retrobem el món de la geometria - grupzero.cat€¦ · per familiaritzar-vos amb els conceptes...
TRANSCRIPT
Retrobem el món de la geometria Geometria elemental I
"
Grup Zero Barcelona
Institut de Ciències de l'Educació Universitat Autònoma de Barcelona
Retrobem el món de la geometria Geometria elemental I
Grup Zero Barcelona
Institut de Ciències de l'Educació Universitat Autònoma de Barcelona
GRUP ZERO DE BARCELONA
Pro j ecte ''L ' ens enyament de l e s �a tem�t ique s al B . U . P . "
Formen part del Grup Ze ro de Barce lona :
Carme Azc&ra te, Do lors Benach, Marta Ber ini, Dan iel Bo sch, Martí
Cas adeva l l, Ester Ca sel las, Mª Jo sé Castel ló, Mon tserrat Coma s,
Rubi Corberó, Jordi Deulofeu, Belén Escudé, Joan Estafane ll,
Cristina Fabregat, Pilar F iguera s, Vicens Font, El ena Gomis, Jau
me Jorba, Carles L ladó, Antoni Montes, Paca Moreno, Manuel Udina
Tex t Expe rimenta l .
Aque s t treba l l ha e s tat pa troc inat per l ' I . C . E . de la Unive r s i
ta t Au tònoma de Barce lona .
Edita : Instituta de C i enc ias de la Educ ac i6n de la Univers idad Autónoma de Barcelona
Impr ime : Termogravat . Venta lló, 6 Barcelona Dep6s ito Lega l : B -20 . 8 8 6 /19 8 3 I . S . E . N . : 8 4 - 7 �8 8 - 0 71-8 Mayo, 1 9 8 3
I N D E X
Pròl eg • • l • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
Presentac ió • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • l • • • • • • • •
5
7
A . Introducc ió h i stòr ica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
B. Per íode j ònic : Teorema de Tal e s ...................... 15
1 • - Teorema de Tales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l 7
2 . - Homotèc ia............................................ 30
3.- S emblança de f igu res .................. ............
4.- Amp l ia c i ó i reducc i ó de f igure s
42
57
C . Període de la Magna Grèc ia : P i tàgores............... 6 7
1.- Teorema de P i tàgores ......... .................. 69
2. - Teoremes de l ' a l tur a i del ca tet . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3. - Suma del s ang l e s d ' un triangle . .. .. . . . .. . .. . .. .. 88
4.- Secc ió àuria........................................ 93
D . Època de l s s o f i s te s : Hipòcra tes de Qu ios ........... 107
1 . - Llocs geomètric s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
2 . - Algunes qüe s tions sobre l a c i rcumf erènc ia .... 111
3. - Punt s notabl e s en un triangle.................... 123
4 .- Ang l e s en l a c i rcumfe rènc ia . . . . .. . . . . . . . .. . . . . .. 136
5. - Arc capaç · · · · · · · · · · · · · . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
6.- Algunes qüe st ions sobre pol ígons insc r its
i c i rcumscrits • • • • • • • • • • • • • • • • • l • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
E . Les Esco les d ' Atenes ..................................
Apèndix • " • • • • l • • • • • • • • • • • • • • l • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
169
179
182
P R Ò L E G
Per fami l iaritz ar-vo s amb el s conceptes geomètrics u s serà de
gran util i tat l ' observac i6 del m6n qu e u s envolta . Es tem rode
j ats d ' una gran quant i ta t d ' é s sers que ens suggere ixen formes i
volums , del s qua l s l ' home n ' ha ab s tret e l s cossos geomètric s i les
f igures tant de l ' e spa i c orn del pla .
La geometria é s una branca de l e s matemàtique s d ' or igen mol t
remot , j a que e s pot d i r que l ' home primit iu, e n intentar repre
sentar el medi on vivia , reflec tia en forma de f igures e squernàt!
que s la rea l i tat que ob servava . Aquest material intenta s i tuar en
el seu context h i s tòric e l s d i f erents conc eptes que es van anar
desenvolupant . Aix í aga farem c om a referènc ia l e s di ferents e ta
pes que e s succe ïren en el desenvolupament de la Geometria greg�
tenint en compte e l s di st ints focu s de cultura que es van anar
formant de s del segle VII aC f ins el I I I aC . Això no vol pa s dir
que totes l e s noc ions tractades a cada apartat fo s s in realment
l e s que sorgi ren en el pe ríode c orre sponent , s in6 que s ' han apl�
gat en cadascun d ' el l s l e s qüe stions re lac ionades amb l e s princ!
pa l s aportac ions del s matemàtics mé s repre sentatius de cada pe
r íode . Cal ten i r en compte que ha e s tat l ' e s forç de la human i ta t
durant mol t s d e s e g l e s e l que h a permè s e struc turar l a geometria
c orn una de les pa rts mé s a tract ives de les matemàtique s el emen
tal s .
5
P R E S E N T A C I O
Consc ients del paper de segon ordre a s s ignat a la Geometria ,
durant e l s ú l t ims anys , en e l s currículums e scola rs , cosa que ha
comportat greus mancanc es en la formac ió ma temàtica dels esco
lars , pre sentem aquest material que esperem que serve ixi d ' aj uda a l s
adolescents p e r endin sar- se e n l ' apa s s ionant món d e la geometria .
En pr imer l loc volem a s s enya lar qu e aque s t l l ibret , que c on�
t i tueix la pr imera part de l terna " Geometria Elemental " , é s l l eu
gerament diferent de l s a l tres elaborats f ins ara pel Grup Z ero .
La seva util itzac ió dependrà de la formac ió inic ial dels alumnes
i del grup-c l a s s e corre sponent . En tot cas , conj untament amb la
2ª part del terna , que inc l ourà corn a terne s bàsic s àrees i volums ,
pol íedres regulars i e s tud i mètric de l e s còn ique s , es not ut i l it
zar durant els tre s cursos de l ' actual B . U . P .
Cada apartat té una gradac ió de dif icultats en l e s qüe st ions
trac tade s , però la dif icul tat dels d i f erents apartats és mol t di
versa . Cal ten ir pre sent aquest fet en fer la se lec c ió de les
pa rts que e s vulguin ut i l i tzar a cada curs .
Volem remarcar també , que ha e s ta t pen sat pe rquè es vagi tr�
bal lant , pr inc ipalment , c orn a materia l complementari a d ' a l tres
ternes , ja que c re iem que la geometria é s sovint un suport conc ret
nec es sari per a desenvolupar la intu!c ió a l ' hora d ' abordar nou s
conceptes mé s ab strac te s . Per a l tra banda , e s t imem que la geome
tria e l ementa l és una e ina impresc indib le per abordar l ' e s tudi de
moltes branques de les c iènc ies de la natura lesa i de les c ièn
c ies natural s , i que és la base teòrica de gran part de l ' expre�
sió artís tica .
Con s iderem mol t important que des del primer exerc ic i e l s
alumnes fac in amb tota cura e l s esqueme s i e l s grà f ics , j a que un
bon dibuix e l s fac i l i tarà la comprens ió de força c onceptes i la
7
resoluc ió de moltes de l e s qüe s t ions plante j ades .
L ' alumne e s trobarà amb un segu i t de prop ietats que haurà de
j us t i f i car , i cal que arrib i a dis t ingir entre les comprovac ions
d ' aque stes propietats en casos part iculars i la demostrac ió gen�
ral . Es també c onvenient que e s tudi ï deta l ladament l e s demos tra
c ions que vag in sort int perquè per la seva s impl icita t seran un
bon entrenament per poder abordar-ne d ' a l tre s mé s compl icade s ,
que e s trobarà en terne s ben diverso s .
Ja que aquest ma terial va dest inat pr inc ipa lment a alumnes
de B . U . P . , hem supo sat c onegudes algune s noc ions bà s ique s de ge�
metria , el cone ixement de les qua l s és impresc indib le per a po
der util itzar-lo . Es per a ixò , gue per tal de fac i l itar la tasca de l
profe s sor , hem aplegat en un apèndix a lgunes d ' aque stes qüe stion s .
8
A. I N T R O D U C C I Ó H I S T Ò R I C A
La geome tria nasqué , e n la l lunyana civi l i t zació neo líti ca ,
d ' activi tats pràct ique s i de problemes de la vida quotidiana . '
Així l ' home prim itiu va arribar a les formes geomètriques a
través de l ' ob s e rvació de la naturalesa , i pos ter iormen t a les no
ci ons de longi tud , àrea i vo lum pe r les ne ce s s i tats de les acti
vi tats de la vida diària .
Sobre aque s te s qüe s tions , e l s avi grec Eudem de Rode s va es
criure:
" La geometria fou des coberta pels egipcis com a resultat de
les mesure s de l lurs te rres , mesures que eren ne ce s s àr ies donat
que les inundac i ons de l Nil e sborraven cons tan tmen t els límits
e ntre les te rres ve ï nes . Aque s ta ciència , com mo ltes a l tre s , ha
sorg i t de les ne ces s i ta ts pràc tique s del s homes "
Remarquem que Geome tria , en gre c , s i gnif i ca me sura de terres .
Però natura lmen t la mesura de te rres no fou l ' únic prob lema que
va portar a la geometria . A partir de ls tex tos fragmen tats que
s ' han cons ervat é s pos s ib le fer-se una idea d ' alguns dels probl�
mes de l s antics egipc is i babi lonis i de l lurs mè todes per a re
s o ldre ' ls .
Un dels tex tos egipc i s més anti cs é s e l " Papyrus Ahmes "
( 1 5 5 0 a . C ) també conegu t amb el nom de " Papyru s Rh ind" pe rquè e l
va des cobrir a l ' hivern del 1 8 5 8 ; u n j ove antiquari e s cocè s de
nom A . Henry Rh ind .
E l papir Rh i nd és un manual d ' ins trucc ions per a s ecretaris
( func ionar i s re ial s ) , escrit per un tal Ahmes , que conté una col
le cci6 de prob leme s sobre cà lcul de capaci tats , d ' àrees , etc . Tam
bé h i apare ix e l va lor 3 ' 1 6 0 5 com a valor exper imen tal del nom
bre íï.
9
Ara bé, la g eometri a pe r a l s e g ip c i s i babi loni s i a ltres p�
b le s anti cs ori enta l s , corn e l s ind i s i e l s x inesos , cons i stia en
un conjunt de r e g l e s i cone ixements empír i cs obtinguts per via
exper imenta l, però p e l que s ab em fins ara no era una c i ènc i a e s
tructurada .
N o fou fi ns e l s e g l e VII a . C, quan la geometri a va pa s s ar
d ' Egipte a Grè c ia, que va des envol upar-s e i començà a e s tru ctu
rar-se gradua l ment en una c i èn c i a deductiva .
�s b e n cone gut que expos i c ions s i s temàtiques de geometr i a
apare i xen a G r è c i a j a e n e l s . V a. C, però no s ' han cons ervat pe�
què tote s foren s upe rade s peJs "El e ments " d ' Eu c l i de s (s egle III
a . C) . En aques ta ob ra l a geometr ia e s p r e s entà com a un s i stema
tan ben e structurat que e l s s eus fonaments no varen s ofr i r c ap a_!
ter a c i 6 s ubstanc i a l fins més de 2000 anys després .
Entre e l s s eg l e s VII i III a . C apare ixen e l s grans matemà
ti c s g r e c s , de s de Ta l e s i P itàgor e s , a Eu c l i d e s , Arquimedes i
Apol ·loni, per l a qua l cos a aque sta etapa s ' anomena "edat d ' or de
l es matemàtiqu e s gregue s" .
De s p rés d ' Apol·loni, e l p r i mer ma temàti c i mportant fou Diof ant
d'Alexandr ia, que v i squé en e l s e g l e III d . C. La i mportànc i a de
1a seva ob ra "Ar i trnèti c a" no es va fer evident fins a l a c reac ió de
l a p r i me ra e s cola franc e s a de l s seg les XV i XVI, és a dir 1 . 200
anys després .
Le s etapes e n què d iv i d i rem "l ' e dat d ' or" s eran :
- Pe riode jòni c : s eg l e s VII-VI a . C a l e s colòni es jònique s de M i
let, Efes i Cos . E l matemàti c més important
d ' aque st pe ríode fou Ta le s .
- Pe ríode de la Magna G r è c i a : (nom que pre ngué la Ità l i a Meridio
na l on va produ ir-se b à s i cament l a colonitzac ió
grega) . Aques t període comença e l 49 4 a.C, amb
l a c a i guda de Mi l et s ota e l domini pe rsa; e l s
focus d e cultura e s tra s l l aden a S i cí l i a i a l
1 1
sud d' Ità lia. E l matemàtic més important fou
Pitàgore s.
- Període de l s sofiste s: què divu lgaren e l s coneixements cientí
fics.
Com a científic cal ei tar a Hipòcrate s de Quios ,
qui va e s criure e l primer tra ctat de geometria
com un conjunt de prob l emes i teor emes deduïts
.de manera lògica a partir d' a l guns principis.
� Le s escole s d' Atene s : fundades en e l s eg l e IV aC. per P l ató i
Aris tòtil.
En l'Acadèmia de P l ató hi de sta ca Eudox de Cni
dos , i en e l Liceu d ' Aristòtil s' hi formà Eu
dem de Rode s , autor d ' una primera his tòria de
l a geometria.
- Període alexandrí: Alexandre e l Magne fundà A l e xandria l ' any
332 aC. , i cap a l' any 300 s' hi tras l l adà l' a�
tivitat científica grega. Hi destacaren Eucli
des , Arquimedes i Apol ·loni.
Pitàgor e s , Euc l id e s i Arauimedes
1 2
..... c.:i
En aquesta pàg ina , h i trobareu un mapa de l ' entorn de l a Mar Med i terràn ia , on h i són a s s enyalade s les c iutat s gregue s e smentade s ; i a la pàgina següent un e squema que i l . lustra e l s d i fe rent s per íode s de l ' edat d ' or amb e l s fets h i stòrics que l i succeïren , le s e scoles que s ' h i formaren i e l t ipus d e c iènc ia que s ' h i desenvo lupà .
c1 o'
'\)q .[) )J- ��--� ' ,. ' � � - ··ç--7 6\ .2 9� "n• � • • _1 /8 1 M I LET
2 EFES 3 cos 4 SA M O S 5 C R OTO N E 6 QUIOS 7 R O D ES 8 C N I DO
. 9 AT E N ES 10 A LEXAN DR I A 11 S I R AC U S A
l-' ,¡::. E DAT D'OR DE LES MATEM. GREGUES MATEMATICS ESCOLES FETS HISTORICS TIPUS DE
CIENCIA
Període jònic: s. VII-VIa.C l Tales (630-546) Asia Menor: Milet, Efes, I Atenes 594: constitució de ! Experimental
Període de la Magna Grècia s. VI-V a.C.
Període dels sofistes. s. V a.C.
Període de les Escoles d'Atenes. s. IV a.C.
Període alexandrí. s. III a.C.
l
Cos. Soló.
Pitàgores (569-500!Magna Grècia: Siracusa l509: implantació de la demoCrotone. cràcia atenesa (Clístenes).
Hipòcra.tes de Quios(470-400)
Eudem de Rodas .. Budox de Cnidos
Quios. 490-448: guerres mèdiques !Racional HEGEMONIA D'ATENES
443-429: govern de Pericles
Atenes: Acadèmia de Pl� , 431-404: g uerres del Pelop� tó(387ac-529dc nès entre Atenes Liceu d 'Aristòtil ( 335ac -250ac
s. IV:
i Esparta. HEGEMONIA D'ESPARTA
Guerra Tebas-Esparta. HEGEMONIA DE TEBAS
Eucljdes (330-275)1 Egipte grec: Museu Arquimedes (287- d'Alexandria.
338: Filip de Macedònia !Deductiva venç els grecs.
212) l,pol·loni ( 26 2-200)
336: Alexandre el Gran crea l'Imperi Hel·l� nístic.
323: Alexandre el Gran
s.III:
mor a Babilònia. Gue rres successòries. Esplendor dels re_sr nes hel·lenístics: Ptolomeus a Egipte.
B. P E R Í O D E J Ò N I C
Cons titueix la primera e tapa de l ' e dat d ' or de l e s matemàti
que s gregu es i s ' anomena així pe r have r-se de senvolupat a l e s co
lònie s jònique s de Mile t , Efe s i Cos .
Aque s ta e tapa de la cièn cia grega ve c a ra c te ritzada per l a
inve s tiga ció d e l a natura l e s a a par tir de l e s ob s e rvacion s de l s
proc e s s os natur a l s i de l a uti lització de tècnique s de treba l l ,
é s a dir , la Cièn cia e s tà encara en una fas e "expe rimental" . Din s
d ' aque s t proc é s d'inve s tig ació hom pot dis tingir una prime ra
e tapa d ' ob servació i una se gona d 'in terpre tació de les ob s e rva
cion s o e tapa de raonament .
El principa l repre sentant d ' aqu es t pe ríode fou Ta l e s de Mi
l e t (630 a . C-5 46 a . C) , segurame n t e l primer filòsof i ma temàtic
gre c de qui e s con s e rva e l nom .
Ta l e s era d ' orige n fenici i re sidia a Mil e t , la ciu tat gre
ga mé s pròspera del litor a l d ' Asia Menor . Procedia d ' una família
en tronc ada en el comerç i per aque s t motiu va fer fr eqüents via!
ges a Egip te, la qua l cos a influí en la s eva orien tació cap a l ' e�
tudi d els fenòmen s naturals i també cap a l ' e s tudi de la Geome
tria .
En tornar a Mile t va fundar l ' e s cola jònica , que e s conve rtí
en un de l s centre s principa l s de l a ciència grega.
Ta l e s va rebutja r l e s exp licacions mítique s s obre l ' origen
del món , i va afirmar que l ' aigua era el principi de tote s l e s
cos e s o l ' Gnica causa na tura l e n la forma ció de l ' unive r s .
Pos teriorment Heràclit (5 44 a . C-483 a . C) donà com a prin cipi
còsmic e l foc. Tot fl uïa d ' e l l en un proc é s cí c lic :
15
l a
/e l
mar
� l a
foc
� l' aigua
/ terra
N o s' ha cons erva t cap de l s es crits de Ta l e s , i é s difícil s e
parar les l legendes que envo l ten l a s eva figura d e l a rea lita t.
Men tre per una banda e l pre senten com a un comerciant mol t
hàbi l que va fer una gran fortuna aprofitan t l' es cas setat d' oli ,
per a l tra ban da , P l at6 e l prese nta corn un s avi dis tret que cau
din s d' un forat tot mirant les e s tre l le s .
Tampoc e s pot afirmar amb se gure tat que fos l' autor de l Te�
rema que porta e l s eu nom , però se li ha a trib uït perquè s e gons
semb l a en feu ús en múl tip le s situacions , com , per exemp le , per
me s urar a l ture s d ' e dificis o per c a l cular la dis tància d' un vai
xe l l a la cos ta .
Hom re coneix a Ta le s e l mèrit de pre sen tar re s u l tats ante
riors sota una forma mé s genera l i simple , mitjançan t e l raona
men t i l a lògica , pos an t així le s b a s e s de l que seria e l perfec-
Gravat reinaxentista , repre sentant Ta le s.
16
te edifici de la Geome tria grega. Ara bé , bona part de l a cele
britat entre els seus contemporanis fou de guda a la predicció de
l ' e c lipsi de sol de l ' any 5 8 5 a.C. Fou doncs també un gran astr� nom , i les generacions posteriors e l consideraren un de ls se t sa
vis de Grècia.
Trac tarem en aquest apartat e l Teorema de Tales , l ' homotècia
i l a semblança dè figures.
1.- T E O R E M A D E T A L E S
Abans d ' enunciar aquest teorema , e l visualitzarem sobre al
gunes figures.
Fixeu-vos que aquesta figura del Partenó (temple de l ' Acròpo
lis d ' Atenes construït en temps de Peri c les) ens perme t traçar
1 7
due s recte s secan t s OA i OA' t a l l ade s per una família de re c tes
para l ·le le s : la columnata l a tera l .
Noteu que en re a litat e l s segmen ts AB , B C , C D , i e l s A' B' ,
B' C',Ç' D ' , . . . són l e s separacion s entre l e s columne s , per tant són
igua l s , pe rò que en apar èixe r a la fotog rafia , vis tos en per spe_g_
tiva , són diferent s .
B . l
Preneu l e s mesures ne ce s s àrie s s obre la figura per a compr�
var que podeu e s c riure le s proporcions
O A A B
O A' A' B'
B C = =
B ' C'
B . 2
Comproveu s obre l a figur a que també e s compleix l a igu a l tat
O A O B O C = = = • • •
A A' B B ' C C '
re l a ció que ens perme t de comparar s egmen ts s obre due s recte s
concurren ts , i a lhora s egments sobre l e s re c te s que l e s ta l len
para l ·le lamen t .
B . 3
Extraieu de le s fotografie s següen ts un e s quema anàleg a l de
l a primera figura i comproveu que també es comp leixen re l acions
com les de l s exe r cicis B.l i B . 2 .
N OTA . - Re cordeu que per con s truir una família de rectes para l
le les c a l fer se rvir e l reg le i l ' e s caire .
B . 4
18
Cerqueu fotografie s d ' edificis o d ' e lemen ts arquite c tòni c s
(ros s a s se s , c laus tre s , s òcol s , mos aic s , et c . ) , de les qua l s p�
gueu extreure e squemes semb l ants a l s de ls exer cicis anterior s
i comproveu que e s comp leixen re l acions anà logues a le s de l s
exe r cicis B . l i B . 2 .
E l templ e d'Ameno f i s III a Luxor
E l temple de Te seu d'Atene s
1 9
La igualtat del problema B . l . tradueix en forma simbòlica el
teorema de Tales , l' enunciat del qual és:
TEOREMA DE TALES
Els segments determinats per rectes pararleles sobre dues
rectes secants són proporcionals.
Els grecs se servien d' aquest teorema per a realitzar càl
culs fraccionaris mitjançant mesures geomètriques que no podien
realitzar servint-se dels nombres. El teorema de Tales va perm�
tre de dividir qualsevol segment en el nombre de parts que hom
volia mitjançant el nombre corresponent de re ctes pararleles eE
tre sí. Llavors aquests criteris servien per a establir les plaE
tes dels temples , calcular la distància entre les columnes , llur
diàmetre , llur alçària.
Així tals criteris van convertir-se en cànons de bellesa i
harmonia. Però també serviren per a determinar millor les dis
tàncies envers les costes aspres i rocoses de les illes gregues ,
per tal d' evitar esculls perillosos durant la navegació pel Me
diterrani Oriental.
Us proposem a continuació alguns exercicis d' aplicació del
teorema de Tales.
