resumenes microeconomia uned t2 a t8

Tema 2

LA RESTRICCIÓN PRESUPUESTARIA

Resumen

En el estudio de la conducta del consumidor consideramos cestas de bienes tales como la

X, demandadas por aquél, constituidas por una cierta cantidad (�1, �2) de dos bienes (1 y 2,

respectivamente).

Supongamos que los precios de ambos bienes son (�1, �2), respectivamente, y � la renta

monetaria de la que disfruta el consumidor.

La �� a la que se enfrenta el consumidor cuando decide qué cesta

de bienes consumir será:

1 1 2 2� � � � ��

Nos indica que el consumidor gasta 1 1� � unidades monetarias en adquirir el bien 1 y 2 2� �

unidades monetarias en adquirir el bien 2. De forma que la cantidad de dinero que gasta en

adquirir ambos bienes no puede superar la renta monetaria � de la que dispone.

El �� no es más que el conjunto de cestas de bienes que satisfacen la

restricción presupuestaria del consumidor. Esto es, el conjunto de cestas de bienes asequibles

para este último, habida cuenta de la renta monetaria de la que dispone y de los precios a los

que se enfrenta de los bienes que desea adquirir.

Supongamos que el precio del segundo bien es igual a la unidad. En tal caso, la cantidad

demandada de este bien coincide con el gasto que el consumidor destina a adquirir este últi-

mo.

A lo largo del curso consideraremos siempre una economía con dos bienes. Sin embargo, a

veces supondremos que el segundo bien es un bien compuesto, esto es, constituido por un

conjunto de bienes cuyos precios relativos permanecen constantes, los cuales se comportan de

hecho como un único bien cuyo precio es la unidad; de forma que �2 sería el gasto que realiza

RESUMEN TEMA 2: La restricción presupuestaria 2/6

el consumidor en la adquisición de ese bien compuesto, en la adquisición de los restantes bie-

nes distintos del bien 1.

Se entiende por �� , el conjunto de cestas de bienes que satisfacen estric-

tamente la restricción presupuestaria, esto es, la siguiente ecuación:

1 1 2 2� � � � ��

La recta presupuestaria, pues, está constituida por todas aquellas cestas de bienes cuya ad-

quisición por parte del consumidor exige de este último que gaste toda su renta.

La ecuación de la recta presupuestaria puede rescribirse del siguiente modo:

12 1

2 2

��

� ��

Se trata de una línea recta decreciente, de pendiente 1

2

�

�� , ordenada en el origen

2

�

�, y

abscisa en el origen 1

�

�.

x2

m/p2

Recta presupuestaria

pendiente –p1/p2

Conjunto

presupuestario

m/p1 x1

Figura 2.1. El conjunto presupuestario


La pendiente de la recta presupuestaria, tomada en valor absoluto, es 1

2

�

�. Dado que se

cumple:

2 1 12 1

1 2 2

��

��

La pendiente de la recta presupuestaria, según esta última expresión, puede interpretarse

como el número de unidades del bien 2 a las que es preciso renunciar para poder adquirir en el

mercado una unidad adicional del bien 1.

Por tanto, la pendiente de la recta presupuestaria nos indica el �� , en

términos del bien 2, de adquirir en el mercado una unidad adicional del bien 1.

Alteración de la recta presupuestaria

12 1

2 2

��

� ��

� Consideremos que se produce un aumento de la renta del consumidor. La recta presupues-

taria no altera su inclinación, dado que los precios de los bienes permanecen constantes.

Luego se desplaza paralelamente. Y, además, se aleja del origen de coordenadas debido al

incremento de la ordenada en el origen 2

�

�.


x2

m´/p2

m´> m

m/p2

m/p1 m´/p1 x1

Figura 2.2. Aumento de la renta

� Sucede precisamente lo contrario, un acercamiento al origen de coordenadas, cuando

disminuye el nivel de renta del consumidor.

� Consideremos que se produce un aumento de �1. En primer lugar, la ordenada en el origen

de la recta presupuestaria no se altera. En cambio, esta última se hace más inclinada, au-

menta su pendiente debido al incremento del precio del primer bien. La recta presupuesta-

ria gira en torno al eje de ordenadas hacia la izquierda.

x2

m/p2

p1´> p1

m/p1´ m/p1 x1

Figura 2.3. Aumento de p1


� Sucede precisamente lo contrario, un giro hacia la derecha en torno al eje de ordenadas,

cuando disminuye �1. La recta presupuestaria cambia de inclinación, se hace más horizon-

tal.

Impuestos, subvenciones y racionamiento

Tanto los impuestos como las subvenciones alteran la restricción presupuestaria, bien afec-

tando a los precios de los bienes cuando se trata de impuestos o subvenciones indirectas, bien

afectando a la renta disponible del consumidor, cuando se trata de impuestos o subvenciones

directas.

� �� : impuesto indirecto que grava la cantidad adquirida del bien

en cuestión, incrementando el precio del bien que tiene que pagar el consumidor en una

cuantía �. El nuevo precio del bien sería 1� �� . Lo contrario sucedería si se tratara de una

subvención � a la cantidad, disminuiría el precio del bien que tiene que pagar el consumi-

dor: 1� �� .

� �� : impuesto indirecto que grava el gasto que realiza el consumidor

en adquirir un determinado bien. El gasto que el consumidor realiza en adquirir el bien 1

es 1 1� � ; por tanto, el impuesto que tiene que pagar sería: 1 1� �� . En consecuencia, el pre-

cio que finalmente tiene que pagar el consumidor por adquirir el bien en cuestión como

resultado del establecimiento de un impuesto sobre el valor de cuantía � sería: � � 11 �� .

� �� o �� . Se trata de un impuesto directo que no

afecta a los precios de los bienes, tan sólo disminuye la renta disponible del consumidor.

Lo contrario si se trata de una devolución del impuesto sobre la renta.

Consideremos ahora que el bien 1, por ejemplo, esté racionado. Esto es, que la cantidad

disponible de este bien, 1� , sea inferior a la cantidad máxima que el consumidor puede adqui-

rir de este bien gastando toda su renta.

En tal caso, tanto la recta presupuestaria como el conjunto presupuestario sufren un trun-

camiento.


x2


Conjunto

presupuestario

1x x1

Figura 2.4. El conjunto presupuestario con racionamiento

EL TEOREMA DEL BIEN COMPUESTO DE HICKS

Frecuentemente utilizado a lo largo del curso, cuando suponemos que los precios de todos

los bienes, excepto uno, por ejemplo el primero, no se alteran.

Tales bienes, cuyos precios no se alteran, pueden tratarse de hecho como un único bien

compuesto. De modo que la cantidad demandada de ese bien compuesto no es más que el gas-

to que realiza el consumidor en adquirir los restantes bienes distintos del primero; de ahí que

el precio de ese bien compuesto sea la unidad.

Efectivamente, tomemos la ecuación de la recta presupuestaria en el caso de n bienes:

1 12

n

j j

j

p x p x�

m� ��

Si los precios de todos los bienes, excepto el primero, no se alteran, entonces, de acuerdo

con el teorema que nos ocupa, podemos considerar estos últimos como un único bien com-

puesto ( 2x ), cuyo precio es la unidad. Dado que 2x es el gasto que realiza el consumidor en

adquirir los restantes bienes distintos del primero:

22

n

j j

j

x p x�

��

Por lo que la ecuación de la recta presupuestaria sería:

1 1 2p x x m� �

donde evidentemente . 2 1p �

En realidad, el teorema, que se estudia en cursos avanzados, permite que varíen los precios

de todos los bienes, pero exige que los precios relativos de aquellos bienes susceptibles de ser

tratados como un único bien compuesto permanezcan inalterados. Lo que conlleva, en el caso

que nos ocupa, que los precios de todos los bienes distintos del primero deben aumentar o

disminuir siempre en la misma proporción.

TEMA 2 El teorema del bien compuesto de Hicks 2/2

Efectivamente, supongamos que los precios iniciales de los restantes bienes distintos del

primero sean: 0 2, ,jp j � � n . Y que todos ellos aumenten o disminuyan en la misma propor-

ción t, con objeto de que los correspondientes precios relativos permanezcan inalterados.

La ecuación de la recta presupuestaria sería ahora:

01 1

2

n

j j

j

p x t p x m�

� ��

Definiendo 02

2

n

j j

j

x p x�

�� como el gasto que realiza el consumidor en adquirir los restantes

bienes distintos del primero valorado a los precios iniciales, la ecuación de la recta presu-

puestaria quedaría del siguiente modo:

1 1 2p x tx m� �

Ahora es el gasto que realiza el consumidor al adquirir los restantes bienes distintos

del primero, el cual es igual a la proporción t en que varían los precios de tales bienes multi-

plicada por

2tx

2x , el gasto correspondiente valorado a los precios iniciales.

De esta forma, t, que no es más que un índice de precios, cumple la misma función dentro

de la ecuación de la recta presupuestaria que el precio del segundo bien ( ), que ahora no

tiene por qué ser necesariamente la unidad dentro de este contexto más general.

2t p�

Tema 3

LAS PREFERENCIAS

Resumen

En el estudio de la conducta del consumidor consideramos cestas de bienes tales como la

X, demandadas por aquél, constituidas por una cierta cantidad (x1, x2) de dos bienes (1 y 2,

respectivamente). A veces, el segundo bien se considera un bien compuesto, esto es, un con-

junto de bienes cuyos precios relativos permanecen constantes, los cuales se comportan de

hecho como un único bien cuyo precio es la unidad; de forma que x2 sería el gasto que realiza

el consumidor en la adquisición de ese bien compuesto.

Los bienes susceptibles de ser demandados por el consumidor se encuentran perfectamente

especificados estableciendo el lugar, el momento en que estarán disponibles para el consumo,

así como otras circunstancias o eventualidades que puedan afectar a este último.

Las preferencias del consumidor

Tomemos dos cestas de consumo cualesquiera (x1, x2) e (y1, y2).

Si el consumidor prefiere estrictamente la primera cesta a la segunda, entonces represen-

tamos este hecho mediante la siguiente expresión: � � � �1 2 1 2, ,x x y y� .

Si ambas cestas le resultan indiferentes al consumidor, entonces lo representamos del si-

guiente modo: � � �1 2 1 2, , �x x y y� .

Si el consumidor prefiere débilmente la primera cesta a la segunda, entonces lo represen-

tamos del siguiente modo: � � � �1 2 1 2, ,x x y y� . Decimos entonces que la primera cesta es al

menos tan deseada o tan buena como la segunda.

Si para el consumidor la primera cesta es al menos tan buena o tan deseada como la se-

gunda: � � �1 2 1 2, , �x x y y� . Y, a su vez, la segunda cesta resulta ser al menos tan buena o tan

RESUMEN TEMA 3: Las preferencias 2/9

deseada como la primera: � � � �1 2 1 2, ,y y x x� ; entonces es que ambas cestas le resultan indife-

rentes: � � �1 2 1 2, , �x x y y� .

Si para el consumidor la primera cesta es al menos tan buena o tan deseada como la se-

gunda, y ambas no son indiferentes; entonces es que el consumidor prefiere estrictamente la

primera cesta a la segunda: � � � �1 2 1 2, ,x x y y� .

Supuestos sobre las preferencias

� Las preferencias del consumidor deben ser Completas: Dadas dos cestas cualesquiera de

bienes X e Y, o bien la primera es al menos tan deseada como la segunda, o bien la se-

gunda es al menos tan deseada como la primera; o bien se cumplen ambas relaciones si-

multáneamente, con lo que ambas cestas resultan ser indiferentes para el consumidor.

Lo que nos dice este axioma es que el consumidor es capaz de comparar dos cestas cua-

lesquiera de bienes, y de este modo ordenar según sus preferencias todas las cestas de bienes

imaginables.

� Las preferencias del consumidor han de ser Reflexivas: Una cesta cualquiera X es al me-

nos tan buena como ella misma: � � � �1 2 1 2, ,x x x x� .

Este axioma es trivial y no permite comentario alguno.

� Las preferencias del consumidor han de ser Transitivas: Dadas tres cestas cualesquiera de

bienes X, Y y Z. Si � � � �1 2 1 2, ,x x y y� y además � � � �1 2 1 2, ,y y z z� , entonces debe cumplirse

que � � � �1 2 1 2, ,x x z z� . Esto es, si la primera cesta es tan buena como la segunda, y esta

segunda es tan buena como una tercera; entonces la primera cesta debe ser tan buena co-

mo la tercera.

Este axioma exige que el comportamiento del consumidor sea consistente o coherente, es-

to es, que no resulte caprichoso.


Representación gráfica de las preferencias del consumidor: las curvas de

indiferencia

� �2

Conjunto preferido débilmente:

Cestas preferidas débilmente a (�1,�2)

� �2 �

Curva de indiferencia:

cestas indiferentes

a (�1,�2)

�1 �1

Figura 3.1. Conjunto preferido débilmente

La curva de indiferencia está constituida por puntos que son la representación geométrica

de cestas de bienes que resultan indiferentes dentro de las preferencias del consumidor. El

área sombreada, situada a la derecha y encima de la curva de indiferencia, está constituida por

puntos que son la representación geométrica de cestas de bienes estrictamente preferidas a una

cesta cualquiera perteneciente a la curva de indiferencia, por ejemplo, la pintada en el gráfico.

Por tanto, el conjunto de cestas débilmente preferidas a una cesta dada 1 2( , )x x está formado

por las cestas indiferentes y las cestas de bienes estrictamente preferidas a aquélla, esto es, por

la curva de indiferencia a la que pertenece la cesta en cuestión más el área sombreada situada

a la derecha.

Una propiedad fundamental de las curvas de indiferencia es que no pueden cortarse si las

preferencias son transitivas.


�2

X

Z

Y

�1

Figura 3.2. Las curvas de indiferencia no pueden

cortarse

Las cestas de bienes X e Y pertenecen a curvas de indiferencia distintas, las cuales even-

tualmente se cortan en un punto que se corresponde con la cesta Z. Por tanto, se cumple por

definición que X~Z y Z~Y. En consecuencia, por el axioma de la transitividad de las prefe-

rencias debería cumplirse que X~Y. Pero esto es una contradicción porque hemos supuesto de

partida que ambas cestas, X e Y, pertenecen a curvas de indiferencia distintas.

Las curvas de indiferencia son ubicuas, esto, es, abarcan todas las cestas de bienes imagi-

nables. Lo que quiere decir que cualquier cesta de bienes se encuentra dentro de una curva de

indiferencia que pasa por ella.

Esta propiedad se deduce de la completitud de las preferencias del consumidor, dado que

ello presupone la ordenación en curvas de indiferencia de todas las cestas de bienes imagina-

bles.

Por el mismo motivo, las curvas de indiferencia son curvas continuas desde un punto de

vista matemático cuando los bienes son perfectamente divisibles. Sólo los bienes discretos

dan lugar a curvas de indiferencia discontinuas.


Preferencias regulares

Las preferencias regulares deben cumplir dos requisitos: que sean monótonas y convexas.

� Decimos que las preferencias son monótonas cuando el consumidor no está saturado, es

decir, cuando siempre desea consumir una mayor cantidad de ambos bienes. Por este mo-

tivo, las curvas de indiferencias son líneas decrecientes, esto es, tienen pendiente negati-

va. Si deseamos consumir una mayor cantidad del bien 1, entonces debemos consumir

una menor cantidad del bien 2 para mantenernos dentro de la misma curva de indiferen-

cia.

�2

Mejores cestas

(�1,�2)

Peores

cestas

�1

Figura 3.3. Preferencias monótonas

De ahí que si nos movemos hacia arriba y hacia la derecha nos desplazamos hacia posicio-

nes mejores, esto es, hacia curvas de indiferencia de mayor nivel de preferencia.

Si nos movemos hacia abajo y hacia la izquierda nos estamos desplazando hacia posicio-

nes peores, esto es, hacia curvas de indiferencia de menor nivel de preferencia.

Por consiguiente, para mantenernos dentro de la misma curva de indiferencia debemos

movernos en sentido ascendente hacia la izquierda y en sentido descendente hacia la derecha.


� Decimos que las preferencias del consumidor son convexas cuando dadas dos cestas de

bienes indiferentes �� 1 2 1 2, ,x x y y� , la media ponderada de ambas es débilmente prefe-

rida a cualquiera de las cestas de partida:

� � � � � �1 1 2 2 1 21 , 1 , 0tx t y tx t y x x t� � � � � �� 1

Si la media ponderada es estrictamente preferida, entonces se dice que las preferencias son

estrictamente convexas. Ésta es precisamente la condición exigida a las preferencias regula-

res:

� � � � � �1 1 2 2 1 21 , 1 , 0tx t y tx t y x x t� � � � � �� 1

Las cestas que son media ponderada de las cestas X e Y se sitúan geométricamente en la

línea recta que une los puntos que son la representación geométrica de ambas cestas.

