revisión de las teorías de placas laminadas -...

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4 Revisión de las Teorías de Placas Laminadas

4.1 Introducción. Las estructuras laminadas, como ya fue descrito en el capítulo 3, están formadas por el apilamiento de láminas de materiales compuestos con diferentes orientaciones de fibra. El objetivo de este capítulo es describir las teorías de laminados compuestos más comúnmente utilizadas. De esta forma, para un mejor entendimiento de esta sección sobre el análisis de placas compuestas laminadas será presentado un pequeño resumen de acuerdo a las siguientes teorías mostradas por Reddy [27]:

1. Teoría de de Lámina Equivalente, ESLT – Equivalent Single Layer Theory (2-D).

(i) Teoría Clásica de Placas Laminadas, CLPT – Classical Laminated Plate Theory.

(ii) Teoría de Primer Orden de Mindlin, FSDT – First-order Shear Deformation Theory.

(iii) Teoría de Orden Superior, HSDT – Higher-order Shear Deformation Theory.

2. Teoría de Lámina Discreta, LWT – Layerwise Theory (3-D).

Por ser bidimensional, la Teoría de Lámina Equivalente es más simple. Lo que diferencia a los tres modelos ESLT es la consideración o no, de los efectos del cizallamiento fuera del plano de la lámina. Por tanto en las próximas secciones se presentarán más detalladamente las teorías basadas en ESLT. Por otro lado, la Teoría de Lámina Discreta LWT, considera la continuidad de las tensiones σzz, τxz y τyz en las interfaces de las láminas, representando resultados más precisos, principalmente para la tensión transversal normal σzz.

El análisis de placas y laminados en materiales compuestos también podría realizarse por medio de la Teoría Tridimensional de la Elasticidad o bien la Teoría de Placas y Láminas. En la Teoría de la Elasticidad cada lámina es considerada como un medio continuo, con propiedades diferentes a la lámina adyacente. Además del número de ecuaciones diferenciales de equilibrio generadas, [3 x nº láminas] son empleadas ecuaciones adicionales para garantizar la continuidad de desplazamientos y tensiones. A medida que el número de láminas aumenta, el sistema de ecuaciones a resolver es cada vez mayor, dificultando su resolución. Por otro lado, en las teorías de placas laminadas, en cada lámina se considera un estado plano de tensiones con unión perfecta entre láminas, o sea sin deslizamiento. Las propiedades del material laminado, tal como la rigidez, son obtenidas integrando las propiedades materiales de cada lámina, a lo largo del espesor del laminado. Por tanto, las teorías de láminas y placas laminadas pueden ser

24 Teoría de Placas Laminadas

equivalentes a las teorías de una lámina, reduciéndose así el número de ecuaciones necesarias para describir el sistema.

A lo largo de este trabajo serán presentadas varias teorías de Placas Laminadas, basadas en la hipótesis de asumir un campo de desplazamientos. El origen de estas teorías se atribuye a [Basset, 1890]. El campo de desplazamientos de Basset para una lámina consiste en una expansión en serie de la coordenada del espesor, ζ. Por ejemplo,

, , , ,

donde (ε1,ε2) son las coordenadas curvilíneas de la superficie media de la lámina:

, , 0, 0,1,2 …

Más tarde, Hildebrand et al [1949] presentaron una teoría de deformación cortante para laminados, cuyo campo de desplazamientos, (4.1-4.3) originalmente presentado por Hencky [1947], viene dado por:

, , , , (4.1)

, , , , (4.2)

, , , (4.3)

Esta aproximación da origen a cinco ecuaciones diferenciales y es considerada como la Teoria de Placa de primer orden de Mindlin [1951], quien presentó una teoría dinámica para placas isótropas basándose en el anterior campo de desplazamientos. Otras teorías de deformación cortante de orden superior fueron estudiadas por Librescu [1975], Lo et al [1977], Murthy [1981] y Levinson [1980], entre otros.

4.2 Ecuaciones de Euler-Lagrange. A continuación se muestran las ecuaciones de placas y láminas, resueltas mediante el cálculo variacional. El cálculo de variaciones busca un extremo funcional, es decir un mínimo, máximo o punto de inflexión de una función de funciones (en términos físicos, un mínimo o máximo). En esta sección se ofrece una explicación simplificada del principio de Hamilton y la derivación de las ecuaciones de Euler-Lagrange [Maia, 2000; Hazewinkel, 2002; Ramos, 2004].

Las ecuaciones de Euler-Lagrange fueron desarrolladas por Leonhard Euler y Joseph Louis Lagrange, en un estudio que puede enunciarse como sigue: dados dos puntos A y B en un plano vertical se quiere que una partícula M que se mueve a través de AMB, bajo la acción de su propio peso, pase del punto A al punto B en el menor tiempo. Lagrange resolvió este problema en 1755 y envió la solución de Euler. Los dos desarrollaron el método utilizado por Lagrange y lo aplicaron en la mecánica, desarrollándose la Mecánica Lagrangiana, y más tarde el Cálculo de Variaciones, un término utilizado por Euler en 1766.

