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Revista de la Asociación Española de Ingeniería Mecánica Año 15 / volumen 4 / Diciembre 2004

EDITORES

Dña. Susana Martínez Pellitero D. Joaquín Barreiro García

Organizan:

Universidad de León Escuela Superior de Ingeniería Industrial e Informática

Asociación Española de

Ingeniería Mecánica

Imprime: SERVICIO DE PUBLICACIONES DE LA UNIVERSIDAD DE LEÓN

ISSN: 0212-5072 Depósito Legal: BI-71-97 ISSN (Edición Digital): 1698-5990

COMITÉ ORGANIZADOR Presidente de Honor:

Magfco. Y Excmo, Sr. Rector de la Universidad de León D. Ángel Penas Merino Presidente:

D. Julio Labarga Ordóñez Secretario:

D. Joaquín Barreiro García Vocales:

Dña. Susana Martínez Pellitero Dña. Hilde Pérez García Dña. Ana Isabel Fernández Abia D. Pablo Rodríguez Mateos D. Javier García Puente

COMITÉ CIENTÍFICO D. Mariano Artés Gómez D. Emilio Bautista Paz D. Francisco Javier Belzunce Varela D. Jesús Casanova Kindelan D. Pedro Pablo Company Calleja D. Antonio Crespo Martínez D. Manuel Doblaré Castellano D. Jaime Domínguez Abascal D. Alfonso Fernández Canteli D. Jose Esteban Fernández Rico D. Carlos Ferrer Giménez D. Francisco Javier Fuenmayor Fernández D. Javier García de Jalón D. Javier Gómez-Aleixandre Fernández D. Juan Carlos Hernández D. Pablo Luque Rodríguez

D. Julián Martínez de la Calle D. Francisco Payri González D. Javier Páez Ayuso D. Jesús M. Pérez García D. Jorge Pistono Favero D. Fernando Ramiro Herranz D. Carlos Ranninger Rodríguez D. Manuel Recuero López D. Fernando Romero Subirón D. Jose Carlos Rico Fernández D. Carlos Santolaria Morros D. Miguel Angel Sebastián Pérez D. Fernando Torres Leza D. Carlos Vera Alvarez D. Antonio Vizán Idoipe

ENTIDADES COLABORADORAS

Junta de Castilla y León Diputación de León Ayuntamiento de León

Colegio Superior de Ingenieros Colegio de Ingenieros Técnicos Ministerio de Educación y Ciencia Industriales de Asturias y León Industriales de León

ÍNDICE VOLUMEN 4

MÉTODOS MATEMÁTICOS Y NUMÉRICOS EN INGENIERÍA MECÁNICA

DESARROLLO DE UN SERVICIO GRID PARA EL ANÁLISIS 3D DE ESTRUCTURAS DE EDIFICACIÓN José Miguel Alonso Ábalos, Carlos de Alfonso Laguna, Vicente Hernández García .............................. 2387

COMPUTACIÓN DE ALTAS PRESTACIONES PARA LA RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE HELMHOLTZ: APLICACIÓN AL ESTUDIO DE SILENCIADORES DE ESCAPE José Miguel Alonso Ábalos, Francisco David Denia Guzmán, Francisco Javier Fuenmayor Fernández, Gabriel García García, Vicente Hernández García ................................................................ 2397

MINIMIZANDO LOS TIEMPOS DE ANÁLISIS 3D DE ESTRUCTURAS DE EDIFICACIÓN DE GRAN DIMENSIÓN José Miguel Alonso Ábalos, Gabriel García García, Vicente Hernández García..................................... 2407

BANDA EXTENSOMÉTRICA VIRTUAL: DISEÑO Y APLICACIONES DE UNA NUEVA HERRAMIENTA EN EL CAMPO DE LOS ELEMENTOS FINITOS Carolina Álvarez Caldas, José Luis San Román García, Alejandro Quesada González, Belén Muñoz Abella................................................................................................................................. 2417

APLICACIÓN DEL MÉTODO LTDRM EN LA MODELIZACIÓN DEL PROCESADO DE MATERIALES CON LÁSER José Manuel Amado, Alberto Ramil, Emilio Saavedra, María José Tobar, Armando Yáñez .................. 2423