20
EXERC IC I S D 'APLICACIO
B.5
Trobeu les longituds del se gment x en les figures següents :
30
� \ \
\ --'------->--\ 32
"' \ \ \
x \ \ \ \
\ \
\ \
\ 'l
\ �
21
B.6
Trobeu les longituds del s segme nts x i y de les figur e s
següents
B .7
En aque s ta figura , dirern que els segments AB i B C s ó n propoE
cional s a 2 i 3.
o
A
B B'
C e'
D o'
E' l
22
A B 2 Ho e s cr iurem : =
B C 3
a) Demostreu que A' B ' 2 = -
B ' C ' 3
b) Quant val A' B' ? i A' C ' ?
B' D' B' E'
CON S TRUCCIO l
Div i s i ó d 'un segment en parts igual s .
B.8
Div idiu un segment qua l s evol AB en due s parts igual s :
a) d ibu ixant la s eva mediatr iu , fent s e rvir e l reg l e i e l com
pàs .
b) Ap l i cant e l teor ema de Tale s .
B . 9
a) Dibuixeu un s e gment d ' ll cms i dividiu-lo en 3 parts i gual s
usant e l teorema d e Tal e s .
b) !dem e n 7 parts igual s .
E l s gre c s mi tjançant mètodes geomètr i c s resol ien equac ions
d e l tipus :
a : b = c : x a : b == b : x
ês a dir , cons truïen la quarta proporc ional de l s segments a , b ,
c , i la tercera propor c ional de l s s egments a i b.
CON S TRUCC IO 2
Quarta propor c iona l a tre s segments donats . Ter cera propor
c ional a dos segments donats.
23
B.10
a) Construiu, g eomètricament, e l segment x que sigui quarta pr�
por cional. de l s segments que amiden 2 , 4 i 3 cm s.; és a dir que
verifiqui la re lació
2 : 4 = 3 : x
b) R e s oleu la qüestió pl antejada algèbricament i comproveu que
e l resu ltat és la mesura d e l segment x abans construït.
c) Idem d ' l , 3 i 2. Idem de 4 , 2 i 6.
B.11
Donats e l s s egments
a b C
construiu e l s e gment quarta proporcional d e l s s egments a , b i
c.
B.12
Quan en la r e l ació a : b = c : x , b i c coincideixen , e l s e g
ment x s ' anomena l a tercera propor cional del s s egments a i b.
a) Es c riviu la proporció qu e tradueix l a fras e : e l s egment x
é s te r c e ra proporcional dels segments de mesures l i 2 cms.
b) Feu-ne la construcció geomètrica.
c) R e s ol eu també e l problema algèbricament.
d) Idem d ' l i 3 . !dem de 9 i 6 .
B.13
Donats e l s s e gments
a b
24
cons truïu la tercera proporcional dels segments a i b.
CON STRUCCIO 3
Divisió d'un s e gment en parts proporcionals a dos o més se3
ments donats.
B .14
a) Dibuixeu un s egment de 10 cm. i dividiu-lo en due s parts
proporcionals a 2 i 3.
b) Re soleu també el problema algèbricament.
B .15
Donats els segments m
a n
dividiu el s e gment a en due s parts proporcionals a m i n.
Idem per als s e gments
m
a
n
B .16
-Dibuixeu un s egment d'll cm . i dividiu-lo en tre s parts prQ
porcionals a 2 , 3 i 5 , és a dir determineu 3 s egments que veri
fiquin la relació
x 2 =
i que s umin 1 1 cm.
y 3
= z 5
25
Resoleu també e l problema algèbricament.
TRIANGLES EN POSICIO DE TALE S
Fina lment veurem corn e l Teorema de Ta les ens permet de rela
cionar els tre s costats dels tr iang l e s ABC i A' B' C' que es for
men en dibuixar due s re ctes para l�e l e s qu e ta llen dues s e cants .
B . l 7
26
Cons idereu la figura següent
\ \ \
a) Demostreu la relació
\ \
A B A C
A B' A C '
\ \
A
b) Demos treu que també e l costat BC i e l se gment B' C' s ón en
la mate ixa propor c i ó , és a d i r que es compleix
A B
A B '
A C
A C'
B C
B' C '
La figura us indica e l camí a s eguir : d ibuixar p e r B ' una para± l e l a a AC i repeti r e l raonament cons iderant corn a punt d ' inte r
s e c c i ó de l e s recte s concurrents e l punt B i no l ' A .
B .18
També pot donar-se e l cas que en d i buixar l e s due s paral·le
les la s ituac ió s igui l a de la figura
s'/ /
A
Repetiu la demostrac i ó de l ' exerc i c i anterior .
B . 1 9
La s ituac i ó també pot s er
e' s'
\
27
Per fer la demos tració en aquest cas podeu cons iderar e l trian
g le auxiliar A B" C" ta l , que A B" = A B' i B" C" paral·lela a
B C i B' C'.
a ) Demos treu que e l s triangles A B' C' i A B" C" són igua l s .
b ) Demos treu la proporciona l itat de l s costats de l s triang le s
A B C i A B' C '.
Quan dos triangles presente n la d i spos ició del s exer c i c i s
B.17 , B.18 i B.19 , és a dir , quan tenen un vèrtex comú i e l s cos
tats oposats a aque s t vèrtex para l·l e l s , hom diu que e s tan en "p�
s i c ió de Ta les" .
B.20
28
Trobeu el s egment x en le s f igure s següen t s
l
l l
i l
L.
A l
5
-- - - - 20 - - - - -
x
4 7
B . 21 . L' obelis c , monument rel i g i ó s propi de l' Eg ipte faraòni c , re
pr e senta per a uns la imatge est ilitzada d' un raig de sol, i per
altre s el d it .de Déu. Le s altures var i en entre els 1 9 i 37m . Veu
rem ara com col.locant de mane ra adequada la nostra ombra re specte
de la s eva, podrem c alcular-ne l' altura.
x
B
Tal com ve indicat a la figura,cal que avancem o reculem en
la dire cció de l' ombra (O B' de l ' obelis c fins que l' extrem de la
s eva ombra i la nos tra coinc ideixin (punt O) .
Així tenim dos tr iangle s en pos i c i ó de Tale s:
O A B i
Es veri fica doncs
O A' B'
A' B' O B' =
A B O B
relac i ó que permet calcular A' B' tot cone ixent la nostra altur a
( A B ) i mes u rant le s ombre s OB' i OB .
a) Feu els càlculs s i l' ob s ervador amida 1 ' 60m. i ha e fe ctuat
le s me s u r e s de 1 5 i lm de le s ombres.
29
b) Podeu repetir l ' experièn cia per a mesurar l ' a l tur a a.' arbres o
d ' edificis.
B.22
a) Construïu un triangle de costats AB = 9 cm; BC = 12 cm. i
CA = 6crn. i dibuixeu-hi una para l ·le l a MN a l costat AC ta l , que
MC = 4crn. C a l culeu les l ongituds de AN i de MN.
b) Dibuixeu , ara , una para�le l a PQ a l costat AB ta l , que PA =
= 2 cm i ca l culeu BQ i PQ.
c) !dem RS para l·le la a BC i ta l , que BR
R S.
3 cm. C a l culeu CS i
d) Uniu , ara , e ls punts M amb S , P amb N , i R amb Q i comenteu
l a figura que obteniu.
2.- H O M O TÈ C I A
A ls exercicis B.17 , B.18 i B.19 hem vist que si tenim dos
tria ng l es en posició de Ta les , ta ls corn
A
s'>--------
B '------------ C B '-----------� C
30
e ls A B C i A ' B ' C ' de l es figures es verifica l a r�lació
A B
A B ' =
A C
A C'
B C =
B ' C '
és a dir tenen e ls costats proporciona ls. A més observeu que te
nen e ls vèrtexs B i B ' , C i C ' a l ineats amb e l vèrtex A .
Aquests triang l es tamb é es diu que són homotètics . Ara bé ,
no tots e l s triang les homotètics són triang les en posició de Ta
l es .
Veurem ara un c as més genera l : e l de les figures homotèti
ques , que en grec significa tenir la mateixa disposició .
Observeu els dos gràfics següents que representen esquemàti
cament e l funcionament d ' una cambra fosca i d ' un apare l l reprodu�
tor de figures molt simple .
31
En ambdó s casos le s figure s repr e sentad e s s ón figu r e s homQ
tètique s. Remarqueu que tenen la mateixa forma i igual posició ,
és a dir , le s amplad e s , le s alçade s , etc. , són proporcionals i
els punts homòlegs són alineat s amb e l punt O.
Con sidereu també le s due s reproduccions s egüents del famòs
pintor holandè s M.C. Esch e r. En ambdó s casos hi ha també figur e s
homotètique s , però no u s deixeu pas enganyar p e r le s aparence s ,
perquè no són ni el s àngels i dimonis d' un , ni els dragons de
l ' altre , tret dels d ragons que són simètrics re specte el centre
del dibuix.
Le s figure s homotètiqu e s les proporciona l� trama que el
pintor utilitzà per a reiterar el dibuix: hexàgons al primer i
quadrats al s egon , com fàcilment po podeu veure en els e squeme s
que acompanyen cadascuna de le s repre s entacions.
32
33
34
B.23
Fix eu-vos en els tria ng l es A B C i A' B' C ' de l a figura següent.
a) Comproveu que tenen els vèrtexs h omòl egs a lineats amb un ma
teix punt O.
b) Comproveu que tenen e l s c ostats para l�el s i proporciona l s i
que podeu escriure
A' B' B ' C ' C ' A' = 3 = =
A B B C C A
�osaic grec d ' Emoüries.
B. 24
Util itzant els resultats dels ex ercicis B.1 i B . 2 demostreu
que en l a figura a nterior es verifica :
OA' = 3 . 0A
OB' = 3 . OB
OC ' = 3 . 0C
Hom diu que e l s triang l es A B C i A' B' C' són h omotètics en una
homotècia de c e ntre el punt O i raó 3 , informa ció que resumirem
escrivint H(0 , 3)
h /. "� , omotecia centre rao
35
B.25
36
Trobeu per a cada pare l l a de figures homotètiques e l c e ntre
O i l a raó i escriviu-los en e l l l oc indicat.
A l ' última pare l l a de tria ng l es l a situació és diferent de
l es anteriors. N oteu que e l s punts homòl egs A i �són a l ineats
amb el c e ntre O , però estan en diferents semire ctes respecte a l
c entre. E n aquests c asos assig narem a l a raó signe neg atiu.
B . 26
Expliqueu quines figures homotètiques observeu en l es següents
fotografies , i doneu-ne e l centre i l a raó de l ' h omotècia.
Formació de l a imatge en l a retina.
Fulles de l lorer.
Se cció d ' un tronc de oi jove amb
e l s ane l ls de creixement anua ls.
37
B. 27 Podem també imaginar l ' homotècia c om una mena d ' explosió que
allunya i dilata els ob jec tes. En e l cas de l a figura , figures
g eomè triques .
a) Considerant e l trapezi i la seva figura transformada , caleu
l eu l a raó d' h omo tècia .
b) Un c op determinat aquest val or , dibuixeu les figures trans
formades del triang l e , del rombe i de les tres circumferèn
cies .
/ /
/
\ \
l l
l
l l
l l
\ \
l \
\ \ \ \ \ \
Fix eu-vos , doncs , que per determinar una homo tècia n ' hi ha
prou de c onèix er-ne el c entre i la raó . De fet noteu que una ho
motè cia de c entre O i de raó e l nombre real k � O , H (O , k) , no és
més que una apl icació entre els pun ts del pla que a cada punt A
l i fa c orrespondre l ' A' ta] , que:
38
1 . - O , A i N són al ineats
2 • - OA' = k • OA
Així , donc s , due s f igures homotètique s són aque l le s que e l s
seu s punts e s corre sponen e n una homotèc i a .
ALGUNES PROP IETATS DE L'HOMOTEC IA
B . 2 8
Trobeu e n una homotèc ia de centre O i raó 3
a ) La t rans fo rmada d ' una recta que pa s s i per O .
b ) La trans formada d ' una rec ta que no pa s s i per O . A qu ina dis
tànc ia de O e stà l a recta trans formada?
c ) Repetiu l 'exerc ic i per a una ho motèc ia H ( o , -i ) .
d ) Expl iqueu com són en cada cas una recta i la seva trans for
mada . Enunc ieu l a propietat corre sponent .
B . 2 9
Per una homotèc ia H ( 0 , 3 ) determineu
a ) L ' angle tran s format d ' un angle de vèrtex O .
b ) L ' angle trans format d ' un angle que té un de l s seus costats
que pa s s a per o.
c ) L ' ang le tran s f ormat d'un angle que c ap de l s seus costats
pa s s i per O .
d ) Repet iu l ' exerc ici per a una homotèc i a H ( o , -i ) .
e ) Com són en cada c a s e l s angles homotètic s ? Enunc ieu l a pro
pie�a t c orre sponent .
B . 3 0
a ) Per una homotècia H ( 0 , 3 ) , trobeu e l segment trans format
d ' un segment AB . Cons idereu tot s e l s casos po s s ibles . ¿Qu ina
relac ió hi ha entre l e s longituds de l s dos segments homotè
t ic s ? Qu ina po s ic ió re l at iva tenen ? 1 b ) Repet iu l ' exerc ic i per a una homotèc ia H ( O , -¡) .
c ) Enunc ieu l a propietat corresponent.
B . 3 1
Per una homotèc ia H ( 0 , 3 ) , trobeu
a ) El tr iangle tran s format d ' un triangle ABC . Con s idereu tot s
e l s casos po s s ib l e s .
b ) ! dem per a una homotèc ia H ( o , -i ) .
c ) Comenteu com són e l s angles del s triangles homotètic s i e l s
costat s .
39
Així , donc s , ja que tota figura poligonal e s pot de s c ompon
dre en triang l e s , podem afirmar que l e s f igure s poligona l s h omot�
tiques tindran e l s ang l e s h omòl eg s igua l s i e l s c o stats h omòl eg s
para l ·l e l s i proporciona l s. El para l· l e l isme de l s co stats pot sim
plificar-vos , donc s , e l traçat de figure s homotètiques.
EXERCICIS D ' APLICACIÓ
B . 3 2
a) Construiu un h exàgon de 3 cm de c o stat i agafant corn a c en
tre d e l ' h omotècia u n vèrtex qua l s evol , d ibuixeu la f igura
tra n sformada s i l a ra6 d ' homotècia és k =l. 2 b) !dem si e l c entre de l ' homotèc ia é s tamb é e l centre de l ' he
xàgon.
c) Ídem si es troba en una diagona l que uneix dos vèrtex s opo
sats i a distància de 2 cm d ' un d ' e l l s.
B. 3 3
a) Construiu un quadrat de 3 cm i dibuix eu l a figura homotèti
ca per una homotècia de centre un vèrtex i ra6 k = 2 . b)
c)
Ídem de c entre el del quadra t i ra6 k =l. 3
Ídem si en dividir una diagonal en 3 part s igual s prenem el
c entre de l ' homotè c ia en un de l s punts de d ivi s i ó i com a
ra6 k=-2.
B . 3 4
Dibuixeu un triang l e A B C i e l triangl e de vèrtex s e l s punt s
mitjan s de l s c o stats. Aque sts do s triang l e s s6n homotètic s? En
c a s afirmatiu amb quin c entre i quina raó?
B. 3 5
40
Util itzeu l a pauta següent per a con struir l e s corre sponents
figure s tran sformades per l e s homotècie s que hi vén en indica
d e s.
-l l l l l l
V\ o
K:-2
-
o l/' K:2
K ' '
�/ o 1·'
K=--2
-� -
-�
l� l/' o l/
l
o 1 K- -\ '
3 / -K:-3 '
' . �-
l l i ' 41
B . 3 6
Con struïu e n u n ma teix dibu ix l e s f igures tran sformade s del
quadr ilàter A B C D
a ) per l ' homotèc ia H(O ,�) . Indiqueu e l s vèrtex s N B' C' D '
b ) per l ' homotèc ia H (O , - �). Indiqueu el s vèrtex s A" B" C" D"
c ) qu ina é s l ' homotèc ia que tran s f orma e l quadrilàter N B ' C' D'
en el �· B" C"D"?
C
B
----- * ----
D A º
3.- S E M B L A N Ç A
FIGURES SEMBLANTS . RAÓ DE SEMBLANÇA
Cons iderem due s f igu res homotè t ique s i movem-ne una tal corn
ve indicat a l s e squeme s s egüents .
L e s f igure s resultants c ontinuen tenint l a mate ixa forma pe
rò j a no tenen igual di spo s ició , perquè si bé el s s egments homò
l eg s cont inuen e s s ent proporc ional s i el s ang l e s homò l eg s igual s ,
l e s recte s que une ixen punts homòlegs j a no són concurrents .
42
43
Aix í donc s , l e s f igure s resul tants no són homotètiques . En
aquest cas, d i rem que són f igures s embl ants .
Es c l ar , que l es f igu res homotèt iqu e s són un cas particular
de les f igures semblants .
B . 3 7
44
Les f igu re s s egüents són homotètique s en una homotèciade c en
tre O i raó 3.
D ibu ixeu- l e s de manera que s igu in sembl ant s , i deix in de ser
homotètiques . Qu ina é s l a raó de s embl ança?
u B . 3 8
Aquests dos octògon s regulars són s emb lants . Qu ina é s l a raó
de semblança?
D ibuixeu- l o s de manera que s igu in homotètic s i expl iqueu corn
trobeu el c entre i l a raó de l ' homotèc ia .
Ob serveu 'gue la raó de semblança ( raó de proporc ional itat
del s s egment s homòl eg s ) és l a raó de l ' homotèc ia corre sponent .
B . 3 9
En aque sta f igura ten iu un tro s de mo saic que ens ha s ervit
per trobar 2 tr iang l e s homotètic s . Ara h i vénen dibu ixats dos
tr iang l e s semblants .
45
Qu ina de l e s condic ion s de f igures homotètiques no ver if i�
quen? Calculeu l a raó de semb lança
B . 4 0
A' B' B' C ' C ' A' k = =
A B B C C A
D ' aquestes parel l e s de f igures geomètr iques
a ) qu ines són homotè t iques? Trobeu-ne e l centre i la raó .
b ) qu ines són semblants? Trobeu-ne la raó.
o ) b) A
A
p C)
46
e) Què podeu dir d ' aque s t s tres dibuix�s?
.... . . . ",,_ ___ ... • •• • • • • •
• • • • • • • •
B . 4 1
a ) Corn hauríeu de col-l ocar aquestes due s f igure s , pe rquè· d�i -
x e s s in de ser homotètique s?
b ) dos triangles equilàters són s emblants?
e) i do s d ' isòsceles?
47
B . 4 2
a ) D ibuixeu un rec tangle de costats 4 i 6 cm . I un al tre de cos
tats 6 i 8 cm , é s a dir cadascun 2 cm mé s gran que el s cos
tats de l pr ime r . Són sembl ants? Per què? I s i ho f é s s im en
un quadrat de costat 4 cm?
b ) Si donat e l rec tangle de costats 4 i 6 cm , en cons iderem un
al tre de co stats tripl e s , seran semblants? Per què?
B . 4 3
Sabent que cada pare l l a de triangl es de la f igura següent són
semblant s , c a lculeu l e s l ongituds dels costats x i y .
6
30 x
SEMBLANÇA DE TRIANGLES
Si l e s f igures que c ons iderem són tr iang l e s , és clar que po
dem donar la def inic ió següent :
48
" dos tr iang l e s són semblants s i tenen :
- e l s angles homòlegs igua l s
- e l s costats homòl eg s proporc ional s . "
A
B C
El s tr iang l e s de la f igura són semblant s . Ho indicarem :
que s ignif ica :
B . 4 4
�A B C � AA' B' C '
A
1 . - A =
B =
ê =
2 . - A B A' B '
A' B' ê•
= B C B' C '
C A C' A'
Demo streu que tota paral·l e l a a un costat d ' un tr iangle dete!_
mina , amb l e s rectes a l e s qua l s pertanyen el s al tres dos cos
tat s , un triangle semblant a l primer .
Considereu e l s 3 casos s egüent s , on e l t riangle inic ial é s
e l A B C .
A .A
B
49
CRITERIS DE SEMBLANÇA DE TRIANGLES
Veurem ara que de l e s 5 condic ions que h em impo sat al s tria�
gles semblant s , n ' h i ha prou de comprovar-ne due s , i le s a l tres en
són cons eqüènc ia .
PRIMER CRITERI : "S i dos triang l e s tenen un ang l e igual i e l s dos
costats que el formen proporc ional s , són sem
blants".
Demo s trac ió . Suposarem que: A = A' A B A C = A' B' A' C '
A
Prenem sobre e l costat AB un segment AD igua l al A' B'
AD = A' B'
i tracem per D una paral ·l e l a al co stat BC . ..c..
El triangle ADE f ormat é s s emblant al ABC tal com hem provat
a l ' exerc ici B . 4 4 . Aix í tenim :
a mé s
6 ..6. ADE "Y ABC
A A ADE = A' B' C '
perquè tenen un angle igual A = A' i igua l s també el s d o s c o s
tats que e l formen .
Efectivament : 1) A = A' per hipòte s i
2 ) AD = �g per construcc ió
3 ) A' C' = AE p erquè :
50
donat que
i j a que
.¡... • '--enim <JUe
.6 L:::.. ADE 'V ABC
per h ipòt e s i
Re sulta donc s , que
B . 4 5
podem escriure
A B A C =
A ' B' A ' C1
A E = A' C '
.6 .6 A' B ' C ' "' A B C
A B A C =
A D A E
i que AD = A ' B1
Estudieu detalladament la demo s trac ió anterior i intenteu de
mo s trar de manera semb lant e l s dos criteris següents :
SEGON C RI TERI : " S i dos triang l e s tenen due s pare l l e s d ' angl e s
igual s són s emblant s " .
TERCER CRI TERI : " S i dos tr iang l e s tenen e l s tre s co stats propor
c iona l s són s emblants " .
SEMBLANÇA DE TRIANG LES RECTANGLE S
Donat que 2 triangl e s rec tangles j a tenen 1 angle igual , e l s
criteris tindran una sola condic ió.
Enuncieu e l s c r iter i s de s emb lança , en el cas particular de
tr iang l e s rec tangl e s .
DEFINICIÓ DE SEMBLANÇA
Tote s l e s con s iderac ions fetes f in s ara ens permeten e s criu
re la def in i c ió de semblança :
"una semblança é s una apl icació entre el s punts del pla ,
de manera que a segments d ' una f igura corre spongu in se�
men t s proporc i ona l s en l ' al tra " .
51
F igu res s emblants s eran, donc s, aqu el l e s que el s seu s punts e s
corre sponen en una semblança .
La idea de f igu res s emb l ants, j a fou emprada per Ta l e s per a
me surar altures d ' edif ic i s fent servir pal s i amidant l lurs om
bre s . Aquest procediment s egurament el va aprendre dels egipc i s .
La f igura següent us il·lustra el mètode .
SOL ó.A B C""AA' B' C '
l A
B a' C
Coneixent l ' a l tura del pal ( A' C ' ) podrem conèix er. l ' al tura
de l ' edi f i c i ( AC ) , gràc ies a la proporc iona l i tat del s c o s tats de
2 triangl e s s emb l ant s .
