Revista Escolar de la Olimpíada Iberoamericana de Matemática

Número 33 (noviembre - diciembre 2008) ISSN – 1698-277X

Índice

Artículos, notas y lecciones de preparación olímpica (33) Vicente Vicario García: Las demostraciones alternativas como recurso científico y didáctico. El caso de la infinitud de los números primos. Problemas para los más jóvenes (33) Algunos problemas de la 1ª vuelta de la XVI Olimpiada Matemática Costarricense para Educación Primaria (OMCEP 2008). Agradecemos al Dr. D. Víctor Buján Delgado el envío de estos problemas. Problemas de nivel medio y de Olimpiadas (33) Cinco problemas del Duelo Matemático 08 (Olomouc, Chorzow, Graz). Esta competición internacional se celebra anualmente en uno de los tres países de las escuelas participantes, rotativamente: Olomouc, República Checa; Chorzow, Polonia; Graz, Austria.

Problemas (33) Problemas propuestos 161-165 Problemas resueltos Problema 156. Recibidas soluciones de: Álvaro Begué Aguado, Nueva York, EEUU; José Heber Nieto, Maracaibo, Venezuela; Daniel Lasaosa Medarde, Pamplona, España; Paolo Perfetti, Depto. De Matemática, Universidad degli Studi “Tor Vergata”, Roma, Italia; y del proponente. Presentamos la solución de J.H. Nieto (muy similar a la de Lasaosa). Problema 157. Recibidas soluciones de: Kee-Wai Lau, Hong Kong, China; Daniel Lasaosa Medarde, Pamplona, España; José Heber Nieto, Maracaibo, Venezuela; y del proponente. Presentamos la solución de Lasaosa (muy similar a la de J.H. Nieto). *Problema 158. Recibidas soluciones de: Manuel Fernández López, Vivero, España; Daniel Lasaosa Medarde, Pamplona, España; Xavier Ros, estudiante, Barcelona, España. Presentamos la solución de Lasaosa. Problema 159. Recibidas soluciones de: José A. Barrera Gómez, Mataró, España; José Hernández Santiago, estudiante, Oaxaca, México; Daniel Lasaosa Medarde, Pamplona, España; José Heber Nieto, Maracaibo, Venezuela; Paolo Perfetti, Depto. De Matemática, Universita “Tor Vergata”, Roma, Italia; Xavier Ros, estudiante, Barcelona, España; Bruno Salgueiro Fanego, Vivero, Lugo; Cristóbal Sánchez Rubio, Benicássim, España; y del proponente. Presentamos la solución de J.H. Nieto (similar a la de Lasaosa). Se recibió una solución incorrecta, y otra comprimida, que el sistema rechazó por sospechosa (informáticamente hablando) y que, naturalmente, fue eliminada. Problema 160. Recibidas soluciones de: José Hernández Santiago, estudiante, Oaxaca, México; Kee-Wai Lau, Hong Kong, China; Daniel Lasaosa Medarde, Pamplona, España; Bruno Salgueiro Fanego, Vivero, España; y del proponente. Presentamos la solución de Salgueiro. Comentario de páginas web (33) Un foro peruano de Geometría:http://forogeometras.com Reseña de libros (33) Dos títulos recientemente publicados: 10 matemáticos, 100 problemas (O.B.M.) y Sacred Mathematics (Japanese Temple Geometry), de H.Fukagawa y T. Rothman.

Divertimentos matemáticos (33) Otras dos biografías breves de matemáticos iberoamericanos: Andrés Zavrotsky (Venezuela) y Alfonso Nápoles Gándara (México). Editor: Francisco Bellot Rosado

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Las demostraciones alternativas como recurso científico y didáctico. El caso de la infinitud de los números primos.

Vicente Vicario García

En este artículo pretendemos poner de relieve la importancia de las componentes científica y didáctica asociadas a las demostraciones alternativas de una misma proposición matemática. La pluralidad demostrativa nos permite interpretar las funciones de la demostración y enriquecer la comprensión de un determinado objeto matemático. Es esta gama de posibilidades y relaciones demostrativas la que nos ayuda a alcanzar la óptima comprensión significativa asociada a la demostración matemática y establecer conexiones, a veces inesperadas. Introducción Una manera de hacer más significativa la comprensión asociada al contenido de la demostración de una proposición matemática es abordar ésta desde diferentes vertientes. Desde el punto de vista científico, las demostraciones alternativas de una misma proposición brindan espléndidas garantías de poder interconectar y explorar un determinado objeto matemático a través de diversas ramas de la matemática, quizás remotas, para poder así llegar a un alto nivel de comprensión de la proposición demostrada y de todo su entorno asociado. Creemos que es muy conveniente poder utilizar, siempre que sea posible, distintas técnicas para demostrar una misma proposición, ya que nos permite intuir, clarificar, verificar y proporcionar, en muchos casos, pautas explicativas. Además, las diferentes demostraciones suelen aportar matices nuevos que pueden ser interesantes y que nos dan idea de qué camino escoger más acorde a la potencia demostrativa o explicativa que pretendemos en un determinado contexto. Otra razón esencial para el estudio y análisis de las demostraciones alternativas es su aplicación en el campo de la didáctica de la matemática, y más concretamente, en el aula. Parece razonable pensar que si disponemos de algunas demostraciones alternativas de una proposición, podemos emplear éstas según los fines que se deseen y dependiendo del nivel del auditorio al que se destinan. Podemos también etiquetar y analizar cada demostración según el marco de las funciones más relevantes que muestre, como verificación, sistematización, y explicación, además de otras.† Cada nueva demostración debe hacernos reflexionar fundamentalmente sobre su alcance junto con el grado de interconexión y simplicidad que exhibe respecto de otras demostraciones.‡ El propósito de estas líneas es reflejar esta dinámica con un ejemplo paradigmático como el elegido: “El caso de la infinitud de los números primos”. † Véanse el artículo iniciador “El papel y la función de la demostración en matemáticas” de M. de Villiers, Universidad de Stellenbosch, Äfrica del Sur, en Epsilon, Nº 26, 1993. pp. 15-30. Este artículo es una versión traducida al castellano y adaptada del artículo aparecido en Pythagoras, 24 Nov, 1990, traducido y publicado con la correspondiente autorización. ‡ Véase el artículo “Concepciones del profesor de secundaria sobre la demostración matemática. El caso de la irracionalidad de 2 y las funciones de la demostración” de Vicente Vicario García y José Carrillo Yánez en IX simposio de la SEIEM, Córdoba, 2005, pp 145-152.

2

Creemos que la pluralidad demostrativa que se muestra en este trabajo habla por sí sola de la potente gama de ideas científico-didácticas y conclusiones que se pueden extraer del mismo.

A continuación, y después de un breve preámbulo sobre los números primos y sus caracterizaciones básicas, exponemos algunas demostraciones elementales de la infinitud de los números primos. En una parte de las mismas se asumen como previamente demostrados otros teoremas que se especifican, en otras, se escriben algunos comentarios históricos relativos a la demostración. Obviamente, existen versiones muy potentes relativas a la distribución de los números primos como el postulado de Bertrand o incluso el famoso teorema del número primo (TNP), pero nuestro objetivo aquí es sólo el análisis de demostraciones simples y relativamente breves. La sucesión de los números primos ,...59,53,47,43,41,37,31,29,23,19,17,13,11,7,5,3,2 extraída del conjunto de los números naturales nos es completamente familiar. Muchos problemas y muy profundos, algunos de los cuales son muy sencillos de enunciar y extraordinariamente complejos de demostrar, han sido planteados a cerca de esta serie de números que ha sido objeto de estudio y reflexión a lo largo de los últimos veinticinco siglos. Ya en 1751 el genial y prolífico matemático suizo Leonhard Euler (1707, 1783) expresaba lo siguiente:

“Los matemáticos han intentado en vano, hasta ahora, descubrir algún orden en la secuencia de los números primos y tenemos razones para creer que se trata de un misterio en el que nunca penetrará la mente humana”. Es fácil construir mecánicamente una tabla de números primos hasta un límite

moderado N, mediante un procedimiento conocido ya por los antiguos matemáticos griegos denominado “Criba de Eratóstenes”. Para ello se escriben todos los números naturales desde 2 hasta N. A partir de aquí, comenzamos con el 2 y tachamos en sucesión, de dos en dos, todos los números de la lista. El siguiente número no tachado, el 3, es primo, y comenzamos desde este número tachando todos los enteros de tres en tres, no tachados previamente. El siguiente número no tachado, el 5, es primo, y tachamos ahora todos los múltiplos de cinco no tachados previamente, contando para ello de cinco en cinco. Así proseguimos sucesivamente hasta considerar el último primo

Np ≤ y se detiene el proceso. Los números que quedan sin tachar, junto con los iniciales ya considerados, son todos los números primos hasta N. Este tipo de construcción nos muestra que los números primos son cada vez más escasos.

