo, para todo camino

α la funcion α, antes definida, es un isomorfismo.

Considerando esta observacion, se tiene que todo retracto de deformacion

induce un isomorfismo de grupos fundamentales.

Lema 3.7. Sea f : (X, x0) → (Y, y0) una equivalencia homotopica. Entonces

f∗ : π1(X, x0) → π1(y, y0) es un isomorfismo.

Demostracion: Sea g : Y → X una inversa homotopica para f . Consider-

emos las funciones

Tenemos los siguientes homomorfismos inducidos:

(X, x0) (Y, y0) (X, x1) (Y, y1) .f g f

π1(X, x1) π1(Y, y1)

π1(X, x0) π1(Y, y0)(fx0

)∗

(fx1)∗

g∗

3.6. GRUPO FUNDAMENTAL DE ESPACIOS PRODUCTOS. 43

Como g ◦ f es homotopico a la identidad, existe un camino α en X, desde x0

hasta x1 de modo que (g ◦ f)∗ = α ◦ (iX)∗ = α. Luego, (g ◦ f)∗ = g∗ ◦ (fx0)∗

es un isomorfismo, y por lo tanto g∗ es un epimorfismo. De la misma forma,

como f ◦ g es homotopico a la identidad, se prueba que (fx1)∗ ◦ g∗ es un

isomorfismo, de donde g∗ es un monomorfismo. Ası, g∗ es un isomorfismo, y

por lo tanto (fx0)∗ = (g∗)

−1 ◦ α tambien es un isomorfismo.

3.6 Grupo fundamental de espacios produc-

tos.

Lema 3.8. π1(X × Y, (x0, y0)) es isomorfo a π1(X, x0) × π1(Y, y0).

Demostracion: Sean p : X × Y → X y q : X × y → Y las proyecciones

canonicas. Se tiene los homomorfismos inducidos

p∗ : π1(X × Y, (x0, y0)) → π1(X, x0) y q∗ : π1(X × Y, (x0, y0)) → π1(Y, y0) .

Sea

Φ : π1(X × Y, (x0, y0) → π1(X, x0) × π1(Y, y0)

definido por Φ([α]) = (p∗([α]), q∗([α])). Se puede probar directamente que Φ

es un isomorfismo.

Corolario 3.5. El grupo fundamental del toro T 2 = S1 × S1 es (Z2,+).

3.7 Recubrimiento Universal.

Teorema 3.1. Sea p : (E, e0) → (x, x0) un recubrimiento. Suponga que E es

arco-conexo. Entonces existe una epiyeccion natural φ : π1(X, x0) → p−1(x0).

Si ademas, E es simplemente conexo, entonces φ es una biyeccion.

Definicion 3.3. Si E es simplemente conexo, y p : E → X es un recubrim-

iento , decimos que E es un espacio de recubrimiento universal de X.


Lema 3.9. Suponga que X es localmente arco-conexo. Sea p : (E, e0) →

(X, x0) un recubrimiento universal. Sea q : (B, b0) → (X, x0) otro recubrim-

iento con B arco-conexo. Entonces existe un recubrimiento p′ : (E, e0) →

(B, b0) tal que q ◦ p′ = p.

Este Lema justifica el nombre de recubrimiento universal, para un espacio

de recubrimiento que es simplemente conexo.

3.8 Teorema de Van Kampen

Teorema 3.2. Suponga que X = U ∪ V , donde U y V son abiertos en X y

tales que U ∩ V es arcoconexo. Sea x0 ∈ U ∩ V . Si ambas inclusiones

i : (U, x0) → (X, x0) y j : (V, x0) → (X, x0)

inducen homomorfismos triviales de grupos fundamentales, entonces π1(X, x0) =

0.

Demostracion: Sea α : I → X un loop (X, x0). Debemos probar que α es

loop-homotopico a ex0.

Paso 1: Por numero de Lebesgue, sean 0 = s0 < s1 < · · · < sn = 1 una

particion de [0, 1] de modo que para cada i, α([si−1, si]) esta contenido en-

teramente en U o en V . De todas estas particiones elegimos una que sea

“minimal”, de modo que α(ai) ∈ U ∩ V ∀ i.

Paso 2: Puesto que α(si) ∈ U ∩ V ∀ i = 0, 1, . . . , n y puesto que U ∩ V

es arco-conexo, consideremos caminos γi desde x0 hasta α(si) contenidos en

U ∩ V .

Paso 3: Consideremos la restriccion de α a [si−1, si]. Reparametrizando,

podemos definir αi(s) = α((1 − s)ai−1 + sai) definida para s ∈ [0, 1].

Si α([si−1.si]) ⊂ V consideremos el loop γi−1 ⋆ αi ⋆ γi en (V, x0). Como j∗es homomorfismo trivial, tenemos que este loop es loop-homotopico a ex0

en

(X, x0). Luego, αi es homotopico en X a γi−1 ⋆ γi (usando propiedades de

⋆).

Repitiendo este procedimiento en cada i = 1, 2, . . . , n tal que α([si−1, si]) ⊂ V

3.8. TEOREMA DE VAN KAMPEN 45

obtenemos que α es loop-homotopico (en X) a un loop contenido en (U, x0)

que denominamos por β.

Paso 4: Como β es un loop en (U, x0) e i∗ es homomorfismo trivial, vemos

que β es loop-homotopico a ex0en X. Por transitividad, α ∼{0,1} ex0

.

Corolario 3.6. Si X = U ∪ V , con U , V abiertos simplemente conexos y

U ∩ V arco-conexo, entonces X es simplemente conexo.

Teorema 3.3 (Van Kampen). Sea X un espacio arco-conexo. Supongamos

que X = U ∪ V , donde U y V son abiertos arco-conexos de X tales que

U ∩ V es arco-conexo no vacıo. Entonces, los grupos fundamentales de U, v

y U ∩V , determinarn completamente al grupo fundamental de X. De hecho,

supongamos que pi1(U), π1(V ) y π1(U ∩ V estan definidos por generadores y

relaciones como sigue:

π1(U) = 〈α1, . . . , αn1| R1, . . . , Rm1

〉

π1(V ) = 〈β1, . . . , βn2| S1, . . . , Sm2

〉

π1(U ∩ V ) = 〈γ1, . . . , γn3| T1, . . . , Tm3

〉

Entonces,

π1(X) = 〈α1, . . . , αn1, β1, . . . , βn2

, γ1, . . . , γn3

|R1, . . . , Rm1, S1, . . . , Sm2

, I1, . . . , In3, T1, . . . , Tm3

〉

donde

(i) las relaciones I1, . . . , In (en α’s y β’s) son las que se obtiene al escribir

cada γi como palabra de los α’s y como palabra en los β’s e identificar.

(ii) las relaciones T1, . . . , Tm3son las que se obtiene de T1, . . . , Tm3

reem-

plazando cada γi por su palabra en α’s (o en β’s).

Esta version informal del Teorema de Van Kampen nos servira para cal-

cular los grupos fundamentales, que aun no podemos calcular, de muchos

espacios topologicos.


Ejemplo 3.6. El grupo fundamental de la esfera Sn, n ≥ 2. Sea U = Sn\{S}

y V = Sn \ {N}. Entonces U ∩ V = Sn \ {S,N} es arco-conexo pues n ≥ 2.

Puesto que U y V son contractibles, sus grupos fundamentales son triviales.

Por lo tanto mo tienen generadores. Entonces, el grupo fundamental de

Sn = U ∪ V tampoco tiene generadores. Luego π1(Sn) es trivial.

Ejemplo 3.7. El grupo fundamental de P3 = S1 ∨ S1 ∨ S1. Tomamos U y

V como en la figura. Entonces U ∩ V es contractible.

bc

bc

bc

bc

V =U =

Sabemos que π1(U) ∼= 〈α1, α2〉 y π1(V ) ∼= 〈β1〉. De donde π1(P3) ∼= 〈α1, α2, β1〉,

el grupo libre con tres generadores.

De igual forma se deduce que π1(Pn) ∼= 〈α1, α2, . . . , αn〉 el grupo libre con n

generadores.

Ejemplo 3.8. El grupo fundamental del toro T 2. Usamos la siguiente real-

izacion del toro:

β

β

α αbc p

Tomamos U = T 2\{p} y V un pequeno disco en torno a p. Entonces U ≡ P2,

V es contractible y U ∩ V ≡ S1. Por lo tanto: π1(U) ∼= 〈α, β〉, π1(V ) ∼= {0}

y π1(U ∩ V ) ∼= 〈γ〉. Como 1 ∼{0,1} γ ∼{0,1} αβα−1β−1 deducimos que

π1(T2) ∼= 〈α, β | αβ = βα〉 ∼= Z2 .

3.9. EJERCICIOS 47

3.9 Ejercicios

§.1. Grupo fundamental

1.1. Encontrado el grupo fundamental de (S1, (1, 0)).

(a) Para cada n ∈ Z sea αn : [0, 1] → S1 definido por αn(t) = e2nπit

loop en (S1(1, 0)). Pruebe que αn ∼{0,1} αm ⇔ n = m.

(b) Sea α un loop en (S1, (1, 0)). Pruebe que existe n ∈ Z tal que

α ∼{0,1} αn.

(c) Demuestre que π1(S1, (1, 0)) ∼= (Z,+).

1.2. Encontradondo el grupo fundamental de S2. Sea x0 ∈ S2 fijo.

(a) Demuestre que si α es un loop en (S2, x0) entonces existe un loop β

en (S2, x0), derivable tal que α{0,1}β.

(b) Demuestre que un loop derivable β en S2 no es epiyectivo.

(c) Demuestre que todo loop α en (S2, x0) es loop homotopico a una

constante.

1.3. Consisedere p × p : R2 → S1 × S1 el recubrimiento estandar, y sea

x0 = (1, 1) ∈ S1 × S1. (Aquı 1 ≡ (1, 0)). Pruebe que π1(S1 × S1, x0) =

(Z × Z,+).

1.4. Considere el tres recubrimiento p : S1 ∨S1 ∨S1 ∨S1 → S1 ∨S1 sugerido

en la figura.

Pruebe que pi1(S1 ∨ S1, x0) no es conmutativo.

1.5. Pruebe que el grupo fundamental de T 2#T 2 no es conmutativo.

(Indicacion: Observfe que S1∨S1 vive en T 2#T 2 y construya un retracto

r : T 2#T 2 → S1 ∨ S1.)

1.6. Encuentre el recubrimiento universal de S1 ∨ S1. Pruebe que el grupo

fundamental de S1 ∨ S1 es el grupo libre generado por dos elementos.


1.7. Pruebe que la proyeccion canonica Sn → Sn/∼ ∼= Pn(R) es un 2-

recubrimiento. Encuentre el grupo fundamental de Pn(R).

1.8. Encuentre el grupo fundamental de los siguientes espacios:

Rn \ {p}; D2 × S1 (el toro solido); T 2 \ {p}; R3 \ ℓ, (ℓ una recta); R3 sin

los ejes de coordenadas no positivos.

