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Resumen Final de Algebra

UNIDAD I: Conceptos fundamentalesEl álgebra y su área de conocimientos. Razones de su aprendizaje en el área de las ciencias económicas. Sus aportes.

Las ciencias económicas tratan conceptos que son de naturaleza cuantitativa (pueden contarse o medirse), por lo que gran parte del análisis económico requiere de la ayuda de las matemáticas, la cual le provee de una estructura sistemática y lógica.

Decimos “las matemáticas” como la ciencia que reúne una serie de ramas que han tenido distinta evolución histórica, pero cuyas fronteras no están tan delimitadas, porque se nutren mutuamente.

Álgebra puede definirse como una generalización de la aritmética, ya que las cantidades se representan mediante símbolos de dos tipos: números (cantidad conocidas y determinadas) y letras (cantidades desconocidas o variables), lo cual sirve para resolver ciertos problemas, donde desconocemos el resultado, pero tenemos claro que debe cumplir ciertas condiciones. Este es uno de sus mayores aportes, ya que permite: Conseguir o afirmar las habilidades que integran la reflexión crítica. Capacitarse en el análisis, identificación y evaluación de las soluciones de diferentes problemas. Practicar, agilizar y afirmar el razonamiento lógico deductivo. Alcanzar y distinguir soluciones teóricas de soluciones viables y reales. Asumir que un mismo problema puede tener múltiples estrategias de solución, y que algunas pueden resultar más eficientes que otras.Concepto de número y los campos numéricos

El álgebra para afrontar los problemas utilizar un lenguaje propio, formado por símbolos (representan cantidades a través de números o letras) y signos.

El desarrollo de los campos numéricos ha sido un proceso largo en el tiempo, que comenzó con los primeros números que el hombre utilizó: 1, 2, 3, etc., los que reciben el nombre de Números Naturales. Este conjunto se simboliza con le letra N, tiene como primer elemento el número 1 y presenta la cualidad que todo número que pertenece a N tiene uno que le sigue en la sucesión, por lo que podemos concluir que este grupo: tiene un único primer elemento, no presenta bifurcaciones y es infinito.

Ahora bien, si comparamos dos números naturales entre sí, se obtendrá una (y sólo una) de 3 posibilidades: Que el primero sea mayor que el segundo.

Que ambos números sean iguales.

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Que el primero fuese menor que el segundo.Esta circunstancia se denomina ley de tricotomía: el cumplimiento de una de

las alternativas elimina automáticamente a las otras 2 (las posibilidades son excluyentes e/ sí).

¿Es un conjunto cerrado? Primeramente, un conjunto será cerrado respecto de una operación determinada, cuando al realizar dicha operación con elementos cualesquiera de dicho conjunto, su resultado se encuentra SIEMPRE dentro del mismo conjunto en análisis.

Ante ello, el conjunto de los números naturales es cerrado respecto de la suma, la multiplicación (suma abreviada) y la potenciación (producto abreviado). No obstante, en la resta esto no es así, ya que si al restar, el minuendo (primer término) resulta ser igual al sustraendo (segundo término), el resultado es NADA, lo cual se representa con el símbolo 0 (cero), produciéndose así la primera ampliación del campo numérico N: el nuevo grupo estará integrado por el conjunto N y el 0 (cero), que se simboliza como N* o N0.

No obstante, el nuevo grupo, aún no lograba ser cerrado respecto de la resta, ya que si el minuendo es menor que el sustraendo, la diferencia no puede resolverse en el mismo grupo. Esto lleva a crear un nuevo grupo de números: los números negativos, cuyo grupo está formado por el mismo ordenamiento que los números naturales, pero precedidos por el signo menos. Al reunir los números naturales (positivos), el 0 (cero) y los números negativos, se logra un nuevo conjunto denominado Números Enteros (Z).

Este nuevo grupo también es cerrado respecto de la suma, el producto y la potencia (con exponente natural), pero, a diferencia de los naturales y los naturales ampliados, este conjunto sí es cerrado respecto de la resta. Ahora ni analizamos la división, para que el conjunto resulte cerrado es necesario que el divisor estuviera contenido en el dividiendo un número exacto de veces (que el dividendo resulta divisible por el divisor, o que el dividendo resultara ser múltiplo del divisor). Esto no siempre ocurre, por lo que el campo de los números enteros es cerrado respecto de la división. Dicha situación nos lleva a la creación de un nuevo grupo de números que satisfaga tal condición, necesidad de la cual nacen los números fraccionarios, los cuales representan el cociente entre dos números enteros donde el divisor no puede ser nulo y donde el dividendo no resulta ser múltiplo del divisor. Las reunión de campo de los Números enteros más los nuevos (fraccionarios), forma un nuevo campo denominado Números Racionales (Q).

Este nuevo conjunto, se suele expresar a través de una nomenclatura especial que liga al dividendo y al divisor por medio de una línea oblicua u horizontal, o bien dos puntos. En las mimas, al número que actúa como dividendo suele denominárselo numerador y, al divisor, como denominador; llamando fracción a la expresión completa.

Una característica muy importante, y que diferencia a este conjunto de los anteriores, está en que los números racionales conforman un campo denso:

entre dos números racionales cualquiera existe siempre otro número racional.

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Lo que podría expresarse como:

Sin embargo, también pueden expresar de otra forma: la expresión decimal de un número racional, o bien, número decimal.

No obstante, existen circunstancias como: 1/3 = 0,3333…, en las cuales, se produce una repetición sucesiva e ininterrumpida de una o más cifras luego de la coma. Estas expresiones se denominan expresiones decimales periódicas, que podrán ser mixtas (tiene una parte decimal inicial que no sea repite) o puras (toda la parte decimal se repite).

Este grupo de los números racionales resulta ser cerrado respecto de la suma, la resta, el producto, la potenciación (con exponente entero) y la división (con la condición de que el divisor no sea cero, ya que sería indeterminado; en cambio si ambos son nulos, el cociente es infinito) (MIRAR LIBRO).

Ahora bien si analizamos la radicación, podemos observar que existen casos donde su resolución “escapa” del campo numérico que estamos analizando. Por ejemplo, la raíz cuadrada de 2. Es por ello que el campo de los números racionales NO es cerrado respecto de la radicación. Lo que nos lleva a crear un nuevo grupo de números denominados números irracionales, los cuales resultan ser las soluciones no racionales de radicaciones y aquellos números que no pueden expresare como el cociente entre dos números enteros.

A este nuevo campo numérico se lo denomina Números Reales (R).Números Reales y sus propiedades (MIRAR TODAS LAS DEMOSTRACIONES) Propiedad transitiva de la igualdad : si un número es igual a otro y éste es igual a un tercero, entonces este último es igual al primero: a=b y b=c, entonces c=a o a=c. Propiedades asociativas : existen dos, la de la adición (suma) y la de la multiplicación, que dicen, respectivamente, que cuando se tienen que sumar o multiplicar dos o más números, se pueden agrupar en cualquier forma, logrando siempre el mismo resultado. Propiedad conmutativa : para la suma o el producto de dos o más números, el orden en que aparezcan los mismos es indiferente. Elementos neutros : un elemento neutro es aquel que con su presencia, no afecta al resultado de una operación. En la suma lo será el cero (0), y en la multiplicación, el uno (1). Inversos : los elementos inversos actúan de a pares y se neutralizan entre sí.o En la suma : se denominan inversos aditivos u opuestos, y todo número tiene su inverso, que no es sino el mismo número pero con signo contrario. Los opuestos son aquellos números cuya suma de por resultado el elemento neutro, en tanto que este elemento es opuesto de sí mismo.o En la multiplicación : se denominan inversos multiplicativos, y todo número a (distinto de cero) tiene un único inverso, que es a-1 o 1/a. El 0 (cero) no

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tiene inverso, ya que el cociente 1/0 es indeterminado. Al igual que en la suma, el producto de los inversos multiplicativos da como resultado el elemento neutro de esta operación, el cual es inverso multiplicativo de sí mismo.

Propiedad distributiva : primeramente hay que si trabajamos con sumas y multiplicaciones sin paréntesis, primero se realizan las multiplicaciones y luego se suman los resultados. Ahora bien, si se utilizan paréntesis, se indica que primeramente deben realizarse las operaciones que se encuentren entre ellos. Sin embargo, no siempre es necesario ello. Por ejemplo aquí (4 + 3) x 5, es posible efectuar el producto entre el factor que se encuentra fuera del paréntesis por cada uno de los sumandos que aparecen dentro del mismo, y luego sumar los productos. Esta propiedad se denomina propiedad distributiva del producto respecto de la suma, la cual puede ser tanto cuando el factor se encuentra a la izquierda o a la derecha del paréntesis, y podría explicarse como:

a (b + c) = a b + ac o bien (b + c) a = b a + c aComo la resta puede ser definida en términos de suma (a – c = a + [-c]),

también se verifica la propiedad distributiva del producto respecto de la resta.Como la división puede ser definida en términos de multiplicación, ya que

a:b = a*b-1, se verifica la propiedad distributiva de la división respecto de la suma o la resta, aunque solamente podrá a derecho, es decir, cuando la suma o resta es el dividendo. Esto podría verse como: (b + c) : a = b:a + c:a .Operaciones elementales con números reales

En álgebra para representar cantidades se utilizan dos tipos de símbolos: los números y las letras. Pero además, también se utilizan signos, los cuales son de tres tipos: Signos de relación : se utilizan para indicar precisamente una relación entre dos cantidades. Los más usados son = ≠ > < ≥ y ≤. P/definir una relación entre dos números es necesario compararlos, y ante ello es importante definir lo que se llama “valor absoluto”: valor representativo de un número prescindiendo su signo. O dicho de otra manera, el valor absoluto de un n° real es la distancia entre éste y el cero en la recta numérica.

Al comparar dos números, pueden lograrse 3 conclusiones excluyentes entre sí (Ley de tricotomía). Al comparar dos números puede ocurrir que:o Que ambos números sean positivos: será mayor aquel cuyo V.A. resulte superior.o Que ambos números sean negativos: será mayor aquel cuyo V.A. sea inferior.o Que uno fuese positivo y otro negativo: sin duda, será mayor el positivo.o Que ambas expresiones tengan igual V.A. e igual signo: serán iguales.

Signos de agrupación : paréntesis, corchetes, y llaves, que sirven para indicar que la operación encerrado en su interior debe efectuarse en primer lugar. Signos de operación : se utilizan para identificar las operaciones. Dentro de las operaciones matemáticas se consideran algebraicas la suma, resta,

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multiplicación, división potenciación y radicación. El resto, son no algebraicas o trascendentes. Es importante distinguir entre los signos de operación y los signos de los números a utilizar en la misma.Regla de los signos para la suma y la resta de números

a)Para sumar dos números con diferente signo, se restan los valores absolutos (considerando como minuendo al mayor) y luego al resultado se le coloca el signo del número con mayor V.A. Si los números coinciden en V.A. el resultado será 0.b)Para sumar dos números del mismo signo, se suman los valores absolutos, y se le coloca al resultado el signo que acompaña a ambos números.c)Extraer de una expresión los paréntesis precedidos por un signo de operación positivo (suma), implica eliminar los paréntesis y el signo positivo que los precedía.d)Extraer de una expresión los paréntesis precedidos por un signo de operación negativo (resta), implica eliminar los paréntesis y el signo que los precedía, y además, cambiar el signo a los números que estaban encerrados entre los mismos.

Regla de los signos en el producto y cociente de números:a)El producto o cociente entre dos números arroja como resultado un número que se obtiene del producto o cociente de los V.A. de los números que intervienen en la operación, siendo su signo positivo si ambos números resultan tener igual signo, y negativo en caso contrario.b)Si se multiplican varios números entre sí, el resultado será igual al producto de los V.A. de todos los factores, al cual se le colocara signo positivo cuando la cantidad de cifras con signo positivo sea nula o par, o signo negativo cuando sea impar.

Lenguaje textual o coloquialEl lenguaje que hablamos o escribimos cotidianamente es el lenguaje textual

o coloquialEn cambio, el lenguaje matemático requiere una cierta estructura simbólica con lógica y orden. El algebra, utilizando símbolos y signos, puede traducir un texto (oral u escrito) a expresiones matemáticas. Por ello, se denomina lenguaje algebraico o simbólico.

La traducción del lenguaje coloquial al simbólico, requiere de una serie de pasos: Análisis de la situación descripta por el texto. La definición de las incógnitas, valores desconocidos o variables. La identificación de esos valores no conocidos (colocar una letra a c/ incógnita) El planteo simbólico de lo leído o escuchado.

La traducción requiere siempre de una comprobación: tomar el lenguaje simbólico y llevarlo al lenguaje coloquial.

También puede solicitarse traducir una expresión en lenguaje simbólico a lenguaje coloquial, para lo cual nos será vital saber que representan las letras

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y los símbolos.Por último, es necesario aclarar que existe un tercer lenguaje, muy utilizado

en distintos ámbitos, que es el lenguaje gráfico. Este hace referencia a aquel gráfico o dibujo representativo de conceptos cuantitativos (representan cantidades, números o valores).Ecuación. Concepto. Identidad. Concepto

Cuando estamos en presencia de dos expresiones escritas en lenguaje algebraico unidas o vinculadas por un signo igual, estamos ante una igualdad. Entonces, una igualdad es la relación entre dos expresiones diferentes de una misma cantidad. En ellas aparecen números y/o letras que representan variables, signos de operación y el signo de relación =.

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Ahora bien, existen dos tipos de igualdades. Identidad : la relación de igualdad resulta verdadera para cualquiera valor que se le atribuya a las variables. Cuando se escribe una identidad se está realizando una afirmación, por lo que las mismas se demuestran. Ecuación : la relación de igualdad se satisface solo cuando se le asigna a las variables, determinados valores (o existen ciertos valores que no verifican la igualdad). Cuando se escribe una ecuación, se está realizando una pregunta, por lo que se resuelven.

En fin, una ecuación es una proposición que expresa la igualdad condicional entre dos expresiones.Desigualdades. Concepto

Cuando comparamos dos números o expresiones, puede suceder que ambos coincidan o que sean diferentes. Dos números o dos expresiones algebraicas relacionadas entre sí por el signo > < forman una desigualdad, la cual podrá ser no estricta, no rigurosa o indeterminada cuando acepten el signo igual (≤ o ≥), o será estricta, rigurosa o determinada cuando no los acepte.

Si dos más desigualdades presentan el mismo signo, si dicen que tienen igual sentido, mientras que si tuvieran signos diferentes, tendrían sentidos opuestos.

Al igual que las igualdades, las desigualdades pueden clasificarse en absolutas (se cumplen para cualquier valor que adopten las variables) o condicionales/relativas (se cumplen cuando las variables adoptan determinados valores). Estas últimas suelen recibir el nombre de inecuaciones.Utilización de ecuaciones en la solución de problemas

Cuando se desconocen los resultados de ciertas situaciones, pero se sabe que deben satisfacer una serie de condiciones, las mismas pueden expresarse utilizando el lenguaje algebraico, de manera que, realizando ciertas operaciones se puede encontrar la solución.

Para ello se requiere seguir una serie de pasos: El análisis de la situación descripta por el texto. La definición de las incógnitas o valores desconocidos. La identificación de esos valores no conocidos.

La estimación del resultado probable.

El planteo simbólico del problema.

La determinación del valor de cada incógnita.

La verificación del resultado.Potenciación y Radicación con números reales (MIRAR DEMOSTRACIONES)

La potenciación podría definirse como una expresión abreviada del producto, ya que se denomina potencia enésima de un número b al producto de n factores iguales a b.

b*b*b*b*b…*b (n veces) = bn, donde b es la base de la potencia y n (que indicia las veces que se repite la base como factor) se llama exponente. La

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base puede ser cualquier número real, mientras que el exponente solo lo limitares al campo racional.

Cuanto estamos frente a una potencia de un número b con exponente negativo, ello es equivalente a una fracción cuyo numerador es 1 y el denominador una potencia de la misma base b, pero con exponente opuesto. Obviamente cuando el exponente es negativo, la base no puede ser 0, ya que el cociente seria indeterminado.

Ahora bien, si el exponente de la potencia fuese un número fraccionario, la expresión también puede ser expresada con el signo radical, de la siguiente manera:

La radicación de índice n de un número a es la operación que consiste en encontrar un número b tal que elevado a la potencia n nos dé como resultado a.

El número a se llama radicando, y puede ser cualquier número. El índice n será un número natural y el número b un real que recibe el nombre de raíz.Propiedades de la potenciación (con exponente natural).a)Propiedad uniforme : elevando a una misma potencia ambos miembros de una igualdad, se obtiene otra igualdad.b)Propiedad distributiva con respecto a la multiplicación : la potencia enésima de un producto de dos o más factores es igual al producto de las potencias enésimas de cada uno de los factores.c)Propiedad distributiva con respecto a la división : la potencia enésima de un cociente, es igual al cociente de las potencias enésimas del dividendo y del divisor.d)Producto de potencias de igual exponente : el producto de potencias de igual exponente es igual a otra potencia del mismo exponente cuya base es el producto de las bases de las potencias dadas (propiedad inversa de la b).e)Cociente de potencias de igual exponente : el cociente de potencias de igual exponente es igual a otra potencia del mismo exponente cuya base es el cociente de las bases de las potencias dadas (propiedad inversa de la c).f) Producto de potencias de igual base : el producto de potencias de igual base es igual a otra potencia de la misma base cuyo exponente es la suma de los exponentes de las potencias dadas.g)Cociente de potencias de igual base : el cociente de potencias de igual base es igual a otra potencia de la misma base cuyo exponente es la resta de los exponentes de las potencias del dividendo y divisor.h)Potencia de una potencia : la potencia de una potencia es igual a otra potencia de la misma base y cuyo exponente es el producto de los exponentes dados.i) Potencia con exponente par : el resultado de toda potencia de exponente par es positivo con independencia del signo de la base.

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j) Potencia con exponente impar : el resultado de toda potencia de exponente impar conservar el signo de la base.

Si ampliamos lo dicho a potencias con exponente entero, las propiedades nombradas siguen siendo válidas, excepto en el caso de que el exponente sea negativo, donde será necesario que la base no sea nula. Ahora, al ampliar el campo numérico del exponente, se agregan nuevas propiedades:k)Potencia con exponente nulo : toda potencia de exponente cero, cualquiera sea el valor de la base, pero con la condición de que no sea nula, es igual a uno.

Ahora si incorporamos los números fraccionarios como exponentes, es importante destacar que toda potencia con dicho exponente resulta equivalente a la raíz de índice coincidente con el denominador de la fracción y radicando igual a la base de la potencia original elevada al numerador de la fracción.

Ante este tipo de exponente son válidas las propiedades desde a) hasta h).En cuanto a las nuevas propiedades de la radicación o de la potencia con

exponente fraccional, se nombran:a)La raíz de índice impar tiene el mismo signo que el radicando.b)La raíz de índice par de un número positivo tiene dos resultados reales iguales en valor absoluto, pero de distinto signo.c)La raíz de índice par de radicando negativo no tiene solución dentro del campo de los números reales.Operaciones sin solución en el campo numérico real

Es necesario saber que el campo de los reales no es último, ya que este presenta ciertas dificultades con la operación de radicación, ya que es imposible encontrar un número que elevado a un exponente par de como resultado un número negativo.

Esta dificultad nos lleva nuevamente a la necesidad de ampliar el campo numérico, creándose un nuevo grupo de números: los números imaginarios, que son aquellos que permiten resolver la situación planteada como irresoluble en el campo real.

El nuevo campo numérico se denomina Números Complejos (C).

UNIDAD II: FuncionesFunción. Concepto.

Se suele considerar a la función como un tipo especial de correspondencia entre los elementos de dos o más conjuntos. El concepto de función formaliza la idea de asignación o correspondencia.

Sin embargo, no toda relación entre elementos de distintos conjuntos representa una función, desde el punto de vista matemáticamente estricto. Para que la relación entre los elementos de dos conjuntos describa una función, a cada elemento del primero conjunto (dominio) le debe corresponder uno y solo un elemento en el segundo conjunto (rango).

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En fin, la definición sería: una relación entre elementos de dos conjuntos, que se denominan dominio y rango, describe una función si a cada elemento del dominio le corresponde uno (existencia) y sólo un (unicidad) elemento del rango.

La misma puede ser definida o expresada de diferentes maneras: Definición a través de un enunciado Definición a través de tablas Definición a través de pares ordenados (en este caso, el par ordenado será un par de elementos cerrados entre paréntesis y separados entre sí por un punto y coma, de tal manera que el primer componente pertenece al dominio y el segundo, al rango. Definición a través de fórmulas : para ello se utiliza la notación funcional, lo cual implica darle un nombre a la función (que por lo general es una sola letra minúscula como la f). Definición a través de gráficos Variables y constantes

Al definir una función surgen dos tipos de magnitudes: las variables (que pueden adoptar diferentes valores) y las constantes (en la situación planteada no varían, sino que asumen un único valor).

Ahora bien, dentro de las variables, es necesario hacer una diferenciación, ya que una depende o está en función de otra u otras. En una función y = f(x), decimo que y depende del valor que asuma la variable x, por lo que la y recibe el nombre de variable dependiente mientras que la x, el de variable independiente o argumento de la función.

