NMEROS REALES

CAPTULO 2: EL CONJUNTO DE LOS NMEROS REALES2.2. EL EJE REAL. LOS NMEROS REALES NEGATIVOSAl nmero cero no lo consideramos ni positivo ni negativo, por lo tanto no le antepondremos ningn signo.

El conjunto de los nmeros reales, que simbolizamos con R, estar integrado por los conjuntos de los nmeros reales negativos y el conjunto de los nmeros reales no negativos.

Simblicamente: R = (

A la recta numrica en donde se representa dicho conjunto R la llamaremos eje real.

2.3. ORDEN EN RDecimos que a es mayor que b y simbolizamos a > b si el punto representativo de a sobre el eje real est a la derecha del punto representativo de b.

Decimos que a es menor que b y simbolizamos a < b si el punto representativo de a sobre el eje real est a la izquierda del punto representativo de b.

Decimos que a es igual que b y simbolizamos a = b si el punto representativo de a sobre el eje real coincide con el punto representativo de b.

Dados dos nmeros a y b, puede ocurrir una, y slo una, de las tres posibilidades:

a < b a > b a = bA esta propiedad se la llama Ley de tricotoma.2.4. VALOR ABSOLUTO EN R

Dado un nmero real x cualquiera, definimos el valor absoluto de x, y lo indicamos |x| a la distancia existente entre el punto representativo de dicho nmero sobre el eje real y el punto representativo de cero.2.5. OPUESTO DE UN NMERO REALDado un nmero real x cualquiera, llamamos opuesto de dicho nmero y lo indicamos x, al nmero real cuyo punto representativo en el eje real es simtrico respecto del origen, del punto representativo del primero.

Podemos expresar el valor absoluto de un nmero real de la siguiente manera:

Ello nos permite redefinir el concepto de opuesto de un nmero real de la siguiente manera:

Si a ( b, a es opuesto de b ( |a| = |b|2.6. UN SUBCONJUNTO DE LOS REALESLOS NMEROS ENTEROS

Llamamos conjunto de los nmeros enteros (al que indicaremos Z) al subconjunto de elementos de R que cumplen con la condicin que su valor absoluto es un elemento de N0.

Simblicamente: Z = {x / x ( R ( |x| ( N0} = {. - 4; - 3; - 2; - 1; 0; 1; 2; 3; 4....}Representamos algunos elementos de de Z en el eje real

LOS NMEROS RACIONALES

Llamamos conjunto de los nmeros racionales (al que indicaremos Q) al subconjunto de elementos x de R que se pueden expresar en forma de fraccin con p ( Z ( q ( Z {0}Los nmeros racionales en su forma decimal tienen infinitas cifras decimales peridicas.LOS NMEROS IRRACIONALES

Llamamos conjunto de los nmeros irracionales (al que indicaremos I) al subconjunto de elementos x de R que en su forma decimal tienen infinitas cifras decimales no peridicas.

En el diagrama se muestra la relacin entre los conjuntos numricos R, Q , I , Z , N0 , N.

CAPITULO 3: SUMA, MULTIPLICACIN, RESTA Y DIVISIN EN LOS REALES3.1. SUMA EN R

a; b ( R; a + b = c ; a y b se llaman sumandos; c se llama suma o adicinLa suma de dos nmeros reales: del mismo signo, es el nmero que posee el mismo signo que el de los sumandos y cuyo valor absoluto es la suma de los valores absolutos de los sumandos dados. de distinto signo es el nmero que posee el mismo signo que el del sumando de mayor valor absoluto y cuyo valor absoluto es la resta de los valores absolutos de los sumandos dados; y en el caso en que los dos tengan el mismo valor absoluto es cero. En smbolos: a + (-a) = (-a) + a = 0 donde al menos uno de los sumandos es cero da como resultado el otro sumando, en smbolos. Simblicamente: a + 0 = a, a. Resulta entonces que el cero es elemento neutro en la suma de nmeros reales.

Propiedades de la suma de nmeros realesConsideramos las propiedades de la suma para todo nmero real a, b y c: Ley de cierre: a; b ( R se tiene que a + b ( R

Propiedad conmutativa: a + b = b + a

Propiedad asociativa: (a + b) + c = a + (b + c) Propiedad de la existencia del elemento simtrico (OPUESTO):Dado un nmero a ( R, existe b ( R tal que a + b = 0. Al nmero b se lo llama opuesto de a. En smbolos: a ( R, b = - a / a + b = 0 Propiedad de la suma en las igualdades:Sumando a ambos miembros de una igualdad un mismo nmero, se obtiene otra igualdad. En smbolos: a = b ( a + c = b + cEstrategias para resolver ecuaciones:Para resolver ecuaciones debemos encontrar todos los valores de la variable que la hacen cierta. La ecuacin obtenida al sumar a ambos miembros de una igualdad un mismo nmero, tiene la misma solucin que la original. Esta ecuacin se llama equivalente a ella.