1.9. Pruebe que R2 no es homeomorfo a Rn si n > 2.

1.10. Pruebe que S2 y el toro S1 × S1 no son homeomorfos.

§.2. Funtorialidad.

2.1. Sea A ⊂ X , y sea r : X → A un retracto, y sea i : A → X la inclusion.

Pruebe que cualquiera sea a0 ∈ A, r∗ : π1(X, a0) → π1(A, a0) es un

epimorfimso, e i∗ : π1(A, a0) → (X, a0) es un monomorfimo.

2.2. Sea A ⊂ Rn, y sea f : (A, a0) → (Y, y0) continua. Pruebe que si f

se extiende continuamente a todo Rn entonces f∗ es el homomorfismo

trivial.

2.3. Encuentre (pn)∗ : π1(S1, (1, 0)) → π1(S

1, (1, 0)), donde pn(z) = zn, n ∈

Z.

2.4. Pruebe que el borde M de la banda de Mobius M no es un retracto de

M.

§.3. Recubrimiento Universal.

3.1. p : E → X un recubrimiento. Sean α y β caminos en X tales que

α(1) = β(0). Sean α′ y β ′ levantamientos de α y β tales que α′(1) =

β ′(0). Pruebe que α′ ⋆ β ′ es un levantamiento de α ⋆ β.

3.2. Suponga que X es simplemente conexo, que p : E → X es un recubrim-

iento, y que E es arco-conexo. Pruebe que p es un homeomorfismo. Es

decir, p es un recubrimiento trivial de una hoja. En otras palabras, no

hay recubrimientos no triviales arriba de un simplemente conexo.

3.9. EJERCICIOS 49

3.3. Sean p : E → X y p′ : E ′ → X dos recubrimientos universales. Suponga

que X es localmente arco-conexo. Pruebe que existe un homeomorfismo

h : E → E ′ tal que p′ ◦ h = p. Esto prueba la unicidad de los recubrim-

ientos universales (para espacios localmente arco-conexos).

3.4. Sea p : (E, e0) → (X, x0) un recubrimiento. Demuestre que p∗ : π1(E, e0) →

π1(X, x0) es un monomorfismo.

3.5. Dado un recubrimiento p : E → X, se llama transformacion de re-

cubrimiento a toda funcion φ : E → E tal que p ◦ φ = p.

(a) Pruebe que una composicion de transformaciones de recubrimiento,

es una transformacion de recubrimiento. Esto significa que el con-

junto de transformaciones de recubrimiento de p : E → X con la

composicion de funciones forman un grupo.

(b) Sea G el grupo de transformaciones de recubrimiento del recubrim-

iento canonico p : R → S1. Demuestre que G ∼= π1(S1, (1, 0)) ∼=

(Z,+).

3.6. Sea G un grupo, y X un espacio topologico. Una accion de G sobre X es

una funcion que a cada elemento α ∈ G le asocia una funcion continua

hα : X → X de modo que

(i) he = id, donde e ∈ G es el elemento neutro, y

(ii) hαβ = hα ◦ hβ ∀ α, β ∈ G.

(a) Pruebe que hn : R → R, hn(x) = x + n, define una accion de Z

sobre R.

(b) Pruebe que la funcion antipodal a : Sn → Sn define una accion de

Z2 sobre Sn.

(c) Demuestre que las rotaciones de S2 en torno al eje z definen la accion

del grupo S1 sobre la esfera S2.

(d) Considere las rotaciones de S2 en torno al eje z en angulos que son

multiplos de 2π/n, con n ∈ Z\{0} fijo. Pruebe que estas rotaciones

definen una accion de Zn sobre S2.


3.7. (a) Sea G un grupo que actua sobre un espacio topologico X. Definimos

la relacion de equivalencia en X por x ∼ y ⇔ ∃ α ∈ G tal que x =

hα(y). Denotamos el espacio cociente por X/G el cual se denomina

el espacio de orbitas. ¿A que espacios son homeomorfos los espacios

de orbitas del ejercicio anterior?

(b) Una accion de un grupo en un espacio topologico se dice que es una

accion sin puntos fijos si la unica accion hα que tiene puntos fijos es

he. ¿Cuales de las acciones de grupos del ejercicio anterior actuan

sin puntos fijos?

3.8. Demuestre que si X es Hausdorff arco-conexo, y G es un grupo finito

que actua sin puntos fijos en X, entonces π1(X/G, [x0]) ∼= G.

§.4. Teorema de Van Kampen.

4.1. Usando el Teorema de Van-Kampen encuentre el grupo fundamental de

los siguientes espacios:

(a) Todas las superficies compactas.

(b) RPn ,n ≥ 1.

(c) Sn ∨ Sm.

(d) X ∨ Y donde X e Y son variedades topologica. ¿Donde usa que X

e Y son variedades?

(e) X = M⊔f D2, deonde M es la banda de Mobius y f : ∂M → ∂D2

es un homeomorfismo.

(f) X = M⊔f D2 donde M es la banda de Mobius y f : ∂M → ∂D2

es un 2-recubrimiento.

(g) X = M⊔f RP2 donde M s la banda de Mobius y f : ∂M → RP2

es una incrustacion (homeomorfismo con la imagen) cuya imagen es

el cırculo indicado por α en la figura. Describa generadores.

3.9. EJERCICIOS 51

b b

α

α

(Indicacion: Haga una representacion grafica del espacio X.)

(h) X = M⊔f T2 donde f : ∂M → S1 × {~1} ⊂ S1 × S1 es un homeo-

morfismo.

β

β

α α

α

δ δ

(i) La Banda de Mobius menos un punto.

(j) X = S1 × I/∼, donde (z, 0) ∼ (z2, 1).

(k) Dado w = e2πi/n, sea Xn = D2/Z donde Z × D2 → D2 es la accion

(jz) 7→ wjz.

(l) Dado w = e2πi/n, sea Yn = D2/∼ donde

z ∼ z′ ⇔ |z| = |z′| y z′ = wjz para algun j ∈ Z .

(m) X el espacio a la izquierda e Y el espacio a la derecha.

4.2. Encuentre el tipo de homotopıa de R3 \ gn donde gn es homeomorfo a

S1 ∨ S1 ∨ · · · ∨ S1, n veces. Calcule el grupo fundamental.

4.3. Encuebtre el grupo fundamental de la suspension ΣX de un espacio X

en terminos del grupo fundamental de X. Suponga X arco-conexo.


4.4. Dado un grupo abeliano finito G, encuentre un espacio topologico X tal

que π1(X) ∼= G.

4.5. Dado un grupo abeliano finitamente generado G, encuentre un espacio

topologico X tal que π1(X) ∼= G.

4.6. Encuentre un espacio topologico X tal que π1(X) ∼= 〈α, β | α2βα−1β2 =

1〉.

4.7. Encuentre un espacio topologico X tal que π1(X) ∼= 〈α, β, γ |αβγ = 1〉.

Capıtulo 4

Aplicaciones

4.1 Teorema fundamental del algebra

Teorema 4.1. Todo polinomio no constante con coeficientes en C tiene al

menos una raız.

Demostracion: Sea P (z) = zn+a1zn−1+· · ·+an polinomio con coeficientes

complejos. Suponga que P no tiene raices. Entonces, para cada r ≥ 0 la

formula

fr(s) =P (re2πis)/P (r)

|P (re2πis)/P (r)|

define un loop en (S1, 1). Cuando r varia, fr define una loop-homotopıa de

loops con punto base en 1. Como f0 es el loop trivial, vemos que la clase

[fr] ∈ π1(S1, 1) es la trivial para todo r ≥ 0.

Sea r > 0 grande fijo. digamos mayor que 1 y que |a1| + |a2| + · · · + |an|.

Entonces para |z| = r se tiene

|zn| = rn = rrn−1 > (|a1| + |a2| + · · ·+ |an|)|zn−1| ≥ (a1z

n−1 + · · ·+ an| .

Resulta entonces que el polinomio Pt(z) = zn + t(a1zn−1 + · · ·+ an) no tiene

ceros en |z| = r, y

Ft(s) =Pt(re

2πis)/Pt(r)

|Pt(re2πis)/Pt(r)|

53

54 CAPITULO 4. APLICACIONES

define un loop-homotopıa en (S1, 1) entre F0(s) = e2πnis = αn(s) y F1(s) =

fr(s).

Como fr es un loop trivial, entonces αn es loop trivial. Necesariamente

entonces n = 0 y P debe ser un polinomio constante.

4.2 Teorema del punto fijo de Brouwer

Teorema 4.2. Toda funcion f : D2 → D2 tiene al menos un punto fijo.

Demostracion: Suponga que f no tiene puntos fijos. Entonces la figura

sugiere una retraccion r : D2 → S1, lo que sabemos no existe.

b

b

b

f(x)

r(x)

x

Corolario 4.1. Toda matriz A, cuadrada de 3×3, tiene un autovalor positivo

real.

4.3 Teorema de Bursuk-Ulam

Teorema 4.3. Para toda funcion continua f : S2 → R2 existe x ∈ S2 tal

que f(x) = f(−x).

Demostracion: Suponga que el Teorema no es verdadero. Se puede definir

entonces g : S2 → S1 por

g(x) =f(x) − f(−x)

|f(x) − f(−x)|.

4.4. GRADO DE FUNCIONES S1

→ S1 55

Sea η(s) = (cos 2πs, sin 2πs, 0) loop a lo largo del ecuador de S2, y sea

h = g ◦ η el loop imagen en S1.

Como g(−x) = −g(x) para todo x se tiene la relacion h(s + 1/2) = −h(s)

para todo s ∈ [0, 1/2]. Sea h′ : I → R un levantamiento de H . Entonces

h′(s + 1/2) = h′(s) + q/2 para todo s ∈ [0, 1/2] para algun entero impar q.

En particular h′(1) = h′(0) + q. Como q es impar (luego 6= 0), entonces h no

es homotopicamente trivial.

Por otra parte, h = g ◦ η con η homotopicamente trivial. Luego h es ho-

motopicamente trivial. Lo que contradice lo anterior.

Observacion: Este Teorema dice por ejemplo, que sobre la superficie de la

tierra en cada instante hay un par de puntos antipodales que tienen la misma

temperatura y la misma presion barometrica.

4.4 Grado de funciones S1

→ S1

Dada f : S1 → S1 continua se define el grado de f por

d(f) = f∗(1)

donde f∗ : Z → Z es la funcion inducida por f en el grupo fundamental de

S1.

Observacion: Aquı hay alguna impresicion por cuanto f(1) puede no ser 1,

entonces f∗ : π1(S1, 1) → π1(S

1, f(1)). Mas adelante veremos este asunto con

detalle, por ahora trabajamos sin complicarnos por esto, o bien suponemos

f(1) = 1.

Geometricamente significa que por la accion de f el cırculo S1 cubre gr(f)

veces al mismo cırculo.