Las letras que se utilicen para representar las variables dependiente e independientes de las funciones no tienen ninguna relevancia, pudiéndose utilizar cualquiera.

Si analizamos la definición de una función, podríamos afirmar que: para que la relación entre las variables determine una función, es necesario que a cada valor de la variable independiente le corresponda uno y sólo un valor de la variable dependiente.

Clasificación de las variables (s/ los valores que puedan asumir): Continuas: aquellas cuyos valores pueden lograrse a través de una medición, o sea, cuando pueden asumir cualquier valor real dentro de un intervalo dado. Esto no permite decir por un lado que la variable puede asumir valores posibles entre dos enteros consecutivos, y por otro, que dados dos valores cualesquiera y distintos, se podrá encontrar siempre un nuevo valor que resulte estar entre éstos (sin necesariamente encontrarse en la mitad). La gráfica de estas variables es una línea sin interrupciones. Discretas: aquellas que solo asumen valores enteros. Dados dos valores enteros sucesivos no hay posibilidad que entre ellos la variable pueda asumir valor alguno. La gráfica en este caso estaría formada por aislados o líneas discontinuas.Condiciones que conforman las funciones

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Para que exista una función son necesarios tres elementos: Un conjunto denominado dominio. Un conjunto denominado rango. Una relación de dependencia, asignación o correspondencia entre ellos.

El dominio en la función será el conjunto de valores posibles que puede asumir la variable independiente, mientras que el rango, el de la variable dependiente. La regla de dependencia determina la forma en que los elementos del dominio se relacionan con los del rango.

NO estaríamos frente a una función cuando: Algún elemento del dominio no se vincule con un elemento del rango. Uno o más elementos del dominio se relacionen con más de un elemento del rango. Es decir, cuando no se cumpla el requisito de existencia y/o el de unicidad.Funciones simples y de más de dos variables

Una función analítica simple es aquella que presenta una única ecuación o fórmula que la defina. Ahora bien, puede ocurrir que una misma función esté definida por dos o más ecuaciones, lo cual se denomina función compuesta o que está definida por intervalos, por partes, o por trozos.

Por otro lado, no siempre las funciones están definidas por dos variables únicamente (la dependiente y la independiente). Puede ocurrir que el dominio este conformado por dos o más variables.Representación gráfica de funciones

Existen varios métodos para representar gráficamente funciones, pero el más común y práctico, cuando sean dos las variables, es el sistema cartesiano, o de ejes coordenados ortogonales, o bien, ejes de coordenadas cartesianas ortogonales. El mismo consta de un par de ejes o rectas numéricas perpendiculares que en un plano se intersecan en un punto -(0;0) en el cero de ambas rectas)- denominado origen de coordenadas. Al eje horizontal se lo llama eje x o eje de abscisas (crece hacia la derecha, y decrece hacia la izquierda), mientras que al vertical, eje y o eje de ordenadas (crece hacia arriba, y decrece hacia abajo) En ambas rectas se utiliza una unidad de medida que no necesariamente debe ser igual para los dos (pero sí debe ser la misma en todo el eje).

Ubicado la intersección de las rectas, cada eje queda dividido en dos semiejes: los positivos hacia arriba y la derecha, y los negativos hacia abajo y la izquierda.

El plano se denominado plano cartesiano, y el mismo es dividido por los ejes en cuatro regiones o cuadrantes.

Para representar cualquier punta P es necesario conocer dos valores vinculados con él, su valor de abscisa (distancia del punto P al eje de ordenadas) y su valor de ordenada (distancia del punto P al eje de abscisas). Dichos valores se denominan coordenadas del punto y se escriben encerradas entre paréntesis y separadas por un “;”, colocando primero el valor de abscisa y luego el de ordenada.

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La gráfica consiste en el conjunto de puntos de coordenadas ( x ; y ) en donde x pertenece al dominio de la función e y resulta igual a f(x).

Ahora bien, observando una gráfica representada en un plano cartesiano es posible determinar si pertenece o no a una función. Podemos aplicar el criterio que expresa que cualquier línea o conjunto de puntos en el plano cartesiano es la gráfica de una función si cualquiera línea vertical que se trace corta a la gráfica en no más de un punto.

Por otro lado, existen ciertas funciones que tiene la particularidad de que cada elemento del rango le corresponde exactamente un solo elemento del dominio, denominadas funciones uno a uno, biunívocas o biyectivas. Ante una función así, es posible determinar su inversa, que es aquella función cuyo dominio coincide con el rango de la original, y viceversa. Para ello tomamos la función, cambiamos las variables de lugar y despejamos.Clasificación de funciones

Las funciones analíticas (expresadas mediante ecuaciones o notación funcional) pueden ser clasificadas de distintas formas:1.Algebraicas: aquellas que presentan su variable independiente sometida a operaciones algebraicas (suma, resta, multiplicación, división, potenciación, y radicación, éstos dos últimos cuando el exponente y el índice no son variables, sino números).

a.Racionales : la variable no está bajo el signo radical. Enteras: la variable NO actúa como divisor en la expresión. Fraccionarias: la variable actúa como divisor en la expresión.

b. Irracionales : la variable está sometida a la operación de radicación.2.Trascendentes: aquellas que presentan su variable independiente sometida a operaciones que trascienden el ámbito algebraico.Asíntotas

Se denomina asíntota de una función a la línea recta a la cual se acercan los puntos de la gráfica de la F., pero nunca llegan a encontrarla por más que se las prolongue al infinito.

Para determinar las asíntotas verticales es necesario determinar os valores de la variable independiente para los cuales no existe valor de la función (valores que no forman parte del dominio). Encontrados los mismos, las asíntotas verticales resultan ser las rectas que, siendo paralelas al eje de ordenadas, cortan al de abscisas en dichos valores.

En las funciones racionales esto es más sencillo, ya que serán justamente los valores que debe adoptar la variable para que el denominador sea nulo.

Ahora bien, para encontrar las asíntotas horizontales, es necesario determinar los valores reales que no forman parte del rango de la función (valores que no forman parte del rango). Para ello, se podría despejar la variable independiente, y observar a simple vista que valores no puede adoptar la variable dependiente.Grado del numerador < Grado del denominador y=0

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Grado del numerador = Grado del denominador

y= cociente entre los coeficientes principales

Grado del numerador > Grado del denominador No tiene

Por último existen otros tipos de asíntotas que son las oblicuas.UNIDAD III: Funciones TrascendentesConcepto

Las funciones trascendentes son aquellas en las cuales la variable independiente está afectada a operaciones NO algebraicas. Es necesario que la variable independiente sea la afectada, ya que si lo es un número, el resultado sería una constante, y la función dejaría de ser trascendente.Función Exponencial

Se denomina función exponencial a la función f(x) = bx, en donde b es un número real positivo y distinto de cero, y el exponente x, que resulta ser la variable, puede adoptar cualquier valor real.

La base b se limita solamente a los números reales positivos ya que existen potencias con base negativa que no tienen solución en el campo real, como (-b)1/2. También se elimina la posibilidad de que b sea igual a 1, ya que 1x

siempre arrojará el mismo resultado sin importar el valor que adopte la variable, siendo una función constante.

Las funciones exponenciales presentan las siguientes características:1.El dominio de la función son todos los números reales.2.El rango está formado por todos los números reales positivos.3.La gráfica siempre corta al eje de ordenadas en el valor 1, porque b0 = 1 sin importar cual sea el valor de la base.4.La gráfica NO corta al eje de abscisas puesto que b > 0.5.Si b > 1:

a)La gráfica es creciente de izquierda a derecha (al aumentar x aumenta y)b)Cuando x asume valores muy pequeños (cerca de -∞), la variable y adopta valores muy cercanos a cero, aunque nunca se anula, por lo que el eje de abscisas coincide con la asíntota horizontal de la función.c)Para un mismo valor de x mayor que cero (a la derecha del eje de ordenadas) el valor de la función será mayor cuanto mayor sea el valor de b, mientras que para un mismo valor de x menor que cero (a la izquierda del eje de ordenadas) el valor de la función será mayor cuando menor sea el valor de b.

6.Si 0 < b < 1:a)La gráfica es decreciente de izquierda a derecha (al aumentar x disminuye y).b)Cuando x asume valores muy grandes (cerca de +∞), la variable y adopta valores muy cercanos a cero, aunque nunca se anula, por lo que el eje de abscisas coincide con la asíntota horizontal de la función.c)Para un mismo valor de x mayor que cero (a la derecha del eje de ordenadas) el valor de la función será mayor cuanto mayor sea el valor de b,

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mientras que para un mismo valor de x menor que cero (a la izquierda del eje de ordenadas) el valor de la función será mayor cuando menor sea el valor de b.

Función LogarítmicaSe denomina función logarítmica a la función y = f(x) = logb x, en donde

siendo b un número real positivo (b > 0) y distinto de uno, y x un número real positivo cualquiera, se verifica que by = x.

La función logarítmica invierte la acción de la función exponencial, y viceversa, ya que el logaritmo de un número x es un exponente y, con el cual se debe elevar la base b para obtener el número x. Por ello podemos afirmar que y = logb x y by = x son equivalentes, mientras que la función y = bx

(función exponencial) es inversa a ambas.De ello podemos deducir que logb b=1 (ya que b1=b) y logb 1=0 (ya que

b0=1, sin importar el valor de b). También podemos deducir que logb x no tiene sentido para valores de x menores o iguales a cero, pues no hay exponente y que haga que by≤0, para los valores posibles de b (b>0 y b≠1).

Las funciones logarítmicas presentan las siguientes propiedades:1.El dominio de la función es el conjunto de los números reales positivos.2.El rango de la función es el conjunto de los números reales.3.Puesto que el logb 1=0 porque b0=1 cualquiera sea el valor de b, la gráfica corta siempre al eje de abscisas en el valor 1 (o sea, en el punto (1;0).4.Dado que b no asume valores negativos, el resultado de la potencia by

tendrá siempre valores positivos, por lo que la gráfica no corta al eje de ordenadas, siendo éste la asíntota vertical de la función.5.Si b>1

a.La gráfica de la función es creciente, por lo que ante valores de x>1 la función adopta valores positivos, mientras que ante valores de 0<x<1, valores negativos.b.Para un mismo valor de x>1, el valor de la función será mayor cuando menor sea el valor de base; mientras que para un mismo valor de 0<x<1 mayor será el valor de la función cuando mayor sea su base.

6.Si 0<b<1a.La gráfica es decreciente, por lo que ante valor de x>1 la función adopta valores negativos, mientras que ante valores de 0<x<1, valores positivos.b.Para un mismo valor de x>1, el valor de la función será mayor cuando menor sea el valor de b; mientras que para un mismo valor de 0<x<1 mayor será el valor de la función cuando mayor sea su base.

7.Como logbb=1, podemos afirmar que cuando y adopta el valor 1, el valor que adopta la variable independiente x va a coincidir con el valor de b (la base).Logaritmo. Concepto.

Se llama logaritmo de un número positivo x, en la base b, siendo b>0 (positiva) y b≠1 (diferente de 1), al exponente al que debe ser elevada b para obtener x.

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Si logbx = y entonces by = x para x>0, b>0 y b≠1.El valor de la base debe ser diferente de 1 ya que si así fuese, para todo y

resultaría by=1, por lo tanto, ningún número (excepto el uno) tendría logaritmo y si el número fuese 1 cualquier valor sería su logaritmo. Por similares razones la base tampoco puede ser 0.

La logaritmación de números negativos NO siempre es posible de realizar, y de allí que se limita el valor de x al campo positivo o a los valores mayores que cero.

Si bien los valores que puede adoptar la base b son múltiples e infinitos, los logaritmos más usuales son los decimales (tienen base 10 y se simbolizan log x, sin la necesidad de registrar la base) y los naturales o neperianos (tienen como base al número decimal no periódico e=2,7182…, y se simbolizan como ln x, omitiendo la base e).Propiedades de la logaritmación1.El logaritmo de la propia base resulta siempre igual a la unidad, con independencia del valor de dicha base, siempre y cuando sea válida.2.El logaritmo de una potencia exacta de la base de dicho logaritmo, resulta ser coincidente con el exponente aplicado a esa base.3.Si se aplica logaritmo en una misma base a una igualdad de números, se logra una nueva igualdad.4.Si se aplica logaritmos en una misma base a una desigualdad de números se obtiene otra desigualdad que podrá tener el mismo sentido cuando la base es mayor que 1, o tener sentido contrario cuando la misma es menor que 1 y mayor que 0.5.Si se aplica logaritmos a una desigualdad de números de tal manera que las bases correspondientes resulten ser mayores que 1 y distintas entre sí, siendo la relación entre las misas de sentido contrario a la relación entre los números correspondientes, se obtiene una desigualdad del mismo sentido que la que relaciona los números a logaritmar.6.Si se aplica logaritmos a una multiplicación, el resultado buscado equivale a la suma de los logaritmos de los factores intervinientes, en la misma base del logaritmo aplicado.

El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.7.Si se aplica logaritmo a un cociente, el resultado logrado equivale a la diferencia entre el logaritmo del dividendo y el logaritmo del divisor, en ese orden y en la misma base del logaritmo aplicado. El logaritmo de un cociente es igual a la resta entre el logaritmo del dividendo y el logaritmo del divisor ambos en la misma base dad.8.El logaritmo de una potencia resulta equivalente al producto entre el exponente por el logaritmo de la base de dicha potencia, siempre utilizando el logaritmo en la misma base.9.Al aplicar logaritmo a una radicación el resultado logrado es equivalente al cociente entre el logaritmo del radicando en la misma base dada y el índice de

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la raíz.10.El logaritmo de la unidad en cualquier base (a condición de que ésta sea válida), resulta equivalente a 0 (cero).11.El logaritmo de un número cualquiera (siempre que sea positivo) en una base válida y que no sea igual a 10, es equivalente al cociente entre el logaritmo decimal (es decir, en base 10) del número a logaritmar y el logaritmo decimal del número que actúa como base. Logaritmos decimales

Los logaritmos decimales son aquellos en los cuales su base es igual a 10. Se simbolizan de la siguiente manera: log x, omitiendo el valor de la base.

Ahora bien, debemos saber que no siempre que busquemos el logaritmo decimal de cualquier número (siempre que sea positivo), nos dará como resultado un número entero. Ello solo ocurrirá cuando el número a logaritmar sea una potencia exacta de la base. El resultado de dicho logaritmo decimal será el exponente de dicha potencia.

La gráfica de dicha función consiste en una línea curva continúa creciente que asume valores negativos para los valores de x menores que la unidad (y obviamente mayores que cero) y valores positivos cuando x asume valores mayores que 1.

Entonces podemos decir que el valor de la función logarítmica es número que tendrá una parte entera (característica) y una parte decimal (mantisa).Antilogaritmo. Concepto.

Se llama antilogaritmo de un logaritmo a la operación mediante la cual, conocido el logaritmo de un número, se busca cual es precisamente el número que le dio origen al logaritmo: Si logb a = x antilogb x = a.

Es importante aclara que el antilogaritmo NO es la operación contrario al logaritmo, sino que es el proceso inverso de cálculo, ya que parte de conocer el logaritmo y culmina en encontrar el número al cual corresponde dicho logaritmo, según la base aplicada.

Funciones TrigonométricasLas funciones trigonométricas son funciones que describen el

comportamiento de las líneas trigonométricas para ángulos que van variando en su medida. Es decir, que son aquellas donde las medidas de los ángulos actúan como variable independiente (el dominio está conformado por medidas de ángulos. La regla de correspondencia de estas funciones está determinada por las relaciones trigonométricas y el rango, por los valores que adoptan dichas relaciones para las posibles medidas de ángulo.

Existen seis tipos de funciones trigonométricas, según el tipo de relación que vincula al ángulo en variación:1.Senoide (relación seno)2.Cosenoide (relación coseno)3.Tangentoide (relación tangente)

4.Cosecantoide (relación cosecante)5.Secantoide (relación secante)6.Cotangentoide (relación cotangente

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ÁngulosSi se toma una semirrecta cualquiera y se la hace girar sobre su origen, con

ese desplazamiento se produce un barrido en el plano, el cual se denomina ángulo.

El desplazamiento de la semirrecta puede hacerse en dos sentidos opuestos, uno positivo (contrario al movimiento de las agujas del reloj) u otro negativo (coincidente al movimiento de las agujas del reloj).

De acuerdo a lo expresado, un ángulo está compuesto por: El vértice: es el origen de la semirrecta y punto sobre el cual gira la misma. Los lados: posiciones que asume la semirrecta antes y después del desplazamiento. La posición inicial se denomina lado fijo, lado inicial o primer lado, y la posición final se conoce como lado móvil, lado terminal o segundo lado. La amplitud: “barrido” o zona del plano que se cubre con el desplazam. de la semirrecta. El sentido que puede ser negativa o positiva.

Cuando el desplazamiento del lado móvil de ángulo da una vuelta completa, colocándose justo sobre el lado inicial, se dice que se genera un ángulo de giro completo, o también llamado ángulo de circunferencia, ya que un punto cualquiera del lado móvil, al desplazarse el mismo, esta describiendo una circunferencia. El recorrido de dicho punto se denomina arco.

Ahora si el lado móvil en su desplazamiento sobrepasa la posición del lado inicial, el ángulo generado recibe el nombre de ángulo de más de un giro.

Los otros tipos de ángulo son: Recto : cuando el desplazamiento del lado móvil adopta la perpendicularidad con el fijo por primera vez. Llano : cuando el lado móvil tras el desplazamiento queda posicionado como una semirrecta opuesta al primer lado -por primera vez-. Nulo : no hay desplazamiento del lado móvil desde su posición inicial. Agudo : cualquier ángulo que se forme entre el nulo y el recto. Obtuso : cualquier ángulo que se forme entre el recto y el llano.Angulo en posición común

Se llama así al ángulo situado en un plano de coordenadas cartesianas de manera que su vértice coincida con el origen de coordenadas, y su lado inicial, con el semieje positivo de las abscisas.Sistemas de medidas de ángulos

Medir un ángulo o un arco es compararlo con otro que se toma como unidad. La medida del ángulo o del arco es la razón entre la longitud de éste y la unidad elegida. Geométricamente la medida de un ángulo sería el tamaño del recorrido que realiza su lado móvil en el desplazamiento. Dicho recorrido será igual a la amplitud del ángulo acompañada de un signo, según el sentido del mismo.

Para ello, existen varios sistemas de medición de ángulos:1.Sistema sexagesimal

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La unidad de medida es el grado sexagesimal. Un ángulo de giro completo positivo mide 360° (360 grados sexagesimales). El grado se divide en 60 partes iguales llamadas minutos, y estos a su vez en otras 60 partes exactas denominadas segundos. Un ángulo recto es igual a 90° (un cuarto de un ángulo de giro completo) y un ángulo llano, a 180° (la mitad del giro completo). Si los ángulos tienen sentido negativo, simplemente se le antepone dicho signo a la medida.2.Sistema centesimal

La unidad de medida es el grado centesimal, que es igual a la centésima parte de un ángulo recto. Por lo tanto, el ángulo de giro completo va a ser igual a 400°c. El grado centesimal se divide en 100 minutos centesimales, y éstos a su vez, en 100 segundos centesimales. Al igual que en el método anterior, para reflejar que el sentido del ángulo es negativo se debe anteponer dicho signo a la medida del ángulo.3.Sistema radial

La unidad de medida es el radián, que surge de la relación entre la longitud del arco de circunferencia y su radio. La medida de los arcos se expresa en radios de circunferencia.

Ahora bien, si la fórmula que nos permite calcular la longitud de una circunferencia es 2πr, es decir, resulta igual a 2π veces la longitud de su radio.

El ángulo con vértice en el centro de una circunferencia, cuyo arco tiene igual longitud que el radio de la circunferencia, mide un radián.

Si tomamos como unidad de medida el radían = radio = 1, un ángulo de giro completo (que describe una circunferencia completa en el desplazamiento de su lado móvil) mide 2π mientras que un ángulo de medio giro (llano) mide π y uno recto, π/2.4.Sistema decimal de radianes

No es muy diferente al anterior, ya que simplemente se reemplaza π por su valor, o sea, el número irracional 3,1415…

De acuerdo a ello, el ángulo de giro completo mide 6,2832 decimal de radianes, el de medio giro 3,1416 decimal de radianes y el ángulo recto 1,5708 decimal de radianes.Relación entre los sistemas de medidas de ángulos

Partiendo de las equivalencias entre los sistemas (por ejemplo un giro completo podría ser 360°, 400°c, 2π o 6,2832) y haciendo aplicación de la denominada “regla de tres simple” podemos pasar de un sistema a otro, de la siguiente manera:

Ángulos complementarios y suplementarios

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Dos ángulos son complementarios entre sí cuando la suma de sus medidas resulta igual a la de un ángulo recto. Dos ángulos son suplementarios entre sí cuando la suma de sus medidas resulta igual a la de un ángulo llano.

Relaciones trigonométricas (relación = división, cociente)Para definir las relaciones primeramente ubicaremos el ángulo en posición

común. Luego se elige un punto cualquiera del lado terminal y se lo proyecta ortogonalmente (en forma perpendicular) sobre el primer lado o su prolongación, o dicho de otro modo, sobre el eje de abscisas.

Respecto a dicho punto se puede determinar su ordenada y su abscisa (las coordenadas del punto) y un segmento que representa la distancia entre dicho punto y el origen de coordenadas, llamado radio vector.