B . 4 7
a ) S i amidant l ' ombra d ' un edi f i c i ob tenim 5 , 2 m , i el nos tre
regle de 4 0 cm col ·locat vert icalment pro j ec ta en el mateix
moment una omb ra de 2 5 cm , qu ina serà l ' a l ç ada de l ' edif ic i?
b ) Podeu apl icar aquest mètode per me surar l ' a l ç ada del vos tre
Inst itut .
RAÓ DELS PERÍMETRES I DE LES ÀREES DE F IGURES SEMBLANTS
En l ' exerc ic i B . 2 5 ten íem una s èr i e de f igures homotèti
que . Cons iderarem ara :
- e l s dos tr iangl e s , homotèt ic s per l ' homotècia H ( 0 , 2 )
- el s dos rombe s , homotèt ics per l ' homotèc ia H ( 0, 3 )
- e l s dos trapezi s , homo tè t ic s per l ' homotèc ia H ( 0 , 3 )
52
Aque stes f igures venien dibu ixades s obre una pauta de tr ian
gles eau i làters . Suposarem que el s eu c o s tat é s la unitat de me
sura .
B . 4 8
Anomenarem P al per íme tre de l a f igura inicial i P' al de la
transformada . Cal cul eu per a cada un dels 3 casos el va lor del P' quoc ient P, i relac ioneu- lo amb el valor de la ra6 d ' homotè-
c ia corresponent .
B . 4 9
Tenint en c ompte que tenim totes l e s f igure s triangulade s ,
mireu quante s vegade s conté la f igura gran a la pet i ta corre s
ponent , o el que é s el mate ix , calcul eu en cada scun del s 3 ca
sos el quoc ient d ' à ree s : �· i relac ioneu-lo amb el valor de
la ra6 d ' homotèc ia .
53
En aquests dos últims problemes hem comprovat que la raó
dels perímetres de dos triangles homotètics (o d'altres figures
poligonals) és igual a la raó d'homotècia, i que la raó d'àrees
és igual al seu quadrat. És a dir:
P' - = k p S' 2 - = k s
Si movem una de les figures homotètiques dels 3 gràfics an
teriors, obtindrem figures semblants, i ja que les figures sem
blants segueixen tenint la mateixa forma, es conservaran les an
teriors relacions.
Aquestes relacions: P' p = k; són vàlides en general
per qualsevol tipus de figures semblants. Podeu comprovar-ho en
els exercicis següents.
B.50
Dibuixeu dues circumferències exteriors (vegeu D. 15) de ra
dis 2 cm i 4 cm. Trobeu el centre i la raó d'homotècia. Quina
és la raó dels seus perímetres? I la de les àrees dels dos cer
eles que determinen aquestes circumferències?
B.5 1
Els costats d'un triangle amiden 9 , 6 i 12 cm.
a) Quant mesuren els d'un triangle semblant si la raó de sem-1 blança val 3?
b) Calculeu la raó dels perímetres.
e) Dibuixeu els dos triangles, traceu les altures, i mesureu
les. En quina raó estan?
d) Calculeu les àrees i trobeu-ne la raó.
B.52
54
En aquesta figura teniu dues figures semblants. Calculeu la
raó de semblança, i, utilitzant la quadrícula que les cobreix
o una quadrícula més fina, aproximeu els valors de les àrees S' corresponents, i calculeu la raó s·
Exercicis d'aplicació
B. 53
Construïu amb regle i compàs un triangle que tingui per cos
tats AB = 5 cm, B C = 4 cm, CA= 6 cm, i també un de semblant
que tingui de perímetre 25 cm.
B.54
Construïu dos triangles equilàters tals , que l'àrea del gran
sigui el quadruple de l'àrea del petit. Si el costat del petit
amida 3 cm, quant amida el costat del gran?
B.55
Sabent que cada parell de triangles de la figura següent són
semblants, determineu el valor de x .
O) b l
3 �, __
__ ,_
6 -2 -
55
B . 56"
Les àrees de 2 triangles semblants valen 6 cm2 i 24
a) Trobeu la raó de semblança.
2 cm .
b) Si la base del primer val 6 cm, calculeu la seva altura, ai
xí com la base i l'altura del segon.
B . 57
Els grecs utilitzaren la semblança de triangles en múltiples
aplicacions pràctiques: per a mesurar altures de penya-segats, per a
calcular la distància d'una nau a la riba, etc.
56
Els gràfics següents il-lustren el procediment que seguien:
.· : : ... :-. ..
.. . .
...
...
.
.. ·�· .. : . .
.
'
.
. . .
.
. .
.. , •
• • •
.. : .. ::· .. •• •. . , l ••
. . . .
..
.
.
....
..
.. .
En el primer cas utilitzaven pals i llurs ombres, i en el s�
gon un senzill aparell que els permetés dirigir les visuals cap
al peu i cap a la punta d'un far del qual coneixien l'altura.
Expliqueu quins triangles consideraven, i quina proporció
els permetia resoldre la qüestió en cada cas.
B.58
A Tales, se li atribueix la manera de con�ixer des de la cos
ta, la distància a què es troba un vaixell: dos observadors mesu
rarien la distància A B que els separa i respectivament els an
gles A i B , amb la qual cosa el triangle A B C quedaria deter
minat.
Expliqueu com penseu que trobaven la distància al vaixell. , ,
4.- A M P L I A C I Ó R E D U C C I Ó D E F I G U R E S
Diverses són les tècniques que es poden fer servir per a am
pliar i reduir figures, totes es basen en l'homotècia o la sem
blança. En veurem algunes.
L'ampliació de dibuixos mit jançant quadrícules semblants era
ja utilitzada pels egipcis. Consisteix a dibuixar una quadrícula
sobre el dibuix que es vol ampliar o reduir, i una segona de se�
blant amb raó de semblança convenient. I quadre per quadre, anar
traslladant el dibuix a la nova quadrícula.
57
- l l � l.l l l l ""'
, lií � � l
'
l
' ' ...
""'
B. 59
58
Construïu una quadrícula semblant a la que cobreix el mapa
dels Països Catalans i que us permeti d'ampliar-lo en la raó i· 2 Ídem per reduir-lo en la raó 5.
Un mètode alternatiu consisteix a fer ús de la noció d'homo
tècia mit jançant una de les tres construccions següents:
o
K = 2
o K = 2 K= 3
59
En la 1ª, pot agafar-se el centre d'homotècia en el punt que
sembli més convenient, i dibuixar les guies que calguin per tal
de buscar els punts corresponents als vèrtexs.
En el 2n cas, el centre d'homotècia es pren en un vèrtex de
la figura.
I en el 3r, és un punt interior.
B.60
Dibuixeu una figura poligonal i utilitzant els tres mètodes
anteriors obteniu-ne
a) una arnpliaci6 de ra6 3.
b) una reducci6 de ra6 i·
Hi ha també alguns aparells que permeten ampliar o reduir fi
gures: el compàs de reducci6 permet ampliar o reduir segments, i
el pantògraf permet obtenir directament figures homotètiques i
per tant semblants.
EL COM PÀ S DE REDUCCIÓ
Per a l'arnpliaci6o reducci6 de segments es pot emprar el corn
pàs de reducci6,un esquema del qual és el de la figura; i és una
simple aplicaci6 de la semblança de triangles o simplement dels
triangles homotètics.
A
60
És un compàs les branaues del qual tenen unes ranures on es
pot fixar l 'articulació O. Si tanquem e l compàs i col.loquem O en
una posició en què les branques quedin dividides en una certa
raó, per exemple OA = 20A', en obrir el compàs els segments deteE minats per dues puntes i les. seves oposades estaran en la matei
xa raó. Així A B serà el doble de A' B' .
Variant l'obertura de l compàs podrem, doncs, reduir o am
pliar amb la mateixa raó diversos segments.
Les ranures porten unes divisions assenyalades amb els núme
ros 2, 3 , 4 , S, . . . que indiquen la co l.locació de l'articulació
per tal d'obtenir la reducció o ampliació corresponent.
B. 6 1
Construcció d'un compàs de reducció. Heu de construir dos re
gles, per exemple de 20 cm, amb una ranura des d'un extrem a
l'altre i que us permeti de fixar mit jançant una clàvia les
dues branques del compàs en el punt adient segons el valor de
la raó.
54 3 2
Cal també que hi marqueu amb els números 2, 3 , 4 , . . . les di
visions que us permetran d'operar amb les raons 2, 3 , 4 , . . .
EL PANTÒGRAF
El pantògraf és un senzill instrument que permet d'obtenir
directament figures homotètiques i per tant semblants. �s en es
sència un paral·lelogram articulat A B CD amb dos costats prolon-
61
gats de forma que:
BP = BC i DE = DC
d'on es dedueix que:
A P = A E
A
Podeu comprovar que els triangles BPC i A P E són semblants,
que els punts P, C, E són punts alineats i que
PB PA = PC
PE
Així doncs, fixant el punt P i movent sobre una figura la punta
col·locada a E, el llapis col·locat a C ens dibuixarà una figura
homotètica amb raó
k = PB PA
De manera semblant, si fix em C, les figures descrites per P i
E seran homotètiques amb raó
k = B P BA
Si canviéssim estilet i llapis les raons foren les inverses.
És clar , que el pantògraf permet de variar k tot variant la
raó entre les longitud s del s costats del paral·lelogram A B CD.
B.62
62
Construcció d'un pantògraf . Podeu construir un pantògraf ru
dimentari de la manera següent:
- Talleu 4 tires iguals de cartró i marqueu-hi dos punts a ca
da extrem i a la mateixa distància en totes les tires.
1 - Marqueu-hi també un punt intermedi, per exemple a 3 de la
distància entre els punts extrems.
- Col·loqueu-les corn s'indica a la figura i fixeu-les de tal mane
ra que permeti l 'articulació del paral·lelogram A B C D format.
Si fixeu el punt P a la taula i col-loqueu un llapis en el f o
rat fet en el punt C i un estilet o un altre llapis al punt E,
observareu que en moure l'estilet E, el llapis senyalarà sem
pre un punt C en la recta PE i a la distància i de P E.
fs a dir, el llapis dibuixarà una figura homotètica, de la res 1 seguida amb l'estilet,amb la raó 3·
Construïu entre tots els grups pantògrafs que us perrnetin op�
b l 1 2 1
. 3 rar arn es raons 2, , 3 i .
MA PES I PLÀNOLS. E S CA L E S
La construcció d e figures semblants és u n problema d'aplica
ció constant en la representació de terrenys, edificis i d'obje�
tes e� q e � eral , els quals no es poden representar amb la seva
gra�êà�ia natural sobre el paper.
63
Elp mape s i e l s plànol s no s6n mé s que f igure s semblants a
la pro j ecci6 del terreny o edifici sobre un pla hor itzontal , é s
com s i e s prengués una f otogra f ia des d ' un avi6 . Aixecar un plà
nol és constru i r la f igura s emblant amb una determinada ra6 de
semblança que hom anomena l ' e s cal a .
Així , s i l ' e s cala d ' un mapa é s 1 : 1 . 0 0 0 . 0 0 0 vol dir que ca
da d i s tància del mapa corre spon a una d i s tànc ia 1 . 0 0 0 . 0 0 0 de ve gade s superior a la rea l i tat , per exemple 1 cm del mapa corre s
pon a 1 . 0 0 0 . 0 0 0cm = 1 0km a l a real itat . Segons l ' escala el s ma
pes e s c l a s s if iquen en :
- Mape s a petita e scal a : el s d ' e scala inferior a 1 : 1 . 0 0 0 . 0 0 0
- Mape s a mitj ana escal a : el s d ' e s cala comp resa entre 1 : 1 . 0 0 0 . 0 0 0
i 1 : 2 0 0 . 0 0 0
Mape s a gran e scal a : el s d ' e scala superior a 1 : 2 0 0 . 0 0 0
Un cas particular de mape s a gran e s cala s6n el s plànol s, que s6�
mape s d ' e scala super ior a 1 : 1 0 . 0 0 0 .
El s mapes i plànol s acostumen a portar un seqment graduat en
m, km , . . . de la real i ta t ., que alhora que indica la ra6 de sembla!:
ça facil ita l e s l ectures i me sures . Aqu e s t segment graduat s ' ano
mena escala gràf ica .
64
o 100kn
EMPÒRION
• �
o �
C. I B È R ICA ! c. TA L A I ÒT I CA
C iutat s colonial s gregue s .
Segona me itat del primer mil·leni a . C .
B.6 3
Scbre a�ues t plànol de Barcelona tenim senyalat e l recorre
g L: -:. :::. ' ·..:. :-. a c ·..:. r sa, amb la meta coincidint amb el punt de parti
da. Ca l c � :e� la d istància que recorreran e ls participants i
l ' à r e a � � e r c de j aran, si l'escala del mapa �s 1 : 8 . 242 .
65
B . 6 4
En un mapa de ls Pa ïsos Catalans, fet a esca la 1 : 2 . 0 0 0 . 0 0 0 ,
a ) Quants cm del mapa separaran 2 punts que en la realitat dis
ten 1 2 km ?
b ) Í dem per 1 0 0 km .
B . 6 5
Dos mapes de Catalunya estan fets a escales 1 : 1 . 5 0 0 . 0 0 0 i
1 : 7 0 0 . 0 0 0
a ) quin d'e l ls és més deta l lat?
b ) per una mateixa superfície sobre el paper, en quin dels dos
hi haurà representada una zona més grossa ?
B . 6 6
Si s'ha intentat dibuixar e l plànol d ' una habitació en un fo
li, i resulta que no hi cap, ¿com s ' ha de pren dre la nova esca
la, més gran o més petita ?
B . 6 7
66
Dibuixeu el p lànol de la vostra habitació. Feu el dibuix a
una escala adient perquè ocupi un full de la gran dària d'un fo
li.
C . P E R Í O D E D E L A M A G N A G R È C I A
La principal figura d'aquest període és Pitàgores . Pitàgores
va néixer a l'illa de Sarnos l'any 572 a. C . i morí el 500 a.C. Fou
alumne de Tales i de jove va viat j ar a Egipte, on va adquirir
els seus primers cbne ixernents matemàt ics .
Amb Pitàgores, que és considerat corn un de ls homes més il�us
tres de la Ciència Grega, l'enfocament científic de l'estudi de
la naturalesa propi de l'època jònica, va ser substitu ït per una
concepció religiosa.
Pitàgores fundà a Crotona, port grec del sud d' Itàlia, una
Pitàgore s , segon s una e scultura de l segle XII . (Catedra l de Chartre s ) .
67
comuni tat rel igiosa ded i cada a la pràctica de l ' ascetisme i a
l ' e s tudi de les matemàtique s ; aques te s eren considerades alhora
una c lau per res o ldre e ls orígens de l ' Univers i un ins trument
per pur i f i car l ' ànima .
Els pitàgorics van fer grans progre ssos en e ls camps de la
geome tria i de la teoria ·J.e l s nombre s . E l nombre va reemp laçar al
foc , que per a l s j ònics era el pr incipi fonamental de totes les
cose s . Per e s tudiar- los van fer servir e l mètode dels nombres fi
gurats , repre sen tant- los en forma geomètrica . Això donà l loc a
l ' anomenada " ar i tmo-geometri a " ( de l gre c ari thmo s = nombre ) . E l s
c las s i fi caven en :
triangu lars í l + 2 = 3 l + 2 3= 6 . . . . 1 + 2 + . . . +n
.:J· �-. p lans quadrats l l + 3= 4 1 + 3 + 5=9 . . . . 1 + 3 . . + ( 2 n- l )
�-.;.r . . . . . .
rectangulars 2 2 + 4=6 2 + 4 + 6 = 1 2 . . . . n + ( n + l )
par a l·le lepí pe des 1 2 . . .
471 �-sòl ids< cúb i c s l 8 = 3 + 5 2 7 = 7 + 9 + 1 1
Així , doncs , e s va es tab l ir una re lació e n tre :
quanti tat i forma
é s a dir , entre : Ari tmè tica i Geometria .
De ls cone ixements geomètrics atribuïts a l ' e s cola pi tagòri
ca , veurem tot segui t l ' anomenat teorema de Pi tàgores i desnré s
altres teoremes de l triangle rectangle , i la propie tat aue la s �
m a d ' ang les e n tot triangle és de 2 re ctes . Finalmen t e s tudiare�
la secció àuria .
68
1.- T E O R E M A D E P I T À G O R E S
La seva demos tració s ' atr ibueix a P i tàgore s , encara que e l s
egipc is , e l s indi s i e ls xinesos , e l van utilit zar molt abans
d ' una mane ra empírica , tot fent ús de le s ternes 3 , 4 i 5 e l s
egipc i s i 5 , 1 2 i 1 3 e l s i ndi s i e l s xinesos .
C . l
a ) Antigament e ls egipcis feien s e rvir e l mè tode de la cor
da per a obtenir angles rectes sobre el terreny ; con s i s tia a
marcar-hi amb nusos 1 2 trossos igua l s i formar un triangle de
costats 3 , 4 i 5 .
Ob se rvem que aque sts tre s nombre s veri fiquen la condició seoüen t :
i comproveu que també la ver i f iquen les ternes 6 , 8 i l O ; i 9 ,
1 2 i l 5 .
b ) En èpoque s encara mé s remo te s , e l s indi s i e l s xine s os feien
servi r la corda dividida en parts que amide s s i n 5 , 1 2 i 1 3 ; i
també 8 , 1 5 i 1 7 .
69
Comproveu que segue ix e s s e n t và l i da l a cond i c i ó anter ior en tre ....
e l s tres nombre s de cada sêrie .
c ) Trobeu quatre terne s mé s que ver i fiqu i n la cond i c ió
En la f i gura següen t , vénen i l·lus trats e l s t r i ang l e s rectan
� l e s que resulten de l e s regl e s que donaren :
70
- P i tàgore s , en e l c a s en quê n és impare l l
2 n - 1
n 2
per exemple :
S i n = 3 3 9 - l
2
S i n 5 5 2 5 - l ---
2
2 n + l
2
= 4
1 2
9 + l 2
2 5 + l 2
= 5
1 3
- La que mé s tard dóna P la tó , en e l cas 2 n pare l l
2 n n2
- l n2 + l
per exemple
S i n = 2 4 3 5
S i n = 3 6 8 1 0
S i n = 4 8 1 5 1 7
60 (;-��, . \ \ ) � - -- ... l �)�l\�,I l
\\ A 1 \ 1..1 ... ".'\ � l
�'t; l ( '• 1 1 )1"' � \ �l., 1 ) ) 1 l '"'r:1 (,� �('� \ \ l '
l ( l l \ \ \ 40 \ \ \ \ \ \ \ \ \ 6 1 \ \ \
24 \ \ . \ \
\ \ \ \
\ \ \ \ \ \
\ \ \ 1 2 \ \ \ · 25 \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \
\13 \ \ 4 \ \ \ \
\ \ \ 5 l \ \ l
3 5 7 9 1 1 C"'l ll'> r-- Ol ;::
1 1 1 1 1 1 1 1 " C C C C C
4 8
35
2 1+
15
8
3
\
\
\
\ \
\ \
\ \ \
\ \
\ \ \ \ \
\ \ \
\ \
\ \ \5 0 \ \ \ \ \ \ \37
\ \
\ \ \ \
\ \ \
\
\ \ \ \
' \17 ' \
\ \ ,10 \ \
5 ' \ \ 4 6 8
-.:r <D co 1 1 " " C C C N N N
\ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \
10 12 1 4 e N -" " C C N N
71
P a s s arem ara a traduir . l a cond i c ió anterior a imatge s geomè
trique s . Prenem , per exemp l e , la s èr i e pi tagò r i ca 3 , 4 i 5 i f i
xeu-vos , que l a f i gura s egüent tradue ix la cond i c i ó 32 + 4 2
= s2
en terme s de l e s àree s de l s tre s quadrats cons tru ï t s s obre e l s
dos catets i l a h ipo tenu s a .
C . 2
Con s i derem un quadra t de cos tat a + b . Obs erveu que e s poden
fer l e s dues des compos i c i ons s egüents :
a
a + b
l b
72
b
a
a b
en dos quadrats di ferents i dos rec tang l e s igua l s , o bé en l quadrat i quatre triang l e s igua l s .
a ) Tot comparant- los , què podeu dir de l s 4 trian g l e s que apa
reixen en les due s f igure s ?
b ) ]\,nomenem c a l cos tat del quadr a t inter ior de la 2ª
f i gu
ra ,i e sc r iviu l a igual t at. entre l e s s umes de le s àre e s de l e s
f i gures en què h a quedat de s c ompos t e l quadrat d e cos tat a1b .
Quina re lació obteniu en tre les àre e s de l s 3 quadrats de c o s
t a t s a , b , c ?
C . 3
Preneu ara un d e l s 4 triang l e s rec tang les i dibuixeu-hi s o
b r e e l s t r e s costats e l s 3 quadrats . Enun c i eu l ' anomenat teore
ma de P i tàgore s en terme s de les àre e s de l s quadrats cons tru ï ts
s obre la hipotenusa i e l s c a te ts ; i e s c r iviu l a re lació ver i f i
cada pe r a , b , c .
Veurem ara , a l guna apl ic ac i ó immed iata d ' aque s t teorema :
C . 4
a ) Coneixent e ls dos c atets d ' un tr iangle re c tangle podrem
determinar e l valor de la h ipotenu s a .
Trobeu- la en e l cas en ouè valquin a = 1 2 cm . , b = 1 6 cm .
b ) Cone ixent un cate t i la h ipotenu s a e s pot trobar l ' al tre ca
tet . Feu-ho si a = 1 6 cm . i c = 3 4 cm .
c ) En e l s s egüent s triangle s rectangle s , trobeu l a longi tud del
cos tat que f a l ta per conè ixer .
73
�9 1 5
e . s a ) Trobeu la h i potenu s a d ' un t r i a ng l e rec tang le del qua l co
neixem els dos catets : 3 cm . i 4 cm .
b ) ! dem de 6 i S em .
e ) Comparant e l s dos re s u l tats ante r i ors , podeu dir dire c ta
ment qu ina s e rà la h i po tenusa s i e l s catets amiden 9 i 1 2 crn? I
s i ami de s s i n 1 5 i 2 0 crn ? Corn s ón tots aques ts triang l e s rectan
gl e s ?
d ) Demos treu que tota terna d e n omb r e s d e l a forma 3n , 4 n , S n
( on n é s un nombre natural qua l s evo l ) é s una s è r i e pi tagòr i c a .
Però , cal remarcar que m i l anys abans de l s p i tagòr i c s , e l s ba
b i lon i s cone i x i en 1 5 ternes d i ferents de núme ros que formaven
tr iang les re ctangle s . B ab i loni s i a s s i r i s u t i l i t zaven acues te s
ternè s principalment per var iar l e s formes de l e s seve s cons truc
cions monumenta l s , tot var i an t e l s co s ta t s de l s tr ian g l e s re ctan
g le s uti l i t z a t s . Per a aque s t s pob l e s la inve s t i ga c i ó c i en t í f i ca
era d ' ordre pràct i c , cul tivada en fun c i ó de l s e u apro f i tamen t .
