TRIGONOMETRÍA

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SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR

I. SISTEMA SEXAGESIMAL ( ° ) : Grado sexagesimales ( ‘ ) : Minuto sexagesimales ( ‘’ ) : Segundo sexagesimales

1° = �∡ � ��� ��� �∡ 1 ������ = 360°

1° = 60’ 1’ = 60’’ 1° =3600’’

II. SISTEMA CENTESIMAL ( g ) : Grado centesimales ( m ) : Minuto centesimales ( s ) : Segundo centesimales

1� = �∡ � ��� ��� �∡ 1 ������ = 400�

1g = 100m 1m = 100s 1g =10 000s

III. SISTEMA RADIAL ( rad ) : Radián

1 ��� = �∡ � ��� ! �∡ 1 ������ = 2#���

CONVERSIÓN DE SISTEMAS I Para convertir medidas angulares de un sistema a otro se multiplica por los siguientes factores de conversión.

9° 180° 200g 27’ 81’’ 27’ 162’

10g #��� #��� 20

m 250° 5000

s 5

m

CONVERSIÓN DE SISTEMAS II Sea ∡AOB, un ángulo cualquiera

S = # de grados sexagesimales del ángulo C = # de grados centesimales del ángulo R = # de radianes del ángulo Se cumple:

NOTACIONES IMPORTANTES Para un ángulo cualquiera se cumple:

# de grados sexagesimales = S

# de minutos sexagesimales = 60S # de segundos sexagesimales = 3600S

# de grados centesimales = C

# de minutos centesimales = 100C # de segundos centesimales = 10000C

LONGITUD DE ARCO L: Longitud del arco AB R: Longitud del radio

θ: # de radianes de la �∡$%&

LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA (LC)

ÁREA DE UN SECTOR CIRCULAR A: Área del sector circular AOB R: Longitud del radio

θ: # de radianes de la �∡$%& OTRAS FORMULAS ÁREA DEL CÍRCULO (AC)

B

O S° = Cg = R rad

A

1 rad

r

r r o '( = 2#) R LC O

' = * ∙ )θ rad

R

R L o

$ = ' 2*

B

A

o θ rad

R

B

A

o

R

$ = ) 2 ∙ *

$ = ' ∙ )2

$( = # ∙ ) R

O

,180 = .200 = )#

,9 = .10 ,180 = )#

.200 = )#

TRIGONOMETRÍA

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ÁREA DE UN TRAPECIO CIRCULAR (AT) A: Área del trapecio circular a: Longitud del arco mayor b: Longitud del arco menor h = R - r

ÁNGULO BARRIDO POR UNA RUEDA *0: Ángulo barrido por la rueda 12: Espacio recorrido R : Longitud del radio de la rueda

NÚMERO DE VUELTAS QUE DA UNA RUEDA (#4) APLICACIONES EN ENGRANAJES Y POLEAS

I. DOS ENGRANAJES DE CONTACTO

II. DOS ENGRANAJES UNIDOS POR UN EJE

III. DOS POLEAS UNIDAS POR UNA CORREA

5678 = .����9 %:��;�9<=:9��>�;� =

�?

@AB8 = .����9 $�C�?�>��<=:9��>�;� =

D?

EFG8 = .����9 %:��;�9.����9 $�C�?�>�� =

�D

@HG8 = .����9 $�C�?�>��.����9 %:��;�9 =

D�

56I8 = <=:9��>�;�.����9 $�C�?�>�� =

?D

@BI8 = <=:9��>�;�.����9 %:��;�9 =

?�

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS COMPLEMENTARIAS: CO- RAZONES 5678 = @AB(KL − 8) = @ABO @AB8 = 567(KL − 8) = ,�>P EFG8 = @HG(KL − 8) = .�QP @HG8 = EFG(KL − 8) = R�QP 56I8 = @BI(KL − 8) = .;?P @BI8 = 56I(KL − 8) = ,�?P

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS RECÍPROCAS

5678 ∙ @BI8 = S

5678 = S@BI8

.;?T = 1,�>T

@AB8 ∙ 56I8 = S

.9;T = 1,�?T

,�?T = 1.9;T

EFG8 ∙ @HG8 = S

R�QT = 1.�QT

.�QT = 1R�QT

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO

*0 = 12)

R

R R

R R

Eje

#U = 1(2#) #U = *02#

r R

*V = *W R r

Eje

? = � + D

1V = 1W

T + P = 90°

? > Z�; D\

1V = 1W

T + P = 90°

r R

Correa

$ = (� + D)2 ∙ ℎ

h

o

h

a

R-r

r

R-r

r

b

a

b c

α

β

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RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES

R.T. 30° 60° 45° 37° 53°

Sen 12

√32

√22

35

45

Cos √32

12

√22

45

35

Tag √33

√3 1 34

43

Ctg √3 √33

1 43

34

Sec 2√3

3 2 √2

54

53

Csc 2 2√3

3 √2

53

54

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

I. DATOS : HIPOTENUSA Y θθθθ

II. DATOS : CATETO OPUESTO Y θθθθ

III. DATOS : CATETO ADYACENTE Y θθθθ

ÁNGULOS VERTICALES

ÁNGULO DE ELEVACIÓNÁNGULO DE DEPRESIÓN

H

θ

H Cosθ θ

H

a

θ

a Cscθ θ

a Cscθ

a θ

a Secθ

a θ

IGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS

16° 74°

725

2425

2425

7

25

724

247

247

7

24

2524

257

257

2524

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

ELEVACIÓN DEPRESIÓN

ÁNGULOS HORIZONTALES ROSA NAÚTICA RUMBO

N55°E : Del Norte 55° al EsteS20°O : Del Sur 20° al Oeste

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL

5678 � %���>���

)��=9

@AB8 � $D;?=;�

)��=9

EFG8 � %���>���

$D;?=;�

@HG8 � $D;?=;�

)��=9

56I8 � )��=9

$D;?=;�

@BI8 � )��=9

%���>���

H Senθ

a

a Tagθ

� � a

20°

S20°O

N

55°

S

O

M X Jb; CN

M M Jb; CN

r

r

TRIGONOMETRÍA

Página 3

ÁNGULOS HORIZONTALES

N55°E : Del Norte 55° al Este S20°O : Del Sur 20° al Oeste

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL

%���>���)��=9 c�?�9�

� de

$D;?=;�)��=9 c�?�9�

� b�

%���>���$D;?=;�

� Cb

$D;?=;�)��=9 c�?�9�

� bC

)��=9 c�?�9�$D;?=;�

� �b

)��=9 c�?�9�%���>���

� �C

ab X C

N55°E

E

14

�45°

4� 11°15f

r

y

x

X M Jb; CN

X X Jb; CN

r

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RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ANGULOS CUADRANTALES

R.T. 0°

0 rad

90°

π/2 rad 180°

Π rad 270°

3π/2 rad

Sen O 1 O M1

Cos 1 O −1 O

Tag O N O N

Ctg N O N O

Sec 1 N −1 N

Csc N 1 N −1

REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE I. REDUCCIÓN AL IC PARA ÁNGULOS MENORES

QUE 360°

• PRIMERA FORMA:

• SEGUNDA FORMA:

II. REDUCCIÓN AL IC PARA ÁNGULOS MAYORES

QUE 360°

Si: T > 360° → T = 360> + P

III. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS

NEGATIVOS ,�>(−T) = −,�>T .9;(−T) = .9;T R�Q(−T) = −R�QT .�Q(−T) = −.�QT ,�?(−T) = ,�?T .;?(−T) = −.;?T

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS IDENTIDADES RECÍPROCAS ,�>T ∙ .;?T = 1 .9;T ∙ ,�?T = 1 R�QT ∙ .�QT = 1

IDENTIDADES POR COCIENTE

R�QT = ,�>T.9;T

.�QT = .9;T,�>T

IDENTIDADES PITAGÓRICAS ,�> T + .9; T = 1 ,�? T = 1 + R�Q T .;? T = 1 + .�Q T

IDENTIDADES AUXILIARES ,�>�T + .9;�T = 1 − 2,�> T ∙ .9; T

,�>�T + .9;�T = 1 − 3,�> T ∙ .9; T

(,�>T + .9;T + 1)(,�>T + .9;T + 1) = 2,�>T.9;T

(1 ± ,�>T ± .9;T) = 2(1 ± ,�>T)(1 ± .9;T)

a1 ± 2,�>T ∙ .9;T = |,�>T ± .9;T| 1 + ,�>T.9;T = .9;T1 − ,�>T

1 + .9;T,�>T = ,�>T1 − .9;T

R�QT + .�QT = ,�?T ∙ .;?T ,�? T + .;? T = ,�? T ∙ .;? T

PROPIEDAD:

Si $,�>T + &.9;T = ., se cumple que:

,�>T = $.

.9;T = &.

,= C ;ó�9 ;=: $ + & = .