Por otra parte, es sencillo comprender que existen en la recta numérica bloques

de enteros compuestos consecutivos tan grandes como queramos. El precio a pagar es que debemos utilizar números cada vez mayores. Basta observar que para cualquier

1>n , los números consecutivos 2!+n , 3!+n ,…, nn +! son todos compuestos. Nuestro objetivo ahora es demostrar, e intentar comprender, por qué existen infinitos números primos aunque estos se hagan cada vez más raros. Veamos a continuación diversas demostraciones relativamente breves de la infinitud de los números primos: Proposición: “El conjunto de los números primos contiene infinitos elementos”.

3

1ª Demostración (Euclides): Razonaremos por reducción al absurdo. Supongamos que el número de primos sea finito. Sean entonces los números primos los elementos del conjunto { }npppp ,...,,, 321 . Construyamos el número 1...321 +⋅⋅⋅⋅= nppppN . Este número N, o bien es primo, o bien es divisible por algún número primo q necesariamente distinto a los ip anteriores. Por tanto, en cualquier caso, hemos llegado a una contradicción que demuestra el teorema.† 2ª Demostración (Hermite): Sean ,...3,2,1=n los números naturales y nq el factor primo más pequeño de 1!+n para cada valor de n. Como nq tiene que ser necesariamente mayor que n, se deduce que esta sucesión contiene infinitos elementos distintos, y que por tanto existen infinitos números primos. 3ª Demostración (Saidak): Sea n un número natural arbitrario. Sabemos que puesto que n y 1+n son números naturales consecutivos deben ser primos entre sí. Entonces el número )1(2 += nnN debe tener, como mínimo, dos factores primos distintos. Análogamente, los números naturales )1( +nn y 1)1( ++nn , son consecutivos y, por tanto, primos entre sí. En consecuencia, el número [ ]1)1()1(3 ++⋅+= nnnnN debe tener, como mínimo, tres factores primos diferentes. Este proceso puede ser continuado indefinidamente, así que el conjunto de los números primos es infinito.# 4ª Demostración (Odoni): Se considera la sucesión recurrente 13211 +⋅⋅⋅⋅⋅=+ nn eeeee con 21 =e y 1≥n . Podemos observar que si ji ≠ entonces 1),.(.. =ji eedcm ya que cualquier factor primo común a ie y je debe dividir a 1. Sea ahora ip el menor número primo que aparece en la descomposición en factores primos de ie , entonces la sucesión

,...,...,,, 321 npppp es una sucesión infinita de primos distintos, lo que demuestra el teorema.‡ 5ª Demostración (Stieltjes): Asumiremos (para abreviar la exposición) como lema previo en esta demostración la proposición siguiente debida a Euclides: “Sea p número primo que divide al producto de naturales ab. Entonces p divide a o p divide b”. (esta proposición aparece en Los Elementos como Proposición 30 del libro VII, a veces denominada, lema de Euclides.

Razonaremos por reducción al absurdo. Supongamos que el número de primos

es finito. Sea Q el producto de todos los números primos y sean 1>m y 1>n dos

† Esta demostración clásica aparece en el libro IX de Los Elementos como proposición 20. Puede reformularse trivialmente de manera que se transforme en una demostración directa, en lugar de la demostración indirecta dada. Para ello, basta considerar un conjunto de números primos consecutivos { }npppp ,...,3,2,1 y construir el número 1...321 +⋅⋅⋅⋅= nppppN que debe ser divisible por algún número primo distinto a los anteriores. Obsérvese que el razonamiento proporciona un método para construir o identificar, al menos teóricamente, nuevos números primos. # Esta bellísima demostración es extraordinariamente reciente y apareció en un artículo de Filip Saidak con el título “A new Proof of Euclid´s theorem” en American Mathematical Monthly, December 2006, pp. 937-938. ‡ Obsérvese que claramente se cumple la relación 1

21 +−=+ nenene .

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enteros positivos con nmQ ⋅= . Se tiene entonces, según el lema de Euclides, que todo número primo p divide, o bien a m, o bien a n, pero no a ambos (m y n son primos entre sí). Entonces nm + no puede tener ningún divisor primo, lo que es una contradicción. 6ª Demostración (Euler): El gran matemático Leonhard Euler llegó a descubrir relaciones sorprendentes entre la teoría de números y el análisis. En su artículo “Variae observationes circa series infinitas” de 1737, demostró que la divergencia de la serie armónica implica, de forma sorprendente, la existencia de infinitos números primos.

La demostración siguiente, por reducción al absurdo, se basa en el teorema fundamental de la aritmética y en la divergencia de la serie armónica.† Supongamos que existen solamente k números primos distintos { kpppp ,...,,, 321 }. Aplicando el teorema fundamental de la aritmética, sabemos que todo número natural n es descomponible en forma única (salvo reordenaciones triviales) en la forma canónica ka

kaa pppn ⋅⋅⋅⋅= 2121 .

Partimos ahora de la siguiente relación, que es fácil de verificar, ya que en el

miembro de la derecha aparecen todos los inversos de los números naturales:

† El comportamiento divergente de la serie armónica ya había sido detectado en el siglo XIV por Oresme. Agrupó los sucesivos términos de la serie armónica colocando el primer y segundo términos en un primer grupo, los dos términos siguientes en un segundo grupo, los cuatro términos que le siguen en un tercer grupo, y así sucesivamente, de manera que el grupo m-ésimo incluye 1

2−m términos. Entonces es claro

que tenemos infinitos grupos de términos y que la suma de los términos relativos a cada grupo es mayor o igual que 1/2, por lo que sumando una cantidad suficiente de términos podemos superar cualquier número dado.

≥++++++++++=++++++++ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

...16

1...

9

1

8

1...

5

1

4

1

3

1

2

11...

8

1

7

1

6

1

5

1

4

1

3

1

2

11

...2

1

2

1

2

1

2

1...

16

1...

16

1

16

1

8

1

8

1

8

1

8

1

4

1

4

1

2

11 ++++≥++++++++++++ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

También el matemático Pietro Mengoli (1625,1686) redescubrió el resultado de Oresme sobre la

divergencia de la serie armónica asociando términos, teorema que se suele atribuir a Jacques Bernouilli que en 1689 proporcionó en su Tractatus de seriebus infinitis una demostración especialmente elegante y rigurosa y que damos a continuación. En su demostración, Jacques afirma primero que, si a>1, entonces

121

...21

111

≥++++++aaaa .

Para ello basta considerar la clara desigualdad siguiente aaaa

aaa1

121

)2

(21

...21

11

−=−≥+++++

y a partir de aquí, llegamos a lo afirmado por Bernouilli. Por tanto, aplicando esta desigualdad sobre los términos de la serie armónica, llegamos a la relación siguiente:

∑∞

=++++≥+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ++++⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ++++⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +++=

1...1111...676

1...271

261

251...6

151

41

31

2111

k k

de la que se deduce que la serie armónica crece más que cualquier número prefijado. Otra demostración radicalmente diferente de la divergencia de la serie armónica fue dada por su hermano Jean Bernouilli. El propio Euler proporcionó otra demostración en su Introductio in Analisin Infinitorum de 1748, pero resultó poco rigurosa bajo el prisma actual, ya que en ella se omitían conceptos como convergencia/divergencia de una serie.

5

∑∞

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++⋅⋅⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++=

122

22211

...111...111...1111n kk ppppppn

[1]

Además, a partir del valor de la suma de los infinitos términos de una serie geométrica convergente, tenemos que

k

n

pppn 11

111

111

11

2

1

1

−⋅⋅⋅

−⋅

−=∑

∞

=

[2]

lo que es absurdo, ya que la serie armónica ∑∞

=1

1n n

, como es sabido, es divergente.

7ª Demostración (Euler): Esta es otra demostración debida a Euler. Demostraremos que la suma de los inversos de los números primos es divergente utilizando los recursos del análisis matemático, lo cual, como corolario evidente, nos proporciona la infinitud de los números primos. Obsérvese que en esta demostración volvemos a emplear el teorema fundamental de la aritmética y la divergencia de la serie armónica. Ciertamente demostramos mucho más que la infinitud de los números primos.

