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Resumen de Física Teórica 3 para final (con Mininni)

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Sobre este resumen Este resumen NO ES OFICIAL de ninguna cátedra. Fue confeccionado por un alumno en condición definal. Dicho alumno aprobó así que el resumen sirve. Sin embargo debe saber que pueden haber errores de todo tipo (tipeo,cuentas, deducciones, interpretaciones, etc). Use este resumen con responsabilidad. Si comienza a notar efectos adversossuspenda inmediatamente su uso y consulte con su profesor de cabecera.

Índice1. Repaso de termodinámica 3

1.1. Potenciales termodinámicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.1. La relación fundamental (entropía, energía) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1.1. La ecuación de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.2. Energía libre de Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.3. Entalpía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.4. Energía libre de Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.5. Potencial gran canónico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.6. ¿Qué potencial termodinámico usar? (tabla de potenciales y diferenciales) . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2. Ensambles 42.1. Definición de microestado y macroestado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2. Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2.1. Hipótesis de ergodicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2.2. El límite termodinámico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3. Ensamble microcanónico (NV E) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3.1. Función de distribución microcanónica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3.2. Definición de entropía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3.3. Definición de temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.4. Ensamble canónico (NV T ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.4.1. Función de distribución canónica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.4.2. Función de partición canónica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.4.3. Equivalencia con el microcanónico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.4.4. Energía libre de Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.4.5. Entropía (de Shannon) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.5. Ensamble gran canónico (µV T ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.5.1. Función de distribución gran canónica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.5.2. Función de partición gran canónica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.5.3. Entropía del gran canónico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.5.4. Energía del gran canónico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.5.5. Equivalencia con los demás ensambles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.5.6. El potencial gran canónico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

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ÍNDICE ÍNDICE

3. Estadística cuántica 203.1. Gas ideal cuántico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.1.1. Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.1.1.1. Función de partición del gas ideal cuántico en el ensamble gran canónico . . . . . . . . . . . 213.1.1.2. Límite clásico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.1.2. Gas de partículas libres (H = p2

2m , FD y BE) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.1.2.1. Límite de gas no degenerado (fermiones y bosones) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.1.2.2. Límite de gas de fermiones degenerado (Pauli Exclusion Principle, white dwarf) . . . . . . . 283.1.2.3. Límite de gas de bosones degenerado (BEC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2. Gas de fotones (radiación de cuerpo negro) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.3. Gas de fonones (Modelo de Debye) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4. Modelo de Ising 344.1. Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.2. Función de partición canónica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.3. Intento de análisis sin ninguna aproximación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.4. Aproximación de campo medio (Bragg-Williams) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.4.1. Comportamiento del cambio de fase en función de la temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.4.2. Energía interna y calor específico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

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1 REPASO DE TERMODINÁMICA

1. Repaso de termodinámicaNo sé por qué se llama “repaso” pues nunca vimos termodinámica en la carrera (si F4 cuenta como que vimos termodi-

námica, es cualquiera).

1.1. Potenciales termodinámicosLos potenciales termodinámicos son funciones de los parámetros de control tales que si se conoce algún potencial termodi-

námico para un sistema entonces se conoce todo sobre dicho sistema, desde un punto de vista termodinámico. Los potencialestermodinámicos que existen son transformadas de Legendre de la relación fundamental E = E (S, V,N) [1, práctica pag. 7].

1.1.1. La relación fundamental (entropía, energía)

La relación fundamental de la termodinámica es una relación que da la entropía de un sistema como función de su energía,su volumen, y la cantidad de partículas de cada especie que éste posea. Es decir [2, eq. (1.8)]

S = S (E, V,N1, . . . , Nr)

Esta relación se puede invertir para obtener [2, eq. (1.9)]

E = E (S, V,N1, . . . , Nr)

Se denominan relaciones fundamentales (ambas) porque ellas contienen toda la información necesaria para la descripcióntermodinámica del sistema. Si se conoce la relación fundamental de un sistema, se conoce todo desde un punto de vistatermodinámico [2, pag. 29].

El diferencial de energía interna esdE = T dS − P dV + µdN

1.1.1.1. La ecuación de Euler Es [2, eq. (3.6)]

E = TS − PV + µN → Relación de Euler

1.1.2. Energía libre de Helmholtz

La energía libre de Helmholtz es [1, práctica pag. 8]

F (T, V,N) = E − TS

y es una transformada de Legendre de la energía con respecto a la entropía. Su diferencial es

dF = −P dV + µdN − S dT

1.1.3. Entalpía

La entalpía es la transformada de Legendre de la energía con respecto al volumen, y es [1, práctica pag. 8]

H (S, P,N) = E + PV

y su diferencial esdH = T dS + V dP + µdN

1.1.4. Energía libre de Gibbs

Se obtiene cuando se transforma con Legendre a E con respecto a S y a V . Es [1, práctica pag. 8]

