Matemáticas y Revolución industrial

1. ¿Qué matemáticos contribuyeron a asentar las bases de las matemáticas actuales?

2. ¿Qué ramas de las matemáticas se desarrollaron a partir del s. XVIII?. ¿En qué se basa cada una de ellas?

Leibniz (1646-1716): asentó las bases del Análisis matemático estudio de las funciones). En 1714 fue Leibniz quien usó la palabra “función” como cantidades que dependen de una variable. Fue , junto con Newton, el precursor del Cálculo tal y como se entiende en la matemática actual: incluye el estudio de los límites, derivadas, integrales y series infinitas (Cálculo Infinitesimal). Desarrolló el Cálculo diferencial (derivación de funciones y aplicaciones) y el Cálculo Integral (proceso inverso). Fue el gran inventor de símbolos matemáticos, como el de la integral y las notaciones dx, dy. El término “coordenadas también proviene de Leibniz.

Hermanos Bernoulli (Jacobo y Jean): discípulos de Leibniz. Fue Jacobo quien propuso que se llamara Cálculo Integral al inverso de cálculo diferencial. JeanBernoulli se adjudica la regla de L’Hopital (fórmula muy utilizada en el cálculo infinitesimal), en principio deducida por el Marqués de L’Hopital, aristócrata al que Jean le daba clases de matemáticas.

Euler (1707-1783): Ha sido el matemático más prolífico de la historia. Hizo importantes contribuciones en Geometría y Análisis.

Carl Friedrich Gauss (1777-1855). Llamado el príncipe de las matemáticas debido a sus grandes aportaciones al mundo de las Matemáticas, tanto puras – Teoría de Números, Análisis, Geometría – como aplicadas – Astronomía, Geodesia, Teoría de errores – y en Física –Magnetismo, Óptica, Teoría del potencial...

Contribuyó en campos como la Geometría diferencial y el Análisis ( números reales, los complejos y las funciones . Estudia conceptos como la continuidad, la integración y la diferenciabilidad de diversas formas.)

La eliminación de Gauss-Jordan, llamada así debido a C. F. Gauss y Wilhelm Jordan, es un algoritmo del álgebra lineal para determinar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales. Un sistema de ecuaciones se resuelve por el método de Gauss cuando se obtienen sus soluciones mediante la reducción del sistema dado a otro equivalente en el que cada ecuación tiene una incógnita menos que la anterior.

Una fábrica textil produce diariamente "x" toneladas de un tejido A y (40- 5x)/(10-x)

toneladas de un tejido B. La cantidad máxima de tejido A que se puede producir es 8

toneladas. El precio de venta del producto A es 100 pesetas por tonelada y el del producto B es 250 pesetas portonelada. Construye la

función de la variable "x" que proporciona los ingresos diarios, suponiendo que se vende

toda la producción. Calcula cuántas toneladas de cada producto se tienen que

producir diariamente para obtener el máximo de ingresos.

Problema-1

Resolución de los problemas

Solución Problema-1

La función que da los ingresos diarios es:

Para calcular el máximo beneficio hay que buscar el máximo de la función (derivando e igualando a cero para obtener los posibles extremos relativos):

Posibles máximos

Por tanto, el máximo es x = 5, ya que a su izquierda la función crece y a su derecha decrece

Para obtener el máximo beneficio se han de producir 5 toneladas del tejido A y 3 toneladas del tejido B

En los suburbios de Londres se declara una epidemia como consecuencia de la falta de higiene debido al hacinamiento en las viviendas. Los médicos preveen que la propagación de esta

epidemia seguirá la función f(x) = - 2 x2 + 48 x + 162, en que x representa el número de semanas que han transcurrido desde el momento de la declaración de la epidemia, y f(x) indica el número

de personas infectadas.

¿Cuántas personas hay afectadas en el momento de declararse la

epidemia?. ¿Cuántas semanas durará la epidemia hasta el

momento en que ya no quede ninguna persona afectada?.

¿Cuál será el número máximo de personas afectadas, y en qué semana se producirá?.Fuente: http://www.escuelapedia.com/revolucion-industrial-resumen/

Problema-2

Solución Problema-2

El momento de declararse la epidemia es cuando x = 0:

No habrá personas infectadas cuando la función se anule:

Por tanto, en el momento de declarase la epidemia había 162 personas infectadas. La epidemia durará 27 semanas

Para hallar el máximo, derivamos la función y la igualamos a cero:

Es un máximo, ya que:Además:

El número máximo de personas afectadas será de 450 y se dará en la semana número 12

Según un estudio sobre la evolución de una población rural determinada una vez ha empezado la migración hacia la ciudad, se puede establecer

el número de individuos durante los próximos años mediante la función:

en que "t" es el número de años transcurridos. Calcula la población inicial y la que había al cabo de 9 años.