Però , e l s seus cone ixements van f ormar l a b a s e de l a c ièn c i a j ònl
ca de l a qua l van ser l ' origen .
74
I uns c inc-cents anys abans de l s p i tagòri c s , e l s x ine s o s de
mos traven que el quadrat constru r t sobre la h i potenu s a d ' un tri
ang le rec tang le , era equ iva lent a la suma de l s dos quadrats cons
tru ï t s s obre e l s catets . Per demos trar-ho i n s c r iv i en un quadr a t
dins d ' un a ltre .
R a
b
s
u
T
amb la qual cosa e s formaven 4 tr iang l e s rec tang les d ' h ipotenu
sa c i cate ts a i b .
Així , l ' àrea de l quadrat gran era igual a l ' àrea del p e t i t
mé s 4 vegades la del triang le :
c 2 + 4 a . b
2
Traç ant le s para�le l e s a l s cos tat s del quadrat gran pe l s
punts R S T U , ob tenien :
7 5
a R
b
- - - - - -( a - b J -- - - -
T
é s a d i r , e s formava un quadrat en igu a l pos i c i ó que l ' i n i c i a l
d e c o s ta t a - b , mé s quatre rectang le s d e cos tats a i b . Així ,
l ' àre a d e l quadrat gran va l ia
( a - b ) 2 + 4 • ab
expre s s i ó que igualada a l ' anter i o r en s dóna la re lació
2 2 2 C = a + b
que é s l ' enun c i a t del Teorema .
C . 6
a ) Feu le s due s cons truccions corre sponen ts a l cas
- cos tat del quadrat gran a + b = 7 , amb a = 4 , b = 3
- cos tat del quadra t pe t i t c = 5
i comproveu l a igua ltat de les àree s G) i � Veurem ara , a lgun s exemp l e s en auè e l teorema de Pi tàgore s peE
met determinar e l ements de di feren t s fi gures geomè triqu e s .
76
C . 7
a ) Trobeu la long i tud de la diagona l del re ctangle que té pe r
cos tats 5 i 1 2 cm .
b ) C a l culeu e l per ímetre d ' un rombe , l e s d i agona l s del qua l
amiden 6 i 8 cm .
c ) L ' a l tura per A d ' un t r i an g l e amida 1 2 cm . i divideix e l c o s
tat BC e n 2 s egmen ts d e 5 i 9 cm . C a l cu leu e l perímetre i f eu
e l dibuix del tr i angle ABC .
C . 8
Trobeu les dimens i ons i la diagonal d ' un re c tangle que té
de períme tre 4 6 cm . , i ta l , que la b a s e és 7 cm . més l l arga que
l ' a l tura .
C . 9
La h ipotenus a d ' un tr i ang l e rec tang le amida l O cm . i un d e l s 4
seus catets val e l s 3 de l ' a ltre . Calculeu e l s cos tats d ' un
tr i ang l e semb l an t , e s se n t 1 e l valor de la raó de semb l anç a .
C . 1 0
Trobeu e l s c o s ta t s d ' un tr i ang l e re c tangle de perímetre 6 cm .
s emb lant a l de cos tats 3 , 4 i S em .
C . 1 1
Es vo l tancar un terreny que té forma de trape z i rectang l e ,
des compon ib le en un quadrat i en un tri angle i sò s ce le s . Ca l cu
leu quants me tres de f i lat s ' h an de c omprar s i el cos tat de l
quadra t amida 2 0m .
F ixeu-vos que é s la pr imera vegada en què , en apl i c ar e l teo
rema de P i tàgore s , e l s tre s nomb r e s que han i n tervingu t no són
7 7
tots raciona l s . Això va con s t i tuir e l moment més d i f í ci l , no so
l ament din s del pi tagori sme , s i nó e n tota l a matemàtica grega . En
genera l i t z ar el teorema de P i tàgore s , en concret e n apl i car- l o a
un triangle re c tang le i sò s c e l e s de catets igu a l a la unitat , van
trobar- se amb la impo s s ib i l it at d ' expre s sar la hipotenus a mi t j aE
ç an t un nombre r a c iona l . Això va conduir a l ' ampl ia c i ó de l a no
ció de nombre , amb el de s envo lupament de la teor i a de le s "magn_!
tuds irraciona l s " .
C . 1 2
Comproveu quins de l s c on j un t s d e nombres s egüent s poden ser
l e s m e s ure s de l e s longituds d e l s tres costats d ' un triang l e
rectan g le
8 9 1 2 6 8 2 l ' s 2 2 1 5 5 5
5 6 7 3 4 5 5 1 2 1 3
9 4 0 4 1 7 2 4 2 5 2 3 , 'JD \/3 2 'J7 V3 Vs V8 3 2 5
2 2 6 ' 8 ., 1 0 8 1 5 ' 1 7 2 ' 1 3 5 1 4
i digueu quines terne s e s tan r e l a c i onade s entre e l le s .
C . 1 3
Le s due s diagona l s i l a b a s e p e t i ta d ' un trape z i re c tangu
lar mes uren re s pe c t ivament 1 5 , 1 3 i S em . Dibuixeu- lo i trobeu
ne e l s a l tr e s tres cos tat s i e l perímetre .
CONSTRUCCIÓ DELS NOMBRE S V2 , \(3 • . .
E l teorema de P i tàgore s permet de manera s e n z i l l a repre s en
tar s egments que amidin V2 , V3 , . . . E l punt de partida é s coE
s iderar e l triang l e rectang l e i sò s c e l e s de catet la unita t . La
h ipotenusa val\{2. . A partir d ' aque s t tr iangle h i ha due s pos s ib i
l i tats per anar obten int \f3 , \f4 i \/5 . . . L e s in ici arem :
7 8
3
79
C . 1 4
Feu ambdu e s cons trucc ions, prenent la uni tat adient perquè
pugueu arribar a repr es en tar f in s \[16 = 4 .
GENERALI T ZAC IÓ DEL TEOREMA DE P ITAGORES
S e gons e l teorema de P i tàgores , l ' àrea del quadrat con s truït
s obre la h ipotenus a é s i gu a l a la s uma de l e s àre e s de l s dos qu�
drats cons truï t s s obre e l s dos catet s .
C . 1 5
80
Comproveu s i aque s t enunc i a t s egue ix e s sent vàl id
a ) e n sub s t i tu i r e l s quadrats per rec tang l e s de ba se dob le de
l ' a ltura
b ) en s ub s ti tu i r - los per t r i ang l e s equ i làters
c) per hexàgons regu l ar s .
d ) Doneu l a genera l i t z a c ió de l teorema de P i tàgore s .
PROBLEMES D ' APL ICAC IÓ
C . 1 6
Dues pe r sones e s s eparen en una cru ï l la de camin s que for
men ang le recte . La prim e ra va a peu a una ve l o c i tat de 2m/s
mentre que l ' a ltra va a l , 5m/s . Qu ina d i s tànc ia e l s s epararà
al c ap de 8 segon s ?
C . 1 7
Per m e s urar l ' a l tura d ' un e d i f i c i , podem s egui r e l s egüent
procedimen t :
ens c o rloquem s obre e l p la h or i t zontal en un punt C t a l que
l ' ang le format per la vi sua l d i r ig ida a B s igu i de 6 0 Q , i ens
retirem en la direcció AC f i n s al punt D , tal , que l ' ang le val
gui ara 3 0 Q .
/' "" a ) Tot con s i derant e l s valors de l s ang le s ABC i ABD , raoneu
c om és e l A CB D .
b ) S i l e s d i s tànc i e s a què ens h em c o �locat s ón AC = 4m i AD=
= 1 2m , quina é s l ' a ltur a AB de l ' edi f i c i ?
B
81
C . 1 8
E l s do s prob lemes que s egueixen van ser propo sats per Brah
magupta (matemà t i c i a s trònom i ndi , 5 9 8 �6 6 0 ) e n el seu l l ibre
Brahma - S iddharta , e n què ap l i cà mè todes matemàti c s a l ' as trono
m i a , i e s tudi à la re s o lu c i ó d ' equacions de prime r i segon grau .
E l primer é s aque s t :
Dos a s ce te s viuen a l c im d ' un penya- s egat de l OOm d ' a l tura , que
té la base a 2 0 0m de la v i l a ve ïna . L ' un va baixar d e l c im i va
cam inar fins a la vi la , mentre oue l ' a l tre , e s s ent mag , va vo
lar ver t i c a lment f in s a una a l tura x oer sobre del c im , i des
d ' a l l à e n l ín i a recta f in s a la v i l a . Trobeu x , si tot s dos van
recórrer igu a l d i s tànc i a .
¡� l ' , l ' , l ' ,
C . 1 9
Un b ambú de 2 0 0m d ' a l tura va tre n c ar - s e pe l ven t , tot que
dant ver t i c a l la part arre lada , i l ' extrem re co l z at a terra , a
2 7 0 cm del tros dret . C a l cu l e u l e s longi tuds de les dues parts
de la canya .
C . 2 0
82
La p i ràmide de Keops va s e r cons truïda aprox imadamen t l ' any
2 5 8 0 a . C . , i e ls grecs la cons ideraren una de l e s 7 merave l le s
del mon anti c .
Té la forma d ' una p iràmide quadrangu lar regu lar , de 1 3 8m d ' a l
ç ada i 2 2 7m de cos tat . C a l cu l eu què amiden a ) l a d i agonal d e l a
b as e , 2 ) l ' are s ta latera l i 3 ) l ' apotema latera l .
2 . - T E O R E M E S D E L ' A L T U R A D E L C A T E T
Així com e l teorema de P i tàgores perme t r e l a c i onar e l s 3 co�
tats d ' un tri ang l e re ctang l e , aque s ts nous teoreme s perme ten ex
pre s s ar l ' a l tura i els catets e n termes de l e s pro j ec c ions d ' a
que s ts s obre la h ipotenu s a .
C . 2 1
L ' a l tura s obre l a h ipotenusa d ' un triangle rectang l e , e l d i
videix e n dos triang l e s també re ctang l e s .
Jus ti f iqueu que són s emb l ants en tre e l l s i també amb e l trian
g l e i n i c i a l .
C
A '--�--l......1....1---�����������---- 9 o
E s podrà , doncs , e s cr iure AABC tt..AACD I\.. ACBD
C . 2 2
Cons iderant l a s emb l anç a .ó ACD l\... t1CBD , e s pot e s cr iure l a pr�
porció
o bé CD2
= AD x DB
AD CD
= CD BD
La qua l c o s a perme t enun c i a r e l teorema de l ' a l tura : " En un
triang l e rec tang l e , l ' a l tura r e l a tiva a la h ipotenu s a és mi t j�
na proporcional entre . . . "
a ) Comp l e teu aque s t enunc iat .
83
b � Cons iderant , ara la semb lança òABD -i.b.ACD , completeu i en ur.
cieu e l teorema del cate t
AB AC
=
Una primera apl icació d ' aque s ts do s teoremes é s la cons truc c i ó
de la mitj ana proporc i onal . Aix í , amb aque s t procediment geo
mè tric , e l s grecs re solien equac ions del tipus
a x
= x b
Podeu comparar- los amb e l s mètode s geomè trics proporc ionats
pe l teorema de Ta le s pe r cons tru i r la quarta i tercera propOE
cional ( vegeu exerc i c i s B . 7 i B . 9 ) .
C . 2 3
a ) Fixeu-vos , .que l a f igura s egüent tant perme t a f i rmar que
e l segment x és mi t j ana proporc ional entre e l s AB i AH , com
que e l s egmen t y ho é s entre e l s AH i HB . Raoneu el perquè .
A .__�...._���-+-���-H
B
Noteu també que h i ha dibuixada la semicircumferència de diàme
tre AB , i que tot tri ang le cons tru ï t s obre un diàmetre i amb e l
tercer vèr tex s obre l a circum ferència , é s re c tang le ( vegeu D . 2 1 ) .
b ) Mi t j anç ant un mè tode geomètric , cons truïu e l segment x de
mane ra que s igui m i t j ana proporcional entre e l s segments que
amiden l cm i 4 cm .
Re so leu també algèbri cament la qüe s tió , i comproveu que e l nom
bre trobat é s la me sura de l segment que heu cons truï t .
84
c . 2 4 � ) Con s truïu un segment que s igui mitj ana proporcional en
tre els que amiden 2 cm i S em , u t i l i t zant el teorema del cate t .
b ) ! dem entre e l s que amiden l cm i 9 cm , uti l i t z ant e l teorema
de l ' a l tura .
Una segona apl i cació d ' aque s ts teoremes é s proporcionar mè
tode s diversos pe r determ inar e l ements de triang le s rectang le s .
Per exemple :
c . 2 s a ) Trobeu e l valor de les altures dels següents triangles
rectang les :
b ) !dem dels cate ts
e ) ! dem de le s pro j e ccions
8 5
C . 2 6 �-
a ) Calculeu e l s cos tats �l triang le rectang le següen t :
b ) Ca lculeu e l s cate ts i les al ture s de l s triang les re c tangles
s egüents :
._._ _ _ _ _ _ 6 - - - - - - +
En tercer l loc , apl i carem aque s ts dos teoremes a cons tru i r
segmen ts que amidin , per exemp le , \fl , \/13 , . . . é s a dir , que les
seves me sure s s igu in nombres i rracionals .
C . 2 7
Cons trucció d ' un s egmen t que amidi VS: a ) Podeu uti l i t zar , en aques t cas , e l teorema de Pi tàgore s ?
Quins ser i en e l s valors de l s catets ? F�-ne la cons trucc i ó .
b ) La i gualta t \15 = Vs . l . pe rme t suposar : hipcftenu s� pro j e cció
ma de l ca te t .
Però també Vs = V 5 . l l a . t . ; �
2 a · · ; prO J e CClO prO J e CClO
i ap l i car el teore-
i per tant : h ipotenusa = 5 t l = 6 i apl i car el teorema de l ' al
tura . Feu le s dues cons trucci ons .
86
e ) Cons truïu segments que amidin V3 , \fi, \f8 i \/15cm , tot indi
cant quin teorema apl iqueu .
Finalmen t , veurem que aque sts dos teoremes e s poden i �lu s
trar de manera s emb l ant al teorema de Pi tàgores ( C . 2 ) , però fent
ús ara de re ctang les i auadrats .
E l teorema de l . catet vindria donat pe r l a s egüent figura :
C C·nl
2 Les àrees del quadrat ( b ) i de l re ctangl e ( e . m ) són equiv�
lents .
C . 2 8
I �lus treu de manera semb lant e l teorema de l ' altura , i feu
un resum tot comple tant e l quadre s egüen t :
TEOREMA ENUNC IAT IL�USTRAC IO GRAFICA
de P i tàgore s
de l cate t
de l ' a l tura
87
3.- S U M A D E L S A N G L E S D ' U N T R I A N G L E
Eudern de Rodes , de ixeble d ' Ar i s tòti l , va e s criure la pr im�
ra h i s tòria de la Geome tr i a . Ma lauradament , només s e ' n conserven
a lguns f ragmen ts .
E n un d ' e l ls , Eudern atribueix a l s p i tagòrics e l des cobriment
de l a propo s i ció següen t : " E l s tre s angles i nteriors d ' un tr ian
gle sumen dos rectes " , i en dóna una demos tració .
Ab ans de pre s en tar l a demostració donada per Eudern, cornprov�
rem l ' ante r i or propo s i ci ó de dues maneres ben s imple s .
C . 2 9
Dibuixeu un triang l e es calè , re tal leu- lo ta l corn veieu indi
cat a la f igura i col·loqueu e l s tres angles de manera que s i
guin consecutius .
3
Què ob serve u? Quant sumen e ls tres ang le s ?
C . 3 0
Una a ltra pos s ible comprovació d ' aquest resul tat é s la se
güent :
Re tal leu un tri angle i dob l egueu les tres puntes de manera que
e l s tres vèr texs coincideixin en un punt P d ' un cos tat . Cornen teu
la s i tuació que en re sulta .
88
1\- - -(- - - - - - - �� l l \ / : l / l l \ / / l l \ / ! / � \ / � l \ 1 / / l l \� l 3
p
Veurem ar� la demostració que Eudem atribueix als Pitagòrics.
C . 3 1
Considereu el triangle A BC i dibuixeu-hi una paral·le la per
C al costat A B , tal com s'indica a la figura .
Com són e ls angles o< i o<. ' ? I e ls p i (J' ? Per què ?
l l
A O(
l
l l
Quant val la suma o( + (J + r ?
Exercicis d'aplicació
C . 32
B
a) Donat el triangle A BC, calculeu la mesura de l 'ang le ex
tern BCD .
89
D
b ) Jus ti f iqueu , en general , que l ' angle extern d ' un triangl e
é s igual a la suma del s dos ang l e s interns no adj acent s .
C . 3 3
Calculeu la me sura del s 5 angl e s senyalats a la f igura se
güent :
A B
C . 3 4
90
1 a ) En un tr iangl e , un angle mesura S d ' un angle pla i un a l -
2 · tre e l s 5 · Comproveu que aque s t triangle é s i sòsce l e s .
b ) En un triangle rectangle un angl e agu t é s � de l ' al tre an
gle agut , quina és la me sura de cada s cun ?
SUMA DELS ANGLES INTERIORS D ' UN POL ÍGON
C . 3 5
Per a calcular la suma de l s angl e s interiors d ' un pol ígon ,
n ' h i ha prou de descompondre e l pol ígon en triang l e s traçant a
part i r d ' un vèrtex tot e s l e s diagonal s po s s ibl e s .
Comp l eteu l a tau l a següent :
Nombre Nombre de tr iang l e s Suma del s ang l e s Pol ígon de en què e s pot de s- interiors d ' un
costats c ompondre pol ígon
Triangle 3 1 1 8 0 Q = 2 R
Quadri làter 4 2 3 6 0 Q = 2x 2 R
Pentàgon
Hexàgon
Eptàgon
Oc tògon
Enneàgon
Dec àgon . . . 2 0
.
.
.
1 0 0 . . .
n
91
Obs erveu i comenteu el comportament del s va lors de l ' úl tima colum
na . Quant sumen e l s angl e s interiors d ' un pol ígon de n costats?
C . 3 6
S i e l s pol ígons són regulars , a partir del resul tat anterior ,
podem calcular e l val or de cadascun del s angl e s interior s .
Completeu l a taula s egüent :
Nombre cos- Suma dels Mesura Me sura d ' un Pol ígon tats = nom . angles in d ' un an- angle
-
angl e s int . teriors gle int . central
Triang l e
Quadrat
Pentàgon reg . . .
Pol ígon reg . n costats
c . 3 7
92
a ) Per enra j olar es fan servir pol ígons regul ars , qu ins t ipus
us semb l en que són e l s mé s util i tzats i per què?
b) Raoneu per què no serve ix qua l s evol t ipu s de pol ígon regu
lar .
c ) En la f igura següent ve repre senta t el mos a ic més s impl e ,
é s format per quadrats
Dibuixeu mo saics formats per al tres pol ígons regulars .
d ) També es poden emprar polígons qu e no siguin r egulars. Quant
han de valer els angles petits d ' un rombe p erqu è es pugui
fer un mosaic, de manera que en un punt s'hi a juntin 6 rom
bes ? F eu un dibuix que representi aqu est mosaic .
4 .- L A S E C C I Ó À U R I A
Abans hem assenyalat un dels possibles motius que portar en
als pitagòrics al descobriment dels nombres "irracionals " : el f et
de no poder expressar mit jançant un nombre racional la hipotenu
sa d'un triangle rectangle isòsc eles de catet unitat.
Un altre motiu , fou el que amaga el símbol de l'estrella pen
tagonal de l'Ordr e dels Pitagòrics, en la qual tota línia és di
vidida en mit jana i extrema raó .
Un s egment direm qu e és dividit en mit jana i extrema ra61 si
el dividim en dues parts tal s,que la més gran és mit jana propor
cional entre tot el segment i l'altre part , és a dir
x a - x
a a x
=
x a-x
93
Tra s l l adem-nos des de l ' època de P i tàgores , a l a de Kepler
( un s a l t de 2 1 segl e s ) , de qui ben segur coneixereu l e s l l e i s so
bre el moviment del s planetes a l ' entorn del sol .
Kepler va e sc r iure sobre l a geometria :
" La Geometria té dos grans tresor s , l ' un é s e l teo
rema de P itàgore s , l ' al tre la div i s i6 d ' un segment
en mitj ana i extrema raó . Si e l primer el c omparem
amb una me sura d ' or , el segon ve a ser una pedra
prec iosa . "
Euc l ide s ( 3 3 0- 2 7 5 a . C . ) , en el s "Elements " , fa G s del segon , j us
tament en fer la construcció d ' un pentàgon regular . �s p e r a ixò ,
que hom creu que j a era conegut pel s p i tagòr i c s que tenien e l peg
tàgon e s trellat com a s ímbo l .
Ja en el Rena ixement , el mat emàtic Luca Pac iol i va anomenar
lo "proporc ió divina " , i al s eg l e pa s sat va s orgir el nom de "pr.2_
porc ió àur ia " a causa del g ran interès que va ten i r per al s pin
tor s , e s cu l tors i arqu i tectes al llarg del s segl e s .
I no tan sol s va re su l tar prof it6s per a l ' art , dins l ' e stu
di de l ' harmon ia i de l ' equ i l ibri de l e s l ínies , s inó també en
inve s tigac ions sob re e l ement s de l a vida vegetal i an imal , fetes
per botàn i c s i z oòl eg s del segle pa s sat .
Començarem l ' e s tudi de l a secci6 àuria , cal culant-la alg�
bricament , mètode , que recordem , era de sconegut pel s grecs i que
va ser desenvolupat pel s àrab s .
C . 3 8
Comproveu que en resoldre l ' equac i ó de segon g rau , � = x
que dóna la secc ió àuria s ' obté
x =
94
a . - 1 + V?" 2
x a-x
El nomb r e - 1 + V5" 2 rep e l nom de " nombr e d ' or " , i é s e l va lor
de l a ra6 x a
Trobeu-ne l ' aprox ima c i6 dec imal de 3 r ordre . El s egment x s ' anomena s egment aur i del s egme nt a .
C . 3 9 M i t j ançant el tr iang l e rec tangle s egüent on el catet pet i t
me sura l a me itat d e l gran i ten int e n c ompte que l a s oluc i6 aba n s trobada .
també
feu l a
1 r . -
2n . -
x
pot e s c r iure ' s
x
cons truc c i 6 :
=
=
a 2
del radical V a 2
r e s teu-l i a ara 2 '
+
( ± ) V a 2 4 a 2 -a + 2
-a + V ª 2 (�) 2 - + 2 2
/ /
/
(%) 2 .
u sant
a
Qu in teorema u s
l ' a rc d ibu ixat .
ho perme t ?
S enyaleu el seg-ment la me sura del qual é s x , i tran sporteu- l o s obre l a b a s e del tr iang l e .