Las cestas que son media ponderada, o bien resultan indiferentes a X e Y, con lo que la

curva de indiferencia tendrá tramos lineales y las preferencias serán convexas:

�2

Cesta media ponderada

(�1,�2)

(�1,�2)

�1

Figura 3.4. Preferencias convexas

O bien, las cestas que son media ponderada se prefieren estrictamente a las dos cestas ex-

tremas X e Y, con lo que la media ponderada se sitúa en el interior del conjunto de cestas dé-


bilmente preferidas a X e Y, por lo que las preferencias se dicen que son estrictamente con-

vexas; de forma que la curva de indiferencia posee una curvatura regular, esto es, carece de

segmentos lineales (se trata de hecho de una curva convexa).

�2

Cesta media ponderada

(�1,�2)

(�1,�2)

�1

Figura 3.5. Preferencias estrictamente convexas

La convexidad de las preferencias conlleva que el conjunto de cestas débilmente preferi-

das a una cesta cualquiera es un conjunto convexo. Lo cual, por definición, quiere decir que

cualquier línea recta que una dos puntos cualesquiera que pertenezcan al conjunto, está for-

mada toda ella por puntos que a su vez pertenecen al conjunto, esto es, está contenida toda

ella dentro del conjunto.

El supuesto de la convexidad estricta de las preferencias del consumidor significa que el

individuo siempre prefiere consumir combinaciones de bienes, esto es, una cantidad positiva

de ambos bienes en nuestro caso; en lugar de consumir bienes por separado, es decir, no

consumir nada de uno de ellos.

La relación marginal de sustitución (RMS)

La Relación Marginal de Sustitución (RMS) es, por definición, la cantidad del bien 2 que el

consumidor está dispuesto a renunciar para aumentar en una unidad la cantidad consumida del

bien 1 y mantener el mismo nivel de bienestar, esto es, permaneciendo dentro de la misma

curva de indiferencia: 2 1x RMS x� � � . Por tanto, tendremos:


1

2 2

01 1lim

x

dx xRMS

dx x�

��

�

De ahí que, dada una cesta de bienes (x1, x2), la RMS se corresponde con la pendiente de la

curva de indiferencia en ese punto.

�2

Curva de

indiferencia

pendiente = ��2/��1 = RMS

��2 �

� �2 ��1

� �1 �1

Figura 3.6. La relación marginal de sustitución (RMS)

� Puesto que las preferencias regulares son monótonas, las curvas de indiferencia, al ser de-

crecientes, tienen pendiente negativa. Con lo que la RMS resulta ser negativa: si desea-

mos incrementar la cantidad consumida de un bien debemos reducir la cantidad consumi-

da del otro para permanecer dentro de la misma curva de indiferencia.

� Cuando las preferencias son estrictamente convexas (condición exigida a las preferencias

regulares), puesto que las curvas de indiferencia son curvas convexas, esto es, carecen de

segmentos lineales, entonces la RMS es decreciente en valor absoluto a medida que au-

menta x1. Esto se debe, desde un punto de vista matemático, a que como la RMS es la

pendiente o primera derivada de la curvas de indiferencia; al ser estas últimas curvas con-

vexas, la segunda derivada de las curvas de indiferencia resulta ser positiva. Con lo que la

RMS debe crecer a medida que aumenta x1; pero como es negativa, entonces debe decre-

cer en valor absoluto.


La interpretación económica de este hecho es la siguiente: a medida que aumenta la canti-

dad consumida del bien 1 (x1), el consumidor está dispuesto a renunciar a una menor cantidad

del bien 2 con objeto de incrementar en una unidad el consumo del primer bien, permanecien-

do dentro de la misma curva de indiferencia.

Cuando consideramos dos bienes, y el segundo de ellos es un bien compuesto por otros

bienes cuyos precios relativos no se alteran, entonces ese bien compuesto se comporta de

hecho como un único bien y su precio es la unidad. En consecuencia, la cantidad consumida

de ese bien compuesto no es más que el gasto que el consumidor realiza en adquirir los distin-

tos bienes que lo componen.

En este contexto, el estudio de la conducta del consumidor se centra en el análisis de la

cantidad demandada de un bien y el gasto realizado en los restantes bienes distintos del pri-

mero, cuyos precios relativos no se alteran.

De ahí que la RMS puede interpretarse como la disposición marginal a pagar por parte del

consumidor. Esto es, la cantidad de dinero que el consumidor está dispuesto a detraer del gas-

to realizado en adquirir los restantes bienes, con objeto de incrementar en una unidad la canti-

dad consumida del primer bien, manteniendo su nivel de bienestar, esto es, permaneciendo

dentro de la misma curva de indiferencia.

Tema 4

LA UTILIDAD

Resumen

La función de utilidad no es más que una forma matemática de describir las preferencias

del consumidor, las cuales conllevan la posibilidad por parte de este último de establecer un

orden de prelación para todas las cestas de bienes imaginables.

Por este motivo, la función de utilidad lo que hace es asignar un número � (el nivel de uti-

lidad) a cada cesta de bienes (�1, �2):

� �1 2,� � � ��

De manera que:

� Dos cestas indiferentes dentro de las preferencias del consumidor tengan el mismo nivel

de utilidad:

� � � � � � � �1 2 1 2 1 2 1 2, , ,� � � � � � � � � �� ,

� Y una cesta estrictamente preferida a otra tenga un nivel de utilidad mayor:

� � � � � � � �1 2 1 2 1 2 1 2, , ,� � � � � � � � � �� ,

Lo importante de la función de utilidad es que permite �� las

preferencias del consumidor ��. La cuantía o magnitud del nivel

de utilidad de dos cestas de bienes no tiene ninguna importancia, lo único importante es si

ambos niveles de utilidad correspondientes a sendas cestas de bienes son iguales (cestas de

bienes indiferentes), o si uno es mayor que otro (una cesta de bienes estrictamente preferida a

otra).

Por este motivo, las mismas preferencias del consumidor pueden ser representadas mate-

máticamente por infinitas funciones de utilidad, de forma que cada función de utilidad sea una

RESUMEN TEMA 4: La utilidad 2/13

�� de otra función de utilidad que represente tales preferen-

cias.

Decimos que la función de utilidad � �1 2,� � � ��

�2�

es una transformación monótona crecien-

te de la función de utilidad que representa las preferencias del consumidor: � 1,� � ��

� ��

si la función � �� es creciente, esto es, si su primera derivada es positiva: . � � 0� ��

Ello quiere decir que, dadas dos cestas cualesquiera de bienes con los siguientes niveles de

utilidad �1 y �2, tal que , de manera que 1� �� 2 2 1 0� � �� ; entonces resulta que

, esto es, . 2 1 0� � � � � � 1 2� ��

En resumen, si dos cestas cualesquiera de bienes tienen el mismo nivel de utilidad en la

función de utilidad �, también tendrán el mismo nivel de utilidad en la función de utilidad �.

Aunque, lógicamente, por tratarse de funciones utilidad distintas, los niveles de utilidad de las

cestas de bienes en � y en � sean también distintos. Y si una cesta tiene un mayor nivel de

utilidad que otra en la función de utilidad �, también tendrá un mayor nivel de utilidad en la

función de utilidad �.

Por todo ello, podemos concluir, que una transformación monótona creciente de una fun-

ción de utilidad no es más que otra función de utilidad que representa las mismas preferencias

del consumidor que la función de utilidad de partida, ��

�� dentro de las preferencias del consumidor��

Construcción de una función de utilidad

� Para poder diseñar una función de utilidad que represente las preferencias del consumidor

es requisito imprescindible que esta últimas sean transitivas. De lo contrario, no podrá es-

tablecerse ninguna función de utilidad que represente tales preferencias.

� Si las preferencias son monótonas (requisito fundamental de las preferencias regulares)

entonces la diagonal del primer cuadrante corta a las curvas de indiferencia exactamente

una vez. Con lo que a las cestas compuestas por una misma cantidad de ambos bienes


(precisamente las situadas en la diagonal principal), que se encuentran en sucesivas cur-

vas de indiferencia cada vez más alejadas del origen de coordenadas, se les asigna un nú-

mero, precisamente su correspondiente nivel de utilidad, que guarda relación con la dis-

tancia a la que se encuentran del origen de coordenadas. De este modo, todas las cestas de

bienes, las situadas en la diagonal principal y las situadas a lo largo de las curvas de indi-

ferencia que cortan la diagonal principal, tienen asignado un número (el nivel de utilidad).

Y éste es precisamente el papel que cumple cualquier función de utilidad.

x2

4

3 Mide la distancia

desde el origen

de

2

1

0 Curvas de

indiferencia

x1

Figura 4.1. Cómo se construye una función de utilidad

a partir de las curvas de indiferencia

coordenadas

Las utilidades marginales y la RMS

Partiendo de la función de utilidad � �1 2,� � � �� , calculemos la diferencial total de esta fun-

ción:

1 2 1 1 21 2

� ��

� �

� � � � 2

Puesto que nos estamos moviendo a lo largo de una curva de indiferencia, el nivel de utili-

dad no varía ( ). Con lo que fácilmente obtendremos: 0��


2 1

1 2

��

��

Esto es, la RMS es igual al cociente, cambiado de signo, de las utilidades marginales de

ambos bienes.

Sabemos que no existe una única función de utilidad que represente las preferencias de un

determinado consumidor, dado que cualquier transformación monótona creciente de una fun-

ción de utilidad es otra función de utilidad que representa las mismas preferencias de aquél.

Por este motivo, las utilidades marginales de ambos bienes, puesto que dependen directa-

mente de la función de utilidad que estemos manejando, no resultan invariantes ante una

transformación monótona creciente de la función de utilidad.

Sin embargo, es una propiedad fundamental de las preferencias del consumidor, que la

RMS permanece inalterada ante cualquier transformación monótona creciente de la función

de utilidad. Por consiguiente, ��

��

��

��

Algunos ejemplos de funciones de utilidad

En este apartado vamos a caracterizar las funciones de utilidad a partir de sus correspon-

dientes curvas de indiferencia, así como la RMS resultante, de forma que permita interpretar

el tipo de preferencias a las que están haciendo referencia.

Las curvas de indiferencia de una función de utilidad son, desde un punto de vista mate-

mático, las curvas de nivel de tal función. Es decir, el lugar geométrico de las cestas de bienes

que tienen asignado un determinado nivel de utilidad. La función de utilidad se representa,

pues, gráficamente a partir de las distintas curvas de indiferencia asociadas a cada uno de los

niveles de utilidad. Este conjunto de curvas de indiferencia recibe también el nombre de nom-

bre de mapa de indiferencia de la función de utilidad o de las preferencias del consumidor en

cuestión.


��

Se representan mediante la siguiente función de utilidad:

� �1 2 1 2,� � � � ��

x2

u0<u1<u2

� �a

RMSb

u0 u1 u2

x1

Figura 4.2. Los bienes sustitutivos perfectos

La RMS es la siguiente:

2 1

1 2

��

��

Las curvas de indiferencia son líneas rectas decrecientes de pendiente constante e igual a

�� .

En el caso particular en que =�=1, entonces 1�� . El consumidor está dispuesto a

cambiar una unidad de un bien por una unidad del otro para permanecer dentro de la misma

curva de indiferencia.

Por consiguiente, estaríamos ante bienes tales como los lápices rojos y lápices azules, o la

mantequilla y la margarina, que satisfacen la misma necesidad; de forma que al consumidor le


resulta indiferente demandar uno u otro, por lo que siempre consumirá el más barato. De ahí

que se denominen a tales bienes sustitutivos perfectos.

��


� � 1 21 2, min ,

� ��

� � �

� � ��

x2

��12 / dxdx u0<u1<u2

12 xx�

� RMS=0

u2

0/ 12 �dxdx

u1

u0

x1

Figura 4.3. Los bienes complementarios perfectos

Cualquiera que fuere el nivel de utilidad considerado, la cantidad consumida de ambos

bienes, sin que exista exceso de ninguno de ellos, para alcanzar ese nivel de utilidad, exige el

cumplimiento de la siguiente condición: 1 2� �

� � . Lo que implica que ambos bienes se con-

sumen siempre en una proporción fija: 1

2

�

�

�

� . � unidades del primer bien con � unidades

del segundo bien. Y esta condición se cumple precisamente en las esquinas o puntos angula-

res de las curvas de indiferencia.


Efectivamente, en la rama vertical de las curvas de indiferencia, las cestas de mercancías

contienen siempre una mayor cantidad del segundo bien (�2), que no afecta al nivel de utili-

dad, en relación a la cantidad consumida de este último en el punto angular de la curva de

indiferencia de que se trate. Por este motivo, en la rama vertical de las curvas de indiferencia

se cumple:

2

1

��

�� 1 20��

Esto es, el consumidor no está dispuesto a renunciar a ninguna cantidad del bien 1 con ob-

jeto de incrementar en una unidad la cantidad consumida del bien 2, para permanecer dentro

de la misma curva de indiferencia. En otras palabras, el consumidor no está dispuesto a de-

mandar las cestas de bienes situadas en la rama vertical de las curvas de indiferencia, cuando

los precios son positivos.

En la rama horizontal de las curvas de indiferencia, las cestas de mercancías contienen

siempre una mayor cantidad del primer bien (�1), que no afecta al nivel de utilidad, en rela-

ción a la cantidad consumida de este último en el punto angular de la curva de indiferencia de

que se trate. Por este motivo, en la rama horizontal de las curvas de indiferencia se cumple:

2

1

0��

�� 2 10��

Esto es, el consumidor no está dispuesto a renunciar a ninguna cantidad del bien 2 con ob-

jeto de incrementar en una unidad la cantidad consumida del bien 1, para permanecer dentro

de la misma curva de indiferencia. En otras palabras, el consumidor no está dispuesto a de-

mandar las cestas de bienes situadas en la rama horizontal de las curvas de indiferencia, cuan-

do los precios son positivos.

Por consiguiente, el consumidor únicamente demandará las cestas de bienes situadas en las

esquinas o puntos angulares de las curvas de indiferencia, donde ambos bienes se consumen

en una proporción fija, como venimos diciendo, cuando los precios son positivos.

Esto quiere decir que la��;

dado que, como hemos argumentado, el consumidor no está dispuesto a intercambiar o susti-


tuir un bien por otro, puesto que prefiere consumir ambos bienes en una proporción fija. No

obstante, en las esquinas o puntos angulares de las curvas de indiferencia, la pendiente de es-

tas últimas no está definida.

Un ejemplo típico de esta clase bienes es el té y el azúcar, o el café y el azúcar, o los co-

ches y la gasolina. Estos pares de bienes siempre se consumen juntos en una proporción fija,

no puede sustituirse uno por otro. Son pares de bienes que se complementan uno a otro. De

ahí el nombre de bienes complementarios perfectos.

��

Un bien se considera neutral cuando la cantidad consumida de ese bien no afecta al nivel

de utilidad del consumidor, el cual sólo depende de la cantidad consumida del otro bien.

Las preferencias del consumidor pueden representarse, por ejemplo, mediante la siguiente

función de utilidad:

� �1 2 1,� � � ��

El segundo bien es neutral.


x2

u0<u1<u2

��RMS

u0 u1 u2

x1

Figura 4.4. Segundo bien neutral


2 1

1 2 0

��

��

Las curvas de indiferencia son líneas rectas verticales, paralelas unas a otras. Al consumi-

dor le da igual consumir el segundo bien, eso no afecta a su nivel de utilidad.

��

Una mercancía se considera un “mal” en lugar de un bien, cuando el consumo de la misma

reduce el nivel de utilidad del consumidor.

Consideremos que la primera mercancía es un “bien” y la segunda un “mal”. Las preferen-

cias del consumidor pueden representarse, por ejemplo, mediante la siguiente función de uti-

lidad:

� �1 2 1 2,� � � � ��


x2

u0<u1<u2

0�RMS

u0

u1

u2

x1

Figura 4.5. Segunda mercancía un mal


2 1

1 2

0��

��

� � � � �

Las curvas de indiferencia son líneas rectas crecientes, paralelas unas a otras. Si permane-

ce constante el consumo del bien 2, a medida que aumenta el consumo del bien 1 (desplaza-

miento hacia la derecha) se incrementa el nivel de utilidad del consumidor; lo contrario suce-

de cuando permaneciendo constante el consumo del bien 1, se incrementa el consumo del

bien 2 (desplazamiento hacia arriba), entonces se reduce el nivel de utilidad del consumidor.