El grado tiene las siguientes propiedades:

(a) f ∼ g ⇒ gr(f) = gr(g),

(b) gr(f ◦ g) = gr(f) · gr(g),

(c) gr(id) = 1; gr(ctte) = 0; gr(ρ) = −1 donde ρ(x, y) = (x,−y).


En otras palabras, sea f : S1 → S ! continua. Sea z0 ∈ S1 y sea z1 =

f(z0). Entonces f∗ : π1(S1, z0) → π1(S

1, z1) es un homomorfismo. Luego

f∗([αz0]) = [αz1

]⋆d para algun d ∈ Z.

Puesto qie π1(S1) es abeliano, sabemos que f∗ no depende de los caminos

α1,z0y α1,z1

elegidos para la definicion de αz0y αz1

respectivamente.

El entero d se llama el grado de f y se denota por d(f).

Lema 4.1.

(i) d(f) no depende del punto z0 elegido.

(ii) Si f, g : S1 → S1 son homotopicas, entonces d(f) = d(g). Es decir, el

grado es un invariante de clases de homotopıa de funciones.

(iii) Si d(f) = d(g) entonces f y g son homotopicas.

(iv) d(f ◦ g) = d(f)d(g).

Demostracion:

(i) Sabemos que f◦αz0∼{0,1} α

⋆dz1

∼{0,1} α−11,z1

⋆α1,z1. Si αz0

= α−11,z0

⋆α1⋆α1,z0

, tomamos α1,z1= α1,f(1)⋆(f ◦α1,z0

por conveniencia. Dado w0 sea w1 =

f(w0). Debemos probar: f ◦αw0∼{0,1} α

−11,w1

⋆α⋆d1 ⋆α1,w1

. Consideremos

los siguientes caminos: αz0,w0un camino de z0 a w0 cualquiera, α1,w0

=

α1,z0⋆αz0,w0

y α1,w1= α1,f(1)⋆(f◦α1,w0

) = α1,f(1)⋆(f◦α1,z0)⋆(f◦αz0,w0

) =

α1,z1⋆ αz1,w1

. Entonces,

f ◦ αw0∼{0,1} f ◦ [(α1,z0

⋆ αz0,w0)−1 ⋆ α1 ⋆ α1,z0

⋆ αz0,w0

∼{0,1} α−1z1,w1

⋆ α−11,z1

⋆ α⋆d1 ⋆ α1,z1

⋆ αz1,w1

∼{0,1} α−11,w1

⋆ α⋆d1 ⋆ α1,w1

como queriamos demostrar.

(ii) Sean f, g : S1 → S1 homotopicas. Sea z0 ∈ S1 y sean zf = f(z0) y

zg = g(z0). Sea H : f ∼ g una homotopıa entre f y g. Sea αzf ,zg=

H(z0, s) el camino de zf a zg definido por la homotopıa H . Suponemos

α1,zg= α1,zf

⋆ αzf ,zg. Entonces, es posible probar que g ◦ αz0

∼{0,1}

α−1zf ,zg

⋆ (f ◦ αz0) ⋆ αzf ,zg

. Y por lo tanto,

4.5. CAMPOS DE VECTORES 57

Lema 4.2.

(i) Dada f : S1 → S1 existe una funcion F : R → R tal que p ◦ F = f ◦ p.

Se dice que F recubre a f . Existe k ∈ Z tal que cualquiera sea el

recubrimiento F de f se tiene que F (x+ 1) = F (x) + k ∀ x ∈ R.

(ii) k = d(f).

4.5 Campos de vectores

Teorema 4.4. Todo campo de vectores en D2 sin singularidades tiene un

punto en la frontera donde apunta hacia afuera, y un punto en la frontera

donde apunta hacia adentro.

Demostracion: Sea V : D2 → R2 un campo de vector continua tal que

V (x) 6= 0 para todo x ∈ D2.

Supongamos que V (x) no apunta hacia adentro del disco para todo x ∈ S1.

Sea W : S1 → R2 \ {0} definido por W (x) = V (x)|S1. Entonces, para todo

x ∈ S1 se tiene que W (x) 6= λx para todo λ < 0. Esto permite probar que

H(z, t) = tz + (1 − t)W (x) es una homotopıa en R2 \ {0} entre la imclusion

j : S1 → R2 \ {0} y W . Por lo tanto W∗ 6= 0.

Por otra parte, V : D2 → R2 \ {0} es una extension continua de W , lo que

implica que W∗ = 0. Esta contradiccion prueba el Teorema.

Dado un campo de vectores V : R2 → R2 consideremos una region D

homeomorfa al disco D2 de modo que V no se anula sobre el borde de D.

Definimos el ındice de V en D de la siguiente forma: Sea ϕ : S1 → ∂D una

parametrizacion del borde que preserva orientacion. Entonces,

ind(V |D) = grV ◦ ϕ

‖V ◦ ϕ‖.

Observe que V ◦ ϕ : S1 → S1. Geometricamente el indice de V en D se

obtiene caminando sobre el borde de D una vuelta en sentido positivo, y

observar cuantas vuelas en S1 da el vector V |∂D durante la caminata.


Tenemos el siguiente resultado, a estas alturas del curso ya conocido y

facil de probar, y que usaremos en lo que sigue: ind(V |D) = 0 ⇔ V |D admite

una extension continua a todo D por un campo continuo sin singularidades

en D.

Observacion: La definicion de ındice de un campo en una region, es posible

extenderla a regiones compactas D mas generales. Para nuestra necesidad

basta un ejemplo. Un anillo como en la figura se puede ver como un disco

abierto cuyo borde tiene autointersecciones. Se calcula el ındice del disco

igual que antes solo que esta vez la parametrizacion del borde no es una

incrustacion si no una inmersion.

Dado un campo de vectores V : R2 → R2 con una singularidad aislada x0, se

define ind V (x0), el ındice de V en x0, como el ındice de V en algun disco D

en entorno a x0 con x0 la unica singularidad de V en D.

Esta es una buena definicion, como puede observarse de la figura.

Lema 4.3. Sea V un campo de vector en R2 y sea D una region homeomorfa

a D2 que contiene finitas singularidades de V . Entonces

ind(V |D) =∑

s∈Sing(V )

ind V (s) .

Una consecuencia de este resultado es que si un campo no tiene singular-

idades sobre una region, entonces tiene ındice 0 en esta region.

Teorema 4.5. Todo campo sobre la esfera S2 tiene al menos una singulari-

dad.

4.6. EJERCICIOS. 59

Demostracion: Sea V : S2 → R3 un campo sobre la esfera. Es decir

〈V (x), x〉 = 0 para todo x ∈ S2.

Tomemos un punto x0 ∈ S2 donde v(x0) 6= 0. Consideremos un pequeno

disco D sobre S2 en torno a x0. Entonces, sobre el disco D por continuidad

el campo se ve como en la figura a la izquierda. Tiene ındice 0.

Sobre el complemento de D en S2 que tambien es un disco, el campo sobre el

borde se ve como en la figura a la derecha. Tiene ındice 2. Necesariamente

V tiene singularidades en este disco.

Este resultado es un caso particular del siguiente resultado, que no pro-

baremos aquı.

Teorema 4.6. Sea V un campo definido sobre una superficie compacta S

con un numero finito de singularidades. Entonces,

∑

s∈Sing(V )

ind V (s) = χ(S) .

4.6 Ejercicios.

§.1.

1.1. Pruebe que toda funcion continua f : D2 → D2 tiene un punto fijo.

(Indicacion: Use el hecho que no existe un retracto r : D2 → S1 = ∂D2.

Si f no tiene puntos fijos construya un retracto, obteniendo ası una

contradiccion.)


1.2. Sea A una matriz real 3×3 con todos sus coeficientes positivos. Pruebe

que A tiene un autovalor real positivo.

1.3. Suponga que A es un retracto de D2. Pruebe que toda funcion continua

f : A→ A tiene un punto fijo.

1.4. Suponga que U1, U2 y U3 son tres abiertos que cubren S2. Pruebe que al

menos uno de esos abiertos debe contener un par de puntos antipodales.

Muestre que hay cubrimientos con cuatro abiertos que no tienen esta

propiedad.

(Indicacion: Para cada i = 1, 2 defina las funciones di : S2 → R por

di(x) = infy∈Ui|x − y|, la distancia de x a Ui. Aplique el Teorema de

Bursuk-Ulam a la funcion d(x) = (d1(x), d2(x)).

1.5. Suponga que f : S2 → R2 es tal que f(−x) = −f(x) ∀ x ∈ S2. Pruebe

que existe x0 ∈ S2 tal que f(x0) = 0.

§.2. Grado.

2.1. Sea αz un generador de π1(S1, z). Dado k ∈ Z, sea α′

k un levantamiento

de α⋆kz . Pruebe que α′

k(1) − α′k(0) = k.

2.2. Calcule el grado de las siguientes funciones de S1 en si mismo: pn(z) =

zn, n ∈ Z, las rotaciones Rz(w) = zw, la funcion conjugada c(w) = w.

2.3. Sea F una funcion que recubre a f : S1 → S1. Suponga que F (x+ 1) =

F (x) + k, para cierto k ∈ Z. Pruebe que F (x+ n) = F (x) + nk.

2.4. Sea α un loop regular (derivada no nula en todo punto) en C \ {0}. Sea

β(s) = α(s)/‖α′(s)‖ loop en S1. Si β ′ es un levantamiento de β sabemos

que β ′(1) − β(0) = n para algun n ∈ Z. Demuestre:

n =1

2πi

∫

α

dz

z.

2.5. Sea f : S1 → S1 es derivable. Sea α1 el loop generador estandar de

π1(S1). Sea α = f ◦ α1. Demuestre

d(f) =1

2πi

∫

α

dz

z.

4.6. EJERCICIOS. 61

2.6. Pruebe que su f : S1 → S1 tiene grado distinto de 1, entonces f tiene

un punto fijo.

2.7. Sea A : R2 → R2 lineal tal que det(A) 6= 0. Sea A0 : S1 → S1 dada

por A0(z) = A(z)/|A(z)|. Calcule el grado de A0. Calcule (A0)∗. Sea

A : RP1 → RP1 dada por A([x]) = [A(x)]. Calcule el grado de A.

Calcule A∗.

2.8. Sea f : S1 → S1 un homeomorfismo de grado 1. Anotaremos f 2 = f ◦ f

e inductivamente fn = f ◦ fn−1. Sea F : R → R funcion que recubre a

f . Sabemos que F (x + 1) = F (x) + 1 para todo x ∈ R y puesto que f

es un homeomorismo, entonces F es estrictamente creciente. Pruebe

(a) fn tiene grado 1 para todo n ≥ 1.

(b)

limn→∞

F n(x) − x

nexiste para todo x ∈ R .

(c) Este lımite es independiente de x ∈ R.

(d) Si F1(x) = F (x)+k, k ∈ Z fijo, es otro levantamiento de f , entonces

limn→∞

F n1 (x) − x

n= lim

n→∞

F n(x) − x

n+ k .