UNA TEORÍA GEOMÉTRICA DE DISLOCACIONES EN REDES CRISTALINAS DISCRETAS M.P. Ariza, M. Ortiz................................................................................................................................. 2433

MODELIZACIÓN NUMÉRICA DEL SISTEMA SEMITRANSVERSAL DE VENTILACIÓN EN EL “MEMORIAL TUNNEL”. VALIDACIÓN EXPERIMENTAL Rafael Ballesteros Tajadura, Carlos Santolaria Morros, Marcos Fernández Lamuño.............................. 2441

MODELIZACIÓN NUMÉRICA DEL SISTEMA LONGITUDINAL DE VENTILACIÓN EN EL “MEMORIAL TUNNEL”. VALIDACIÓN EXPERIMENTAL Rafael Ballesteros Tajadura, Carlos Santolaria Morros, Mónica Galdo Vega ......................................... 2451

I

ÍNDICE VOLUMEN 4

DETECCIÓN DE ESPURIOS EN LA ESTIMACIÓN A PARTIR DE DATOS DE PROCESO DE LAS PROPIEDADES MECÁNICAS DE CHAPA GALVANIZADA Manuel Castejón Limas, Ana González Marcos, Fernando Alba Elías, Alpha V. Pernía Espinoza ................................................................................................................................................... 2461

COMPORTAMIENTO DE INTEGRADORES ESTRUCTURALES Y RUNGE-KUTTA IMPLÍCITOS EN LA DINÁMICA EN TIEMPO REAL DE SISTEMAS MULTICUERPO Daniel Dopico Dopico, Javier Cuadrado Aranda ..................................................................................... 2469

DETECCIÓN REMOTA DE DEFECTOS OCULTOS BAJO RECUBRIMIENTOS VISCOELÁSTICOS José Manuel Galán Fernández, Ramón Abascal García, José Angel González Pérez.............................. 2475

COMPARACIÓN DE MÉTODOS NUMÉRICOS PARA LA SIMULACIÓN DE INTERCAMBIADORES DE CALOR ENTERRADOS VERTICALES Jesús García-Fernández, Santiago Hervás-Salado, José Luis Rico-Díaz, Antonio J. Sánchez-Bueno, Carmen María García-López, Francisco R. Villatoro .................................................................. 2481

SIMULACIÓN NUMÉRICA EN PARALELO DE FLUJOS CON CAPA LÍMITE DESPRENDIDA: APLICACIONES EN AERODINÁMICA CIVIL José Ángel González Pérez, Jesús Sánchez Vázquez ............................................................................... 2491

TÉCNICAS MONTE CARLO APLICADAS AL ANÁLISIS TEÓRICO-EXPERIMENTAL DE COMPRESORES DE REFRIGERACIÓN Emilio Navarro, Eric Granryd, Pedro Fernández de Córdoba, Javier Fermín Urchueguia....................... 2501

MODELADO Y SOLUCIÓN NUMÉRICA DE LA CONDUCCIÓN DE CALOR TRANSITORIA EN EL SUBSUELO. APLICACIÓN A INTERCAMBIADORES DE CALOR ENTERRADOS Luis Patiño, Ismael Orquin, Javier Fermín Urchueguia, Pedro Fernández de Córdoba, Franciasco R. Villatoro............................................................................................................................. 2509

ESTUDIO DE LA PROPAGACIÓN DÚCTIL EN UNIONES SOLDADAS MEDIANTE LA PROGRAMACIÓN DE UN MODELO DE DAÑO Y SU INCORPORACIÓN AL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS Inés Peñuelas, Covadonga Betegón.......................................................................................................... 2519

SOLUCIONES ANALÍTICAS A LA ECUACIÓN DE CONDUCCIÓN DEL CALOR SOBRE GEOMETRÍAS SIMPLES CON LÍMITES FÍSICOS: MÉTODO DE LAS IMÁGENES A. Ramil, E. Saavedra, A.J. López, M.P. Mateo, G. Nicolás, V. Piñón ................................................... 2527

ANÁLISIS DE LAS FUENTES DE ERROR EN MODELOS DE SIMULACIÓN APLICADAS A LA DETERMINACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE ASOCIADA A MODELOS DE BOGIES DE FERROCARRIL MEDIANTE M.E.F. Santiago Rodríguez Fernández, José Luis San Román García, Alejandro Quesada González................. 2537