Por consiguiente, para que el nivel de utilidad del consumidor permanezca constante de forma

que nos estemos moviendo a lo largo de una curva de indiferencia, debe suceder que un au-

mento del consumo del bien 1 ha de compensarse con un aumento del consumo del “mal” 2.

De ahí que las curvas de indiferencia sean paradójicamente crecientes, contrariamente a lo

que es normal en un mundo en que ambas mercancías son “bienes”.

Una mercancía se considera un “mal” en lugar de un “bien” para el consumidor, si le per-

judica, o simplemente no le gusta tal mercancía.


!��

Se representan, por ejemplo, mediante la siguiente función de utilidad:

� �1 2 1 2, ln� � � � ��

x2

u0<u1<u2

1

1

bxRMS ��

u2

u1

u0

x1

Figura 4.6. Preferencias cuasilineales


2 1

1 2

1��

��

1

Como puede observarse, la RMS depende únicamente de la cantidad consumida del bien 1

(�1). De ahí que fijada la cantidad consumida de este último bien, la RMS, esto es, la pendien-

te de las curvas de indiferencia, permanece inalterada conforme nos desplazamos verticalmen-

te hacia arriba, es decir, a medida que aumentamos la cantidad consumida del bien 2. Por este

motivo, las curvas de indiferencia correspondientes son “traslaciones verticales” o “versiones

desplazadas” unas de otras.


En el próximo tema se caracterizará la elección del consumidor que se deriva de este tipo

de preferencias.

!�� "��-#��


� �1 2 1 2, � ��

x2

u0<u1<u2

dx

cxRMS

1

2��

u2

u1

u0

x1

Figura 4.7. Preferencias Cobb-Douglas


1

2 1 1 21

1 2 1 2

� �

� �

��

��

�

�� 2

1

A partir de aquí puede inferirse que las curvas de indiferencia poseen una curvatura regu-

lar, es decir, carecen de segmentos lineales. Esto es debido a que la RMS (la pendiente de las

curvas de indiferencia) varía continuamente al variar la �� en que son consumidos

ambos bienes. Son el ejemplo típico de preferencias regulares: monótonas y estrictamente

convexas.


Además, cualquier rayo vector que parte del origen de coordenadas, cuya pendiente es

2 1� � , esto es, la proporción en que se consumen ambos bienes, corta respectivamente a las

sucesivas curvas de indiferencia en puntos tales que la RMS permanece inalterada.

En el próximo tema se caracterizará la elección del consumidor que se deriva de este tipo

de preferencias.

UN “MAL” EN UNA FUNCIÓN DE UTILIDAD COBB-

DOUGLAS

Consideremos otro ejemplo de función de utilidad del tipo Cobb-Douglas en la que uno de

los bienes es un “mal”:

1 2 1 2( , ) a bu x x x x��

donde a y b son parámetros positivos.

Estudiemos esta función de utilidad:

a) Es evidente que el nivel de utilidad del consumidor aumenta a medida que aumenta 1x .

Luego la primera mercancía es efectivamente un bien para el consumidor.

b) Es evidente que el nivel de utilidad del consumidor disminuye a medida que aumenta

2x . Luego la segunda mercancía es un “mal” para el consumidor.

Obtengamos la relación marginal de sustitución:

1

2 1 1 2 21

1 2 2 1 1

0a b

b a

dx u x ax x axRMS

dx u x bx x bx

� �

� �

� ��

� � �

Luego las curvas de indiferencia son líneas crecientes.

Estudiemos ahora su curvatura. Para ello veamos cómo varía la RMS, puesto que se trata

de la pendiente de las curvas de indiferencia, a medida que varía la cantidad consumida del

bien 1:

� �

21 22

2 1 22 2 2 2

1 1 1 1

dxx x

d x dx axRMS aa b

x dx b x b x

��

� � � ��

Por consiguiente, a la vista de esta expresión pueden presentarse tres casos:

TEMA 4 Un “mal” en una función de utilidad Cobb-Douglas 2/2

a) Cuando a b� , tenemos 2 22 1 0d x dx � . Entonces las curvas de indiferencia son curvas

convexas y tienen una curvatura regular, dado que la RMS, que es positiva, crece con-

tinuamente a medida que aumenta la cantidad consumida del bien 1.

b) Cuando a b� , tenemos 2 22 1 0d x dx � . Entonces las curvas de indiferencia son líneas

rectas, dado que la RMS permanece constante a medida que aumenta la cantidad con-

sumida del bien 1.

c) Cuando a b� , tenemos 2 22 1 0d x dx � . Entonces las curvas de indiferencia son curvas

cóncavas y tienen una curvatura regular, dado que la RMS, que es positiva, decrece

continuamente a medida que aumenta la cantidad consumida del bien 1.

Considerando las curvas de indiferencia correspondientes al caso a tendríamos el siguiente

gráfico representativo de la elección óptima del consumidor:

x2

curvas de

indiferencia

cesta

óptim

m/p1 x1

a

No obstante, al ser las curvas de indiferencia líneas crecientes en los tres casos contempla-

dos con anterioridad, la cesta óptima es siempre una cesta de esquina cualquiera que fuere el

valor de los parámetros a y b. De forma que el consumidor siempre gasta toda su renta en

adquirir el primer bien, y no consume nada de la segunda mercancía que es un “mal”:

* *1 1 2 0x m p x� �

UTILIDAD CARDINAL Y UTILIDAD ORDINAL

Vamos a comparar ambas concepciones de la función de utilidad del consumidor, señalan-

do sus respectivas características.

Utilidad cardinal

a) Exige establecer una escala, es decir, un origen y una unidad de medida del nivel de

satisfacción del consumidor al consumir las diferentes cestas de bienes.

b) Por tanto, cada cesta de bienes lleva asociado un nivel de utilidad, esto es, el corres-

pondiente nivel de satisfacción del consumidor al consumirla; y esto abarca todas las

cestas de bienes imaginables.

c) La diferencia de utilidad entre dos cestas de bienes refleja la diferencia en el nivel de

satisfacción del consumidor.

d) Elegido el origen y la unidad de medida, la función de utilidad que representa las pre-

ferencias del consumidor es única. No admite ninguna transformación monótona que

no sea un cambio de la escala en que se miden las preferencias del consumidor (el ori-

gen y la unidad de medida).

e) La utilidad marginal es decreciente para cada bien.

La utilidad cardinal se basa en un supuesto restrictivo (la posibilidad de medir el nivel de

satisfacción del consumidor), innecesario para estudiar el comportamiento de este último en

un ambiente de certidumbre.

Utilidad ordinal

Tiene las siguientes características:

a) Requiere la ordenación completa de todas las cestas de bienes imaginables basándose

en las preferencias del consumidor.

b) Conlleva la posibilidad de comparar dos cestas de bienes cualesquiera y de establecer

el orden de preferencia de ambas cestas por parte del consumidor.

TEMA 4 Utilidad cardinal y utilidad ordinal 2/2

c) Cualquier transformación monótona creciente de una función de utilidad ordinal es

otra función de utilidad ordinal que representa las mismas preferencias del consumi-

dor, dado que mantiene la misma ordenación de las cestas de bienes.

d) La utilidad marginal depende de la función de utilidad elegida como representación de

las preferencias del consumidor. La relación marginal de sustitución (RMS), en cam-

bio, permanece inalterada ante una transformación monótona creciente de la función

de utilidad.

e) La RMS entre dos bienes es decreciente a media que aumenta la cantidad consumida

de uno de ellos. En cambio, las utilidades marginales de ambos bienes no tienen por

qué ser decrecientes, salvo si se trata de una función de utilidad aditiva.

En este caso, la utilidad marginal correspondiente a cada bien depende exclusivamente de

la cantidad consumida de ese bien, y no de la cantidad consumida del otro bien.

Tomemos como ejemplo de una función de utilidad aditiva la siguiente función de utilidad

cuasilineal:

1 2 1 2( , ) lnu x x x bx� �

De aquí fácilmente se obtiene:

1 21

1UM UM b

x� �

Evidentemente, la utilidad marginal correspondiente al primer bien es decreciente a medi-

da que aumenta el consumo de ese bien, y es independiente de la cantidad consumida del se-

gundo bien. La utilidad marginal correspondiente al segundo bien constante.

La relación marginal de sustitución:

1

2 1

1UMRMS

UM bx� �

es decreciente en valor absoluto a medida que aumenta la cantidad consumida del primer bien.

Tema 5

LA ELECCIÓN DEL CONSUMIDOR

Resumen

Cualquier consumidor siempre elige la mejor cesta de bienes que está a su alcance dadas

sus preferencias, esto es, la que le resulta asequible dados los precios de los bienes a los que

se enfrenta y la renta de la que disfruta.

Considerando que las preferencias son regulares (monótonas y estrictamente convexas), la

elección del consumidor le situará siempre en algún punto de la recta presupuestaria y no en

el interior del conjunto presupuestario, dado que la monotonicidad de las preferencias exige

que este último gaste toda su renta, al excluir en estas últimas la existencia de algún punto de

saciedad o saturación.

Por otra parte, el consumidor típico elegirá, de entre las cestas de bienes situadas en la re-

cta presupuestaria, aquella que pertenezca a la curva de indiferencia de mayor nivel de utili-

dad; dado que su objetivo es precisamente maximizar este último con la elección que lleva a

cabo, que, por este motivo, recibe el nombre de elección óptima.

RESUMEN TEMA 5: La elección del consumidor 2/13

x2

Curvas de indiferencia

Elección óptima

x2

*

x1* x1

Figura 5.1. La elección óptima

En consecuencia, la cesta que constituye la elección óptima del consumidor se correspon-

derá con el punto de tangencia entre la recta presupuestaria y la curva de indiferencia a la que

pertenece tal cesta de bienes; en ese punto la recta presupuestaria y la curva de indiferencia

en cuestión deben tener ambas la misma pendiente. Esto es lo que se conoce normalmente

como la condición de tangencia entre la recta presupuestaria y la curva de indiferencia, que

debe cumplir la elección óptima del consumidor cuando las preferencias son regulares.

Es lo que se entiende normalmente por cesta óptima interior, elección óptima interior u

óptimo interior, que conlleva que el consumidor demanda una cantidad positiva de ambas

mercancías.

En ningún caso la recta presupuestaria puede cortar a la curva de indiferencia en el punto

que representa geométricamente la cesta de bienes que constituye la elección óptima del con-

sumidor. Dado que si lo hiciera, siempre sería posible incrementar el nivel de utilidad del

consumidor desplazándose a lo largo de la recta presupuestaria hasta alcanzar una curva de

indiferencia de mayor nivel de utilidad. Por lo que, de este modo, el consumidor de hecho no

estaría maximizando su nivel de utilidad, en contra de lo que realmente pretende, y, de ahí, la

elección realizada no sería óptima, en contra de lo que hemos supuesto.


Sin embargo, existen ciertos tipos de preferencias que conllevan una elección óptima por

parte del consumidor tal que no cumple la llamada condición de tangencia. Lo que siempre es

cierto es que la recta presupuestaria no puede cortar a la curva de indiferencia en el punto que

es la representación geométrica de la cesta de bienes que constituye la elección óptima del

consumidor.

Se trata de las llamadas cestas óptimas de esquina u óptimos de esquina, en los que, a dife-

rencia de los óptimos interiores, no se cumple la condición de tangencia. En los primeros la

recta presupuestaria simplemente toca a la curva de indiferencia de mayor nivel de utilidad en

el punto que constituye la elección óptima del consumidor, sin ser tangente a esta última, esto

es, sin tener ambas, la recta presupuestaria y la curva de indiferencia, la misma pendiente. Es

el caso de aquellas preferencias, a las que nos referiremos posteriormente, que conllevan la

elección de una cesta óptima por parte del consumidor constituida por una cantidad positiva

de una única mercancía, elección que, por tanto, está situada en algún punto de los ejes de

coordenadas.

x2


Elección óptima

Recta

presupuestaria

x1* x1

Figura 5.2. El óptimo de esquina

Ahora bien, si consideramos solamente los óptimos interiores, en los que se consume una

cantidad positiva de ambas mercancías, la condición de tangencia resulta ser una condición

necesaria, siempre que las curvas de indiferencia no posean vértices o puntos angulares donde


la pendiente no está definida; dado que si la recta presupuestaria y la curva de indiferencia no

fueran tangentes en el punto que estemos considerando se cortarían en ese punto, dada la cur-

vatura regular de las curvas de indiferencia.

No obstante, la condición de tangencia no es una condición suficiente para la optimalidad

de la cesta de bienes elegida por el consumidor en un óptimo interior. Puesto que si las prefe-

rencias no son convexas, puede suceder que una cesta de bienes donde se cumple la condición

de tangencia no resulte la elección óptima del consumidor que maximiza su nivel de utilidad.

x2 Curvas de indiferencia

Cestas óptimas

Cesta no óptima

x1

Figura 5.3. Más de un punto de tangencia

Ahora bien, si las preferencias del consumidor son convexas, la condición de tangencia re-

sulta ser suficiente, además de necesaria, para determinar la elección óptima (interior) de

aquél.

No obstante, la cesta de mercancías elegida por el consumidor no tiene por qué ser única;

pueden resultar óptimas varias cestas de mercancías. En cambio, si las preferencias son estric-

tamente convexas, exigencia fundamental que deben satisfacer las preferencias regulares, en-

tonces las curvas de indiferencia carecen de segmentos lineales, esto es, poseen una curvatura


regular; y de ahí resulta que la elección óptima del consumidor, que satisface la condición de

tangencia, es además única. Véase al respecto la Figura 5.1.

Desde un punto de vista formal, la condición de tangencia entre la recta presupuestaria y la

curva de indiferencia a la que pertenece la cesta de bienes que constituye la elección óptima

(interior) del consumidor se expresa del siguiente modo:

2 1

1 2

dx pRMS

dx p� � �

Efectivamente, la RMS no es más que la pendiente de la curva de indiferencia y 1 2p p�

es la pendiente de la recta presupuestaria. Ambas deben ser iguales.

La interpretación económica de la condición de tangencia es la siguiente: puesto que la

RMS es el número de unidades de la segunda mercancía que el consumidor está dispuesto a

renunciar con objeto de aumentar en una unidad el consumo de la primera mercancía, mante-

niéndose dentro de la misma curva de indiferencia. Y, por otra parte, la pendiente de la recta

presupuestaria:

2 1 12 1

1 2 2

dx p pdx dx

dx p p� � � �

no es más que el coste de oportunidad de la primera mercancía en términos de la segunda,

esto es, el número de unidades de la segunda mercancía que el consumidor debe sacrificar

para adquirir en el mercado una unidad adicional de la primera mercancía a los precios vigen-

tes, al gastar toda su renta en la elección.

La condición de tangencia en el equilibrio del consumidor exige que el número de unida-

des de la segunda mercancía que el consumidor está dispuesto a renunciar para disfrutar de

una unidad adicional de la primera, manteniendo su nivel de bienestar, debe coincidir con el

número de unidades de la segunda mercancía que el consumidor debe sacrificar para adquirir

en el mercado una unidad adicional de la primera mercancía.

Si no fuera así, el consumidor siempre podría incrementar su nivel de utilidad reasignando

el gasto entre ambos bienes, con lo que su elección no sería óptima.


Efectivamente, la condición de tangencia a la que nos venimos refiriendo puede expresarse

del siguiente modo:

2 1

1 2

dx UM pRMS

dx UM p

1

2

� � � � �

Por lo que resultará:

1 1

2 2

UM p

UM p�

Pudiendo rescribirse de la siguiente forma:

1

1 2

UM UM 2

p p�

Esta expresión se conoce con el nombre de ley de la igualdad de las utilidades marginales

ponderadas. La cual debe cumplirse en el equilibrio del consumidor, esto es, cuando éste ha

elegido la cesta que considera óptima, dadas sus preferencias.

Su interpretación económica es la siguiente: la elección óptima del consumidor debe ser

tal que la última unidad monetaria gastada en cada uno de los bienes ha de proporcionarle la

misma utilidad.

Si esto no fuera así, el consumidor no estaría maximizando su utilidad con la elección lle-

vada a cabo. Por ejemplo, si la última unidad monetaria gastada en el primer bien le propor-

cionara una mayor utilidad que la gastada en el segundo bien, la cesta elegida por el consumi-

dor no sería óptima. A este último le interesaría reducir el consumo del bien 2 e incrementar

el consumo del bien 1. Mediante esta reasignación del gasto entre ambos bienes su nivel de

utilidad se vería incrementado.

La demanda del consumidor

Tomando como punto de partida las preferencias del consumidor, dados los precios de los

bienes y el nivel de renta este último elige la cesta de bienes que maximiza su utilidad, la ces-

ta óptima.


