riego
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Riego por goteo, desde del punto de vista de la
Física
Miguel Bustamante S. ∗1
1Facultad de Ingeniería y Ciencias , LATEX Universidad Adolfo Ibañez
March 2, 2015
Abstract
En este artículo se presenta una visión simpli�cadadel riego porgoteo, y de los principios involucrados. A partir de la ecuación decontinuidad, y la ecuación de Bernoulli se deduce una relación entre eldiámetro y la distancia de la planta (estación).
Introducción
El riego por goteo es una aplicación en la agricultura de hoy [1]. El diseño dela instalación está gobernado por las leyes de los �uidos incompresibles, laecuación de conservación [3] como la conservación de la energía (Bernoulli,[2]). Por medio de de las ecuaciones básicas se puede deducir la relaciónentre el diámetro de las tuberías como las condiciones necesarias para lainstalación.
Figure 1: Representación de las plantas y el ángulo de elevación
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Vamos a suponer que cada planta tiene un �ujo I, siendo la misma paratodas. Por la conservación del �ujo de cada planta,
Aivi = I +Ai+1vi+1 (1)
denominamos que el �ujo inicial es I0 = A0v0, donde se puede dedcuir de laecuación 1
Ii = Aivi = I0 − iI (2)
En el límite de la enésima N planta el �ujo es I0 = (N−1)I. Suponiendouna sección circular, el área
Ai = π
(di2
)donde di es el diámetro del tubo.
Asumiendo que la velocidad es lenta, de modo que el efecto viscosidad esdespreciable. Aplicando la ecuación de Bernoulli
Pi +1
2ρv2i + ρghi = K (3)
donde hi es la altura respecto de la horizontal de la planta, ρ es la densidaddel agua y Pi es la presión en la estación i.
Si la presión es la misma en todas las estaciones, es decir P = Pi, laecuación 3 se transfroma
1
2ρv2i + ρghi = K ′ (4)
De la ecuación 2, podemos depejar
vi =I0Ai− i I
Ai(5)
y reemplazando en la ecuación 4 obteniendo
di =
√√√√ 2
π
√ρ
2
1
(K ′ −Ditan(αi))
√I0 − iI (6)
Caso 1
Asumamos que el ángulo de inclinación es 0o, es decir αi = 0 para todo losi. En este caso, la expresión 6, se transforma en la expersión
Di =
√D2
0 − 4I
vπi (7)
2
0
2
4
6
8
10
0 10 20 30 40 50
Planta
Diámetro en función de la planta, con distintas razones
razón = 1razón = 0.5razón = 2
Figure 2: Grá�co de diámetro en función de la planta
que es la expresión del diámetro según la estación i. De�namoz como razón= I
v . Vamos a suponer que el diámetro inicial es D0 = 10, cuya grá�ca seobserva en la �gura 2.
Cuando la razón es mayor, (que es mayor(cantidad de agua por plataa una misma velocidad), baja la cantidad de plantas que puede abarcar, locual era de esperarse, yabque el caudal inicial no alcanza para todos..
Si mantenemos la razón constante, pero variamos el diámetro inicial,vemos que la razón = I
v0(�gura 3) es crucial para saber el total de plantas
que puede abarcar.Todo esto asumiendo,que la presión es constante y que el terreno es hor-
izontal.
caso 2
Asumamos ahora que el ángulo αi = α, constante y que la distancia entre lasplantas también es constante Di = D. La altura desde el nivel cero, de�nidoviene dada por la expresión hi = iDtan(α) (el ángulo α puede ser negativo).La expresión 6, con estas jueva restriciones tiene la forma
di =
√√√√ 2
π
√ρ
2
1
(K ′ − iDtan(α))√I0 − iI (8)
3
010
2030
4050 2 4 6 8 10 12 14
16 1820
05101520
Diámetro en función de la planta, con distintas razones y diámetro inicial
razón =1razón =2
razón =0.2
Plantas Diametro inicial
Figure 3: Diámtero en función del inicial y las estaciones
Pero acá K ′ = K − Pi .En este caso, vamos a consuiderar que el �uido semueve a una velocidad v muy pequeño, de modo que sea despreciable losefectos de perdida de energía.
Pi + gρhi +1
3ρv2i = P0 +
1
2ρv20 = K (9)
En la ecuación 9, la estación 0 es el punto de entreda y de referencia dealtura (h0 = 0). Como suponemos que la velocidad vi es pequeña, podemosaproximar la ecuación a un equilibrio hidroestático, es decir
Pi + ρghi ≈ P0 (10)
En esta aproximación, obtenemos que vi ' v0, constante, de cual deducimosnuevamente la ecuación 7
Discusión
El resultado obtenido, 7, se deduce sobre la siguientes supuesto:
• La velocidad del �uido es pequeña, cercana cero
• se conversa la energía, en un movimiento laminar sin fricción y/o vis-cosidad
4
• La ecuación de continuidad de cumple, cuando se incluye el �ujo I porcada planta.
En el caso 1, al suponer que que las plantas están en una super�ciehorizontal, la presión es la misma para todas, como la velocidad. En el caso2, en una super�cie inclinada, la presión cambia de acuerdo a la altura ( oprofundidad, dependiendo de las referencia) de la planta i. Esto implica quecada valvula debe estar regulado de acuerdo a la presión correspondiente Pi,ya que debemos mantener el �ujo I en cada planta. Esta simpli�cación hacecomplicadola instalación cuando las plantas están en terrenos con pendientes.
References
[1] Riego por goteo, November 2014. 00000 Page Version ID: 78157219.
[2] Ecuación de continuidad, January 2015. 00000 Page Version ID:79711776.
[3] Principio de Bernoulli, February 2015. 00000 Page Version ID: 80126039.
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