Considérese el camino definido por la integral que se muestra a continuación entre los instantes t1 y t2:

, ,

(4.4)


La integral (4.4) se llama integral de acción y traduce matemáticamente el principio de Hamilton o principio de acción estacionaria. El principio de Hamilton [Hamilton, 1835] fue creado por William Hamilton y luego generalizado por Ostrogradski [1850]. La acción L se llama función lagrangiana, y representa un equilibrio entre la energía cinética y la energía potencial de un sistema. En algunos casos, el valor estacionario corresponde a un mínimo, entonces el principio puede ser llamado el principio de mínima acción de Hamilton.

Se trata de encontrar soluciones del funcional I, sin calcular explícitamente , , . En cuanto al estudio de las placas y láminas, tratamos de encontrar las respectivas

ecuaciones de equilibrio dinámico.

Las soluciones de la integral de acción están dadas por las ecuaciones de Euler Lagrange:

(4.5) donde Q representa las fuerzas generalizadas no conservativas. Cualquier solución del problema de Euler-Lagrange se trata de un extremo del problema variacional (4.4). Las soluciones del problema de Euler-Lagrange se obtienen de la siguiente manera: Consideremos una función lagrangiana , , … , , , , … , , donde qk son las coordenadas generalizadas. Los valores estacionarios del funcional I pueden ser encontrados haciendo, 0:

(4.6) Integrando el término por partes, se obtiene:

(4.7) y sustituyendo se obtiene:

(4.8)

Para garantizar que 0 para cualquier pequeña variación de , se tiene para cada coeficiente :

, 1,2, … ,

(4.9)

La notación δ fue introducida por Lagrange para representar una variación virtual de una función y aunque tenga un significado físico distinto de la derivada d, tiene las mismas


propiedades matemáticas. No obstante, una variación virtual es considerada independiente de la variable tiempo. Por ejemplo, , , :

4.2.1 Ecuaciones de Euler-Lagrange aplicadas a la Teoría Clásica de Placas. Las ecuaciones de equilibrio se obtienen usando el Principio de los Trabajos Virtuales. Consideremos una placa de altura h, área Ω0, densidad ρ0, sometida a una presión q(x,y). Las componentes energéticas consideradas son la energía de deformación U, la energía cinética K y la energía producida por las fuerzas externas aplicadas, V. Para encontrar las ecuaciones de Euler-Lagrange asociadas a la teoría clásica, se busca un extremo, que en este caso coincide con un mínimo de .

Aplicando el Principio de los Trabajos Virtuales, e igualando la variación a cero, se obtiene:

0

(4.10) con

2/

/Ω

(4.11)

Ω

(4.12)

/

/Ω

(4.13) Las expresiones de u, v, w se denominan campo de desplazamientos. Estas expresiones permiten describir el comportamiento de un punto de la placa en torno a los ejes x, y, z. Diferentes hipótesis dan origen a diferentes campos de desplazamientos, que a su vez dan origen a diferentes ecuaciones de Euler-Lagrange. En este ejemplo se considera el más simple de los campos de desplazamientos para una placa, que da origen a la teoría clásica de placas.

El campo de desplazamientos considerado es:


⁄⁄

0

(4.14) Aplicando el tensor de deformaciones infinitesimales ε, se obtienen las ecuaciones cinemáticas:

⁄⁄

⁄ ⁄

⁄⁄

2 ⁄

(4.15) Sustituyendo (4.15) en (4.11) se obtiene:

/

/Ω

2

/

/

/

/

/

/Ω/

/

/

/

/

//

/2

Ω

2

(4.16) Y de la misma manera, sustituyendo (4.14) en (4.13) se obtiene:

/

/Ω

/

/Ω

Ω

(4.17)

Los términos Nxx, Nyy y Nxy son los esfuerzos, Mxx, Myy y Mxy son los momentos resultantes e I0, I1 e I2, son los momentos de inercia. Las ecuaciones de las resultantes son obtenidas por integración de las componentes a lo largo de la dirección del espesor, de la forma:


(4.18)

(4.19) en cuanto que los momentos de inercia son obtenidos por:

1

(4.20) Para obtener las dependencias con δu0, δv0 y δw0 será necesario integrar los términos de (4.16) por partes:

2 2

2 2 2

(4.21) Procediendo de la misma manera en (4.17), se obtiene:

(4.22)


(4.23) Sustituyendo en (4.10) y eliminando los términos se obtienen las siguientes ecuaciones de equilibrio dinámico:

:

:

: 2

(4.24)

4.3 Teorías de Deformación de Placas.

4.3.1 Revisión Bibliográfica. Todas las teorías usadas en este trabajo tienen su origen en un campo de desplazamientos conocido, dando origen a las ecuaciones de equilibrio de Euler-Lagrange. El campo de desplazamientos usa las coordenadas generalizadas del problema. En los siguientes ejemplos se pretende exponer una lista de diferentes campos de desplazamientos. Un análisis más detallado sobre las distintas teorías de deformación puede ser encontrado en el artículo de revisión de Rohwer et al [2005], Carrera [2003] y Altenbach [1998]. Teoría Clásica: La teoría clásica considera tan sólo tres grados de libertad. u0, v0 y w0, que computacionalmente es una ventaja. Esta teoría es adecuada en estructuras de poco espesor. [Rohwer et al, 2005].