G (T, P,N) = E − TS + PV

y su diferencial esdG = µdN + V dP − S dT

1.1.5. Potencial gran canónico

Es la transformada de Legendre con respecto a S y a N : [1, práctica pag. 8]

Ξ (T, V, µ) = E − TS − µN

y su diferencial esdΞ = −S dT − P dV −N dµ

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2 ENSAMBLES

1.1.6. ¿Qué potencial termodinámico usar? (tabla de potenciales y diferenciales)

En función cuáles sean los parámetros de control (i.e. las magnitudes fijas) de un sistema el potencial que se minimiza es[1, práctica pag. 8]

Magnitudes fijas Potencial que se minimiza Diferencial

S, V,N E (S, V,N) = TS − PV + µN dE = T dS − P dV + µdN

E, V,N S (E, V,N) = E+PV−µNT dS = 1

T dE + PT dV −

µT dN

T, V,N F (T, V,N) = E − TS dF = −P dV + µdN − S dT

S, P,N H (S, P,N) = E + PV dH = T dS + V dP + µdN

T, P,N G (T, P,N) = E − TS + PV dG = µdN + V dP − S dT

T, V, µ Ξ (T, V, µ) = E − TS − µN dΞ = −S dT − P dV −N dµ

2. Ensambles2.1. Definición de microestado y macroestadoDefinición de microestado

Un microestado es “una foto” de un sistema físico con todo nivel de detalle. Es decir que a partir de esta foto se puedenconocer todas las variables dinámicas de todos los componentes de este sistema físico.

La notación que voy a usar para representar los distintos microestados de un sistema es

|n〉 → Esto es un microestado

de modo tal que éstos pueden ser etiquetados |1〉 , |2〉 , |3〉 , . . . . Para especificar un microestado en particular habría que decirqué hace cada partícula. En el caso de un mol de gas clásico, por ejemplo, esto sería

|(q1, p1) , (q2, p2) , (q3, p3) , . . . , (q1023 , p1023)〉

donde qi y pi son la posición y el momento de la partícula i-ésima.

Definición de macroestado (con palabras)

Un macroestado es, también, “una foto” de un sistema físico pero con muy poco nivel de detalle. Esta foto nos permitesacar ciertas conclusiones acerca del estado del sistema pero de ninguna forma nos permite conocer el microestado del mismo.La notación que voy a usar para los macroestados es

JxK → Esto es el macroestado x

donde x es un conjunto de variables extremadamente reducido en comparación con las variables de los microestados. En ungas ideal un ejemplo de macroestado es JN,V, P K donde hemos especificado el número de partículas, el volumen y la presióndel mismo. Para este macroestado existe una inmensidad de microestados posibles en los que podría encontrarse el gas.

Definición de macroestado (más matemática)

Esta definición es una definición mía, así que podría estar mal. Pero yo voy a considerar que un macroestado

JxK → Notación para macroestados

es un conjunto de microestados y una función de probabilidad asociada a este conjunto. Es decir

El macroestado→ JxK =|1〉 , |2〉 , |3〉 , . . . Tiene asociado un conjunto de microestadosP (|n〉) y una función de probabilidad

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2.2 Generalidades 2 ENSAMBLES

Así voy a poder definir (más adelante) distintos tipos de macroestados y en algunos casos relacionarlos entre sí. Por ejemplo:

Macroestado microcanónico→ JN,V,EKµC =|1〉 , |2〉 , |3〉 , . . . P (|n〉) ∼ Uniforme

Macroestado canónico→ JN,V, T KC =

⋃i

JN,V,EiKµC

P (|n〉) ∼ exp(−E|n〉

kBT

)

Macroestado gran canónico→ Jµ, V, T KGC =

⋃i

⋃j

JNi, V, EjKµC =⋃i

JNi, V, T KC

P (|n〉) ∼ exp(−E|n〉 − µN|n〉

kBT

)Esto es algo que nunca vi en ningún libro y es un experimento que voy a hacer. Quizá sirve, quizá no.

2.2. GeneralidadesEnsambles Un ensamble es una herramienta matemática que consiste en un conjunto de muchas copias mentales de undeterminado sistema, todas pertenecientes a un mismo macroestado, y todas en distintos microestados. Todos los sistemasdel ensamble están considerados en un instante de tiempo fijo, el tiempo no avanza sino que cada elemento del ensamble escomo una fotografía del sistema.

El uso de los ensambles sólo sirve para sistemas en equilibrio y que sean ergódicos. La ergodicidad es algo muy complicadode demostrar, se ha demostrado formalmente para muy pocos sistemas [1]. Lo que haremos es asumir que los sistemas sonergódicos ya. La mayoría de los sistemas son terminan siendo ergódicos.

Hipótesis fundamental de la mecánica estadística

Para un sistema aislado y en equilibrio, todos los microestados accesibles son equiprobables [3, pag. 4].