Signo ± depende de la R.T. original

Signo ± depende de la R.T. original

). R m180° ± T360° − Tn = ± ). R(T)

). R(T) = ). R(360° ∙ > + P) = ). R(P)

). R m 90° + T270° ± Tn = ± .% − ). R(T)

TRIGONOMETRÍA

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RAZ. TRIG.DE ÁNGULOS COMPUESTOS

,�>JT ± PN � ,�>T ∙ .9;P ± .9;T ∙ ,�>P

.9;JT ± PN � .9;T ∙ .9;P ∓ ,�>T ∙ ,�>P

R�QJT ± PN �R�QT ± R�QP1 ∓ R�QT ∙ R�QP

IDENTIDADES AUXILIARES

,�>(T + P) ∙ ,�>(T − P) = ,�> T − ,�> P

.9;(T + P) ∙ .9;(T − P) = .9; T − ,�> P

R�QT ± R�QP = ,�>(T ± P).9;T ∙ .9;P

RAZ. TRIG. DEL ÁNGULO DOBLE ,�>2T = 2,�>T.9;T

.9;2T =

.9; T − ,�> T

2.9; T − 1

1 − 2,�> T

R�Q2T = 2R�QT1 − R�Q T

IDENTIDADES AUXILIARES a1 ± ,�>2T = |,�>T ± .9;T|

.�QT + R�QT = 2.;?2b

.�QT − R�QT = 2.�Q2b

RAZ. TRIG. DEL ÁNGULO TRIPLE ,�>3T = 3,�>T − 4,�>�T

.9;3T = 4.9;�T − 3.9;T

R�Q3T = 3R�QT − R�Q�T1 − 3R�Q T

PARA DEGRADAR: 4,�>�T = ,�>3T − 3,�>T

4.9;�T = 3.9;T + .9;3T

,�> mT2n = ±p1 − .9;T2

.9; mT2n = ±p1 + .9;T2

R�Q mT2n = ±p1 − .9;T1 + .9;T

TRANSFORMACIÓN A PRODUCTO Si: b > C , se cumple:

,�>q + ,�>d = 2,�> rb + C2 s .9; mb − C2 n

,�>b − ,�>C = 2.9; rb + C2 s ,�> mb − C2 n

.9;q + .9;d = 2.9; rb + C2 s .9; mb − C2 n

.9;q − .9;d = 2,�> rb + C2 s ,�> mb − C2 n

PROPIEDADES

Si: $ + & + . = 180°, secumple:

567$ + 567& + ,�> . = 4.9; r$2s .9; r&2s .9; r.2s

.9;$ + .9;& + .9; . − 1 = 4,�> r$2s ,�> r&2s ,�> r.2s

TRANSFORMACIÓN A SUMA O DIFERENCIA Si: b > C , se cumple:

2,�>b ∙ .9;C = ,�>(b + C) + ,�>(b − C)

2.9;b ∙ ,�>C = 2,�>(b + C) − ,�>(b − C)

2.9;q ∙ .9;d = 2.9;(b + C) + .9;(b − C)

2,�>q ∙ ,�>d = 2.9;(b − C) − .9;(b + C)

RAZ. TRIG. DEL ÁNGULO MITAD

NOTA: El signo ± depende del cuadrante al

cual pertenece b 2⁄

TRIGONOMETRÍA

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I. LEY DE SENOS

�,�>$

�D

,�>&�

?,�>.

�,�>$

�D

,�>&�

?,�>.

� 2)

� = 2),�>$; D = 2),�>&; ? = 2),�>.

II. LEY DE COSENOS

� = D + ? − 2D?.9;$

D = � + ? − 2�?.9;&

? = � + D − 2�D.9;.

III. LEY DE TANGENTES

� + D� − D = R�Q m$ + &2 nR�Q m$ − &2 n

� + ?� − ? = R�Q m$ + .2 nR�Q m$ − .2 n

D + ?D − ? = R�Q m& + .2 nR�Q m& − .2 n

IV. LEY DE PROYECCIONES � = D.9;. + ?.9;&

D = �.9;. + ?.9;$

? = �.9;& + D.9;$

ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS ECUACIÓN TRIGONOMÉTRICA ELEMENTAL (ETE)

u. R. (∡) =⋕

VALOR PRINCIPAL (VP) DE UNA “ETE”

u. R. (∡) =⋕ → cw = u. R.x� (⋕)

RESOLUCIÓN DE UNA “ETE”

1.

,�>(∡) =⋕ → cw = $�?9,�>(⋕)

∡ = ># + (−1)y cw

2.

.9;(∡) =⋕ → cw = $�?9.9;(⋕)

∡ = 2># ± cw , > ∈ ℝ

3.

R�Q(∡) =⋕ → cw = $�?9R�Q(⋕)

∡ = ># + cw

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS

A

B C

O R

A

B C a

b c

A

B C a

b c

A

B C a

b c

A

B C a

b c