Amb a ixò t indreu el segme n t " a " d i v i d i t en m i t j ana i extrema ra6 .
E s d iu també , qu e x é s el s egment auri d ' a .
95
C . 4 0
En aqu e s ta repr e s entac ió del Partenó h i teniu una mos tra de la p r e s ènc ia d e l nombre d ' or .
96
e s ver i f ica que � = f , e s sent � = V3 ; 1
a ) trobeu una aproximac i ó de 3 r ordre del nombre Ï · b ) comproveu que aqu e s t nombre é s l ' invers del nombre d ' o r , é s
2 a d i r igual a - 1 + V5
( Nota : podeu rac iona l i t z ar aqu e s ta f rac c ió )
C . 4 1 En aqu e s ta f igura , s ' ha cons tru!t e l s egmen t auri x del seg
men t AB que amida 6 cm . E s ver i f ica :
C
3 6 x =
' x y x y' - -
A B 6
De manera s embl ant cons truïu el segment aur i
a ) d ' un segment de 8 cm ( a = 8 )
b ) d ' un s egment de 1 0 cm ( a = 1 o ) c ) en tots aqu e s t s c a s o s , quant va l l a raó �? a
Euc l ides enunc i ava una propo s ic ió equ iva l ent a dividir un s e,� ment en mitj ana i extrema raó :
" d ivi d i r un s egment en due s par t s , de manera que el rectang l e de c o s tat s , el s egment sencer i una de l e s par t s , s igu i equ iva l ent ( é s a d ir , t i ngu i igual à rea ) al quadrat de c o s t a t l ' a l tra part " .
97
a
a · y y
x y
a = x + y
L ' expre s s i6 a x x y
equ iva l a l a igua l tat d ' àr e e s :
2
l
x = ay
Al Rena ixeme n t l e s du e s quan t i t a t s a , x varen ser u t i l i t z a -de s en a l gune s cons truc c ion s c om a amp l a da i l l a rgada de f a ç a ne s , f in e s t re s , e tc . perquè hom cons iderava que l a propo r c i ó qu e determinaven ten ia caràcter e s t è t i c .
CONSTRUCC IÓ DEL RECTANGLE D ' OR
E s tudieu deta l l a dament c ada scun de l s pa s so s de l a cons truc c i ó s egüen t :
D C
x
A x B
D l l l l l l
A E B
98
F
o ....-____ c
A
D
A
l l l l x
B
-- C
• - -- - - a - - _ ..,
G x
C . 4 2 a ) Expl iqueu com s ' ob tenen cada s cuna de l e s 4 f igure s ante
r ior s .
b ) A partir d ' un quadrat de 4 cm de c o s tat reprodu ïu l a d ita con struc c ió .
c ) Cal cul eu l a long i tud d e l s egment EC en func ió de x .
d ) C a l cu l eu EF , BF i AF .
e ) Comproveu que l_c s- l ong i tu d s del c o s tat del rec tang l e AFG,,B' l> e s tan en l a proporció divina , é s a d i r :
f ) Ídem per al rectang l e BFGC .
h ) Com són e l s rec tang l e s AFGB i BFGC .
Ob serveu que e l rectan g l e d ' or AFGB obt ingut é s compo s t per un quadrat i un s egon rectan g l e també d ' or . L ' ante r ior d ivi s ió pot repeti r - s e per al 2n rectan g l e i a i x í obteni r-ne un 3 r i succ e s s ivament t a l i c om ho podeu veure a l a f i gura .
/
/
99
La raó de l s costats petit i gran de cada rectang le é s e l nú
mero d ' or .
S i ara dibuixeu en cada quadrat un arc de c i rcumf erènc ia amb
centre e l s punts 1 , 2 , . . . obtindreu una e spiral que é s una bona
reproducc ió de la qua hom pot ob servar en el Nàut i l .
Aque sta e spiral s ' anomena e spiral logarítmica .
C . 4 3
A partir d ' un quadrat de 1 0cm , cons tru iu l ' e spiral logar ítmi-
ca .
El nombre d ' or a la natura :
100
Nàu t i l
101
Exer c i c i s d ' ap l i c a c i ó
Veurem a ra, com l e s cons truc c ions anter iors perme ten de d ibui xar e l decàgon regu l a r , i per tant també e l pentàgon regu l a r .
C . 4 4
Prèviament, demos trarem l a p ropo s ic ió s egüent :
" E l c o s ta t del decàgon regular i n s c r it en una c i rcumf erènc ia és e l segment auri del radi " .
Per demo s trar-ho , c a l tenir en comp te qu e e l s ang l e s central s en 3 6 0 Q el pentàgon regu l a r me su ren -:¡o- = 3 6 Q , i per tant el s a l tr e s
d o s angl e s igua l s de l triang l e OAB va l e n : 1 8 º º 2 - 3 6 º = 7 2Q -
B
o
S igu i AC l a b i s ec t r iu del triang l e OAB .
a ) Comproveu que e l s t r i ang l e s ABO i ABC s ón s embl an t s , i que e l ACO é s i s ò s c el e s .
b ) Com són e l s s egments AC i OC re specte a l s egment AB ? Exp r e s seu BC en fun c i ó de l radi OA i de l costat AB .
c ) Mi t j ançant l a s emb l an ç a del s 2 tr iang l e s anteriors comp l e t eu :
102
OA AB
=
què u s permet d ' a f irma r aqu e s t a expre s s ió?
C . 4 5 Fent ú s del r e su l tat anterior , cons truïu un pentàgon regu l a r
i n s c r i t en u n a c i rcumfe rènc ia de 5 cm de radi . D ibu ixeu e n l a mate ixa f igura e l pentàgon e s trel l a t .
C . 4 6 Amb un mètode semblant a l ' empra t e n e l probl ema C . 4 2 , c om
proveu que en l ' e s tr e l l a pentagona l , tota l ín i a é s divid ida en mitj ana i extrema raó , é s a d i r :
A B
OB oc
= oc CB
Així donc s , e l segment OC és el segment au r i del costat AB del pentàgon e strel l a t .
C . 4 7 Re i t e rant e l procés segu i t en l ' ex e rc ic i C . 4 2, podeu obten i r
u n a e sp i ral en unir el s vèrtex s de l s suc c e s s iu s tr iang l e s . L a r a ó de l a b a s e i del c o s ta t per cada un d ' aqu e s ts t r iangl e s val 0 , 6 . . . ( e l nombre d ' or ) .
Compl eteu l a f igura s egüent , f in s a l vèrtex nQ 9 .
1 03
/"" / /
/ /
l l
l l l
� \
\ \ \ \ \ l
\ l l
\ l ' /
' / ' /
..__ _,..-
C . 4 8
H i ha una manera mol t s impl e de construir-vo s un pentàgon r� gul ar . Retal l eu una t ira de paper d ' 1 cm d ' amplada , feu-h i un nu s ben a j u stat i tal l eu l e s cue s sobran t s .
1 04
C . 4 9 S egu rament u s haureu a donat que g a i rebé cap con j unt arqu i te�
tòn ic s ' e d i f ica sobre una b a s e pentagona l . Una excepc ió va s e r l a Ciutade l l a de Barcel ona , l a forta l e s a f eta constru i r per F e l ip V a l barr i de l a Ribera a l s . XVI I I . La pl anta e r a pentagonal , amb forma de p l anta e s trel l ada .
La l ín ia - 1 - ma rca l ' an t i c rec inte del ba r r i de l a Ribera , l a - 2 - e l l ímit de l a des truc c i ó del bar r i .
a ) Bu squeu exemp l e s d ' a l t r e s constru c c i ons amb p l antes pentagonal s .
b ) De p intu r e s on intervingu i e l pentàgon .
I per acabar aqu e s t apartat ded i cat a l s cone ixeme n t s ma temàt i c s relac ion a t s amb el s de l ' e s cola p i tagòr ica , re sumirem e l s proc ediments geomè t r i c s u t i l i t z a t s pel s gre c s p e r resoldre equac i ons . Per a ixò :
e . s o Comp l e teu l a s egüent taul a :
105
T I PUS DE PROBLEMA TI PU S TEOREMA O CONSTRUCCI6 D ' EQUAC IÓ UTIL I T ZATS
Trobar l a 4ª propor-c ional
Trobar la 3ª propor-c i ona l
Trobar la mitj ana pr_2 porc ional
D iv i d i r u n s egment en m i t j ana i extrema ra6
A la 3ª columna h i e s c r iv iu el nom , i hi f eu una p e t i ta f igura que ho i l·l u s tr i .
NOTA : Podeu bu s c a r més inf orma c i6 sobre l a u t i l i t z a c i6 de l a s ec c i6 àu r ia en el l l ibre " La Geome t r í a en el Arte " de Dan Pedoe ( Ed . Gu s tavo G i l i ) .
106
D . P E R Í O D E D E L S S O F I S T E S
El s sof i s t e s o " me s tr e s de sav i e s a " eren c on f erenc iants qu e anaven d e c iutat en c iutat , d ivulgant e l s coneixements c i en t í f i c s i ensenyant a f e r fi s d e l raonament .
D i n s del camp de l a ma temà t ica c a l c i tar a H ipòc rates de Qu i o s ( 4 5 0 a . C . ) , que va e s c r iure una obra de geome t r ia " El e ment s " en la qua l , a par t i r d ' un s quants pr inc ip i s , e s van resol ent , d ' una manera raonada , tot un con j unt de prob l eme s . A H ipòc r a te s e s deu el f e t que la geometria comenc i a aparèixer c om una " c i èn c ia rac i ona l " .
Va ser en aqu e s t per íode que van sorgir tre s grans qüe st ions :
- l a dup l i c a c i 6 d e l cub ( trobar l ' are s ta d ' un cub de volum dob l e que el volum d ' un cub dona t )
- l a t r i secc ió d ' un ang l e ( d iv i d i r u n angle agut en tre s pa r t s igua l s )
- l a quadra tu ra del c e r c l e ( trobar un quadrat d ' àrea igua l a l a d ' un cerc l e dona t )
La pr imera d e l e s e smentade s qü e s t ion s s ' anomena tamb é prob l ema dè l ic , pe rquè diu l a l l egenda qu e l ' orac l e de De l o s va ordenar a l s hab itants d ' aqu e s ta c iutat de dup l icar un de l s seus al t a r s , i varen anar a c ercar l ' a j u t del s geòmetre s .
El probl ema de l a quadratura del c e rc l e de f e t j a hav i a e stat p lante j a t en e l pap irus de Rh ind . En un de l s seus prob l eme s e s dóna una regla , no demo s trada , per quadra r e l cercl e " e l quadrat que té per c o s ta t els i del diàmetre , té igual àrea que e l c e r c l e " .
1 07
Però aque s t s t r e s probl eme s representaven j a qüe s tions de ma t emàtica super ior , que exc edien el s coneixeme n t s a lgèb r i c s del momen t ( equac ions de 2n grau ) . El s grec s van veure que aque s t s tre s prob l eme s e ren i rre s o l ubl e s u t i l i t z ant nomé s el reg l e i e l c ompà s .
H ipòc r a t e s de Qu i o s , e n intentar quadrar e l c erc l e , va r e s o! dre un a l tre prob l ema. : va t roba r due s lúnu l e s equ iva l en t s a un triang l e re ctangl e ; i per al c a s d ' un tr iang l e rectang l e i s ò sceles va trobar 4 lúnu l e s que tenen igu a l àrea qu e un quadra t .
En aqu e s t e s f igures ve repr e s entat e l probl ema r e s ol t per H i pòc ra te s , e n e l 1 r c a s per a u n triang l e rectang l e qua l s evo l , i en e l 2n per a un d ' i s ò s c e l e s , l a qua l c o s a ens porta , tot dobl ant la f igura , a pode r parlar del quadrat .
Comp roveu sobre la 1 ª f igura que A4 = A 1 + A 2 . ( Podeu util i t z ar l a genera l i t z ac ió del Teorema de P i tàgore s per a semice�
e l e s sobre e l s c o s ta t s del t r iang l e rectang l e ) . Així donc s , en la 2ª f igura es veu qu e l e s 4 lúnu l e s són equ iva l e nt s , és a d i r , que tenen igual àrea que e l quadra t .
H ipòcrate s , en e l s s eu s e s tudi s , va aprofundir espe c ia lment en l e s propietats del c e r c l e . Gran part de l a seva obra es va
108
perdre , però e l s r e s u l t a t s que va obten i r s6n p re s en t s en el s '' E l ement s " que e sc r iuria Euc l ides ga i rebé dos s e g l e s mé s tard .
� s per a ixò , que en aqu e s t apartat e s tud i arem aüe s t ions rela c ionades amb el cercle i l a c ircumferèn c i a :
Comença rem amb a l gunes qü e s t ions r e l a t ives a l a c i rcumf e rènc ia , e s tu d ia rem , despré s , e l s pun t s notab l e s d ' un triang l e , i e l s ang l e s e n la c i r cumf e rènc ia que e n s portaran al concepte d ' arc capa ç .
1 . - L L O C S G E O M È T R I C S
Cons i dereu l a c i rcumf erènc ia de l a f igura s egüent :
o
é s una c i rcumf e rènc ia de centre el punt O i el ra di de l a qual me sura 3 cm . �s c l a r , que tots e l s s eu s punt s són a 3 cm del cen tre O i a mé s qu e no h i ha cap a l t r e punt del pla qu e c omp l e i x i aqu e s ta cond i c i ó .
Aqu e s t f e t é s e l qu e permet d i r que la c i rcumf erèn c i a de l a f igura é s el l l oc geomè tr i c de l s pun t s qu e d i s ten 3 c m d e l punt O ( c entre ) .
En general , una f i gu ra qu e contingu i tots e l s punt s que c omp l e i xen una determinada prop i e tat i no en cont ingui d ' al t r e s d i rem que é s el l l oc geomè t r i c d ' aqu e s t s punts .
109
Aix! donc s , una c i rcumferència é s e l L loc g eomè tr ic del s pun t s que d i s ten d ' un punt f ix , anomena t cent r e , una ma teixa d i s tànc ia anomenada rad i .
D . 1 La media triu d ' un s egment i l a b i s ec t r iu d ' un ang l e poden co�
s iderar- s e també l l oc s geomè tric s . Le s f igu re s s egüents u s poden a j udar a veure qu ina és la propi etat que c omp l e ix en el s pun ts d ' ambdu e s f igure s .
/ /
/ / / / / / / / / / / / / / /
Mediatr iu
'\ '\ " '\ ' '\
' '\ ' ' ' '\ ' '\ " "" " ,,
A -------r-------- B /
/ / /
/ / / / /
Comp l e ten l e s �e f in i c ions s egüent s :
' '
b
' ' Bi sec t r iu
a
- l a med iatriu d ' un s egment é s e l l l oc geomètric del s pun t s ò. e l p l a q u e . . .
- l a b i sec t r iu d ' un ang l e é s el l l oc geomè tr i c de l s pun t s del pla qu e . . .
D . 2 Determineu e l s l l oc s geomètric s següent s :
a ) del s pun t s qu e d i s ten 2 cm d ' una rec ta donada
b) de l s punts qu e equ i d i s ten de due s rectes paral.l e l e s
110
c ) del s punts que equidisten de due s recte s secants
d ) del s punts que equidi s ten de due s c ircumferènc ies concèntr i
que s .
2 . - A L G U N E S Q U E S T I O N S S O B R E L A C I R C U M F E
R � N C I A
A l ' apa rtat anterio r , hem definit circumferènc ia com _el con
j unt de tots e l s punts del pla que d i s ten d ' un punt f ix ( centre )
l a ma te ixa di stànc ia ( radi ) .
Ten int en compte aque s ta def inic i6 e l s punts del pla es po
den c} a s s if icar amb re specte a la c ircumferènc ia en :
D . 3
exterior s , s i l a d i s tànc ia al c entre é s mé s g ran que el ra
di
- de la c ircumferènc ia , s i la di stànc ia al c entre és igual
al radi
interior s , s i la di stànc ia al c entre és mé s petita que e l
rad i .
I �lustreu grà f icament l e s pos ic ions relative s d ' un punt re s
pecte a una c ircumfe rènc ia .
RADIS I CORDES
Hem definit el radi d ' una c i rcumferència com un número :
l a d i s tànc ia del c entre O a un punt P qual sevol de la c i rcum
ferènc ia .
1 1 1
Però l a paraul a radi es fa servir també pe r indicar e l seg
ment OP .
Def inic ió : radi d ' una c ircumf erènc ia é s el segment que une ix e l
c entre amb u n punt d e l a c ircumferènc ia .
Per tal d ' evitar confus ions , fóra mil lor no emprar e l terrr.e
radi amb aquest doble senti t , però aquest dob l e ús és tan u sual
que és pràcticament impo s s ib l e de canviar . Tanmateix , e l context
en el qua l s ' ut i l itz i el terme permetrà de saber , sense ma s sa d� f icul tat , s i e s tracta del segment o del núme ro que és l a me sura
de la seva l ong itud .
Dos al tres segment s relac ionats amb l a c ircumferènc ia vénen
il·lus trat s a la f igura següent :
C
CD : corda de l a c ircumferènc ia ; AB : diàmetre de l a c ircumferència
112
D . 4
Doneu l e s def i n ic ions de corda i de diàmetre d ' una c ircumfe
rènc ia .
La paraula diàmetre s ' ut il itza també , igual que el terme ra
di , amb un doble s en tit : amb el de segment i amb el de número
que és la me sura de la seva l ong itud .
Al s exerc i c i s següents veurem algunes prop ietats interes sants
de les corde s i e l s radi s .
D . 5
Cons idereu la f i gura següent :
o B
a ) comproveu , u t il i t z ant un semicercle g raduat , que el radi OC
é s perpendicular a l a corda AB
b ) comproveu , util itzant un regle graduat , que AD = DB .
D . 6
Compl eteu , j us t i f icant cada scun del s pa s so s indicats , l a de
mostració de la prop ie tat :
" S i una recta que pa s sa pel centre d ' una c ircumf erèn c ia
é s perpendicular a una corda , l a divideix en due s parts
igual s " .
1 1 3
B
H ipòte s i : La recta OC pa ssa per O i OD .L AB
Conc lu s ió : AD = DB
Demos trac ió :
� 6. a ) ODA i ODB són triang l e s rectang l e s
D . 7
b ) OA = OB
c ) OD = OD 1::::::,,,.. !:::::::,..
d) ODA = ODB
e ) AD = DB
Demo s treu que s i una recta pa ssa per O i d ivide ix una cor
da , que no é s un diàmetre , en du es pa rts igua l s , l l avors l a
recta és perpend icular a aqu e s ta corda .
o
A D B
C
1 14
H ipòte s i : La recta OC pas sa per Q i AD = PB
Conclus ió : OC i AB
Sugger iment : Per fer l a demostra c ió , feu s e rvir l a prop ietat
de l s punts de la mediatr iu .
D . 8
Al pa í s del s barruf ets i davant de l e s qüe st ions pl ante j ades
a l s dos exerc i c i s anterior s , el barrufet Badoc i e l barrufet Sa
vi varen inic iar una forta pol èmica que interessà tot el pa í s .
El pr imer defensava que s i una recta que pa s sa pel centre d ' una
c ircumfe rènc ia , divide ix una corda en due s parts igual s , aques
ta recta és perpendicul ar a la corda . El segon patufet soste
nia en canvi que aquesta a f i rmac ió no era nec e s sàr iament cer
ta .
Qu è en penseu vo saltre s ? Raoneu l a vo s tra tes i .
POS ICIONS RELATIVES D ' UNA RECTA I UNA C I RCUMFER�NCIA
Tothom ha presenc iat el l lanç amen t d ' una pe dra amb una f ona
o ha fet rodar un cè rcol sobre una surerfície plana .
1 1 5
Les f igures següents i�lu s tren : el moviment c i rcular de scrit per
la pedra i la direcci6 que prendrà en el moment del l l ançament ¡
i la pos ic i6 del c èrcol i el terra en un moment donat .
En ambd6 s ca so s , la di rec c i6 que prendrà l a pedra i el terra vé
nen repre sentats per una rec ta que tal l a l a c ircumferènc ia en un
únic punt . Punt que representa la posició de l a pedra en el mo
ment del l lançament i el punt de contacte del c èrcol amb el ter
ra . Aque sta rec ta s ' anomena recta tangent a la c i rcumferènc ia .
D . 9
a ) Descriviu al tre s s ituac ions que puguin servir per a il�us
trar el c oncepte de recta tangent- a una c ircumf erªnc ia .
b ) Doneu l a definici6 de recta tangent a una c ircumferènc ia .
D . 1 0
a ) Dibu ixeu una c ircumferència i diver ses recte s tangents .
b ) Comproveu , f ent servir un semicercle gradua t , que el radi
que té pe r extrem el punt de contacte és perpendicular a la
tangent .
En cons eqüènc ia , donc s , ob servem que una recta tangent a una
c ircumfe rènc ia també és aquel l a per a la qua l la d i stància al cen
tre é s igual al radi .
D . 1 1
I �lu streu grà f icament l es altres due s pos ic ions relatives
d ' una recta i una c i rcumfe rènc ia : recta secant i recta exte
r ior . Doneu-ne també la def inici6 .
1 16
D . 1 2
Completeu l a taula següent ;
RECTA TANGENT
De f in i c ió 1 : e s ta
l l en en un ún i c
punt
Def i n i c ió 2 : d = r
D . 1 3
RECTA SECANT RECTA EXTERIOR
a ) Quantes
1 . des
tangents
d ' un punt
a una c ircumferènc ia e s poden dibu ixar
exter ior a la c i rcumferènc ia ?
2 . des d ' un punt de l a c ircumferènc ia ?
3 . des d ' un punt interior?
b) Ídem quantes rectes secants ?
c ) Ídem quante s rectes exteriors ?.
D . 1 4
D ibu ixeu , f ent servi r el reg l e i el compàs , l a recta tangent
a una c ircumferènc ia per un del s seus punt s .
POS ICIONS RELATIVES DE DUES CIRCUMFERÈNCIES
El dibu ix é s una reproducció de , l ' e squema d ' una màqu ina ( una
mena de pol i spa s t ) ideada per Arquimedes , que ul tra é s ser el mé s
1 1 7
gran matemàtic de l ' antigor , en fou ta¡:nbé e l mé s gran eng inyer .
Aquest esquema apareix en una p�g ina de l ' edic ió de les seve s
obres impre ses a Par í s l ' any 1 6 1 5 .
En aquest esquema , h i f igu ren d iver se s c ircumferènc ie s en PQ s i c ions relatives di ferent s . Dues de l e s c ircumferènc ies de l ' es
quema són :
Les c ircumferènc ies que tenen aquesta po s i c ió relat iva s ' anome
nen exter iors , perquè no tenen punt s en comú i. e l s punts de la
segona c ircumferènc ia són tots exte r iors respecte a l s de la pri
mera .
118
D . 1 5 •
a ) I l·lus treu gràf i cament l e s restants po s i c ions relative s :
1 . c ircumferènc ies secants
2 . c ircumferènc ies tangents exteriors i tangents interiors
3 . c ircumf erènc ies inter iors
b ) Doneu l e s def inic ions corre sponent s .