⁄⁄

0

(4.25)


Teoría de Primer Orden: La teoría de primer orden considera cinco grados de libertad, u0, v0, w0, u1, u2, y nos proporciona mejor comportamiento para estructuras de bajo espesor que la teoría clásica, [Rohwer et al, 2005]. Precisa de un coeficiente de corrección a cortante que dependerá de las relaciones geométricas, propiedades materiales y secuencia de laminación. Esta teoría de primer orden fue empleada en estructuras compuestas por [Yang et al, 1966] y [Whitney & Pagano, 1970].

0

(4.26) Teoría de Orden Superior: De forma general, las teorías de orden superior tienen un campo de desplazamientos de la forma:

(4.27) El parámetro n es normalmente inferior a 3, de manera que no aumente excesivamente el coste computacional. Estas teorías se caracterizan por no necesitar de factor de corrección a cortante, teniendo una buena aproximación de la energía de corte transversal.

Teorías de Tercer Orden: Según [Jemlelita, 1990] la primera teoría de deformación de tercer orden fue propuesta por Vlasov en 1957. La propuesta por Vlasov necesitaba siete grados de libertad. Fueron presentadas varias teorías que manteniendo los términos de tercer orden, reducían el número de grados de libertad. [Murphy, 1981] y [Reddy, 1984], presentaron teorías de tercer orden con cinco grados de libertad, y con idéntica precisión. Diferentes consideraciones en la formulación de las teorías originan los campos de desplazamientos indicados a continuación:

[Murphy, 1981]

5 ⁄5 ⁄

04

⁄ ⁄

0

53

(4.28) [Reddy, 1984]

0

⁄⁄

43

(4.29) Basándose en la teoría de Reddy, [Senthilnathan et al, 1987] desarrolló una teoría de tercer orden con cuatro grados de libertad. Sin embargo la teoría de Senthilnathan tiene una precisión inferior a la teoría de Reddy.

⁄⁄

0

⁄⁄

0

43


(4.30) Otra teoría de tercer orden con siete grados de libertad es la conocida como teoría de Kant [Manjunatha y Kant, 1992]

0 0

(4.31) En este trabajo será utilizada la teoría de tercer orden de Reddy con cinco grados de libertad.

Otras Teorías de Orden Superior: Otras teorías de orden superior aumentan el grado del polinomio en el desplazamiento transversal , [Kwon y Akin, 1987]. En este caso el número de grados de libertad es cinco. No precisa de coeficiente de corrección a cortante, sin embargo los resultados obtenidos con esta teoría son peores a los obtenidos con la teoría de primer orden con coeficiente de corrección.

0

00

(4.32) Reissner [1975] propuso la combinación de una expansión de z2 de los desplazamientos transversales junto con una expansión cúbica de los términos en u y v. Esta teoría produce resultados muy precisos a costa de tener ocho grados de libertad. Fue aplicada a placas laminadas por [Lo et al, 1977] y desarrollada por [Pandya y Kant, 1988].

[Reissner 1975]

0

00

0

(4.33) [Pandya y Kant 1988]

0 0 0

(4.34) Teorías Trigonométricas: Las teorías trigonométricas usan una función trigonométrica para formular el campo de desplazamientos. Los resultados de la teoría propuesta por [Idlbi et al, 1997] están más próximos de los resultados obtenidos mediante la formulación 3D de la elasticidad que de los resultados de la teoría clásica, de primer orden o de tercer orden de Reddy, y con sólo cinco grados de libertad.

[Idlbi et al 1997]

⁄⁄

0

⁄ ⁄

0

(4.35)


[Shimpi et al 2003]

⁄⁄

0 0

00

(4.36) Existe una variación de la teoría de Shimpi que elimina el término del desplazamiento transversal expresado en coseno.

⁄⁄

0 0

(4.37) Teoría Zig-zag: Las teorías zig-zag presentan la forma:

,,,

,

,

,

(4.38) En un laminado con N láminas, el número de grados de libertad es 3(n+1)N lo que resulta ser computacionalmente muy exigente. La teoría de zig-zag de [Arya et al, 2002] introduce los términos , , y que mejoran los resultados para placas de espesor grande, sin aumentar el número de grados de libertad a pesar de ser una teoría de zig-zag.

Teoría Zig-zag trigonométrica: Una teoría zig-zag con términos trigonométricos para vigas fue propuesta por [Arya et al, 2002]. El número de grados de libertad es cinco.

⁄⁄

0 0 0 0

(4.39)

4.3.2 Análisis utilizando CLPT. Teoría de Placas Laminadas de Kirchhoff.

La primera teoría aplicada para el estudio de las estructuras laminadas fue la CLPT, .que fue desarrollada por Gustav Kirchhoff [1850]. Es una extensión de la Teoría Clásica de Placas - CPT, o sea, una adaptación de la Teoría de Kirchhoff para laminados, de manera que obedece a las mismas hipótesis del modelo para placas:

1. El laminado consiste en la unión de láminas unidas perfectamente entre sí. La capa de resina se utiliza para unir las láminas entre sí, es fina e indeformable por cizallamiento, por tanto no se considera en el análisis;

2. Secciones planas, o sea, las líneas perpendiculares a la superficie media en la configuración indeformada, permanecen planas y perpendiculares después de la deformación, pues el


laminado es considerado delgado. Esto se cuantifica de manera bastante arbitraria y según Reddy [24]:

(a) Laminados delgados: la relación longitud frente a espesor, a/h, debe ser mayor o igual a 50;

(b) Laminados medios: 20 ≤ a/h < 50;

(c) Laminados de espesor grande: a/h < 20;

3. Los segmentos normales a la superficie son considerados inextensibles, por tanto, de longitud constante, es decir, no se produce deformación transversal de la placa.