Ahora suponemos que varía la renta, o bien los precios de los bienes; en tal caso la cesta

óptima elegida por el consumidor normalmente será diferente.

Por este motivo, el comportamiento del consumidor puede plasmarse en una función ma-

temática que se denomina la función de demanda del consumidor, la cual nos indica la canti-

dad demandada por este último de cada uno de los bienes para cada nivel de renta y los res-

pectivos precios de ambos bienes:

� � � �1 1 1 2 2 2 1 2, , , ,x d p p m x d p p m� �

Lógicamente, la forma que adopta función de demanda del consumidor depende comple-

tamente de las características de las preferencias de este último.

Algunos ejemplos de funciones de demanda

Bienes sustitutivos perfectos

x2


b

aRMS ��


Elección

x1*=m/p1

x1

Figura 5.4. La elección óptima con sustitutivos perfectos

óptima


Función de utilidad: � �1 2 1 2,u x x ax bx� �

Relación Marginal de Sustitución: a

RMSb

� �

En la elección óptima por parte del consumidor se dan tres casos:

� Cuando 1

2

p a

p b� , esto es, cuando la recta presupuestaria es menos inclinada, tiene me-

nor pendiente, que las curvas de indiferencia. Tendremos una cesta óptima de esquina;

de forma que el consumidor gastará toda la renta adquiriendo una determinada canti-

dad del bien 1, sin consumir nada del bien 2. La función de demanda será:

1 1 2 0x m p x� �

� Cuando 1

2

p a

p b� , esto es, cuando la recta presupuestaria es más inclinada, tiene mayor

pendiente, que las curvas de indiferencia. Tendremos otra cesta óptima de esquina; de

forma que el consumidor gastará toda la renta en el consumo del bien 2. La función de

demanda será:

1 20 2x x m p� �

� Cuando 1

2

p a

p b� , esto es, cuando la recta presupuestaria tiene la misma pendiente que

las curvas de indiferencia. En ese caso la cantidad demandada de cada uno de los bie-

nes se encuentra indeterminada, y puede ser cualquiera que satisfaga estrictamente la

restricción presupuestaria.


Bienes complementarios perfectos

x2


Elección óptima

x2*

Recta

x1* x1

Figura 5.5. La elección óptima con complementarios perfectos

presupuestaria

Función de utilidad: 1 21 2( , ) min ,

x xu x x

� �

� ��

La elección óptima siempre se sitúa en las esquinas o puntos angulares de las curvas de

indiferencia, cualquiera que fueren los precios de los bienes, siempre que sean positivos, esto

es, cualquiera que fuere la inclinación de la recta presupuestaria.

Como vimos en el capítulo anterior, tales puntos angulares se caracterizan porque ambos

bienes se consumen en una proporción fija: 1

2

x

x

� .

Por lo que teniendo en cuenta la restricción presupuestaria, la función de demanda corres-

pondiente a este tipo de preferencias será:

1 21 2 1 2

x m x mp p p p

� ��


Bienes neutrales

x2


Recta

presupuestaria

Elección óptima

x1*=m/p1 x1

Figura 5.6. La elección óptima cuando el segundo

bien es neutral

Función de utilidad: � �1 2 1,u x x ax�

Relación Marginal de Sustitución: 0

aRMS � � � ��

Puesto que las curvas de indiferencia son líneas rectas verticales, la recta presupuestaria

tocará a la curva de indiferencia de mayor nivel de utilidad en un punto del eje de abscisas. La

elección del consumidor será una cesta óptima de esquina, con lo que este último gastará toda

su renta en adquirir el primer bien y no consumirá nada de la segunda mercancía que es un

bien neutral:

1 1 2 0x m p x� �


Males

x2


Recta

presupuestaria

Elección óptima

x1*=m/p1 x1

Figura 5.7. La elección óptima cuando la segunda

mercancía es un “mal”

Función de utilidad: � �1 2 1 2,u x x ax bx� �

Relación Marginal de Sustitución: 0a

RMSb

� �

Puesto que las curvas de indiferencia son líneas rectas de pendiente positiva, la recta pre-

supuestaria tocará a la curva de indiferencia de mayor nivel de utilidad en un punto del eje de

abscisas. La elección del consumidor será una cesta óptima de esquina, con lo que este último

gastará toda su renta en adquirir el primer bien y no consumirá nada de la segunda mercancía

que es un mal:

1 1 2 0x m p x� �


Preferencias cóncavas

x2


Elección no óptima


Elección óptima

x1*=m/p1 x1

Figura 5.8. La elección óptima con preferencias

cóncavas

En este tipo de preferencias, la cesta que cumple la condición de tangencia no es óptima.

Dado que la recta presupuestaria toca a una curva de indiferencia de mayor nivel de utilidad

que resulta ser un óptimo de esquina. La condición de tangencia, pues, no es una condición

necesaria que deba cumplir la cesta óptima elegida por el consumidor dentro de este tipo de

preferencias.

El consumidor demanda una cantidad positiva de uno de los bienes en el que gasta toda su

renta, no consumiendo nada del otro bien.

Preferencias cuasilineales

Función de utilidad: � �1 2 1 2, lnu x x x bx� �

Relación Marginal de sustitución: 1

1RMS

bx� �


Condición de tangencia: 1

1 2

1 pRMS

bx p� � � �

Función de demanda: 21 2

1 2

1p mx x

p b p� �

b�

Preferencias Cobb-Douglas

Función de utilidad: � �1 2 1 2, c du x x x x�

Relación Marginal de Sustitución: 2

1

x cRMS

x d� �

Condición de tangencia: 2 1

1 2

x c pRMS

x d p� � � �

Función de demanda: 1 21 2

c m d mx x

c d p c d p� �

� �

CONVEXIDAD DE LAS PREFERENCIAS

La convexidad estricta de las preferencias tiene su justificación cuando dos bienes satisfa-

cen necesidades distintas, por ejemplo ir al cine y consumir helados.

Lo deseable es situarse en el término medio. Siempre es preferible consumir ambos bienes

en lugar de uno solo. Si bien las preferencias del individuo afectan a la proporción en que se

consumen ambos bienes. Por ejemplo, un individuo preferirá gastar el 90 por ciento de su

presupuesto en ir al cine y el 10 por ciento restante en comprarse helados. En cambio, otros

individuos preferirán la asignación del gasto contraria: 90 por ciento en comprar helados y 10

por ciento en ir al cine.

Pero la mayoría de los consumidores deseará consumir ambos bienes deseables, que satis-

facen necesidades distintas, y no sólo uno de ellos. De ahí que las cestas óptimas elegidas por

los consumidores sean normalmente interiores cuando las preferencias son estrictamente con-

vexas.

Como ejemplo de preferencias convexas pero no estrictamente convexas puede considera-

se las correspondientes a los bienes sustitutivos perfectos. Aquí ambos bienes satisfacen la

misma necesidad, por lo que es perfectamente posible que normalmente se consuma tan sólo

uno de ellos; esto es, que ambos bienes no se consuman en diferentes proporciones.

Al ser las preferencias de los bienes sustitutivos perfectos convexas, pero no estrictamente

convexas, resulta que:

a) Hay cestas óptimas de esquina. En este caso, la cesta óptima es única en cada caso.

b) Hay múltiples cestas óptimas interiores cuando 1

2

p a

p b� . Esto es, el consumidor elige

todas las cestas de la recta presupuestaria (caso de cesta óptima interior no única).

El modelo de comportamiento del consumidor, objeto de estudio del presente curso de mi-

croeconomía, requiere que las preferencias de aquél sean estrictamente convexas (preferencias

regulares), con objeto de garantizar que la cesta óptima sea única en todos los casos.

TEMA 5 Convexidad de las preferencias 2/2

De esta forma pueden obtenerse las correspondientes funciones de demanda, las cuales

asignan a cada valor que tomen los precios de los bienes y el nivel de renta la correspondiente

cesta de bienes óptima.

En el caso de que para un conjunto de precios y nivel de renta el consumidor demandara

varias cestas óptimas simultáneamente, entonces las funciones de demanda no serían funcio-

nes matemáticas sino correspondencias.

CONDICIONES DE KUHN-TUCKER Y CESTAS ÓPTIMAS DE

ESQUINA

La elección del consumidor puede materializarse en el siguiente problema a resolver:

1 21 2

,

1 1 2 2

Maximizar ( , )

sujeta a

x xu x x

p x p x m� �

Se toma la siguiente función auxiliar denominada lagrangiano:

� �1 2 1 2 1 2( , , ) ( , )L x x u x x px px m� ��

Multiplicador de Lagrange:

1 11

0L

UM px

��

� � ��

2 22

0L

UM px

��

� � ��

1 1 2 2 0L

p x p x m�

��

�

Condiciones de Kuhn-Tucker:

1 11

0L

UM px

��

� � ��

2 22

0L

UM px

��

� � ��

1 1 2 2 0L

p x p x m�

��

�

Como puede observarse, las condiciones de Kuhn-Tucker son más generales que el méto-

do del multiplicador de Lagrange. Este último sólo admite óptimos interiores, en cambio las

condiciones de Kuhn-Tucker contemplan simultáneamente la posibilidad de los óptimos de

esquina, como vamos a ver seguidamente.

El multiplicador de Lagrange, tal como se demuestra en cursos avanzados, puede interpre-

tarse en términos económicos como la utilidad marginal de la renta:

1 2( , )u x x

m�

��

�

Esto es, la variación que tiene lugar en el nivel de utilidad del consumidor originada por

una variación del nivel de renta en una unidad lo suficientemente pequeña.

TEMA 5 Condiciones de Kuhn-Tucker 2/4

Esto nos lleva a la siguiente interpretación:

1 1 2 1

1 2 1

( , )

( , )

UM u x x x m

u x x m x�

� � ��

El cociente entre la utilidad marginal correspondiente al primer bien y la utilidad marginal

de la renta, puede interpretarse como el gasto que está dispuesto a llevar a cabo el consumi-

dor para adquirir en el mercado una unidad del primer bien. En otras palabras, el precio que

está dispuesto a pagar el consumidor por adquirir una unidad del primer bien.

Como puede observarse fácilmente, el equilibrio del consumidor exige el cumplimiento

para el primer bien, dentro de las condiciones más generales de Kuhn-Tucker, de lo siguiente:

11

UMp

��

Por tanto, si se da la desigualdad estricta, lo que está dispuesto a pagar el consumidor por

adquirir en el mercado una unidad del primer bien sería inferior al precio que realmente tiene

que pagar; en este caso la cantidad consumida del primer bien sería cero. Se trataría de una

cesta óptima de esquina.

En cambio, si se da la igualdad estricta, lo que está dispuesto a pagar el consumidor por

adquirir en el mercado una unidad del primer bien coincide con el precio que realmente tiene

que pagar por este motivo; en este caso el consumidor demandaría una cantidad positiva del

primer bien. Si ocurriera lo mismo para el segundo bien, estaríamos ante una cesta óptima

interior, tal cual se obtiene empleando el método menos general del multiplicador de Lagran-

ge, como puede observarse a primera vista en las anteriores expresiones matemáticas.

Es evidente que al cumplirse en un óptimo interior:

1 21 2

UM UMp p

� ��

Dividiendo ambas igualdades miembro a miembro obtendríamos la conocida condición de

equilibrio del consumidor:


1 1

2 2

UM pRMS

UM p� �

Supongamos ahora que la cesta óptima elegida por el consumidor es tal que cumple:

1 21 2

UM UMp p

� ��

Es evidente que estamos ante un óptimo de esquina. El consumidor demandaría una canti-

dad positiva del primer bien y, en cambio, no consumiría nada del segundo.

Dividiendo ambas expresiones miembro a miembro obtendríamos:

1 1

2 2

UM pRMS

UM p�

En consecuencia, en un óptimo de esquina de estas características (consumo de una canti-

dad positiva del primer bien y nada del segundo), la pendiente de la curva de indiferencia en

el punto correspondiente a la cesta óptima es mayor en valor absoluto que la pendiente de la

recta presupuestaria. Lo contrario sucedería si se consumiera una cantidad positiva del segun-

do bien y nada del primero.

Lo que es evidente, como ya sabíamos, es que la curva de indiferencia y la recta presu-

puestaria no son tangentes en los óptimos de esquina, es decir, no tienen ambas líneas la mis-

ma pendiente en el punto correspondiente a la cesta de bienes óptima. Simplemente, ambas

líneas coinciden en ese punto.

Además, si en esta última expresión matemática hacemos 2 1p � , podemos interpretar la

RMS en valor absoluto como la disposición marginal a pagar. Por tanto, esta última expresión

nos indica que el consumidor está dispuesto a pagar una cantidad de dinero, detrayéndola

del gasto destinado al consumo de otros bienes distintos del primero, superior a la que real-

mente tiene que pagar por adquirir en el mercado una unidad adicional del primer bien (su

precio 1p ). Pero no puede llevar a cabo su propósito dado que está gastando toda su renta en

adquirir precisamente el primer bien. Por este motivo, la cesta elegida es óptima a pesar de no

cumplirse la condición de equilibrio de los óptimos interiores a la que estamos habituados (la

condición de tangencia).


Sabemos que en un óptimo interior se cumple:

1 1

2 2

UM pRMS

UM p� �

Luego, si el consumidor gasta toda su renta y elige una cesta interior tal que cumpliera,

por ejemplo, la condición:

1 1

2 2

UM pRMS

UM p�

Tal cesta de bienes no sería óptima.

Forzosamente tendría que disminuir en valor absoluto la RMS para que se diera la igual-

dad y, por tanto, poder alcanzarse el equilibrio por parte del consumidor que maximiza su

utilidad. Debido a que la RMS es decreciente en valor absoluto a medida que aumenta la can-

tidad consumida del primer bien, el consumidor estaría interesado en aumentar el consumo

del primer bien y en reducir la cantidad consumida del segundo bien con objeto de incremen-

tar su nivel de utilidad.

Esto es posible en un óptimo interior, en el que el consumidor está demandando una canti-

dad positiva de ambos bienes, pero no es posible en un óptimo de esquina como el precedente

en el que no consume nada del segundo bien; dado que al gastar toda su renta en la elección,

tendría que reducir el consumo del segundo bien para aumentar el correspondiente al primer

bien, y esto es imposible.

ELECCIÓN ÓPTIMA DEL CONSUMIDOR

Vamos a dar una explicación alternativa a la contenida en la Guía Didáctica de la respues-

ta correcta a la pregunta de test 5.11, cuyo enunciado es el siguiente:

Si el consumidor gasta toda su renta y elige una cesta de bienes tal que se cumple que

1 2 1UM UM p p� 2 , entonces:

a) Tal cesta constituirá la elección óptima (interior) del consumidor.

b) El consumidor estará interesado en aumentar la cantidad consumida del bien 1 y redu-

cir la del 2 para alcanzar el óptimo.

c) El consumidor estará interesado en disminuir la cantidad consumida del bien 1 y au-

mentar la del 2 para alcanzar el óptimo.

d) El consumidor estará interesado en aumentar la cantidad consumida de ambos bienes

para alcanzar el óptimo.

RESPUESTA: b.

Explicación: Si estamos ante un óptimo interior, esa cesta de bienes no puede constituir la

elección óptima del consumidor (respuesta a errónea), dado que se cumple:

1 1

2 2

UM pRMS

UM p� �

Esto es, la RMS en valor absoluto es mayor que la pendiente de la recta presupuestaria,

luego esta última y la curva de indiferencia no son tangentes en el punto correspondiente a la

citada cesta de bienes supuestamente óptima.

Como forzosamente en un óptimo interior debe cumplirse que la RMS en valor absoluto

debe ser igual al cociente de los precios de los bienes, entonces aquélla debe disminuir en

valor absoluto para que esto ocurra en las presentes circunstancias.

Como bien sabemos, la RMS es decreciente en valor absoluto a medida que aumenta la

cantidad consumida del primer bien.

TEMA 5 Elección óptima del consumidor 2/2

Como el consumidor está gastando toda su renta, éste debe incrementar la cantidad con-

sumida del primer bien y reducir la correspondiente al segundo para alcanzar la cesta óptima

(respuesta b correcta).

En ningún caso el consumidor puede incrementar simultáneamente la cantidad consumida

de ambos bienes, porque de hecho está gastando toda su renta y los precios de ambos bienes

son positivos (respuesta d errónea).

Si no consideráramos una elección óptima interior, la citada cesta de bienes podría consti-

tuir la elección óptima de esquina de algún individuo, en la que este último consume una can-

tidad positiva del primer bien y nada del segundo; dado que en los óptimos de esquina no se

precisa que la curva de indiferencia y la recta presupuestaria sean tangentes. Consúltese al

respecto el archivo Condiciones de Kuhn-Tucker donde se abordan los óptimos de esquina y

se contempla este mismo caso.