MODELO PARA LA SIMULACIÓN DEL COMPORTAMIENTO DINÁMICO DE ROTORES FLEXIBLES CON APOYOS NO LINEALES SITUADOS SOBRE UNA ESTRUCTURA NO RÍGIDA Heller Guillermo Sánchez Acevedo, Jesús María Pintor Borobia ............................................................ 2547

II

2509

Modelado y Solución Numérica de la Conducción de Calor Transitoria en el Subsuelo. Aplicación a Intercambiadores de

Calor Enterrados

L. Patiño(1), I. Orquín(1), J. Urchueguía(1), P. Fernández de Córdoba(1), F.R. Villatoro(2)

(1) Investigación y Modelado de Sistemas Térmicos / Instituto de Ingeniería

Energética. Universidad Politécnica de Valencia, Camino de Vera, 14, 46022, Valencia – España. Telf(+34) 963879895 e-mail:[email protected]

(2)Departamento de Lenguajes y Ciencias de la Computación

Universidad de Málaga, Campus de Teatinos, 29071 Málaga. - España

Resumen Se realiza un análisis numérico de diferentes modelos de trasferencia de calor en el subsuelo aplicado al caso de intercambiadores de calor enterrados. Se resuelven numéricamente un modelo matemático unidimensional, y otro bidimensional transitorio constituido por varias fuentes de calor que son tratadas numéricamente mediante términos fuente en la ecuación diferencial. Para el modelo unidimensional se han comparado diferentes métodos numéricos conservativos y no conservativos, que resuelven de múltiples formas la singularidad presente en el origen. Una comparación entre todos los métodos analizados muestra que el más adecuado se basa en el método de volúmenes finitos de segundo orden en espacio y un esquema de tipo Crank-Nicolson de segundo orden en tiempo. Se ha aplicado dicho método al problema bidimensional y se ha simulado un problema con tres fuentes de calor (intercambiadores enterrados), obteniéndose resultados satisfactorios que muestran que la interacción entre los intercambiadores no puede ser modelada utilizando sólo modelos unidimensionales. Palabras Clave: Conducción de calor, intercambiadores enterrados, volúmenes finitos. Abstract The numerical analysis of subsoil heat transfer models for ground heat exchangers is the subject of this paper. One- and two-dimensional mathematical models for unsteady conditions have been solved, introducing several heat sources which have been treated as source terms into the differential equations. The one-dimensional model is solved by using several numerical methodologies, in order to evaluate the one yielding the best solution for the singularity located at the spatial origin of the model. The most efficient method found amongst those analyzed in this paper was the finite volume method of second-order in space with a second-order Crank-Nicolson temporal discretizacion. This method has been applied to a two-dimensional problem with three U-tubes, obtaining satisfactory numerical results, and showing that the interaction among the tubes cannot be neglected for long times, as done by one-dimensional, standard models. Keywords: Heat conduction, ground heat exchangers, finite volume methods.

2510

Métodos Matemáticos y Numéricos en Ingeniería Mecánica

1. Introducción

El almacenamiento subterráneo de energía térmica (UTES – Underground Thermal

Energy Storage) ha tenido un empuje importante en los últimos años, y en la actualidad

se están desarrollando sistemas de acondicionamiento de aire y de calefacción basados

en bombas de calor utilizando intercambiadores de calor enterrados [1]. El fluido que se

transporta por estos intercambiadores intercambia energía térmica con el subsuelo,

generándose un gradiente transitorio de temperaturas en la tierra. Cuando estos sistemas

trabajan en modo frío la corriente de agua que se transporta a través del intercambiador

de calor es caliente, y en este caso el calor que posee el agua es transferido al subsuelo,

lo cual trae como consecuencia que la tierra aumente su temperatura. Por el contrario, si

el sistema bomba de calor trabaja en modo calor, el agua que se transporta a través del

intercambiador enterrado está a baja temperatura y adsorbe energía térmica de la

formación, lo cual implica una disminución de la temperatura del subsuelo. En

cualquiera de los dos casos se evidencia un fenómeno de transferencia de energía

térmica, con característica transitoria.