La primera hipótesis impone la condición de que no se produce desplazamiento entre las láminas, más allá de los desplazamientos continuos a través de las láminas. La segunda hipótesis se refiere a no considerar los efectos del cizallamiento transversal, o sea, γxz y γyz son despreciados y la tercera hipótesis implica que el desplazamiento transversal es independiente del espesor y que la deformación lineal, εzz, es nula. En la formulación de este modelo, de acuerdo con algunas de estas hipótesis, surgen las siguientes restricciones:

1. El material de cada lámina es lineal elástico, por tanto asumimos la hipótesis de pequeñas deformaciones;

2. El modelo presenta dos planos de simetría, o sea, es ortótropo.

El campo de desplazamientos, de acuerdo a las hipótesis de Kichhoff viene dado por la expresión:

, , , , ,, ,

, , , , ,, ,

, , , , , (4.40)

donde u0, v0, w0 son los desplazamientos de la superficie media a lo largo de los ejes xyz, respectivamente y ∂w0/∂x y ∂w0/∂y son las rotaciones en torno a y y x, respectivamente. La figura 4.1 [Moura Belo, 2006] muestra las configuraciones indeformada y deformada de acuerdo a las hipótesis de Kirchhoff en el plano xz, como el plano de referencia es el plano medio (z=0), un problema que originalmente debía ser tratado como 3D, pasa a ser bidimensional.

Fig. 4.1. Configuración de placa deformada e indeformada según las hipótesis de Kirchhoff.


Consecuentemente el campo de deformaciones viene dado por:

2

(4.41)

donde εxx y εyy son las deformaciones normales al plano y γxy es la deformación cortante en el plano xy. En este punto, son definidas las deformaciones coplanarias de la superficie de referencia como las deformaciones de membrana. Estas deformaciones son aquellas que son independientes de z en la Eq. (4.41) y se relacionan con los deslizamientos de membrana por u0 y

v0:

(4.42)

Los términos dependientes de z en la Eq. (4.41) son deformaciones asociadas a la flexión de la superficie media y son denominadas curvaturas y vienen dadas por la derivada segunda del desplazamiento transversal:

4.43)

Por tanto se representa el vector de deformaciones como:

(4.44)

o en forma compacta con:

(4.45)

Conociendo los valores de los desplazamientos de membrana (u0,v0,w0) es posible determinar deformaciones en cualquier punto (x,y,z) de la placa empleando la Eq. (4.44).


Como en la CLPT todas las deformaciones transversales (εzz, γxz, γyz) son nulas por definición, para un laminado formado por láminas ortótropas las tensiones cortantes transversales (τxz,τyz) también son nulas. A pesar de que εzz tenga valor nulo, la tensión σzz no es nula, sin embargo es despreciada en el modelo de Kichhoff. Con esto, aplicando la Eq. (4.44) en (3.46a) la relación tensión-deformación de la k-ésima lámina será:

0

0

0

1

1

1

(4.46)

o simplemente,

(4.47)

A pesar de que los valores de ε0 son constantes a lo largo del espesor del laminado, los valores ε1 varían linealmente. De esta forma, las deformaciones varían linealmente de forma continua a lo largo del espesor. Con todo, los valores de tensión, siendo lineales, presentan discontinuidades a lo largo del espesor h del laminado, pues las propiedades elásticas varían de una lámina a otra conforme se muestra en la Eqs. (4.46) y (4.47). La Fig. 4.2 también muestra esta variación, además de representar la enumeración que se realiza de las láminas.

Fig. 4.2: Enumeración típica de un laminado con la variación de las tensiones y deformaciones normales a lo largo del espesor según la CLPT.

Los valores de tensión obtenidos por las Eqs. (4.46) y (4.47) pueden ser evaluados a partir de las resultantes de tensión en el laminado. Estas resultantes son obtenidas por la integración de las tensiones a través del espesor del laminado. De esta forma, la Eq. (4.48a) representa los esfuerzos normales resultantes en una placa, en tanto que la Eq. (4.48b) muestra los momentos resultantes, o sea:

, , , ,

(4.48a)


, , , ,

(4.48b)

Tanto N como M vienen dados por unidad de longitud de la placa y su orientación se muestra en la Fig. 4.3.

Fig. 4.3. Elemento diferencial de placa sujeta a flexión con la resultante de tensión y distribución de tensiones según la CLPT.

Las integrales definidas mediante la Eq. (4.48) pueden ser convertidas en un sumatorio de integrales a lo largo del espesor de cada lámina k, o sea:

(4.49)

y

(4.50)

donde zk+1 se refiere a la cota superior de la lámina y zk es la cota inferior. (ver Fig.4.2).