(e) Sea

ρ(f) = limn→∞

F n(0)

n

el llamado numero de rotacion de f . Pruebe que ρ(f) esta bien

definido modulo enteros.

(f) Calcule el numero de rotacion de la rotacion Rw, w = e2πiα.

(g) Calcule el numero de rotacion de r(x, y) = (y, x) y c(z) = z.

(h) Pruebe ρ(f ◦ g) = ρ(f) + ρ(g). En particular ρ(fn) = nρ(fn).

(i) Pruebe que f tiene puntos periodicos si y solo si ρ(f) es un numero

racional. (Un punto z es periodico para f si existe n ∈ N tal que

fn(z) = z.


2.9. Suponga que para toda funcion f : Sn → Sn continua se puede definir

su grado d(f) de modo que tenga las siguientes propiedades:

(i) f ∼ g ⇒ d(f) = d(g),

(ii) d(f ◦ g) = d(f)d(g), y

(iii) d(id) = 1; d(ctte) = 0; d(ρn+1) = −1 donde ρn+1 es la reflexion

ρn+1(x1, x2, . . . , xn, xn+1) = (x1, x2, . . . , xn,−xn+1).

Demuestre:

(a) d(ρi) = −1 donde ρi(x1, x2, . . . , xi, . . . , xn+1) = (x1, x2, . . . ,−xi, . . . , xn+1).

(b) d(a) = (−1)n+1 donde a es la funcion antipodal.

(c) No existe retraccion r : Dn+1 → Sn.

(d) Si f : Sn → Sn no tiene punto fijo, entonces f es homotopica a la

funcinon antipodal.

(e) Si f : Sn → Sn tiene grado distinto de (−1)n+1 entonces f tiene

punto fijo..

(f) Si f : Sn → Sn tiene grado distinto de 1 entonces existe x ∈ Sn tal

que f(x) = −x.

(g) Si Sn tiene un campo de vaectores no nulo en todas partes, entonces

la identidad es homotopica a la funcion antipodal. Concluya que n

es impar. Para n impar construya un campo de vector no nulo en

todas partes.

(h) Toda funcion f : S2n → S2n o bien tiene punto fijo, o bien tiene

punto que es llevado a su antipodal.

Capıtulo 5

Recubrimientos

En este capıtulo todo espacio topologico es arco-conexo, y localmente arco-

conexo.

Definicion 5.1.

(a) Sean X,E dos espacios topologicos y sea p : E → X una funcion continua

epiyectiva. Se dice que el par (E, p) es un recubrimiento de X, si para

cada x ∈ X, existe una vencidad arco-conexa U de x, llamada vecindad

de recubrimiento, si p−1(U) =⊔

i∈I Vi ⊂ E (union disjunta), de modo

que para cada i ∈ I, Vi es un abierto de E y p|Vi : Vi → U es un

homeomorfismo. El conjunto I es algun conjunto de indices. El espacio

E se llama el espacio de recubrimiento.

(b) Si (E, p) es un recubrimiento de X y x es un punto de X, entonces

p−1(x) ⊂ E se llama la fibra de x, y si p−1(U) =⊔

i∈i Vi entonces cada

Vi se llama una hoja sobre U .

(c) Si para un recubrimiento (E, p) de X todas las fibras tienen el mismo

cardinal finito n, hablamos de un n-recubrimiento, o bien, de un re-

cubrimiento de n-hijas.

Ejemplo 5.1. Sea E = X × {1, 2, . . . , n} entonces p : E → X definida por

p(x, i) = x para todo (x, i) es un recubrimiento, al cual llamaremos recubrim-

iento trivial. Cambiando {1, 2, . . . , n} por cualquier espacio discreto, se tiene

63

64 CAPITULO 5. RECUBRIMIENTOS

tambien un recubrimiento trivial.

Este ejemplo no cabe propiamente en la definicion pues E no es arco-conexo.

Salvo esto, cumple todas las demas condiciones en la definicion.

Ejemplo 5.2. Todo homeomorfismo f : Y → X es un recubrimiento.

Ejemplo 5.3. Si S1 = {z ∈ C | |z| = 1}, entonces p : R → S1, p(t) = e2πit es

un recubrimiento. En adelante, esta aplicacion siempre la denotaremos por

p.

Si S1 = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y2 = 1}, entonces el mismo recubrimiento lo

escribimos ası: p : R → S1, p(t) = (cos 2πt, sin 2πt).

En este ejemplo, cada abierto propio de S1 es una vecindad de recubrimiento.

La fibra de cada punto tiene una cantidad enumerable de puntos.

Ejemplo 5.4. Para cada n ∈ Z, n 6= 0, la aplicacion pn : S1 → S1, z 7→ zn

es un recubrimiento. Esta aplicacion siempre la denotaremos por pn. Cada

abierto propio de S‘1 es una vecindad de recubrimiento. La fibra de cada

punto tiene una cantidad finita de puntos.

Ejemplo 5.5. La aplicacion p× i : R × R+ → S1 × R+, (x, t) 7→ (e2πit, t) es

un recubrimiento. Componiendo con el homeomorfismo standard

h : S1 × R+ → R2 \ {0}, (z, t) 7→ tz

se obtiene el recubrimiento R × R+ → R2 \ {0}, (x, t) 7→ te2πix.

Ejemplo 5.6. La aplicacion exp : C → C \ {0}, exp(z) = ez es un recybrim-

iento. Compare este recubrimiento con el del ejemplo anterior.

Ejemplo 5.7. La aplicacion pn : C \ {0} → C \ {0} dada por pn(z) = zn es

un n-recubrimiento.

Ejemplo 5.8. La aplicacion

q : R2 → S1 × S1, q(t, s) = (e2πit, e2πis) ,

es un recubrimiento del toro por el plano R2.

65

Ejemplo 5.9. La aplicacion

q : R × S1 → S1 × S1, q(t, z) = (e2πit, z) ,

es un recubrimiento del toro por el cilindro R × S1.

Ejemplo 5.10. Vimos que RPn = Sn/x ∼ ±xes el espacio proyectivo real.

La proyeccion canonica π : Sn → RPn es un 2-recubrimiento.

Ejemplo 5.11. Sea X = C1 ∪ C2∼= S1 ∨ S1 donde

C1 = {(x, y) ∈ R2|(x−1)2+y2 = 1} y C2 = {(x, y) ∈ R2|(x+1)2+y2 = 1}.

Daremos aquı tres recubrimientos distintos del espacio X.

(i) Sea E = {(x, y) ∈ R2 | x ∈ Z o y ∈ Z}.

Entonces, p : E → X dada por

p(x, y) =

{

(1 + cos(π − 2πx), sin 2πx) si y ∈ Z

(−1 + cos 2πy, sin 2πy) si x ∈ Z

es un recubrimiento de X.

(ii) Sea F = L ∪ (∪n∈ZDn), donde

L = {(x, y) ∈ R2|x = 0} y Dn = {(x, y) ∈ R2|(x−1)2+(y−3n)2 = 1}.

Entonces, q : F → X dado por

q(x, y) =

{

(x, y − 3n) si (x, y) ∈ Dn

(−1 + cos(2πy/3), sin(2πy/3)) si x = 0

es un recubrimiento de X.

(iii) El siguiente diagrama ilustra un 3-recubrimiento de X

α′ β ′α′ β ′

α β

β ′ α′


Ejemplo 5.12. Veamos ahora un ejemplo de un homeomorfismo local epiyec-

tivo que no sea un recubrimiento. De hecho, f :]a, b[→ S1 definida por

f(t) = (cos t, sin t) tiene estas propiedades. ¿Que puntos de S1 no tienen una

vecindad de recubrimiento?

El siguiente lema cuya demostracion queda de ejercicio permite obtener

espacios de recubrimiento a partir de uno ya dado.

Lema 5.1. Suponga que p : E → X es un recubrimiento. Sea A ⊂ X

arco-conexo y localmente arco-conexo. Sea F una componente arco-conexa

de p−1(A). Entonces, p|f : F → A es un recubrimiento.

5.1 Levantamiento de caminos y homotopias

Consideremos la siguiente notacion: Si f : X → Y es una funcion (no

necesariamente continua), A ⊂ X y B ⊂ Y entonces f : (X,A) → (Y ;B)

significara que f(A) ⊂ B. Si A = {a} y y/o B = {b} anotaremos f(X, a) →

(Y, b).

Definicion 5.2.

(a) Un camino en un espacio topologico X es cualquier funcion continua

σ : [0, 1] → X.

(b) Sea (E, p) un recurimiento de X, y sea σ : [0, 1] → X un camino. Dec-

imos que σ se levanta a un camino σ′ : [0, 1] → E si p ◦ σ′ = σ. Ver

figura.

[0, 1] X

E

p

σ

σ′

5.1. LEVANTAMIENTO DE CAMINOS Y HOMOTOPIAS 67

Ejemplo 5.13. La aplicacion αs[0, 1] → S1 dada por αs(t) = e2π(s+t)i se

levanta a la funcion α′s : [0, 1] → R, α′

s(t) = s+ t. Tambien, para cada k ∈ Z

la funcion α′s,k(t) = s+ t+ k, es un levantamiento de αs.

A continuacion veremos un resultado sobre levantamiento de caminos.

Lema 5.2. Sea p : E → X un recubrimiento, y suponga que e0 ∈ p−1(x0).

Sea σ : [0, 1] → X con σ(0) = x0. Entonces, existe un unico levantamiento

σ′ : [0, 1] → E de σ tal que σ′(0) = e0.

Demostracion: La unicidad del levantamiento resulta del ejercicio 9 de la

lista de ejercicios abajo.

Si (E, p) es trivial, el Lema tiene demostracion trivial.

En general, como [0, 1] es metrico compacto, elegimos 0 = t0 < t1 < · · · <

tn = 1, una particion de [0, 1], tal que para cada i = 1, 2, . . . , n σ([ti−1, ti]) ⊂

Ui, para algun abierto de recubrimiento Ui. Aqui se usa la existencia del

numero de Lebesgue.

Recuerdo: Sea U un cubrimiento abierto de un espacio metrico compacto.

Entonces existe δ > 0, llamado numero de Lebesgue del cubrimiento, tal que

toda bola de diametri δ esta contenida en algun abierto del cubrimiento.

Ahora prodedemos inductivamente. Sea V1 la hoja de p−1(U1) que contiene

a e0 y sea p−11 : U1 → V1 la inversa de p|V1. Definimos σ′

1 : [t0, t1] → E por

σ′1 = p−1

1 ◦ σ|[t0, t1]. Es claro que σ′1(0) = e0. Sea e1 = σ′

1(t1). Entonces

p(e1) = x1 = σ(t1).

De la misma forma ahora levantamos σ|[t1, t2] a una funcion σ′2 : [t1, t2] → E

tal que σ′2(t1) = e1.

Repitiendo este procedimiento n veces obtenemos un levantamiento σ′ de σ

de modo que σ′(0) = e0.

Notacion: Al unico levantamiento de un camino σ que parte de un punto

e0 en la fibra de σ(0) lo denotaremos por σ′e0

.