Para el diseño de estos sistemas es de fundamental importancia utilizar procedimientos

de cálculo de la transferencia de calor en el subsuelo. Investigadores han desarrollado

metodologías analíticas y numéricas para evaluar la transferencia de calor en el

subsuelo. Entre las metodologías analíticas desarrolladas se encuentra la teoría de la

fuente lineal desarrollada por Kelvin [2], la cual consiste en suponer que el calor

transportado de la tubería al subsuelo representa una fuente lineal de generación de

calor de sección infinitesimal. Otra de las metodologías analíticas utilizadas es la

aproximación de Kavanaugh, en la que la fuente de calor se modela como un cilindro de

diámetro finito [3,4]

El objetivo fundamental de este trabajo es presentar un estudio que permita determinar

la metodología numérica más eficiente para resolver la ecuación de conducción de calor

en coordenadas radiales con una fuente de calor en el origen (modelo unidimensional de

Kelvin), y luego extender este método numérico a la resolución de un modelo

bidimensional transitorio desarrollado y constituido por varias fuentes de calor, las

cuales son tratadas numéricamente como términos fuente en la ecuación diferencial.

2511


2. Formulación analítica del problema

El intercambio de calor entre un tubo enterrado y el subsuelo se puede modelar a través

de la ecuación general de conducción de calor:

( )P vTC k T qt

ρ ∂= ∇ ∇ +

∂

r ro ,

donde T representa la temperatura de la formación (subsuelo), qν es una fuente o

sumidero de calor, t es el tiempo, y ρ, CP y k, representan la densidad, el calor

específico y la conductividad térmica del subsuelo, respectivamente.

Suponiendo que el flujo de calor sólo se lleva a cabo en la dirección radial, puede

expresarse la ecuación (1) como

1 ,PT TC rkt r r r

ρ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞= ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

donde r la coordenada en la dirección radial. La ecuación (2) conjuntamente con las

siguientes condiciones de contorno e iniciales

( ) vqtrrTrk ==

∂∂

− ,02π , ( ) 0, TtrT =∞→ , ( ) 00, TtrT == ,

representan el modelo matemático utilizado en el modelo de la línea de Kelvin, cuya

solución analítica puede obtenerse fácilmente como

( ) ( )βπ i

v Ek

qTtrT

4, 0 += ,

donde Ei(β) es la función exponencial integral,

( ) dzz

eEz

i ∫∞ −

=β

β , 2

4 Pr Ckt

β ρ= .

3. Métodos numéricos

3.1. Método en diferencias finitas no conservativo para el caso unidimensional

Se puede resolver la ecuación (2) mediante un θ-método en tiempo y una discretización

de segundo orden centrada en el espacio. El θ-método comprende a los métodos

estándares de Euler explícito, Crank-Nicolson, y Euler implícito para sus valores θ = 0,

θ = 1/2, y θ = 1, respectivamente [6]. En general, el parámetro θ se utiliza sólo en el

(1)

(2)

(4)

(5)

(3)

2512


intervalo [0,1]. La ecuación en diferencias finitas resultante, para los nodos interiores al

dominio, es la siguiente

( )

( ) ( )( ) ( )

1 11 1

1 1

1 1 2 12 2

1 1 1 2 1 1 1 ,2 2

n n nj j j

j j

n n nj j j

j j

r rT T Tr r

r rT T Tr r

αθ αθ αθ

α θ α θ α θ

+ +− +

− +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∆ ∆− − + + − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞∆ ∆

− − + + − + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

donde se ha utilizado el número adimensional de Fourier definido como

2 .P

k tC r

αρ

∆=

∆

La ecuación (2) presenta una singularidad en el origen (r = 0), por lo que dicho punto a

de ser tratado como parte de las condiciones de contorno. Podemos utilizar 3

aproximaciones para las condiciones de contorno, que denominaremos A, B y C. En la

aproximación tipo A, discretizamos la ecuación en el punto ((j+½) ∆r, (n+θ) ∆t)

utilizando una aproximación de segundo orden para la primera derivada espacial. En la

aproximación tipo B, se utiliza una aproximación de primer orden para la primera

derivada espacial en el origen, pero evaluando la coordenada radial en el punto ∆r/4.

