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ANEXO 1GUÍA DE EXÁMENES Y PRÁCTICAS
PRIMER EXAMEN PARCIAL TIPO RESUELTO
1.- Resolver │x + 2│ + │x - 2│ 12│x + 2│ 12 - │x - 2│
- 12 + │x - 2│ x + 2 12 - │x - 2│
│x - 2│ x + 14 x - 10 - │x - 2│ - x - 14 x - 2 x + 14 - x + 10 │x - 2│
x + 10 x - 2 x - 10 - 12 2x x x + 16 12 2x x x - 8 x - 6 x ε R x 6 x ε RIntersección de soluciones Intersección de soluciones
x - 6 x 6Solución final, intersección de soluciones
- 6 x 6En la recta real
-8 -7 -6 0 6 7 8
2.- Hallar el siguiente límite
=
227
3.- Encontrar
Respuesta
4.- Hallar asíntotas, determinar simetría y graficar
Respuesta
x = 0 ; x = 2 Son asíntotas verticales
y = 0 es asíntota horizontal
No existe asíntota oblicua
Es simétrica respecto al eje x
No es simétrica respecto al eje y
No es simétrica al origen
228
x y3 ±1.29-1 ±0.57
5.- Derivar
229
PRIMER PARCIAL COMÚN (Semestre I/2005)
1.- Resolver a)
Solución (-∞, -3) U (0, 5)b)
Solución (-3, 0) U (5, ∞)
2.- Determinar el dominio Df de la función a)
Como es siempre positiva, la parte siempre existe.
Para el arccos debe cumplirse que:
Para la desigualdad de la derecha
) )(0 5-3
) ((0 5-3
FV V
230
V VF
La unión de estas soluciones será:
A) (-∞, -1) U (1, ∞)
Para la desigualdad de la izquierda
La unión de estas soluciones será:
B) (-1, -1/3)
La solución final es A) ∩ B)
b)
C)
231
[[1-1
]]1-1
[]1-1
][-1 3
-1
[]-1 -1
3
][-1 3
-1
][4-4
][-1 3
-1
][-1 3
-1
La solución final será la B) ∩ C)
3.- Hallar a)
Sea
b)
4.- Hallar
232
5.- a) Determinar asíntotas y graficar:
Asíntotas Verticales
Asíntota Horizontal
x y0 -1/62 1/8-7 1/8
b) Determinar asíntotas y graficar:
Asíntotas Verticales
233
Asíntota Horizontal
x y0 -1/52 1/7-6 1/7
PRIMER EXAMEN PARCIAL TIPO PROPUESTO
1.- Resolver │2x² - 3│ 4x + 3
2.- Hallar
3.- Demostrar el siguiente límite
4.- Determinar simetrías, asíntotas y graficar
234
5.- Derivar235
SEGUNDO EXAMEN PARCIAL TIPO. RESUELTO
1.- En un montón de forma cónica se deja caer arena a razón de 10 m 3/min. Si la altura del montón es dos veces el radio de la base, ¿a qué rapidez aumenta la altura, cuando el montón tiene 8 m de alto?