Es importante que para definir las relaciones, las coordenadas del punto se consideran con el signo que correspondan de acuerdo al cuadrante en el que se encuentre. En cambio, el radio vector, al ser una distancia entre dos puntos, siempre será positivo.

A la vez, estos tres elementos pueden ser definidos como segmentos (abscisa: distancia entre el punto donde corta la línea perpendicular al eje de abscisas, y el centro de coordenadas; ordenada: distancia entre el punto y el eje de abscisas; y el radio vector que ya fue explicado) y las distintas relaciones trigonométricas, como uno de los seis posibles cocientes entre dos de estos segmentos:1.Seno: dado un ángulo ubicado en posición común, se denomina seno de dicho ángulo a la razón o cociente entre la ordenada y el radio vector correspondientes a un punto cualquiera de su lado terminal. Como la ordenada es positiva para puntos del primer y segundo cuadrante, la relación seno tendrá valores positivos para todos los ángulos cuyo lado terminal se ubique en dichos cuadrantes, y valores negativos, cuando se ubique en el tercer o cuarto cuadrante (donde la ordenada asume valores negativos), resultando sin signo cuando se trate de un ángulo nulo, llano o cualquiera otro que tenga su lado terminal superpuesto al eje de las abscisas, ya que en dichos casos la ordenada será nula, al igual que el valor del seno.2.Coseno: se denomina coseno de un ángulo, ubicado en posición común, a la razón o cociente entre la abscisa y el radio vector correspondiente a un punto cualquiera de su lado terminal. Como la abscisa es positiva para puntos del primer y cuarto cuadrante, la relación coseno tendrá valores positivos para todos los ángulos cuyo lado terminal se ubique en dichos cuadrantes, y valores negativos, cuando se ubique en el segundo o tercer cuadrante (por ser abscisa negativa), resultando sin signo para cualquier ángulo que tenga su lado terminal superpuesto al eje de las ordenadas, ya que en dichos casos la abscisa será nula, al igual que el valor del coseno.3.Tangente: se denomina tangente de un ángulo ubicado en posición común a la razón o cociente entre la ordenada y la abscisa de un punto cualquiera de su lado terminal. La relación será positiva si ambas magnitudes tienen el mismo signo, condición que se cumple en los cuadrantes 1 y 3, por lo que la

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tangente asumirá valores positivos para ángulos cuyo lado terminal se ubique en alguno de esos cuadrantes. En cambio, la relación será negativa si ambas cantidades (ordenada y abscisa) poseen signos diferentes, cualidad que se cumple en los cuadrantes 2 y 4, por lo que la tangente asumirá valores negativos para ángulos cuyo lado terminal se ubique en alguno de esos cuadrantes. Ahora bien, para ángulos cuyo lado terminal se superpone con el eje de abscisas, el valor de la ordenada será cero, por lo que la relación será nula. Por último, para ángulos cuyo lado terminal se superpone con el eje de ordenadas, el valor de la abscisa será nulo, lo que hace que el valor de la relación sea indeterminado.4.Cotangente: la cotangente de un ángulo ubicado en posición común es la razón o cociente entre la abscisa y la ordenada de un punto cualquiera de su lado terminal. Esta relación es la inversa multiplicativa de la relación tangente, por lo que coincide con ésta respecto de sus signos en cada uno de los cuadrantes (positivo para 1 y 3, y negativo para 2 y 4). Ahora bien, si el lado terminal del ángulo coincide con el eje de ordenadas, la abscisa será nula, por lo que también lo será el valor de la relación. En cambio, si coincide con el eje de abscisas, la ordenada será nula, haciendo que la relación sea indeterminada.5.Secante: la secante de un ángulo ubicado en posición común es la razón o cociente entre el radio vector y la abscisa de un punto cualquiera de su lado terminal (relación inversa multiplicativa del coseno de dicho ángulo). Los signos que adopte la relación serán coincidentes con los de la relación coseno en cada cuadrante (positivo en 1 y 4, y negativo en 2 y 3). Para ángulos cuyo lado terminal coincida con el eje de ordenadas, el valor de la abscisa será nulo, haciendo que la relación resulte ser indeterminada para dichos casos.6.Cosecante: la cosecante de un ángulo ubicado en posición común es la razón o cociente entre el radio vector y la ordenada de un punto cualquiera de su lado terminal (relación inversa multiplicativa del seno de dicho ángulo). Los signos que adopte la relación serán coincidentes con los de la relación seno en cada cuadrante (positivo en 1 y 2, y negativo en 3 y 4). Para ángulos cuyo lado terminal coincida con el eje de abscisas, el valor de la ordenada será nulo, por lo que la relación cosecante será indeterminada.

Es importante destacar que estas razones o cocientes son dependientes del ángulo, porque al variar su medida se alteran los valores de abscisa, ordenada y radio vector, y con ello, los resultados del cociente. Pero, son independientes de la ubicación del punto elegido del lado terminal. Esto se debe a que, si elegimos diferentes puntos del lado terminal de un ángulo, y los proyectamos perpendicularmente al eje de abscisas, estaríamos formando varios triángulos que tiene la particularidad de ser semejantes entre sí. En consecuencia, sus lados homólogos son proporcionales y los cocientes que se calculen entre sus lados resultarán ser una constante.

Dicho eso, podemos afirmar que conociendo previamente los valores abscisa, ordenada y radio vector para un punto del lado terminal de un ángulo,

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podemos encontrar los valores de las relaciones trigonométricas de dicho ángulo, simplemente realizando los cocientes.

Por último es importante aclarar que pueden existir infinitos ángulos cuyas relaciones trigonométricas son exactas, debido a que su lado terminal pasa por los mismos puntos. Por ello se dice que estas funciones son de tipo cíclico, porque presentan un ciclo que se repite sucesivamente uno después de otro, y también uno antes de otro.Ángulo que corresponden a un determinado valor de una relación trigonométrica

Suele ocurrir que en vez de tener que determinar el valor de la relación, es necesario conocer la medida del ángulo (o medidas, porque para un mismo valor de la relación se corresponden infinitos ángulos). Por ello es necesario contar con algunos datos más (cuadrante donde se ubica el lado terminal, sentido del ángulo, cantidad de giros, etc.).

Como el proceso consiste en determinar la medida del ángulo, lo que implica encontrar el arco vinculado (ya que medida del ángulo = longitud del arco de la circunferencia/radio) el proceso de denomina: arcoseno, arcocoseno, arcotangente, arcocotangente, arcosecante, y arcocosecante.

Para evitar ciertos inconvenientes, debido a que infinitos ángulos poseen iguales relaciones trigonométricas (incluso estando en cuadrantes diferentes, aunque en este caso NO en todas ellas), es necesario saber que TODO ángulo está asociado a un ángulo agudo positivo, denominado ángulo de referencia.Ángulo de referencia

Se denomina ángulo de referencia de un ángulo a aquel ángulo agudo positivo cuyos valores de las funciones trigonométricas coinciden en valor absoluta con las de , pudiendo o no diferir en el signo. Al estar ubicado en el primer cuadrante, claramente todas sus funciones trigonométricas tendrán signo positivo.

Ahora procederemos a encontrar una regla práctica que nos permita determinar el ángulo de referencia de un ángulo cualquiera o bien, que conocido el ángulo de referencia podamos determinar el asociado:a)Para un ángulo positivo del segundo cuadrante : el ángulo de referencia resultará igual a 180° menos el ángulo dado.b)Para un ángulo positivo del tercer cuadrante : el ángulo de referencia resultará igual al ángulo dado menos 180.c)Para un ángulo positivo del cuarto cuadrante : el ángulo de referencia resultará igual a 360° menos el ángulo dado. También podría decirse que es el ángulo agudo que puede formarse entre lado terminal del ángulo dado y el eje de abscisas.d)Para ángulos positivos de más de un giro : geométricamente es siempre el ángulo agudo formado entre el lado terminal del ángulo dado y el eje de abscisas. Algebraicamente bastará con restar a la medida del ángulo dado la

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medida de la cantidad de giros completos que contenga, y al resultado tratarlo de acuerdo al cuadrante en que cae.e)Para ángulos negativos de menos de un giro : geométricamente es siempre el ángulo agudo formado entre el lado terminal del ángulo dado y el eje de abscisas. Las relaciones trigonométricas dependerán de la ubicación del lado terminal, por lo tanto el valor de las mismas será coincidente con la de un ángulo positivo que tenga el mismo lado terminal. Por lo tanto, para calcular el ángulo de referencia de forma algebraica, le restaremos a 360° el valor absoluto de la medida del ángulo dado, o bien, le sumaremos a la medida del mismo, 360°. Con el resultado obtenido, se procederá con los mecanismos antes nombrados, según en el cuadrante que “caiga” su lado terminal.f) Para ángulos negativos de más de un giro : geométricamente es siempre el ángulo agudo formado entre el lado terminal del ángulo dado y el eje de abscisas. Algebraicamente bastará con sumar a la medida del ángulo dado la amplitud de la cantidad de giros completos que contenga, y al resultado tratarlo como un ángulo negativo de menos de un giro (método anterior).g)Para ángulos cuyo lado terminal se superpone con un semieje de coordenadas: si el lado terminal se superpone con el eje de abscisas, tienen la característica de que la ordenada resulta igual a cero y la abscisa coincide en V.A. con el radio vector, pudiendo ser diferente el signo si es que el lado está encima del semieje negativo.

En cambio, si el lado terminal se superpone al eje de ordenadas, la abscisa será nula y la ordenada será coincidente en V.A. con el radio vector, pudiendo diferir en signo si se trata del semieje negativo de las ordenadas.

En cualquiera de dichas situaciones, los ángulos de referencias son innecesarios de determinar, ya que las relaciones trigonométricas son muy fáciles de calcular.Funciones Trigonométricas

Para analizar el comportamiento de las funciones trigonométricas es conveniente realizar la gráfica de cada una de ellas, y para ello armamos una tabla de valores que contenga el valor de la relación trigonométrica para diferentes ángulos ubicados en posición común en un plano cartesiano.

Será más fácil el cálculo si en todos los ángulos tomáramos un radio vector de longitud igual a 1, para lo cual trazamos una circunferencia de radio uno con centro en el origen de coordenadas, la cual recibe el nombre de circunferencia trigonométrica.

Sabiendo el valor del radio vector, solamente es necesario determinar los valores de abscisa y ordenada de los puntos en el que lado terminal del ángulo corta a la circunferencia.

Para simplificar todo se hará la gráfica de cada función trigonométrica para los ángulos positivos de hasta un giro (es el dominio será de 0° hasta 360°). Sin embargo, no debemos olvidar que la función sigue indefinidamente para el resto de los ángulos, tanto positivos como negativos, siendo igual el valor de la

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función para aquellos ángulos donde el lado terminal corte a la circunferencia en idéntico punto.

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Función Senoide: el domino de dicha función está compuesto por la medida de los ángulos y el rango por el valor de la relación trigonométrica seno para dichos ángulos. Dicha relación es el cociente entre la ordenada y el radio vector de un punto cualquiera del lado terminal de un ángulo ubicado en posición común. Ahora bien, si el valor del radio vector es siempre 1 (como dijimos más arriba, para mayor facilidad), el valor de la función seno es igual al de la ordenada del punto elegido sobre el lado terminal.

Función Cosenoide: aquí también el dominio es la medida de los ángulos y el rango los valores de la relación trigonométrica coseno para dichos ángulos. Esta relación se definió como el cociente entre la abscisa y el radio vector correspondientes a un punto cualquiera del lado terminal de un ángulo ubicado en posición común. Ahora bien, si el valor del radio vector es siempre 1 (como dijimos más arriba, para mayor facilidad), el valor de la función coseno es igual al de la abscisa del punto elegido sobre el lado terminal.

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Función Tangentoide: definimos tangente de un ángulo ubicado en posición común, al cociente o razón entre la ordenada y la abscisa de un punto cualquiera de su lado terminal.

Función Cotangentoide: definimos cotangente de un ángulo ubicado en posición común, como el cociente entre la abscisa y la ordenada de un punto cualquiera de su lado terminal.

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Función Cosecantoide: dijimos que se llama cosecante de un ángulo ubicado en posición común, a la razón entre el radio vector y la ordenada de un punto cualquiera de su lado terminal. Al ser el radio vector igual a uno, el valor de la función será coincidente al inverso multiplicativo del valor que adopte la ordenada.

Función Secantoide: se llama secante de un ángulo en posición común, al cociente entre el radio vector y la abscisa de un punto cualquiera de su lado terminal.

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UNIDAD IV: Funciones y Ecuaciones LinealesFunción Lineal. Concepto.

Recordar la clasificación de las funciones en algebraicas y transcendentes, y sus sucesivas divisiones.

Las funciones enteras son aquellas cuyas variables están sometidas a operaciones algebraicas y donde la variable independiente NO está actuando como divisor.

La forma genérica de una función algebraica entera seria:y = f(x) = an xn + an-1 xn-1 + an-2 xn-2 + … + a1 xn + a0

donde an, an-1, an-2, … , a1, a0 son constantes numéricas y n un número natural.

Dicha expresión representa una función polinomial de grado n. Se llama “polinomial” porque la regla de correspondencia está dad por un polinomio (expresión algebraica entera de varios términos o monomios), y se dice de grado n porque es el grado correspondiente al término de mayor grado que lo compone.

Ahora bien, si el grado de una función polinomial es 1 (uno), la función recibe el nombre de función lineal, la cual se expresa de la siguiente manera:

y = f(x) = a1 x + a0 donde a1 y a0 son constante numéricas.

La función se halla definida por una ecuación del tipo y = a1 x + a0, que recibe el nombre de ecuación lineal, donde sus variables están elevadas a exponente uno, no existen variables multiplicadas entre sí, y su dominio y rango están conformados por todos los números reales.Ecuación lineal

Recordemos el concepto de ecuación: proposición que expresa la igualdad condicional entre dos expresiones. Las letras que aparecen en ella representan valores desconocidos, y se denominan incógnitas, o variables si la ecuación define una función.

El número de incógnitas va a ser la cantidad de letras diferentes presentes en la expresión. Por otro lado, el grado de una ecuación está dado por la suma de los exponentes de las incógnitas en el término que esta suma resulte mayor. En las lineales, dicho grado debe ser igual a 1. Otra forma de definirlo es decir que el grado de una ecuación es el grado del polinomio que se obtiene al pasar todos los términos de la misma a un solo miembro.Rectas. Ecuación general.

Una función lineal de dos variables es un conjunto de pares ordenados (x;y) que al ser representados en un plano cartesiano describen una recta (línea sin curvatura alguna que en todo su recorrido reúne los puntos de un plano que están alineados entre sí).

A partir de todo ello, buscaremos una fórmula general que nos permita describir el conjunto de puntos que componen la recta.

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Si en una recta, colocada en el plano cartesiano cortando al origen, elegimos varios puntos y trazamos una línea desde los mismos que corte perpendicularmente al eje de abscisas, obtendremos triángulos semejantes entre sí, por lo que el cociente entre sus catetos siempre será constante.

Por ello podemos llamar a al cociente entre la variable dependiente y la independiente:

La segunda expresión resulta ser la ecuación de una recta que pasa por el punto (0;0), en la cual la constante a recibe el nombre pendiente de la recta e indica la inclinación de la misma respecto de la horizontal (o el eje de abscisas).

No obstante, puede ocurrir que la recta no pase por el origen. Sin embargo, para cualquier recta que no pase por el centro, siempre existe otra paralela que sí pasa por el punto (0;0). Por ende, podemos deducir que para cualquier valor de x, el valor de y en la nueva recta se logra sumando al valor de y de la paralela que SÍ pasa por el origen, una cantidad constante (que llamaremos b) y que es la distancia vertical que separa a las dos rectas paralelas entre sí. En otras palabras, los valores de ordenada de ambas rectas, para un mismo valor de x, difieren en una cantidad constante b.

El valor de b puede ser positivo o negativo, y no es ni más ni menos que la distancia entre el origen de coordenadas y el punto de intersección de la recta con el eje de ordenadas. Es por ello que b también recibe el nombre de ordenada al origen. Si b>0 el corte será sobre el semieje positivo de las ordenadas, y si b<0, sobre el semieje negativo.

La expresión de la ecuación de la recta quedaría: y = a x ± b. Por lo general se utiliza la formula y= ax + b que se denomina ecuación general de la recta. En la expresión a y b son constantes numéricas, similares a a1 y a0 de la expresión y=a1x + a0, por lo que podemos concluir que la ecuación de la recta define una función lineal de dos variables.Gráfica de la recta

Una de las formas de graficar es confeccionando una tabla de valores, que contenga como mínimo dos puntos que nos permitan la ubicación de la recta en el plano, ya que por dos puntos pasa solamente una única recta.

Ahora bien cuando contamos con la ecuación de la recta, tenemos ciertas ventajas para graficar. El valor de b nos refleja la ordenada al origen, es decir, el punto donde la gráfica corta al eje de ordenadas, por lo que obtenemos un punto de la recta sin realizar cálculo. Otro aspecto importante, será la pendiente de la recta, la cual se define como la medida de la inclinación de dicha recta con respecto a la horizontal, lo que se determina a través de la tangente trigonométrica del ángulo positivo que forma la recta con el eje de las abscisas:

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Este ángulo puede variar entre 0° y 180°. Si mide menos de 90°, el mismo pertenece al cuadrante 1, y la función tangente tendrá valor positivo, al igual que a (a>0). En este caso la recta se desplazará de izquierda a derecha, de abajo hacia arriba, es decir, será creciente. Ahora, si el ángulo es mayor de 90° y menos de 180°, el mismo pertenece al cuadrante 2, por lo que la función tangente tendrá valor negativo, al igual que a (a<0). En dicho caso la recta también se desplazara de izquierda a derecha, pero esta vez de arriba hacia abajo, lo que significa que la recta será decreciente.

Cuando la recta es paralela al eje de abscisas, la misma forma con dicha recta un ángulo de 0°, para el cual la función tangente es nula, al igual que su pendiente. Así la ecuación de la recta quedaría: y = 0x + k, o bien, y=k, donde k es la ordenada al origen (positiva o negativa). Dicha expresión define una función constante, porque todos los valores del dominio tienen una misma imagen k.

Cuando la recta es paralela al eje de y, la misma forma con el eje de abscisas un ángulo de 90°, para el cual la función tangente es indeterminada, siéndolo también la pendiente a. Si llamamos h a la abscisa del punto donde la recta corta al eje x, todos los puntos de la recta tendrán la misma abscisa h, es decir que para todos esos puntos se verifica que x=h. Es menester destacar que esta ecuación lineal no define una función lineal, ya que para un mismo valor del dominio existen múltiples imágenes.

La pendiente también puede determinar analíticamente si conocemos dos puntos de la recta distintos entre sí: A (x1;y1) y B (x2;y2). (MIRAR DEMOSTRACIÓN).

Trazando algunas líneas y observando diferentes ángulos, podemos concluir que:

De ello que la pendiente a de una recta puede definirse como el cociente obtenido al dividir la diferencia entre las ordenadas por la diferencia entre las abscisas de dos puntos distintos cualesquiera de una misma recta. Podríamos decir también que la pendiente nos está indicando que por cada (x1 – x2) unidades de abscisas, la recta se incremente (si el signo es positivo) o disminuye (si es negativo) (y1 – y2) unidades de ordenada.

Por lo tanto, si partimos de un punto cualquiera de la recta y nos movemos en forma horizontal tantas unidades como indica el denominador de la pendiente, y luego en forma vertical tantas unidades como indica el numerador (hacia arriba si es positivo, y hacia abajo si es negativo), obtendríamos otro punto de la recta.

Entonces, si tomamos el punto de la ordenada al origen (0;k) y realizamos el mecanismo explicado en el párrafo anterior, obtendríamos dos puntos ciertos de la recta, sin realizar cálculo alguno, y podríamos graficar la recta uniendo los mismos.Otros tipos de ecuaciones de rectas (MIRAR DEMOSTRACIONES)

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En algunas situaciones se conocen ciertos datos de una recta pero no su ecuación. Pero, es posible encontrar la misma si por lo menos se cuenta con al menos dos datos: Conociendo la pendiente y un punto de la recta : Sabemos que la ecuación debe responder a la forma: y=ax+b. Y también sabemos que la recta pasará por P (x1;y1), por lo que la ecuación se vería: y1=ax1+b. Si restamos miembro a miembro, nos querida un expresión de la siguiente manera: y-y1=ax+b-ax1-b, en la cual operando nos queda:

Conociendo dos puntos de la recta : al conocer dos puntos A (x1;y1) y B (x2;y2), la expresión de la ecuación quedaría: y – y1 = a (x – x1) o y – y2 = a (x – x2). Ahora bien, como no conocemos a, la misma podríamos reemplazarla por el cociente entre la diferencia de las ordenadas por la diferencias de las abscisas de dos puntos de una recta, quedando la expresión de la siguiente forma:

Conociendo las coordenadas al origen de la recta : una recta cualquiera que no pase por el origen de coordenadas, y no sea paralela a ninguno de los ejes, corta a éstos en puntos distintos del origen, formando con ellos un triángulo rectángulo, cuyo ángulo recto coincide con el ángulo forma por dichos ejes y la hipotenusa, con la recta en cuestión. Para este tipo de recta, puede determinar una ecuación específica: forma segmentaria de la recta, ya que la misma determina dos segmentos que se denominan coordenadas al origen, siendo abscisa al origen el segmento sobre el eje x, en cual se llamará n, y ordenada al origen el segmento sobre el eje y, denominado m.