Finalmente, en la aproximación tipo C, donde se completa el sistema de ecuaciones

lineales para los nodos interiores mediante la discretización de la propia ecuación

diferencial en el nodo de frontera aplicando un θ-método en tiempo y una aproximación

que también depende del parámetro θ para la derivada espacial.

3.2. Método en diferencias finitas conservativo para el caso unidimensional

Un método en diferencias finitas conservativo, o de volúmenes finitos, se puede obtener

directamente integrando en espacio en un pequeño volumen alrededor de cada nodo

interno del dominio la ecuación diferencial original, siguiendo las líneas del método

desarrollado por Patankar [7]. Para la incorporación de las condiciones de contorno se

utilizaron las aproximaciones tipo A y C, ya descritas en el apartado anterior.

3.3. Método de volúmenes finitos para el caso bidimensional

En el caso bidimensional se puede aplicar directamente el método de volúmenes finitos

de Patankar, pero ahora integrando en una región rectangular alrededor de cada nodo

interno, omitimos los detalles por brevedad, que aparecen en la referencia [7].

(6)

(7)

2513


4. Resultados

4.1. Modelos unidimensionales

Las simulaciones realizadas con los modelos unidimensionales se han estructurado en

once casos distintos denominados de 1 a 11. Se han utilizado diferencias finitas para los

casos 1 a 6, y volúmenes finitos para los 7 a 11, en ambos casos de segundo orden en

espacio para los puntos interiores. Los casos 1 a 3, 7 y 8, se basan en un Euler implícito,

de primer orden en tiempo, y los 4 a 6, 9 y 10, en el de Crank-Nicolson, de segundo

orden, y finalmente el caso 11 utiliza un Euler explícito de primer orden en tiempo. Para

la condición de contorno en la singularidad en el origen, se han utilizado las

aproximaciones de tipo A en los casos 1, 4, 7, 9 y 11, de tipo B en 2 y 5, y de tipo C en

los restantes. Para cada uno de estos once casos se han realizado 24 simulaciones para

diferentes valores de la malla espacial (∆r), y paso de tiempo (∆t), dando lugar a un

total de 264 simulaciones diferentes. Todos ellas fueran realizadas con los siguientes

parámetros, ρ = 1850 Kg/m3, k = 1,4 W/mK, CP = 2050 J/KgK, qv = 20 W, que son

representativos del problema de intercambiadores de calor enterrados.

Para evaluar los métodos numéricos en estudio se determinaron los errores relativos se

compararon los resultados en cada caso con la solución analítica conocida utilizando las

normas 1 (Eeu en la tabla 2), e infinito (Einf en dicha tabla), definidas como

( )( )2

11 /1 ∑

=

−=n

iAiAiNi TTT

nE , ( )( )AiAiNi TTTE /max2 −= ,

respectivamente, donde los subíndices N y A indican las soluciones numérica y

analítica, respectivamente, y n es el número total de nodos.

En las figuras 1 y 2 se presentan los errores relativos entre los métodos numéricos y la

solución analítica en normas uno e infinito, respectivamente, para siete de los casos

estudiados, utilizando 1 segundo como paso de tiempo. Dichas figuras muestran que a

medida que el incremento espacial disminuye los errores también lo hacen, verificando

así, la dependencia del resultado del esquema numérico con el incremento espacial

seleccionado. Dichas figuras también muestran que los errores son menores en los casos

8 y 10, que casi coinciden en norma uno (figura 1), pero en norma infinito la se

observan ligeras diferencias entre dichos casos.