Demostración: Denotaremos np el n-ésimo número primo. Sea m un número natural

2≥m . Cada número natural mn ≤ es un producto único (salvo reordenaciones triviales) de potencias de números primos p con mnp ≤≤ . Por otra parte, para cada número primo p se tiene

ppj

j 11

110 −

=∑∞

=

[3]

Es claro que se tiene la desigualdad siguiente

∑ ∏∏ ∑= ≤≤

∞

= ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≤

m

n mpmp jj

ppn1 0 11111 [4]

donde el producto está extendido a los números primos mp ≤ . De la desigualdad anterior y del desarrollo de )1ln( x− se deduce que

≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+==⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−≤⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ∑ ∑∑∑∑∑≤

∞

=−

≤

∞

=≤= mp jj

mp jj

mp

m

n jpppjppn 222

11

111111ln1ln

6

=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−⋅+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+≤ ∑∑∑ ∑∑

≤≤≤

∞

=−

≤ mpmpmp jj

mp

pppppp 11

1111112

222

∑∑∑∑∑≤=≤≤≤

+≤−

+≤−

+=mp

m

nmpmpmp pnnpppp11

)1(11

)1(11

2

[5]

ya que ∑ ∑ ∑=

∞

=

∞

=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−=

−≤

−

m

n n n nnnnnn2 2 2

111

1)1(

1)1(

1 puesto que esta última serie es una

serie telescópica. Ahora bien, como m es arbitrario, a partir de la divergencia de la serie armónica, se deduce entonces que

∞→m

lim +∞=∑≤mp p

1 † [6]

Observemos también, a partir de este breve análisis, que el crecimiento de la serie de los inversos de los números primos hacia infinito es extremadamente lento, pero existen otras series de crecimiento todavía más lento. ‡ 8ª Demostración (Erdös): La siguiente demostración fue dada por el genial y muy prolífico matemático húngaro P. Erdös en el siglo XX. Supongamos que jp,...5,3,2 son los primeros j números primos y sea )(xN el número de naturales menores o iguales que x que no son divisibles por ningún primo jpp > . Podemos expresar cualquier n en la forma mnn ⋅= 2

1 donde m es un número natural libre de cuadrados y entonces no divisible por el cuadrado de ningún número primo. Entonces jb

jbb pm ⋅⋅⋅⋅= 21 32 donde jb es 0 ó 1. Por otra parte, existen j2

posibles cambios para los exponentes y por tanto, no más de j2 diferentes valores de m.

† Obtener el carácter asintótico de ∑

=

n

n np11

supone otra serie de estimaciones más complejas que también

Euler obtuvo, pero no con el debido rigor. En realidad, refinando el argumento anterior, se puede obtener

la expresión ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛++=∑

≤ nOBn

np p ln1lnln1

donde B es una constante caracterizada por la expresión

...26149.0111ln ≈∑ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=

p ppB γ donde γ es la famosa constante de Euler.

‡ Piénsese en la llamada escala logarítmica de series, todas ellas divergentes, con ritmo de divergencia

cada vez más lento: ∑=

N

n n11 , ∑

=

N

n nn1 ln1 , ∑

=

N

n nnn1 lnlnln1 , ∑

=

N

n nnnn1 lnlnlnlnlnln1 ,… respectivamente

asintóticas a nln , nlnln , nlnlnln , nlnlnlnln ,…

7

Además xnn ≤≤1 y entonces no existen más de x diferentes valores de 1n teniéndose que jxxN 2)( ⋅≤ . Ahora, si el número de primos fuese finito, sean estos los números jp,...,5,3,2 .

En este caso xxN =)( para todos los valores de x y entonces xx j ⋅≤ 2 , que es lo mismo que jx 22≤ , lo que es absurdo para 122 +≥ jx .† 9ª Demostración (Goldbach): Consideraremos los denominados números de Fermat

122 +=n

nF con 0≥n .‡ Demostremos por inducción que se verifica la siguiente

relación 21

0

−=∏−

=n

n

kk FF entre los números de Fermat. Para 1=n , tenemos que 30 =F y

321 =−F . Aplicando la hipótesis inductiva, tenemos que

( ) ( ) ( ) 21212122 1222

0

1

0

1−=−=+⋅−=⋅−=⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= +

=

−

=

+

∏ ∏ nnn

n

kn

n

kkk FFFFFF

nnn [7]

Por tanto, de la relación: 21

0

−=∏−

=n

n

kk FF , podemos observar que dos cualesquiera

números de Fermat son primos entre sí, y se deduce la existencia de infinitos números primos. 10ª Demostración (Schorn): Para la demostración observemos que si nji ≤<≤1 , entonces [ ] 11)!(,1)!(... =++ jnindcm . De hecho, escribiendo dij += , entonces

nd <≤1 y [ ] [ ] 1)!(,1)!(...1)!(,1)!(... =+=++ dnindcmjnindcm , porque todo primo p dividiendo dn )!( es a lo sumo igual a n. Ahora, si el número de primos fuese m, tomemos 1+= mn . Lo anterior implica que los 1+m enteros 1)!1( ++ im con

11 +≤≤ mi son primos entre sí, dos a dos, así que existen como mínimo 1+m distintos primos en contra de la hipótesis.

† Este mismo razonamiento de Erdös se puede emplear para demostrar de forma indirecta la divergencia de los inversos de los números primos. Véase la clásica “Introduction to the Theory of Numbers”, de Hardy and Wright, fifth edition, Clarendon Press, Oxford, pag 17. ‡ Entre los muchos resultados de Fermat relativos a la teoría de números primos, surge uno especialmente relevante relacionado con una inducción precipitada. Creía haber determinado una solución al viejo problema de construir una fórmula que diese sólo números primos para todos los valores de la variable. No es difícil demostrar que 12 +

m no puede ser primo a no ser que m sea una potencia de 2 y engañado esta vez por su intuición, pensaba que los números de la forma nF = 122 +

n (números de Fermat nF )

eran primos para todo valor de n. En 1732 Euler tras un intenso cálculo y probando con unos

determinados candidatos a divisores, demostró que =5F 1252 + = 4.294.967.297 es divisible por 641

con lo que la conjetura de Fermat resultaba errónea. Actualmente esta conjetura está tan devaluada que los matemáticos se inclinan más bien a la opinión contraria, es decir, la de que no hay ningún número primo de Fermat a partir de 4F . Se conoce actualmente que para todos los n tales que 5 ≤ n ≤ 22 y otros valores de n mucho mayores los números de Fermat Fn son todos compuestos. Sin embargo, no se sabe actualmente si existe un número finito o infinito de números primos de Fermat.

8

11ª Demostración (Euler): Asumiremos (para abreviar la exposición) como lema previo en esta demostración la proposición siguiente debida a Euler: “Sean a y n números naturales tales que 1),.(.. =nadcm , entonces en el lenguaje de las congruencias se tiene que 1)( ≡naϕ ).( nmód , donde )(nϕ es la famosa función indicador de Euler que representa el número de los números n,...,2,1 que son primos con n. Aquí tomamos por definición 1)1( =ϕ ”.† Sean a y n números naturales tales que 1),.(.. =nadcm . El menor número natural d tal que 1≡da ).( nmód se denomina el orden de a ).( nmód . Por el anterior teorema el orden d existe y además divide a )(nϕ . En efecto, d divide a todo entero k tal que

1≡ka ).( nmód porque por el algoritmo de la división rdqk += con dr <≤0 y de aquí 1≡ra ).( nmód y por consiguiente, puesto que d es mínimo, se deduce que 0=r . Para demostrar la infinitud de los números primos consideremos los números de la forma 12 −p con p número primo (denominados números de Mersenne) y demostremos que cualesquiera de sus factores primos q han de ser de la forma 12 +kp que obviamente son mayores que p. En efecto, sea q cualquier factor primo de 12 −p . Entonces, en virtud del teorema de Euler, se tiene que 12 1 ≡−q ).( qmód y como el orden de 2 ).( qmód es claramente p se tiene que p divide a 1−q y de aquí se concluye la demostración. 12º Demostración: Sean jppp ,..., 21 números primos consecutivos. Consideremos

ahora los números de Mersenne asociados 12,...,12,12 21 −−− jppp . Es fácil ver, a partir del argumento utilizado en la demostración anterior, que estos números son primos entre sí, dos a dos, y en consecuencia, existen infinitos números primos. 13ª Demostración (Vinogradov): En esta exótica demostración se asume que se ha demostrado previamente la irracionalidad de un valor particular de la función zeta de

Riemann, en particular de )2(ς (Euler demostró que )2(ς6

2π= ) sin recurrir,

obviamente, a la infinitud de los números primos, salvando así un argumento circular. Supongamos que el número de primos sea finito. Sean entonces los números primos los elementos del conjunto { }kpppp ,...,,, 321 . Por las relaciones ya comentadas entre la función zeta y los números primos tenemos que

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++⋅⋅⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++== ∑

∞

=

...111...1111)2( 2241

211

2kkn ppppn

ς [8]

lo que es absurdo, ya que el primer miembro de la igualdad es un número irracional y el segundo es racional. † Se puede deducir la siguiente expresión para la función indicador ∏ −= ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛np p

nn/

11)(ϕ donde el

producto se refiere a todos los primos de la descomposición de n.