Sea un sistema (clásico) hamiltoniano de N partículas. Sus ecuaciones de movimiento estarán entonces dadas por lasecuaciones de Hamilton

qi = ∂H

∂pi

− pi = ∂H

∂qi

El sistema estará completamente descripto por 6N coordenadas. Podrá representarse entonces en dos espacios que son elΓN -space y el µ− space [4, sec. 5-2], según se representan a continuación:

q(3N)

p(3N)

q(3)

p(3)

ΓN-space6N dimensiones

µ-space6 dimensiones

Un único punto representaa todo el sistema

El sistema es representadopor N puntos

Figura 1: Esqumatización del ΓN -space y del µ− space. Adaptado de [4].Los resueltos de

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Si la energía del sistema está fija en un valor E, entonces

H (q, p) = E → Superficie en el ΓN -space

define una superficie en el ΓN -space. La evolución del sistema estará confinada a estados dentro de dicha superficie:

q(3N)

p(3N)


Superficie

El sistema está confinadoa moverse dentro de dicha superficie

Figura 2: El sistema (aislado), representado por un punto en el ΓN -space, recorre una trayectoria, a medidaque el tiempo transcurre, confinada a la superficie definida por tener una energía fija E..

Para armar un ensamble que represente a dicho sistema, se considerará una gran cantidad de copias del sistema distribuidassobre todos los estados posibles. Esquemáticamente es lo de la siguiente figura:

q(3N)

p(3N)


Superficie

Muchas copias del sistemadistribuidas sobre la superficiede energía E

Elementos delensamble

Figura 3: Muchas copias del mismo sistema forman un ensamble. En este caso todas las copias poseen elmismo número de partículas, ocupan el mismo volumen y poseen la misma energía por lo que el ensambleobtenido es de tipo microcanónico.

Obsérvese que ahora tenemos muchas copias del mismo sistema, las copias están todas aisladas entre sí (o sea, nointeractúan) y están todas en distintos estados pero siempre dichos estados son compatibles con H (q, p) = E.

Diremos que el ensamble está caracterizado por una función de densidad de estados ρ tal que

ρ (q, p) dq dp = # de sistemas en el elemento de volumen (q, q + dq)× (p, p+ dp)

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de modo tal que

P

(de encontrar un sistema en

(q, q + dq)(p, p+ dp)

)= ρ (q, p)´

ρ (q, p) dq dpdq dp

= f (q, p) dq dp

donde f = ρ´ρes una normalización de ρ y puede ser considerada como la función de densidad de probabilidad de las variables

aleatorias Q y P , es decir todas las posiciones y momentos de las partículas.

2.2.1. Hipótesis de ergodicidad

Antes de hablar sobre la hipótesis de ergodicidad quiero definir dos conceptos: el promedio estadístico y el promediotemporal. Si bien puede parecer algo trivial, la hipótesis de ergodicidad lo que hace es justamente vincular estas dos cantidades,usualmente tomadas como equivalentes (cuando no necesariamente lo son!).

Promedio estadístico E [A] Para una cantidad física A = A (q, p) que depende del estado del sistema (i.e. de q y p), elpromedio a lo largo del ensamble será1

E [A] def=ˆ

∀q,p

A (q, p) f (q, p) dq dp → Promedio estadístico, continuo

Nótese que la cantidad anterior es la que en [5, eq. (1.5)] se nota A y se denomina promedio estadístico.Lo anterior es el caso continuo, pero también podemos mencionar el caso discreto en el que los microestados son de la

forma |1〉 , |2〉 , . . . . En este caso se tendrá una función de probabilidad P (|n〉) y la cantidad física adoptará distintos valorespara cada microestado A|n〉. El promedio estadístico en esta situación será

E [A] def=∑∀|n〉

A|n〉P (|n〉) → Promedio estadístico, discreto

Promedio temporal 〈A〉 Por otro lado, si nos olvidamos del ensamble y volvemos a la mecánica clásica, sabemos que lascoordenadas q y p del sistema evolucionarán con el tiempo de acuerdo a las ecuaciones de Hamilton. Entonces la cantidadA = A (q, p) será A = A (t). El promedio temporal de esta cantidad en un tiempo T estará dado por

〈A〉 (t) def= 1T

t+Tˆ

t

A (t) dt (1)

La hipótesis de ergodicidad

Esta hipótesis dice que dado un tiempo suficientemente largo la trayectoria del sistema (aislado) en el ΓN -spacepasará arbitrariamente cerca de todos los puntos de la superficie H (q, p) = E [4, sec. 5.4].Podemos considerar que si T es suficientemente largoa (en (1)) entonces el sistema tendrá tiempo suficiente pararecorrer (casi) todos los microestados y entonces [5, §1, pag. 4]

〈A〉 = E [A] → Hipótesis de ergodicidadaMayor al tiempo de relajación del sistema.