Si conocemos las coordenadas al origen de la recta: A (0;m) y B (n;0), y aplicamos estos dos puntos en la ecuación que utilizamos cuando tenemos dos puntos, la expresión final nos quedaría de la siguiente manera:

Dicha forma segmentaria presenta ciertas características fundamentales:1.El primer miembro es la suma de dos fracciones.2.Los numeradores de las fracciones del primer miembro son las variables de la ecuación, y los denominadores son los segmentos determinados por la recta en el eje considerado numerador. 3.El segundo miembro es SIEMPRE la unidad.Rectas paralelas (VER DEMOSTRACIONES)

Dos rectas resultan ser paralelas entre sí cuando en todo su recorrido no cuentan con punto en común alguno, o dicho de otro modo, cuando no se cortan.

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Dadas dos rectas, una denominada r1 cuya ecuación es y = a1x + b1, y otra llamada r2 con ecuación y = a2x + b2, si son paralelas, los ángulos que cada una de ellas forman con el eje de abscisas (la pendiente) deben ser iguales, por tratarse de ángulo correspondientes entre paralelas, con lo que podemos deducir que a1 = a2, es decir, dos rectas para ser paralelas necesariamente deben tener igual pendiente.

Algunos autores consideran también paralelas a dos rectas que tienen pendiente y ordenadas al origen iguales, las cuales reciben el nombre de “rectas coincidentes”, ya que todos los puntos de su gráfica coincide. Ante ello, se definen como rectas paralelas propiamente dichas a las que no poseen ningún punto en común, es decir, presentan igual pendiente a pero diferente ordenada al origen b.Rectas perpendiculares (VER DEMOSTRACIONES)

Dos rectas resultan ser perpendiculares entre sí cuando al cortarse forman cuatro ángulos iguales, los cuales obviamente serán rectos (360°/4=90°).

Imaginemos dos rectas perpendiculares entre sí, una denominada r1, cuya ecuación es y=a1x + b1 y otra llamada r2 cuya ecuación es y=a2x + b2, que se cortan en un punto que llamaremos P.

Después aplicar varios mecanismos y operaciones (MIRAR DEMOSTRACIÓN), llegamos a la conclusión de que la pendiente de una de las rectas es la inversa multiplicativa de la otra cambiada de signo, lo que podría expresar como:

o bienPor lo tanto, dos rectas serán perpendiculares entre sí cuando la pendiente

de una resulte ser la inversa multiplicativa de la otra cambiada de signo. Es decir que lo importante es el valor de a, siendo independiente el valor que asuma b.

UNIDAD V: Matrices y Determinantes (Generalidades)

Las matrices fueron creación de Arthur Cayley. Y un más de medio siglo más tarde sus estudios aportaron una herramienta perfecta para la física moderna y, año más tarde, para la economía, administración, y otras ciencias sociales.

El álgebra matricial proporciona una notación calvar y concreta para la formulación y solución de problemas que son casi imposible de plantear y resolver utilizando la notación algebraica tradicional.

Por lo general, para facilitar la exposición de datos cuantitativos o cualitativos se utilice tablas (por lo general de doble entrada) para organizarlos. Si a dichas tablas, se le quitan las identificaciones de las filas y las columnas, la información restante (los elementos cuantitativos) puede quedar encerrada entre corchetes.

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Es por ello, que suele decirse que una matriz es simplemente una disposición ordenada de elementos numéricos, o sea, una tabla de doble entrada que organiza cierta información ya sea de tipo cuantitativo o cualitativo.

Matemáticamente hablando, se llama matriz a un conjunto ordenado de números, dispuestos en p filas o líneas horizontales y q columnas o líneas verticales, donde el número p puede ser mayor, menor o igual que el número q (la cantidad de columnas puede coincidir o no con la de filas). El orden de cualquier matriz, va a estar conformado por PxQ. Una matriz puede contener un conjunto ordenado de números, de funciones, de variables, etc., en fin, un conjunto ordenada de símbolos matemáticos. Aclaremos que entre los elementos de una matriz NO debe efectuarse operación matemática alguna.

La representación de una matriz se hace encerrando los elementos que la conforman con corchetes e identificándola con una letra mayúscula que precede al signo igual.Elementos de una matriz

Los números (variables, funciones, etc.) que conforman una matriz se denominan elementos de la matriz, los cuales se disponen en filas -que se numeran de arriba hacia abajo- y en columnas -que se numeran de izquierda a derecha-.

La notación de los elementos consiste en identificar a cada uno de ellos con una letra minúscula cursiva, coincidente con la mayúscula que corresponde a la matriz que los contiene. Dicha letra posee dos subíndices números: el primero indica la fila en la que se encuentra el elemento, y el segundo, la columna. En general decimos que un elemento cualquiera de una matriz A se escribe como aij, donde i es la fila i-ésima de la matriz en donde se ubica el elemento, y la j, la columna j-ésima. (MIRAR DIBUJO PÁGINA 119).Clasificación

Según la relación que hay entre P y Q, las matrices se clasifican en: Cuadradas : cuando P = Q. Rectangulares Horizontales : cuando P < Q. Rectangulares Verticales : cuando P > Q.Matrices especiales

Antes de definir las diferentes matrices cuadradas que existen, es necesario explicar un concepto muy importante: diagonal principal y diagonal secundaria de una matriz cuadrada. La que parte desde el extremo superior izquierdo hasta el extremo inferior derecho es la diagonal principal, cuyos elementos tienen la característica de que sus subíndices son iguales (i=j). La diagonal que parte desde el extremo inferior izquierdo hasta el extremo superior derecho es la diagonal secundaria, donde los elementos que la conforman poseen subíndices tales que la suma de ellos coincide en c/u de los elementos, la cual es igual al orden de la matriz elevada en una unidad.

Dentro de las matrices cuadradas, se destacan:

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Matriz Triangular : todos los elementos que están por encima o por debajo de la diagonal principal resultan ser nulos, habiendo al menos un elemento NO nulo del otro lado de la diagonal. Será triangular superior cuando los ceros se ubican debajo de la diagonal principal (sus elementos aij=0 cuando i>j, con al menos un elemento aij NO nulo cuando i≤j), e inferior, cuando los ceros estén encima (sus elementos aij=0 cuando i<j, con al menos un elemento aij NO nulo cuando i≥j). Matriz Diagonal : todos los elementos que no están en la diagonal principal son todos nulos. Es decir, cuando todos sus elementos aij=0 cuando i≠j). Los elementos que estén sobre la diagonal pueden tomar cualquier valor. Matriz Escalar : matriz diagonal que tiene todos los elementos que cubren su diagonal principal, coincidente entre sí. Todos los elementos aij=0 cuando i≠j, y además todos los elementos aij=x cuando i=j, siendo x un escalar cualquiera. Matriz Identidad : matriz escalar en la que la diagonal principal resulta estar cubierta por el número 1. Todos los elementos aij=0 cuando i≠j, y además todos los elementos aij=1 cuando i=j. Matriz Nula : matriz escalar en la que la diagonal principal resulta estar cubierta por el número 0. Todos los elementos aij=0. Matriz Simétrica : los elementos que ocupan el lugar aij son coincidentes con los que ocupan el lugar aji. Lo que quedaría expresado como aij = aji.Vector fila y Vector Columna

Cuando se grafica en un par de ejes de coordenadas un vector o un segmento orientado con origen en el origen de coordenadas, para identificarlo basta conocer las coordenadas de su punto extremo. Conforme a lo expresado: Vector fila : matriz que tenga m elementos dispuestos en una sola fila, es decir, una matriz de orden 1xm. Vector Columna : matriz que tenga p elementos dispuestos en una sola columna, es decir, una matriz de orden px1.Operaciones elementales entre matrices

Las diferentes operaciones que pueden realizarse entre matrices constituyen un álgebra particular denominada álgebra matricial.Suma de matrices

Dadas dos matrices del mismo orden A y B, la suma de A más B resulta igual a una nueva matriz C, denominada matriz suma, del mismo orden que las dadas, en la que cada elemento surge de sumar los elementos de las matrices sumandos que ocupan igual posición. Así, si C=A+B, cada elemento cij = aij + bij.Particularidades Sumar cualquier matriz con la matriz nula, la matriz resultado es coincidente con la matriz que no es nula. Si al sumar dos matrices se obtiene como resultado una matriz nula, entonces las matrices sumandos son opuestas entre sí. Dos matrices son

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opuestas entre sí cuando, teniendo el mismo orden, los elementos que ocupan igual posición coinciden en valor absoluto, pero difieren en signo. Si se suman entre sí dos matrices simétricas del mismo orden, el resultado es una nueva matriz simétrica. Si se suman entre sí dos matrices triangulares superiores, el resultado logrado es una nueva matriz triangular superior, que podrá ser diagonal si los elementos ubicados por encima de la diagonal son opuestos entre sí. Si se suman dos matrices triangulares inferiores, el resultado será una nueva matriz triangular inferior, que podrá ser diagonal si los elementos ubicados por debajo de la diagonal son opuestos entre sí. Si se suman dos matrices diagonales, el resultado es una nueva matriz diagonal. La suma de una matriz diagonal con una matriz simétrica, tiene por resultado una nueva matriz simétrica. La suma de una matriz triangular con una matriz diagonal da como resultado una matriz triangular del mismo tipo que la sumada.Resta de matrices

Dadas dos matrices del mismo orden A y B, con elementos genéricos aij y bij, la diferencia A-B resulta igual a una nueva matriz C del mismo orden que las dadas, en la que cada elemento cij se obtienen de sumar a los elementos aij

de la matriz minuendo A, los elementos bij de la matriz opuesta de la sustraendo B. Esto se podría expresar como:

C = A - B = A + (-B)Producto entre una matriz y un escalar

Cuando tenemos una matriz A de elemento genérico aij, y se pretende multiplicar por un número, se dice que estamos frente al producto entre una matriz y un escalar. El producto será una nueva matriz B, de igual orden que la matriz factor, en la que cualquier elemento bij se obtiene de multiplicar al correspondiente aij en la matriz A por el escalar.

Este producto es conmutativo, es decir, que la operación arroja igual resultado si el factor escalar premultiplica a la matriz o como si la postmultiplica.

Particularidades: Cuando se multiplica cualquier escalar por la matriz nula, el resultado es una matriz nula coincidente en su orden con la matriz factor. El producto entre una matriz cualquiera y el escalar nulo da por resultado una matriz nula de igual orden que la matriz factor. Si se multiplica una matriz cualquiera por el escalar 1 el resultado coincide con la matriz factor, por lo que es escalar 1 es el elemento neutro. Si se multiplica una matriz unidad por un escalar se logra una matriz escalar cuya diagonal coincide precisamente con el valor de dicho escalar. Preservación de características: el producto de un escalar no nulo por una matriz diagonal, simétrica, triangular superior o inferior, tiene por resultado una nueva matriz que no altera la característica de la matriz factor.

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Si se multiplica una matriz por una suma algebraica de escalares el resultado logrado es coincidente si primero se suman los escalares y el resultado es multiplicado por la matriz, que si se multiplica primero cada escalar por la matriz factor y luego se suman los resultados logrados. Si se multiplica un escalar por una suma algebraica de matrices el resultado es coincidente cuando se realiza primero la suma entra las matrices y luego se multiplica el resultado por el escalar, con el que se logra de multiplicar a cada matriz por dicho escalar sumando luego los resultados logrados.Producto entre dos matrices

Para que dos matrices puedan ser multiplicadas entre sí es necesario que la cantidad de columnas de la matriz multiplicando (primer factor) coincida con la cantidad de filas de la matriz multiplicador (segundo factor), lo cual se denomina requisito de conformabilidad.

De dicho requisito se desprende que la regla general es que el producto entre matrices no puede ser conmutativo, aunque existen ciertas excepciones.

ProcedimientoSi multiplicamos una matriz A[aij] de orden (n,p) como multiplicando y otra

matriz B[bij] de orden (p,q) como multiplicador, el resultado será una nueva matriz C[cij] sobre la que podemos decir: C tendrá un orden tal que su número de filas coincidirá con la cantidad de filas de la matriz multiplicando A, y su número columnas, con el de la matriz multiplicador B.

Anxp x Bpxq = Cnxq

Cada elemento cij de esta matriz surgirá de realizar una suma algebraica de tantos productos como columnas tenga la matriz multiplicando o filas tengo la multiplicador (recordemos que dichas cantidades deben ser coincidentes para realizar la operación). Cada uno de estos productos parciales constan de dos factores, uno es un elemento de la fila i-ésima de la matriz multiplicando (1° factor) y el otro un elemento de la columna j-ésima de la matriz multiplicador (2° factor), interviniendo en forma simultánea aquellos en que la columna a la que pertenece el elemento de la matriz multiplicando considerada coincide con la fila a la que corresponde el elemento tomado de la matriz multiplicador.

cij= ai1 * b1j + ai2 * b2j + … + aip * bpj

Tal como dijimos antes, esta operación por lo general no es conmutable, ya que existen ciertos casos donde al realizar la operación alterando el orden de las matrices factores, no llega a cumplirse el requisito de conformabilidad. Ante esto, podríamos plantear que si ambas matrices son cuadradas o que presentan el siguiente orden (n,p) y (p,n), el producto podría realizarse en cualquier orden. No obstante, el resultado de dichos productos no es el mismo por lo general, debido al procedimiento de dicha operación.

Sin embargo existen ciertos casos especiales donde se admite la conmutabilidad del producto entre dos matrices, es decir, que a pesar del

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orden en que sean multiplicadas las matrices, la matriz resultante será la misma en ambos casos.Casos posibles de conmutabilidad: Si uno de los factores es la matriz nula (y ambas matrices son cuadradas de igual orden) Si uno de los factores es la matriz identidad (IDEM anterior). El producto entre una matriz cuadrada cualquiera y otra matriz escalar del mismo orden (ya que la matriz escalar es la representación matricial de un escalar). El producto entre dos matrices diagonales de igual orden. El producto una matriz cuadrada por sí misma. El producto de una matriz por su adjunta. El producto de una matriz por su inversa.Producto entre más de dos matrices

Para que el producto entre más de dos matrices pueda realizarse es necesario que se cumpla el requisito de conformabilidad, es decir que en la secuencia la matriz que se encuentre como 1° factor deberá tener un número de columnas igual a la cantidad de filas de la matriz ubicada a su derecha; en tanto, que la cantidad de columnas de ésta deberá ser idéntica al número de filas de la que le sigue, y así sucesivamente. Por ende, el resultado tendrá tantas filas como la 1° matriz factor, y tantas columnas como la última.

Anxp x Bpxq x Cqxr x Drxt = Znxt

Si bien esta operación no permite la conmutabilidad en general, si acepta otras propiedades: Asociatividad : (A * B) * C = A * (B * C) Distribución respecto de la suma : A(B+C) = AB + AC (B+C)A = BA + CATransposición

Dada una matriz A de elemento genérico aij y de orden (n,p), se llama matriz transpuesta de esa matriz A, que se simboliza como A’ o bien AT, a una matriz de orden (p,n) que se obtiene de intercambiar las filas de A por columnas (o al revés). Dicho de otro modo, la matriz transpuesta de otra matriz es aquella que, teniendo orden inverso, cambia los elementos aij de la matriz dada, pasándolos a ocupar el lugar aji en esta nueva matriz.

Esta operación, a diferencia del resto, es monaria, es decir, que para efectuarla se requiere una única matriz. Las particularidades de la misma son las siguientes: La transpuesta de una suma de matrices es igual a la suma de las transpuestas de dichas matrices: (A + B)’ = A’ + B’ La transpuesta de un producto de matrices resulta igual al producto en orden inverso de las transpuestas de las matrices factores: (A . B)’ = A’ . B’ El producto de una matriz por su transpuesta es igual a una matriz simétrica:

A . A’ = Matriz Simétrica La suma de toda matriz cuadrada con su transpuesta es igual a una matriz simétrica:

A + A’ = Matriz Simétrica

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La transposición de una matriz diagonal arroja una matriz diagonal igual a la original. La transpuesta de una matriz triangular superior es una matriz inferior, y viceversa.Noción y definición de determinante

Se denomina determinante a una tabla ordenada de nxn escalares o números situados entre dos líneas verticales, que en su conjunto representan un valor que se logra sometiendo dichos escalares a operaciones específicas. Al igual que en una matriz, el determinante se identifica con una letra mayúscula cualquiera seguida del signo igual, ubicando a continuación sus elementos encerrados entre líneas verticales mencionadas.Elementos de un determinante. Clasificación

Al igual que en las matrices, cada uno de los elementos de un determinante es identificado con una letra minúscula coincidente con la mayúscula utilizada para denominar al determinante, acompañadas por dos subíndices numéricas, donde el primero refleja la fila en donde está ubicado dicho elemento, y el segundo, la columna.

Las diagonales que posee el determinante, presentan la misma explicación teórica que la expuesta para las matrices.

Los determinantes son clasificados de acuerdo a su orden, es decir, a la cantidad de líneas que posean (horizontales o verticales, ya que coinciden al ser cuadrados).Determinante de una matriz. Determinante extraído

Para cada matriz cuadrada A es posible asociar un determinante, o sea un número, obtenido a partir de los elementos de la matriz, ubicados en igual posición que en la matriz que le dio origen. El mismo se simboliza como |A|, y se obtiene de encerrar entre dos barras verticales los elementos de la matriz, en igual posición y orden.

Es importante no confundir un determinante con una matriz: mientras que el primero es un número, la segunda es una magnitud que no tiene un valor numérico, sino que está caracterizado por sus elementos y por la ubicación de los mismos.

A pesar de lo dicho, puede conformarse un determinante considerando en su composición elementos que forman parte o pertenecen a algunas líneas de una matriz, el cual se denomina determinante extraído.

De cualquier matriz puede extraerse más de un determinante, pero el orden del mismo debe ser a lo sumo igual a la cantidad de filas o de columnas (cual se menor) de la matriz de la cual se extraen. Esto sirve para decir que la matriz NO necesariamente debe ser cuadrada. Sabiendo el orden del determinante que se pretende extraer, se seleccionan tantas filas y columnas de esa matriz, como dicho orden indique, siendo los elementos que lo componen son los que corresponden simultáneamente a las líneas seleccionadas, respetando el orden de aparición.

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UNIDAD VI: Matrices y Determinantes (Temas especiales)Valor de un determinante

Como dijimos, un determinante es un conjunto de nxn escalares que representa un valor, el cual se logra sometiendo a sus elementos a determinadas operaciones. Dicho valor recibe el nombre de valor del determinante y se lo simboliza como |A|.Métodos de Cálculo1)Método directo:

Solo puede utilizarse para determinantes de orden 2. El valor será la diferencia entre el producto de los elementos de la diagonal principal y la diagonal secundaria.2)Regla de Sarrus:

Solo puede aplicarse para determinantes de orden 3. La misma establece que para alcanzar el valor de un determinante de orden 3 se recurre a un cuadro auxiliar que consiste en considerar los elementos del determinante tal como aparecen, y a dicho conjunto repetirle a continuación de la tercera línea los elementos de las dos primeras líneas en el mismo orden que están dispuestos en el determinante dado.

Luego de ello el valor del determinante se obtendrá de realizar una resta entre el resultado de dos sumas. La suma que actúa como minuendo se logra al reunir los resultados de tres productos parciales, cada uno de tres factores, compuesto uno de ellos por el producto de los elementos de la diagonal principal del determinante, y los otros dos, por los de los elementos de cada una de las líneas paralelas a dicha diagonal que tienen tres elementos. La suma que actúa como sustraendo, estará compuesta por la suma de otros tres productos parciales, cada uno de tres factores, logrando uno de ellos al multiplicar los tres elementos que cubren la diagonal secundaria del determinante, y los otros dos con los productos de los elementos que cubren cada una de las líneas paralelas a esa diagonal que presentan tres elementos.

En resumen: El valor del determinante surge de una resta. El minuendo y el sustraendo, cada uno, están compuestos por tres sumandos. Cada sumando queda integrado por el producto de tres elementos. Uno de los sumandos del minuendo se logra del producto entre los 3 elementos que cubren la diagonal principal del determinante. Los otros dos, se logran de multiplicar los 3 elementos que están sobre las líneas paralelas a dicha diagonal principal. Uno de los sumandos del sustraendo surge de multiplicar entre sí los tres elementos que cubren la diagonal secundaria del determinante. Los otros dos, de multiplicar entre sí los 3 elementos que están sobre las líneas paralelas a dicha diagonal.

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Si bien existen otras líneas que son paralelas a las diagonales, las mismas no están formadas por 3 elementos.3)Método Adjunta:

Todo elemento de un determinante de orden 2 o más tiene asociado uno. El cofactor será un determinante de un orden menor al original (menor complementario) al cual se le antepone un signo positivo (i+j = n° par) o negativo (i+j = n° impar). Este se obtiene de suprimir la fila y la columna correspondiente al elemento. Se denomina menor complementario de un elemento cualquiera aij de un determinante de orden n (siendo n≥2) al determinante de orden n-1 obtenido al suprimir la fila i y la columna j.