9

14ª Demostración (basada en la sucesión de Fibonacci): En esta demostración utilizaremos la conocida sucesión de Fibonacci definida en la forma 21 −− += nnn FFF con 121 == FF . Para demostrar la infinitud de los números primos, necesitamos obtener dos relaciones importantes entre los números de Fibonacci. Inicialmente demostraremos, por inducción, que se cumple la siguiente relación: Teorema: “Siendo nF el n-ésimo número de Fibonacci definido por 121 == FF ,

21 −− += nnn FFF entonces se cumple que mnmnmn FFFFF 11 −++ += , ∀ m, n ≥ 1”. Demostración: La demostración la efectuaremos por inducción sobre m. Para m = 1, tenemos la relación 11211 11 FFFFFFF nnnnn −−+ +=⋅+⋅= . Así que la expresión es cierta ∀n con m = 1. Asumiremos que la expresión es cierta ∀n con m = M y demostraremos que la expresión también es cierta con m = M + 1.

MnMnMn FFF +−+++ += )1(1 =+++= −+−−+ MnMnMnMn FFFFFFFF 21111 =++=+++= +−++−−−+ 11111211 )()( MnMMnMnMnnMn FFFFFFFFFFFF 112 +−+ += MnMn FFFF [9]

y por tanto la proposición dada es cierta ∀n con m = M + 1 y el teorema queda demostrado. Por otra parte, surge ahora fácilmente un importante corolario asociado a este resultado, que también se demuestra fácilmente por inducción. Corolario1: “ nF divide a nmF 1, ≥∀ nm ”. Demostración: La demostración la efectuaremos por inducción sobre m. Para m = 1, nF ciertamente es divisible por sí mismo. Supongamos que la proposición es cierta ∀n con m = M. Entonces para m = M + 1, tenemos utilizando la proposición anterior nnMnnMnnMMn FFFFFF 11)1( −+++ +== [10] Por la hipótesis de inducción nF divide a nMF y entonces la última expresión es divisible por nF . Esto implica que nF divide a )1( +MnF así que el resultado es cierto para m = M + 1 y el corolario está demostrado. El segundo importante resultado sobre la sucesión de Fibonacci que nos interesa aquí es el siguiente: ( ) ),.(..,... badcmba FFFdcm = [11]

Para demostrarlo es útil recordar las etapas del algoritmo de Euclides junto con el corolario anterior. Supongamos 0>≥ ba . Recordemos que sus etapas son las siguientes: 11 rbqa += br <≤ 10 212 rrqb += 120 rr <≤

10

3231 rrqr += 230 rr <≤ …………………………. nnnn rrqr += −− 12 10 −<≤ nn rr nnn rqr 11 +− = . [12]

Denotemos ahora por d al ),.(.. badcm . Como d/a (d divide a) y d/b (d divide b) se deduce que d/ 1r (d divide 1r ). Continuando las etapas del algoritmo, se obtiene que d/ sr para cada s. Así tenemos que d/ nr y por tanto nrd ≤ . Por otra parte, recorriendo las etapas del algoritmo en sentido inverso tenemos la secuencia 1/ −nn rr ,…, brn / , arn / luego drn / y por tanto nrd ≥ . Se deduce pues, una doble desigualdad, que implica

nrd = . Tenemos pues, las relaciones siguientes:

( ) ( ) ( )111111 11,...,...,... raqraqaraqaba FFFFFdcmFFdcmFFdcm ⋅+⋅== −++ [13]

y como aF divide a 111 +⋅ raq FF por el corolario anterior, entonces se tiene ( ) ( )

11 1,...,... raqaba FFFdcmFFdcm ⋅= − [14]

Además, es claro que dos números de Fibonacci consecutivos son primos entre sí. Por tanto, tenemos que ( ) 1,... 111

=−aqaq FFdcm y llegamos a la relación ( ) ( ) ( )bararaqa FFdcmFFdcmFFFdcm ,...,...,...

111 1 ==⋅− [15] Repitiendo el mismo razonamiento obtenemos ( ) ( ) ( )

1121,.........,... , −

===nn rrrrar FFdcmFFdcmFFdcm [16]

y como

1// 1 −

⇒− nn rrnn FFrr (por el corolario anterior) ( )nnn rrr FFFdcm =⇒

−1,... . De aquí

se deduce la relación buscada ( ) ( )badcmrba FFFFdcm

n ,...,... == [17] De esta última relación deducimos inmediatamente como corolario la existencia de infinitos números primos. Basta observar la secuencia de números de Fibonacci {

nppp FFF ,...,,21

}que está formada por números primos entre sí, dos a dos.†

† Obsérvese que se cumple la relación más fuerte ( ) ( ) 1,...1,... =⇒= mFnFdcmmndcm .

11

COMENTARIOS Hemos podido observar una gran diversidad en las demostraciones que se han presentado sobre la infinitud de los números primos. Todas ellas se han escogido por su naturaleza de demostraciones elementales. Entre ellas hay demostraciones relativamente breves en las que sobresale su carácter puramente verificativo, como las demostraciones de Euclides, Hermite, Saidak, Odoni y Schorn. Podemos observar que estas demostraciones se limitan a verificar la infinitud de los números primos pero no aportan esencialmente mucho más a la comprensión de la distribución de los mismos. Algunas de ellas se dan en su versión de demostración indirecta, aunque como hemos notado, las cuatro se pueden reformular trivialmente hasta convertirlas en demostraciones directas. Las demostraciones de Euclides y Hermite son muy similares. Las dos son demostraciones elementales que no recurren a otros resultados previos como a la unicidad de la descomposición de un número natural en factores primos o a otros teoremas sofisticados, únicamente se basan en que el menor divisor de un número natural es un número primo. La demostración de Saidak es incluso conceptualmente más simple que las dos citadas. En su argumentación, Euclides se limita a demostrar que si { }npppp ,...,,, 321 es un conjunto de números primos consecutivos, entonces en el intervalo ( np , 1...321 +⋅⋅⋅⋅ npppp ] existe siempre un número primo. De hecho, se pueden hacer ligeras modificaciones del argumento de Euclides para obtener más

precisión. En realidad, si 2≥r entonces el intervalo ]1,(1

+∏r

rr pp contiene dos

números primos ya que un mismo número primo q no puede dividir simultáneamente a

∏ +r

rp1

1 y a 11

−∏r

rp puesto que entonces tendría que dividir a su diferencia 2.†

La demostración de Euclides es muy ingeniosa y aplicable a la demostración de

la infinitud de los números primos de otras clases como los números primos de la forma 14 −n , 16 +n , 56 +n y otras. A modo de ejemplo, para demostrar que existen infinitos

números primos de la forma 14 −n podemos razonar por reducción al absurdo y suponer que existe un número finito de tales primos siendo p el mayor de ellos. Ahora

† Si 3≥r , entonces el intervalo )

2,( ∏

riprp contiene como mínimo ⎣ ⎦ 1)2(2log +r números primos.

Observemos que para 3=r o 4=r el resultado puede obtenerse directamente. Supongamos que 5≥r . Observemos que 52115 ⋅>=p y que sólo son naturales consecutivos los primos 2 y 3, por tanto,

rpr <2 . Entonces ⎣ ⎦ 1)2(2log1/ +≤≤∀ rjj , los números ∏ −r j

ip2

2 pertenecen al intervalo )2

,( ∏r

iprp y

son primos entre sí dos a dos. Claramente rprj

242 <≤ y de aquí se sigue que

∏ >−>−r

rpj

rpj

ip2

232 . Además ∏ −r j

ip2

2 no es divisible por ip para ri ≤≤1 así que existe un

primo rpjq > con ∏ −r j

ipjq2

2/ . Si kj ≠ , entonces kqjq ≠ para kj> ya que si

∏ −r k

ipjq2

2/ )22/(kj

jq −⇒ lo que absurdo, ya que 2 y 12 −−kj son estrictamente menores que rp ,

que a su vez es menor que jq y por tanto este último no puede dividir a ( )122 −−kjk .