Corolario 5.1. Si p : E → X es un recubrimiento, entonces p−1(x) tiene el

mismo cardinal para todo x ∈ X.


Demostracion: Sea x0 y X1 dos puntos en X. Construiremos una biyeccion

entre p−1(x0) y p−1(x1).

Como X es arco-conexo, elegimos un camino α : [0, 1] → X que parte de x0

y termina en x1. Definimos

ϕ : p−1(x0) → p−1(x1) por ϕ(y0) = α′y0

(1) .

Esta funcion es biyectiva pues tiene inversa y1 7→ (α−1)′y1(1).

Observemos que si y1 = α′y0

(1) entonces (α−1)′y1= (α′

y0)−1.

Lema 5.3 (Levantamiento de homotopia). Sea p : (E, e0, e1) → (X, x0, x1)

un recubrimiento. Suponga que f : (Y, y0, y1) → (X, x0, x1) se levanta a f ′ :

(Y, y0, y1) → (E, e0, e1). Entonces, toda homotopia de f , F : Y × I → X con

F (y, 0) = f(y) para todo y ∈ Y , se levanta a una homotopıa F ′ : Y × I → E

tal que F ′(y, 0) = f ′(y) para todo y ∈ Y .

Mas aun, si F deja fijo los extremos, es decir, si F (yi, t) = xi, i = 0, 1,

∀ t ∈ I, entonces F ′ tambien. Mas precisamente, F ′(yi, t) = ei, i = 0, 1,

∀ t ∈ I.

Demostracion: Si el recubrimiento es trivial, el Lema es trivial.

Paso 1: En general, para cada y ∈ Y podemos encontrar una vecindad

abierta Ny y una particion 0 = t0 < t1 < · · · < tn = 1 de [0, 1] (que depende

de y), tal que para cada i = 1, 2 . . . , n F (Ny × [ti−1, t1]) ⊂ Uy,i, para algun

abierto de recubrimiento Uy,i. Procediendo igual que en el Lema anterior,

encontramos un unico levantamiento F ′ : Ny × I → E de F |Ny × I tal que

D′(y, 0) = d′(y).

Paso 2: La demostracion termina notando que dos levantamientos F : Ny ×

I → E y F ′ : Ny′ × I → E como en el paso anterior, coinciden sobre

(Ny ∩ Ny′) × I.

5.2 Espacios de recubrimiento y grupo fun-

damental

Comenzaremos por un resultado no trivial. Es un resultado importante en

todo lo que sigue. Su demostracion es inmediata a partir del Lema de levan-

5.2. ESPACIOS DE RECUBRIMIENTO Y GRUPO FUNDAMENTAL 69

tamiento de homotopia.

Lema 5.4. Sea p : (E, e0) → (X, x0) un recubrimiento. Suponga que α, β :

([0, 1], 0, 1) → (X, x0, x1) son homotopicas relativas a {0, 1}. Sean α′e0, β ′

e0:

([0, 1], 0) → (E, e0) sus levantamientos a partir de e0. Entonces α′e0

(1) =

β ′e0

(1).

Este Lema muestra que los levantamientos de caminos homotopicos que

parten y terminan donde mismo, tienen la misma propiedad.

Esto prueba, por ejemplo, que el camino α(s) = (cos 2πs, sin 2πs) no es

homotopico relativo a {0, 1} al camino constante 1(1,0) sobre S1. De hecho,

α′0(s) = s y (1′(1,0))0(s) ≡ 0 y por lo tanto α′

0(1) = 1 6= 0 = (1′(1,0))0(1).

Corolario 5.2. Sea p : (e, e0) → (x, x0) un recubrimiento. Entonces,

(a) la funcion ϕ : π1(x, x0) → p−1(x0), ϕ([α]) = α′e0

(1), esta bien definida y

es epiyectiva.

(b) Si E es simplemente conexo entonces ϕ es biyectiva.

Demostracion:

(a) La buena definicion de ϕ es inmediata del lema anterior.

Sea x1 ∈ p−1(x0) y consideremos un camino α′ en E que parte en x0

y termina en x1. Sea α = p ◦ α′. Puesto que α′ = α′e0

se tiene que

ϕ([α]) = x1.

(b) Suponga que ϕ([α]) = ϕ([β]) y probemos que α ∼{0,1} β.

Puesto que α′e0

(1) = β ′e0

(1) y E es simplemente conexo, se tiene que

existe una homotopua F ′ : α′e0

∼{0,1} β′e0

. Entonces, p ◦ F ′ : α ∼{0,1} β.

Corolario 5.3.

(a) El grupo fundamental de S1 es enumerable no finito.

(b) π1(RPn) ∼= Z2 para todo n ≥ 2.


Demostracion:

(a) Sea p : R → S1, p(s) = (cos 2πs, sin 2πs) recubrimiento de S1 por R.

Entonces, π1(S1) es biyectivo con p−1((1, 0)) = Z probando lo afirmado.

(b) Sea Sn → RPn el recubrimiento canonico. Entonces, π1(RPn) es biyectivo

con p−1(x), cualquier x ∈ RPn. Como el cardinal de p−1(x) es 2, y solo

hay un grupo de orden dos, a saber Z2, se prueba lo afirmado.

Corolario 5.4. Sea p : (E, e0) → (X, x0) un recubrimiento. Entonces p∗ :

π1(E, e0) → π1(X, x0) es un monomorfismo.

Demostracion: Supongamos que p∗([α]) = [1x0]. Es decir, α ∼{0,1} 1x0

.

Entonces, α ∼{0,1} (1′x0)e0

= 1e0, y por lo tanto, [α] = [1e0

].

5.3 El grupo fundamental de S1

Lema 5.5. Los grupos (π1(S1, (1, 0)), ⋆) y (Z,+) son isomorfos.

Demostracion: Sea p : R → S1 el recubrimiento canonico p(s) = (cos 2πs, sin 2πs).

Vimos que la funcion ϕ : π1(S1, (1, 0)) → p−1((1, 0)) = Z dada por ϕ([α]) =

α′0(1) es biyectiva. Probemos que es un isomorfismo.

Sabemos que (α ⋆ β)′0 = α′0 ⋆ β

′α′

0

, y como β ′α′

0

= α′0(1) + β ′

0 se tiene,

ϕ([α] ⋆ [β]) = ϕ([α ⋆ β])

= (α ⋆ β)′0(1)

= (α′0 ⋆ β

′α′

0

)(1)

= β ′α′

0

(1)

= α′0(1) + β ′

0(1)

= ϕ([α]) + ϕ([β])

5.3. EL GRUPO FUNDAMENTAL DE S1 71

Todavıa se puede decir mas sobre el grupo fundamental de S1. Para lo

que sigue supondremos que S1 = {z ∈ C||z| = 1}. Su recubrimiento canonico

por R queda dado por p(s) = e2πis, s ∈ R.

Para n ∈ Z sea αn : [0, 1] → S1 el loop en z0 = (1, 0) dado por αn(s) =

e2πins. Entonces (α′n)0(s) = ns el levantamiento de αn que parte en 0, y por

lo tanto, ϕ([αn]) = n.

Lema 5.6.

1. Para todo [α] ∈ π1(S1, (1, 0)) existe n ∈ Z tal que [α] = [αn]. Es decir,

para todo loop α se tiene que α ∼{0,1} αn para algun n ∈ Z.

2. π1(S1, (1, 0)) = {[αn] | n ∈ Z}

3. αn ⋆ αm ∼{0,1} αn+m. Es decir [αn] ⋆ [αm] = [αn+m.

4. α1 ⋆ α1 ⋆ · · · ⋆ α1 = α⋆n1 ∼{0,1} αn.

5. π1(S1, (1, 0)) = {[α1]

⋆n | n ∈ Z} = 〈[α1]〉.

Demostracion:

1. Dado [α] ∈ π1(S1, (1, 0)) sea n = ϕ([α]). Entonces, ϕ([α]) = n = ϕ([αn]).

Como ϕ es inyectiva, [α] = [αn].

2. Es claro.

3. Como ϕ es homomorfismo se tiene

ϕ([αn] ⋆ [αm]) = ϕ([αn]) + ϕ([αm]) = n+m = ϕ([αn+m]) .

Por la inyectividad de ϕ se tiene que [αn] ⋆ [αm] = [αn+m].

4. y 5. son inmediatas de lo anterior.


5.4 Recubrimiento universal.

Definicion 5.3. Si p : E → X es un recubrimiento con E simplemente

conexo, hablamos de recubrimiento universal y decimos que E es un espacio

de recubrimiento universal de X.

Lema 5.7. Suponga que X es localmente arco-conexo. Sea p : (E, e0) →

(X, x0) un recubrimiento universal. Sea q : (B, b0) → (X, x0) otro recubrim-

iento con B arco-conexo. Entonces existe un recubrimiento p′ : (E, e0) →

(B, b0) tal que q ◦ p′ = p.

Este lema justifica el nombre de recubrimiento universal, para un espacio

de recubrimiento que es simplemente conexo.

Demostracion: Partimos definiendo p′(e0) = b0. Ahora sea e ∈ E y defi-

namos p′(e) ∈ B de la siguiente forma.

Tomamos un camino α′ en E que vaya de e0 a e. Entonces, α = p ◦ α′ es un

camino en X que va de x0 a algun punto de X. Sea α el levantamiento de α

al recubrimiento B de X y que parte de b0. Definamos p′(e) = αb0(1).

Que p = q ◦ p′ es claro por la definicion de p′. De la misma forma p′ es

epiyectiva.

La funcion p′ esta bien definida pues si β ′ es otro camino en E entre e0 y e,

entonces como E es simplemente conexo se tiene β ′ ∼{0,1} α′. Proyectando

la homotopıa se tiene que β ∼{0,1} α. Por levantamiento de homotopıa,

βb0(1) = αb0(1), lo que prueba la buena definicion de p′.

La funcion p′ es continua. De hecho sea e1 ∈ E y probemos que p′ es continua

en e1. Sea b1 = p′(e1) y sea V una vecindad de b1. Debemos encontrar una

vecindad W de e1 de modo que p′(W ) ⊂ V .

Sea x1 = p(e1) = q(p′(e1)). Como X es localmente arco-conexo ( y por lo

tanto E y B tambien), tomamos U0 ⊂ X abierto con x1 ∈ U0 una vecindad

arco-conexa de recubrimiento para ambos recubrimientos, de tal forma que

la hoja V0 de q−1(U0) que contiene a b1 verifica V0 ⊂ V . Sea W0 la hoja de

p−1(U) que contiene a e1.

Afirmamos que p′(W ) = V0. Mas aun, afirmamos que p′|W0 : W0 → V0 es un

homeomorfismo.

5.5. LEVANTAMIENTO DE FUNCIONES 73

Sea e ∈W0 y probemos que p′(e) ∈ V0. Sea α′ un camino en E entre e0 y e1.