Sustituyendo las tensiones laminares dadas por las Eqs. (4.10) y (4.11)por la relación tensión- deformación de la Eq. (4.7), se obtienen los esfuerzos normales:

1

0

0

0

1

1

1

1

(4.51)

Efectuando el sumatorio y resolviendo la integral, tenemos:


0

0

0

1

1

1

(4.52)

Análogamente para las resultantes de Momentos, se obtiene:

1

0

0

0

1

1

1

1

(4.53)

y finalmente,

0

0

0

1

1

1

(4.54)

Es posible colocar los esfuerzos normales y momentos resultantes expresados por (4.52) y (4.54) en un único vector, esto es:

0

0

0

1

1

1

(4.55)

o de manera compacta:

(4.56)

donde los términos Aij, Bij y Dij son definidos en términos de la rigidez de la lámina Qij(k) (para

i,j=1,2,6) por:

, , 1, ,

1, ,

(4.57a)

o,

12


13

(4.57b) Una parte de la fuerza normal resultante causada por la deformación normal es descrita en la matriz [A] también llamada matriz de rigidez extensional. En cuanto a la matriz [D], o matriz de rigidez a flexión, como su propio nombre indica representa la parte del momento resultante causado por la flexión del laminado. El acoplamiento entre los modos de deformación, es decir, la parte de la fuerza normal resultante causada por la flexión y la parte del momento resultante causado por la deformación normal es representada por la matriz [B], o matriz de rigidez de acoplamiento tracción-flexión. Conforme al ángulo θ formado entre la dirección de la fibra de la lámina y el eje de coordenadas absoluto del problema, la matriz [B] puede ser nula.

Las ecuaciones de equilibrio de Euler-Lagrange son expresadas mediante las siguientes ecuaciones:

2

(4.58)

4.3.3 Análisis utilizando FSDT. Teoría de Mindlin. En un análisis mediante FSDT (First-order Shear Deformation Theory), no se considera la hipótesis de Kirchhoff de que las secciones normales transversales permanecen perpendiculares tras la deformación. De esta manera se considerarán las componentes cortantes o de cizalladura. De hecho, estas componentes además de no ser nulas, pueden alcanzar valores importantes en las interfaces de las láminas de los materiales compuestos, pudiendo causar la delaminación. Las primeras teorías de placas que tienen en cuenta los efectos de cizallamiento trasversal son atribuidas a Heinrich Hencky [1947], Eric Reissner [1944,1945] y Raymond Mindlin [1951]. Una teoría de lámina equivalente fue introducida por Paul Naghdi [1957]. Mindlin y Reissner propusieron el estudio de las tensiones cortantes en las placas homogéneas isótropas, es por esto por lo que se conoce como a la Teoría de Primer Orden de Mindlin. Posteriormente estos estudios fueron extendidos para el análisis de laminados por Yang y Whitney. Considerando que las ecuaciones fundamentales de la FSDT son análogas a las presentadas en la sección 4.3.2, a continuación se muestran las relaciones más relevantes que diferencian una teoría de otra. Con esto, el campo de desplazamientos dado por la Eq. (4.40) es ahora:

, , , , , , ,

, , , , , , ,

, , , , , (4.59)


donde (u0,v0,w0,øx,øy) son las incógnitas por determinar, también llamados desplazamientos generalizados. Al igual que en la CLPT, u0,v0,w0 son los desplazamientos de un punto cualquiera de la superficie de referencia, o sea, en el plano z=0. Las rotaciones øx y øy pueden ser expresadas por:

;

(4.60) e indican las rotaciones respecto de los ejes y y x, respectivamente. En la Fig. 4.4 se muestran estas rotaciones en la configuración indeformada en el plano xz, o sea en torno a y.

Fig. 4.4. Configuración de la Placa deformada e indeformada según la Teoría de Primer Orden de Mindlin.

Asumiendo que el material trabaja en régimen lineal elástico, por tanto despreciando la parte no lineal de las deformaciones y aplicando (4.2) en (4.19)

(4.61) o vectorialmente:

00

(4.62)


Donde el primer vector contiene las deformaciones de membrana y el segundo las curvaturas.

Las ecuaciones de equilibrio para la Teoría de Placas de Primer Orden se obtienen usando la versión dinámica del Principio de los Trabajos Virtuales, e igualando la variación a cero:

0

(4.63)

donde la energía virtual de deformación viene dada por:

/

/Ω

(4.64)

y la energía virtual de las fuerzas externas, se obtiene:

Ω

(4.65)

la energía virtual producida por las fuerzas de inercia viene expresada por:

/

/Ω

(4.66)

Sustituyendo las expresiones anteriores e integrando a lo largo del eje z, se obtiene:

0Ω

(4.67)

donde:


1

(4.68)

Las ecuaciones de Euler-Lagrange son obtenidas igualando los coeficientes δu0, δv0, δw0, δφx, δφy en Ω0 a cero, independientemente.

:

:

:

:

:

(4.69)

Aplicando el concepto de las resultantes de tensión, esto es, integrando las tensiones cortantes en términos del espesor del laminado, como se realizó en las Eqs (4.48a) y (4.48b), se tiene:

, ,

(4.70)

donde Qx y Qy son los esfuerzos cortantes resultantes debido a las tensiones transversales.