Una al tra manera de determinar l e s posic ions rel atives de
due s c ircumferènc ies , és comparar la di s tànc ia d entre e l s cen-
tre s i la suma o la di ferènc ia del s radi s . Per exemple l e s c ir
cumferènc ies s ecants són aqu e l l e s que comp l e ixen :
d < r + r ' i d > r-r'
tal com queda i l·lustrat a la f igura
D . 1 6
r ,,, /
d
Compl eteu la taula següent :
Pos i c ió I l·lu stració relat iva grà f ica Condició
anal ítica
d > r + r'
d = r + r '
1 1 9
Pos i c ió I l lu strac ió grà f i ca Condic ió relativa anal ítica
Secants r� <. r+r' > r-r'
d = r-r'
d < r-r'
D . 1 7
Dibu ixeu una c ircumf erènc ia de radi r , donat , que pa s s i per
un punt A i s igu i tangent a una c i rcumf erènc ia donada .
r
120
D . 1 8
Dibu ixeu una c i rcumf erènc ia de rad i r , dona t , que pa s s i per
un punt A i que s igu i tangent a una c ircumferènc ia donada .
r
D . 1 9
Dibu ixeu una c ircumf erènc ia de radi r que s igu i tangent a
dues c ircumferènc ies donade s .
r
DETERMINAC IÓ D ' UNA CIRCUMFER�NCIA
Ana l i tzarero , ara , quants punts cal en per a determinar una c i r
cumferència . P e r això , cons iderem tres punts A , B , C n o a l ineats
i f em la cons truc c ió indicada a la f igura .
121
A
C
D . 2 0
E s tudieu deta l ladament aquesta construcci6 i :
a ) j u stif iqueu per què e l punt o é s e l centre de la c ircumfe -
rènc ia que pa s sa per A , B i C
b ) expl iqueu com cons tru iríeu una c i rcumferènc ia que pa s s i
tres punts donats . Quantes soluc ions hi ha?
D . 2 1
a ) Donats do s punts A i B , cons tru ïu una c ircumferència que
pa s s i per aqu e s ts do s punts . Quante s soluc ions h i ha? On
s6n e l s centre s de l e s c ircumferènc ies soluc i6?
b ) Ídem pe r un sol punt A .
D . 2 2
per
Determineu una c ircumf erènc ia que pas s i per do s punts donats
A i B i que tingu i el c entre sobre una recta donada .
D . 2 3
Expl iqueu com c onstru ir íeu una c i rcumf erència d e l a qua l c o
ne ixem un punt Ar una tangent t i el s eu punt de contacte
amb la c i rcumf erènc ia P .
1 22
D . 2 4
Determineu una c ircumterènc ia que té el centre en una recta
donada i de l a qual cone ixem una recta tangent i el seu punt
de contacte .
D . 2 5
Dibu ixeu una c ircumferènc ia tangent a l e s recte s r i s de
la f igura i que pas s i pel punt P de r .
3.- P U N T S
s
N O T A B L E S D ' U N T R I A N G L E
CI RCUMCENTRE I INCENTRE
La cons trucc ió d ' una c ircumferènc ia que pas s i per tres punts
A , B , C no al ineats é s equ iva l ent a dibu ixar l a c ircumf erènc ia
que pa s s i pels tre s vèrtex s del t riang l e ABC . Aquesta c ircum
ferènc ia s ' anomena c ircumferènc ia c ircumscrita al triang l e i el
s eu centre , e l C I RCUMCENTRE del triangl e .
D . 2 6
a ) Expl iqueu corn determinar íeu e l c ircumcentre d ' un triang l e .
b ) Util itz ant la de f inició de mediatriu , com a l loc geomètric ,
demo s treu que l es tre s mediatrius d ' un triang l e es tal len
en un punt .
c ) Qu in é s aquest punt?
1 23
D . 2 7
a ) Con s truïu un tr iangle de costat s 3 , 4 i 5 cm i la c ircumf e
rència c i rcumsc r ita .
b ) !dem per a un tr iangle equ ilàter de 5 cm de cos tat .
c ) !dem pe r a un d ' i sòsceles de costats 4 , 6 i 6 cm .
d ) !dem per a un d ' escalè de costats 6 , 4 i 3 cm .
Comenteu l es pos s ibles pos ic ions del c ircumc entre segon s el ti
pus de tr iangle .
Plantegem-nos , ara , el probl ema de dibu ixa r l a c ircumferèn
c ia inscr ita a un tr iangl e , és a dir la c ircumfe rènc ia tangent
a l s tres costats . Ob serveu l a f igura següent :
\ \ \
B
\ / \ /
O Y / l l
i noteu que el centre O d ' aqu e s ta c ir cumf erència é s un punt que
equidista del s tres costats del tr iangl e .
D . 2 8
a ) Tot rec ordant la def inic ió d e b i sectriu , c orn a l l oc geomè
tric , expl iqueu com de terminar íeu el centre de la c ircumf e
rènc ia inscr ita a un tr iangl e . Aqu e s t punt s ' anomena l ' IN
CENTRE del tr iangl e .
b ) !dem , demo s treu que l e s tres b i sectrius d ' un tr iangl e e s
tal l en e n un punt .
c ) Qu in é s aquest punt?
1 24
D . 2 9
En e l tr iangl e ABC d e l a f igura d e costat 4 , 4 i 3 cm , h i
h a dibu ixade s l e s tre s b i sectrius inte r iors i l e s tre s exte
r ior s del s seus angl e s . La intersecc ió de l e s tres inter ior s
é s l ' incentre I i la de due s exte r iors i una interior s ' ano
mena exincentre ( E1
, E2
, E3
) •
a ) Comple teu el dibu ix amb la c i rcumf e rènc ia inscr ita i l e s
tres ex inscrite s .
b ) Repet iu la construc c ió per a un t riangle de costats 3 , 3 i
4 cm .
/ / /
/ /
/ )f:'.- \\ \ l l \ \ \ //
\ \ l \ l \ \ l
\ l \ \ l \ l E J
/\\ l \ l \ \ \
\
l
125
BA.F ICENTRE
E t imològ icament la parau la baricentre s ian i f ica " c entre de
gravetat " , és a d i r és el punt en què pot supo sar-se concentrat
tot e l pe s del cos i aquest pes é s , com sabeu , la resul tant dels
pe sos de totes l e s mol ècules que e l con st itue ixen . En aque st apa�
ta t en s intere s sa determinar e l bar i centre d ' un triangle .
D . 3 0
Determinació exper imental del baricentre d ' un t riang l e .
a ) D ibu ixeu , en una carto l ina gru ixuda , un triang le de 1 2, 1 0
i 8 cm decostat i reta l l eu- l o .
b ) Construïu-vos una plomada . Ho podeu fer amb un f i l re s i s
tent i u n cos pe sant , p e r exempl e u n tros d e plom o d e f e r
r o o s imp l ement amb una pedra .
c ) F ixeu e l tr iang le per un vèrtex , en una paret , de ma nera
que pugu i o s c i l-l ar l l iurament , i fent servir la pl omada di
buixeu la vertical que aquesta u s determina . Fer-ho igual
ment p e r a l s al tre s do s · vèrtexs .
Ver tical Plomada
Com a re sultat de l ' exper iènc ia observeu dos fets notab l e s :
1 r . cada vert ical d ibu ixada é s una recta que pa s s a per un vèr
tex i pel punt mit j à del costat oposat . Aquestes rectes
s ' anomenen mitj anes del triangl e .
126
2 n . Les tre s mitj anes e s tal l en en un ma teix punt . Aquest punt
é s el baricentre del triangl e . Sabr íeu expl icar e l per�uè?
D . 3 1
Un raonament f í s ic per determinar el bar icentre .
Cons iderem un triang l e ABC i supos em-lo format per una col
lecció de t ire s mol t e s tretes paral·l e l e s al costat AB , com
s ' indica a l a f igura .
C
a ) Qu in és el c entre de g ravetat de cadascuna d ' aquestes t i re s ?
b ) E l centre d e gravetat del triang l e haurà d ' e s tar al ineat
amb e l s de cada scuna de l e s t ires . Per què ?
c ) Sobre qu ina rec ta e stà el baricentre?
d) Per determinar el baricentre n ' h i ha prou que repet iu el
raonament supo sant que el triangl e é s format per col·lec
c ions de tires paral·l e l e s als al tres dos costat s .
D . 3 2
Una s impl e demos tració matemàt ica .
Cons idereu un triangl e ABC i l a recta C ' B ' que une ix e l s
punts mit j an s de l s costats AB i AC , respect ivament . Demostreu :
127
1 r . que B ' C ' é s la me itat de BC i 2 n . que B ' C ' é s paral.lela
a :JC . Per aquestes raons l a recta B ' C ' s ' anomena paral.l e l a mi t
j ana .
Suggeriment : demostreu que el s triang l e s ABC i A ' B' C ' són sem
blant s .
D . 3 3
Una prop ietat de l e s mit j anes i una propietat del baricentre .
1 . Con s iderem un t riang l e ABC i anomenem G el punt en què e s
tal l en dues mit j ane s . Fent servir u n regl e graduat , compro
veu qu ina rela c ió h i ha entre e l s segments en què G diviGB . GC de ix a cada mitj ana , é s a dir, calcul eu l e s raon s GB' i GC'
A
2 . Comprovarem el resul tat anterior mit j anç ant un raonament ma
temàtic .
a ) Demos treu que e l s triang l e s GBC i GC' B ' són semb l ant s .
b ) Determineu quina é s l a raó del s costats homòl eg s .
3 . S i , ara , anomenem G ' el punt en què e s tal l en l e s med iane s
BB' i AA� repetint el raonament anterior podeu demos trar
qu e G = G' A
s ���������_¡¿_�������� c A
128
4 . . Qu ina § s l a propietat de l e s mit j ane s que hem dedu ï t en
aquest exerc i c i ? I la del bar icentre ?
D . 3 4
Una curiosa experiènc ia .
a ) D ibu ix€u , sobre una cartol ina g ru ixuda , un triangl e de cos
tats 1 0 , 6 i 8 cm . Senya leu-h i el baricentre G .
b ) Re tal l eu e l triangle i c l aveu-lo a l a paret de manera que
pugu i osci�lar l l iurament . Ob serveu que , s i el punt de f ixa
c i6 §s un punt que no §s el bari centre , en moure el tr ian
g l e de la seva pos i c i ó d ' equ i l ibri retorna a l a po s i c i ó ini
c i a l . En canvi , si e l punt de f ixació §s el baricentre , l a
pos i c ió d ' equ i l ibri § s qua l s evol po s ic ió ,
D . 3 5
"' \ " \ " \ " ' \ "
\ "-\ \
Cons iderem el s triang l e s de l a f igura , obtinguts unint e l s
punts mitj ans del s costats d e l succe s s iu s tr iangl e s . S igu i G e l bar icentre del triang l e mé s ex terior . S i supo sem que GA = 1 .
Cal culeu les l ong i tuds dels s egments GA' , GA" , GA" ' i GA '" .
1 29
A
ALTURES D ' UN TRIANGLE . ORTOCENTRE
Començarem aqu e s t apartat con stru int , en cartol ina g ru ixuda ,
tres triangl es :
1 • un t riang l e acutangle de 7 ' 8 ' 1 o cm .
2 . un triangle rectangle de 6 ' 8 ' 1 o cm .
3 • un t riangle obtu sangle de 5 ' 8 ' 1 o cm .
Un cop retallats , d i spo sem el triang l e acutang l e e n un pla
vertical i de manera que un de l s costat s quedi horitzontal ; ho
podem aconsegu i r recol zant-lo sobre una taula o un tau l e r horit
zontal .
Fent servir una pl omada , podem dibuixar la vertical que pa s
sa pe l vèrtex opo sat al costat que e s tà en po s ic ió horitzontal .
130
Aqu e s ta vertical é s una de l e s a l tures del triangl e . Ob ser
veu , que l ' al tura i la base són sempre perpend iculars encara
que canviem la posició del triang l e i ara j a no s iguin l ' horit
zontal i la vertical .
D . 3 6
a ) Repetiu e l procé s anterior per obtenir l e s tres al tures del
triangl e acutangl e .
b ) 1 dem del rectang l e .
D . 3 7
Í dem en e l cas del t riang l e obtu sangl e . En aquest cas , haureu
d ' eng inyar-vo s per tal de d ibu ixar l e s tre s altures j a que a l
gun e s són exteriors al t r iangl e .
131
S i heu fet aque stes exper iènc ies amb tota cura , haureu tro
bat que en tots e l s casos l e s tres altures es tal l en en un punt .
Aqu e s t punt s ' anomena l ' ortocentre del triangle .
D . 3 8
En cada scun del s casos cons iderats , on é s s i tuat l ' ortocen
tre re specte al triang l e ?
També podem comprovar aque sta prop ie tat d e l e s a l tures amb un
raonament matemàtic ben s imple .
D . 3 9 Cons iderem un tr iangle ABC i el triang le A ' B ' C ' obt ingut
d ibuixant per c ada vèrtex la para�l ela al costa t oposat .
e '
B
a ) Comproveu que e l s vèrtex s A , B , C són el s punts mitj ans
del s costats del tr iangle A ' B ' C ' . Intenteu també demo s trar
ho mitj anç ant un raonament matemàtic .
b ) D ibu ixeu l e s a l ture s del tr iangle ABC . Cada a l tura qu ina
l inia és re specte al tr iangle A ' B ' C ' .
c ) Util it z eu el r e sul tat anter ior per demos trar que l e s 3 a l tu
res e s tal l en en un punt .
Hem e s tudiat f ins aqu i el s 4 punt s notables d ' un tr iangl e ,
alguns són interiors al triang le i d ' al tres poden ser exte riors ,
aque s t fet depèn del t ipu s de triangle considerat . Ens podem pr�
guntar , què pa ssa en el cas d ' un tr iang le equ i l fter o en un d ' i-
sòscele s .
132
Dibu ixeu 3 triangl e s equ i làters de costats di ferent s . En
aque s t s tr iang l e s det erminen , amb tota cura , el s punts nota
b l e s . Què ob serveu ? Sabr íeu j u s t i f icar el resulta t ?
D . 4 1
D ibu ixeu un triangle i s òsceles de c o stats 1 0 , 6 i 6 cm . De
termineu e l s punts notab l e s . Què ob serveu ? Sabr íeu j u s t i f icar
el r e su l tat?
UN EXERCICI RESUM
D . 4 2
Compl eteu l a taula s egüent :
Punts notab l e s H i concorren les tres . . . . Prop ieta t geomètrica
C I RCUMCENTRE
INCENTRE
BARICENTRE
ORTOCENTRE
UNA CURIOS I TAT GEOMÈTRICA
D . 4 3
Comproveu en diver sos casos qu e el c ircumcentre , el bar icen
tre i l ' ortocentre s6n s empre punts al ineat s . A mé s a mé s , com
proveu que el baricentre é s a dob l e d i s tància de l ' ortocentre
que del c i rcumcentre . La recta que conté aquests tre s punts
s ' anomena l a recta d ' EULER .
UNA IMPORTANT PROP IETAT DE LES BI SECTRIU S DELS TRIANGLES
Les b i sectriu s del s ang l e s interiors i ex teriors d ' un trian
gle div ide ixen el s costats opo sats en dos segment s relac ionats
133
amb el s costats corre sponents . Intentarem , tot s eguit , determi
nar aque sta relac ió .
D . 4 4
En el s triang l e s de l e s f igure s h i ha també dibu ixade s l a b i
sectriu d ' un ang l e interior i d ' un angle exter ior .
a ) Completeu , fent servir un reg l e graduat , la taula s egüent :
- - - -
MA AC MB BC
F ig . 1
F ig . 2
Fig . 3
Fig . 4
b ) Intenteu de terminar una proporc ió entre l e s me sures d ' aquests
4 s egments .
La rel ació qu e hau reu determinat é s :
MA MB AC = BC
Demos trarem qu e aquesta relac ió es compleix per a qua l s evol trian
gle .
1 34
D . 4 5 -
Demo s treu que , s i CM é s la b i s ectriu de l ' ang le ACB òel trian
gl e ABC , e s compleix MA MB =
AC BC
C
� A M 8
Sugger iment : 1 . Des del vèrtex B, dibuixeu una para�l ela a la b i
sectriu C M i prolongueu el c o s ta t AC f in s que ta
ll i aque s ta para�l ela .
D . 4 6
2 . Demos treu que el triangle BCD é s i sòsceles i
apl iqueu el teorema de Tal e s .
/ 1 º ,,. ,
/ l / / l
/ / l / l
l l l J l l
..-... S igu i CM la b i s ec tr iu de l ' ang l e ex terior BCD del tr iangle
ABC , demos treu que MA MB AC = BC
A B
D ,,.., e�/! \ / '�--�< *- -� \ � M
1 35
Suggeriment : 1 . Des del vèrtex B , d ibuixeu una para�lela a l a
b i sectriu exterior CM .
2 . Demo s treu que el triangle BCE é s i sòsceles i
apl iqueu el teorema de Tale s .
Heu demo s tra t , donc s , l e s propie tats següent s :
1 . - La b i sectr iu d ' un angle interior d ' un triang l e divideix
e l c o s tat oposat en dos s egments additiu s proporc ional s
al s costats corresponent s .
2 . - La b i se c triu d ' un ang l e exterior d ' un triang l e divideix el
costat opo sat en dos s egments sub s trac t iu s proporc ional s
al s costats corre sponents .
D . 4 7
El s costats d ' un triang l e amiden 4 , 5 i 6 cm .
a ) Cal cul eu el s s egments en qu è la b i sectr iu interior de l ' an
gle opo sat tal la el co s tat de 6 cm .
b ) Ídem d ' un del s ang l e s exteriors .
D . 4 8
E l per1metre d ' un tr iang l e é s de 2 1 cm i l a b i sectr iu inte
rior d ' un del s ang l e s divide ix el c o s tat oposat en dos s egments
de 3 i 4 cm . Calculeu les long 1tuds de l s tre s costat s .
4 . - A N G L E S E N L A
ARCS I ANGLES CENTRALS
C I R C U M F E R È N C I A
El Sol é s un del s innomb rab l e s mil ions d ' e s tel s que ex i s tei
xen a l ' univers . A ull nu es poden veure uns 6 . 0 0 0 e s tel s , una
tercera �art del s qual s s6n v i s ib l e s des de qual sevol indre t de
l.a Terra .
136
El fet que un e stel s igu i v i s ib l e a l cel durant la nit en
un moment concre t , depèn de l ' hora , de l ' època de l ' any i de l a
po s ic ió d e l ' ob servador a l a superfície de l a Terra . E l s e s tel s
que resu l ten v i s ib l e s du rant tot l ' any s ' anomenen e s tel s c ircum
polar s .
Ja que la Terra té un moviment de rotac ió sobre un e ix imag! nari que pas s a pei s pol s , e l s e s tel s tenen un moviment anarent
en el cel , é s a dir s embl a que es mogu in .
A l ' hemi s feri nord g i ren al vol tant de l ' e s tel pol ar ( Pola
r i s ) , que es troba pràcticament en la vertical del pol nord i
per tant sembla que no e s mou .
A l ' hemi s feri sud dibuixen c ircumferènc i e s , com a l ' hemi sfe
r i nord , però no h i ha c ap e stel pol a r au stral que en marqu i el
centre .
1 37
En un dia aque s t s e stel s recorren tota l a c ircumferèn c ia , en
temps inferiors de s c riuen porcions d ' aquestes c ircumferènc i e s .
Aqu e s te s porc ions s ' anomenen a rc s de c i rcumferènc ia .
A A
B
Ob serveu que cada pare l l a de pun t s d ' una c ircumferènc ia de
terminen dos arc s , per di s t ing ir-los farem el conveni d ' ind icar
l ' arc per dos pun t s , el s s eu s ex trems , i recorrent sempre de s del
primer punt al s egon en s entit contrari a l e s agu l l e s d ' un rel l ot
ge .
138
Així t indrem el s arc s
B 8
A A
S i e s fotog raf ien el s e s tel s c i rcumpol ars entorn del pol nord ,
amb una expo s ic ió l larga s ' obté una fotogra f i a sembl ant a la se
güent :
139
Observeu que el s e stel s no apare ixen com a punts l luminosos,
s inó com a arc s de c ircumf erènc ies concèntrique s de centre l ' e s
tel polar . Això es deu al fet que en é s se r una fotograf ia de
llarga expos i c ió s ' ha pla smat una part del camí que apa rentment
recorren .
El s d i stints arc s tenen di s t inte s l ong ituds com s ' aprecia a
s impl e v i s ta , l ong i tud que depèn del radi de l a c ircumf erènc ia
al qual pertanyen ; però sabem que tot s corre sponen a un ma teix
temp s d ' expo s i c ió .
Aqu e s t ú l t im fet queda ref l ectit en l a fotog rafia pe rquè el s
ang l e s que tenen el vèrtex en el centre de l a c ircumferència i
el s costats del qual passen pel s extrems del s dif erent s arcs s ón
içua l s i per tant tenen l a mate ixa mesura .
\ l
J
140
Aque sts angles que tenen el vèrte� en e l c entre de l a c ircum
ferènc ia s ' anomenen angl e s c entral s .
Aix i un arc d ' una c i rcumferènc ia ve determinat per la me sura
de l ' ang l e central corre sponent . Me sura que anomenarem me su ra an
gul a r de l ' a rc i que indicarem mit j anç ant la l l etra m . Aix i di
rem :
A
o
8
-m AB = l). AOB
- "" ta me sura de l ' arc AB és la me sura de l ' angl e central AOB .
D . 4 9
Determineu , f ent s e rvir un tran sportador d ' angl e s , l e s me su
res angulars del s arcs de l e s f igures d ' aqu e s t apartat .
D . 5 0
S i m AB -ED .
- - t""' = 3 0 Q qu ina é s l a me su ra del s arcs BC , DE , EA , BA i
A
E
141
D . 5 1
Qu in é s l ' angle que formen l e s agul l e s del rellotge a l e s
7 h s ? I a l e s 4 h s ? I a tres quarts d e c inc ?
D . 5 2
Un grup d ' amigue s ob serven , en una caseta de t i r al bl anc en
una f i ra , un artif i c i format pe r un con i l l mecànic que surt
d ' un punt i descriu una c ircumferènc ia . Una de les no ies diu :
quan el con i l l ha g i rat 1 0 0Q roman una e s tona parat ; é s en
aqu e s t moment que hem de disparar . Una al tra comenta : entre
e l s punts corre sponents al s ang l e s de 1 2 0 Q i 2 0 0 Q és on corre
mé s ; durant aquest g ir no intere s sa di spara r . I f i nalment , una
tercera diu : quan ha g i rat 2 9 0 Q g ira du rant 3 0 Q mé s mol t l enta
ment .
a ) dibu ixeu un cercle per repres entar-h i l a traj ectòria del c�
n il l , i ma rqueu-h i un punt inic ial qual sevol d ' on suposeu
qu e surt el conil l .
b ) Feu sobre aquest cercl e , emprant un transportador d ' ang l e s ,
un e squema del moviment de l conil l .