La ergodicidad de un sistema es algo que se puede probar pero que es muy complicado. Aparentemente está demostradapara muy pocos sistemas (de juguete), en general simplemente se asume como hipótesis [1].

Explicación muy intuitiva de ergodicidad Box 2.1

Acabo de encontrar la respuesta de este link en StackExchange y me pareció excelente.

1Esto es por definición. Siendo Q y P dos variables aleatorias, y siendo A = A (Q,P ) una función de dichas variables, entonces la esperanza deA, E [A], se define así.

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https://physics.stackexchange.com/a/118970/171780


2.3 Ensamble microcanónico (NV E) 2 ENSAMBLES

2.2.2. El límite termodinámico

Cuando se habla de tomar el límite termodinámico lo que se hace es considerar que [6, pag. (403)]

Límite termodinámico→

N →∞V →∞N

V→ n ∈ R

2.3. Ensamble microcanónico (NV E)El ensamble microcanónico considera que el sistema está completamente aislado. En consecuencia el número de partículas

N , el volumen V y la energía E del mismo son constantes (parámetros de control conocidos). Estos tres parámetros definenun macroestado

JN0, V0, E0KµCdef= un macroestado microcanónico

Un macroestado microcanónico es un conjunto de microestados |1〉 , |2〉 , . . . , |nmax〉 que se caracteriza porque todos losellos tienen la misma probabilidad, es decir

JN,V,EKµC =

|1〉 , |2〉 , . . . , |nmax〉

P (|n〉) = 1nmax

Una representación pictórica de esta idea sería como sigue:

N1,V1,E1

Un microestado

Macroestados

Espacio de estados

N0,V0,E0 N0,V0,E1

Figura 4: Los macroestados microcanónicos JN,V,EKµ son conjuntos disjuntos de microestados.

Es importante notar que los macroestados microcanónicos son conjuntos disjuntos, es decir que

JN1, V1, E1KµC ∩ JN2, V2, E2KµC 6= ∅ ⇐⇒

N1 = N2

V1 = V2

E1 = E2

Para un macroestado microcanónico JN,V,EKµC se define la multiplicidad como el número de microestados compatiblescon este macroestado, es decir

Ω(JN,V,EKµC

)def= número de microestados compatibles con el macroestado JN,V,EKµC

En otras palabras Ω(JN,V,EKµC

)es el número de elementos del conjunto de microestados de este macroestado.

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2.4 Ensamble canónico (NV T ) 2 ENSAMBLES

2.3.1. Función de distribución microcanónica

El ensamble microcanónico representa a un sistema aislado (pues no intercambia ni materia ni energía) y en equilibrio(pues el sistema permanece siempre en el mismo macroestado). En consecuencia la hipótesis fundamental de la mecánicaestadística (ver pag. 5) dice que la probabilidad de encontrar al sistema en el microestado |n〉 ∈ JN,V,EKµC es

P (|n〉) = 1Ω(JN,V,EKµC

) → Distribución microcanónica

2.3.2. Definición de entropía

Se define la entropía como [3, eq. (1.2)]

S (N,V,E) def= kB ln(

Ω JN,V,EKµC)

(2)

y es el potencial termodinámico que se obtiene naturalmente del ensamble microcanónico. Obsérvese que esta definición sirvesólo para el ensamble microcanónico2.

2.3.3. Definición de temperatura

La temperatura se define como [3, eq. (1.7)]1T

def= ∂S

∂E(3)

2.4. Ensamble canónico (NV T )El ensamble canónico modela un sistema en el que los parámetros de control son el número de partículas N , el volumen

V y la temperatura T :

T

N,V,T

E

Figura 5: El ensamble canónico permite modelar a sistemas en los que los parámetros de control (fijos)son N,V y T . La energía fluye libremente.

Entonces un macroestado canónico está definido por N,V y T , es decir

JN,V, T KC ← Macroestado canónico

Como se verá más adelante, un macroestado canónico es un conjunto de microestados en el que, a diferencia con el macroestadomicrocanónico, los microestados no son equiprobables. En particular se tiene que un macroestado canónico es la unión demuchos macroestados microcanónicos. Esto es

JN,V, T KC = JN,V,E1KµC ∪ JN,V,E2KµC ∪ JN,V,E3KµC ∪ . . . (4)

(WARNING: fuzzy-notation, lo que se une son los conjuntos, la función de probabilidad viene por otro lado) (ver box 2.2).

2.4.1. Función de distribución canónica

(Me gustó la explicación en [7, sec. 6.2].) Para encontrar la función de distribución canónica se considera un sistema Sque está completamente aislado del universo y está compuesto por dos subsistemas:

El subsistema A abarca prácticamente la totalidad del sistema S.

El subsistema B es una pequeña porción de S, suficientemente grande como para ser macroscópico pero suficientementepequeño como para ser pequeño.