Como W0 es arco-conexo, existe γ′ camino en W0 que parte en e1 y termina

en e. Entonces, α′ ⋆ γ′ es un camino en E entre e0 y e. Para encontrar p′(e)

debemos proyectar α′ ⋆ γ′ a X y luego levantar esta proyeccion a B.

Sabemos que p◦(α′⋆γ′) = (p◦α′)⋆(p◦γ′). Denotemos α = p◦α′ y γ = p◦γ′.

Sabemos tambien que αb0 ⋆ γb1 es el levantamiento de α ⋆ γ que parte de b0.

Entonces, p′(e) = (αb0 ⋆ γb1)(1) = γb1(1).

Por otra parte, γ′ ⊂ W0, γ ⊂ U0 y γb0 ⊂ V0. De esto se concluye que

p′(e) ∈ V0 probando la continuidad de p′.

Probemos que p′|W0 : W0 → V0 es un homeomorfismo. Tenemos que p|W0=

(p′|W0) ◦ (q|V0

) con p|W0: W0 → U0 y q|V0

: V0 → U0 homeomorfismos. Esto

prueba que p′|W0= (q|V0

)−1 ◦ (p|W0) : W0 → V0 es un homeomorfismo.

Para probar que p′ es un recubrimiento vemos que (p′)−1(V0) ⊂ p−1(U0)

pues si x ∈ (p′)−1(V0) entonces p(x) = q(p′(x)) ∈ U0. De manera similar

a la continuidad de p′ se deduce que si W es una hoja de p−1(U0) tal que

W ∩ (p′)−1(V0) 6= ∅ entonces W ⊂ (p′)−1(V0) y p?|W : W → V0 es un home-

omorfismo.

Esto prueba que (p′)−1(V0) es una subcoleccion de las hojas de p−1(U0) y que

p′ restringida a cada una de estas hojas es un homeomorfismo. Esto prueba

que p′ es un recubrimiento. Con esto el Lema queda demostrado.

5.5 Levantamiento de funciones

Definicion 5.4. Sea (E, p) un recubrimiento de un espacio topologico X,

y sea f : Y → X una funcion continua. Decimos que f se levanta a la

aplicacion f ′ : Y → E si p ◦ f ′ = f . Ver figura.


Y X

E

p

f

f ′

En lo que sigue supondremos todos los espacios son conexos y localmente

arco-conexos.

Lema 5.8. Sea p : (E, e0) → (X, x0) un recubrimiento. Sea f : (Y, y0) →

(X, x0) una funcion continua. Entonces, f se levanta a una funcion

f ′ : (Y, y0) → (E, e0) ⇔ f∗(π1(Y, y0)) ⊂ p∗(π1(E, e0)) .

Demostracion: (⇒) Sea f ′ : (Y, y0) → (E, e0) un levantamiento de f . En-

tonces, p ◦ f ′ = f . De donde, p∗ ◦ f′∗ = f∗. Por lo tanto,

f∗(π1(Y, y0) = p∗(f′∗(π1(Y, y0)) ⊂ p∗(π1(E, e0)) .

(⇐) Debemos definir el levantamiento f ′. Definimos f ′(y0) = e0. Sea y ∈ Y

otro elemento cualquiera. Como Y es arco-conexo, elegimos un camino α en

Y de modo que α(0) = y0 y α(1) = y.

Entonces f ◦ α es un camino en X tal que (f ◦ α)(0) = x0. Sea (f ◦ α)′e0el

levantamiento de f ◦ α que parte de e0. Definamos f ′(y) = (f ◦ α)′e0(1).

Vemos que f ′ es un levantamiento de f pues

(p ◦ f ′)(y) = (p ◦ (f ◦ α)′e0)(1) = (f ◦ α)(1) = f(α(1)) = f(y) .

La funcion f ′ esta bien definida. De hecho, sea β otro camino en Y tal que

β(0) = y0 y β(1) = y. Debemos probar que (f ◦ β)′e0(1) = (f ◦ α)′e0

(1).

Sabemos que α ⋆ β−1 es un loop en (Y, y0) y por lo tanto f ◦ (α ⋆ β−1) =

(f ◦ α) ⋆ (f ◦ β−1) = (f ◦ β)−1 es un loop en (X, x0).

Como f∗(π1(y, y0) ⊂ p∗(π1(E, e0)) necesariamente f∗([α⋆β−1]) = p∗([γ]) para

5.5. LEVANTAMIENTO DE FUNCIONES 75

algun γ loop en (E, e0). Por lo tanto, (f ◦ α) ⋆ (f ◦ β)−1 ∼{0,1} p ◦ γ.

Entonces, f ◦ α ∼{0,1} (p ◦ γ) ⋆ (f ◦ β) y como γ es un loop,

(f ◦ α)′e0(1) = ((p ◦ γ) ⋆ (f ◦ β))′e0

(1)

= ((p ◦ γ)′e0⋆ (f ◦ β)′e0

)(1)

= (f ◦ β)′e0(1)

probando que f ′ esta bien definida.

Finalmente, la continuiddad de f ′ se prueba usando la arco-conexidad local de

X de la misma forma como se probo en el lema anterior que p′ es continua.

Corolario 5.5. Sea p : E → Y un recubrimiento. Si X es un espacio

simplemente conexo, entonces toda funcion f : X → Y se levanta a una

funcion f ′ : X → E.

Corolario 5.6. Sean p0 : (E0, e0) → (X, x0) y p1 : (E1, e1) → (X, x0) son

recubrimientos universales de (X, x0). Entonces, existe un unico homeomor-

fismo ϕ : (E0, e0) → (E1, e1) tal que p0 = p1 ◦ ϕ.

En particular, el recubrimiento universal de un espacio (si existe) es unico

modulo homemorfismo.

Demostracion: Basta tomar ϕ = p′0 levantamiento de p0. La inversa de ϕ

es ϕ−1 = p′1 el levantamiento de p1.

(E0, e0) (X, x0)

(E1, e1)

p1

p0

ϕ = p′0

(E1, e1) (X, x0)

(E0, e0)

p0

p1

ϕ−1 = p′1

Ejemplo 5.14. La identidad id : S1 → S1 no admite levantamiento S1 → R.

Tampoco las funciones pn : S1 → S1, si n 6= 0.


5.6 El grupo fundamental de un espacio de

recubrimiento.

Sea X un espacio topologico con recubrimiento q : (B, b0) → (X, x0). Vimos

anteriormente que q∗ : π1(B, b0) → π1(X, x0) es un monomorfismo, por lo

que π1(B, b0) es isomorfo a un subgrupo de π1(X, x0).

Sea ahora b1 ∈ q−1(x0), b1 6= b0 otro punto en la fibra de x0. Entonces

q∗(π1(B, b1)) es tambien un subgrupo de π1(X, x0).

¿Que relacion existe entre los subgrupos q∗(π1(B, b0)) y q∗(π1(B, b1))?

Para responder esta pregunta, consideramos un camino γ en E que vaya de

b0 a b1. Como vimos, γ induce un isomorfismo

γ : π1(B, b0) → π1(B, b1), γ([α]) = [γ−1 ⋆ α ⋆ γ]

y se tiene el siguiente diagrama conmutativo

π1(X, x0) π1(X, x0)

π1(B, b1)π1(B, b0)

q∗

p ◦ γ

q∗

γ

Debe observarse que q ◦γ es un loop en (X, x0) por lo que [q ◦γ] ∈ π1(X, x0).

Del diagrama anterior se tiene que

q ◦ γ(q∗(π1(B, b0))) = [q ◦ γ]−1 ⋆ q∗(π1(B, b0)) ⋆ [q ◦ γ] = q∗(π1(B, b0)) ,

por lo que q∗(π1(B, b0) y q∗(π1(B, b1)) son subgrupos conjugados de π1(X, x0).

Lema 5.9. Todo subgrupo de π1(X, x0) conjugado a q∗(π1(B, b0)) es de la

forma q∗(π1(B, b1)) para algun b1 ∈ q−1(x0).

Demostracion: Todo subgrupo G de π1(X, x0) conjugado a q∗(π1(B, b0)) es

de la forma G = [α]−1 ⋆ q∗(π1(B, b0)) ⋆ [α] para algun α loop en (X, x0). Sea

γ el levantamiento de α que parte en e0 y sea b1 = γ(1). Por lo anterior es

claro que G = q∗(π1(B, b1)).

5.7. HOMOMORFISMOS Y AUTOMORFISMOS DE RECUBRIMIENTO.77

Corolario 5.7. Sea q : B → X un recubrimiento. Sea X0 ∈ X. Entonces,

los subgruops q∗(π1(B, b)), b ∈ q−1(x0), forman exactamente una clase de

subgrupos conjugados de π1(X, x0).

Lema 5.10. Sea q : (B, b) → (X, x) un recubrimiento. Entonces

q∗(π1(B, b)) = {[α] ∈ π1(X, x) | α′b(1) = b} .

5.7 Homomorfismos y automorfismos de re-

cubrimiento.

Sea p1 : E1 → X y p2 : E2 → X dos recubrimientos de X. Un homomorfismo

de recubrimiento, es una funcion conitnua ϕ : E1 → E2 de modo que p1 =

p2 ◦ ϕ.

E1 E2

X

ϕ

p1 p2

La compuesta de dos homomorfismo de recubrimiento es tmabien un ho-

momorfismo de recubrimiento, y la identidad E → E es homomorfismo de

recubrimiento.

Un homomorfismo de recubrimiento ϕ : E1 → E2 es un isomorfismo de

recubrimiento si ϕ es un homeomorfismo y su inversa ϕ−1 es tmabien un

homomorfismo de recubrimiento.

Un automorfismo de recubrimiento es un isomorfismo de recubrimiento de un

recubrimiento p : E → X en si mismo. Un automorfismo de recubrimiento

suele llamarse tambien transformacion de recubrimiento.

El conjunto de automorfismo de recubrimiento de un recubrimiento p : E →

X es cerrado por composicion de funciones, por lo tanto forman un grupo.

Denotamos por A(E, p) a este grupo de transformaciones de recubrimiento.

Veamos algunas propiedades de los homomorfismo de recubrimiento.


Lema 5.11. Sean p1 : E1 → X, p2 : E2 → X dos recubrimientos de X.

1. Sean ϕ1, ϕ2 : E1 → E2 dos homomorfismo de recubrmiento. Si existe

e0 ∈ E1 tal que ϕ1(e0) = ϕ2(e0) entonces ϕ1(e) = ϕ2(e) para todo

e ∈ E1.

2. Sea e1 ∈ E1 y e2 ∈ E2 tales que p1(e1) = p2(e2). Entonces, existe un

homomorfismo de recubrimiento ϕ : E1 → E2 con ϕ(e1) = e2 si y solo

si (p1)∗(π1(E1, e1)) ⊂ (p2)∗(π1(E2, e2).

3. Sea e1 ∈ E1 y e2 ∈ E2 tales que p1(e1) = p2(e2) . Entonces, existe un

isomorfismo de reucbrimiento ϕ : E1 → E2 con ϕ(e1) = e2 si y solo si

(p1)∗(π1(E1, e1)) = (p2)∗(π1(E2, e2).