El volumen del cono viene dado por:
Si h=8
2.- Hallar máximos, mínimos, puntos de inflexión y graficar
Valores críticos
236
dV/
r
h
Existe un mínimo para x = 3/2 ; y = -1.69Para hallar los puntos de inflexión igualamos la segunda derivada a cero
Los puntos de inflexión serán:
Con lo cual obtenemos la siguiente gráfica:
3.- Encontrar
Sea
237
α1
x2 1x
4.- Hallar
Igualando coeficientes se tiene:
238
La primera y segunda integral se resuelven mediante las fórmulas 15 y 1 respectivamente, observe que la última integral, es la misma que la de la pregunta 3, por tanto:
5.- Encontrar
Sabemos que:
Por tanto:
239
SEGUNDO EXAMEN PARCIAL TIPO. PROPUESTO
1.- Hallar máximos, mínimos, puntos de inflexión y graficar
2.- Hallar las dimensiones del mayor rectángulo que puede inscribirse en la
elipse
(1)
3.- Integrar
4.-Encontrar
5.- Hallar
Sugerencia: Cambio de variable
EXAMEN FINAL TIPO. RESUELTO
1.- Resolver
1 GRANVILLE-SMITH-LONGLEY,Cálculo diferencial e integral, 1977, Ed. UTEHA Pag. 76
240
2.- Hallar el área encerrada por la curva , el eje x y las rectas x =1 ; x = 4Graficando se tiene:
241
El gráfico muestra la necesidad de evaluar dos integrales
Donde el signo negativo indica que el área se encuentra debajo del eje x
El área total es la suma del área 1 mas el área 2
3.- Encontrar la siguiente integral
242
A1
A2
4.- Evalúe la siguiente integral impropia
5.- Hallar
Como
Entonces
243
Como
Entonces
Como
Entonces
244
EXAMEN FINAL TIPO. PROPUESTO
1.- Resolver
2.- Hallar el área comprendida entre
3.- Hallar la siguiente integral
4.- Resuelva la siguiente integral impropia
5.- Hallar
245
PRÁCTICAS
PRÁCTICA # 1
Resolver las siguientes inecuaciones:
Resolver los siguientes límites
246
21) Para cualquier ε > 0, hallar un δ > 0 tal que;
│f(x) - L│ < ε siempre que 0 <│x - c│< δ
si
22) Si y ε= 0,002 Hallar δ
PRÁCTICA # 2
Determinar asíntotas simetría y graficar
1) 2)
3) 4)
5) 6)
7) 8)
9) 10)
Encontrar, si existen, los siguientes límites:
247
Usar la ley del emparedado para demostrar los siguientes límites
PRÁCTICA # 3
Derivar las siguientes funciones;
1.- 2.-
3.- 4.-
5.- 6.-
248
7.- 8.-
9.- 10.-
11.- 12.-
13.- 14.-
Hallar dy/dx si:
15.- x4y5 +xy – x8 = sin y cos2 x16.-
17) 18)
19) 20)
21) 22)
23) 24)
25)
249
PRÁCTICA # 4
Determinar los extremos relativos, puntos de inflexión y graficar. 2
1.- f(x) = x3 – 6x2 + 15 Resp. Max.Rel. (0, 15); Min.Rel.(4, -17)
2.- f(x) = x1/3 - 4
3.- f(x) = (x2 – 2x + 1) / (x + 1) Resp.(-3, -8) Máximo Relativo (1, 0) Mínimo Relativo
4.- Hallar a, b ,c y d tales que la función f(x)=ax3 + bx2 + cx +d tenga un mínimo relativo en (0,0) y un máximo relativo en (2,2).Resp. a = -1/2 ; b =3/2 ; c = d = 0.
5.- f(x) = x3 – 6x2 + 9x + 66.-
7.- Resp. (0, 0) Punto de Inflexión
8.- Un fabricante ha calculado que el costo total c de la explotación de una cierta instalación esta dado por c = 0,5x2 + 15x + 5000, donde x es el número de unidades producidas. ¿A qué nivel de producción será mínimo el costo medio por unidad? (El costo medio por unidad viene dado por c/x) Resp. x = 387,3
En los ejercicios 9 al 14 determine los extremos absolutos de la función en el intervalo indicado.
9.- f(x) = x2 (x2 – 2) + 1 en [-3, 0] Resp. Max. (-3, 64) Min. (-1, 0)
10.- en [-3, 0]
Resp. Máximo (0, 0). Mínimo (-√2, -(√2+1)/2
11.- f(x) = 2ln (1 + x2) + 2 en [0, 1]
12.- f(x) = arctag (1 + x2 ) en [0, 1]
13.- f(x) = -ln (1 + x2 ) en [-2, 3]
2 Larson Hostetler, Cálculo y Geometría Analítica 1987 Pags. 178, 185
250
14.- Hallar los extremos, puntos de inflexión y graficar
MÁXIMOS Y MÍNIMOS
15.- Una huerta rectangular ha de proyectarse al lado del solar de un vecino y ha de tener un área de 10800 m2. Si el vecino paga la mitad de la cerca medianera. ¿Cuáles deben ser las dimensiones de la huerta para que el costo de cercarla sea para el dueño de la huerta mínimo? 3
Resp. 90 x 120 m.