Ahora bien, a dicho determinante logrado, se le debe anteponer un signo, llamado signo de posición del elemento, el cual será positivo o negativo, según la suma de sus subíndices sea par o impar respectivamente, lo cual podría expresarse: (-1)i+j.

Este método se utiliza para calcular el valor de un determinante de un orden 2 o más. El valor del determinante se encontrará multiplicando cada uno de los elementos de cualquier línea (fila o columna) por su cofactor, sumando luego los productos.4)Método Pivotal:

El valor de un determinante resulta ser equivalente al producto entre el valor de un pivote (NO NULO) acompañado de su signo de posición y un determinante (de un orden menor que el original) cuyos elementos se logran de restar a cada uno los elementos ajenos a las líneas del pivote, el producto entre los elementos de la fila y columna del pivote que pertenecen simultánea y respectivamente a la columna y la fila del elemento minuendo y el inverso multiplicativo del pivote seleccionado.Propiedades de los determinantes1.Si se cambia la posición de una línea cualquiera de un determinante por la de otra, el valor absoluto del determinante se mantiene pero cambia su signo.2.Si se practican dos cambios de posiciones de líneas de un determinante, el valor del mismo no se altera.3.Si se practica una cantidad par de cambios de posiciones de líneas de un determinante, el determinante mantiene su valor original.4.Si se practica una cantidad impar de cambios de posiciones de líneas de un determinante, el valor del determinante mantiene su valor absoluto, pero cambia su signo.5.Multiplicando todos los elementos de una línea de un determinante por un escalar cualquiera, el determinante resultante tiene como valor al producto del valor del determinante original multiplicado por dicho escalar.6.Si todos los elementos de un determinante son multiplicados por un mismo escalar, el valor del nuevo determinante será igual al producto del valor del determinante original y una potencia que tiene por base al escalar y por potencia al orden del determinante.

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7.Si un determinante posee una línea totalmente conformada por elementos nulos, el valor del mismo resulta ser 0 (cero).8.Si un determinante tiene dos líneas iguales entre sí, es nulo.9.Si los elementos de una línea de un determinante se desdoblan en dos o más sumandos, el determina original resulta igual a la suma de los determinantes que, teniendo todas las líneas coincidentes salvo la del desdoblamiento, tienen en ésta precisamente los elementos de dicho desdoblamiento.10.Si una línea de un determinante es reemplazada por la que se obtiene de sumarle a ésta, otra u otras líneas de igual posición, el valor del determinante no se altera.11.Si una línea de un determinante es reemplazada por la que se obtiene de sumarle a ésta, otra u otras líneas de igual posición, el valor del determinante no se altera, incluso si antes de sumar o restar los valores de otras líneas éstos son premultiplicados por un número no nulo.12.Cuando un determinante tiene una de sus líneas que resulta combinación lineal de otra u otras, el valor del determinante resulta ser nulo. Se dice que dos o más líneas de un determinante que presentan igual posición están ligadas entre sí en forma lineal cuando cada uno de los elementos de una de ellas surge de sumar los correspondientes de otra u otras, incluso si éstos son antes premultiplicadas por un escalar cualquiera NO nulo.13.Un determinante y su conjugado tiene igual valor. Conjugado es cambiar filas por columnas (lo mismo que transposición en matrices).14.Un determinante que tiene todos los elementos que están por encima de su diagonal principal nulos, tiene un valor equivalente al producto entre los elementos que cubren su diagonal principal.15.Un determinante que tiene todos los elementos que están por debajo de su diagonal principal nulos, tiene un valor equivalente al producto entre los elementos que cubren su diagonal principal.16.Un determinante que tiene todos los elementos que están por debajo y por encima de su diagonal principal nulos, tiene un valor equivalente al producto entre los elementos que cubren su diagonal principal.17.Si A y B son dos matrices de orden n, entonces el determinante del producto entre ambas, sin importar el orden de los factores, es igual al producto de los determinantes de cada una de las matrices: |A*B| = |A| * |B|.Matriz Adjunta

Es importante aclarar que la palabra “adjunta” hace referencia a una pareja. Para que una matriz A tenga adjunta, es necesario que la misma sea cuadrada. Ahora bien, se conoce como adjunta de otra matriz cuadrada A, a la transpuesta de la matriz de cofactores de A, o bien, a la matriz de cofactores de la transpuesta de A. Esta matriz adjunta es de orden coincidente con la original. La matriz de cofactores se logra reemplazando cada elemento de la matriz cuadrada A por su respectivo cofactor (menor complementario + signo de posición). Todo elemento de una matriz tiene cofactor, y se determina de igual manera que para los determinantes.

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Para indicar que una matriz es adjunta de otra se utiliza la expresión “Adj.” antepuesta a la letra que identifica a la matriz vinculada.

Existe una forma para verificar que si la matriz hallada es la correcta, y la misma se basa en una particularidad entre una matriz y su adjunta, la cual enuncia: el producto entre una matriz y su adjunta (además de ser conmutable: excepción) debe ser igual a una matriz escalar de orden coincidente con las multiplicadas, en donde la diagonal principal va a estar formada por un número igual al valor del determinante la matriz original dada.Matriz inversa

Aquí la palabra “inversa” también hace referencia a una pareja. Para explicar este concepto, volveremos al tema del cociente entre números racionales:

a/b = a * (1/b) = a * b-1

Recordemos que la expresión b-1 recibe el nombre de inverso multiplicativo de b, ya que al multiplicarse ambos dan como resultado el número neutro de dicha operación, o sea, la unidad. Ahora bien, si esto lo llevamos a una división entre matrices:

A/B = A * (1/B) = A * B-1

Y por igual criterio, podríamos decir que B-1 es la matriz inversa de la matriz B.

En base a esto, se define a la matriz inversa de otra dada, como aquella matriz que pre-multiplicada o post-multiplicada por la matriz dada, da por resultado la matriz unidad (I). Dicha matriz inversa coincide en orden con la matriz dada, y su determinante tampoco es nulo. Por lo que, para que una matriz tenga inversa, es necesario que la misma sea cuadrado y que además el valor del determinante asociado con la misma NO sea nulo. Cuando una matriz posee inversa, se dice que es invertible, inversible, regular, no singular.

Ahora bien, en base a la última propiedad de los determinantes, podríamos decir:

|A*A-1| = |A| * |A-1|En el primer miembro, obviamente sabemos que el resultado va a ser la

matriz identidad, cuyo valor de determinante obviamente va a ser igual a uno. Es por ello que el determinante de la matriz A NO puede ser nulo, ya que jamás se cumpliría esta igualdad. A través de esa expresión también podemos afirmar que el valor del determinante de la matriz inversa, es igual al inverso multiplicativo del valor del determinante asociado a la matriz que le dio origen.

Ahora bien, en el caso que una matriz reúna las condiciones necesarias para ser invertible, existen varios métodos para obtener su inversa, entre los que se destacan:1)Método de inversión de una matriz a través de la adjunta

Sabemos que el producto entre una matriz y su adjunta, da por resultado una nueva matriz escalar de igual orden que las dadas, en el que el escalar que conforma la diagonal principal coincide con el valor del determinante de la matriz original. Por lo tanto, si deseamos obtener la matriz identidad,

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simplemente debemos multiplicar dicho resultado por el inverso multiplicado del det. A, lo que quedaría expresado como: A*Adj.A*1/|A| = I

Como sabemos que A * A-1 = I, podemos asegurar entonces que Adj.A * 1/|A| = A-1. Esto nos permite afirmar que la inversa de una matriz dada coincide con el cociente entre su matriz adjunta y su determinante, o bien, con el producto entre su adjunta y el inverso multiplicativo del determinante de la matriz de referencia.2)Método de inversión de una matriz a través de operaciones elementos o Método de Jordan-Gauss

Este método hace uso de operaciones elementales de suma, resta y producto entre los valores de los elementos que componen la matriz a invertir y otros adecuadamente seleccionados.

El proceso de basa en usar un cuadro de trabajo como el siguiente:Presentación y

operaciones De A a I De I a A-1 Control

               Primera columna : sirve para registrar la tarea realizada. Segunda columna : en ella inicialmente se vuelva la matriz a invertir, registrándose en ella los resultados de las transformaciones que se van realizando hasta alcanzar la matriz unidad de igual orden que la dada. Tercera columna : en ella inicialmente se vuelva una matriz unidad de igual orden que la matriz a invertir, registrándose en ella los resultados de las transformaciones que se van realizando hasta alcanzar la matriz inversa de igual orden que la dada, en el mismo momento en que en la columna anterior, se logra la matriz unidad. Cuarta columna (optativa): en ella se asienta la suma de todos los elementos que componen una misma fila en la tabla. Dichas valores, también se someten a las transformaciones, por lo luego de realizar las mismas, los valores obtenidos deben coincidir con la suma de los nuevos números en las filas.

Este método trabaja con filas pero por columnas, y dentro de éstas, encontrando primero el elemento de valor unitario para luego buscar los elementos nulos. Es importante afirmar que no puede iniciarse la transformación de una nueva columna si antes no se ha completado la que le precede. Para encontrar los elementos de valor 1 :

Fila en la que debe aparecer el 1x Inverso multiplicativo del número que ocupa ese lugar. Para encontrar cualquiera de los ceros :

Fila en la que debe aparecer el 0x (Número que ocupa el lugar del cero – Fila que tiene el 1 en esa columna)

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Matrices representativas de un conjunto de vectoresComo vimos antes, una matriz de orden nx1 podría considerar un vector

columna de n elementos, y que una matriz de orden 1xn podría considerarse un vector fila de n elementos. De acuerdo a ella, La matriz de orden m x n sería un conjunto de n vectores columnas de m elementos, o bien, un conjunto de m vectores filas de n elementos.

En otras palabras, una matriz suele considerarse como representativa de un conjunto de vectores, tantos vectores como una de las dimensiones de la matriz y cada uno de ellos con tantos elementos como lo indica la otra dimensión de dicha matriz.Combinación lineal de vectores

Dada una seria de vectores a1, a2, a3, …, an y la misma cantidad es escalares n se llama combinación lineal de los vectores dados al v no nulo que resulta:

v = 1 a1 + 2 a2 + 3 a3 + ... + n an

Lo cual se aplica tanto a vectores columnas como vectores filas. En base a eso, y considerando los siguientes n vectores genéricos de m elementos todos ellos:

Diremos que resultan ser combinación lineal del siguiente vector b:

Si se verifica que:

En esta ecuación vectorial los valores de x1, x2, x3, … xn son escalares que satisfacen la igualdad.Dependencia e independencia lineal entre vectores

Dado un conjunto de n vectores a1, a2, a3, …, an cada uno con m elementos, se dice que son linealmente dependientes entre sí o que existencia dependencia lineal entre dichos vectores, cuando es posible lograr que la combinación lineal de los vectores sea igual al vector nulo de n elementos.

Es decir, si existe un conjunto de números n, con al menos uno de ellos distinto de cero, de manera que: 1 a1 + 2 a2 + 3 a3 + ... + n an = 0, entonces los vectores a1, a2, a3, …, an se dice que son linealmente dependiente entre sí. Si no existe un conjunto de valores, excepto que todos los i sean ceros, que satisfagan la igualdad antes descripta, se dice que el conjunto de vectores es linealmente independiente.

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Condiciones de dependencia e independencia linealDe acuerdo a lo visto, dos vectores a y b serán linealmente dependientes si

existen dos escalares y , no simultáneamente nulos, que verifican que 1a + 2b resulte igual al vector nulo.

No obstante, esto puede ser expresado como dos ecuaciones lineales:1a1 + 2b1 = 01a2 + 2b2 = 0

Si los escalares NO pueden simultáneamente nulos, la única forma que estas ecuaciones se verifiquen es que los componentes del vector a y del vector b, resulten de valores tales que se compensen o anulen entre sí al ser operados por los escalares que se consignan.

Si uno de los escalares fuese nulo, para que las ecuaciones se verificaran, es necesario que los componentes del vector acompañada por el vector nulo también lo sean.

En toda situación, el determinante compuesto por los componentes de los vectores resulta ser nulo cuando las mismas presentan dependencia linera:

Con ello podemos afirmar que si un determinante es nulo (sin que lo sean todos los elementos de una línea) se puede asegurar que existencia dependencia lineal entre sus líneas, y por lo tanto, entre los vectores que representan las mismas.

UNIDAD VII: Sistemas de ecuacionesConcepto

Decimos que un sistema de ecuaciones es un conjunto de al menos dos relaciones de igualdad (ecuaciones) en las que interviene un número determinado de variables, de modo tal que el valor o valores que satisfacen a una de ellas, también lo hace con el resto de las igualdades de lo integran. Ese conjunto de valores se denomina solución del sistema.

Este sistema suele expresarse registrando de a una igualdad por fila, anteponiéndole al grupo una llave que las reúne.

ParticularidadesEs de destacar que no todo sistema tiene solución, existen algunos que

carecen de ella, y otros que constan de múltiples soluciones. A la vez, es importante analizar que los sistemas pueden ser clasificados por diversos criterios: la cantidad que relaciones que lo conforman, el tipo de esas relaciones, la cantidad de variables, etc.

Por último, se entiende por resolución de un sistema cualquiera de ecuaciones, a la determinación de los valores que deben adoptar las variables que conforman las relaciones que integran el sistema para que se verifiquen todas ellas simultáneamente.

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Sistemas de ecuaciones lineales. Distintos tiposCuando todas las ecuaciones de un sistema de ecuaciones resultan ser

precisamente ecuaciones lineales, es decir que todas sus variables están sometidas a exponente de valor uno únicamente y en cada término hay una única variable, decimos que ese es un sistema de ecuaciones lineales. La representación genérica habitual es:

a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + … a1p cp. = b1 a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + … a2p xp = b2

a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 + … a3p xp = b3 … …an1 x1 + an2 x2 + an3 x3 + … anp xp = bn

donde: Cada uno de los primeros factores de cada término del primer miembro de las ecuaciones que intervienen en el sistema, que se han identificado como aij

resultan ser números reales y se denominan coeficientes. El subíndice i indica la ecuación a la que corresponde, y el j, a la incógnita que acompaña. Cada uno de los elementos del segundo miembro identificados como bi

también son números reales y se denominan términos independientes. El subíndice i indica la ecuación a la que corresponde el término independiente. Con xp se ha identificado a cada una de las variables que integran a las ecuaciones.

Cuando en un sistema las variables aparecen dispuesta en igual orden en todas las ecuaciones, decimos que el sistema resulta ordenado, y si todos sus coeficientes son diferente de cero, el sistema estará conformado por ecuaciones completas.

Al igual que las matrices, las ecuaciones también se clasifican en: Cuadrada : cuando la cantidad de ecuaciones (A) es igual a la cantidad de variables (B). Rectangular horizontal : A<B

Rectangular vertical : A>B

También pueden clasificarse desde el punto de vista de las soluciones en: Consistente Determinado : cuando tiene solución y la misma es única. Consistente Indeterminado : cuando tiene soluciones múltiples. Inconsistente : cuando el sistema carece de solución alguna.Sistema de ecuaciones lineales de orden dos

Consiste en un sistema formado por 2 ecuaciones lineales y éstas, por dos variables cada una, donde los coeficientes de una misma incógnita no pueden ser nulos (ya que dicha variable no existiría). La representación general sería:

a11 x1 + a12 x2 = b1

a21 x1 + a22 x2 = b2

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Ahora bien, dichas igualdades, pueden adoptar la forma de dos ecuaciones de rectas:

y = - a12/a11 x + b1/a11

y = - a22/a21 x + b2/a21

Al ser rectas dichas ecuaciones, podrían darse tres situaciones: Que sean incidentes (son concurrentes o se cortan entre sí) y por lo tanto habría un único punto en común entre ambas, es decir, hay un único par de valores para las variables que satisfacen a la vez a ambas igualdades, y de allí que en este caso la solución sea única. Que sean coincidentes (ambas rectas son las mismas), por lo que cualquiera de los puntos que esté sobre esa recta verificará simultáneamente ambas igualdades, y de allí que el sistema posea múltiples soluciones. Que sean paralelas entre sí (no se cortan en ningún punto), y por lo tanto no presentan ningún punto que satisfaga a ambas a la vez, por lo que el sistema carece de solución.Solución de un sistema de ecuaciones lineales a través de tablas

Este método consiste en confeccionar dos tablas de doble columna cada una, en las cuales se registrará los diferentes puntos que verifican cada una de las ecuaciones, con el fin de encontrar un punto (o varios) en común entre las rectas.Solución de un sistema de ecuaciones lineales a través del método gráfico

Este método consiste en graficar las rectas que describen las ecuaciones en un mismo sistema de ejes cartesianos, con el fin de verificar si las mismas son incidentes, coincidentes o paralelas.Solución analítica o algebraica de un sistema de ecuaciones lineales

A través de dicho método se logran los valores exactos de la solución de un sistema de ecuaciones. Los métodos de solución analíticos son los vistos en la secundaria: método de igualación, método de sustitución, método de reducción por suma o resta, etc.

Sistemas de ecuaciones lineales de orden tresConsiste en un sistema formado por 3 ecuaciones lineales y éstas, por 3

variables cada una, donde los coeficientes de una misma incógnita no pueden ser nulos (ya que dicha variable no existiría). La representación general sería:

a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1

a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2

a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 = b3

Hallar la solución implica ahora determina una terna de valores que permita verificar a las tres ecuaciones que integran el sistema simultáneamente.

Como antes los sistemas lineales de orden dos representaban dos rectas, podemos decir que ahora cada ecuación está representando un plano, en donde sus dimensiones son: ordenada (y), abscisa (x), y cota (z).

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Al igual que en los sistemas lineales de orden dos, aquí también los sistemas pueden resultar tener solución única, solución múltiple o carecer de solución: Si los planos son incidentes en un único punto, la solución es única. Si hay más de un punto en común, la solución sería múltiple. Si los planos no tuvieran punta en común, el sistema carece de solución.

Los métodos de solución son iguales a los vistos en los sistemas lineales de orden 2: por tablas, por gráficos, o por el método analítico.Sistemas equivalentes

Dos sistemas serán equivalentes cuando tengan el mismo conjunto de solución y, además, cuando poseen las mismas variables o cuando éstas representen lo mismo.

Esta herramienta es muy utilizada para resolver un sistema de ecuaciones lineales, ya que a través de adecuadas transformaciones, puede simplificarse el mismo.

Hay un conjunto de operaciones que pueden hacer con o entre las ecuaciones lineales que integran un sistema de modo tal que las mismas se vean alteradas en su forma, pero NO en su solución. La solución de un sistema de ecuaciones NO se altera:1)Si a cualquiera de sus ecuaciones se la multiplica en todos sus términos por un mismo valor no nulo.2)Si las ecuaciones que lo integran se disponen en diferente orden de aparición.3)Si una de sus ecuaciones es reemplazada por la que se obtenga de sumarle otra u otras de las ecuaciones que intervienen, incluso si antes de realizar la suma, a la que se agrega se la multiplica por un número NO nulo.

Estas operaciones se denominan operaciones elementales, y cuando son realizadas ordenadamente simplifican de manera notable el proceso de hallar la solución.Resolución gráfica de un sistema de ecuaciones lineales en el plano y en el espacio.

Imaginemos la existencia de ocho cubos, con los cuales se forma un nuevo cubo que tenga a cuatro dispuestos en forma contigua y de a dos por fila en una primera línea y encima de ellos, los otros cuatro con igual disposición (MIRAR IMAGEN página 184).

En el mismo, llamemos O al punto central, único en el cual permite la coincidencia entre los ocho cubos. Por el mismo pasarían tres rectas, coincidentes con algunas aristas de los cubos que allí coinciden, dos horizontales y perpendiculares entre sí que separan los cubos izquierdos de los derechos, y delanteros de los traseros, justo por la mitad de la pila, y una vertical, que pasa justo por las aristas comunes entre los cuatro cubo superiores y los cuatro inferiores.

Si eliminamos los cubos “imaginarios”, nos quedaría un esquema de tres rectas, todas perpendiculares entre sí, y que tienen en común un único punto.

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Uno se llamará eje de abscisas (x), otro eje de ordenadas (y), y el nuevo eje, eje de cotas (z).

El punto O divide a cada eje en dos semiejes, uno positivo hacia la derecha de O o hacia arriba (en el caso de la cota) y otro negativo hacia la izquierda de O o hacia abajo.