Es importante observar en la Eq. (4.62) que las deformaciones εxx, εxy, γxy, son lineales a lo largo del espesor del laminado, mientras que γxz, γyz son constantes. De esta forma, las tensiones correspondientes τxz y τyz, también son constantes. Entre tanto, la Teoría de la Elasticidad nos dice que la tensión de cortadura a lo largo del espesor de la placa es parabólica, de esta forma se concluye que la FSDT no consigue demostrar esta característica. Esta incoherencia entre la Teoría y el modelo numérico se consigue solucionar mediante la introducción de coeficientes de corrección para la tensión de cortadura en la Eq. (4.23), de tal manera que:

(4.71)

donde K es el llamado factor de cizallamiento.

Muchos autores comparan y evalúan este factor de corrección, una buena aproximación será K=5/6. De todas formas, para compuestos laminados, son muchos los factores que deberán


ser analizados para el análisis de esta constante. Algunos de estos factores son: secuencia de apilamiento, geometría del laminado, ángulo de las fibras y tipo de carga. Para cargas estáticas, el análisis de K es más simple que en un análisis dinámico, debido a las fuerzas de inercia. Reissner, para determinar el factor de cizallamiento, consideró la distribución de tensiones cortantes dada por la Resistencia de Materiales.

32 1

2 , 2 2

(4.72)

donde Q es el esfuerzo cortante, b es el largo de la viga y h es la altura. La misma tensión para viga, utilizando FSDT viene dada por:

(4.73)

aplicando el concepto de energía de deformación cortante con ambas teorías, tenemos:

12

35

(4.74a)

12 2

(4.74b)

El coeficiente de cizallamiento se obtiene de la razón entre las Eqs. (4.74b) y (4.74a), esto es 5/6. Owen y Figueiras [1983] presentaron un método eficiente para calcular el factor de corrección para esfuerzo cortante, suponiendo flexión pura en dos direcciones. Este factor de corrección es importante si cambia el material a lo largo de la dirección de espesor, como es el caso de las estructuras tipo sándwich. Si no se produce el cambio de material a lo largo del espesor, sino que tan sólo se modifica el ángulo del laminado, el factor 5/6 es suficiente. La ecuación de equilibrio para una placa heterogénea, se puede expresar mediante:

0

(4.75) Para simplificar asumimos flexión cilíndrica.

(4.76) Donde Qx es la fuerza cortante en el plano xz.

(4.77)


Donde: R1: es la rigidez a flexión en la dirección x. z: es la coordenada a lo largo del espesor.

(4.78) g(z): es la función de forma del cortante. La función g(z) que modela el diagrama de tensión cortante, en el caso de una sección homogénea, adquiere la expresión:

8 1 4

(4.79) La energía de deformación vendría dada por:

(4.80) donde G13(z) es el Módulo a Cortante a lo largo del espesor, en el plano xz. La energía de deformación, suponiendo constante la deformación por cortante, vendría dada por:

(4.81) donde:

(4.82) donde es el valor medio de la deformación por cortante. Entonces será posible calcular el factor de corrección por cortante k1 en el plano xz:

(4.83) el procedimiento es idéntico para k2.

Retornando a la Eq (4.62) y sustituyendo en (3.46b), la relación tensión-deformación de la k-ésima lámina será:

(4.84)

Teniendo en cuenta que los coeficientes Qij vienen dados por la Eq. (3.46c), sustituyendo la Eq. (4.84) en (4.71) y resolviendo la integral y el sumatorio, tenemos:


0

0 (4.85)

donde la rigidez extensional [Aij] es definida, haciendo (i,j=4,5), por:

(4.86) Y finalmente, relacionando los esfuerzos resultantes para la teoría de primer orden con los desplazamientos generalizados, se obtiene:

0

0

0 0

(4.87)

0

0

0 0

(4.88) 0

0

(4.89)

Las orientaciones de N, M y Q se muestran en la Fig. 4.5.

Fig. 4.5. Elemento diferencial de placa sujeto a flexión con los esfuerzos resultantes y la distribución de tensiones según la FSDT.


4.3.4 Análisis utilizando HSDT. Teoría de Reddy. La teoría clásica de laminados y la teoría de primer orden son las teorías más simples dentro de las teorías de lámina equivalente. Así mismo, estas muestran satisfactoriamente el comportamiento mecánico de la mayoría de laminados, pero no de todos. En este contexto surgió la teoría de orden superior, basada en las mismas hipótesis que las teorías presentadas en la secciones 4.3.2 y 4.3.3, excepto en la expansión del polinomio que representa el campo de desplazamientos a un orden superior. La teoría de orden superior describe el comportamiento de un laminado de forma más precisa, y distribuye mejor las tensiones a lo largo del espesor del laminado, principalmente para las tensiones interlaminares, además de no ser necesaria la utilización de factores de corrección, como el factor de cizalladura.

Inicialmente podría expandirse el campo de desplazamientos por un polinomio de cualquier orden, pero el caso más común es la expansión a un polinomio de tercer orden. Dicho esto, el motivo fundamental de expandir el campo de desplazamientos de forma cúbica es la de obtener una variación cuadrática para las tensiones y deformaciones cortantes, a través de cada lámina. De esta forma, la Eq. (4.34) representa el campo de desplazamientos definidos por la HSDT de Reddy [27].