12

consideremos el número 15322 −⋅⋅⋅⋅⋅= pN . Como N es de la forma 14 −k , no puede ser primo ya que p era el mayor de todos. Es claro que ningún número primo menor o igual que p divide N y por tanto sus factores primos son mayores que p. Por otra parte, no todos los factores primos de N pueden ser de la forma 14 +k , puesto que en ese caso, su producto claramente también lo sería y evidentemente N, no lo es. Por lo tanto, algún factor primo de N ha de ser de la forma 14 −k , lo que es absurdo. Esta contradicción demuestra el teorema. De nuevo, debemos indicar que se puede trivialmente reformular esta demostración para convertirla en una demostración de carácter directo.‡

Desgraciadamente la demostración de la infinitud de los números primos de la forma 14 +n no se puede efectuar mediante una extensión sencilla del argumento de Euclides. Existen varias formas elementales alternativas de demostración para este caso. A continuación expondremos brevemente una de ellas.

Para demostrar la infinitud de los números primos de la forma 14 +n , supondremos dado un 1>N , y en el lenguaje de las congruencias, siempre se podrá encontrar un número primo de la forma 1≡p )4.(mód y mayor que N. Para ello consideremos el número ( ) 1! 2 += NM y sea p el factor primo menor de M que necesariamente debe ser mayor que N, puesto que claramente ninguno de los números

},...,4,3,2{ N puede ser divisor de M. Entonces tenemos que ( ) 1! 2 −≡N ).( pmód lo que

nos lleva a la relación ( ) 21

1 )1(!−

− −≡p

pN ).( pmód que junto con el teorema de Euler (ya

comentado anteriormente en este artículo) produce 1)1( 21

≡−−p

).( pmód y esto implica que 1≡p )4.(mód . Esto concluye la demostración.

En realidad, existen otros casos más generales de progresiones aritméticas para

las que podemos encontrar demostraciones relativamente sencillas “ad hoc”. Por otra parte, las demostraciones de Odoni y Schorn son también elementales y relativamente breves, pero su estructura es radicalmente diferente a las demostraciones de Euclides y Hermite. Las demostraciones de Odoni y Schorn se basan en construir secuencias infinitas de números naturales que sean primos dos a dos, lo que es bastante más que demostrar la infinitud de los números primos. Observemos que tampoco se basan en otros teoremas previos.

La demostración de Goldbach, también se basa en generar una secuencia infinita de números naturales primos, dos a dos, tal como la secuencia que forman los números de Fermat. En esta demostración se explicita ya la propia secuencia y no aparece de forma recursiva como en la demostración de Odoni.

‡ P. G. Dirichlet demostró en 1834 el profundo teorema que establece que si 1),.(.. =badcm entonces la progresión aritmética }{ ban + contiene infinitos números primos. La demostración aportada por Dirichlet exigía importantes herramientas del análisis matemático. La demostración muestra que la serie

∑≡ ).(

1

mmódap p es divergente.

13

Incluso la demostración basada en la sucesión de Fibonacci se basa en generar también otra secuencia infinita de números naturales primos entre sí, tal como la secuencia de los números de Fibonacci que tengan como subíndices dos números naturales que sean primos. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS [1] Aparicio, E. (1993). Teoría de los números. Servicio editorial. Universidad del País Vasco. [2] Baker, A. (1984). Breve introducción a la teoría de los números. Alianza Universidad. Versión española de Alejandro Salinero Galán. [3] Boyer, C. B. (1992). Historia de la Matemática. Alianza Universidad Textos. Alianza editorial. [4] Cilleruelo, J. & Córdoba, A. (1992). La teoría de los números. Biblioteca Mondadori. [5] Collete, J. P. (1985). Historia de las Matemáticas. Siglo XXI de España ediciones. S.A. [6] Davis, P.J. & Hersh, R. (1983). Experiencia Matemática. Madrid. Labor. [7] Guzman de, M. (2003). Cómo hablar, demostrar y resolver en Matemáticas. Iniciación al método matemático. Base Universitaria. Anaya. [8] Hardy, G. H. & Wright, E. M. (1978). An Introduction to the Theory of Numbers. Fifth edition. Clarendon Press. Oxford. [9] Ibañes, M. & Ortega, T. (1997). La demostración matemática. Clasificación y ejemplos en el marco de la Educación Secundaria. Educación Matemática, 9(2), 65-104. [10] Kline, M. (1992). El pensamiento matemático de la Antigüedad a nuestros días. Tres volúmenes. Alianza editorial. [11] Lakatos, I. (1978). Pruebas y refutaciones. Madrid. Alianza. [12] López, F. & Tena, J. (1990). Introducción a la teoría de los números primos. (Aspectos algebraicos y analíticos). Instituto de ciencias de la educación. Universidad de Valladolid. [13] Sáenz, C. (2001). Sobre conjeturas y demostraciones en la enseñanza de las Matemáticas. En M. F. Moreno et al. (eds). Investigación en educación matemática. Universidad de Almería.

14

[14] Vicario, V. & Carrillo, J. (2005). Concepciones del profesor de secundaria sobre la demostración matemática. El caso de la irracionalidad de 2 . Simposio de la SEIEM en Córdoba, 2005. pp. 145-152. [15] Villiers de, M. (1993). El papel y la función de la demostración en Matemáticas. Revista Epsilon 26, 15-30. Artículo aparecido en Pythagoras, 24 Nov, 1990. Traducido y publicado con la correspondiente autorización. [16] Vinogradov, I. (1977). Fundamentos de la teoría de números. Editorial MIR. Moscú. Traducido del ruso.

---oooOooo---

Problemas para los más jóvenes (33)

Algunos problemas de la XVI OMCEP (Costa Rica 2008)

PJ33.1

El número de lados de un cuadrado, multiplicado por el número de vértices del cuadrado, es igual a:

A) Cuatro B) ocho C) nueve D) diez y seis

PJ33.2

¿Cuál es el polígono regular que tiene más diagonales que lados?

A) Triángulo B) Cuadrado C) pentágono D) ninguno

PJ33.3

¿Cuál de los siguientes números es divisible por 9?

A) 333 B) 444 C) 777 D) 888

PJ33.4

Si hoy es martes, ¿qué día de la semana será dentro de 31 días?

A) Martes B) Miércoles C) Jueves D) viernes

PJ33.5

El triángulo que tiene más ejes de simetría es el triángulo…

A) Escaleno B) equilátero C) rectángulo D) isósceles

PJ33.6

¿Cuántos minutos hay en un cuarto de un tercio de la mitad de una hora?

A) 2,5 B) 10 C) 5 D) 4,5

PJ33.7

Llamaremos fechas primas a las fechas del año en las cuales el mes y el día corresponden a números primos. Por ejemplo, el 17 de mayo (mayo es el mes 5). Lo escribimos (17;5). ¿Cuáles son la primera y la última fecha prima del año?

A) (1;1) y (12;31) B) (2;2) y (29;11) C) (2;2) y (5;12) D) (3;3) y (23;11)

PJ33.8

¿Cuántos números primos son mayores que 83 y menores que 90?

A) 0 B) 1 C) 2 D) 4

PJ33.9

En el año 2007, Edna Parker, de Indiana (EEUU) e Yone Minagawa, de Fukuoka (Japón) tenían 114 años de edad y se decía que eran las mujeres de más edad del mundo. ¿Qué edad tenían cuando se inició en 1948 la revolución en Costa Rica?

A) 59 años B) 55 años C) 45 años D) 65 años

PJ33.10

¿En cuántos números de dos cifras la suma de sus dígitos es 3?

A) En 3 B) en 20 C) en 30 D) en más de 30

Problemas de nivel medio y de Olimpiadas 33

Cinco problemas del Duelo Matemático 08

PMO33.1

El ortocentro H de un triángulo acutángulo ABC se transforma respectivamente en los puntos A1 ,B1 , C1 en las simetrías axiales cuyos ejes son los lados a,b y c del triángulo. Se supone que se verifican las siguientes igualdades de ángulos:

C1AB1 = CA1B

A1BC1 = AB1C

B1CA1 = BC1A.