D . 5 3
Qu ine s s6n l e s me sure s del s arc s aparentment descrits per un
e s tel en
a) 1 dia?
b ) 1 hora?
c ) 1 quart?
DOS SIMPLES TEOREMES
D . 5 4
Demo streu que :
a ) En una c i rcumferènc ia , s i dos angles centra l s s6n igua l s tam
bé ho s6n e l s arc s que determinen .
b ) En una c ircumferènc ia , s i dos arcs s6n igual s també ho s6n
el s angles central s corresponent s .
142
D . 5 5
Demostreu que :
a ) En una c ircumf erènc ia , s i due s corde s són igual s també ho
són el s arcs que determinen .
b ) El rec íproc.també és cert .
C
D
/ /
DUES QÜESTIONS PER REFLEXIONAR
D . 5 6
a ) Dibu ixeu due s c ircumferènc ies concèntr ique s de 3 i 5 cm de
rad i .
b ) Dibu ixeu en l e s c i rcumferènc i e s anteriors arcs de me sures
4 5 Q , 1 2 0 Q i 2 8 0 Q
c ) Per què s i el s arc s dibu ixat s tenen l a mate ixa me sura angu
lar , el s de la c ircumf erènc ia de 5 cm són de ma j or long itud
que el s corre sponents a la de 3 cm?
D . 5 7
El s antics navegants grecs f e ien s ervir l a geometria per
or ientar- se a l a mar i havien de ser curo sos en els càl cul s ,
perquè d ' a ixò depenia poder arribar al port des itj at . Calcula
ven l a l a ti tud on es trobaven me surant l ' angl e format per la
supe r f í c i e hor i t z ontal de l a seva nau i la direc c ió de l ' es tel
pola r .
Raoneu sobre l ' esquema de l a f igura per què podien calcular
d ' aque s ta manera l a latitud .
143
P. N.
l - -- - - - - - -o t-.... _ -
ANGLE S INSCRITS
l l
P S.
E . POLAR
_...... PERPENDICULAR _...... ........ AL VAI X E L L
PLA D E L'EQUADOR
En s diuen que des d ' un va ixell s ' han dirig it v i sual s al cap
de Creus i al cap de Begur i que l ' angl e que formen aquestes vi
sual s é s de 3 0 9
C A P D E B E G U R E . 1 : 7 00.000
144
Ens podríem preguntar s i amb aque sta dada en ten im prou per po
der determinar en el m�pa la s ituac i6 del vaixel l . L a qüe s t i6 e s
redueix a esb r inar , s i h i h a d iversos punts d e s del s qua l s es ve
gi el segment AB sota un ang l e de 3 0 Q ,
D . 5 8
Cal cu l eu , f ent servir un tran sportador d ' angl e s , l ' angl e so
ta el qual es veu el s egment AB des del s punt s P1
, P2
, P3
, P4
i PS de la f igura :
p W
� � H eu comprovat que des del s punts P
2, P
3 i P S e s veu AB sota
el mateix ang l e que de s de P . D ' aquests punt s n ' h i ha que s6n
mol t a prop de l a costa com e l s P2
i P S i d ' al tre s que no ho e s
tan tant , p e r tant n o é s la d i s tànc ia a l a còsta el fet que ca
racteri t z a e l s punts bu scats .
Pot ser us haureu adonat , que el fet que el s carac teritza é s
el d e perta�yer a l a c ircumfe rènc ia determinada per A , B i P . Ai
xí donc s , el vaixel l es pot trobar en qua l s evol punt de la ma r
que pertany i a l a c ircumferènc ia que pa s s i per A , B i P .
D . S 9
Dibu ixeu , amb tota cura , l a c i rcumferènc ia qu e pas s a per A ,
B i P i comproveu l ' a f i rmac i6 anterior .
145
Aque sts ang l e s s ' anomenen ang l e s inserits perquè tenen el vèr
tex en un punt de la c ircumf erènc ia .
Def inic i6 . Un angle inscrit é s un ang le que té e l vèrtex en
un punt de la c ircumferènc ia i e l s seus costats en s6n corde s .
p
S i en l ' angle inscrit de la f igura mantenim f ix e l co stat PB
i imag inem que el punt A s ' aprox ima al B i després que A s ' a l l� ,,-....
nya de B , què l i pa ssa a l J ang le central corresponent AOB ?
D . 6 0
Comproveu , i l·lus trant-ho amb divers e s f i gure s , què l i pa s sa -..... /'"'-.
a l ' angle c entral AOB corre sponent a l ' angle inscrit APB a me-
sura que aque s t e s va f ent mé s pet i t . ! dem s i es va f ent mé s
gran .
Podem dedu ir , donc s , que h i ha una relac i6 entre l e s me sure s
del s angl e s inscrits i l e s del s centra l s corre sponent s . Tot se
gu i t intentarem determinar-la .
D . 6 1
Con s idereu e l s angle s inscrits de les f igures següent s
146
p p
A
8
F ig . 1 F i g. 2 Fi g . 3
a ) Compl eteu la taula s egüent
4APB ,,.....,.
m AB
Figura 1
F igura 2
F igura 3 i
b ) H i ha alguna relac i6 entre e l s valors de les due s filtime s
columnes ?
D . 6 2
a ) D ibuixeu diversos angles inscrits .
b ) Determineu la me sura d ' aquests angles i de l s arc s que abr�
cen l lurs costats .
c ) H i ha alguna relac i6 entre l e s mesures del s ang l e s i l e s
de l s arc s corresponent s ?
147
En aquests exerc ic i s haureu observat que
1 .-.._ <}: APB = 2 m AB
és a dir , la mesura d ' un ang l e inscrit en una c ircurr ferènc ia és
la me itat de la me sura de l ' arc que abracen els seus costat s .
A cont inuac ió , intenta rem provar que aquesta prop ietat es
compl e ix en genera l .
D . 6 3
Con s iderem un ang l e inscrit , un costat de l qual é s un diàme
tre de la c ircumf erènc ia
_______ P
B
,.,
Per determinar la me sura de l ' angle APB d ibuixarem l ' angle cen A A
-
tral AOB . Ten int en compte que AOB é s l ' angle exterior del tri -
angle POB i que aquest é s i sòscele s , demo s treu que
D . 6 4
1 ,_ 4 APB = 2 m AB
Util i t zant la propietat demos trada en e l prob lema anterior u s
serà fàc i l provar que t ambé e s compleix en e l s c a s o s de les f i
rrures següents :
148
p
C
,........... ..-... ....-... S impl ement u s heu d ' adonar que en el pr imer c a s APB = APC + CPB
............ ............ -i que en e l segon cas APB = CPB - CPA .
ALGUNES SENZ ILLES APLICAC I ONS
D . 6 5
S ' atribueixen a Ta les algune s propo s ic ions tal s com :
" Tot diàmetre b i seca e l cerc le " .
" Un ang le inscrit e l s costats del qua l ab racen una semic ir-
curofe rènc ia és r _; e te " .
Intenteu provar aques t.:1 se':Jona af rmac ió
D . 6 6
Recolzant-vos en la propo s ic i6 anterior , con struïu trian
g l e s rec tang les que t -i ngn in :
1 r h ipotenu sa de 6 cm i un catet de 2 cm .
2 n h ipotenu sa de 6cm i l ' a _ tura sobre l a h ipotenu sa d • 1 cm .
3 r h ipotenu sa de 6 cm i un de l s ang l e s aguts de 4 5 Q .
D . 6 7
Fent servir només P e scaire i un l lapi s trobeu e l c entre
d ' una c ircumferènc ia donada .
149
ANGLE SEMI-INSCRIT
D . 6 8
Un angle semi- inscrit é s un angl e que té el vèrtex en un punt
de la c ircumferènc ia , un costa t és una secant i l ' altre una tan
gent .
B
A
...... � -
...... ... _ � -- -_.,._ - o
Ju s t i f iqueu que l ' ang le s emi - inscrit me sura la me itat que l ' arc
que abraça , rec o l zant-vo s en les due s f igures anterior s .
ANGLES EXTERIORS I ANGLES INTERIORS
Fins ara , hem determinat la rela ció entre les me sures del s
angles centra l s i dels angles insc r i ts , i les d e l s arc s que abr�
cen ; però , que podem dir respecte a al tres angl e s com e l s de les
f igure s ?
angle exter ior ang le interior
1 50
A la primera figura , el vèrtex é s un punt exter ior a la c ir
cumf erènc ia i e l s c o stats s6n s ecant s . A la segona e l vèrtex és
un punt interior i e l s costats s6n secants .
Aquests angles s ' anomenen respect ivament angle exter ior i an
gle inte r io r .
D . 6 9
A l e s 4 f igures següents hem indicat l e s me sure s de l s ang l e s
i del s arc s que determinen
p
f ig 1 f ig 2
' C 40° ' ' ' -D
f ig 3
s. í p .... Oº 2. ' º l
l
f ig 4
Apl iqueu aque stes dade s en les taules següent s :
Angle exter ior
f ig 1
f ig 2
Angl e interior
f ig 3
f ig 4
'4" APB m
4. APB m
........._ -AB m CD
- -AB m CD
151
.......... � En c ada c a s h i ha a lguna r e l a c i 6 entre c4:APB i m AB i m CD?
D . 7 0 a ) D ibuixeu d.iversos ang l e s ex t e r i o r s i dive r s o s ang l e s int�
r i ors i , mi t j ançant e l tran sportador d ' angl e s , determineu l e s me sure s de l ' angle i de l s a rc s que determinen .
b ) D i spo s eu e l s re sultats en f orma de taul e s , com en l ' exerc i c i anterio r .
c ) I ntenteu determinar una r e l a c i 6 entre la me sura de l ' angle i l e s de l s arc s que abracen .
Ben s egur que haureu trobat l a r e l ac i 6
<} APB = � ( m AB - m éi3 )
per al s angl e s ex terior s . 1 -
I l a r e l a c i ó <::}:: APB = 2 ( m AB + m CD )
'- ,C ..... .....
per a l s ang l e s inte r i or s .
152
E:s a dir :
1 . La me sura d ' un angle exterior é s igual a la semid i f erèn
c ia de l e s mesure s del s arc s que abracen e l s seus costats .
2 . La mesura d ' un ang le exterior é s igual a la semi suma de
l e s me sure s de l s arc s que abracen e l s costats de l ' angle
i e l s de l ' angle opo sat pel vèrtex .
Aque stes relac ions e s poden demo strar en general sense gaire
dif icultat, si recordeu qu ina é s la me sura del s angles inscrit s .
D . 7 1
Cons idereu l ' angle exterior de la f igura , i demo streu que . 1 ......... -
<1:APB = 2 ( m AB - m CD )
p
Per determinar .:::fAPB, n ' h i ha prou que observeu que c::::jACB é s
exterior al tr iangle ACP .
D . 7 2
Demo st reu , cons iderant l ' angle inte rior de la f igura , que _..\... 1 ,........ .......... � APB = 2 ( m AB + m CD )
----�IC '- D t . ,'- l
l '\ ' p l '\ l
l
1 53
Per dete rminar 1: APB n ' h i ha prou que ob serveu que -9= APB é s
exter�or a l t r iangle APD .
UNS EXERCICIS RESUM
D . 7 3
D . 7 4
1 54
Compl e teu la tau la següent :
Angle
Central
Inscrit
Semi-inscrit
Exterior
Inter ior
- .........,.
De f inic i6 Mesura
E l s arcs AB i CO me suren 1 1 5 Q 1 0 ' i 3 6 Q 3 0 ' , r e spec t ivament .
,...,,...._ /"-. � � a ) Calcul eu la me sura dels angles DAC , DBC , DEC i DFC i di-
gueu de qu in t ipu s s6n . Comenteu e l s �esultats trobats per
a l s do s pr imer s .
ALGUNES QUESTIONS SOBRE RECTES TANGENTS
CONSTRUCCIÓ 1
Tangent a una c i rcumferènc ia en un del s seus punts .
D . 7 5
D ibuixeu una c ircumferència i senya leu-hi u n punt P . Cons
tru ïu la tangent per aque st punt i j us t i f iqueu aque sta cons
t ruc c ió .
D . 7 6
Calculeu e l va lor de x en la f igura següent
3 x
'-.-...-----' 2
D . 7 7
D ibu ixeu per un punt A d ' una recta r una c ircumfe rènc ia tan
gent que pas s i per un punt B exterior a r .
A r
D . 7 8
Dibu ixeu una c ircumfe rènc ia que s igui tangent a due s rectes
paral·leles r i s i que pa s s i per un punt B donat .
r
s
155
CONST�UCCIO 2
Tangent a una c ircumfe rènc ia per un punt exterio r .
Ob serveu que c on struir la recta tangent a una c ircumferènc ia
per un punt exterior, es redue ix a constru i r un tr iangle rectan
gle del qua l c one ixem la h ipotenu sa OP i un catet OT , que é s e l
rad i d e la c ircumferènc ia .
o p
D . 7 9
Per c onstru i r la tangent a una c ircumf erènc ia per un punt ex
terior se segue ix el procé s següent
o· x p
s '-/
l '\
l \
¡_ _ _ _ _ R \
-7< p º 1 J \ l \ l '\ /
T .._
1 56
o
s l / /
! / ¡/ K- -
o \ \ \ \ \ \ \ " T
,--
--
I R" - - - - ""*p l l
� l
""- "
l l
/ / - -
a ) Ju s t i f iqueu cadascun del s pa s so s i demo streu que PS i PT
s6n segments de les rec te s tangents .
b ) Con st ruïu l e s tangents , a una c ircumf erènc ia de 3cm de rad i ,
per un pun t que disti Sem del centre .
D . 8 0
Demos treu , util itzant l ' ú l tima f igura de l ' exerc ic i anter ior ,
que e l s segment s de tangent a una c ircumf erènc ia des d ' un pun t
exte rior s6n igua l s . A la figura d ) heu d e demo s trar que
PS=PT ) .
D . 8 1
D ibuixeu una c i rcumf erènc ia de radi r donat , i que s igu i tan
gent a due s rec tes t i s , donade s .
r
t
____________ s
D . 8 2
Demostreu que e l s segments PA i PC de la f igura s egüent s6n
igual s .
A
C
1 57
CONSTRUCCIÓ 3
Tangent s comune s a dues c ircumferènc ies .
Aque s ta c on st rucció e s redu e ix a l a cons truc c ió 2 c om ho po
deu c omprovar a l e s f igures següent s
/ /
- - -
/ / / - -::o_
l ( / l l l l
l /
/ /
/
l l . \ \ \ '-..
l
'- - ;;;
tangents exteriors
/
\ \ "
/ / -- /
tangent s inte r iors
D . 8 3
a ) Ju stif iqueu l e s construc c ions anterior s .
b ) D ibuixeu due s c ircumferènc ies de rad i s Sem i 3cm e l s c en
t r e s d e l e s qua l s d i stin 1 0cm . Construïu l e s tangents ext�
riors i l e s tangents interiors c omune s a l e s due s c ircumf e
rènc ies .
D . 8 4
Demostreu que e l s segmen ts de tangen ts comunes a due s c i rcum
f erènc ies són igua l s .
D . 8 5
ECLIPS I S . Un ec l ip s i é s l ' ocultac ió total o parc ial de la
l lum d ' un a stre per interpo s ic ió d ' un al tre a s tre entre el pri
mer i l ' ob servado r . Els ec l ip s i s es produe ixen quan l ' omb ra de
la L luna cau sobre la Terra o quan l ' omb ra de la Terra cau sob ra
la Lluna . La po s s ib i l itat de l ' ec l ip s i prové del fet que , es sent
el Sol 4 0 0 vegades mé s l luny de la Terra que no pa s la LLuna ,
les seves dimens ions són també 4 0 0 vegade s l e s d ' aque sta i , a ix í
158
e l s d i sc s del Sol i de la Lluna , vi stos des de la Terra , tenen
aprox i�adament les mat� ixe s a imen s ion s apa rents que s6n de l ' or
dre de mig grau .
O ob servador
A 1 a stre 1 A2 a s tre 2 « = dimen s ió aparent d ' A 1 i A2 .
El s dos a s tres A1 i �2 tenen la mate ixa dimen s i6 aparent .
E l s ec l ip s i s de Sol només e s poden produ ir quan el Sol i l a
.Lluna es tan en con j unc i6 , i e l s centre s d e l s dos astres coinci
de ixen aprox imadament v i s to s des de la Terra . S i e s comple ixen
aquestes condic ion s hi haurà ec l ip s i de Sol , però nomè s en una
e streta fran j a de la supe r f í c ie terres tre , j a que la c o inc idèn
c ia aprox imada del c entre del Sol i de la Lluna no pot é s se r ob
servada des de tota la Terra , s in6 que depèn de la lati tud a la
qual e s trobi l ' ob servador .
En aquestes regions , quan e l d i s c de la Lluna é s aparentment
mé s gran o igual que el del Sol , aqu e s t re sta totalment amaga t i
hom diu que h i ha ec l ips i tota l .
1 59
L ' ec l ip s i total de Sol ve e squematitzat aprox imadament a la
f igura
EC L I PS I T O T A L D E S O L
SO L
LLU N A
TE R R A
EIIlIIlJ Z O N A D' O M B R A
� Z O N A D E P E N O M B R A
S i e n canvi , a causa d e l a relac ió d e d i s tànc i e s , e l d i s c de
la Lluna és mé s pet i t que el del Sol , resta v i s ible un e stre t
ane l l l luminós encerclant e l disc fosc de la Lluna . En aquest
cas , hom diu que l ' ec l ip s i é s anular .
A c ada cantó de la f ran j a en la qua l l ' ec l ip s i é s total o anu
l ar i , en una z ona força exten s a , l ' ocultac ió del Sol pe r l a Ll�
na no é s completa , ja que és v i s ib l e una par t poc o mol t impor
tant del disc solar , segons que l ' ob servador s igu i mé s o menys
l luny de la f ran j a d ' ec l ip s i total .
a ) Feu un esquema que expl iqui un ec l ip s i anular de Sol .
b ) !dem d ' un ecl ips i parc ia l .
c ) Expl iqueu en què c on s i s t e ix un ec l ip s i de Lluna i f eu un e s
quema que l ' i l·lustri .
UNA PROPIETAT DE LES RECTES SECANTS
S i d ibuixem per un punt P inter ior a una c ircumf erènc ia , d i
verses secant s , e l s segment s determinats p e r aque st punt i e l s
160
punts d ' intersecc i6 amb la c ircumf erènc ia, tenen una propietat co
muna que intentarem determinar tot seguit .
D . 8 6
a ) Completeu la taula següent , f ent servir un regle graduat
2
D
F
PX1
PX2 Px 1 . Px
2
Secant 1
Secant 2
Secant 3
x 1 i x2 punts en què cada s ecant ta l l a· la c ircumferènc ia .
b ) Què ob serveu a l ' ú l t ima coluwna ?
c ) Enunc ieu la propietat c orre sponent .
Intenta rem demo strar-la en genera l .
D . 8 7
D ibu ixeu per un punt P inter ior a una c i rcumferènc ia , due s
rec te s secant s qual sevo l . Demos treu que
PA . PB = PC . PD
161
SUGGERIMENT . Uniu e l s punt s A i D , i B i C , i demo s treu que e l s
triangles APD i BPC són semblant s .
A
C
o ·
/
/ /
/ /
/
/ /
/
8
Més sorprenent é s pot ser el fet que aque sta propietat també
e s c omple ix s i el punt P é s exter ior .
D . 8 8
Dibu ixeu des d ' un punt P , ex terior a una c ircumferèn c ia , di
verse s secants i seguiu els mate ixos pa ssos que en els exerc i
c i s D . 8 6 i D . 8 7 .
D . 8 9
D ibu ixeu de s d ' un pun t P exterior a una c ircumferènc ia , dues
secants qua l s sevol . Demo streu que :
PA . PB = PC . PD p
SUGGERIMENT . Un iu e l s pu�ts A i D , i C i B , i demos treu que e l s
triangles PAD i PCB són s emb lant s .
162
D . 9 0
Calculeu x a les f igure s següents
5 . - A R C C A P A Ç
-4-1 l
10
Des d ' una butaca d ' una sala c inerna toqrà f ica , un espec tador
veu la panta l l a sota un ang l e de 4 0 Q .
A B
163
Creieu que h i ha a l tre s l locs de la sala des de l s qua l s e s
veu l a pantalla sota e l mate ix ang l e ?
Noteu que aque sta qüestió é s del mateix t ipu s que la plante
j ada a l ' inic i de l ' apartat c orresponent a l s angles inscrit s . La
soluc ió @ns ve donada per l ' arc de c ircumferènc ia AEB .
Aquest arc é s l ' arc capaç de 4 0 Q sobre e l segment AB .
D . 9 1 ,,-.....
Per què tots e l s ang les de vèrtex s un punt de l ' arc AEB són
de me sura 4 0 Q ?
164
~ � ¡ \ \ l \ ' - / l\ l " ' - - / l \ \\ ( l \ " ' ' / - -.l l \�� \ " ';,- .::: l -- , __ (-
/ \ '> / • ' ,/ l l l \ / ' ........ l l \ / ' l ' cl-J f--): / /
\ '-
V / /' .( .
\ l ' \ l ' <7- l
l ' ,,.-{ \ o(. / \. ; \y
En genera l , donat un s egment AB i un angl e de me sura o<. anom�
narem arc capa ç d ' angle o<.. sobre e l segment AB a l l l oc geomètric
dels punts que veuen e l segment AB sota l ' angle o'-.. •
D . 9 2
a ) Raoneu qu in é s l ' arc capaç de 9 0Q sobre un segment , dona t ?
b ) D ibuixeu-lo sobre un segment de 4 cm .
D . 9 3
Con struïu un triangle rec tang le del qual cone ixem la hipote
nusa a = 1 0 cm i un catet b = 6 cm .
D . 9 4
Constru ïu un triangle rec tangle del qual c one ixem la h ipote
nu sa a = 6 cm i l ' a l tura c orre sponent a la h ipotenu sa ha= 3cm .
Tenint en compte la f i gura següent
E
f ixeu-vo s que e l teorema de l ' al tura e s pot enunc iar :
D . 9 5
Tota semicorda é s mit j ana proporc ional entre e l s segments en
què divideix a l diàmetre perpendicular .
Doneu un enunc iat semb lant per al teorema del catet i i l�us
treu- l o amb una f igura .
165
CONST:RUCCIÓ DE L ' ARC CAPAÇ
E studieu detal ladament cadascun del s pa s so s de l a construc
c i6 s egüent .
l l l
~ F i g . 1
F i g . 3
D . 9 6
\!ex: '
' '
'
Fi,g . 2
' O( '
' '
'
F i g , 4
' '
'
/ /
a ) Ju s t i f iqueu cadascun de l s pa s s o s anterior s .
b ) Construïu l ' arc capaç de 7 0 Q sobre un segment de 3 cm .