Determina los períodos en los que la población aumentó y

los períodos en los que disminuyó. Dí si, según esta

previsión, la población tenderá a estabilizarse en

algún valor. Fuente: http://www.educando.edu.do/articulos/docente/la-revolucin-francesa-y-la-democracia/

Problema-3

Solución Problema-3

La población actual es de f(0) = 500 individuos, y la prevista al cabo de 9 años es de f(9) = 95 individuos

La derivada de la función es:

Que es negativa para todo valor de “t”, por tanto, la función es decreciente y la población disminuye continuamente.

Resolviendo el límite cuando “t” tiende a infinito, se observa que la población tiende a estabilizarse en 50 individuos:

Sabiendo que invirtió en la fábrica C lo mismo que en las otras dos juntas, calcular la cantidad de

dinero que invirtió en acciones de cada fábrica.

Una persona invirtió 12000 pesetas en acciones de tres fábricas siderúrgicas, que denominaremos A, B y C. Las acciones de la fábrica A aumentaron de valor en un 25 %, las de la fábrica B aumentaron en un 10 % y, en cambio, las de la fábrica C perdieron un 15 % de su valor. Si vendiera todas las acciones, no obtendría ni pérdidas ni beneficios.

Fuente: http://www.barrameda.com.ar/dp/index2.php?option=com_content&task=view&id=2540&pop=1&page=0

Problema-4

Solución Problema-4

Denominamos x, y, z las cantidades invertidas en las respectivas acciones A, B, CLas condiciones son:

x + y + z = 12000 x + y + z = 120000,25 x + 0,1 y -0,15 z = 0 5 x + 2 y – 3 z = 0x + y – z = 0 x + y – z = 0

Resolviendo el sistema por el método de Gauss:

x + y + z = 12000-3 y - 8 z = -60000- 2 z = - 12000

De donde resulta que z = 6000, y = 4000, x = 2000

Por tanto, invirtió 2000 pesetas en la fábrica A, 4000 pesetas en la fábrica B y 6000 pesetas en la C

Transformaciones realizadas: 2ªF - 5 1ªF , 3ªF -1ªF

Recopilación ejercicios de Selectividad

• Septiembre 2001, Serie 4, Problema 1• Junio 2001, Serie 2, problema 1• Junio 2002, Serie 3, problemas 2 y 5• Junio 2003, Serie 2, problema 5• Junio 2004, Serie 3, problema 5• Junio 2005, Serie 4, problema 4 y 6• Septiembre 2006, Serie 4, problema 1• Junio 2006, Serie 1, problema 5; Serie 3, problema 5

http://www.selectivitat.cat/

Fuentes

Inventos de la Revolución Industrial: http://www.estudiapuntes.com/inventos-de-la-revolucion-industrial.html

La Revolución Indutrial:http://historiatecnologiacuartoeso.wikispaces.com/008+PRIMERA+REVOLUCI%C3%93N+INDUSTRIAL

Las Matemáticas durante la Revolución Francesa. David del Monte Estévez:http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/barcelo/historia/Matematicas%20y%20la%20Revolucion%20Francesa.pdf

Matemáticas, Ciencia y Tecnología: una relación profunda y duradera. Juan Luis Vázquez Departamento de Matemáticas Universidad Autónoma de Madrid:

http://www.mat.ucm.es/~rrdelrio/documentos/jlvazquez.pdf

Las matemáticas en el siglo XVIII, Volumen 24. Escrito por Mariano Hormigón.

http://books.google.es/books?id=8XWbCAKwANcC&pg=PA8&lpg=PA8&dq=revoluci%C3%B3n+industrial+matematicas&source=bl&ots=-6rYuxQJmT&sig=-srrKBNGLa9n1CpIrfQexKLPHsE&hl=es&sa=X&ei=8bmnUa_GIeim4ASMiYHYAQ&ved=0CEkQ6AEwBDgK#v=onepage&q=revoluci%C3%B3n%20industrial%20matematicas&f=false

Elementos de cálculo diferencial: historia y ejercicios resueltos . Escrito por Ángel Ruíz Zúñiga, Hugo Barrantes Campos

http://books.google.es/books?id=ptBhjsVvwioC&pg=PA160&lpg=PA160&dq=revoluci%C3%B3n+industrial+matematicas&source=bl&ots=AQsMA1wGxO&sig=JucsSydxK84_bIuatCV35LTQ_Gc&hl=es&sa=X&ei=8bmnUa_GIeim4ASMiYHYAQ&ved=0CGIQ6AEwCTgK#v=onepage&q=revoluci%C3%B3n%20industrial%20matematicas&f=false

Carl Friedrich Gauss (1777-1855)“El príncipe de los matemáticos”. http://platea.pntic.mec.es/~aperez4/html/sigloxix/Carl%20Friedrich%20Gauss.htm

Wikipedia:http://es.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gausshttp://es.wikipedia.org/wiki/Eliminaci%C3%B3n_de_Gauss-Jordanhttp://es.wikipedia.org/wiki/Eulerhttp://es.wikipedia.org/wiki/Leibniz

Junio 2013Problemas de Bachillerato

(Aprendizaje basado en problemas)A. Marrero