En este supuesto óptimo de esquina el consumidor también está interesado en aumentar la

cantidad consumida del primer bien y en reducir la del segundo. Pero no puede llevar a cabo

su propósito, a diferencia de lo que ocurre en el óptimo interior precedente, dado que de

hecho no consume nada del segundo bien.

PREFERENCIAS ESTRICTAMENTE CONVEXAS Y CESTAS

ÓPTIMAS DE ESQUINA

Consideremos la siguiente función de utilidad del tipo Cobb-Douglas:

� � � �1 2 1 2( , )a b

u x x x c x d� � �

lógicamente definida para valores � � � �1 2, 0,0x x � , donde todos los parámetros a, b, c y d son

positivos.

Para obtener la cesta óptima, utilicemos las siguientes variables auxiliares:

1 1y x c� � 2 2y x d� �

lógicamente definidas para valores � � � �1 2, ,y y c d� .

Con lo que la función de utilidad auxiliar Cobb-Douglas resultante sería:

1 2 1 2( , ) a bu y y y y�

No hay que insistir en que ambas funciones de utilidad generan un mapa de curvas de indi-

ferencia convexas, de curvatura regular, es decir, carentes de segmentos lineales. Las prefe-

rencias representadas por ambas funciones de utilidad son regulares, es decir, monótonas y

estrictamente convexas.

Veamos la expresión de la recta presupuestaria: 1 1 2 2p x p x m� � . O bien,

� � � �1 1 2 2p y c p y d m� � � � 1 1 2 2 1 2p y p y m p c p d� � � �

Con lo que las funciones de demanda resultantes para ambos bienes a partir de la última

función de utilidad serían:

1 21

1

m p c p day

a b p

� ��

� 1 2

22

m p c p dby

a b p

� ��

�

TEMA 5 Cestas óptimas de esquina 2/2

A partir de aquí, dado el nivel de renta y los precios de los bienes, bastaría elegir el valor

de los parámetros a, b, c y d para conseguir que 1y c� y, por consiguiente, 1 0x � . Y, a su vez,

que 2y d� y, por consiguiente, 2 0x � . Con ello tendríamos una cesta óptima de esquina.

También podríamos tomar como dados los valores de tales parámetros y ajustar el nivel de

renta y los precios de los bienes para conseguir el mismo resultado.

Por tanto, como resulta evidente, las preferencias estrictamente convexas también dan lu-

gar a cestas óptimas de esquina, no sólo a cestas óptimas interiores, a las que estamos nor-

malmente acostumbrados.

Si en la función de utilidad de partida, en la que aparecen los parámetros c y d con valores

positivos, eliminamos tales parámetros, obtenemos la función de utilidad Cobb-Douglas

estándar:

1 2 1 2( , ) a bu x x x x�

que con la recta presupuestaria

1 1 2 2p x p x m� �

daría lugar a las siguientes funciones de demanda conocidas por todos:

11

a mx

a b p�

� 2

2

b mx

a b p�

�

Es evidente que cuando el nivel de renta y los precios de ambos bienes son positivos, todas

las cestas óptimas son interiores, dado que se consume una cantidad positiva de ambos bienes.

Para obtener una cesta óptima de esquina debemos hacer que el nivel de renta y uno de los

precios sean cero, permaneciendo positivo el otro precio. En ese caso, el consumidor, carente

de renta, sólo demandará una cantidad positiva de la mercancía gratuita, de precio cero, no

pudiendo consumir nada de la mercancía con precio positivo.

Evidentemente se trata de un caso extremo de obtención de una cesta óptima de esquina.

Tema 6

ESTÁTICA COMPARATIVA DE LA DEMANDA

Resumen

Partamos de las funciones de demanda:

� � � �1 1 1 2 2 2 1 2, , , ,x d p p m x d p p m� �

Que nos indican las cantidades óptimas demandadas por el consumidor en función de los

precios de ambos bienes y de la renta de este último.

A lo largo del presente capítulo vamos a realizar algunos ejercicios de estática comparati-

va a partir de tales funciones de demanda. Esto es, consideraremos cómo viene afectada la

cantidad demandada de ambos bienes, esto es, la elección óptima del consumidor, cuando

varía la renta y los precios permanecen constantes; o bien, cuando varía algún precio y la ren-

ta y el otro precio permanecen constantes.

Variación de la cantidad demandada cuando varía la renta

Consideraremos que varía la renta y los precios de ambos bienes permanecen constantes.

Por este motivo, la recta presupuestaria se desplaza paralelamente.

En este contexto, los bienes pueden clasificarse en bienes normales e inferiores. Los pri-

meros son aquellos en los que la cantidad demandada aumenta al aumentar el nivel de renta:

1 0x

m

��

�

Los segundos son aquellos en los que la cantidad demandada disminuye al aumentar el ni-

vel de renta:

1 0x

m

��

�

RESUMEN TEMA 6: Estática comparativa de la demanda 2/14

A medida que la renta aumenta, la recta presupuestaria se desplaza paralelamente hacia la

derecha, con lo que tendremos las sucesivas cestas óptimas demandadas por el consumidor,

las cuales cumplen la llamada condición de tangencia vista en el tema anterior. El lugar geo-

métrico de tales cestas óptimas constituye lo que se denomina la curva de oferta-renta o sen-

da de expansión de la renta.

Si ambos bienes son normales la senda de expansión de la renta será una curva creciente.

Y si un bien es normal y el otro inferior la senda de expansión de la renta será una curva de-

creciente.

x2


Rectas presupuestarias

Senda de expansión

de la renta

Elecciones óptimas

x1

Figura 6.1. Senda de expansión de la renta: ambos

bienes son normales


x2


Senda de expansión de la renta

Elecciones óptimas

Rectas

presupuestarias

x1

Figura 6.2. Senda de expansión de la renta: el

primer bien inferior, el segundo normal

Además, partiendo de las funciones de demanda de ambos bienes, al considerar los precios

constantes y variar sólo la renta obtenemos unas funciones especiales denominadas curvas de

Engel, una para cada bien: � � � �1 1 2 2x g m x g m� � .

Si un bien es normal tendrá una curva de Engel creciente; si un bien es inferior tendrá una

curva de Engel decreciente.


m

x2 x1

m

Figura 6.3 A. Curva de Engel Figura 6.3 B. Curva de Engel

Bien Normal Bien Inferior

Preferencias homotéticas

Son aquellas en las que la RMS, o bien es constante, o bien sólo depende de la proporción

en que son consumidos ambos bienes y no de la cantidad consumida de estos últimos.

Tres ejemplos de preferencias homotéticas:

a) En el caso de los sustitutivos perfectos la RMS en valor absoluto es a/b.

b) En el caso de los complementarios perfectos es cero, dado que los bienes se consumen

siempre en la misma proporción.

c) En el caso de las preferencias Cobb-Douglas:

2

1

x cRMS

x d� �

Centrándonos en el caso de las preferencias Cobb-Douglas como ejemplo típico de prefe-

rencias regulares, éstas tienen la propiedad de que la RMS permanece constante a medida que

nos movemos a lo largo de cualquier rayo vector que parte del origen de coordenadas, cuya

pendiente es precisamente 2 1x x . O, lo que es lo mismo, un rayo vector que parte del origen

de coordenadas corta a las sucesivas curvas de indiferencia en puntos tales que la RMS es

siempre la misma.


Por este motivo, la senda de expansión de la renta correspondiente a unas preferencias Co-

bb-Douglas es siempre un rayo vector que parte del origen de coordenadas; dado que como

debe cumplirse la condición de tangencia en un óptimo interior, al permanecer los precios

constantes la RMS debe permanecer también constante a medida que varía la renta.


Elecciones óptimas

2

1

1

2

p

p

dx

cxRMS ��

Senda de expansión de la renta


x1

Figura 6.4. Senda de expansión de la renta:


Ejemplo de preferencias homotéticas

En general, las preferencias homotéticas dan lugar a una curva de oferta-renta o senda de ex-

pansión de la renta que es siempre un rayo vector que parte del origen de coordenadas:

� En el caso de los bienes sustitutivos perfectos, se trata del eje de abscisas o el de orde-

nadas, según se consuma el primer bien o el segundo, respectivamente.

� En el caso de los bienes complementarios perfectos es la recta que une los vértices de

las curvas de indiferencia, dado que ambos bienes se consumen siempre en la misma

proporción, independientemente del nivel de renta.

Las preferencias homotéticas tienen la propiedad de que dan lugar a curvas de Engel linea-

les que parten del origen de coordenadas, para aquellos bienes de los que se consume una can-

tidad positiva, que en el caso de las preferencias Cobb-Douglas y las de los bienes comple-

mentarios perfectos son ambos bienes.


x1

m

Figura 6.5. Curva de Engel


Ejemplo de preferencias homotéticas

Otra propiedad bien conocida de las preferencias homotéticas es que la proporción de la

renta gastada por el consumidor en la adquisición de cada uno de los bienes se mantiene cons-

tante aunque varíe el nivel de renta del que disfruta aquél.

Elasticidad-renta de la demanda

Es una medida de la intensidad con que varía la cantidad demandada de cada uno de los

bienes al variar la renta del consumidor, permaneciendo constantes los precios.

Por definición, la elasticidad-renta de la demanda es el cociente entre la variación porcen-

tual de la cantidad demandada del bien y la variación porcentual de la renta del consumidor

que da origen a aquélla.

1, 2

j

j j

jm

j

x

x x mj

m m x

m

�

��

� Los bienes normales tienen una elasticidad-renta positiva. La curva de Engel es creciente.

� Los bienes inferiores tienen una elasticidad-renta negativa. La curva de Engel es decre-

ciente.


� A su vez, los bienes normales se dividen en bienes necesarios (elasticidad-renta menor

que la unidad), bienes de elasticidad-renta unitaria y bienes de lujo (elasticidad-renta

mayor que la unidad).

Una propiedad fundamental de las preferencias homotéticas es que la elasticidad-renta es

unitaria para aquellos bienes de los que se consume una cantidad positiva, que en el caso de

las preferencias regulares son ambos bienes. Las curvas de Engel son líneas rectas que parten

del origen de coordenadas.

Consideremos que el consumidor gasta toda la renta y consume exactamente dos bienes.

Calculando la diferencial de la ecuación de la recta presupuestaria, considerando que los pre-

cios de los bienes no se alteran, obtendremos:

1 1 2 2dm p dx p dx�

Esta ecuación puede rescribirse del siguiente modo:

1 21 2 1

dx dxp p

dm dm � 1 1 1 2 2 2

1 2

1p x dx p x dxm m

m dm x m dm x �

Con lo que tendremos:

1 1 2 2 1m ms s �

donde 1, 2j j

j

p xs j

m� � es la proporción de la renta gastada por el consumidor en cada uno

de los bienes.

Es evidente que se cumple . Por tanto, la expresión anterior puede interpretarse

del siguiente modo: si el consumidor gasta toda su renta en adquirir un conjunto de bienes, la

media ponderada de las elasticidades-renta de la demanda de tales bienes debe ser igual a la

unidad (las ponderaciones son precisamente la proporción de la renta gastada en cada uno de

los bienes).

1 2 1s s �

Tal expresión puede rescribirse del siguiente modo:


� �12 1

2

1 1m m

s

s � �

De aquí fácilmente se infiere, que si un bien es inferior � �1 0m � , el otro no puede ser un

bien inferior, debe ser forzosamente un bien de lujo � �12m � .

Variación de la cantidad demandada de un bien cuando varía su precio

Consideraremos que varía el precio de un bien, por ejemplo el del bien 1, y la renta y el

precio del otro bien, el del bien 2, permanecen constantes. Por este motivo, la recta presupues-

taria cambia de inclinación.

En este contexto, los bienes pueden clasificarse en bienes ordinarios y bienes Giffen. Los

primeros son aquellos en los que la cantidad demandada del bien en cuestión disminuye al

aumentar su propio precio: 1

1

0x

p

��

�. Los segundos son aquellos en los que la cantidad deman-

dada aumenta al aumentar el precio del bien: 1

1

0x

p

��

�.

A medida que disminuye, por ejemplo, el precio del bien 1, la recta presupuestaria gira

hacia la derecha en torno a la ordenada en el origen, cambiando de inclinación, con lo que

tendremos las sucesivas cestas óptimas demandadas por el consumidor, las cuales cumplen la

llamada condición de tangencia vista en el tema anterior. El lugar geométrico de tales cestas

óptimas constituye lo que se denomina la curva de oferta-precio.


x2


Elecciones óptimas

Curva de oferta-precio


Reducción de p1

x1

Figura 6.6. Curva de oferta-precio

Bien 1 ordinario


x2


Curva de oferta-precio

Elecciones óptimas

Rectas

presupuestarias

Reducción de p1

Reducción de la cantidad x1 demandada del bien 1

Figura 6.7. Curva de oferta-precio

Bien 1 Giffen

Partiendo de la función de demanda del primer bien, al considerar que sólo varía el precio

de este bien, de forma que permanecen constantes tanto la renta del consumidor como el pre-

cio del otro bien, obtenemos una función especial denominada curva de demanda del bien 1:

� �1 1 1x D p� .

Si un bien es ordinario tendrá una curva de demanda decreciente, esto es, la pendiente de

esta última será negativa. Si un bien es Giffen tendrá una curva de demanda creciente, esto es,

la pendiente de esta última será positiva.


p1 p1

x1 x1

Figura 6.8 A. Curva de demanda Figura 6.8 B. Curva de demanda

Bien 1 ordinario Bien 1 Giffen

Elasticidad-precio de la demanda

Es una medida de la intensidad con que varía la cantidad demandada de un bien al variar

su propio precio, permaneciendo constantes tanto el precio del otro bien como la renta del

consumidor.

Por definición, la elasticidad-precio de la demanda de un bien es el cociente entre la varia-

ción porcentual de la cantidad demandada de ese bien y la variación porcentual de su corres-

pondiente precio que da origen a aquélla.

1, 2

j

j j j

jjj j j

j

x

x x pj

p p x

p

�

��

� La elasticidad-precio de un bien ordinario es negativa, dado que la curva de demanda es

decreciente.

� La curva de demanda de los bienes ordinarios se dice que es elástica cuando 1jj � , in-

elástica o rígida cuando 1jj � , y de elasticidad unitaria cuando 1jj �.


� Cuando se trata de un bien Giffen, la elasticidad-precio es positiva, dado que la curva de

demanda es creciente.

Elasticidad-precio cruzada de la demanda

Es una medida de la intensidad con que varía la cantidad demandada de un bien al variar el

precio del otro bien, permaneciendo constantes tanto el precio del bien en cuestión como la

renta del consumidor.

Por definición, la elasticidad-precio cruzada de la demanda de un bien es el cociente entre

la variación porcentual de la cantidad demandada de ese bien y la variación porcentual del

precio del otro bien que da origen a aquélla.

, 1,

j

j j hjh

h h j

h

x

x x pj h j h

p p x

p

�

��

2

� Se dice que el bien 1 es sustitutivo bruto del bien 2: cuando la cantidad demandada del

bien 1 crece al aumentar el precio del bien 2, permaneciendo constantes el precio del bien

1 y la renta del consumidor. La elasticidad-precio cruzada es positiva 12 0 � , dado que

1

2

0x

p

��

�.

� Se dice que el bien 1 es complementario bruto del bien 2: Cuando la cantidad demandada

del bien 1 disminuye al aumentar el precio del bien 2, permaneciendo constantes el precio

del bien 1 y la renta del consumidor. La elasticidad-precio cruzada es negativa 12 0 � ,

dado que 1

2

0x

p

��

�.

� Se dice que el bien 1 es independiente bruto del bien 2: Cuando la cantidad demandada

del bien 1 no se altera al variar el precio del bien 2, permaneciendo constantes el precio

del bien 1 y la renta del consumidor. La elasticidad-precio cruzada es nula 12 0 � , dado

que 1

2

0x

p

��

�.


La curva inversa de demanda

Consideremos la curva de demanda del bien 1: � �1 1 1x D p� . Como bien sabemos, nos

permite determinar la cantidad demandada del citado bien a medida que varía el precio de este

último, permaneciendo constantes la renta del consumidor y el precio del otro bien.

A partir de la curva de demanda del bien 1 nosotros podemos obtener la denominada curva

inversa de demanda de este bien: � �1 1 1p p x� . La cual nos indica el precio de mercado del

bien 1 que está dispuesto a pagar el consumidor en función de la cantidad demandada de este

bien por parte de este último.