3.2. MULTIPLICACIN EN R

a; b ( R; a . b = c ; a y b se llaman factores; c se llama productoEl producto de dos nmeros reales: del mismo signo, es el nmero positivo cuyo valor absoluto es la multiplicacin de los valores absolutos de cada uno de los nmeros dados. de distinto signo, es el nmero negativo cuyo valor absoluto es la multiplicacin de los valores absolutos de cada uno de los nmeros dados. de los cuales al menos uno es cero, da por resultado cero. En smbolos; a ( R, a . 0 = 0 . a = 0Propiedades de la multiplicacin de nmeros realesConsideramos las propiedades de la multiplicacin para todo nmero real a, b y c.

Ley de cierre: a; b ( R, se tiene que (a . b) ( R

Propiedad conmutativa: a . b = b . a

Propiedad asociativa: (a . b) . c = a . (b . c) Existencia de elemento neutro:

Dado un nmero a ( R existe 1 ( R tal que a . 1 = 1 . a = a Propiedad de la existencia del elemento simtrico (RECPROCO o INVERSO MULTIPLICATIVO):

Dado un nmero a ( 0 existe b ( R tal que a . b = 1. Al nmero b se lo llama recproco de a. En smbolos: a ( 0 b = / a . b = 1

Propiedad de condicin de anulacin del producto: a . b = 0 ( a = 0 v b = 0

Propiedad de la multiplicacin en las igualdades:

Multiplicando a ambos miembros de una igualdad por un mismo nmero se obtiene otra igualdad. Simblicamente: a = b ( a . c = b . cResumiendo:SUMAPropiedadMULTIPLICACIN

a + b ( RLey de Cierrea . b ( R

a + b = b + aProp. Conmutativaa . b = b . a

a + (b + c) = (a + b) + cProp. Asociativaa . (b . c) = (a . b) . c

a + 0 = 0 + a = aElemento Neutroa . 1 = 1 . a = a

a ( R, (- a) / a + (- a) = 0Existencia del Opuesto

Existencia del Recprocoa ( 0 / a . = 1

Propiedad distributiva de la multiplicacin con respecto a la suma

a . (b + c) = a . c + b . c

Transforma multiplicaciones en sumas

Transforma sumas en multiplicaciones (Factoreo)

Mltiplos de x con x ( Z es el conjunto formado por todos los nmeros que resultan de multiplicar a x por un nmero entero.Recuerda: El resultado de las multiplicaciones se indica con un factor numrico seguido de los literales ordenados alfabticamente.Recuerda: Los sumandos que tienen la misma parte literal reciben el nombre de trminos semejantes. Como observamos, la suma de trminos semejantes se puede reducir a un solo trmino.Recuerda: factorizar (o factorear) una expresin algebraica es transformarla en producto de dos o ms expresiones algebraicas.

Ejemplo: x2 . y2 + x2 . y + x2 = x2 . (y2 + y + 1)En este caso se dice que se ha sacado factor comn.3.3. ALGUNAS PROPIEDADES IMPORTANTES

Propiedades del opuesto de un nmero El opuesto de un nmero es el producto de (-1) por dicho nmeroEn smbolos: a ( R; (-a) =(-1) . a

El opuesto de una suma de dos nmeros es la suma de los opuestos de dichos nmerosEn smbolos: a; b ( R: - (a + b) = (-a) + (-b) El producto de los opuestos de dos nmeros es igual al producto de dichos nmerosEn smbolos: a; b ( R: (-a) . (-b) = a . b El producto del opuesto de un nmero por otro es igual al opuesto del producto de los nmeros dadosEn smbolos: a; b ( R: (-a) . b = -(a . b) El opuesto del opuesto de un nmero es dicho nmeroEn smbolos: a ( R: -(-a) = a El recproco del producto de dos nmeros es el producto de los recprocos de dichos nmerosEn smbolos: Si p ( 0, q ( 0 (

El recproco del recproco de un nmero no nulo es igual a dicho nmeroEn smbolos: a ( 0;