, , , , , , ,43 , ,

, , , , , , ,43 , ,

, , , , ,

(4.90)

Aplicando la Eq. (4.34) para el análisis de las deformaciones lineales y las deformaciones angulares en régimen lineal elástico, resulta la siguiente expresión:

2

1

1

(4.91) donde α=4/(3h2) y β=4/ h2. Con esto:


(4.92)

(4.93)

En la Eq. (4.36) el primer vector contiene las deformaciones de membrana, el segundo las curvaturas de primer orden y el tercero las curvaturas de tercer orden. En la Eq. (4.93) las deformaciones de membrana están contenidas en el primer vector, mientras que el segundo vector computa las curvaturas de orden superior. De esta forma:

(4.94a)

43

2

(4.94b)

4

(4.94c)

De la misma manera que se hizo en la teoría de Kichhoff y Mindlin para laminados, integrando las tensiones a través del espesor – Eqs. (4.48a), (4.48b) y (4.70), se obtiene los esfuerzos resultantes de orden superior, P y R:

, , , ,


(4.95a)

, ,

(4.95b)

Integrando las Eqs. (4.95a) y (4.95b), se obtiene:

(4.96)

y

(4.97)

Aplicando la relación tensión-deformación en las Eqs. (3.46a) y (3.46b) para la k-ésima lámina e aplicando a (4.92), (4.93), (4.96) y (4.97), se obtiene:

0

0

0

1

1

1

3

3

3

(4.98)

0

0

2

2 (4.99)

Aplicando los esfuerzos resultantes de primer orden y sumando las resultantes de orden elevado, se llega:

0

0

0

1

1

1

3

3

3

(4.100a)

y,


0

0

2

2

(4.100b)

Las Eqs. (4.100a) y (4.100b) puede ser escritas de forma compacta como:

(4. 101a)

y,

(4. 101b)

con,

, , , , , 1, , , , ,

(4.102a)

, , 1, ,

(4.102b)

Los términos Aij, Bij y Dij ya fueron definidos en términos de la rigidez de la lámina Qij(k)

por las Eqs. (4.57b) y (4.86). La Eq. (4.102a) es definida para i,j=1,2,6; mientras que la Eq. (4.102b) es obtenida computando i,j=4,5. De esta forma los demás términos de rigideces adicionales se obtiene mediante:

14

15

17

(4.103)

Las matrices [E], [F] y [H] representan un orden superior a la cuarta a través del espesor, consecuentemente, la contribución de estos términos para la solución de laminados delgados es pequeña, mientras que para laminados de cierto espesor, la presencia de estos términos es fundamental para la correcta distribución de tensiones a lo largo del espesor del laminado.


Los momentos y fuerzas resultantes, son definidos:

1

(4.104)

1

(4.105)

(4.106) donde α y β representan a x e y e i=0,1,2,…,6.

Usando el Principio de los Trabajos Virtuales y procediendo de manera similar al caso anterior, en la teoría de primer orden.

:

:

: 2

:

:

(4.107) donde

; ; 1,4

2 ; ; 3

4.3.5 Teoría de deformación trigonométrica para placas. La evolución de la dirección de los desplazamientos generalizados puede ser obtenida a través de muchas funciones. Por ejemplo, el campo de desplazamientos que se muestra a continuación, usa las funciones trigonométricas [Shimpi et al,2003] y [Ayra et al, 2002].


, , , , ,, ,

, ,

, , , , ,, ,

, ,

, , , , , (4.108)

donde u, v son los desplazamientos de un punto cuyas coordenadas son (x,y,z), u0,v0 son los desplazamientos de un punto (x,y,0) en el plano medio, w es la flexión, , y son las rotaciones de la normal al plano medio en torno a los ejes x, y, z.

Las deformaciones pueden ser expresadas mediante:

00

00

00

000

(4.109) Las deformaciones pueden ser escritas de la forma:

(4.110)

2

(4.111)

(4.112)

(4.113) La teoría de deformación trigonométrica satisface la condición de anulación de las tensiones cortantes en los extremos de la placa, siendo por tanto mejor aproximación que la teoría de primer orden.


La energía de deformación virtual δU, para esta teoría es: /

/Ω

Ω

(4.114) y la energía virtual de las fuerzas externas, se obtiene:

Ω

(4.115) donde Ω representa la superficie media del laminado y q es la fuerza externa aplicada. La energía virtual producida por las fuerzas de inercia viene expresada por:

/

/Ω

Ωδ δ

(4.116)

habiéndose definido las fuerzas y momentos resultantes de la forma:

1

(4.117)

(4.118)


1

(4.119) donde α y β representan a x e y, por tanto podemos escribir las ecuaciones de equilibrio como:

:

:

: 2

:

:

(4.120)

4.3.6 Teoría de deformación trigonométrica en zig-zag para placas. En la teoría trigonométrica en zig-zag, el campo de desplazamientos de la lámina k, para una placa con espesor h y nl láminas, viene dado por:

, , , , ,, ,

, ,

, , , , ,, ,

, ,

, , , , , (4.121)

donde uk, vk son los desplazamientos de un punto cuyas coordenadas son (xk, yk, z) de la lámina k; u0, v0 son los desplazamientos de un punto en el plano medio, w es la flexión, θx, θy son las rotaciones en torno a los ejes y, x. Los parámetros Ak, Bk, Ck y Dk, se obtienen imponiendo la continuidad de las tensiones transversales y los desplazamientos en cada interface, siendo obtenidos mediante:

1

1


, 2, … ,

(4.122) Para laminados simétricos, pueden obtenerse los parámetros de la primera lámina y así comenzar el proceso iterativo, de la siguiente manera:

0 ; ∑

0 ; ∑

(4.123) Las deformaciones pueden ser expresadas mediante:

(4.124)

(4.125)

donde:

; 0

0

;

2

; 0

0

;


0 ; 0

(4.126) La energía de deformación virtual δU, para esta teoría es:

/

/Ω

Ω


Ω

(4.128)

donde Ω representa la superficie media del laminado y q es la fuerza externa aplicada en la superficie media de la placa.