Como un eje forma por dos rectas quedaba divido en 4 cuadrantes, en este caso las 3 rectas hacen que el espacio de 3 dimensiones quede dividido en 8 sectores diferentes, denominados octantes. Los mismos se enumeran de I al VIII siguiendo el sentido contrario a las agujas del reloj, comenzando con los superiores y luego con los inferiores, y asignando el I al que tiene todos los semiejes positivos. Los octantes serían:1.Primer octante : x positiva, y positiva, z positiva.2.Segundo octante : x negativa, y positiva, z positiva.3.Tercer octante : x negativa, y negativa, z positiva.4.Cuarto octante : x positiva, y negativa, z positiva.5.Quinto octante : x positiva, y positiva, z negativa.6.Sexto octante : x negativa, y positiva, z negativa.7.Séptimo octante : x negativa, y negativa, z negativa.8.Octavo octante : x positiva, y negativa, z negativa.Representación matricial de un sistema de ecuaciones lineales

Supongamos que tenemos un producto de dos matrices, una cuadrada de orden n y la otra un matriz columna de orden nx1. El resultado obviamente será una matriz columna de orden nx1. Si llamamos A a la matriz cuadrada, X a la matriz columna multiplicador, y B a la matriz columna que se obtiene de realizar la operación, se obtiene que:

a11 a12 a13 … a1n x1 b1

a21 a22 a23 … a2n x2 b2

a31 a32 a33 … a3n X x3 = b3

… … … … … … …an1 an2 an3 … ann xn bn

Donde cada bi resulta de:a11x1 + a12x2 + a13x3 + … + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + a23x3 + … + a2nxn = b2

a31x1 + a32x2 + a33x3 + … + a3nxn = b3

… … … … …an1x1 + an2x2 + an3x3 + … + annxn = bn

Donde puede observarse que los xj que intervienen resultan tener el mismo valor en todas las relaciones, por lo que podemos afirmar que dichas relaciones forman un sistema de ecuaciones lineales cuadrado.

Por todo ello podemos afirmar que un sistema de ecuaciones lineales puede ser representado en forma matricial, a través de una igualdad que tiene: En su primer miembro un producto entre dos matrices, la matriz multiplicando será cuadrada, estará formada por los coeficientes del sistema (siempre que esté ordenado y completo) y tendrá tantas filas y columnas como

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ecuaciones e incógnitas respectivamente tenga el sistema, mientras que la matriz multiplicador será una matriz columna de tantas filas como variables tenga el sistema (que coincidirá con la cantidad de columnas de la matriz multiplicando) y sus elementos serán las variables del sistema (siempre que esté ordenado y completo). El segundo miembro, va a estar formada por una matriz columna (resultado de realizar la multiplicación), que tendrá tantas filas como ecuaciones haya en el sistema, y sus elementos justamente serán los términos independientes de las mismas. Por todo lo dicho se denomina matriz de coeficientes a la matriz A, matriz de incógnitas a X, y matriz de términos independientes a la B, por lo que quedaría así: A x X = B.

Ahora bien, si quisiéramos despejar la matriz de incógnitas, haríamos:A x X = BX = B/A

X = A-1 x BLo que nos permite concluir que solamente los sistemas de ecuaciones

lineales cuadrados podrán ser resueltos en forma matricial (ya que si no es cuadrado, A no tendría inversa), siempre y cuando el determinante de la matriz de coeficientes no sea NULO.Representación vectorial de un sistema de ecuaciones lineales

Un matriz de orden nxp, no es sino un conjunto de vectores, correspondientes a n vectores de p elementos, o bien, p vectores de n elementos.

Si tomamos lo visto anteriormente, podríamos decir que la matriz de coeficientes A podría considerarse como un conjunto de n vectores formados por n elementos (ya que es cuadrada). Por ende, cada ecuación resulta ser en realidad el producto de dos vectores (el primero fila 1xn y el segundo columna nx1), el cual arrojará una matriz de orden 1x1 formada por un único elemento, el cual coincide con el término independiente de la ecuación. Lo dicho sería:

En cambio, si luego de completar y ordenar el sistema, expresamos la matriz de coeficientes como n vectores columnas de orden nx1 formado por n elementos, justamente los coeficientes que acompañan en todas las relaciones a una misma variable. Por ende, si escribiéramos a cada vector multiplicado por dicha variable, y sumáramos los productos parciales, el resultado coincidirá con la matriz de términos independientes:

a11 a12 a13 a1n b1

a21 a22 a23 a2n b2

x1 a31 + x2 a32 + x3 a33 + … + xn a3n = b3

… … … … .…

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an1 an2 an3 ann bn

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales de cualquier orden: Método de Cramer

El método de Cramer para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales de cualquier orden, hace el uso de dos conceptos fundamentales: determinante de una variable de un sistema de ecuaciones lineales, y determinante de un sistema de ecuaciones lineales.

Antes de continuar, es necesario que para aplicar dicho método, el sistema esté ordenado y completo.

Ahora bien, diremos que el determinante de un sistema será el que se logra de disponer en un determinante de orden igual al de sistema, los coeficientes de las variables (siempre y cuando el sistema esté ordenado y completo).

En cambio, diremos que tendremos tantos determinantes de variables como variables tenga el sistema. Cada determinante de variable surge de armar un determinante absolutamente coincidente con el del sistema, pero reemplazando los coeficientes correspondientes a la variable analizada por los términos independientes del sistema.

Definidos dichos conceptos, la regla de Cramer enuncia: para determinar la solución de cualquier sistema de ecuaciones lineales que la tenga, cada variable del mismo resultará equivalente al cociente entre el determinante de la variable que se pretende lograr y el determinante del sistema.

En base a ello, podemos afirmar que dicho método solamente podrá ser aplicado cuando el sistema sea de solución única, ya que de no ser así, el determinante del sistema sería nulo, cuestión que dificultaría realizar cociente, ya que el mismo sería indeterminado. Además es necesario que el sistema sea cuadrado, ya que trabaja con determinantes.Resolución matricial de un sistema de ecuaciones lineales

Vale destacar, que dicho método sirve para resolver aquellos sistemas consistentes o compatibles, no pudiendo resolverse (por éste método) los que carecen de solución.

Recordemos la representación matricial de un sistema: A x X =B, y también recordemos la expresión X = A-1 x B.

En base a ello, podríamos decir que la matriz inversa de A podría obtenerse a través del método de operaciones elementales Jordan-Gauss. Por lo que este método, permite obtener la inversa de la matriz de coeficientes, y al mismo tiempo, la matriz de variables, obteniendo así el conjunto solución del sistema.

Para ello, es necesario agregar una columna más, quedando la tabla:Presentación y

operaciones DE A a I DE I a A-1 DE B a X Control

En donde la primera, segunda, tercera y última columna funcionan de igual modo que lo expresado anterior. En cuando a la cuarta columna, la misma funciona de la siguiente manera: se registra en ella primera la matriz de términos independientes, para que luego de realizar las diferentes

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transformaciones realizadas en la columna 2 para lograr la matriz identidad, se obtenga en ese preciso momento la solución del sistema.

Es importante destacar que si en alguna etapa del proceso se debe realizar el cambio de filas para la continuidad del método, ello no altera el orden de aparición de los valores de variable, lo que sí ocurre si se hace un cambio de columnas, ya que esto implica evidentemente un cambio en la presentación y representación de las variables. Para encontrar los elementos de valor 1 :

Fila en la que debe aparecer el 1x Inverso multiplicativo del número que ocupa ese lugar. Para encontrar cualquiera de los ceros :

Fila en la que debe aparecer el 0x (Número que ocupa el lugar del cero – Fila que tiene el 1 en esa columna)

Una particularidad importante a destacar en el proceso de operaciones elementales, es que en cualquiera de las etapas del mismo, las sucesivas matrices que se van logrando, corresponden a sistemas de ecuaciones equivalentes con el original.Análisis de consistencia de un sistema de ecuaciones linealesRango de una matriz

Dada una matriz de cualquier orden, se llama rango de dicha matriz al número que representa la cantidad de líneas (filas o columnas) linealmente independientes que posee. También podría decirse que es la cantidad de vectores independientes que tiene una matriz. Por último, sabiendo que cuando existe dependencia lineal en un determinante, su valor es nulo, por lo que podemos decir que el rango también puede definirse como el orden del determinante de mayor orden NO nulo que puede extraerse de dicha matriz.Matriz ampliada

Matriz conformada solamente por los datos conocidos, es decir, los coeficientes y los términos independientes, dejando de lado las variables. En otras palabras, dicha matriz surge de sumarle a la matriz de coeficientes, una columna más que va a estar compuesta por los términos independientes.

a11 a12 a13 … a1n b1

a21 a22 a23 … a2n b2

a31 a32 a33 … a3n b3

… … … … … …an1 an2 an3 … ann bn

Aplicación del rango al análisis de consistencia de un sistema de ecuaciones Un sistema de ecuaciones lineales es consistente determinado cuando el rango de la matriz ampliada es igual al rango de la matriz de coeficientes, y éste igual a n° de variables. Un sistema de ecuaciones lineales es consistente indeterminado cuando el rango de la matriz ampliada es igual al rango de la matriz de coeficientes, pero distinta al n° de variab.

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Un sistema de ecuaciones lineales es inconsistente cuando RMA ≠ RMC.Método de Gauss

Lo anterior nos refleja la característica del sistema en función de su solución, pero no nos da la o las soluciones, si es que existen.

Este método permite hallar la o las soluciones, y a la vez, reflejar el tipo de sistema. El mismo se compone de dos partes:1.Fase Progresiva : se parte de la matriz ampliada, con los coeficientes ordenados según las variables, y mediante operaciones elementales se la transforma en una matriz escalonada, que podrá ser triangular superior cuando el sistema fuese cuadrado, la cual presenta las siguientes características.a.El 1° elemento no nulo de cada fila que no tenga todos sus elementos nulos es un 1.b.Todos los elementos de la columna ubicados debajo de dicho 1, deben ser 0 (ceros).c. El número de ceros al comienzo de una fila aumenta a medida que descendemos.d.Cualquier fila conformada por todos ceros, debe estar debajo de aquellas que tengan algún componente no nulo. Dichas líneas indican la existencia de una línea dependiente linealmente de otra u otras líneas de la matriz.e.Resumiendo, es una matriz donde los aij son iguales a la unidad cuando i=j e iguales a cero cuando i>j.

Las operaciones elementales son las mismas detalladas anteriormente, y servirán para convertir las ecuaciones del sistema (filas de la matriz) en ecuaciones de un sistema equivalente en donde la primera contenga n variables, la siguiente n-1, la tercera n-2, y así sucesivamente, hasta llegar a la ecuación enésima que solamente tendrá una variable.

Como las sucesivas matrices (o sistemas) que se van obteniendo, son equivalentes, simplemente lo que se busca es determinar el rango del sistema, y así, el tipo del mismo. Esto es así, porque al finalizar la etapa, el rango será igual a la cantidad de líneas que al menos tengan un elemento NO nulo.2.Fase Regresivas : se utiliza el valor conocido en la última ecuación de la última variable, y se comienza a sustituir en la ecuación anterior (que contiene esa variable y otra más), en la cual se despeja el valor de la anteúltima variable, y así sucesivamente, hasta llegar a la primera ecuación, despejar la primera variable, y obtener el valor de todas ellas.

1 2 1 8 ConsistenteDeterminado0 1 3 2

0 0 1 0

1 2 1 8 ConsistenteIndeterminado0 1 3 2

0 0 0 0

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1 2 1 8Inconsistente0 1 3 2

0 0 0 4UNIDAD VIII: InecuacionesConcepto

Cuando hablamos de la ley de tricotomía, afirmamos que cuando comparamos dos valores reales entre sí, pueden darse tres posibilidades, las cuales son excluyentes entre sí: que sean igual, que el primero sea mayor que el segundo, y viceversa.

Dos números o dos expresiones algebraicas relacionados entre sí por el signo > o < forman una desigualdad. Las mismas se clasifican en: Desigualdades no estrictas, no rigurosas o indeterminadas : son las que además del signo > o <, aceptan la igualdad. Desigualdades estrictas, rigurosas o determinadas : no lo aceptan (solo > <). Desigualdades absolutas : se cumplen para cualquier valor que adopten las variables. Desigualdades condicionales o relativas, o INECUACIONES: las variables deben adoptar ciertos valores para que se cumpla la desigualdad.Inecuaciones lineales y determinación de variables

Serán inecuaciones lineales cuando las expresiones algebraicas que la componen son de grado uno, es decir, que las variables están elevado a uno y no aparecen multiplicadas entre sí. También se denominan como inecuaciones de primer grado.Inecuaciones lineales en una variable

Se dice así a una inecuación lineal que cuenta con una única variable, las que genéricamente podemos simboliza como:

ax + b < 0 ax + b > 0 ax + b ≥ 0 ax + b ≤ 0Donde x es la variable, a y b son constante, y a es distinto de cero (porque

de ser así, no existiría variable alguna).Las inecuaciones lineales de una variable se resuelven, lo que significa

encontrar todos los valores que para los cuales se verifican, lo cual implica hallar una relación elemental:

x>a x≥a x<b x≤bEn las primeras dos expresiones, la constante es el límite inferior, que puede

(primera expresión) o no (segunda expresión), formar parte de la solución. En las otras dos, la constante es el límite superior, que puede (3) o no (4) formar parte de la solución.

Gráficamente la solución se representa en un eje numérico real horizontal, en el cual se ubica el punto x=constante, el cual marca el límite, en el cual se colocará un paréntesis cuando dicho punto NO forme parte de la solución, y un corchete cuando SÍ. Seguido de ello, se barrera el resto de la recta, a la izquierda cuando la x<constante, y a la derecha, cuando x>constante.

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La solución de una inecuación de una variable es el conjunto de todos los valores de las variables para las cuales la relación se verifique. La misma se encuentra efectuando ciertas operaciones basadas en las propiedades de las operaciones con desigualdades:1.Si a ambos miembros de una desigualdad se les suma o se les resta un mismo número, la desigualdad obtenida conserva el sentido. (VER DEMOSTRACIÓN)2.Si se multiplican o dividen ambos miembros de una desigualdad por un número positivo, el sentido de la nueva desigualdad no varía. (VER DEMOSTRACIÓN)3.Si se multiplican o dividen ambos miembros de una desigualdad por un número negativo, cambie el sentido de la desigualdad. (VER DEMOSTRACIÓN).Inecuaciones lineales en dos variables

Una inecuación lineal con dos variables puede escribirse de la forma:ax + by + c > 0 ax + by + c ≥ 0 ax + by + c < 0 ax + by + c ≤ 0

en donde x e y son variables, y a, b y c son constantes, siendo a y b distintas de 0.

Su solución se representa mediante una zona o región de un plano de coordenadas cartesianas, ya que dicha solución consistirá en todos los puntos del plano cuyas coordenadas satisfacen la desigualdad. La gráfica se divide en tres partes:1.La recta misma, o sea todos los puntos (x;y) que satisfacen la igualdad y=ax + b.2.El semiplano que se encuentra por encima de la recta, o sea, todos los puntos (x;y) que satisfacen la desigualdad y> ax + b.3.El semiplano que se encuentra por debajo de la recta, o sea, todos los puntos (x;y) que satisfacen la desigualdad y< ax + b.

Al momento de resolver una inecuación, podemos graficar una recta cuya ecuación es igual a la inecuación, pero reemplazando al signo de relación por el “=”. Dicha recta será una línea continua cuando la inecuación sea NO estricta, y línea punteada, cuando lo sea.

Para determinar el semiplano solución de la inecuación, podemos sencillamente despejar la y, para luego observar el signo de relación que lo vincula, para determinar si la solución se encuentra por encima (>) o por debajo (<) de la recta.Sistemas de Inecuaciones lineales

Sistema formado por un conjunto de desigualdades condicionales (inecuaciones) en las cuales todas son lineales (variables con exponente 1 y no se multiplican entre sí), y además todas deben ser verificadas por un mismo conjunto solución, que en este caso va a estar delimitado por un zona del plano de ejes cartesianos.

Si el sistema está compuesto por inecuaciones de una variable cada una, para resolverlo debemos hallar las soluciones de cada relación por separado, y luego compararlas, para determinar los valores en común entre ellas.

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Si el sistema no posee solución, se dice que el conjunto solución es vacío y estamos en presencia de un sistema incompatible.

Si el sistema estuviera compuesto por inecuaciones de dos variables, su solución en términos geométricos es la región común a los semiplanos solución de cada una de las relaciones, o dicho de otro modo, es la intersección de dichos semiplanos.

Ahora bien, si el sistema estuviera compuesto por inecuaciones de tres variables, el conjunto de solución se transformaría en un volumen, debiendo graficarlo en el espacio tridimensional. Este tipo de sistemas, el conjunto solución resulta ser un poliedro, de allí que dicho conjunto se denomina conjunto poliedral.

Es importante destacar que en un sistema de inecuaciones lineales de n variables pueden intervenir relaciones de una sola, dos, tres, …, “n-1” variables, es decir, que no necesariamente cada inecuación debe estar compuesto por la misma cantidad de variablesSistemas entre ecuaciones e inecuaciones

Los sistemas pueden incluir en forma simultánea tanto inecuaciones como ecuaciones lineales. En dichos casos, para hallar la solución gráficamente, debe considerarse que la existencia de una igualdad (ecuación), implica eliminar todos aquellos puntos que no verifiquen a ésta. Por ende, el conjunto de solución estaría forma por todos aquellos puntos del semiplano solución que coinciden con la o las rectas.

UNIDAD IX: Funciones y Ecuaciones LinealesFunciones NO lineales

Anteriormente hemos presentando la expresión de las funciones polinómicas:

y = f(x) = an xn + an-1 xn-1 + an-2 xn-2 + … + a1 x + a0

donde an, an-1, an-2, … , a1, a0 son constantes numéricas y n un número natural.

Ahora bien si estamos frente a una función polinómica donde todos los ai con i>2 son nulos, y el coeficiente ai con i=2 NO es nulo, la misma es la “cuadrático”, sin importar los valores que adopten las variables a1 y a0.

Ahora bien, las ecuaciones de segundo grado también pueden ser escritas como:

Ax2 + By2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0A partir de ello podemos afirmar que:

Si C=0 y A y/o B NO son nulos, obtenemos lo que se denominan funciones cónicas:

Ax2 + By2 + Dx + Ey + F = 0De la cual podemos deducir (como se verá más adelante) que:

Si A o B son nulos, la función describirá una parábola. Que tendrá vértice vertical cuando B=0, y vértice horizontal cuando A=0. Si A=B y ambos NO nulos, estamos en presencia de una circunferencia.

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Si A≠B pero poseen igual signo, estamos en presencia de una elipse. Si A≠B, y además poseen distinto signo, estamos en presencia de una hipérbola, que será equilátera cuando se cumpla que |A|=|B|.Parábola

Se define como parábola, desde la forma analítica de la expresión que la representa, a la función de tipo polinómica que adopta la forma general:

y = a2 x2 + a1 x1 + a0 o bien y= ax2 + bx + cDonde:

a: coeficiente del término cuadrático o coeficiente principal de la parábola b: coeficiente del término lineal de la parábola c: coeficiente o término independiente de la parábola

Lógicamente a debe ser distinto de 0, ya que si así fuera, no existiría variable elevada a la segunda potencia, por lo que no sería cuadrática la función.

Si en la expresión se observara que los tres coeficientes son distintos de cero, diremos que la función es una parábola completa, mientras que si b y/o c son nulos, la función reviste la cualidad de ser una parábola incompleta.Análisis del caso y=x2

Para analizar el comportamiento de una variable, trabajaremos con una parábola incompleta donde b y c son nulos, y donde el coeficiente principal a es la unidad, la cual también recibe el nombre de parábola matriz.

Como la variable x está elevada a la segunda potencia, es simple determinar que el valor de la función siempre será un valor positivo, excepto cuando x=0, donde también será nula la función. Esto nos permite afirmar que el dominio va a estar constituido por todos los números reales, mientras que el rango, por todos los números reales NO negativos. También podemos deducir que para cualquiera valor de variable independiente, la función tendrá el mismo valor para su opuesto, lo que podría escribirse: f(x) = f(-x), lo que nos permite decir que la gráfica presenta un eje de simetría vertical, que coincide exactamente en este caso con el eje de ordenadas.

Por último, y por ahora, podemos afirmar que la función tiene un punto extremo, o sea, un punto donde la curva deja de crecer para comenzar a decrecer, o viceversa.

Al graficar dicha parábola podemos observar que:a)Todos los valores de x tienen imagen (dominio: campo numérico real).b)El rango de la función está conformado por los reales positivos y el cero.c)La función presenta un extremo (en este caso un mínimo) que coincide con el origen de coordenadas, punto en el cual la función, en este caso, ante el aumento de la variable x deja de decrecer, y comienza a crecerd)La función tiene un eje de simetría, que coincide en este caso con el eje de ordenadas.e)Para cualquier valor de x, puede verificarse que f(x)=f(-x).Vértice de la parábola y ramas de la misma

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El vértice es justamente el punto extremo de la parábola. Dicho extremo podrá ser un máximo de la función cuando a<0 o un mínimo cuando a>0.

Por otro lado, cada una de las partes netamente diferentes a un lado y otro del eje de simetría vertical, y que presentan igual comportamiento, se las denomina ramas de la parábola. Entonces, toda parábola contará con dos ramas, las cuales estarán orientas hacia arriba cuando a>0, y hacia abajo cuando a<0.Variación de la parábola cuando varía el coeficiente cuadrático

Cuando el valor absoluto de a aumenta su valor, las ramas, manteniendo la orientación que corresponden al signo del mismo, se van cerrando o aproximando al eje de simetría. Mientras que cuando dicho valor absoluto disminuye, las ramas, manteniendo la orientación, se van abriendo, la curva aplanándose y la parábola alejándose del eje de simetría.Desplazamiento horizontal de la parábola

Si a la parábola matriz le realizamos un desplazamiento horizontal cualquiera sobre el eje de las abscisas, respetando para cualquier punto de dicha función su distancia con ese eje, o sea sus ordenadas. Podemos afirmar entonces que para cualquier ordenada anterior le corresponde ahora el nuevo valor (x + h), lo que es lo mismo que decir que a cada valor de ordenada actual le corresponde en la matriz un valor de (x – h), o sea h unidades menos que las que tiene la desplazada.