Lema 5.12. Sea p : E → X un recubrimiento.

1. El grupo A(E, p) = actua sin puntos fijos en E.

2. Sean e1, e2 ∈ p−1(x0). Entonces, existe un automorfismo de recubrimiento

ϕ : E → E con ϕ(e1) = e2 si y solo si p∗(π1(E, e1)) = p∗(π1(E2, e2)).

3. Si p : E → X es recubrimiento universal, dados e1, e2 ∈ p−1(x0) cua-

lesquiera, existe un unico automorfismo de recubrimiento A de modo que

A(e1) = e2.

Teorema 5.1. Sean p1 : E1 → X, p2 : E2 → X dos recubrimientos de X.

Entonces

1. Los dos recubrmientos son isomorfos si y solo si para cualesquiera que sean

e1 ∈ E1 y e2 ∈ E2 con p1(e1) = p2(e2) = x0 los subgrupos (p1)∗(π1(E1, e1))

y (p2) ∗ (π1(E2, e2)) estan en la misma clase de conjugacion en π1(X, x0).

2. Todo homomorfismo de recubrimiento ϕ : E1 → E2 es recubrimiento de

e2 por E1.

Demostracion:

5.7. HOMOMORFISMOS Y AUTOMORFISMOS DE RECUBRIMIENTO.79

1. Sea ϕ : E1 → E2 un isomorfismode recubriminto y sean e1 → E1 y

e2 ∈ E2 con p1(e1) = p2(e2)) = x0. Sea e′2 = ϕ(e1). Entonces, por Lema

2, se tiene que p∗(π1(E, e1) = p∗(π1(E2, e2)) y sabemos que p∗(π1(E2, e′2))

y p∗(π1(E2, e2)) son conjugados en π1(X, x0).

Reciprocamente, supongamos que (p1)∗(π1(E1, e1)) y (p2)∗(π1(E2, e2)) estan

en la misma clase de conjugacion en π1(X,x 0). Sabemos entonces que ex-

iste e′2 ∈ p−1(x0) tal que (p2)∗(π1(E2, e′2)) = (p1)∗(π1(E1, e1)).

2. Probemos primero que ϕ : E1 → E2 es epiyectiva. Sea e′2 ∈ E2 y probemos

que existe e′1 ∈ E1 tal que ϕ(e′1) = e′2.

Tomemos punto base e1 ∈ E1 y e2 = ϕ(e1) ∈ E2 con p1(e1) = p2(e2) = x0.

Sea β camino de E2 desde e2 a e′2. Sea β = p2 ◦ β la proyeccinon de β que

comienza en e1. Sea e′1 = β′

e1(1). Afirmamos que ϕ(e′1) = e′2. Vemos que

ϕ ◦ β′

e1y β dos caminos que comienzan en e2 y se proyectan por p2 sobre

la curva β. Por unicidad de estos caminos, ellos son el mismo camino.

Luego, ϕ(e′1) = (ϕ ◦ β′

e1)(1) = β(1) = e′1.

Sea ahora e2 ∈ E2 y probemos que tiene una vecindad de recubrimiento

para ϕ : E1 → E2. Sea x = p2(e2). Sea U una vecindad arco-conexa de x

que es vecindad de recubrimiento para ambos recubrimientos. Sea W la

hoja de p−12 (U) que contiene a e2. Se puede probar que W es tal vecindad

de recubrimiento.

Teorema 5.2. Sea p : E → X recubrimiento universal. Entonces, A(e, p) ∼=

π1(X, x0).

Demostracion: Sea e0 ∈ E tal que p(e0) = x0. Para cada A ∈ A(e, p) sea

αA un camino en E desde e0 hasta A(e0). Entonces p ◦ αA es un loop en

(X, x0). Definamos

Φ : A(E, p) → π1(X, x0) por Φ(A) = [p ◦ αA] .

Entonces, Phi esta bien definida, es homomorfismo y tiene inversa definida

por

[α] 7→ el unico automorfismo A ∈ A(E, p) tal que A(e0) = α′e0

(1) .


Teorema 5.3. Sea p : (E, e) → (X, x) un recubrimiento de modo que

p∗(π1(E, e)) es un subgrupo normal de π1(X, x0). Entonces,

A(E, p) ∼= π1(X, x0)/p∗(π1(E, e))

y el ındice [π1(X, x0) : p∗(π1(E, e))] coincide con el cardinal de la fibra p−1(x).

Si p∗(π1(E, e)) no es un grupo normal de π1(X, x) entonces A(e, p) ∼=

N(p∗(π1(E, e)))/p∗(π1(e, e)) dondeN(p∗(π1(E, e)) denota el normalizador del

subgrupo p∗(π1(E, e)).

Recordemos que el normalizador N(H) de un subgrupo H de un grupo G es

el mayor subgrupo de G del cual H es un subgrupo normal.

5.8 Accion de π1(X, x) en la fibra p−1(x).

Sea p : E → X un recubrimiento. Vimos anteriormente que dado e ∈ p−1(x)

la aplicacion

π1(X, x) → p−1(x) dada por [α] 7→ [α′e(1)

es epiyectiva. Ahora veremos mas en detalle esta aplicacion.

Para [α] ∈ π1(X, x) definimos ρ[α] : p−1(x) → p−1(x) por ρ[α](e) = α′e(1).

Es facil probar que esto define una accion a la derecha de π1(X, x) sobre la

fibra p−1(x). Es decir,

ρ[α]⋆[β] = ρ[β] ◦ ρ[α] y ρ[1x] = id .

Lema 5.13. Sea p : E → X un recubrimiento. Sea A ∈ A(E, p) una

transformacion de recubrimiento. Entonces, para cada [α] ∈ π1(X, x) se

tiene

A(ρ[α](e)) = ρ[α](A(e)) para todo eınp−1(x) .

5.9. EXISTENCIA DE RECUBRIMIENTOS. 81

Demostracion: Por un lado, A(ρ[α](e)) = A(α′e(1)) y por otro ρ[α](A(e)) =

α′A(e)(1). Probemos que A(α′

e(s)) = α′A(e)(s) para todo s ∈ I. De hecho, estos

dos caminos comienzan en el mismo punto A(α′e(0)) = A(e)) = α′

A(e)(0), y se

proyectan sobre el mismo camino p(A(α′e(s))) = p(α′

e(s)) = p(α′A(e)(s). Por

unicidad de levantamiento de caminos, ellos coinciden.

5.9 Existencia de recubrimientos.

Teorema 5.4. Sea X un espacio para el cual existe un recubrimiento uni-

versal. Entonces, para toda clase de subgrupos conjugados de π1(X, x) existe

un recubrimiento q : (B, b) → (X, x) de modo que q∗(π1(B, b)) pertence a esa

clase de conjugacion.

Demostracion: Sea p : E → X recubrimiento universal de X y sea e ∈ E

tal que p(e) = x.

Teorema 5.5. Todo espacioX arco-conexo, localmente arco-conexo y semilo-

calmente simplemente conexo tiene recubrimiento universal.

Demostracion: Daremos aquı una idea de la demostracion. Supongamos

por el momento que p : (E, e0) → (X, x0) es un recubrimiento universal.

Para x ∈ X un punto cualquiera consideremos el conjunto

Λx = {α : I → X | α(0) = x0, α(1) = x}

y en Λx consideremos la relacion de equivalencia α ≈ β ⇔ α ∼{0,1} β.

Sabemos que hay una biyeccion entre p−1(x) y Λx/ ≈. De modo tambien

hay una biyeccion entre E y Λ =⋃

x∈X(Λx/ ≈).

Supongamos ahora que X es un espacio arco-conexo., localmente arco-conexo

y semilocalmente simplemente conexo y probemos que tiene un recubrimiento

universal. Visto lo anterior resulta natural elegir x0 ∈ X cualquiera y definir

E = {α : [0, 1] → X | α(0) = x0}/ ≈


donde α ≈ β ⇔ α(1) = β(1) y α{0,1}β. Denotamos por α a la clase de

equivalencia de α. Definimos

p : E → X por p(α) = α(1) .

Trivialmente vemos que p esta bien definida.

Definamos ahora una topologıa en E. Llamamos sub-conjunto basico de X

a todo abierto arco-conexo U ⊂ X tal que i∗ : π1(U) → π1(X) es trivial.

Para cada sub-conjunto basico U en X y para cada α ∈ E con α(1) ∈ U

definamos

(α, U) = {β ∈ E | β = α ⋆ γ con γ(0) = α(1) y γ camino en U} .

Afirmamos:

1. {(α, U) | U sub-conjunto basico α ∈ E con α(1) ∈ U} es base de una

topologia en E,

2. Con esta topologıa E es arco-conexo,

3. p : E → X es un recubrimiento. Observese que:

(i) Para cada x ∈ X se tiene que p−1(x) = {α ∈ E | α(1) = x}.

(ii) Para cada x ∈ U con U basico, se tiene que p−1(U) =⋃

α∈p−1(x)(α, U).

(iii) Para cada (α, U) la restriccion p|(α,U) : (α, U) → U es un homeomor-

fismo.

4. E es simplemente conexo. Observese que:

(i) α = β ⇒ α ∼{0,1} β.

(ii) Sea α un camino en X con α(0) = x0. Para cada s ∈ [0, 1] definamos

el camino αs(t) = α(ts). Entonces, el levantamiento de α que parte

del punto 1x0es el camino αs. Es decir,

α′1x0

(s) = αs ,

5.10. EJERCICIOS. 83

(iii) Sabemos que p∗ : π1(E, 1x0) → π1(X, x0) es un monomorfismo. Para

probar queE es simplemente conexo basta probar que p∗(π1(E, 1x0)) =

{[1x0]}.

(iv)

p∗(π1(E, 1x0)) = {[α] ∈ π1(X, x0) | ρ[α](1x0

) = 1x0}

= {[α] ∈ π1(X, x0) | α′1x0

(1) = 1x0}

Para probar que E es simplemente conexo basta probar

ρ[α](1x0) = 1x0

⇒ α ∼{0,1} 1x0.

5.10 Ejercicios.

§.1. Recubrimientos.

1.1. La aplicacion p × ln : R × R+ → S1 × R, (t, x) 7→ (e2πit, ln(x)) es un

recubrimiento.

1.2. Demuestre que Sn → Pn(R) = Sn/∼ es un recubrimiento.

1.3. Sea p : (E, e0) → (X, x0) un recubrimiento. Suponga que f : (Y, y0) →

(X, x0) se levanta a f ′ : (Y, y0) → (E, e0). Pruebe que si Y es conexo

entonces f ′ es unica.

(Indicacion: Modulo definiciones, este es un ejercicio de conexidad.)

1.4. Considere el recubrimiento q : R × R+ → R2 \ {0} dado por q(x, t) =

t(cos 2πx, sin 2πx). Levante los caminos α(s) = (2 − s, 0) y β(s) =

((1 + s) cos 2πs, (1 + s) sin 2πs). Haga un esquema de estos caminos y

sus levantamientos.