2O al menos es complicada de aplicar a otros ensambles con distribuciones de probabilidad que no sean uniformes.Los resueltos de

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Por ejemplo el sistema S es el océano y el subsistema B es un volumen del tamaño de un vaso de agua.

Sistema S

Sistema A

Sistema B

Figura 6: El sistema S, aislado completamente del resto del universo, está compuesto por el sistema A degran tamaño y el sistema B de muy pequeño tamaño. Los sistemas A y B interactúan débilmente, estoquiere decir que pueden intercambiar energía pero que Einteracción EA, EB (o sea el término cruzado enel hamiltoniano es despreciable en comparación con la energía propia de cada subsistema).

Además se considera que la interacción entre A y B es débil, esto significa que el hamiltoniano de todo el sistema se puedeescribir de la siguiente forma

HS = HA + HB +

:∼0

Hde interacción entre A y B

≈ HA + HB

Es decir que la energía de interacción entre los sistemas es despreciable en comparación con la energía interna de cada unode ellos. Entonces se tienen las siguientes condiciones:

Sistema S →

NS = NA +NB

VS = VA + VB

ES ≈ EA + EB

Sistema A →

NA = fijoVA = fijoEA 6= fijo

Sistema B →

NB = fijoVB = fijoEB 6= fijo

Todo microestado |Si〉 del sistema S se puede denotar como

|Si〉 = |Aj〉 |Bk〉

lo cual indica que los subsistemas A y B se encuentran, respectivamente, en los microestados |Aj〉 y |Bk〉.Ármese ahora un ensamble utilizado al sistema S. Debido a que éste posee NS , VS y ES fijos entonces el ensamble

resultante será de tipo microcanónico. La hipótesis fundamental de la Mecánica Estadística plantea que los microestadosdentro de este ensamble se distribuyen de forma uniforme. Esto significa que el conjunto de microestados |S1〉 , |S2〉 , . . . esun ensamble microcanónico y en consecuencia P (|Si〉) = 1

Ω(NS ,VS ,ES) .Considérense ahora los subconjuntos de |S1〉 , |S2〉 , . . . tales que el sistema B está en el microestado |Bi〉. Es decir,

particiónese al conjunto |S1〉 , |S2〉 , . . . del siguiente modo

∣∣∣A(1)1

⟩|B1〉 ,

∣∣∣A(1)2

⟩|B1〉 ,

∣∣∣A(1)3

⟩|B1〉 , . . .

∣∣∣A(2)

1

⟩|B2〉 ,

∣∣∣A(2)2

⟩|B2〉 ,

∣∣∣A(2)3

⟩|B2〉 , . . .

...

(5)

donde el supraíndice en∣∣∣A(k)

j

⟩denota el estado j-ésimo del subsistema A cuando el subsistema B está en el estado |Bk〉. La

probabilidad de uno de estos conjuntos, digamos aquel en que el subsistema B está en el estado |Bk〉, es simplemente

P (B esté en |Bk〉) = casos favorablescasos totales

=

∣∣∣ ∣∣∣A(k)1

⟩|Bk〉 ,

∣∣∣A(k)2

⟩|Bk〉 ,

∣∣∣A(k)3

⟩|Bk〉 , . . .

∣∣∣| |S1〉 , |S2〉 , . . . |

=

∣∣∣ ∣∣∣A(k)1

⟩|Bk〉 ,

∣∣∣A(k)2

⟩|Bk〉 ,

∣∣∣A(k)3

⟩|Bk〉 , . . .

∣∣∣Ω (NS , VS , ES)

∝∣∣∣ ∣∣∣A(k)

1

⟩|Bk〉 ,

∣∣∣A(k)2

⟩|Bk〉 ,

∣∣∣A(k)3

⟩|Bk〉 , . . .

∣∣∣Los resueltos de

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Debido a que el sistema B está siempre en el microestado |Bk〉 entonces su energía es siempre E|Bk〉. Utilizando la restricciónpara la energía del sistema S se tiene que

E(k)A = ES − E|Bk〉 → Constante!

y como ES es una constante entonces la energía para cualquiera de los estados∣∣∣A(k)

i

⟩es la misma. Entonces los microestados∣∣∣A(k)

i

⟩forman un ensamble microcanónico, pues

∣∣∣A(k)1

⟩|Bk〉 ,

∣∣∣A(k)2

⟩|Bk〉 ,

∣∣∣A(k)3

⟩|Bk〉 , . . .

≡

Todos comparten NA,VA,E(k)A︷︸︸︷∣∣∣A(k)

1

⟩,∣∣∣A(k)

2

⟩,∣∣∣A(k)

3

⟩, . . .