Demostrar que ABC es equilátero.

PMO33.2

Determinar todas las ternas (x,y,z) de enteros positivos tales que se verifique la igualdad

3+x+y+z = xyz.

PMO33.3

Sea ABCD un tetraedro con tres aristas mutuamente perpendiculares en el vértice D. Sea S el centro de su esfera circunscrita. Probar que el baricentro T de su cara ABC está en la recta DS.

PMO33.4

Determinar todos los enteros positivos n para los cuales existen enteros positivos x,y tales que se cumplen las dos igualdades x+y=n2, 10x+y = n3.

PMO33.5

Sean a,b,c números reales. Demostrar que

V =4(a2+b2+c2) – ((a+b)2 +(b+c)2 +(c+a)2)

Es siempre no negativo y determiner todos los valores de a,b,c para los que V = 0.

Problemas 161-165

Problema 161

En mi barrio hay una cuadrilla de 9 chicos y chicas que, después de las clases, juegan juntos, dividiéndose cada día aleatoriamente en grupos de 3, de forma independiente a cómo se hayan dividido en días anteriores. Al empezar a jugar, cada grupo elige entre dos opciones: jugar a las tiendas o jugar al escondite, eligiéndose el juego que prefieren al menos dos de los miembros del grupo. Cada vez que un chico o chica juega a un juego, se lo pasa tan bien que ése pasa a ser su juego preferido, aunque no lo fuera antes. Durante el verano, cada uno de los chicos y chicas pasa sus vacaciones en un lugar diferente, y se les olvida cuál era su juego favorito, teniendo a la vuelta de vacaciones, cada uno de forma independiente, la misma probabilidad de preferir uno u otro juego el primer día que vuelven a jugar juntos. Después del día n-ésimo después de las vacaciones, ¿cuál es la probabilidad de que toda la cuadrilla prefiera el mismo juego? (Propuesto por Daniel Lasaosa Medarde, Universidad Pública de Navarra, Pamplona, España). Problema 162 Sea O el punto de intersección de las diagonales AC y BD de un cuadrilátero convexo ABCD . Sean 1I , 2I , 3I , 4I los respectivos

incentros de OAB∆ , OBC∆ , OCD∆ , ODA∆ .

Si 4321 IIII es un paralelogramo, demostrar que ABCD es un

paralelogramo.

(Propuesto por Miguel Amengual Covas, Santanyí, España)

Problema 163

Se considera la sucesión (An), con n 1, dada por la relación de

recurrencia

An+1=2An +√(An2 +An+1

2),

Con A1=1.

i) Estudiar la convergencia de esta sucesión. ii) Hallar el dominio de convergencia de la serie de potencias

de término general Anxn .

(Propuesto por Laurentiu Modan, Bucarest, Rumania)

Problema 164

Sean ABC un triángulo y P un punto cualquiera de su plano. Sea D la proyección de P sobre BC. La perpendicular por B a BC corta a la perpendicular por P a AB en E, y la perpendicular por C a BC y la perpendicular por P a AC se cortan en F. Sean M y N los puntos de intersección de las diagonales de los trapecios PDBE y PDCF, y sean J y K las proyecciones de M y N sobre la recta BC.

Hallar, en cada caso, el lugar geométrico de los puntos P que cumplen

a) La recta MN es paralela a BC.

b) Los puntos J y K coinciden.

c) D es el punto medio de J y K.

d) El ángulo MDN es recto.

(Propuesto por Francisco Javier García Capitán, Priego de Córdoba, España).

Problema 165

El triángulo ABC es isósceles, con AB = AC. Las rectas BD (con D en el lado AC) y CH (con H en el segmento BD) lo dividen en tres triángulos, cuyos incírculos tienen el mismo radio r. Encontrar la relación entre r y la longitud de CH.

(Propuesto por Hidetosi Fukagawa, Aichi, Japón).

Problema 156, propuesto por Ovidio Furdui, Toledo (OH, USA).Sea f una función tal que

f(x) = Tn(x) + Rn(x), para |x| < R

donde Tn(x) es el polinomio de Taylor de grado n en 0. Hallar la suma

∞∑n=1

(−1)n−1(f(x)− Tn(x)).

Solución por José Heber Nieto, Maracaibo, Venezuela. Supongo que en el enun-ciado, antes de “para |x| < R”, falta la condición lımn→∞Rn(x) = 0 u otraequivalente, ya que de lo contrario la serie propuesta podría no converger (tó-mese por ejemplo como f la función de Cauchy).

Entonces

2k∑n=1

(−1)n−1(f(x)− Tn(x)) =2k∑

n=1

(−1)nTn(x),

y como T2r − T2r−1 = f (2r)(0)x2r/(2r)! nos queda

2k∑n=1

(−1)n−1(f(x)− Tn(x)) =k∑

r=1

x2r

(2r)!f (2r)(0).

Ahora bien, como para |x| < R se tiene

f(x) = lımn→∞

Tn(x) =∞∑

n=0

xn

n!f (n)(0),

también se cumple

f(−x) =∞∑

n=0

(−1)nxn

n!f (n)(0),

y promediando resulta

12(f(x) + f(−x)

)− f(0) =

∞∑r=1

x2r

(2r)!f (2r)(0) = lım

k→∞

2k∑n=1

(−1)n−1(f(x)− Tn(x)).

Y como para |x| < R se tiene lımn→∞Rn(x) = 0, resulta finalmente que

∞∑n=1

(−1)n−1(f(x)− Tn(x)) =12(f(x) + f(−x)

)− f(0).

PROBLEMA 157, propuesto por Ovidiu Furdui, Toledo (OH,USA).

Sea k un numero real positivo. Calcular

limn→∞

∫ 1

0

{n

x

}k

dx,

donde {a} = a − bac es la parte fraccionaria del numero real a.

Solucion por Daniel Lasaosa Medarde, Universidad Publica de Navarra, Pam-plona, Espana

Hallamos en primer lugar el valor para k = 1. Para ello, tomemos la integral entre1N y 1, y dejemos que N tienda a infinito de forma independiente a n. Expresando elintervalo de integracion

(1N , 1

]como la union disjunta de subintervalos de la forma(

nm+1 , n

m

], es claro que la parte entera de n

x es constante en cada subintervalo, yes igual a m, con lo que∫ 1

1N

{n

x

}dx =

nN−1∑m=n

∫ nm

nm+1

(n

x− m

)dx = n

nN−1∑m=n

lnm + 1

m− n

nN−1∑m=n

n

m + 1=

= n

(n∑

m=1

1m

− lnn

)− n

(nN∑

m=1

1m

− ln(nN)

).

Ahora bien, como cuando M tiende a infinito se tiene queM∑

m=1

1m

= lnM + γ +1

2M+ O

(1

M2

),

entonces cuando n y N tienden a infinito, se tiene que∫ 1

1N

{n

x

}k

dx = nγ +12

+ O

(1n

)− nγ − O

(1N

),

que obviamente tiende a 12 cuando n y N tienden a infinito, con lo que

limn→∞

∫ 1

0

{n

x

}dx =

12.

Retomamos ahora el caso general para un valor cualquiera de k, y realizamos ladivision del intervalo de integracion en subintervalos de la forma

(n

m+1 , nm

], para

despues realizar el cambio de variable y = nx −m, con lo que dx = − ndy

(y+m)2 en cadaintervalo, obteniendose que∫ 1

0

{n

x

}k

dx =∞∑

m=n

∫ nm

nm+1

(n

x− m

)k

dx = n∞∑

m=n

∫ 1

0

ykdy

(y + m)2.

Notese entonces que, llamando Im a la integral del ultimo termino, se tiene que

1(k + 1)m2

=∫ 1

0

ykdk

m2> Im >

∫ 1

0

ykdk

(m + 1)2=

1(k + 1)(m + 1)2

,

con lo quen

k + 1

∞∑m=n

1m2

>

∫ 1

0

{n

x

}k

dx >n

k + 1

∞∑m=n+1

1m2

.

1

Esto concluye el problema, ya que por una parte se constata facilmente que ladiferencia entre las cotas superior e inferior es 1

n(k+1) , que claramente tiende a ceroal tender n a infinito, con lo que el lımite pedido es igual al lımite de cualquierade las dos cotas, mientras que por otra parte, salvo el factor de 1

k+1 , las cotas nodependen de k, con lo que el lımite es de la forma A

k+1 , donde A es una constanteque no depende de k, y por comparacion con el caso k = 1 se encuentra facilmenteque A = 1. Luego el valor del lımite pedido es 1

k+1 para todo real positivo k.