Por todo ello, y por una demostración (véase) la expresión que responda una parábola con desplazamiento horizontal será:

y = (x – h)2

donde h representa las unidades que fue desplazada la parábola.Desplazamiento vertical de la parábola

Si a la parábola matriz le realizamos un desplazamiento vertical cualquiera sobre el eje de las ordenadas, respetando para cualquier punto de dicha función su distancia con ese eje. Podemos afirmar entonces que para cualquier ordenada de esta función resultaría de aumentar, para el mismo valor de x, el valor de la función y = ax2, en el valor de dicho desplazamiento, que podrá ser positivo o negativo. La expresión resultante sería un tal, en el la única variable nula sería la b, y podría escribirse como:

y = ax2 + kdonde k puede ser positiva o negativo, según el desplazamiento vertical sea

hacia arriba o abajo respectivamente, con respecto a la parábola matriz.Esto significa que la gráfica de la nueva función se desplazaría tantas

unidades como las indicadas por el valor del coeficiente independiente, haciéndolo hacia arriba cuando el mismo sea positivo, y hacia abajo, cuando sea negativo.

Lo apuntado respecto a k y a h, nos permite derivar a una conclusión sobre el vértice o extremo de la parábola. Ya que en ambos desplazamientos

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podemos observar que es el vértice de la función el cual se desplaza por el plano de ejes cartesianos.

Por ende, dicho vértice podríamos representarlo como V (h;k). De aquí podemos derivar que como el vértice es el único punto de la gráfica de la parábola para el cual la función adopta un solo valor, el mismo debe ubicarse en el eje de simetría, por lo cual el mismo responde a la ecuación x=h.La función polinómica completa

Si a, h y k NO son nulos, y a≠1 la parábola adoptaría la forma:y = a (x + h)2 + k

Donde la misma mostraría un desplazamiento vertical, otro horizontal y además una apertura diferente de las ramas que se acercarán o alejarán del eje de simetría según el valor de a resulte mayor o menor a la unidad, respectivamente.

Es importante destacar que estaríamos frente a una función completa, y en este caso registrada en la forma que se denomina forma canónica de la parábola.

Ahora bien, tenemos dos formas de representar una parábola entonces:y= ax2 + bx + c Forma polinómicay = a (x + h)2 + k Forma canónica

Donde el pasaje de una forma a otra es muy simple (VER DEMOSTRACIÓN):Relación de Polinómica con Canónica

Polinómica Canónica   Canónica Polinómicaa a   a ab -2ah   h -b/2ac ah2 + k   k c - b2/4a

Familia de parábolasCuando un conjunto de parábolas mantienen un grupo de condiciones o

circunstancias coincidentes pero no todas, decimos que ese conjunto conforma una familia de parábolas, resultando una familia diferente de otra por variación de las condiciones que las vincula.

Ej: un conjunto de parábolas que comparten las mismas raíces (intersección de la gráfica con el eje de las abscisas).Raíces de la función de segundo grado

Como sabemos, una ecuación es una igualdad condicional, por lo que si igualamos a cero la función cuadrática f(x)=ax2 + bx + c, se obtiene que:

ax2 + bx + c = 0Y también recordemos que resolver una ecuación es encontrar el o los

valores que verifican a la misma, los cuales reciben el nombre de “raíces” o “ceros” del polinomio. Una polinomio tendrá tantas raíces como grado posee el mismo.

Por ello, las funciones cuadráticas cuentan con 2 raíces. Viendo las gráficas, podemos concluir que las raíces son aquellos valores x en donde y=0, o dicho

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de otra forma, son los valores de x en donde la función coincide o corta con el eje de abscisas.

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Determinación de raíces por factorización

Determinación de raíces por la fórmula de BascaraA partir de lo obtenido en el método anterior, y operando en las expresiones

de ambas raíces del siguiente modo, se logra obtener un único cociente:

Ante ello, Bascara decide unir a ambas expresiones en un sola:

La determinación gráfica de las raíces o de su aproximaciónSi bien esta alternativa de solución es solo orientadora, es muy útil para

verificar las determinaciones que se realicen en forma analítica por cualquiera de los otros dos procedimientos, aunque dicha verificación se puede hacer reemplazando los valores obtenidos en la ecuación de la función, la cual obviamente debe resultar ser 0.

A su vez, en forma gráfica existen dos alternativas. Una de ellas sería graficar la parábola y observar los puntos en donde corta al eje de abscisas.

La otra sería tomar la ecuación ax2 + bx + c = 0, y despejar de ella “ax2”, quedando la siguiente igualdad: ax2 = bx + c. Si analizamos dicha expresión, veremos que en el primer miembro la expresión refleja una parábola sin desplazamiento vertical ni horizontal, es decir, con V(0;0); mientras que en el segundo miembro, claramente se observa la una función lineal con pendiente igual a b y ordenada al origen igual a c. Al graficar ambas funciones, observaremos que los puntos en común entre ellas serán justamente los valores de las raíces de la parábola original.

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Ahora bien, pueden ocurrir 3 posibilidades cuando se grafiquen:1.Que entre la recta y la parábola se encuentren dos puntos de corte, por lo que la parábola original tendrá dos raíces reales diferentes entre sí.2.Que la recta resulte tangente a la parábola, teniendo solo un punto en común con la misma, por lo que la parábola tendrá dos raíces reales iguales, una raíz doble o múltiple.3.Que la recta resulte ajena a la parábola, no teniendo punto en común con la misma, por lo que la parábola tendrá dos raíces complejas conjugadas.Discriminación de las raíces

Como ya dijimos, toda ecuación de segunda grado cuenta con dos raíces o ceros. Dichos valores pueden ser iguales entre sí, en cuyo caso de dice que la función tiene una raíz doble o raíz múltiple, o diferentes entre sí. Cuando son diferentes pero reales, se dice que las raíces son dos raíces reales diferentes, y si fueran complejas se dice que son dos raíces complejas conjugadas.

Si miramos la expresión de determinación de raíces por la fórmula de Bascara o por el proceso de factorización, en ambos casos para llegar al valor de las raíces se debe resolver una raíz cuadrada (índice par), la que tiene la estructura:

En esta raíz, como el índice es par, si el radicando resulta ser nulo, es evidente que los dos valores que se obtienen del cálculo son iguales entre sí e iguales a 0. En cambio, si el radicando es mayor que cero, resuelta su raíz, se obtendrán dos valores reales diferentes entre sí en su signo aunque igual en su V.A. Por último, si el radicando fuese negativo, es evidente que la resolución de la raíz escapa del campo numérico real, por lo que la misma llevará a dos resultados complejos, y que estarán conformados por una parte real de igual V.A. pero de diferente signo, acompañados de la unidad imaginaria i.

Del hecho de que según el valor del radicando de esa raíz serán los diferentes tipos de raíces a obtener, a ese radicando se da el nombre de discriminante, precisamente porque permite discriminar el tipo de raíces que satisfacen la ecuación.

En base a ello se podrá afirmar que cuando el determinante: Sea positivo : la función tendrá dos raíces reales diferentes. Sea nulo : la función tendrá una raíz doble o múltiple. Se negativo : la función tendrá dos raíces complejas conjugadas.Propiedades de las raíces (VER DEMOSTRACIONES) La suma de las raíces de una ecuación cuadrática coincide con el cociente entre su coeficiente principal y su coeficiente cuadrático, cambiado de signo: x1 + x2 = -b/a El producto entre las raíces de una ecuación cuadrática coincide con el cociente entre su término independiente y su coeficiente cuadrático: x1 * x2 = c/a

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Reconstrucción de una ecuación a partir de sus raícesLas propiedades que se acaban de enunciar sobre las raíces de una ecuación

de segunda grado, permite reconstruir una ecuación a partir del conocimiento de sus raíces, aplicando precisamente las conclusiones anteriores.

Para ello le asignamos un valor cualquiera a alguno de sus coeficientes (excepto el valor nulo al coeficiente cuadrático), y luego por simple despeje obtenemos sus otros dos coeficientes.

Es importante aclarar que este método nos permite obtener una ecuación que tuvieran dichas raíces, ya que obviamente conociendo solamente las raíces, existen infinitas parábolas que cortan al eje de abscisas en dichos puntos.Ecuaciones de segundo grado: distintos tipos

Si bien hablamos de parábola como ecuación de segundo grado, existe muchas otras relaciones más que también revisten dicha característica: aquellas que sometan a exponente par a la variable y, o aquellas que en uno de sus términos presente un producto entre las dos variables, o aquellas en las que ambas variables están elevadas a la segunda potencia, entre muchas otras.

De todas las posibles, hablaremos de aquellas cuatro expresiones que describen a las denominadas cónicas, o sea las que se logran entre los puntos comunes a un plano y la superficie lateral de un cono. Estas son: parábola, elipse, circunferencia e hipérbola.a)Parábola: la figura se logra de los puntos que resultan comunes al plano y a la superficie lateral del cono, cuando el plano que interseca al cono es paralelo a la generatriz de dicho cono.b)Circunferencia: la figura se logra de los puntos que resultan comunes al plano y a la superficie lateral del cono, cuando el plano que interseca al cono es paralelo a la base del cono, o bien perpendicular al eje de simetría de dicho cono.c)Elipse: la figura se logra de los puntos que resultan comunes al plano y a la superficie lateral del cono, cuando el plano que interseca al cono en cualquier posición NO perpendicular al eje de simetría de éste, y NO paralela a la generatriz.d)Hipérbola: la figura se logra de los puntos que resultan comunes al plano y a la superficie lateral del cono, cuando el plano que interseca al cono es paralelo al eje de simetría de dicho cono.

Es importante destacar que NO todas las ecuaciones de segunda grado se pueden aparear con una función de segunda plano las cuales no resisten la prueba de la verticalidad, es decir, que presentan valores de abscisas a los que les corresponde más de un valor de ordenada.Parábola con eje horizontal

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Son aquellas parábolas que presentan las características vistas anteriormente, pero que surgen de un cambio en las variables, o sea, de considerar los valores de dominio como rango, y viceversa, por lo que el eje de simetría termina siendo horizontal y las ramas orientadas hacia la derecha o la izquierda.

Esta relación (ecuación) pierde la característica de ser una función, ya que no resiste la prueba de verticalidad, al mostrar dos imágenes para un mismo valor de dominio.

Aquí la variable dependiente está elevada a un exponente igual a 2, o bien, la variable independiente está sometida a una raíz cuadrada.Circunferencia

Una circunferencia es el conjunto de puntos de un plano, tales que la distancia entre cualquiera de ellos a un punto fijo del mismo plano, denominado centro, coincide con una constante que se da a llamar radio de la circunferencia (mirar esquema y demostración).

Las coordenadas de cualquier punto de la circunferencia será un par de coordenadas (x;y), mientras que el centro de la misma estará establecido como (h;k).

A través de sucesivas deducciones, llegamos a la conclusión de que la expresión canónica de la circunferencia de radio r y centro en el punto de coordenadas (h;k), es:

r2 = (x – h)2 + (y – k)2

La cual nos permite realizar algunas conclusiones: Si el centro de la circunferencia coincidiera con el origen de coordenadas, es decir, con el punto (0;0) la expresión quedaría:

r2 = y2 + x2

El centro de de la circunferencia se desplazará h unidades, hacia la izquierda cuando el mismo sea negativo, y la derecha cuando sea positivo. El centro de circunferencia se desplazará k unidades, hacia arriba cuando el mismo sea positivo, y hacia abajo cuando sea negativo. Si la circunferencia tiene su centro sobre el eje de las abscisa pero NO en el origen de coordenadas, es decir, que solo sufre un desplazamiento horizontal, la expresión sería:

r2 = (x – h)2 + y2

Si la circunferencia tiene su centro sobre el eje de las ordenadas pero NO en el origen de coordenadas, es decir, que solo sufre un desplazamiento vertical, la expresión sería:

r2 = (y – k)2 + x2

Por cada valor de x que resulte inferior a h+r y simultáneamente superior a h-r, existen dos valores que verifican la relación o expresión de la circunferencia. Por cada valor de y que resulte inferior a k+r y simultáneamente superior a k-r, existen dos valores que verifican la relación o expresión de la circunferencia.

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La gráfica de la circunferencia presenta simetría axial o respecto de un eje, aunque en realidad hay infinitos ejes que pueden ser tales, ya que bastará con que sea una recta que pasa por el centro de la circunferencia. Como las posiciones de dicha recta podrían ser la horizontal y la vertical, se dice que la función tiene simetría vertical y simetría horizontal.

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Formula general de la circunferenciaPartiendo de la expresión canónica completa de la circunferencia, y

realizando algunas operaciones (ver pasaje) se obtiene que la fórmula general de la circunferencia es:

y2 + x2 – 2hx - 2ky + (h2 + k2 – r2)Determinación del centro y el radio de una circunferencia

Cuando la ecuación de la circunferencia está dada en forma canónica, es muy simple determinarte el centro y el radio de la misma.

En cambio cuando la expresión con que se cuenta es la escritura en forma general, es necesario realizar ciertas operaciones para alcanzar esos datos y determinar el centro y el radio. Para ello debemos completar dos trinomios cuadrados perfectos, uno para cada uno de los variables que intervienen en la relación, de modo de poder transformar la escritura con que se cuenta en la forma canónica, y así obtener los datos buscados. (EJEMPLO).Circunferencia determinada por tres puntos

Desde la geometría se sabe que tres puntos no alineados definen una única circunferencia, o sea que dados tres puntos no alineados entre sí, hay una única circunferencia que pase por los tres simultáneamente.

Para determinarla reemplazamos a las variables en la ecuación general de la circunferencia, obteniendo así tres ecuaciones para las que tendremos como incógnitas el coeficiente de la variable x en el término lineal, el coeficiente de la variable y en el término lineal, y el coeficiente del término independiente. Conformando un sistema con esas tres ecuaciones lineales con tres incógnitas cada una, y resolviendo el mismo, obtendremos los parámetros buscados y a partir de ellos, la ecuación de la circunferencia buscada.Elipse

Estamos frente a un Elipse cuando consideramos los puntos del plano para los cuales se cumple que la suma de las distancias que van de ellos a otros dos puntos del plano diferentes entre sí y denominados focos, resulta ser una constante.

Uno de los focos, denominado F1, es un punto cualquiera del plano cuyas coordenadas son (h;k), y el otro, llamado F2, posicionado en otro punto del mis plano pero de modo tal que coincide con la abscisa o con la ordenada de F1, y por lo tanto resulta con coordenadas (h;m) o bien (n;k), según coincida con la abscisa o la ordenada respectivamente.

La distancia que antes nombramos debe ser equivalente a 2a, donde a es una constante y su valor coincide con la distancia que hay desde el centro de la elipse hasta el punto que simultáneamente corresponde a la misma ordenada que dicho centro (si la elipse tiene alargamiento horizontal) o con idéntica abscisa que la de dicho centro (si la elipse cuenta con alargamiento vertical). (VER GRÁFICA).

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Llamaremos b a la distancia que hay entre el centro de la elipse y el punto que tiene idéntica abscisa que ese centro, o dicho de otro modo, es igual a la mitad de la distancia que hay entre los vértices verticales de la elipse. Mientras que llamaremos a a la distancia que hay entre el centro de la elipse y el punto que tiene idéntica ordenada que ese centro, o en otras palabras, es igual a la mitad de la distancia que hay entre los vértices horizontales de dicha elipse. Por último, denominaremos c a la distancia que hay desde uno cualquiera de los focos al centro de la elipse, razón por la cual podríamos afirmar que la distancia que separa entre sí a los focos (distancia focal), es igual a 2c.

Para que sea una elipse, es necesario que a≠b, siendo una elipse horizontal cuando a>b y una elipse vertical cuando b>a.

La gráfica presente dos ejes de simetría, uno vertical y otro horizontal, y cuatro puntos extremos, dos extremos horizontales (a izquierda y derecha del centro de la elipse y sobre el eje de simetría horizontal) y dos extremos verticales (arriba y abajo del dicho centro y sobre el eje de simetría vertical). Dichos extremos suelen denominarse vértices.

Si el centro de la elipse se encuentre en el punto (h;k), las coordenadas de los vértices: Superior: (h;k+b)

Inferior: (h;k-b) Izquierdo: (h-a;k)

Derecho: (h+a;k)

Siendo a y b solo valores positivos, ya que denotan distancias.Luego de una larga demostración (VER página 256) se llega a que la

ecuación de la elipse que tiene centro en el punto C (h;k) es:

Si el centro de la elipse estuviera en el centro de coordenadas, la expresión sería:

Esto nos permite concluir que si el denominador del cuadrado de la variable x supera al que divide al cuadrado de la variable y entonces la elipse tiene forma alargada hacia los extremos izquierdo y derecho respecto de su centro (elipse con alargamiento horizontal). Si se observa la relación inversa, la elipse tiene más separados sus vértices verticales que los horizontales (elipse con alargamiento vertical).Excentricidad de la elipse

La mayor o menor proximidad de una elipse respecto de una circunferencia, es decir, el mayor o menor acercamiento entre los vértices (verticales u horizontales) recibe el nombre de excentricidad que posee una elipse. El mismo surge del cociente entre la distancia focal 2c y la distancia entre los vértices horizontales 2ª, o lo que es lo mismo decir, el cociente entre c y a, ya que ambos resultan ser la mitad de los dichas distancias.

Como los focos están siempre dentro de la elipse, se tiene que c<a, por lo que el cociente, y por ende, la excentricidad, oscila entre 0 y 1. Cuanto más

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próximo a cero esté la excentricidad más próxima estará la elipse de una circunferencia, y cuanto más alejado delo cero esté la excentricidad, más alejada estará la elipse de una circunferencia.Hipérbola

Se estará frente a una hipérbola cuando la diferencia entre las distancias de cualquiera de los puntos que la integran a dos puntos llamados focos, resulta ser una constante, que en este caso denominaremos también 2a.

El punto medio del segmento que une a ambos focos recibe el nombre de centro de la hipérbola, y la misma presenta también doble simetría vertical y horizontal, siendo la horizontal la recta que pasa por los dos focos simultáneamente, y la vertical, la recta perpendicular al otro eje de simetría y que pasa por el centro de dicha hipérbola.

Llamaremos c a la distancia de cualquiera de los focos al centro. Denominaremos como V1 y V2 a los vértices horizontales de la elipse, y como w1 y w2, a los verticales. La letra b representará la distancia entre el centro y cualquiera de los vértices verticales, mientras que a, la distancia entre el mismo centro y cualquiera de los vértices horizontales.

El valor de b se obtiene de considerar el punto que sobre el eje de ordenadas se lograr de considerar la proyección del punto en común entre la abscisa de a y la longitud de c, relación que podemos expresar como: c2 = a2

+ b2.Cada una de las trazas curvas que se observan en la gráfica de la hipérbola,

una a la izquierda del eje de simetría vertical, y la otra a la derecha del mismo, reciben el nombre de ramas de la hipérbola.

Siguiendo un procedimiento muy similar al que seguimos para la elipse, se llegará a que la ecuación de la hipérbola con centro en el punto C(h;k), es:

Si la hipérbola tuviera centro en el origen de coordenadas, la relación quedaría:

Lo que nos permite analizar que los numeradores de las fracciones resultan ser los cuadrados de las variables, actuando como minuendo la fracción que tiene como numerador el cuadrado de la variable independiente. Los denominadores de las fracciones son también cuadrados, los de la distancia entre los vértices horizontales para la variable x, y entre los vértices verticales para la variable y.Asíntotas de una parábola

Si en la gráfica de cualquier hipérbola trazamos un rectángulo que tenga dos de sus lados superpuestos con las rectas que, siendo paralelas al eje de coordenadas, pasan por los vértices horizontales de la hipérbola, y los otros dos superpuestos con las rectas que, siendo paralelas al eje de abscisas, pasan por los vértices verticales; las rectas que pasan simultáneamente por vértices

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opuestos de este rectángulo reciben el nombre de asíntotas de la hipérbola. Por ende, las mismas resultan ser dos rectas, una que pasa por los puntos (a;b) y (-a;-b), y otra que pasa por los puntos (a;-b) y (-a;b).

Por ende dichas rectas responden a las ecuaciones:Excentricidad de la hipérbola

Se define excentricidad de la hipérbola como el índice de mayor o menor apertura de sus ramas. La misma surge del cociente c/a, o sea el cociente entre la distancia focal y la distancia entre los vértices horizontales.

Ahora bien, como c>a el cociente siempre será un número mayor a la unidad. Por ende, la hipérbola tendrá más juntas sus ramas cuanto mayor sea la excentricidad (más se aleje del 1), y las tendrá más separadas cuanto menor sea la excentricidad (más se acerque a 1).Hipérbola equilátera

Es aquella hipérbola donde a=b, por lo que la expresión de la define es:

Lo que nos permite escribirla como:

Hipérbola referida a sus asíntotasExpresión de la hipérbola equilátera referida a sus asíntotas, o sea, de modo

tal que una de ellas actúe como eje de abscisas y la otra como eje de ordenadas, lo que es posible ya que al ser a=b, las asíntotas terminan siendo perpendiculares en sí. En dicho caso, la ecuación responde a la expresión: x * y = k.