Consideremos también, como es lógico, que se trata de un bien ordinario. Esto es, que la

curva de demanda del bien 1 es decreciente. Lo mismo sucederá con la curva inversa de de-

manda, que tendrá pendiente negativa.

p1

Curva inversa de demanda

p1=p1(x1)

x1

Figura 6.9. La curva inversa de demanda

Bien 1 ordinario

La condición de tangencia que debe cumplirse en una elección óptima interior por parte

del consumidor, cuando las preferencias son regulares, puede escribirse del siguiente modo:

11 2

2

pRMS p p RMS

p� �


Luego si hacemos , la curva inversa de demanda del bien 1 nos indica el valor ab-

soluto de la Relación Marginal de Sustitución en función de la cantidad demandada de este

bien.

2 1p �

Pero cuando el precio del segundo bien es igual a la unidad, la cantidad demandada de este

último bien coincide con el gasto destinado por el consumidor a la adquisición del mismo. En

tal caso, la RMS puede interpretarse como la disposición marginal a pagar por parte del con-

sumidor en adquirir una unidad adicional del primer bien.

En consecuencia, la curva inversa de demanda del bien 1 nos indica la disposición margi-

nal a pagar por parte del consumidor (la cual coincide en el equilibrio con el precio de merca-

do del bien) en función de la cantidad demandada de este último. Esto es, lo que está dispues-

to a pagar el consumidor por incrementar en una unidad la cantidad consumida del bien 1,

coincide precisamente en el equilibrio con lo que el consumidor debe pagar por adquirir en el

mercado esa unidad adicional del bien en cuestión.

Por tanto, el hecho de que la curva inversa de demanda de un determinado bien sea nor-

malmente decreciente nos indica que cuanto mayor sea la cantidad demandada del bien 1 me-

nor será RMS , esto es, menor será la cantidad de dinero que está dispuesto a pagar el con-

sumidor por adquirirlo. La RMS , lo que el consumidor está dispuesto a pagar, normalmente

disminuye a medida que aumenta la cantidad consumida del bien 1.

El mismo razonamiento podría repetirse para el bien 2. De esta forma, los bienes Giffen

quedan excluidos como un caso excepcional, cuya justificación se verá en el tema 8.

Además, el que un bien sea ordinario resulta compatible con que sea un bien normal o in-

ferior. Las preferencias regulares, al ser monótonas, excluyen la existencia de puntos de sa-

ciedad o saturación, con lo que el consumidor siempre gastará toda su renta. Por este motivo,

ambos bienes no pueden ser simultáneamente inferiores, tal como hemos visto en el presente

tema. Se trata, pues, de una restricción que deben cumplir los bienes, impuesta por el compor-

tamiento del consumidor, en base a la regularidad de las preferencias de este último.

LA SENDA DE EXPANSIÓN DE LA RENTA

La curva de oferta-renta o senda de expansión de la renta cuando un bien es normal y el

otro inferior es siempre una línea decreciente, con independencia de que el bien normal lo

representemos en el eje de abscisas o en el eje de ordenadas.

Veamos los dos casos que pueden presentarse, dependiendo de la forma que adopten las

curvas de indiferencia.

x2

senda de expansió

de la renta

x1

n

En este gráfico, a medida que crece el nivel de renta, permaneciendo los precios de los

bienes inalterados, la recta presupuestaria se desplaza paralelamente hacia la derecha. Los

puntos de tangencia de las sucesivas rectas presupuestarias con las correspondientes curvas de

indiferencia definen la curva de oferta-renta o senda de expansión de la renta.

Como es evidente en el gráfico, tal senda de expansión de la renta es decreciente, lo que

implica que aumenta la cantidad consumida del primer bien y disminuye la del segundo a me-

dida que aumenta el nivel de renta del consumidor. Luego el primer bien es un bien normal y

el segundo un bien inferior.

El gráfico anterior representa el caso contemplado en la pregunta de test 6.6 de la Guía

Didáctica.

TEMA 6 La senda de expansión de la renta 2/2

x2

senda de expansió

de la renta

x1

n

En este último gráfico, la senda de expansión de la renta sigue siendo una línea decrecien-

te. Pero ahora el aumento del nivel de renta conlleva una disminución de la cantidad consu-

mida del primer bien (bien inferior) y un aumento la cantidad consumida del segundo bien

(bien normal).

Este caso está contemplado en el curso virtual y en la Figura 6.2 del libro de texto.

PREFERENCIAS CUASILINEALES

Consideremos la siguiente función de utilidad correspondiente a unas preferencias cuasili-

neales:

1 2 1 2( , ) lnu x x x bx� �

La afirmación de que la demanda del primer bien es independiente del nivel de renta sólo

resulta válida dentro de ciertos límites.

Cuando el nivel de renta del consumidor es cero la cantidad demandada del primer bien no

puede ser positiva; y a medida que el nivel de renta crece desde cero, la cantidad demandada

del citado bien no puede ser constante. Debe haber un nivel de renta mínimo para que el con-

sumidor demande una cierta cantidad positiva del primer bien, y que esta última permanezca

constante a medida que crece el nivel de renta por encima de ese mínimo.

Entre cero y un determinado nivel de renta mínimo sólo se consume el primer bien. Por

encima de ese nivel de renta mínimo la demanda del primer bien no se altera, y toda la renta

adicional se destina a consumir el segundo bien.

Para ampliar conocimientos al respecto, consúltese el epígrafe 10.3 del libro de H.R. Va-

rian: Análisis Microeconómico. Editorial Bosch, 3ª edición.

Se trata de un libro de texto alternativo al de Julio Segura, el cual, con el mismo título, se

utiliza en las asignaturas de Microeconomía III y IV, de 4º y 5º curso respectivamente de la

Licenciatura en Economía.

Teniendo en cuenta estos comentarios, ahora puede entenderse la forma que adopta la cur-

va de Engel para el primer bien en el caso de unas preferencias cuasilineales, la cual aparece

representada en la Figura 6.8 B del libro de Varian, Microeconomía Intermedia (5ª-7ª edi-

ción).

TEMA 6 Preferencias cuasilineales 2/3

m

curva de Enge

x1

l

El primer tramo inclinado indica que el consumidor, partiendo de un nivel de renta cero,

destina los sucesivos incrementos de renta a adquirir el primer bien, cuyo precio no se altera,

no consumiendo nada del segundo ( 1 1m p x� ).

Pero una vez alcanzado un determinado nivel de renta mínimo, los sucesivos incrementos

de renta los destina a adquirir el segundo bien, cuyo precio no se altera, quedando en lo suce-

sivo estancada la cantidad demanda del primero. De ahí que el segundo tramo de la curva de

Engel para el primer bien sea vertical.

Por todo ello, la curva de oferta-renta o senda de expansión de la renta correspondiente a

unas preferencias cuasilineales adoptará la siguiente forma geométrica:

x2

senda de expansión

de la renta

x1

TEMA 6 Preferencias cuasilineales 3/3

Dados los precios de ambos bienes, partiendo de un nivel de renta cero, el consumidor

comienza consumiendo el primer bien, sin demandar ninguna cantidad del segundo. De ahí el

tramo horizontal de la senda de expansión de la renta coincidente con el eje de abscisas.

Pero una vez que se alcanza un nivel de renta mínimo, el consumidor destina los sucesivos

incrementos de su renta en adquirir el segundo bien, con lo que la cantidad demandada del

primer bien queda estancada. De ahí el tramo vertical de la senda de expansión de la renta.

BIEN NECESARIO, DE LUJO E INFERIOR

Una restricción bien conocida impuesta por el comportamiento de un consumidor que gas-

ta toda su renta, es que todos los bienes que consume no pueden ser inferiores simultáneamen-

te. En el caso de dos bienes, si uno de ellos es inferior, el otro forzosamente debe ser un bien

de lujo.

Veamos la proposición inversa: si un bien es de lujo, el otro no tiene por qué ser necesa-

riamente inferior, puede ser perfectamente un bien necesario.

Efectivamente, partamos de la ecuación de la recta presupuestaria:

1 1 2 2p x p x m� �

Supongamos que varía el nivel de renta, permaneciendo constantes los precios de los bie-

nes. Se cumple entonces:

1 1 2 2p dx p dx dm� �

Con lo que resulta:

1 1 1 2 2 2

1 2

1p x dx p x dxm m

m dm x m dm x� �

O, lo que es lo mismo:

1 1 2 2 1m ms s� ��

Esto es, la media ponderada de las elasticidades-renta de la demanda, basándose en las

proporciones de gasto en cada uno de los bienes, es igual a la unidad.

Recordando que 1 2 1s s� � . Esta expresión puede escribirse del siguiente modo:

12 1

2

1 (1m m

s

s)� ��

TEMA 6 Bien necesario, de lujo e inferior 2/2

A partir de aquí fácilmente se infiere que: si el primer bien es un bien de lujo ( 1 1m� � ), el

segundo bien debe tener una elasticidad-renta inferior a la unidad. Pero no tiene por qué ser

necesariamente un bien inferior ( 2 0m� � ), puede ser perfectamente un bien necesario

( 20 m 1�� ). Todo dependerá de las proporciones de gasto en cada uno de los bienes.

Efectivamente, si en la última ecuación 1s tiende a cero y, por tanto, 2s tiende a uno, la

elasticidad-renta de la demanda correspondiente al segundo bien resulta ser positiva y ligera-

mente inferior a la unidad. Por consiguiente, el segundo bien es un bien necesario.

En cambio, si en la última ecuación 1s tiende a uno y, por tanto, 2s tiende a cero, la elasti-

cidad-renta de la demanda correspondiente al segundo bien resulta ser negativa, y creciente en

valor absoluto a medida que 2s tiende a cero. Por consiguiente, el segundo bien es un bien

inferior.

CAPÍTULO 7

LA MINIMIZACIÓN DEL GASTO

Introducción

Este tema no aparece explícitamente tratado en el libro de texto. Tan sólo hay alguna referen-

cia a las curvas de demanda compensada en el Capítulo 8 (La ecuación de Slutsky), cuando el

autor aborda la explicación del efecto-sustitución de Hicks.

Nosotros, en cambio, hemos preferido tratar este tema de forma independiente, con objeto de

sacar a la luz conceptos tan importantes dentro del estudio del comportamiento del consumi-

dor, tales como la función de gasto y la función indirecta de utilidad, que ni si quiera se men-

cionan en el libro de texto.

Resumen

En la elección óptima por parte del consumidor, el problema denominado primal consiste en

maximizar la función de utilidad sujeta a la restricción presupuestaria:

1 21 2

,

1 1 2 2

Maximizar ( , )

sujeta a

x xu x x

p x p x m� �

Se toma la siguiente función auxiliar denominada lagrangiano:

� �1 2 1 2 1 2( , , ) ( , )L x x u x x px px m� ��

Método del multiplicador de Lagrange:

1 11

0L

UM px

��

� � ��

2 22

0L

UM px

��

� � ��

1 1 2 2 0L

p x p x m��

� � � ��

A partir de las dos primeras ecuaciones anteriores obtenemos la condición de equilibrio del

consumidor para una cesta óptima interior:

CAPÍTULO 7 La minimización del gasto 2/14

1 21 2

UM UMp p

� ��

De donde se infiere:

1 1

2 2

UM pRMS

UM p� �

Utilizando ahora la ecuación de la recta presupuestaria (la tercera de las ecuaciones anterio-

res), obtendríamos las funciones de demanda convencionales o marshallianas, donde la canti-

dad demandada de cada uno de los bienes depende de los precios de estos últimos y del nivel

de renta del consumidor:

1 1 1 2 2 2 1 2( , , ) ( , , )x d p p m x d p p m� �

Ahora bien, la cesta óptima elegida por el consumidor se puede obtener resolviendo el proble-

ma dual del anterior, consistente en minimizar el gasto en que debe incurrir el consumidor,

dados los precios de los bienes, para alcanzar un determinado nivel de utilidad u:

1 21 1 2 2

,

1 2

Minimizar

sujeto a ( , )

x xp x p x

u x x u

�

�

Se toma el siguiente lagrangiano:

� 1 2 1 1 2 2 1 2( , , ) ( , )L x x p x p x u x x u � � � �


1 1

1

0L

p UMx

�

� � ��

2 2

2

0L

p UMx

�

� � ��

1 2( , ) 0

Lu x x u

�

� � ��

A partir de las dos primeras ecuaciones anteriores obtenemos la condición de equilibrio del

consumidor para una cesta óptima interior, que es la misma que la resultante anteriormente en

el primal:

1 1

2 2

UM pRMS

UM p� �


Este hecho puede interpretarse en el sentido de que la cesta óptima que maximiza el nivel de

utilidad del consumidor, sujeto a la restricción presupuestaria, es la misma que la cesta

óptima que minimiza el gasto que debe realizar el consumidor para alcanzar ese mismo nivel

de utilidad máximo, y ese gasto es precisamente el nivel de renta del que disfruta.

x2

Minimización

del gasto

u

Maximización

de la utilidad

x1

Cuando el consumidor maximiza su nivel de utilidad, entonces se desliza a lo largo de la recta

presupuestaria hasta alcanzar la curva de indiferencia que es tangente a la primera. De esta

forma logra el nivel máximo de utilidad accesible dada la renta de la que dispone y los precios

de los bienes.

Cuando el consumidor minimiza el gasto para alcanzar ese nivel de utilidad u, se desliza a lo

largo de la correspondiente curva de indiferencia hasta encontrar la recta presupuestaria que,

con la inclinación establecida por los precios de los bienes, resulta ser tangente a esa curva de

indiferencia. Por tanto, en ambos casos la cesta óptima es idéntica.

Funciones de demanda compensada o hicksianas

Si ahora introducimos la condición de equilibrio del consumidor en la función de utilidad (la

tercera de las ecuaciones que definen el equilibrio del consumidor en el problema dual), obten-

dremos las llamadas funciones de demanda compensada o hicksianas, donde la cantidad de-

mandada de cada bien depende de los precios de los bienes y del nivel de utilidad:

1 1 1 2 2 2 1 2( , , ) ( , , )x h p p u x h p p u� �


Estas funciones de demanda no observables nos indican la cantidad que el consumidor deman-

da de cada uno de los bienes en función de los precios de estos últimos y del nivel de utilidad

que desea alcanzar, de forma que al demandar tales cantidades de ambos bienes el consumidor

incurre en el gasto mínimo necesario para alcanzar ese nivel de utilidad.

La curva de demanda compensada para el primer bien, por ejemplo, se obtiene a partir de la

correspondiente función de demanda compensada para este bien, haciendo constante el precio

del segundo bien y el nivel de utilidad. Depende sólo del precio del primer bien.

En consecuencia, a lo largo de la curva de demanda compensada de un bien, al mantenerse

constante el nivel de utilidad del consumidor y variar únicamente el precio del citado bien, se

puede obtener el efecto-sustitución de Hicks, del que hablaremos en el tema 8.

Pues al movernos a lo largo de la curva de demanda compensada de un bien es como si estu-

viéramos compensando al consumidor, a medida que varía el precio del bien, con una variación

de su nivel de renta, con objeto de que mantenga constante su nivel de utilidad. De ahí que las

funciones de demanda compensada se denominen también funciones de demanda hicksianas,

para distinguirlas de la funciones de demanda convencionales, ordinarias o marshallianas.

Ejemplo: función de utilidad Cobb-Douglas

Tomemos como ejemplo la siguiente función de utilidad Cobb-Douglas:

1 2 1 2( , ) a bu x x x x�

donde 1a b� � , una vez realizada la correspondiente transformación monótona de la función

de utilidad en caso de que fuera necesario.

Problema dual, minimización del gasto:

1 21 1 2 2

,

1 2

Minimizar

sujeto a

x x

a b

p x p x

x x u

�

�

Se toma el siguiente lagrangiano:

� �1 2 1 1 2 2 1 2( , , ) a bL x x p x p x x x u � � � �


11 2 1

1

0b aLp x ax

x ��

� � ��


12 1 2

2

0a bLp x bx

x ��

� � ��

1 2 0a bL

x x u�

� � ��

Dividiendo las dos primeras ecuaciones, obtenemos la condición de equilibrio del consumidor

para una cesta óptima interior:

1 2 1

2 1 2

UM ax pRMS

UM bx p� � � 1

2 12

pbx x

a p�

Si en lugar de sustituir en la ecuación de la recta presupuestaria, sustituimos en la restricción

asociada a la función de utilidad (la tercera de las ecuaciones anteriores):

1

2

a

b

ux

x�

Obtendremos:

21

11

2

bb

a b

b

pu ax u

b ppb

a p

� � ��

��

Dado que 1a b� � , la función de demanda compensada para el primer bien adopta la siguiente

forma:

1 1 2

b

b bax p p u

b

��

Como puede apreciarse, la cantidad demandada del primer bien depende inversamente de su

propio precio (curva de demanda compensada decreciente) y directamente del nivel de utilidad.