PROBLEMA 158, propuesto por Jose Hernandez Santiago, Oaxaca, Mexico.

A, B y C son preguntados sobre el caracter de la serie

1− 122008

+1

32008− 1

42008+ . . .

La persona A afirma que la serie es convergente y que su suma es un numeroirracional. La persona B concuerda con A en que es convergente, pero afirma quela suma es racional. Finalmente, el individuo C asegura que tanto A como Bestan equivocados y que la serie ni siquiera es convergente. Un cuarto individuoque pasaba por allı les recomienda solicitar el consejo de los lectores de la RevistaEscolar de la Olimpiada Iberoamericana de Matemticas.

Suponga que ellos hacen caso de esta sugerencia. Cual serıa su dictamen, esti-mado lector?

Solucion por Daniel Lasaosa Medarde, Universidad Publica de Navarra, Pam-plona, Espana

Demostraremos que A tiene razon y que las otras dos personas se equivocan. Dehecho, iremos mas alla y demostraremos que el valor de la suma es trascendente.Para ello, utilizaremos el siguiente resultado, relativamente conocido (ver por ejem-plo por ejemplo http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=10235 parauna demostracion):

ζ(2n)π2n

=(−1)n−122n−1B2n

(2n)!,

donde ζ(x) es la funcion zeta de Riemann y Bn son los numeros de Bernoulli,definidos respectivamente como

ζ(x) =1

Γ(x)

∫ ∞0

ux−1du

eu − 1=∞∑

n=1

1nx

,u

eu − 1=

∞∑m=0

Bmum

m!,

donde la segunda definicion de la funcion zeta es conclusion de la primera cuandox es entero positivo.

Demostraremos que los numeros de Bernoulli son racionales, quedando entoncesdemostrado que ζ(2008) es un multiplo racional no nulo de una potencia enterade π, es decir, que ζ(2008) es trascendente. La demostracion de que los numerosde Bernoulli son racionales es relativamente sencilla por induccion, ya que se com-prueba facilmente que B0 = 1, B1 = − 1

2 , y en general,

Bn =(

dn

dun

u

eu − 1

)∣∣∣∣u→0

,

donde la notacion indica que la expresion entre parentesis ha de ser evaluada en ellımite cuando u tiende a 0. Luego para todo N ≥ 2,

N∑n=0

(N

n

)Bn =

N∑n=0

(N

n

) ((dn

dun

u

eu − 1

) (dN−neu

duN−n

))∣∣∣∣u→0

=

=(

dN

duN

ueu

eu − 1

)∣∣∣∣u→0

=(

dNu

duN

)∣∣∣∣u→0

+(

dN

duN

u

eu − 1

)∣∣∣∣u→0

= 0 + BN ,

de donde para N ≥ 2, se cumple∑N−1

n=0

(Nn

)Bn. Podemos entonces expresar cada

BN−1 para N ≥ 2 como combinacion lineal, con coeficientes racionales, de los Bn

con n ∈ {0, 1, . . . , N − 2}, y al ser B0 y B1 racionales, todos los Bn son racionales,1

con lo que concluye la demostracion de que ζ(2008) es trascendente. Ahora bien,llamando S a la suma que se esta estudiando, se tiene que

ζ(2008)− S =2

22008

(1 +

122008

+1

32008+ . . .

)=

2ζ(2008)22008

,

S =22008 − 2

22008ζ(2008),

de donde S es un multiplo racional de ζ(2008), y por lo tanto tambien trascendente.

Problema 159, propuesto por José Luis Díaz Barrero, Barcelona, España.Calcular la suma

19105

+13315

+67

3465+ · · · + 4n2 + 16n + 19

16n4 + 128n3 + 344n2 + 352n + 105+ · · ·

Solución por José Heber Nieto, Maracaibo, Venezuela.Como 16n4 +128n3 +344n2 +352n+105 = (2n+1)(2n+3)(2n+5)(2n+7)

se obtiene fácilmente la siguiente expansión en fracciones simples del términogeneral de la serie:

Rn =1

4(2n + 1)− 1

4(2n + 3)+

14(2n + 5)

− 14(2n + 7)

.

Pero∞∑

n=0

(1

2n + 1− 1

2n + 3

)= 1 − 1

3+

13− 1

5+

15− · · · = 1

y análogamente

∞∑n=0

(1

2n + 5− 1

2n + 7

)=

15− 1

7+

17− 1

9+

19− · · · =

15,

por lo tanto la suma buscada es

∞∑n=0

Rn =14

(1 +

15

)=

310

.

Problema 160, propuesto por José Luis Díaz Barrero, Barcelona, España. Sea nF el n –ésimo número de Fibonacci, definido por

00 =F , 11 =F , y para todo 2>n , 21 −− += nnn FFF . Demostrar que

( ) ( )( ) 1

322

213

13

22

1122

<++

+++

+++

++++

nnnnn

nnnnnn

FFFFFFFFFFF

.

Solución de Bruno Salgueiro Fanego, Viveiro, Lugo. Sean 0≥n , nFa = , 1+= nFb y 2+= nFc . Por definición, abFFFc nnn +=+== ++ 12 . Además, { }nF es creciente, de donde aFF n =≤= 00 y bFF n =≤< +110 , con lo cual

( ) abcbab 3220 333 ++≤< , siendo entonces la desigualdad a demostrar ( ) ( )( ) 1

322

33

22

<++

+++abcba

acbbca⇔ ( ) ( ) ( ) abcbaacbbca 322 3322 ++<+++

⇔ ( ) ( ) ( ) ( )baabbababbaa +++<+++ 3223 3322 ⇔ 32232233 2333220 babbaaabbaba −−−−+++< ⇔ 2330 abba ++< , que es cierta porque 23330 abbab ++≤< .

Nota: La demostración anterior realmente prueba un resultado más general, que es el siguiente: Sean a y b números reales tales que a≤0 y b<0 , y sea bac += . Entonces

( ) ( )( ) 1

322

33

22

<++

+++abcba

acbbca .

Es más, si, bajo las mismas hipótesis, se analiza con algo más de detalle, se ve que si en vez de la desigualdad que se ha obtenido al final, 2330 abba ++< , se hubiese obtenido la 30 b< , el resultado se seguiría dando; esto ocurre si por ejemplo en lugar de ( ) ( ) ( ) ( )babbaaacbbca +++=+++ 232 2222 en el numerador se coloca ( ) ( ) ( ) ( )cabcbababbaa +++=+++ 22332 2222 , dando origen a este otro resultado, aún más general: Sean a y b números reales tales que a≤0 y b<0 , y sea bac += . Entonces

( ) ( )( ) 1

3222

33

22

<++

+++abcba

cabcba ,

el cual sugiere la siguiente posible reformulación del problema: Sea nF el n –ésimo número de Fibonacci, definido por

00 =F , 11 =F , y para todo 2>n , 21 −− += nnn FFF . Demostrar que

( ) ( )( ) 1

3222

213

13

22

1122

<++

+++

+++

++++

nnnnn

nnnnnn

FFFFFFFFFFF

.

Comentario de páginas web 33

Un foro peruano de geometría:

http://forogeometras.com

Creado a iniciativa de Edson Laura Gálvez, que es el autor de la animación sobre un problema de Stanley Rabinowitz que se publicó en uno de los números de la Revista, y con ayuda de varios colegas suyos, este foro peruano está especializado en problemas de Geometría, plana y del espacio. Con la globalización que tanto favorece Internet, en el foro hay, lógicamente, usuarios de todo el mundo, y no es raro ver intervenciones de Italia e incluso de Turquía, que han llevado a los administradores a subir un diccionario Inglés-Turco…

Es una interesante iniciativa, y desde aquí animo a todos los amantes de la geometría a que visiten el foro y, eventualmente, se registren en él.

Francisco Bellot Rosado

Valladolid, noviembre de 2008

Reseña de libros (33)

Dos títulos recientemente publicados: 10 matemáticos, 100 problemas (O.B.M.) y Sacred Mathematics (Japanese Temple Geometry), de H.Fukagawa y T. Rothman.