× |Bk〉

Un macroestado canónico es la unión de macroestados microcanónicos Box 2.2

La partición dada en (5) y lo anterior justifican lo que expuse en (4). Como se puede ver de (5)

|S1〉 , |S2〉 , . . . =∣∣∣A(1)

1

⟩|B1〉 ,

∣∣∣A(1)2

⟩|B1〉 ,

∣∣∣A(1)3

⟩|B1〉 , . . .

︸︷︷︸

Ensamble microcanónico JNA,VA,E(k)A K

µC=JNA,VA,ES−E|B1〉KµC

∪ . . .

. . .∣∣∣A(2)

1

⟩|B2〉 ,

∣∣∣A(2)2

⟩|B2〉 ,

∣∣∣A(2)3

⟩|B2〉 , . . .

︸︷︷︸

Ensamble microcanónico JNA,VA,E(k)A K

µC=JNA,VA,ES−E|B2〉KµC

∪ . . .

y, por definición de |S1〉 , |S2〉 , . . . , los microestados |Bi〉 ∈ |S1〉 , |S2〉 , . . . forman un ensamble canónico. Detodos modos para estar más seguros de todo esto habría que desarrollarlo un poco más formalmente.

Esto implica que∣∣∣ ∣∣∣A(k)1

⟩|Bk〉 ,

∣∣∣A(k)2

⟩|Bk〉 ,

∣∣∣A(k)3

⟩|Bk〉 , . . .

∣∣∣ =∣∣∣ ∣∣∣A(k)

1

⟩,∣∣∣A(k)

2

⟩,∣∣∣A(k)

3

⟩, . . .

∣∣∣×: 1| |Bk〉 |

Definición de Ω(NA, VA, E

(k)A

)→ = Ω

(rNA, VA, E

(k)A

z

µC

)y entonces

P (B esté en |Bk〉) ∝ Ω(r

NA, VA, E(k)A

z

µC

)Utilizando la definición de entropía (2) (nota importante3) se tiene que

P (B esté en |Bk〉) ∝ e

S

(JNA,VA,E(k)

A KµC

)kB ← S

def= kB ln Ω

= e

S

(sNA,VA,ES−E|Bk〉

µC

)kB

Ahora se utiliza el hecho de que S B y se considera una aproximación a primer orden en la entropía, es decir

S(qNA, VA, ES − E|Bk〉

yµC

)≈ S

(JNA, VA, ESKµC

)− ∂S

∂EE|Bk〉 + . . .

(3)→ = S(JNA, VA, ESKµC

)− 1TE|Bk〉

por lo que

P (B esté en |Bk〉) ∝ e

S(JNA,VA,ESKµC)− 1TE|Bk〉

kB

∝ e

E|Bk〉kBT

3Es lícito utilizar esta definición sólo porque Ω(NA, VA, E

(k)A

)=∣∣∣∣∣∣A(k)

1

⟩,

∣∣∣A(k)2

⟩,

∣∣∣A(k)3

⟩, . . .

∣∣∣ proviene de un ensamble microcanónico.En caso contrario esto no sería así. Creo.

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Por último sólo falta normalizar para que la probabilidad sume 1, lo cual conduce finalmente a

P (de que B esté en el microestado |Bk〉) = e−βE|Bk〉∑∀|B〉 e

−βE|B〉

donde se ha definidoβ

def= 1kBT

Generalizando el resultado anterior, cuando se tiene un sistema cuyos microestados son |0〉 , |1〉 , |2〉 , . . . con una cantidadde partículas N fija, un volumen V fijo y una temperatura T fija entonces la probabilidad de encontrarlo en el microestado|n〉 es

P (|n〉) = e−βE|n〉∑∀|n〉 e

−βE|n〉→ Distribución canónica (6)

que no es más que la función de probabilidad asociada al macroestado JN,V, T KC.

2.4.2. Función de partición canónica

A partir de lo anterior se define la función de partición canónica [3, eq. (1.21)]

ZC (JN,V, T KC) def=∑∀|n〉

e−βE|n〉 (7)

de modo tal que P (|n〉) = e−βE|n〉

ZC. Aparentemente la función de partición es lo más importante de la Mecánica Estadística

y contiene toda la información necesaria sobre el sistema [3, pag. 19].Obsérvese que la función de partición canónica depende del macroestado canónico, es decir que la dependencia con N,V

y T es a través de los microestados y su energía. La dependencia con T es explícita4 y la dependencia con N y V está en elhecho de que modificar estos parámetros hace que cambien los microestados accesibles5 y/o la energía E|n〉.