Siguiendo un procedimiento semejante obtendremos la función de demanda compensada para

el segundo bien:

2 1 2

a

a abx p p u

a

��


La función de gasto

A partir de las funciones de demanda compensada de cada uno de los bienes es fácil obtener la

función que nos indica el gasto mínimo E en que debe incurrir un consumidor para alcanzar un

determinado nivel de utilidad u:

1 2 1 1 1 2 2 2 1 2( , , ) ( , , ) ( , , )E p p u p h p p u p h p p u� �

Dado que el gasto mínimo para alcanzar un determinado nivel de utilidad no es más que el

valor de la cesta de mercancías que el consumidor demanda cuando minimiza el gasto en que

debe incurrir al tratar de alcanzar ese nivel de utilidad. Y la cantidad demandada de cada uno

de los bienes bajo esta condición queda determinada a partir de las correspondientes funciones

de demanda compensada.

La función de gasto, al igual que las funciones de demanda compensada, depende obviamente

de los precios de ambos bienes y del nivel de utilidad.

En el caso particular de la función de utilidad Cobb-Douglas que estamos manejando, tal fun-

ción de gasto adopta la siguiente forma:

1 1 2 2 1 2

b a

b b a aa bE p p p u p p p u

b a

� ��

Después de sacar factor común y de realizar algunas simplificaciones obtendremos la forma

definitiva de la función de gasto:

1 2a b a bE a b p p u� ��

Como puede apreciarse, tal función depende directamente de los precios de los bienes y del

nivel de utilidad, como venimos diciendo.

La función indirecta de utilidad

Si en la función de utilidad 1 2( , )u u x x� sustituimos las cantidades consumidas de cada uno de

los bienes por la respectivas funciones de demanda convencionales u ordinarias:

1 1 1 2 2 2 1 2( , , ) ( , , )x d p p m x d p p m� �

obtendremos la función indirecta de utilidad:

� 1 2 1 1 2 2 1 2( , , ) ( , , ), ( , , )u p p m u d p p m d p p m�


Dentro de esta función, el nivel de utilidad no depende directamente de las cantidades consu-

midas de ambos bienes, como sucedía en la función de utilidad de partida, sino de los precios

de ambos bienes y del nivel renta.

En el caso de la función de utilidad Cobb-Douglas que estamos manejando, las funciones de

demanda convencionales serían:

1 2

1 2

m mx a x b

p p� �

Sustituyendo en la correspondiente función de utilidad 1 2 1 2( , ) a bu x x x x� , resulta la siguiente

función indirecta de utilidad:

1 2a b a bu a b p p m� ��

Se denomina función indirecta de utilidad porque nos indica el nivel de utilidad del consumi-

dor en función, no de las cantidades consumidas de ambos bienes (función directa de utili-

dad), sino en función de los precios de los bienes y del nivel de renta.

Como puede apreciarse, el nivel de utilidad depende inversamente de los precios de los bienes

y directamente del nivel de renta.

Puesto que dados los precios de los bienes el nivel de renta m nos permite alcanzar el nivel de

utilidad u según la anterior función indirecta de utilidad. Entonces, de acuerdo con la interpre-

tación del problema dual de minimización del gasto del consumidor, tal nivel de renta m no es

más que el gasto mínimo necesario en que debe incurrir el consumidor para alcanzar precisa-

mente el nivel de utilidad u, dados los precios de los bienes. Es decir, se cumpliría dentro de la

función indirecta de utilidad: m E� .

En consecuencia, la función de gasto resulta ser la función inversa desde un punto de vista

puramente matemático de la función indirecta de utilidad:

1 2a b a bE a b p p u� ��

Compárese con la función de gasto obtenida con anterioridad, donde tal función se dedujo a

partir de las funciones de demanda compensada.

Otro ejemplo: preferencias cuasilineales

Consideremos la siguiente función de utilidad cuasilineal estándar:


1 2 1 2( , ) lnu x x x bx� �

Las funciones de demanda ordinarias o convencionales, obtenidas al resolver el problema de la

maximización del nivel de utilidad, son de sobra conocidas cuando se consume una cantidad

positiva de ambos bienes:

21

1

px

bp� 2

2

1mx

p b� �

Introduciendo ambas expresiones en la función de utilidad de partida obtendremos la expresión

matemática de la función indirecta de utilidad:

21 2

1 2

( , , ) ln 1p bm

u p p mbp p

� � �

La función de gasto, resultante de invertir esta última función, donde m E� , resultará ser:

2 21 2

1

( , , ) ln 1p p

E p p u ub bp

� ��

� �

Lógicamente, esta última función de gasto puede obtenerse también a partir de las correspon-

dientes funciones de demanda compensada de cada uno de los bienes. Estas últimas se obtendr-

ían obviamente al resolver el problema de la minimización del gasto, tal como sigue:

1 2

1 1 2 2x ,

1 2

Minimizar

sujeto a ln

x

p x p x

x bx u

�

� �

Se toma el siguiente lagrangiano como función auxiliar:

� �1 2 1 1 2 2 1 2( , , ) lnL x x p x p x x bx u� � � � � �

Método del multiplicador de Lagrange para una cesta óptima interior:

� �

11 1

22

1 2

10

0

ln 0

Lp

x x

Lp b

x

Lu x bx

�

��

�

��

�

��

�

A partir de las dos primeras ecuaciones obtendremos la función de demanda compensada

correspondiente al primer bien:


21

1

px

bp�

Que coincide con la función de demanda ordinaria o convencional para este bien.

Introduciendo ahora esta expresión en la función de utilidad original (la tercera de las ecuacio-

nes resultantes del problema de minimización del gasto), obtendremos la función de demanda

compensada correspondiente al segundo bien:

22

1

lnp

u bxp b

� � 2

21

1ln

pux

b b p b� �

Lógicamente, la función de gasto también puede obtenerse a partir de ambas funciones de

demanda compensada del siguiente modo:

2 2 2 21 2 1 2

1 1 1

1( , , ) ln ln 1

p p p puE p p u p p u

bp b b bp b bp

� � � ��

� � � �

Resumiendo: Como puede verse en el cuadro de la página siguiente, para obtener

la función de gasto podemos emplear dos caminos.

El más sencillo es obtener primero la función indirecta de utilidad, y luego invertir

esta función ( m E� ). Puesto que para obtener esta última no tenemos más que

obtener previamente las funciones convencionales de demanda, algo a lo que

estamos acostumbrados.

Esto nos evita el obtener las funciones de demanda compensada, que es el segun-

do camino y más enrevesado para obtener la función de gasto.


PRIMAL Maximización de la

utilidad

1 21 2

,

1 1 2 2

Maximizar ( , )

sujeta a

x xu x x

p x p x m� �

DUAL Minimización del gasto

1 21 1 2 2

,

1 2

Minimizar

sujeto a ( , )

x xp x p x

u x x u

�

�

CONDICIÓN DE EQUILIBRIO DEL CONSUMIDOR

1 1

2 2

UM pRMS

UM p� �

FUNCIONES CONVENCIONALES DE DEMANDA

1 1 1 2 2 2 1 2( , , ) ( , , )x d p p m x d p p m� �

Sustituyendo la condición de equilibrio

del consumidor en la ecuación de la

recta presupuestaria.

FUNCIONES DE DEMANDA COMPENSADA

1 1 1 2 2 2 1 2( , , ) ( , , )x h p p u x h p p u� �

Sustituyendo la condición de equili-

brio del consumidor en la función de

utilidad.

FUNCIÓN INDIRECTA DE UTILIDAD

� 1 2 1 1 2 2 1 2( , , ) ( , , ), ( , , )u p p m u d p p m d p p m�

Introduciendo las funciones convenciona-

les de demanda en la función de utilidad.

FUNCIÓN DE GASTO

1 2 1 1 1 2 2 2 1 2( , , ) ( , , ) ( , , )E p p u p h p p u p h p p u� �

Utilizando las funciones de demanda

compensada tal como se indica.

m E�

La función de gasto es la inversa de la función indirecta de utilidad.

DUALIDAD


PREGUNTAS DE TEST

7.1. Dada la siguiente función de utilidad 1 2 1 2( , ) a bu x x x x� , tal que 1a b� � , la función de

demanda compensada correspondiente al primer bien es:

a) 1 1 2

a

a bax p p u

b

��

.

b) 1 1 2

b

b bax p p u

b

��

� �.

c) 1 1 2

b

b bax p p u

b

��

.

d) 1 1 2

a

a abx p p u

a

��

.

RESPUESTA: c.

7.2. Dada la siguiente función de utilidad 1 2 1 2( , ) a bu x x x x� , tal que 1a b� � , la función de

demanda compensada correspondiente al segundo bien es:

a) 2 1 2

b

b abx p p u

a

��

.

b) 2 1 2

a

a abx p p u

a

��

.

c) 2 1 2

a

a abx p p u

a

��

� �.

d) 2 1 2

b

b bax p p u

b

��

.

RESPUESTA: b.

7.3. Dada la siguiente función de utilidad 1 2 1 2( , ) a bu x x x x� , tal que 1a b� � , la función de gasto

1 2( , , )E p p u es:

a) 1 2a b a bE a b p p u� �� .

b) 1 2a b a bE a b p p u� � � �� .

c) 1 2a b a bE a b p p u� .

d) 1 2a b a bE a b p p u� �� .

RESPUESTA: d.


7.4. Dada la siguiente función de utilidad 1 2 1 2( , ) a bu x x x x� , tal que 1a b� � , la función indirecta

de utilidad 1 2( , , )u p p m es:

a) 1 2a b a bu a b p p m� �� .

b) 1 2a b a bu a b p p m� � � �� .

c) 1 2a b a bu a b p p m� .

d) 1 2a b a bu a b p p m� �� .

RESPUESTA: a.

7.5. Dada la siguiente función de utilidad 1 2 1 2( , ) a bu x x x x� , tal que 1a b� � , donde la función de

gasto es 1 2a b a bE a b p p u� �� . Obtener la función indirecta de utilidad:

a) 1 2a b a bu a b p p m� �� .

b) 1 2a b a bu a b p p m� � � �� .

c) 1 2a b a bu a b p p m� .

d) 1 2a b a bu a b p p m� �� .

RESPUESTA: a.

7.6. Dada la siguiente función de utilidad 1 2 1 2( , ) a bu x x x x� , tal que 1a b� � , donde la función

indirecta de utilidad es 1 2a b a bu a b p p m� �� . Obtener la función de gasto:

a) 1 2a b a bE a b p p u� �� .

b) 1 2a b a bE a b p p u� � � �� .


d) 1 2a b a bE a b p p u� �� .

RESPUESTA: d.

7.7. Dada la siguiente función de utilidad 1 2 1 2( , ) lnu x x x bx� � , la función de demanda

compensada correspondiente al primer bien, cuando se demanda una cantidad positiva

de ambos bienes, es:

a) 21

1

1ln

pux

b b p b� � .

b) 21

1

px

p b� .


c) 11

2

px

p b� .

d) 21

1

upx

p b� .

RESPUESTA: b.

7.8. Dada la siguiente función de utilidad 1 2 1 2( , ) lnu x x x bx� � , la función de demanda

compensada correspondiente al segundo bien, cuando se demanda una cantidad positiva

de ambos bienes, es:

a) 22

1

px

p b� .

b) 2 1 2

a

a abx p p u

a

��

.

c) 22

1

1ln

pux

b b p b� � .

d) 22

1

lnpu

xb p b

� � .

RESPUESTA: c.

7.9. Dada la siguiente función de utilidad 1 2 1 2( , ) lnu x x x bx� � , la función de gasto 1 2( , , )E p p u ,

cuando se demanda una cantidad positiva de ambos bienes, es:

a) 2 2

1

lnp p

E ub bp

� ��

� �.

b) 2 2

1

ln 1p p

E ub p b

� ��

� �.


d) 2 2

1

ln 1p p

E ub p b

� ��

� �.

RESPUESTA: d.

7.10. Dada la siguiente función de utilidad 1 2 1 2( , ) lnu x x x bx� � , la función indirecta de utilidad

1 2( , , )u p p m , cuando se demanda una cantidad positiva de ambos bienes, es:

a) 2

1 2

ln 1p bm

ubp p

� � � .


b) 2

1 2

lnp bm

ubp p

� � .

c) 2

1 2

ln 1p m

up p

� � � .

d) 1 2a b a bu a b p p m� �� .

RESPUESTA: a.

7.11. Dada la siguiente función de utilidad 1 2 1 2( , ) lnu x x x bx� � , donde la función de gasto es

2 21 2

1

( , , ) ln 1p p

E p p u ub bp

� ��

� �. Obtener la función indirecta de utilidad:

a) 2

1 2

ln 1p bm

ubp p

� � � .

b) 2

1 2

lnp bm

ubp p

� � .

c) 2

1 2

ln 1p m

up p

� � � .

d) 1 2a b a bu a b p p m� �� .

RESPUESTA: a.

7.12. Dada la siguiente función de utilidad 1 2 1 2( , ) lnu x x x bx� � , donde la función indirecta de

utilidad es 21 2

1 2

( , , ) ln 1p bm

u p p mbp p

� � � . Obtener la función de gasto:

a) 2 2

1

lnp p

E ub bp

� ��

� �.

b) 2 2

1

ln 1p p

E ub p b

� ��

� �.


d) 2 2

1

ln 1p p

E ub p b

� ��

� �.

RESPUESTA: d.

FUNCIÓN INDIRECTA DE UTILIDAD Y FUNCIÓN DE GASTO

CON PREFERENCIAS DE BIENES COMPLEMENTARIOS

PERFECTOS

Partamos de la siguiente función de utilidad estándar:

1 21 2( , ) min ,

x xu x x

� ��

� � ��

Las funciones de demanda ordinarias o convencionales de ambos bienes son:

1 21 2 1 2

x m x mp p p p

� ��

� � �

Por tanto, sustituyendo en la función de utilidad, la función indirecta de utilidad resultará ser:

1 2

mu

p p� ��

Y la función de gasto, será la inversa de esta última función:

� �1 2E p p u� ��

Por otra parte, resulta obvio que dada la función de utilidad de partida, las funciones de de-

manda compensada de cada uno de los bienes serían las siguientes:

1

1

xu x u�

��

2

2

xu x u�

��

A partir de ambas funciones puede deducirse, como bien sabemos, la función de gasto obteni-

da con anterioridad.

FUNCIÓN INDIRECTA DE UTILIDAD Y FUNCIÓN DE GASTO

CON PREFERENCIAS DE BIENES SUSTITUTIVOS

PERFECTOS

��

� � � � �� u x x ax bx� � �

��

��

�

p a

p b� �� x m p x� � �

��

�

p a

p b� �� x x m p� � �

��

�

p a

p b� �� m p x p x� � �

��

��

��

�

p a

p b� �� u am p� �

��

�

p a

p b� �� u bm p� �

!�� "��"��#��

��

"��

� � ��a b p p p� � � � �

!��

�

TEMA 7 Función indirecta de utilidad con bienes sustitutivos perfectos 2/2

� � �� m p x x pu� � � �

��

� u m p� �

�� p��p��a�b��

��

� � ��

mu

p p� �

�� !� �� "

�� #�� m��E�� E��

��

�

p a

p b� �� E up a� �

��

�

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Tema 8

LA ECUACIÓN DE SLUTSKY

Resumen

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RESUMEN TEMA 8: La ecuación de Slutsky 2/13

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m/p2

m´/p2

X

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Desplazamiento

Giro

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sustitución renta

Figura 8.1. El efecto-sustitución de Slutsky y el

efecto-renta

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La ecuación de Slutsky

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La ley de la demanda

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El efecto-sustitución de Hicks

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Curvas de indiferencia m/p2

m´/p2 X m*/p2 Elección Elección

Inicial final

Z

Y

x1 Efecto- Efecto-

sustitución renta

Figura 8.2. El efecto-sustitución de Hicks y el

efecto-renta

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La curva de demanda compensada

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Relación entre la curva de demanda convencional y la curva de demanda

compensada

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la curva de demanda compensada �

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EL EFECTO-RENTA EN LA ECUACIÓN DE SLUTSKY

Tomemos la ecuación de Slutsky:

s

x x xx

p p m

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He eliminado el subíndice que hace referencia al bien 1 para simplificar la notación.