1) “10 matemáticos, 100 problemas”

Una idea de Juan Carlos Toscano, de la O.E.I., se ha plasmado, con ocasión de la Olimpiada Iberoamericana de Matemática, celebrada en Salvador de Bahía el pasado mes de septiembre, en lo que el coordinador de la obra, Prof. Eduardo Wagner, llama un libro de Matemáticas diferente de todos los demás.

En efecto, hace bastante tiempo surgió la idea de pedir, a 10 matemáticos involucrados en la Olimpiada, que enviasen “sus 10 problemas favoritos”, para ser publicada la recopilación en forma de libro. Con más o menos retraso, según las posibilidades y disponibilidad de cada uno, enviamos nuestras colaboraciones, que ahora han visto la luz, en la obra que comentamos, gracias a la Olimpiada Brasileña de Matemática. En realidad son más de 100 problemas, porque varios de nosotros enviamos más de 10…

Los problemas están ordenados por orden alfabético de los países, de modo que la lista empieza por Argentina (Patricia Fauring), y sigue con Brasil (Gustavo Tamm de Araújo Moreira), Colombia (María Falk de Losada), El Salvador (Carlos Canjura Linares), España (Francisco Bellot Rosado), México (José Antonio Gómez Ortega), Perú (Enrique Valeriano Cuba), Portugal (Joana Maria da Silva Teles Correia), Uruguay (Ariel Affonso), y finaliza con Venezuela (Rafael Sánchez Lamoneda).

El trabajo de organización de Eduardo Wagner ha sido excelente, y es curioso que, si no me equivoco, no hay ningún problema repetido en la recopilación, lo cual tampoco hubiera tenido que sorprender, porque a todos nos gustan los buenos problemas…

Aunque pueda sonar a inmodestia, siendo yo uno de los co-autores, creo sinceramente que es una obra que no debería faltar en la biblioteca de ningún problemista, sea o no aficionado a las Olimpiadas.

2) Sacred Mathematics (Japanese Temple Geometry), de H.Fukagawa y T. Rothman.

La editorial Princeton University Press acaba de publicar la obra Sacred Mathematics (Japanese Temple Geometry), de Hidetosi Fukagawa (probablemente el mejor conocedor de la Geometria del SanGaku) y Tony Rothman, con un prefacio de Freeman Dyson.

Se trata de una lujosa edición de 348 páginas, que se puede conseguir a través de Amazon, y a un precio realmente asequible, teniendo en cuenta el tamaño del libro (21x26 cm), la extraordinaria calidad del papel y de las numerosas ilustraciones y reproducciones, y, naturalmente, los fantásticos problemas con sus soluciones que se incluyen en él.

El propio Hidetosi Fukagawa, amigo del que suscribe desde hace muchos años, recomendó la inclusión de uno de los problemas del libro en la sección de Problemas de la REOIM, cosa que hemos hecho en este volumen, con el número 165. La solución del problema en el libro es la original japonesa del siglo XIX, y Fukagawa se pregunta si alguno de los lectores de la REOIM encontrará alguna solución más simple.

Resumimos los títulos de los 10 capítulos de que consta la obra:

1) Japan and Temple Geometry 2) The Chinese foundation of Japanese mathematics 3) Japanese Mathematics and mathematicians of the Edo period 4) Easier Temple Geometry problems 5) Harder Temple Geometry problems 6) Still harder Temple Geometry problems 7) The travel diary of mathematician Yamaguchi Kanzan 8) East and West 9) The mysterious Enri

10)Introduction to inversion

Será, sin duda, difícil superar el esfuerzo de los autores para acercar al mundo occidental la matemática tradicional japonesa, en particular la geometría de las tabletas de madera (Sangaku), colgadas en los templos para honrar a los dioses y glorificar a sus autores.

Francisco Bellot Rosado

Valladolid, noviembre 2008

 

Andrés Zavrotsky 1904 – 1995 Venezuela

“...dicen que es el quinto matemático del mundo...”

Comentario al pasar

Se conocen pocos datos de la vida privada del Dr. Zavrotsky, que él mismo mantenía en secreto y sus amigos de Mérida (Venezuela) han conservado así. Nació en San Petersburgo en 1904. En 1947 comenzó su actividad como Profesor de la Universidad Central de Venezuela, en Caracas; de 1944 a 1947 fue matemático del Servicio de Actuariado y jefe de la sección de Estadística en el Instituto Venezolano de Seguros Sociales; pasando en 1952 a la Universidad de los Andes, en Mérida, donde permanecería el resto de su vida. Se jubiló en la Universidad en 1974, pero siguió trabajando hasta el último día de su vida. Durante su permanencia en Caracas trabó amistad con Francisco José Duarte, eminente matemático venezolano. Zavrotsky era un hombre muy culto, con una sólida formación científico-humanista, políglota : hablaba ruso (del que, por alguna razón, no quería hacer gala), un excelente español (corregía a nativos y extranjeros sobre su correcto uso), francés, inglés, japonés, y según él mismo, entendía el alemán. Publicó entre 1945 y 1983 su colección de tablas de ecuaciones de tercero y quinto grado (Thesaurus equationum); según él mismo comentaba, el manuscrito original lo perdió cuando el barco de pasajeros en que viajaba fue torpedeado y hundido, al final de la segunda guerra mundial ; era proverbial su prodigiosa facilidad para el cálculo mental : se decía que conocía de memoria los logaritmos de todos los números; y se decía también que había hecho los cálculos para el último tramo del teleférico de Mérida (1958), que es el más alto y largo del mundo. En 1961 patentó un dispositivo para calcular el máximo común divisor de dos enteros cualesquiera. En 1952, con Fausto González, realizó la película de animación El teseracto o Hipercubo, con objeto de “ilustrar” la cuarta dimensión. A partir de 1974, tras su jubilación, se dedicó a enseñar en su casa, gratuitamente, a niños de primaria y jóvenes de bachillerato. Nunca permitió que se le rindieran homenajes. En 1983 la Asociación de Profesores de la Universidad de los Andes quiso ofrecerle una placa de reconocimiento. El Dr. Zavrotsky renunció a ella. En su Memorandum de renuncia, Zavrotsky recuerda que desde 1967, en que se produjo un asalto contra el Aula Magna de la Universidad, asalto que nunca fue castigado, se veía incapacitado para recibir distinción alguna. (La Junta Directiva de la Asociación de Profesores solicitó de todos sus miembros abstenerse de acudir a todo acto académico hasta que se aplicaran las sanciones a los asaltantes). El Dr. Zavrotsky también se interesó por la geografía de la región de Mérdia, que recorrió extensamente, y por fenómenos naturales extraordinarios como El Relámpago del Catatumbo. Murió en Mérida, el 26 de diciembre de 1995.

Alfonso Nápoles Gándara 1897 – 1992 México

No importa que ustedes olviden el nombre del teorema

Y en qué consiste; para estudiarlo entendieron y ejercitaron el razonamiento. Ese ejercicio intelectual es el que deja huella.

A.Nápoles a sus alumnos

Nació en Cuernavaca, Morelos. En 1910 ingresó en la Escuela nacional Preparatoria (que incluía la secundaria), y asistió a los cursos en plena tormenta revolucionaria. En 1916 empezó los estudios en la Escuela nacional de Ingenieros. Sustituyó a Sotero Prieto como profesor de dicha escuela en 1921, a propuesta de éste. Allí permaneció dando clases hasta 1946. En 1930 fue profesor en la Escuela de Altos Estudios, y en 1939 participó en la fundación de la Escuela Normal Superior. Una fecha clave en su carrera es el año 1930, en que consigue la primera beca para un matemático mexicano para estudiar en el Massachussets Institute of Technology, de la Fundación Guggenheim. En el MIT , de 1930 a 1932, se examinó de 14 cursos semestrales de categoría A (para graduados), no tratados en México antes de 1932, obteniendo en 11 de ellos la calificación máxima (H, equivalente a la Matrícula de Honor). En 1934 contribuye a crear la faculatd de Ciencias Físico-Matemáticas, e invita al Prof. Dirk J. Struik (del MIT) a dictar seminarios en la Academia de Ciencias. En 1940 se le concede el doctorado en Matemáticas por la Universidad Nacional. Fue promotor, en 1942, del primer Congreso Nacional de Matemáticas; y Presidente de la Sociedad Matemática Mexicana en los períodos 1943 – 1955 y 1957 – 1961, y a partir de esta última fecha, Presidente honorario vitalicio. En 1965 es nombrado investigador emérito. El destino de las Matemáticas mexicanas estuvo en sus manos durante al menos treinta años. Murió el 11 de noviembre de 1992.

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