1.5. Levante a S2 el camino α : [0, 1] → P2(R) dada por α(t) = [(cosπt, sin πt, 0)].

Represente P2(R) = D2/∼ y levante el camino β(t) = [(2t.1, 0)]. Pruebe

que α y β son caminos cerrados, pero no ası sus levantamientos.


1.6. Sea p : R2 → S1 × S1, p(t, s) = (e2πit, e2πis) la proyeccion canonica. Sea

ϕ : R2 → R3 definida por

ϕ(t, s) = (cos 2πt(cos 2πt+ 2), sin 2πt(cos 2πs+ 2), sin 2πs) .

Pruebe

(a) Existe ϕ : S1 × S1 → R3 tal que ϕ ◦ p = ϕ.

(b) ϕ es una incrsutacion.

(c) ϕ(S1 × S1) ⊂ R3 es simetrico respecto al origen.

(d) Dibuje ϕ(S1 × S1) ⊂ R3.

Sea T = ϕ(S1 × S1) ⊂ R3. Sabemos que T es homeomorfo a

T 2 = S1 × S1. En T defina la relacion de equivalencia (x, y, z) ∼

(x′, y′, z′) ⇔ (x′, y′, z′) = ±(x, y, z). Sea q : T → T/∼ la proyeccion

canonica.

Pruebe

(e) q es un 2 recubrimiento.

(f) T/∼ es homeomorfo a la Botella de Klein K. (De modo que T 2

2-recubre a K). (Desde ahora K = T/∼).

(g) Encuentre un recubrimiento universal para K.

(h) q no se levanta al recubrimiento universal de K.

(i) Calcule q∗. Verifique que q∗(π1(T2)) ⊳ π1(K) es abeliano.

Sea a0 : S1 × S1 → S1 × S1 definida por a0(z, w) = (−z, w).

(j) Encuentre una funcion A : R2 → R2 que recubre a a0.

(k) Proyecte via ϕ la funcion a0 a una funcion a : T → T .

(l) Proyecte via q la funcion a a una funcion a : K → K.

(m) Calcule (a0)∗, a∗ y a∗.

(n) Encuentre un 2-recubrimiento r : E → K de modo que r∗(π1(E))

no sea abeliano.


1.7. Sea (X, d) un espacio metrico localmente arco-conexo. Sea x0 ∈ X

un punto. Sea E0 = {α : [0, 1] → X continua | α(0) = x0} con la

metrica d0(α, β) = sup{d(α(t), β(t) | t ∈ [0, 1]}. Pruebe que la funcion

ϕ : E0 → X, ϕ(α) = α(1) es continua y abierta.

1.8. Sea E0 = {α : [0, 1] → S1 | α(0) = ~1} con la metrica d0(α, β) =

sup{|α(t)−β(t)| | t ∈ [0, 1]}. Considere la realcion de equivalencia ∼{0,1}

en E0. Pruebe que el espacio cociente E = E0/∼{0,1}es homemorfo a R.

(Indicacion: Defina ϕ : E → R, ϕ({α}) = α(1).)

1.9. Sean U, V dos abiertos en Rn tales que U ⊂ V . Pruebe que si U 6= V

entonces ∂U ∩ V 6= ∅.

1.10. Sean α(t) = (e2πit,~1), β(t) = (~1, e2πit) y γ(t) = (e2πit, e2πit) tres loops en

el toro T 2 = S1 × S1. Demuestre que α ⋆ β ∼{0,1} γ.

1.11. Sea p : R → S1 la proyeccion canonica p(t) = e2πit. Sea q : S1 → RP1 la

proyeccion canonica q(z) = {z} = {z,−z}. Sea f : R → RP1 dada por

f(t) = {eπit}. Pruebe que existe f : S1 → RP1 tal que f ◦ p = f . Ver

diagrama de abajo a la izquierda. Calcule f ∗ : π1(S1,~1) → π1(RP1, {~1}).

¿Se levanta F a la proyeccion canonica q : S1 → RP1? Ver diagrama a

la derecha.

1.12. Sea p : R × R → S1 × S1 la proyeccion canonica p(s, t) = (e2πit, e2πis).

Sea q : S2 → RP2 la proyeccion canonica q(z) = {z} = {z,−z}. Sea

f : R × R → RP2 dada por f(t, s) = {(cos 2πt, sin 2πt, e2πis)}. Pruebe

que existe F : S1 × S1 → RP2 tal qu f ◦ p = f . Ver diagrama de abajo

a la izquierda. Calcule f∗ : π1(S×S1, (~1,~1)) → π1(RP2, {(1, 0, 0)}). ¿Se

levanta f a la proyeccion canonica q : S2 → RP2? Ver diagrama a la

derecha.

1.13. Sea p : E → X un recubrimiento. Sean e0, e1 ∈ p−1(x0) dos puntos en la

fibra de x0 ∈ X. Pruebe quep∗(π1(E, e0)) y p∗(π1(E, e1)) son subgrupos

conjugados de π1(X, x0). Es decirm existe un loop γ en (X, x0) tal que

[γ]−1 ⋆ p∗(π1(E, e0)) ⋆ [γ] = p∗(π1(E, e1)).


1.14. Sea T 2 = S1 × S1 el toro. Sabemos que π1(T2, (~1,~1)) = 〈α, β | αβ =

βα〉 ∼= Z × Z, donde α(t) = (e2πit,~1) y β(1) = (~1, e2πit).

(a) Encuentre un recubrimiento p : (E, e0) → (T 2, (~1,~1)) tal que p∗(π1(E, e0)) =

〈αβ〉.

(b) Encuentre un recubrimiento p : (F, f0) → (T 2, (~1,~1)) tal que p∗(π1(F, f0)) =

〈α2β−1〉.

(c) Encuentre un recubrimiento p : (G, g0) → (T 2, (~1,~1)) tal que p∗(π1(G, g0)) =

〈α2, β | αβ = βα〉.

1.15. Sea p : E → X un recubrimiento, y sea T el grupo de transformaciones

de recubrimiento. Pruebe que T actua de manera propiamente discon-

tinua sobre E. Es decir, para todo e ∈ E, existe una vecindad abierta

V de e tal que T (V ) ∩ T ′(V ) = ∅ para todos T, T ′ ∈ T , T 6= T ′.

1.16. Sea E un espacio topologico y sea G un grupo que actua de manera

propiamente discontinua sobre E. Definimos el espacio cociente E/G

por la relacion de equivalencia e ∼ e′ ⇔ e′ = g(e) para algun g ∈ G. El

espacio E/G suele llamarse el espacio de orbitas de la accion de G en

E.

(a) Pruebe que la proyeccion canonica p : E → E/G es un recubrim-

iento.

(b) Pruebe que si E es Hausdorff simplemente conexo entonces π1(E/G, [e0]) ∼=

G.

1.17. Considere un espacio S1 ∨ S1 ∨ · · · ∨ S1, formado con n copias de S1.

Pruebe que sin importar en que puntos se pegan los cırculos, resulta un

espacio homotopicamente equivalente a una flor de n petalos.

1.18. Pruebe que Sn es simplemente conexo si n ≥ 2.

1.19. Pruebe que Sn ∨ Sm es simplemente conexo si n,m ≥ 2.


1.20. Sea C =⋃∞

n=1 Cn ⊂ R3, donde

Cn = {(x, y, z) ∈ R3 | (x− 1/n)2 + y2 = (1/n)2; z = 0} .

Sea q = (0, 0, 1) ∈ R3 y definimos el cono X+ = {tp + (1 − t)q | p ∈

C, t ∈ [0, 1]}. Sea X− = −X+ la reflexion en torno al origen. Sea

X = X+ ∪ X−. Prube que X+ y X− son simplementes conexos y que

X = X+ ∨X− no es simplemente conexo.

1.21. Sea X un espacio arco-conexo. Pruebe que f : X → S1 puede ser

levantada a una funcion f : X → R si y solo si f∗ es trivial.

1.22. Suponga que p : (E, e0) → (X, x0) y p′ : (E ′, e′0) → (X, x0) son recubrim-

ientos simplemente conexos. Entonces, existe un unico homeomorfismo

φ : (E ′, e′0) → (E, e0) tal que p ◦ φ = p′.

1.23. El cırculo S1 ⊂ C es un grupo bajo la multiplicacion de numeros com-

plejos.

(i) Sean α, β dos loops en (S1, 1). Demuestre que γ(s) = α(s)β(s) es

tambien un loop en (S1, 1).

(ii) Demuestre que si β es un loop en (S1, 1) tal que β ∼{0,1} β entonces

αβ ∼{0,1} αβ.

(iii) Demuestre que el producto [α][β] = [αβ] es un producto bien

definido en π1(S1, 1).

(iv) Sea α un loop en (S1, 1). Demuestre que Fα : π1(S1, 1) → π1(S

1, 1)

definida por Fα([β]) = [αβ] es una funcion bien definida.

(v) Demuestre que si α ∼{0,1} α entonces Fα = Fα.

(vi) Demuestre que Fα es un homomorfismo y encuentre Fα([α1]), donde

α1 es el generador de π1(S1, 1).

1.24. Repita el ejercicio anterior para P1(R). Es decir,

(i) El producto [α][β] = [αβ] es un producto bien definido en π1(P1(R)).

Recuerde que β = p ◦ β para un camino β en S1 tal que β(0) = 1.

Observe que αβ = αβ. en π1(S1, 1).


(ii) Dado un loop α en (S1, 1) entonces la funcion Fα : π1(P1(R)) →

π1(P1(R)) definida por F α([β]) = [αβ] es una funcion bien definida.

(iii) Demuestre que si α ∼{0,1} α entonces F α = F α.

(iv) Demuestre que F α es un homomorfismo y encuentre F α([β1]),

donde β1 es el generador de π1(P1(R), 1).

1.25. Sea A =

(

a b

c d

)

una matriz con coeficientes enteros tal que det(A) =

ad− bc 6= 0.

(i) Demuestre que A : R2 → R2 bien define la funcion A : T 2 → T 2,

A({(x, y)} = {A(x, y)}.

(Indicacion: Use la realizacion que T 2 = R2/Z2.)

(ii) Sea n = | det(A)| ∈ Z+. Pruebe que A es un n-recubrimiento.

En particular, A es un homeomorfismo si y solo si det(A) = ±1

si y solo si A es invertible en GL(2,Z),el grupo de matrices con

coeficientes enteros invertible.

1.26. Sea A =

(

2 1

1 1

)

. Encuentre A∗ : π1(T2) → π1(T

2).

1.27. Sea F : R → R continua para la cual existe k ∈ Z tal que F (x+1) = x+k

∀ x ∈ R. Pruebe que F se proyecta a una funcion continua f : R/Z →

R/Z. Encuentre f∗ : π1(R/Z, 0) → π1(R/Z, 0).

rodrigo bamon - matemática · cap´ıtulo 1 topolog´ıa general a no ser que se diga lo...

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