(8)

2514


Tabla 2. Errores relativos en norma uno (Eeu) e infinito (Einf) para los casos estudiados.

dr (mm) / dt (s) 1 10 30 60 1 10 30 601 1,76E-06 4,05E-05 1,33E-04 2,71E-04 1,76E-06 4,05E-05 1,33E-04 2,71E-042 1,55E-05 2,71E-05 1,19E-04 2,57E-04 1,55E-05 2,71E-05 1,19E-04 2,57E-044 6,11E-05 2,33E-05 2,76E-04 2,13E-04 6,11E-05 2,33E-05 2,76E-04 2,13E-048 2,02E-04 1,62E-04 3,08E-04 3,30E-04 2,02E-04 1,62E-04 3,08E-04 3,30E-04

16 6,08E-04 5,68E-04 4,79E-04 3,49E-04 6,08E-04 5,68E-04 4,79E-04 3,49E-0432 1,70E-03 1,66E-03 1,57E-03 1,43E-03 1,70E-03 1,66E-03 1,57E-03 1,43E-031 1,58E-02 1,58E-02 1,57E-02 1,56E-02 2,37E-02 2,36E-02 2,35E-02 2,34E-022 1,58E-02 1,58E-02 1,57E-02 1,56E-02 2,37E-02 2,36E-02 2,35E-02 2,34E-024 1,59E-02 1,59E-02 1,58E-02 1,56E-02 2,37E-02 2,37E-02 2,36E-02 2,34E-028 1,61E-02 1,61E-02 1,60E-02 1,58E-02 2,39E-02 2,38E-02 2,37E-02 2,36E-02









16 4,35E-04 4,66E-04 5,35E-04 6,43E-04 5,37E-04 5,84E-04 6,91E-04 8,60E-0432 1,59E-03 1,62E-03 1,68E-03 1,78E-03 1,91E-03 1,95E-03 2,04E-03 2,17E-031 1,16E-04 * * * 2,77E-04 * * *2 1,65E-04 * * * 3,01E-04 * * *4 2,35E-04 2,24E-04 inf * 7,95E-04 8,68E-04 * *8 3,65E-04 3,23E-04 2,70E-04 3,52E-04 1,27E-03 8,47E-04 7,02E-04 9,52E-04

16 7,43E-04 7,01E-04 6,11E-04 4,83E-04 1,84E-03 1,69E-03 1,36E-03 9,05E-0432 1,70E-03 1,67E-03 1,61E-03 1,52E-03 2,62E-03 2,57E-03 2,45E-03 2,27E-03

Einf

CASO 1

CASO 2

CASO 3

Eeu

CASO 4

CASO 5

CASO 6

CASO 7

CASO 8

CASO 9

CASO 10

CASO 11

En las figuras 3 y 4 se ha fijado el tamaño de la malla ∆r en 1 mm, y se presentan los

errores en normas uno e infinito, respectivamente, en función del paso de tiempo. Se

2515


observa en dichas figuras que los casos 4 y 10 son los mejores en norma uno (figura 3)

y que sorprendentemente el caso 1 es el mejor en norma infinito (figura 4).

La comparación desarrollada entre todos los casos para los métodos numéricos

unidimensionales muestra que el caso 10 es el que mejor se comporta globalmente, por

lo que dicho método ha sido el seleccionado para la resolución numérica del problema

bidimensional, es decir, un método de volúmenes finitos (o en diferencias finitas

conservativo), basado en un esquema tipo Crank-Nicolson (θ = 1/2), y discretización

basada en un punto ficticio con aplicación de la ecuación diferencial en el contorno para

su eliminación en las ecuaciones algebraicas resultantes.

4.2. Modelo bidimensional

El problema bidimensional simulado consiste en un dominio cuadrado de 1,5 m de lado,

dividido en pequeños volúmenes de lado el paso de la malla espacial, y que posee tres

Figura 1. Eeu vs. ∆r, para ∆t = 1 s Figura 2. Einf vs. ∆r, para ∆t = 1 s

Figura 3. Eeu vs. ∆t, para ∆r = 1 mm Figura 4. Einf vs. ∆t, para ∆r = 1 mm

0,0000

0,0002

0,0004

0,0006

0,0008

0,0010

0,0012

0,0014

0,0016

0,0018

0 5 10 15 20 25 30 35

dr (mm)

Eeu

CASO 1CASO 4CAS0 7CASO 8CASO 9CAS0 10CASO 11

0,0000

0,0005

0,0010

0,0015

0,0020

0,0025

0,0030

0 5 10 15 20 25 30 35dr (mm)

Einf

CASO 1CASO 4CASO 7CASO 8CASO 9CASO 10CASO 11

0,0000

0,0001

0,0001

0,0002

0,0002

0,0003

0,0003

0,0004

0,0004

0,0005

0,0005

0 10 20 30 40 50 60 70dt (s)

Einf

CASO 1CASO 4CASO 7CASO 8CASO 9CASO 10

0,0000

0,0001

0,0001

0,0002

0,0002

0,0003

0,0003

0 10 20 30 40 50 60 70dt (mm)

Eeu

CASO 1CASO 4CASO 7CASO 8CASO 10CASO 9

2516


fuentes de calor espaciadas 0,6 m, modelando tres intercambiadores de calor enterrados.