2.4.3. Equivalencia con el microcanónico

La equivalencia entre el microcanónico y el canónico se da cuando N → ∞ (el límite termodinámico). Para encontrareste resultado la idea es ver que en dicho límite la fluctuación porcentual de la energía se anula, es decir√

〈∆E2〉〈E〉

−→N→∞

0

Esto implica que la energía de un macroestado canónico JN,V, T KC no tiene fluctuaciones en dicho límite. En consecuenciaun macroestado canónico será, para N →∞, equivalente a un macroestado microcanónico

JN,V, T KC ≡ JN,V,EKµC en el límite termodinámico

Obtención de la equivalencia [3, sec. 1.3.2], [6, sec. 3.6], [4, sec. 12.5] Recordemos que los macroestados canónicosJN,V, T KC están definidos por el número de partículas N , el volumen V y la temperatura T . En consecuencia la energía Eno está fija y, producto de la hipótesis de ergodicidad, irá fluctuando a lo largo del tiempo de acuerdo a las fluctuacionespresentes en los distintos elementos del ensamble. Lo que queremos calcular es√

〈∆E2〉〈E〉

=

√〈E2〉 − 〈E〉2

〈E〉2

Comenzamos por

〈E〉 def= 1T

t0+Tˆ

t0

E (t) dt → Valor medio temporal

De acuerdo con la hipótesis de ergodicidad (ver sec. 2.2.1) y con la definición de valor medio estadístico se tiene que

〈E〉 = E [E] ← Hipótesis de ergodicidadDefinición de E [E]→ =

∑∀|n〉

E|n〉P (|n〉)

4Bueno, casi, a través de β = 1kBT

.5O sea ∀ |n〉 cambia, por ejemplo, al agregar partículas ya que un sistema con 2 partículas tiene un cierto conjunto de microestados y si se

considera un sistema de 3 partículas éste tendrá otros microestados.Los resueltos de

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donde P (|n〉) está dada, para el ensamble canónico, por (6). Entonces

〈E〉 =∑∀|n〉

E|n〉e−βE|n〉∑

∀|n〉 e−βE|n〉

(8)

Relación con la función de partición Box 2.3

A partir de la expresión (8) es posible “darse cuenta” de que

〈E〉 = − ∂

∂βlnZC

Esta expresión puede resultar útil/cómoda en algunas situaciones.

Calcúlese ahora ∂〈E〉∂β a partir de (8), esto es:

∂ 〈E〉∂β

= −∑∀|n〉E

2|n〉e−βE|n〉∑


+(∑

∀|n〉E|n〉e−βE|n〉∑


)2

Por definición de E [ ]→ = −E[E2]+ E [E]2

Por hipóteis de ergodicidad→ = −⟨E2⟩+ 〈E〉2

Por definición de⟨∆E2⟩ = −

⟨∆E2⟩

Por otro lado, la termodinámica nos dice que∂E

∂β= ∂E

∂T

∂T

∂β

β = 1kBT

→ = ∂E

∂T

(−kBT 2)

∂E

∂T≡ CV → = −kBT 2CV

Entonces en los últimos dos desarrollos hemos encontrado que∂ 〈E〉∂β

= −⟨∆E2⟩ → Mecánica estadística

∂E

∂β= −kBT 2CV → Termodinámica

Ahora viene un paso que es medio mágico6 y es decir que∂ 〈E〉∂β

= ∂E

∂β→ Hay un poco de magia acá

por lo tanto ⟨∆E2⟩ = kBT

2CV

Para finalizar se reemplaza este resultado en√〈∆E2〉〈E〉 y entonces√〈∆E2〉〈E〉

=√kBT 2CV〈E〉

y ahora el argumento es decir que

CV

〈E〉

→ son cantidades extensivas ⇒

CV ∼ N〈E〉 ∼ N

y entonces √〈∆E2〉〈E〉

∼√N

N−→N→∞

0

por lo tanto en el límite termodinámico las fluctuaciones de energía son nulas y entonces el ensamble canónico es equivalenteal microcanónico.

6El hecho por el cual digo que esto es mágico es porque en general nadie se preocupa por distinguir a la cantidad termodinámica E de lacantidad estadística 〈E〉. Entonces en el sistema anterior las dos cantidades son simplemente ∂E

∂β. El tema es que si uno está tratando de demostrar

que los ensambles son equivalentes en el límite termodinámico yo creo que es importante mantener la diferencia entre E y 〈E〉. Pero bueno... Lavida es así, a veces es mejor no saber por qué pasan las cosas y simplemente aceptarlas como son.

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2.5 Ensamble gran canónico (µV T ) 2 ENSAMBLES

2.4.4. Energía libre de Helmholtz

Se define como [1], [3, eq. (1.36)], [7, eq. (6.6.9)]

F (N,V, T ) def= −kBT ln (ZC (JN,V, T KC)) (9)

2.4.5. Entropía (de Shannon)

Queremos encontrar una expresión para la entropía del ensamble canónico. De la bibliografía que consulté, la que menosno me gustó fue [3, sec. 1.3.3], pero aún así no terminé de entender qué es lo que hace. En clase nosotros vimos la entropíade Shannon como una definición. Como sea, la entropía del ensamble canónico (y en general la de cualquier ensamble) es

S (JxK) = −kB∑

∀|n〉∈JxK

P (|n〉) ln (P (|n〉)) (10)

donde JxK es un macroestado cualquiera (puede ser un macroestado microcanónico JN,V,EKµC, uno canónico JN,V, T KC, o,en principio, cualquier macroestado).