La ecuacin obtenida al multiplicar a ambos miembros de una igualdad por un mismo nmero no nulo, tiene la misma solucin que la original. sta ecuacin se llama equivalente a la primera.3.4. RESTA EN R

a; b ( R:

a - b = x ( x + b = a

a recibe el nombre de minuendo, b recibe el nombre de sustraendo, x recibe el nombre de diferenciaAlgoritmo para la resta en R: a b = a + (b)

Observacin: Es importante notar la diferencia de significados de un mismo smbolo matemtico, el guin (), ya que este mismo smbolo puede significar: opuesto, negativo o resta. Tal es el caso de la expresin: ( 2) ( p)3.5. DIVISIN EN R

a ( R ( b ( R {0}, se tiene a : b = = c ( c . b = aa recibe el nombre de dividendo, b recibe el nombre de divisor, c recibe el nombre de cociente.

A la expresin tambin se la suele llamar razn entre a y b.

Algoritmo para la divisin en R: , b ( 03.6. PROPIEDADES IMPORTANTES!!!!!!

Propiedad 1:

, con b ( 0 ( d ( 0Propiedad 2:

, con b ( 0 ( c ( 0Propiedad 3:

, con b ( 03.7. RAZONES

La razn entre dos nmeros reales a y b, siendo b ( 0, es el cociente .

a: antecedente de la razn

b: consecuente de la razn

3.8. PROPORCIONESLlamamos proporcin a la igualdad entre dos razones.Simblicamente: , b ( 0 ( d ( 0 es una proporcin.

Las proporciones se leen de la siguiente manera: a es a b como c es a d.Otra forma de escribir la proporcin: a ( b = c ( dPor tal motivo a a y d se los llama extremos de la proporcin, y a b y c medios de la proporcin.

PROPIEDADES DE LAS PROPORCIONES

Propiedad 1En toda proporcin el producto de los medios es igual al producto de los extremos.

Simblicamente:

( a . d = b . c; b ( 0 ( c ( 0

Propiedad 2

En toda proporcin se verifica que la suma del antecedente y consecuente de la primera razn es a su consecuente como la suma del antecedente y consecuente de la segunda razn es a su consecuente.

Simblicamente: ( ; b ( 0 ( c ( 0

Propiedad 3En toda proporcin se verifica que la resta entre el antecedente y consecuente de la primera razn es a su consecuente como la resta entre el antecedente y consecuente de la segunda razn es a su consecuente.Simblicamente: ( ; b ( 0 ( c ( 0

Serie de razones iguales

Se llama serie de razones iguales a toda expresin de la forma:

Propiedad 4

En toda serie de razones iguales se verifica que:

(

bi ( 0 ( b1 + b2 + b3 + . + bn ( 03-9 ALGO MS SOBRE ECUACIONES

En toda expresin del tipo a . x = b, donde se deba encontrar el valor de x que verifique la igualdad, puede suceder:Si a ( 0, en cuyo caso x = , decimos que la ecuacin es compatible con solucin nica, y se indica S= ,donde S es el conjunto solucinSi a = 0, o sea 0 . x = b, segn el valor de puede ser:

b = 0, la ecuacin es 0 . x = 0, x puede tomar cualquier valor y la ecuacin recibe el nombre de compatible con infinitas soluciones(indeterminada) y el conjunto solucin se indica S = R b ( 0, la ecuacin es 0 . x = b, no existe ningn valor de x que verifique la igualdad y la ecuacin recibe el nombre de ecuacin incompatible y el conjunto solucin se indica S = (3-10 SISTEMAS DE ECUACIONES

x + y = 50

2x + y = 87

Debemos encontrar un valor de x y uno de y que hagan vlidas ambas ecuaciones.

Es decir hemos de resolver el sistema encontrando una solucin comn a las dos ecuaciones.a) Mtodo de sustitucin

Se despeja una incgnita en una de las ecuaciones y se sustituye en la otra.b) Mtodo de igualacin

Se despeja la misma incgnita en ambas ecuaciones y se igualan las expresiones resultantes.Nota: No siempre al resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas encontrars una nica solucin del mismo._1495352561.unknown

_1495353354.unknown

_1495438432.unknown

_1495438802.unknown

_1495439324.unknown

_1495439439.unknown

_1495438600.unknown

_1495437836.unknown

_1495438324.unknown

_1495437592.unknown

_1495352998.unknown

_1495353207.unknown

_1495352815.unknown

_1495348314.unknown

_1495351724.unknown

_1495352487.unknown

_1495351591.unknown

_1495342452.unknown

_1495347042.unknown

_1495344724.unknown

_1495345964.unknown

_1495342402.unknown