Sistemas con ecuaciones lineales y no linealesSistemas que están integrados por la participación de una ecuación lineal

con otra que es cuadrática, limitándonos además a aquellas en las que intervengan dos variables. Este tipo de sistemas también suele reconocerse con el nombre de intersección entre cónicas y rectas. Cuando tenemos este tipo de sistemas, lo que buscamos es el conjunto de valores que deben adoptar las variables para verificar simultáneamente a la recta del sistema y a la cuadrática que la acompaña.

En cualquier caso, la recta puede: NO tener punto en común alguna con la cuadrática asociada por el sistema. Se dice que la recta es ajena a la cuadrática, por lo que el sistema carece de solución. Tener un único punto en común con la cuadrática asociada por el sistema. Se dice que la recta es tangente a la cuadrática, por lo que el sistema tiene una única solución. Tener dos puntos en común con la cuadrática asociada por el sistema. Se dice que la recta es secante a la cuadrática, por lo que el sistema tiene dos soluciones diferentes.

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El procedimiento para hallar la solución, en general implicar despejar una variable en la ecuación lineal y reemplazar la expresión obtenida en la cuadrática, de modo de lograr que en ella quede una sola variable, justamente, la que se decidió no despejar anteriormente. Así se encuentra el valor de dicha variable, y seguidamente se reemplaza el mismo en cualquiera de las ecuaciones, para obtener el valor de la segunda variable.

Sistemas de ecuaciones no linealesLa solución de sistemas compuestos por ecuaciones cuadráticas son

bastante complejos. Por ello nos limitaremos a sistemas de dos ecuaciones cuadráticas cónicas (las ya vistas) formadas cada uno por dos variables.

Ahora las situaciones se ven aumentadas, ya que puede darse que: El sistema carezca de solución.

El sistema tenga una única solución.

El sistema tenga dos soluciones.

El sistema tenga tres soluciones.

El sistema tenga cuadro soluciones. El sistema tenga soluciones infinitas, lo cual ocurre cuando las ecuaciones describen a una misma ecuación cuadrática.

El procedimiento de hallar la solución (si es que existe) es muy similar al utilizado anteriormente en los sistemas con ecuaciones lineales y no lineales.

UNIDAD X: ProgresionesSucesiones numéricas

Podríamos describir a una sucesión como un conjunto de elementos ordenados dispuestos uno después de otro. Existe un primer elemento que precede a todos los demás, un segundo elemento que sigue al primero y precede al resto, y así sucesivamente en un orden determinado.

A veces es posible detallar todos los elementos, mientras que otras veces no se desea o es imposible, frente a lo cual se utilizan puntos suspensivos o elipsis, lo cual significa que el resto de los elementos NO detallados tienen el mismo patrón que los ya dados.

Cada elemento de la sucesión se denomina término de la sucesión. Si la sucesión tiene un número limitado de términos, se dice que es una sucesión finita. Mientras que si no existe un último término, se dice que es una sucesión infinita.

Cuando los elementos de la sucesión son números, estamos frente a una sucesión numérica, la cual es un conjunto de valores que responden a una determinada ley de formación, que permite enumerarlos y disponerlos en un orden determinado.

Los términos de una sucesión pueden representarse genéricamente utilizando una letra minúscula acompañada de un subíndice que indica la ubicación del término dentro de la sucesión, como: a1, a2, a3, a4, …, an. El an

es el enésimo término de la sucesión, y recibe el nombre de término general,

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dado que conociendo la conformación del mismo es posible encontrar cualquier otro.

Visto de esta manera, una sucesión es una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales y el rango los términos de la sucesión. A cada elemento de natural le corresponde un elemento de la sucesión, y recíprocamente. La regla que los vincula se denomina ley de formación, la cual generalmente puede expresarse a través de una fórmula, que permite especificar analíticamente la conformación del término general.Sucesión numérica: conjunto de valores que responden a una determinada ley de formación, que permite enumerarlos y disponerlos en un orden determinado.Sumatoria

La notación de sumatoria se utiliza para abreviar la expresión de suma de una sucesión numérica, cuyos términos admiten una cierta ley de formación que puede ser expresada a través de una fórmula matemática.

Si los términos responden a una determinante ley de formación que puede expresarse a través de una formula, entonces su suma es posible escribirla en forma abreviada, valiéndose de la notación sumatoria:

Ésta utiliza la letra griega sigma mayúscula precediendo a la expresión que identifica el término general. La misma se lee sumatoria desde k=1 a n de a sub k. El subíndice k se llama índice de la sumatoria y adopta sucesivamente valores enteros desde el valor inicial (límite inferior) reflejado en la parte inferior de la letra sigma, hasta el valor final (límite superior) indicado en la parte superior, NO repitiéndose ninguno de ellos.

La cantidad de sumandos resulta equivalente a la cantidad que surge de aumentar en uno el valor absoluto de la diferencia entre el límite superior y el inferior de la sumatoria.

Como índice de la sumatoria puede utilizarse cualquiera letra, pero la misma debe coincidir con la que identifique el dato variable en la expresión genérica que acompaña a la sumatoria y describe cada uno de los sumandos.Productorio

La notación de Productorio se utiliza para abreviar la expresión de un producto cuyos factores conforman una sucesión numérica, cuyos términos admiten una cierta regla de formación que puede ser expresada a través de una fórmula matemática.

El producto se índice en forma abreviada a través de la notación de productorio, en la cual se emplea la letra griega pi mayúscula precediendo a la expresión que identifica el término general.

Se lee producto desde k=1 a n de a sub k. El subíndice k recibe el nombre de índice del producto y adopta valores enteros comprendidos entre el valor inicial (límite inferior) indicado en la parte inferior de la letra pi, y el valor final (límite superior), colocado en la parte superior de dicha letra.

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Vale aclarar que a dicho índice le caben idénticas consideraciones a las expresadas para el índice de la sumatoria, y la cantidad de factores lo mismo que para la de sumandos.Factorial

El factorial de un número natural constituye el producto de sí mismo por los sucesivos naturales menores que él hasta 1, computados una única vez cada uno de ellos. También podría decirse que el factorial de un número natural es el producto de los n primeros números naturales tomados una sola vez cada uno de ellos.

El mismo se representa como n! y se lee n factorial o factorial de n.Otra forma de definir el factorial de un número natural, consiste en decir que

resulta igual al producto de dicho número por el factorial del natural inmediato menor:

(n+1)! = (n+1) n! n! = n (n-1)!Existe un caso que escapa a la definición de factorial, y cuyo valor es

adoptado por “convención”. Se trata del factorial de cero que se utiliza con el valor 1: 0! = 1.Progresiones. ClasificaciónProgresión aritmética

Son progresiones aritméticas aquellas sucesiones numéricas donde cada término, después del primero, se obtiene de sumarle al anterior una constante denominada diferencia (d). En base al signo de ésta última, la progresión puede ser: Si la diferencia es un valor positivo la progresión es creciente. Si la diferencia es un valor negativo la progresión es decreciente.

Por ello si cada término es mayor que la anterior (an+1>an) la progresión recibe el nombre de progresión monótona creciente. Mientras que si cada término es menor que el anterior (an+1<an) la progresión se denomina progresión monótona decreciente.

Obviamente d≠0, ya que fuera así, todos los elementos serían idénticos.Podríamos también decir que la diferencia d surge de restar de cualquier

término (excepto el primero) el inmediato anterior.Elementos característicos de una progresión aritmética Cálculo del valor de un término cualquier en función del primero :

an = a1 + (n-1)d Cálculo del valor del primer término en función del enésimo :

a1 = an – (n-1)d Cálculo de la diferencia d de una progresión aritmética :

Cálculo del número de términos de una progresión finita o del subíndice que le corresponde a un término cualquiera de la progresión:

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Cálculo de la suma de los n primeros términos de la progresión : (VER DEMOSTRACIÓN)

Propiedades en las progresiones aritméticas1.La suma de dos términos de una progresión aritmética finita que están a la misma distancia de los extremos es igual a la suma de los términos extremos de la misma progresión: a1+k + an-k = a1 + an. (VER DEMOSTRACIÓN)2.La suma de los n primeros términos de una progresión aritmética es igual a la semisuma de los términos extremos multiplicada por el número de términos que se pretende sumar (VER DEMOSTRACIÓN)Progresión geométrica

Son progresiones geométricas aquellas sucesiones numéricas donde cada término, excepto el primero, resulta igual al término anterior multiplicado por un valor constante llamado razón (r). Ahora bien, en base a la característica de dicha razón y del primer término, las progresiones geométricas pueden ser: Creciente :o Cuando r>1 y a1>0. o Cuando 0<r<1 y a1<0

Decreciente :o Cuando r>1 y a1<0. o Cuando 0<r<1 y a1>0

Oscilante : la progresión tendrá sus términos alternativamente positivos y negativoso Atenuada: 0>r>-1 o Explosiva: r>-1Claramente r≠0, ya que de ser así, todos los términos de la progresión

después del primero serían nulos. Tampoco puede valor 1 ya que todos los elementos de la sucesión serían idénticos, y si la r=-1, todos los términos coincidirían en su V.A. alternando su signo.

Una forma de obtener la razón r es realizar el cociente entre un término cualquier a excepción del primero, y el término inmediatamente anterior.Elementos característicos de una progresión geométrica Cálculo del valor de un término cualquier en función del primero : todo término de una progresión geométrica es igual al primer término multiplicado por la razón de la misma elevada a un exponente igual al subíndice de dicho término disminuido en una unidad:

an = a1 * r(n-1)

Cálculo del valor del primer término en función del enésimo :

Cálculo de la razón r de una progresión aritmética :

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Cálculo del número de términos de una progresión finita o del subíndice que le corresponde a un término cualquiera de la progresión:

Cálculo de la suma de los n primeros términos de la progresión : la suma de los n primeros términos de una progresión geométrica es igual a la diferencia entre el producto del último término por la razón y el primer término, dividida por la razón disminuida en una unidad. (VER DEMOSTRACIÓN)

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Propiedad que se verifica en las progresiones geométricas El producto de dos términos equidistantes (a igual distancia) de los extremos de una progresión geométrica finita es igual al producto de los extremos, es decir, del primer término por el último: a1+k * an-k = a1 * an

UNIDAD XI: Análisis CombinatorioConcepto de población y muestra

Al conjunto o reunión de elementos de igual naturaleza se lo denomina población, es decir, al conjunto o total de elementos que componen una base de estudio.

En fin, población se refiere al conjunto de todos los elementos susceptibles de ser analizados en un estudio determinado de alguna de sus atributos, sean o no efectivamente estudiados, pero siempre involucrados en las conclusiones que se obtengan.

En cambio, una muestra no es sino un parte de la población a estudiar, que incluso puede a llegar a ser la población misma, pero que si no lo fuera debe ser tal que, resultando integrante de ella, conserve las características que sobre el atributo en estudio, se observa en la población de la que se obtiene dicha muestra.

Resumiendo diremos que estos dos conceptos están íntimamente asociados entre sí, siendo la muestra un subconjunto de la población, y de modo tal que las características que se pretenden estudiar, se conserven en los elementos que se seleccionan para integrar la muestra.

Por otro lado, cuando uno en un estudio incluye todos los elementos de la población que pretende analizar, está realizando un censo, mientras que si lo que está estudiando es una parte de esa población y a partir de las conclusiones que logrea para la misma genera conclusiones para el total, lo que está practicando es un estudio muestral. Las conclusiones obtenidas de un censo reciben el nombre de parámetros, los que resultan ser fijos e inequívocos, mientras que lo obtenidas en un estudio muestral se llama estimador del parámetro, ya que podría diferir del mismo.

Por último, digamos que el cardinal de la población, o sea la cantidad de elementos con que cuenta la misma, se identifica con la letra n, mientras que el cardinal de la muestra, con la p. Si en la población existieran elementos repetidos, la forma de indicarlos será utilizar la letra n acompañada de subíndices crecientes, en tantos como los que resulten necesarios.Diferentes formas de integrar una muestra

Existen situaciones en las que al hacer la consulta a un elemento objeto de estudio, el mismo puede ser consulta una única vez. En esta situación un elemento no puede repetirse en la integración de la muestra.

En cambio, existen otras situaciones en la que un mismo elemento objeto de estudio puede ser consultado más de una vez sobre el mismo atributo, por lo que es viable que un elemento pueda repetirse en la integración de la muestra.

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Cuando se da una circunstancia en la que la muestra se integra con elementos todos diferentes entre sí se dice que estamos frente a una integración de la muestra que no acepta repetición de elementos. Mientras que si por el contrario, se admitiera consultar más de una vez al mismo elemento, decimos que la muestra admite la repetición de elementos (admite, no exige).

Si al integrar la muestra no importara el orden de selección de los elementos de la población, o sea que la muestra no se altera por cambio en el orden en que se van incorporando los elementos a la muestra, estaremos en un caso distinto de aquel en el que alterando dicho orden se termina teniendo una muestra diferente.

Análisis Combinatorio Simple y Análisis Combinatorio con repetición

En ambos casos, el análisis combinatorio apunta a que, en base a la identificación del tipo de muestra que se desea obtener y los referidos al tamaño y constitución de la población de la que se obtendrá dicha muestra, pueda determinarse por un lado la cantidad de muestras posibles y diferentes entre sí que se lograrían conformar, y en segundo lugar conformar cada una de esas muestras viables.

Estaremos frente a un análisis combinatorio simple, análisis combinatorio sin repetición o análisis combinatorio sin reposición, cuando las condiciones que influyen en la composición de la muestra a partir de los elementos de la población son tales que no admiten la repetición de elementos. En cambio estaremos frente a un análisis combinatorio con repetición o análisis combinatorio con reposición, cuando por el contrario, al momento de integrarse la muestra, la situación admita que un mismo elemento aparezca en más de una oportunidad.

Finalmente, que teniendo en cuenta otras consideraciones como la posibilidad de alteración de una muestra a otro como consecuencia de la incidencia o no del orden en que se conforme la misma, cada uno de estos análisis se subdivide en: arreglos, permutaciones y combinaciones.

Arreglos SimplesDada una población de n elementos todos diferentes entre sí, para

conformar con ellos muestras de tamaño p con p<n, se dice que estamos frente a un “arreglo simple”, cuando una muestra de p elementos distintos entre sí tomados desde esa población n, resulta diferente de otra si tienen entre sí al menos un elemento diferente, o si, teniendo los mismos elementos, difieren en el orden de aparición en dicha muestra.

En algunas bibliografías suelen denominarse variaciones simples o disposiciones simples.Número de Arreglos

El total de arreglos de simboliza con una A (o V o D) acompañada de dos identificaciones adicionales, por un lado un subíndice que indica el tamaño de

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la población desde la que se extrae la muestra, y por otro un superíndice que refleja el tamaño de la muestra:

Permutaciones simplesSi se dispone de n elementos diferentes entre sí que constituyen una

población, y sobre ellos se hace una selección de todos esos elementos (n=p), estaremos frente a una permutación simple, cuando una muestra de n elementos se considere distinta de otra cuando difieran en el orden de aparición de sus elementos componentes. Números de las permutaciones simples

Se basa en determinar cuántas muestras diferentes podrían lograr en las condiciones correspondientes a una permutación simple y a partir de una población n elementos distintos entre sí. Dicha cantidad se representa simbólicamente como:

Esto se lee como “cantidad de permutaciones simples de n elementos”.Combinaciones Simples

Se dice que dada una población de n elementos entre sí, para ser tomados en muestras de tamaño p y con la condición de que, por un lado p≤n, y por el otro los elementos seleccionados sean distintos entre sí, estaremos frente a una combinación simple cuando dos muestras obtenidas sean consideradas distintas solo cuando difieran en al menos un elementos, considerándose una misma muestra cuando teniendo los mismos elementos éstos aparecen alterados en su orden.

Numero de las combinaciones simplesEsto se refiere a la cantidad de muestras de p elementos distintos entre sí se

pueden lograr desde una población de n elementos diferentes entre sí y que terminan cumpliendo con los requisitos de una combinación simple.

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Consideremos que a pesar de que no conocemos dicha cantidad verdaderamente, podemos afirmar que ese total de combinaciones simples para muestra de p elementos y desde una población de n elementos, fuera conocido. Si tomamos cada una de las muestras posibles y en ella hacemos la permutación de los p elementos que la componen entre sí, cada permutación terminaría siendo la misma combinación, pero se alcanza un nuevo arreglo simple con cada cambio. Si lográramos hacer con cada combinación de todos esos cambios, alcanzaríamos el total de arreglos simples de esa misma población original, tomados en muestra de tamaño p. Lo que acabamos de expresar podemos representarlo de la siguiente forma:

De donde simplemente despejando podemos obtener que:

Si en el segundo miembro reemplazáramos al denominador y al numerador, por las fórmulas correspondientes, nos queda que:

Lo cual se lee “cantidad de combinaciones simple de p elementos que pueden lograrse desde un población de n elementos.Arreglos con repetición

Dada una población de n elementos todos distintos entre sí, para formar con ellos muestras de p elementos, donde p puede ser menor, igual o mayor que n y donde cualquiera de los n elementos puede repetirse hasta p veces en una muestra, estaremos frente a un arreglo con repetición cuando dos muestras se consideren distintas entre sí si difieren en al menos un elemento o si, teniendo iguales elementos, éstos difieren en el orden de aparición de los elementos no repetidos entre sí.Número de los arreglos con repetición

Se identifica como número de los arreglos con repetición a la cantidad de arreglos de este tipo que pueden obtener tomando de a p a los n elementos de una población sobre la que seleccionan dichas muestras. Lo mismo se simboliza como:

Se lee como “cantidad de arreglos de n elementos tomados de a p con repetición”.

Permutaciones con repeticiónEn este caso debe darse que la población presenta ya en ella misma la

repetición de los elementos, y además que en la muestra se tomen todos los

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elementos que la integran.Diremos que estamos frente a una permutación con repetición cuando a

partir de una población de n elementos en los que hay n1, n2, n3, …, np, repetidos de modo tal que se verifica que n1 + n2 + n3 + … + np = n, se conforma una muestra de p=n elementos con idénticas repeticiones, y de modo tal que una muestra se considera diferente de otra cuando se observa un cambio en la posición de elementos no repetidos entre sí.

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Número de permutaciones con repeticiónRecordando que conforme a lo dicho sobre la forma en que está integrada la

población, debe verificarse que n1 + n2 + n3 + … + np = n, y donde al menos un ni debe ser mayor que 1, pudiendo ser el resto la unidad.

La cantidad de permutaciones con repetición que pueden obtener se simboliza como:

Se lee como “cantidad de permutaciones de n elementos entre los que hay n1 repetidos, n2 repetidos, n3 repetidos, etc. repetidos”.

Combinaciones con repeticiónSe llaman combinaciones con repetición de n elementos de una población,

todos diferentes entre sí, tomados de p en p, donde cualquiera de los n elementos puede ser repetido hasta p veces, a las muestras de p elementos cualesquiera, tomados de entre los n dados de la población, aunque sean repetidos, conviniendo en considerar dos muestras diferentes entre sí cuando constan por lo menos de un elemento distinto.Números de las combinaciones con repetición

El total de combinaciones con repetición que pueden lograrse de una población de n elementos tomándolos de p en p se simboliza como:

En base a ciertas deducciones y demostraciones (VERLAS) se llega a la conclusión de que el total de grupos o muestras que podrían lograr combinando con repetición los n elementos de una población en muestras de tamaño p, coincidirá en cantidad con el total de muestras que podrían obtener combinando sin repetición en muestras de p elementos, los n+p-1 elementos de otra población de referencia.

Todo ello podría ser expresado de la siguiente manera, luego de remplazar ciertas partes por las fórmulas vistas anteriormente:

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ProbabilidadConsideramos un experimento que tiene un número finito de posibles

resultados o consecuencias, donde cada una de ellas tiene la misma posibilidad de ocurrir, siendo además mutuamente excluyentes, lo que es lo mismo decir que no coexisten como tales sino que, dado uno se elimina el o los restantes. Denominaremos experimento al procedimiento mediante el cual se obtiene una observación o resultado. El conjunto de todos los resultados posibles recibe el nombre de espacio muestral. Cualquier subconjunto de éste, se denomina suceso o evento.

La probabilidad de un suceso es una medida que indica la posibilidad de que dicho suceso ocurra. Así, la probabilidad simple de un suceso o evento se define como el cociente entre los números de resultados favorables a que tal suceso ocurra respecto al número de resultados posibles:

Puesto que cualquier suceso es un subconjunto del espacio muestral, es decir, como el numero de resultados favorables ≤ número total de resultados posibles, podemos decir que la probabilidad que un suceso ocurra estará entre 0 y 1. Si el suceso es imposible que ocurra, porque no está incluido dentro del espacio muestral, entonces su probabilidad es cero. En cambio, si el suceso es seguro que ocurra, porque es el único resultado posible, la probabilidad es igual a 1. Entonces: 0 ≤ P(A) ≤ 1.

Por último podríamos decir que la probabilidad de que el suceso A ocurra, más la probabilidad de que dicho suceso NO ocurra, es igual a 1: P(A) + P(A´)=1, expresión de la cual podemos despejar: P(A)=1-P(A´), o bien P(A´)=1-P(A).