16.- Hallar el área del mayor rectángulo, con lados paralelos a los ejes coordenados, que puede inscribirse en la figura limitada por las dos parábolas 3 y = 12 – x2 ; 6 y = x2 – 12 (15) Resp. 16
17.- Un muro de 8 pies de altura, está cuatro pies delante de un alto edificio. ¿Cuál es la longitud de la escalera mas corta que pasa sobre el muro y se apoya en el edificio? Escoja como variable independiente el ángulo que forma la escalera con el suelo.
18.- En la recta x + y + 1 = 0 encuentre el punto más cercano al (3,4) Resp.(-1,0)
19.- De una hoja de cartón cuadrada que mide dos metros de lado se van a recortar pequeños cuadrados de las esquinas para, después de doblar las partes salientes de la figura en forma de cruz, hacer una caja. Encuentre la longitud de los lados de los cuadrados por recortar para que la caja resultante tenga la mayor área lateral posible. Resp. ½ m.
20.- Determinar el área máxima de un rectángulo inscrito en la parábola que tiene como base al eje x
21.- Hallar los puntos de la gráfica y = 4 – x2 que quedan más próximos al punto (0,2)
22.- La fórmula para la potencia P de una batería está dada por P = VI – RI2, donde V es el voltaje, R la resistencia e I la intensidad. Hallar la intensidad (medida en amperios A) que corresponde a un máximo de P en una batería en que V = 12 Voltios y R = 0,5 ohms.
3 GRANVILLE, SMITH, LONGLEY, Cálculo diferencial e integral, Ed.UTEHA México 1963 Pag.74
251
23.- Un hombre está en un bote a dos millas del punto más cercano de la costa. Ha de ir a un punto Q, situado a tres millas sobre la costa y una milla hacia el interior. Si puede remar a 2 millas/hora y caminar a 4 millas/hora, ¿hacia que punto de la costa habría de remar para alcanzar el punto Q en un tiempo mínimo? Fig. c) Resp. Una milla sobre la costa del punto más próximo.
ww
2 x 3 - x
24 h 1
Figura c) Figura d)
24.- Una viga de madera tiene una sección rectangular de altura h y de anchura w (Fig. d) La resistencia s de la viga es directamente proporcional a la anchura y al cuadrado de la altura. ¿Cuáles son las dimensiones de la viga más resistente que se puede cortar de un tronco de 24 pulgadas de diámetro? (Ayuda: s = kh2w, donde k es la constante de proporcionalidad) (Prob. 15-30 4)
VARIABLES RELACIONADAS15
25.- Un triángulo rectángulo tiene un cateto de 5 cm y su hipotenusa está aumentando a razón de 4 cm/min. Calcule la rapidez a la que está aumentando el área del triángulo cuando la hipotenusa es de 15 cm. Resp. 10,6066 cm2/min.
26.- La arista de un cubo se expande a razón de 3 cm/seg ¿A qué velocidad cambia el volumen cuando la arista tiene:? a) 1 cm b) 10 cm
27.- Un avión vuela a 31680 pies de altura, pasando la trayectoria de vuelo exactamente sobre una antena de radar. El radar detecta el avión y calcula que la distancia s al avión cambia a razón de 4 millas/min. Cuando tal
4 LARSON HOSTETLER, Cálculo y Geometría Analítica ,Mc Graw Hill, 1986 Pag.206
252
distancia es de 10 millas. Calcular la velocidad del avión en millas por hora.