Los flujos de calor en este modelo son tratados numéricamente como términos fuente en

la ecuación diferencial, teniendo así tres volúmenes elementales en el dominio tratados

como fuentes de calor, y el resto sin fuentes. Los restantes datos de las simulaciones son

los mismos que en el caso unidimensional.

Las figuras 5, 6 y 7 presentan la distribución de temperaturas (ºC) de la tierra para 12,

15 y 20 horas, respectivamente, que muestran cómo inicialmente las fuentes de calor no

interactúan entre ellas, aunque al aumentar el tiempo las líneas de flujo interceptan,

mostrando efectos bidimensionales no presentes en el modelo unidimensional para cada

fuente por separado, transformando el problema unidimensional a uno bidimensional.

Para mostrar mejor las diferencias entre el modelo bidimensional y el unidimensional, la

figura 8 compara ambas soluciones, mostrando que, para tiempos pequeños ambas

soluciones son muy parecidas, pero para tiempos grandes, el modelo de la fuente lineal

difiere de la respuesta bidimensional física.

Figura 5. Temperaturas para t = 12 horas Figura 6. Temperaturas para t = 15 horas

Figura 7. Temperaturas para t = 20 horas Figura 7. Comparación numérica bidimensional y analítica unidimensional

17

19

21

23

25

27

29

31

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4Posición (m)

Tem

pera

tura

(ºC

)

Bidimensional, t = 72000 sBidimensional, t = 36000 sBidimensional, t = 3600 sLinea infinitaLinea InfinitaLínea infinita

2517


4. Conclusiones

Se ha presentado un estudio de diferentes esquemas numéricos para la simulación de

intercambiadores de calor enterrados, tanto utilizando modelos unidimensionales

radiales como completamente bidimensionales. El análisis unidimensional mostró que

el método más adecuado es el de volúmenes finitos de segundo orden en espacio con un

Crank-Nicolson en tiempo. De esta forma, se ha desarrollado una metodología eficiente

para modelar la transferencia de calor en el subsuelo en sistemas geotérmicos con varios

intercambiadores de calor (fuentes de calor) en interacción. Los resultados obtenidos

muestran que el modelo unidimensional, habitualmente utilizado en el diseño de

intercambiadores enterrados, sólo es aplicable cuando los intercambiadores están

suficientemente alejados para que su interacción mutua sea despreciable, y que en todo

caso, tras un tiempo suficientemente grande se observan intercepciones entre las líneas

de flujos de calor que requieren el uso de un modelo bidimensional.

5. Referencias 1. ASHRAE, Operating Experiences with Commercial Vertical Borehole Groundloop

Heat Pump Installation, Vol. 1, N°8, (1998).

2. Ingersoll, L. R., O. J. Zobel, and A. C. Ingersoll. Heat Conduction withEngineering,

Geological, and Other Applications. New York: McGraw-Hill. (1954).

3. S. Kavanaugh, Simulation and experimental verification of vertical groundcoupled

heat pump systems. Ph.D. dissertation. Stillwater, Oklahoma: Oklahoma State

University. (1985).

4. C. Yavusturk, Modeling of Vertical Ground Loop Heat Exchangers for Ground

Source Heat Pump Systems, PhD Thesis Oklahoma State University, (1998).

5. IGSHPA. (Bose, J.E., Editor) Design and Installations Standards.

Stillwater,Oklahoma: International Ground Source Heat Pump Association. (1991).

6. J. Thomas, Numerical partial differential equations: Finite difference methods,

Springer Cop, (1995).

7. S. Patankar, Numerical Heat Transfer and Fluid Flow. Hemisphere, New York,

(1980.)

8. R. Chichota, Environmental Modelling & Software, Vol 19, 2004., 495-506.

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