La energía virtual producida por las fuerzas de inercia viene expresada por:


/

/Ω

Ω

δ

δ

2 2 2

2 2 2

(4.129) Las ecuaciones de equilibrio se obtienen usando la versión dinámica del Principio de los Trabajos Virtuales:

:

:

: 2

:

2 2 2

:

2 2 2 (4.130)


Las fuerzas resultantes de membrana, cortantes, los momentos flectores y los términos de inercia vienen dados por:

1Θ

Θ

(4.131)

Θ

(4.132)

1Θ

Θ Θ

Θ

ΘΘ Θ

Θ

ΘΘ Θ

(4.133) donde α y β representan a x e y, y Θ sustituye a A, B, C, D.

4.3.7 Teoría de Orden Superior de Kant. Una de las teorías de orden superior propuestas por [Manjunatha y Kant, 1992], presenta el siguiente campo de desplazamientos:

, , , , , , , , ,

, , , , , , , , ,

, , , , , (4.134)


donde y representan las rotaciones de orden superior, independientes de las rotaciones de primer orden y .

Nótese que esta teoría, produce al igual que la teoría de Reddy, deformaciones transversales parabólicas, lo que evita el uso de factores de corrección. Sin embargo al contrario de lo que ocurre con la teoría de Reddy, no está garantizada la anulación de las tensiones cortantes transversales en ±h/2. Esta teoría tiene especial acogimiento en la formulación por elementos finitos ya que puede ser formulada con elementos finitos que tengan continuidad C0, a diferencia que la teoría de Reddy que presenta continuidad C1. La presencia de grados de libertad adicionales y , hace que esta formulación sea computacionalmente más cara que la de Reddy.

Las ecuaciones cinemáticas para le teoría de Kant son:

00

000

00

(4.135)

donde:

;

00

(4.136)

000

33

;

00

(4.137)

De forma análoga a las teorías anteriores, la energía virtual de deformación viene dada por:


/

/Ω

Ω

3

3


Ω

(4.139) la energía virtual producida por las fuerzas de inercia viene expresada por:

/

/Ω

Ω

(4.140)

Considerando las fuerzas y momentos resultantes se obtienen las ecuaciones de equilibrio:

1

(4.141)

1

(4.142)

(4.143)


1

(4.144)

:

:

:

:

:

: 3

: 3

(4.145)

4.4 Comparación entre las Teorías de Lámina Equivalente. Con la intención de mostrar el comportamiento mecánico de un laminado y, principalmente, buscando una teoría de placas laminadas que represente satisfactoriamente la solución correcta de tensiones y desplazamientos a través del espesor del laminado, las teorías mostradas en las secciones 4.3.2, 4.3.3 y 4.3.4 son las más empleadas para tal análisis. Las teorías de primer exigen elementos con menos grados de libertad por nodo, (cinco son suficientes). El modelo de Kirchhoff es el más antiguo para el análisis de placas. El modelo de Mindlin necesita el mismo número de grados de libertad por nodo que la CLPT, sin embargo es más satisfactoria de cara a representar las tensiones cortantes. Como se ha dicho, la FSDT es más fácilmente de implementar con elementos finitos, puesto que exige funciones de continuidad C0. Entre tanto, los elementos presentan una rigidez excesiva llamada shear-locking. Esa inconsistencia numérica aparece en la matriz de rigidez del elemento. Para elementos bidimensionales, tal matriz se obtiene por una parte de la suma de la rigidez debida a la flexión y otra debida al cortante. Con el incremento de la relación a/h, o sea, en laminados delgados, la parte debida al cortante puede ser despreciada, en virtud de la disminución excesiva del espesor. Entre las numerosas teorías de orden superior, en este trabajo se utiliza la teoría de orden superior de Reddy. Esta teoría representa de forma adecuada el comportamiento de los


desplazamientos y las tensiones a lo largo del espesor del laminado. A pesar de todo, en el caso de laminados espesos y semi-espesos la CLPT y la FSDT obtienen resultados satisfactorios y con menor esfuerzo computacional, Como se ha mencionado, es necesario implementar elementos con continuidad C1. También es importante destacar que el elemento HSDT, exige un número importante de grados de libertad por nodo, siete como mínimo. Existen otras teorías de orden superior más eficaces computacionalmente, pues necesitan de elementos de continuidad C0. Un ejemplo de esto es la teoría de orden superior de Kant. Finalmente la Fig. 4.6 representa una comparación entre las teorías explicadas.

Fig. 4.6. Comparación de la deformación conforme a las teorías CLPT, FSDT y HSDT.

revisión de las teorías de placas laminadas -...

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