PRÁCTICA # 5Resolver las siguientes integrales
253
x
s
Graficar las funciones en el intervalo dado y demostrar las siguientes integrales definidas:
15) 16)
17) 18)
19)
Graficar y determinar el área de la región cuyos contornos se indican
20) y = 3 x2 + 1 ; x = 0 ; x = 3 ; y = 0
21) y = x3 +x ; x = 2 ; y = 0
22) y = -x2 + 2x + 3 ; y = 0 Resp. 32/3
23) y = 1 – x4 ; y = 0 Resp. 8/5
24) y = 1/x2 ; x = 1 ; x = 2 ; y = 0
PRÁCTICA # 6
Haga un gráfico para los siguientes problemas y encuentre el área comprendida entre:1) 2) f(x) = x3 ; g(x) = x2 Resp. 1/123) f(x) = 3( x3 – x ) ; g(x) = 0 Resp. 3/24) f(x) = 4/x2 ; g(x) = x2 – 6x + 9 Resp. 0,818
254
5) f(x) = ( 3x )1/2 + 1 ; g(x) = x + 1 Resp. 3/26) f(y) = y2 ; g(y) = y + 2 Resp. 9/27) f(y) = y2 +1 ; g(y) = 0 ; y = -1 ; y = 2 Resp. 6
Mediante las fórmulas básicas de integración resuelva:
8) Resp. ½ ln(x2 + 4) + arc tan ( x/2 ) + C
9) Resp. ½ ln (x2 +1) + C
10) Resp.
11) Resp. ln x2 + 2x + 2 + 5 arctan (x + 1) +C
12)
Mediante el método de Completar el Cuadrado, resolver las siguientes integrales:5
13) Resp. arcsen (x + 2)/2 + C
14) Resp.
15) Resp. ½ arctan ( x2 +1 ) +C
16)
5 LARSON HOSTETLER, Cálculo y Geometría Analítica Mc Graw Hill 1987 Pag. 439
255
17)
Aplicando el método de las Fracciones simples resolver:6
18)
19)
20)
21)
22)
23)
Aplique integración por partes para resolver las siguientes integrales7
24) Resp.
25) Resp.
26)
6 HAASER, LASALLE, SULLIVAN. Análisis Matemático, Editorial Trillas México 1978 Pags. 738-7397 PITA RUIZ CLAUDIO, Cálculo de una variable, Editorial Prentice Hall. 1998 Pag. 756
256
27) Resp. (5x – 2) cosh x – 5 senh x + C
28) Resp. (2x + 1)sen x – (x2 +x – 1) cos x + C
29)
257
PRÁCTICA # 7
Resolver las siguientes integrales trigonométricas
1)
2)
3) Resp. ln 2
4) Resp.
5)..
Aplicando Sustituciones Trigonométricas resuelva
6) Resp.
7) Resp.
258
8)
9)
10) Resp.
Mediante cambios de Variable resolver
11) Resp. /6
12) Resp.
13) Resp. 9/4
14) Resp.
15)
259
16)
Hallar las siguientes Integrales Impropias
17) Resp. Diverge
18) Resp. 6
19) Resp. Diverge
20)
21)
260
BIBLIOGRAFÍA
1.- ABURTO BARRAGÁN ANTONIO. Cálculo Diferencial e Integral. Editorial Limusa. Edición 1998
2.- DEMIDOVICH B. P. 5000 Problemas de Análisis Matemático. Editorial Paraninfo Madrid Edición 1976
3.- GRANVILLE-SMITH-LONGLEY, Cálculo diferencial e integral. Editorial UTEHA, 1977
4.- HAASER, LASALLE, SULLIVAN, Análisis Matemático, Editorial Trillas, México Edición 1978
5.- LARSON HOSTETLER, Cálculo y Geometría Analítica. Editorial Mc. Graw Hill Edición 1986
6.- LEYTHOLD LOUIS, El Cálculo. Editorial Mac Graw Hill Edición 1988
7.- PENEYS Y EDWARDS. Cálculo y Geometría Analítica. Editorial Prentice Hall Edición 1987 (segunda edición)
8.- PINO-PHILLIPS-DIAZ, Calculus Amabilis, Serrano Editores, Edición 2002
9.- PITA RUIZ CLAUDIO, Cálculo de una Variable. Editorial Prentice Hall. Edición 1998 10.- TORRICO SEVILLA RAÚL, Solucionario Integrales 5000 Problemas de Análisis Matemático. Editorial Educación y Cultura, 1994
261
FÓRMULAS BÁSICAS DE DERIVACIÓN
Sean u, v funciones de x ; c una constante
262
FÓRMULAS BÁSICAS DE INTEGRACIÓN
263
264
Esta edición de prueba se terminó de imprimir en Agosto de 2008 en el Departamento de Matemáticas de la Facultad Nacional de Ingeniería