Definamos el efecto-renta del siguiente modo:

xER x

m

��

�

Nosotros podemos rescribir la ecuación de Slutsky como sigue:

s

x xdx dp xdp

p m

� ��

� ��

La cual puede interpretarse como que la variación de la cantidad demandada del bien (dx)

debida a una variación en su precio, permaneciendo constantes la renta y el precio de los res-

tantes bienes, es igual a la variación de la cantidad demandada del bien debida al efecto-

sustitución (primer término del segundo miembro) más la variación de la cantidad demandada

del bien debida al efecto-renta:

xxdp

m

��

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A su vez, esta variación de la cantidad demandada del bien debida al efecto-renta puede

interpretarse como el resultado de multiplicar los dos componentes siguientes:

a) La variación del nivel de renta real del consumidor ( xdp� ) como consecuencia de la

variación del precio del bien. Esta variación del nivel de renta real del consumidor

obviamente tiene signo opuesto a la variación del precio del bien. Si el precio del bien

se reduce, la renta real del consumidor aumenta... Y, por tanto, es igual en valor abso-

luto pero de signo opuesto a la variación compensada de la renta ( xdp ) utilizada para

TEMA 8 El efecto-renta en la ecuación de Slutsky 2/2

definir el efecto-sustitución, que se requiere para mantener constante la capacidad ad-

quisitiva del consumidor ante una variación del precio del bien.

b) La variación de la cantidad demandada del bien en relación con la variación del nivel

de renta ( x m� � ): la derivada parcial de la función de demanda del bien respecto de la

variable renta. Esta derivada es positiva si se trata de un bien normal.

En consecuencia, la variación de la cantidad demandada del bien debida al efecto-renta

resulta de multiplicar la variación del nivel de renta real de consumidor, como consecuencia

de la variación del precio de bien, por la derivada parcial de la función de demanda del bien

respecto de la variable renta. De forma que la variación de la cantidad demandada del bien

debida al efecto-sustitución tiene lugar cuando el nivel de renta real, esto es, la capacidad

adquisitiva del consumidor, permanece constante por medio de la variación compensada de

la renta; que es igual en valor absoluto pero de signo contrario a la variación del nivel de

renta real del consumidor.

Como puede apreciarse, la argumentación es más lógica definiendo el efecto-total en la

ecuación de Slutsky como la suma del efecto-sustitución más el efecto-renta. De forma que

este último adoptaría la siguiente expresión:

xER x

m

��

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donde el efecto-renta resulta ser negativo para los bienes normales.

En lugar de definir en la ecuación de Slutsky el efecto-total como el efecto-sustitución

menos el efecto-renta, de modo que este último adoptaría la siguiente expresión:

xx

m

�

�

donde el efecto-renta resulta ser positivo para los bienes normales.

NEGATIVIDAD DEL EFECTO-SUSTITUCIÓN DE HICKS

El efecto-sustitución de Hicks es negativo. Ello quiere decir que una disminución del pre-

cio del primer bien (manteniendo constante el precio del segundo bien) da lugar a un aumento

de la cantidad demandada de aquél, permaneciendo dentro de la misma curva de indiferencia,

es decir, compensando al consumidor con una disminución de su nivel de renta para que se

mantenga inalterado su nivel de bienestar.

Puesto que cualquier cesta óptima (interior) debe cumplir la siguiente condición:

1 1

2 2

UM pRMS

UM p� �

Una disminución de 1p , permaneciendo constante 2p , conlleva que la RMS en valor abso-

luto debe disminuir en cualquier caso para alcanzarse el nuevo punto de equilibrio. Y esto con

independencia de que nos mantengamos dentro de la misma curva de indiferencia, como es el

caso del efecto-sustitución de Hicks, o pasemos a otra curva de indiferencia, como en el caso

de que se mantuviera inalterado el nivel de renta del consumidor.

Dada la convexidad de las preferencias, la RMS sólo puede disminuir en valor absoluto a

lo largo de una curva de indiferencia si aumenta la cantidad consumida del primer bien y se

reduce la del segundo. Por este motivo, el efecto sustitución de Hicks es negativo, y las curvas

de demanda compensada son decrecientes.

TEMA 8 Negatividad del efecto-sustitución de Hicks 2/2

x2 curva de indiferencia

m/p2

pendiente

p1/p2 A

m’/p2

pendiente

p1’/p2

B

x1

En este gráfico se observa que el precio del primer bien ha disminuido, y, por este motivo,

la nueva recta presupuestaria se ha hecho más horizontal. El resultado es un deslizamiento del

punto de equilibrio hacia la derecha, a lo largo de la curva de indiferencia. Lo que implica

necesariamente un aumento de la cantidad consumida del primer bien debido al efecto-

sustitución de Hicks. Naturalmente el nivel de renta del consumidor se ha reducido con objeto

de compensar la disminución del precio del primer bien y, de este modo, permanecer dentro

de la misma curva de indiferencia.

Se trata de una demostración alternativa de la negatividad del efecto-sustitución de Hicks a

la contenida en el libro de texto, basada en el axioma débil de la preferencia revelada. Esta

última es más general, dado que no requiere ningún supuesto acerca de la convexidad de las

preferencias del consumidor.

De hecho, puede observarse en el gráfico anterior que las elecciones inicial (A) y final (B)

del consumidor cumplen el axioma débil de la preferencia revelada: cuando el consumidor

elige la cesta A, en la situación inicial, cuando los precios son precisamente p1, p2 y el nivel

de renta m, la cesta B no resulta asequible (es más cara); y cuando el consumidor elige la cesta

B, en la situación final, cuando los precios son 1p� , p2 y el nivel de renta m’, la cesta A no re-

sulta asequible (es más cara). Y esto precisamente es suficiente para demostrar, como se hace

en el libro de texto, que el efecto-sustitución de Hicks es negativo.

PREFERENCIAS REGULARES Y BIENES GIFFEN

En el epígrafe 6.4 del libro de Varian (página 107) se afirma que “…es posible encontrar pre-

ferencias regulares en las que la reducción del precio del bien 1 provoque una reducción de

su demanda”. Y, además, da un ejemplo gráfico: la Figura 6.10.

Esto es cierto. Las preferencias regulares (monótonas y estrictamente convexas) no dan

lugar necesariamente a bienes ordinarios, es decir, a curvas de demanda decrecientes. Pueden

dar lugar, si bien de forma excepcional, a bienes Giffen, es decir, a curvas de demanda cre-

cientes.

¿Por qué las preferencias regulares pueden dar lugar, aunque sea de forma excepcional, a

bienes Giffen?

Las preferencias regulares son, por definición, monótonas y convexas (normalmente es-

trictamente convexas). Es precisamente la convexidad de las curvas de indiferencia lo que

origina que la RMS sea decreciente en valor absoluto (preferencias estrictamente convexas), o

al menos no-creciente en valor absoluto (preferencias convexas), a medida que aumenta la

cantidad consumida del bien 1, siempre que nos mantengamos dentro de la misma curva de

indiferencia.

Obviamente, el equilibrio del consumidor con este tipo de preferencias, haciendo 2 1p � ,

conlleva que la RMS en valor absoluto es igual al precio del primer bien para cestas óptimas

interiores:

1RMS p�

Luego a lo largo de la curva inversa de demanda del bien 1, si se reduce el precio de este

último debe disminuir la RMS tomada en valor absoluto. Pero de aquí no se infiere necesa-

riamente que deba incrementarse la cantidad demandada del bien 1, es decir, que se trate de

un bien ordinario. Puede suceder que se comporte como un bien Giffen.

Efectivamente, si nos mantuviéramos dentro de la misma curva de indiferencia al reducir-

se el precio del bien 1, entonces forzosamente tendría lugar un aumento de la cantidad de-

TEMA 8 Preferencias regulares y bienes Giffen 2/3

mandada de este bien (el efecto-sustitución de Hicks siempre es negativo, al menos, no-

positivo).

Pero la reducción del precio del primer bien, permaneciendo constantes la renta del con-

sumidor y el precio del segundo bien, implica que la nueva cesta de bienes demandada por el

consumidor estará situada en una curva de indiferencia de mayor nivel de utilidad. Y esto se

debe precisamente a la incidencia del efecto-renta.

En consecuencia, todo depende del signo del efecto-renta y de su intensidad el que pueda

aparecer un bien Giffen. Es decir, en nuestro caso, que la reducción del precio del primer bien

conlleve una disminución de la cantidad demandada de este último en lugar de un aumento.

Si el bien 1 es un bien inferior (efecto-renta positivo), y el consumidor gasta una elevada

proporción de su renta en adquirirlo (efecto-renta muy intenso), es muy probable que el efec-

to-renta positivo domine al efecto-sustitución negativo y dé lugar a que el bien 1 se comporte

como un bien Giffen (efecto-total positivo).

Luego las preferencias regulares no excluyen los bienes Giffen. De forma que el hecho de

que la RMS en valor absoluto decrezca al aumentar la cantidad demandada del bien 1 al per-

manecer dentro de la misma curva de indiferencia, y que tal RMS en valor absoluto sea igual

al precio de este bien, no implica que la curva de demanda de este bien deba ser decreciente.

Puede ser creciente, si bien de forma excepcional.

De ahí que las preferencias regulares den lugar normalmente a bienes ordinarios, pero no

necesariamente; también pueden dar lugar a bienes Giffen, tal como se afirma en el libro de

texto de Varian.

Por tanto, el que la curva de demanda de un bien sea decreciente debe argumentarse ba-

sándonos en la interpretación de la ecuación de Slutsky: puesto que el efecto-sustitución es

negativo, si estamos ante un bien normal o ante un bien inferior que no sea Giffen, el efecto-

total será también negativo, por lo que la curva de demanda de un bien será normalmente de-

creciente.

Esta conclusión, como puede verse, se basa en la negatividad del efecto-sustitución, la

cual se demuestra a partir del axioma débil de la preferencia revelada. Y, por tanto, no requie-

TEMA 8 Preferencias regulares y bienes Giffen 3/3

re establecer ningún supuesto acerca la convexidad de las preferencias del consumidor, ni

acerca de la existencia de la función de utilidad.

LA CURVA DE DEMANDA COMPENSADA Y EL EFECTO-

SUSTITUCIÓN DE HICKS

Dada la función de utilidad Cobb-Douglas:

1 2 1 2( , ) a bu x x x x�

donde , una vez realizada la correspondiente transformación monótona de la función

de utilidad en caso de que fuera necesario.

1a b� �

Consideremos la función de demanda compensada correspondiente al primer bien:

1 1 1 2 1 2( , , )b

b bax h p p u p p u

b

��

�

Obtengamos la pendiente de la curva de demanda compensada, lo que conlleva que el pre-

cio del otro bien y el nivel de utilidad permanecen constantes:

1 211 2 1 2

1

( ) 0b b

b b a b bh a ab p p u b p p u

p b b

� � � � � � � ��

� �

Como puede observarse, la pendiente de la curva de demanda compensada es negativa;

por tanto, tal curva es decreciente.

Podemos simplificar aún más la expresión anterior expresando el nivel de utilidad en fun-

ción de los precios de los bienes y del nivel de renta del consumidor. Se trata de introducir en

la anterior expresión la llamada función indirecta de utilidad:

1 2a b a bu a b p p m� ��

Introduciendo, pues, esta función indirecta de utilidad en la expresión de la pendiente de la

curva de demanda compensada correspondiente al primer bien, obtenida con anterioridad,

resultará después de realizar las correspondientes simplificaciones:

TEMA 8 La curva de demanda compensada y el efecto-sustitución de Hicks 2/2

12

1 1

0h m

abp p

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Esta expresión ya se obtuvo en la Guía Didáctica (Capítulo 8, epígrafe 4 de aclaraciones y

comentarios) para el efecto-sustitución correspondiente a una función de utilidad Cobb-

Douglas, a partir de la ecuación de Slutsky, como la diferencia entre el efecto-total menos el

efecto-renta.

Luego el efecto-sustitución de Hicks no es más que la pendiente de la curva de demanda

compensada, pero eso es negativo. Y además queda comprobado que se cumple la ecuación

de Slutsky, dado que el efecto-sustitución, obtenido a partir de la curva de demanda compen-

sada, es igual al efecto-total menos el efecto-renta, estos dos últimos obtenidos a partir de la

curva de demanda convencional.

Una demostración más general de todo esto, sin necesidad de centrarse en el caso particu-

lar de una función de utilidad Cobb-Douglas, se lleva a cabo en cursos avanzados.

MINIMIZACIÓN DEL GASTO Y NEGATIVIDAD DEL EFECTO-

SUSTITUCIÓN DE HICKS

Tomemos las funciones de demanda compensada genéricas que se obtienen al resolver el

problema dual de la minimización del gasto por parte del consumidor:

1 1 1 2 2 2 1 2( , , ) ( , , )x h p p u x h p p u� �

Consideremos ahora, a partir de ambas funciones, las dos cestas de mercancías siguientes:

1 2( , )x x y 1 2( , )x x� � , demandadas por el consumidor cuando trata de alcanzar el nivel de utilidad

u y los precios de ambos bienes son respectivamente: 1 2( , )p p y 1 2( , )p p� � .

Al demandar ambas cestas de mercancías lógicamente el consumidor incurre en el gasto

mínimo para alcanzar el citado nivel de utilidad cuando están vigentes respectivamente ambos

conjuntos de precios.

Es evidente que con ambos conjuntos de precios, la minimización del gasto por parte de

consumidor conlleva el automático cumplimiento de las dos desigualdades siguientes:

1 1 2 2 1 1 2 2p x p x p x p x� �� 1 1 2 2 1 1 2 2p x p x p x p x� � � � � ��

Dado que cuando elige la primera cesta de bienes 1 2( , )x x , cuando los precios de los bienes

son 1 2( , )p p , la otra cesta de bienes 1 2( , )x x� � no puede ser más barata a los mismos precios,

puesto que está minimizando el gasto en su elección. Y cuando elige la segunda cesta de bie-

nes 1 2( , )x x� � , cuando los precios de los bienes son 1 2( , )p p� � , la otra cesta de bienes 1 2( , )x x

tampoco puede ser más barata a los nuevos precios por el mismo motivo.

Si ahora sumamos miembro a miembro ambas desigualdades, dado que todos los términos

son positivos, obtendremos:

� � � � � � � �1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2p p x p p x p p x p p x� � � � � ��

De donde reordenando términos resultará finalmente:

CAPÍTULO 8 Minimización del gasto y efecto-sustitución de Hicks 2/3

� �� 1 1 1 1 2 2 2 2 0p p x x p p x x� � � ��

1 1 2 2 0p x p x� � � � � �

En consecuencia, si consideramos que 2p no varía, y sólo lo hace 1p . Entonces la varia-

ción del precio del primer bien multiplicada por la variación de la cantidad demandada del

mismo bien cuando el nivel de utilidad del consumidor permanece constante no puede ser un

número positivo, sólo puede ser negativo o nulo. Así es como puede interpretarse la última

desigualdad anterior.

Con lo que si aumenta el precio del primer bien ( 1 0p� ), permaneciendo inalterado el

precio del segundo bien ( ), la cantidad demanda del primero, cuando mantenemos

constante el nivel de utilidad de consumidor, en ningún caso puede aumentar ( ). Lo

normal es que reduzca. De ahí que el efecto-sustitución de Hicks sea siempre no-positivo

(

2 0p� �

1 0x� �

1 1 0x p� � � ), normalmente negativo.

Como es evidente, el nivel de renta del consumidor no puede permanecer constante a me-

dida que aumenta el precio del primer bien, debe aumentar forzosamente para mantener cons-

tante el nivel de utilidad del consumidor. Se trata, como bien sabemos, de la variación com-

pensada de la renta en el sentido de Hicks.

Como es obvio, todo lo anterior puede considerarse como una segunda demostración al-

ternativa de la negatividad del efecto-sustitución de Hicks, que guarda gran semejanza con la

manejada en el libro de texto (epígrafe 8.8), basada esta última en el cumplimiento del axioma

débil de la preferencia revelada.

Esto es debido a que cuando el consumidor minimiza el gasto y elige una cesta de bienes a

los precios vigentes, cualquier otra cesta que ha desechado no puede ser más barata que la

elegida, como mucho debe ser igual de cara. Y esto equivale, desde la perspectiva de la teoría

de la preferencia revelada, a que el consumidor con su elección está revelando que prefiere la

cesta elegida a cualquier otra que le resulta asequible (que no es más cara) a los precios vigen-

tes.

CAPÍTULO 8 Minimización del gasto y efecto-sustitución de Hicks 3/3

Por este motivo, siguiendo ambos caminos: el establecido como consecuencia de la mini-

mización del gasto por parte del consumidor a los precios vigentes, y el resultante de aplicar

el axioma débil de la preferencia revelada, se llega al mismo resultado: la deducción de la

negatividad del efecto-sustitución de Hicks.

resumenes microeconomia uned t2 a t8

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