D . 9 7
Cons truïu sobre un segment de 4 cm l ' arc capaç de 6 0 Q . ! dem
de 1 2 0 Q . Què ob s erveu?
Ob serveu que l a construcci6 de l ' arc capaç d ' angle suplemen-
166
tar i en e l semiplà oposat , dóna el mate ix centre i que ambdós
completen una c ircumf erènc ia .
L ' arc capaç permet resoldre una sèrie de qüe s t ions i de cons
truc c ions geomètriques força intere s sants .
D . 9 8
Problema de la carta de navegac ió . Expl iqueu c orn determina
r íeu sobre un mapa de la c os ta la po s ic ió d ' un va ixe l l V , s i
s ' han mesura t e l s angles cA. i (3 formats per l e s tres visual s
d irigides des del va ixe l l a tres l loc s notab l e s de la c osta .
Apl icac ió . S itueu sobre aqu e s t mapa de la costa de l ' Alt Empor
dà un vaixe l l per al qual d. = 5 0 Q i ¡?, = 1 2 0 Q ; e s sent A el far
del Cap de Creus , B e l de Roses ( a la punta de la Ponc e l l a ) i
C e l de l e s i l l e s Medes .
1 67
D . 9 9
Af E D J T o l f
o $
R R A N l A
a ) Con struïu un tr iangle del qual cone ixem l a base a= Scm , l ' an
gle opo sat A= 4 5 Q i l ' altura ha = 4 cm . "
b ) !dem b = 4 cm , B = 7 0 Q i hb
= 2crn .
D . 1 0 0
Construïu un tr iang le del qual cone ixem a = 6 cm , A= 6 0 Q i l a me
d iana m relat iva al costat a , m = Sem . a a
168
D . 1 0 1
Dibu ixeu a escala 1 : 1 0 0 un segment que repre senti una port�
r ia d ' un c amp de f.utbol ( que suposarem que té 7m) . Construïu
la l ínia on han de s ituar- se els fotògra f s , si tots l ' han de
veure sota un angle de 3 5 Q . ..
D . 1 0 2
Comenteu per au è e l s grec s constru ïen e l s tea tres en forme
c ircular .
6 . - A L G U N E S Q Ü E S T I O N S S O B R E P O L Í G O N S
I N S C R I T S C I R C U M S C R I T S
L ' e l ement arqu itec tòn ic que podeu veure a la f igura següent
és la rosassa de la catedral de Val ènc ia .
1 69
E s una f i l igrana arqu itec tòn ica del gòtic català con s t i tuïda
per gran quantitat de f igures geomètr ique s , entre l e s qua l s des
taquen la c ircumf erènc ia i els pol ígon s .
S i cons iderem nomé s l e s f igure s geomètrique s que més ressal
ten , obt indrem l ' e squema següent :
Ob serveu que e l s dos triangles equ i làters tenen e l s tres an
gles insc r i t s a la c ircumferènc ia , és per aque sta raó que hom d iu
que són triangl e s inscrits .
D . 1 0 3
a ) Uniu e l s vèrtex s d ' aquests tr iangl e s . Qu ina f igura heu ob
t i ngut� b ) Es un pol ígon inscr i t ? Per què ?
c ) El s a l tres pol ígons que e s veuen a la f igura són pol ígons
inscrits?
D . 1 0 4
a ) Intenteu donar la def inic ió de pol ígon inscr i t en una c ir-
1 7 0
cumferènc ia . I l�ustreu- lo amb d iversos exemple s .
b ) D ibuixeu dos pol ígons inscrits en una c ircumferènc ia donada
que no s igu in regulars .
S i deixeu volar la vos tra fanta s i a , podeu imag inar -a partir
de la f igura inicial- d if erents esquemes que u s poden dur a nove s
forme s i a noves trame s que u s permetin desenvolupar la vostra
creat ivitat .
D . 1 0 5
Intenteu determinar diver s e s trames geomè trique s a pa rtir de
les reproducc ions de les x i l�ograf ies , del pintor holandès M .
C . ESCHER , representades a l e s f igure s :
Camí de Vida 1 9 5 8
1 71
D . 1 0 6
Cerc l e l ímit 1 9 5 9
Aga fant c orn a base l a rosassa de l a catedral de Val ènc ia , di bu ixeu due s trame s geomètr ique s i de ixeu ac tuar la vos tra c rea
t ivitat per tal d ' obten i r-ne due s c ompo s i c ions art í s t iques .
Un dels e squemes que e s poden dedu i r a part i r de l ' e l ernent ar
qu itectònic que ens ha s ervit de suport é s :
172
Ob serveu que e l s dos tr iangles i l ' h exàgon que determinen t�
nen e l s costats tangents a la c ircumf erènc ia interior , per aque�
ta raó hom d iu que són pol ígons c ircumscr it s a la c i rcumferènc ia .
D . 1 0 7
D ibu ixeu dos po l í gon s regulars i dos d ' irregulars c ircums
crits a una c i rcumf erènc ia donada .
Us proposem a continuac ió algunes qüe s t ions relative s a l s p�
l ígon s insc r i t s i c i rcumsc r i t s .
D . 1 0 8
Sabr íeu donar una a l tra definic ió de pol ígon insc r i t ? ! dem
de pol ígon c ircumscrit?
D . 1 0 9
a ) D ibu ixeu una c ircumferènc ia de Sem de radi i construïu un
quadrat inscrit i un de c ircumscrit a aquesta c ircumferèn
c ia .
b ) Ca lcu leu les long i tuds de ls c o s ta t s i de l e s diagona l s .
e ) Repetiu e l s càlcu l s en e l cas en què el radi s igui de r cm .
D . 1 1 O
a ) Cons tru ïu un hexàgon regular inscrit en una c ircumferènc ia
de radi 3 cm .
b ) Calculeu el co stat i l ' apotema .
c ) Repetiu el càlcu l s i el rad i é s de r cm .
D . 1 1 1
Repetiu l ' exerc ici anterior per a un hexàgon c ircumscrit .
D . 1 1 2
a ) Construïu un triangle equ i làter inscrit en una c ircumferèn-
1 73
c ia de 4cm de rad i .
b ) Calcu l eu e l costat i l ' a l tura en func ió del radi .
c ) Repe tiu e l cà lcul s i e l radi é s de r cm .
d ) Re�etiu tots e l s apartats anteriors per a un triang l e equi
làter c ircumsc r i t .
QUADRILÀTER INSCRIPTIBLE
Anomenarem quadr ilàter inscript ibl e a un quadri l àter que pot
ser in scrit en una c i rcumferènc ia .
Tot segu i t , in tentarem e sbr inar qu i na cond i c ió ha de ten i r
u n quad r i l à ter pe rqu è s ig u i i n s c r ip t ib l e .
D . 1 1 3
a ) Det e rmineu , f e n t s e rv i r un transportador d ' an g l e s , l e s me s�
res del s ang l e s dels quadr ilàters de l e s f igure s següent s :
A
( D
F i g. l F i g . 2
174
b ) Di spo seu e l s re sul tats a la taula següent :
f ig . 1
f ig . 2
A
A A A
C B A
D
qu ina relac i6 h i ha entre A i ê ; i entre B i D?
D . 1 1 4
Recordant la relació entre la me sura d ' un angle inscrit i
la de l ' arc que abracen e l s s eu s costat s , dedu ïu , en general ,
la relac i6 trobada a l ' exerc i c i anterior .
Aix i donc s , hem deduït que un quadr ilàter inscriptible convex
té e l s ang l e s oposats suplementar i s .
Comprovem s i la prop ietat rec iproc a é s també c erta .
D . 1 1 5
Cons ide reu un quadri l àter ABCD que t ingu i e l s angles opo
sats suplementar i s , demo streu que és inscriptib l e .
SUGGERIMENT . Recordeu la c onstruc c i6 de l ' arc capa ç .
Re sumint , podem enunc iar que la c ondic i6 perquè un quadr ilà
ter s igu i inscriptible é s que els seus angles oposats s igu in su
plementaris .
D . 1 1 6
Con s idereu un quadr ilàter ABCD . Compl eteu l e s dade s següents
perquè s igu i inscriptible .
1 r A=6 ºº B= 1 0 0 º 2 n A= 7 ü º B = 2A
175
D . 1 1 7
a ) Donat e l quadrilàter ABCD de la f igura tal , que la d iagonal
AC és un diàmetre . Raoneu perquè B=D= 9 0 Q i A+ê= 1 8 0Q
b ) E s cont inuarà ver if icant aquesta c ondic ió s i e l punt D e s
mou sobre la c ircumf erènc ia?
B D . 1 1 8
a ) Con struïu un quadr ilàter ABCD tal , que AB= 4 cm , A= 6 0 Q , B = 8 0 Q
i ê = 1 2 0 Q . A
b ) Calculeu la mesura de l ' angle D .
e ) Aque st quadr i là ter é s inscr ipt ib l e ? En cas a f i rmatiu c ons
truïu la c i rcumf erènc ia c i rcumscr ita i expl iqueu e l proced!
ment empra t .
D . 1 1 9
L ' angl e que formen l e s tangents el evade s des d ' un punt P e�
terior a una c ircumferènc ia és de 6 0 9 i la d i s tànc ia entre el s
punts de tangènc ia é s de Sem .
a ) Trobeu e l s valors de l s 4 angles indicats a la f igura .
b ) Calculeu CP , OC i e l radi .
e ) El quadr ilàter AOBP é s inscriptible?
176
En cas a f i rmat iu , quin seria e l c entre O de la c ircumfe rèn
c ia c ircumscr ita?
Dibu ixeu-la .
D . 1 2 0
D . 1 2 1
S i ABCD é s un quadr i là ter c ircumscrit proveu que
AB + DC = BC + AD
D
A C
B
Ana l itzeu , s i podeu dedu i r e l valor de l s costats de sconegu t s
en cadas cuna de l e s f igures s egüents .
?
177
E . L E S E S C O L E S D ' A T E N E S
A mitj an segle V a . C . , l e s escoles s ' havien mul t ipl icat , pe
rò f inalrnent el c entre cultura l del món grec va formar-se a Ate
nes , d ' on no es va desp l açar f in s que va pa ssar a Alexandr ia . Amb
l ' Acadèmia de Plató i e l L i c eu d ' Ar i s tòti l va c anviar el c oncep
te de la c iènc ia , que va e s devenir el re sultat d ' un e s forç orga
n itzat de col.laborac ió .
La primera fou fundada per P la tó l ' any 3 8 7 a . C . i func ionà d�
rant nou segle s , f in s que Justinià ( VI a . C . ) va dec retar e l tan
cament de l e s e scoles pagane s . Ari stòt i l hi va a s s i stir qua s i du
rant 2 0 anys , però en morir Plató ( 3 4 8 ) se ' n va al lunya r per
c reure que es tendia a desviar la f i losof ia cap a la Matemàtica .
Quan retornà a Atene s va instal·lar l a seva e scola en e l L ic eu i
la va dirig ir durant 1 2 anys .
Ari s tòtil va c rear una nova c iènc ia : l a l ògica , amb la qua l
vol ia determinar la validesa dels raonaments per tal d ' arribar
al coneixement de la rea l i tat . Però corn a home de c iènc ia va des
tacar pr inc ipa lment per les seves inves tigac ions en B iologia .
Corn a matemàtic s podem c itar a Eudem de Rode s i a Èudox de
Cnido s .
Eudern de Rode s ( segle IV a . C . ) , del qua l j a hem pa rlat a l p�
r íode de la Magna Grèc ia, -quan c itàvem una propo s ic ió que en la
seva " H i s tòria de la Geometria '' atribu e ix a l s p itagòrics- fou
de ixeb l e d ' Ar i stòti l . De la seva obra només s e ' n conserven alguns
fragments i té un interè s e special el dedicat a la . quadratura de
l e s lúnules d ' H ipòc rate s de Qu ios perquè té gran importànc ia his
tòrica , ja que van ser l e s primeres f igure s corbes l ' àrea de l e s
qual s e s v a calcular exactament .
Èudox de Cnidos ( 4 0 8 - 3 5 5 a . C . ) fou de ixebl e de Plató i e s de
dicà a l ' ensenyament a Atene s . Corn a matemàtic l i devem una teo
ria de les proporc ions i una teoria del segment aur i .
179
180
A l a pàg ina anter ior hi ha una reproducc ió del fresc de " l ' Es
cola d ' Atene s " amb e l qual e l p intor Rafael va decorar una de l e s
paret s d e la S a l a d e la S ignatura· ( 1 5 0 8 - 1 1 ) d e l Vat icà .
" L ' Escola d ' Atene s " mos tra una reunió del s grans pensador s , .
poetes i home s de c iènc ia de l ' antiga Grèc ia .
Les due s f igure s centra l s són :
- Plató ( amb l e s fac c ions de Leonard de Vinc i )
- Ari stòt i l
embrancats en una di scu s s ió f i losòf ica .
Pl ató avança amb l ' índex senya lant e l cel , é s a dir e l món
de l e s idees i Ar i stòt i l dirig e ix la mà c ap endavant , entre el
cel i la terra , com si volgués opo sar a la visió idea l i sta de Pla
tó una v i s ió mé s rea l i sta .
Una mica cap a l ' esquerra h i ha :
- Socràte s - f i lòsof grec (l'l..4 7 0 - 3 9 9 a . C . ) - mes tre de Pl ató ,
e stà de per f i l enumerant e l s seu s arguments .
A pr imer pla , gai rebé en e l centre :
- Heràc l it (�5 4 4 - �4 8 3 a . C . ) , amb l e s facc ions de Miquel Ange l ,
té el cap reco l zat a la mà .
A la dreta :
- Euc l ides (A-3 0 0 a . C . ) , amb les fac c ions de Bramante ( arqui
tecte que va c oncebre la ba s í l ic a de Sant Pere ) , està inc l i
nat , f en t un dibuix geomètric amb compà s .
E s de remarcar que Ra fael va s i tuar a l ' e squerra el s " pensa
dor s " entre els qua l s hi col·locà a Mique l Ange l , mentre a la dre
ta h i c o l·locà e l s a s trònoms , geòmetres i matemàtic s entre e l s
qua l s s ' h i s i tuà e l l ma teix . És e n e l grup d e més a l a dreta , amb
Z oroa stre ( a s trònom àrab ) que porta una e s f era c e l e ste , el geògra f
Ptolomeu , e l qua l porta un globus terraqui i amb e l pintor I l Sodoma
181
A P E N D I X
En aqu e s t apèndix , hem apl egat a l gune s noc ion s b à s iqu e s geo
mè t r iqu e s e l cone ixement de l e s qua l s és ind i spensab l e per a po
der abordar e l mate r ia l d ' aqu e s t l l ibre .
I . - C O N G R U È N C I A D E T R I A N G L E S
Ob s e rveu a tentament l e s du e s l àmines segü e n t s del p intor ho
ladès M . C . ESCHE R :
1 82
Haureu remarcat que tots e l s cava l lers de la pr imera i tots
els àngel s i dimonis de la segona s6n idènt ic s en forma i grand� ria . S i en reta l l é s s iu un , podríeu fer-lo c oinc idir exac tament
amb e l s a l tres , é s a dir , superposats coincidirien , i per tant ,
cada punt d ' una figura té un punt c orre sponent a l ' al tra .
Aquestes f igure s hom diu que s6n congruents o , f ent un abú s
- de l lenguatge , igua l s .
Tanmateix , podeu comprovar que e l s cava l l er s blanc s , malgrat
183
ser c ongruents amb e l s negre s , ho són d ' una manera diferent que
entre e l l s . F ixeu-vos que són diferents d ' una manera ben bà s ica ,
perquè per fer c o inc idir un de b lanc amb un de negre , hauríem de
reta l l ar-lo i donar- l i la vol ta .
E l s b lanc s són f igure s congruents directe s , i un de blanc i
un de negre , f igure s congruents inver se s .
1 . - CONGRU�NCIA DE TRIANGLES
En pa rticu lar , s i ten im dos triangles congruent s , per exem
ple e l s de la f igura
C F
D E
i ·e l s fem coincidir , t indrem que cada vèrtex d ' un c o incidirà amb
un vèrtex de l ' a ltre , en e l nostre cas : A amb P , B amb F i C amb
E ; i é s clar que e s compl irà :
AC = DF AB = DE BC = EF
i "' l\ A l\ A /\ A = D B = E C = F
Aix í podem donar la def inic ió següent :
DEF INICIO : Dos triangles s ón c ongruents ( igua l s ) , s i h i ha una c o�
re spondènc ia entre e l s seus vè�tex s de manera que e l s
costats corresponents i el s angles corre sponents són
igual s .
1 84
2 . - CRITERI S D ' IGUALTAT DE TRIANGLES
Si material i t z em un tr iang le amb tres t i res de cartró , ob se�
vern que s ' obté una forma r íg ida , la qua l cosa no passa s i mate
r ia l itzem un quadri làte r .
l l
i l l l
Es c lar, que a ixò s ign if ica que s i tenim e l s costats d ' un t r i
angl e igua l s a l s d ' un altre triangl e , e l s dos triangles són con
gruent s .
Noteu , donc s , que en aquest cas considerant nomé s tre s de l s
s i s e l ements d ' un t r iangle , hem aconsegu i t determinar la igua l
tat dels do s t r iangl es .
Ens podr íem preguntar , s i h i ha d ' a l tres terne s de tres ele
ments c omprovant la igua l ta t dels qual s e s pugu i deduir la d e l s
tr iangles .
a ) Primer criteri d ' igua l tat :
S i dos triangles tenen e l s tre s costats igua l s , són c ongruent s .
Mal grat semblar un fet ben evident , no podem provar-lo a par
t ir de la nos tra def inic ió de triangles congruents i per a ixò
l ' acceptarem c om a c erta , és el que s ' anomena prendre-ho c orn
un po s tulat .
CONSTRUCCIÓ . La c onst ruc c ió d ' un triangle cone ixent e l s tres
1 85
c o s tat s , e s fa seguint e l proc é s indicat a la f igura :
\ \
\ \ \C \
\ \
\
a
b
C
l l
b l l l l l
o
o
Els altres c r iteris que també prendrem com a pos tulats són :
b ) Segon c r iteri d ' igua l ta t :
S i do s tr iang l e s tenen igua l s dos costats i l ' angle que for
men , són igua l s .
CONSTRUCC IÓ . La construc c ió corre sponent é s :
a
b
o o c ) Terce r c r iteri d ' igua l tat :
186
S i dos tr iang l e s tenen igua l s un costat i e l s dos angles con
tigu s , són igual s .
CONSTRUCCIÓ . La construc c ió c orresponent é s :
B
a
1 1 . - M E D I A T R I U B I S E C T R I U
1 . - MEDIATRIU D ' UN SEGMENT
a
a
Mediatriu d ' un segment é s la recta perpendicular al s egment
en el punt mit j à .
CONSTRUCCIÓ . La cons truc c ió de la mediatriu d ' un segment ve
ind icada a la f igura :
p p
A 8 A B
p'
187
Aquesta construcc i ó e s j u s t i f ica util itzan t la congruènc ia
de triangle s .
Demo s trarem que s i :
H ipòte s i :
Conc lu s ió :
Demo strac ió
6 L::,,. 1 . - APP ' =BPP '
_.....,__ -2 . - APE=EPB
..6 � 3 . - APE�BPE
,........ ,,.-...... 4 . - AEP=BEP
............ -
AP=BP i AP ' =BP '
la recta PP ' é s la med ia triu del s egment AB ; és
a dir , PP ' é s perpendicular a AB i E é s e l punt
mit j à .
l p
Ju s t i f icac ió
Per teni r e l s tres costats
igua l s :
- AP=BP i AP ' =B P ' ' per h ipòte s i
- PP ' é s comú
5 . - AEP i BEP són a ng l e s
rec tes
6 . - AE=BE
intenteu c ompletar l a demo strac ió j us t i f ic ant cada scun dels pa�
sos que no ho e s tan encara .
188
2 . - B ISECTRIU D ' UN ANGLE
B i s ec tr iu d ' un angl e é s la recta que , pa s sant pe l vèrtex , d i
vide ix l ' angle en dues pa rts igua l s .
CONSTRUCC IO . El proc é s de c onstrucc ió ve indicat a la f igura :
p p A p
Aquesta c onstruc c ió e s pot j u s t i f icar util itzant la c ongruè�
c ia de triangl e s .
Demo strarem que s i :
H ipòtes i :
Conclu s ió :
Demo strac ió :
.6. .6 1 . - PBD =PAD
,....... .......... 2 . - BPD =DPA
PA=PB i AD=BD
� � APD=BPD
Ju stif icac ió :
Intenteu j us t i f icar e l s dos pa s so s de la demo strac ió .
189
I I I . - A N G L E S D E C O S T A T S P A R A L . L E L S I
A N G L E S D E C O S T A T S P E R P E N D I C U L A R S
S i tenim due s recte s r i s , ta l lades per una transversal t ,
e s formen vu it angles .
s
E l s ang l e s 1 ' 2 , 7 i 8 s ' anomenen exterior s . " " " "
E l s angles 3 ' 4 ' 5 i 6 s ' anomenen interior s . " "
E l s ang les 1 i 5 " " 2 i 6 " 7 3 i
4 i 8 di rem que són corresponent s . "
- El s angles i 8
2 i 7 direm que són al terns-extern s . " "
- E l s angles 3 i 6 " "
4 i 5 direm que són al terns- interns .
Es pot demos trar, que s i les rectes r i s són paral�eles , e l s
ang l e s corresponents , e l s a l terns -externs i e l s al tern s - interns ,
són igua l s .
A par tir d ' aque sta propietat e s poden dedu ir a l tres ú t i l s
prop ietats .
190
2 . - ANGLES DE COSTATS PARAGLELS
E l s angles de costats paral� e l s són igua l s o suplementaris .
Per demo s trar aque sta propietat , n ' hi ha prou de perl longar el s costats de manera que s ' obtingu in due s rectes para l� e l e s ta
l lade s per una transversal
l l
l l
l
l l
l l
i apl icar la propietat enunc iada aban s .
l l
l
1 91
Podeu demostrar de la mateixa manera que tamb é e s compleix
per a les al tres po s s ibl e s po s ic ion s del s angl e s .
2 . - ANGLES DE COSTATS PERPENDICULARS
El s angles de costats perpendiculars s6n iguals o suplemen
tari s :
Per demo str�r aques ta prop ieta t c omençarem suposant que e l s
vèrtex s coinc ide ixen .
En aque s t c a s la demos trac i6 é s immediata .
1 92
A mé s a mé s . qua l sevo l cas sempre e s pot redu ir a aqu e s t s i
pel vèrtex d ' un dels ang l e s es dibuixen paral-l e l e s al s costats
de l ' al tre angl e , de manera que si l ' ang l e és agut , el format
per l e s pa ral-l e l e s també , i s i é s ob tús , tamb é ho é s e l de l e s
pa ra l.l e l e s .
1 93
ICE _ UAB _