Esta fórmula fue hallada por primera vez por Gibbs y luego por Shannon [3]. Se puede tomar como una generalizaciónde la definición (2).

Sobre el argumento de la entropía de Shannon Box 2.4

¿Por qué digo que la entropía recibe como argumento un macroestado JxK?, ¿por qué no hago “lo de siempre” y di-go que la entropía es función de N,V,E, T, . . . ?. Bueno, como se puede ver en (10) la entropía es una sumatoria alo largo de todos los microestados |n〉 de una fórmula que depende de la probabilidad de dicho microestado P (|n〉).Entonces para poder definir la entropía usando (10) se requiere un conjunto de microestados y una probabilidadasociada a cada microestado. Este conjunto de microestados con probabilidades asociadas es precisamente un ma-croestado de acuerdo a lo que definí en la sección 2.1.

Entropía del ensamble microcanónico a partir de la entropía de Shannon Box 2.5

Para ver que (10) puede tomarse como una generalización de (2), vamos a ver cómo obtener la segunda a partir dela primera. Para ello le suministramos a (10), como argumento, un macroestado microcanónico JN,V,EKµC. Estemacroestado se caracteriza porque su función de probabilidad es uniforme. Entonces

S(JN,V,EKµC

)def= −kB

∑∀|n〉

P (|n〉) ln (P (|n〉))

P (|n〉) = 1Ω → = −kB

∑∀|n〉

1Ω ln

(1Ω

)

= kBln (Ω)

Ω∑∀|n〉

1

∑∀|n〉

1 ≡ Ω→ = kB ln Ω

Se puede ver que se ha obtenido (2) sólo de considerar que P (|n〉) sigue una distribución uniforme.

La entropía de Shannon también se puede expresar en términos de la función de partición [3, eq. (1.31)]

S (JN,V, T KC) = kB∂

∂T(T lnZC)

De lo que no estoy seguro es sobre si esto vale para cualquier distribución de probabilidad que se nos ocurra. Todos derivanestas fórmulas para casos particulares. En este caso la fórmula se derivó para el canónico y es trivial ver que vale para elmicrocanónico. Para el gran canónico también vale (ver sección 2.5.3).

2.5. Ensamble gran canónico (µV T )El ensamble gran canónico considera un sistema que puede intercambiar tanto energía como partículas con el exterior:

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T

µ,V,T

E

NE

Figura 7: El ensamble gran canónico modela un sistema de potencial químico µ constante, volumen Vconstante y temperatura constante T que puede intercambiar energía y partículas con el medio que lorodea.

En consecuencia los macroestados gran canónicos se definen por el potencial químico µ, el volumen V y la temperaturaT . Entonces un macroestado gran canónico es de la forma

Jµ, V, T KGC ← Macroestado gran canónico

Obsérvese que un macroestado gran canónico se relaciona con los macroestados anteriores según

Jµ, V, T KGC =⋃i

⋃j

JNi, V, EjKµC =⋃i

JNi, V, T KC

es decir que es una unión de macroestados microcanónicos variando tanto las partículas como las energías, o bien una uniónde macroestados canónicos variando las partículas.

2.5.1. Función de distribución gran canónica

Para hallar la distribución de probabilidad de los microestados de un macroestado gran canónico se puede proceder dela misma forma que se hizo para el ensamble canónico en la sección 2.4. Consideramos primero un sistema S completamenteaislado del universo compuesto por dos subsistemas, el A que es un gran reservorio de calor y de partículas y el B que es elque nos interesa estudiar, tal como se muestra en la figura a continuación:

Sistema S

Sistema A

Sistema B

Figura 8: El sistema S, aislado completamente del resto del universo, está compuesto por el sistema Ade gran tamaño y el sistema B de muy pequeño tamaño. Los sistemas A y B se encuentran a la mismatemperatura y pueden intercambiar energía y partículas. Se puede considerar que el sistema B es unpequeño volumen (fijo) imaginario dentro de un gas.

Nótese que la única diferencia con respecto al ensamble canónico (fig. 6) es que en este caso los sistemas A y B puedenademás intercambiar partículas. El procedimiento que sigue es casi idéntico al de la sección 2.4.

El primer paso es considerar muchas copias del sistema S. Como éste está completamente aislado del universo entoncestiene fijos a N , V y E con lo cual estas copias dan origen a un ensamble microcanónico de S. Ahora clasificamos estas copiasen subconjuntos tales que el sistema B esté siempre en el mismo microestado.

Ahora tomamos uno de estos subconjuntos. Como NB y EB son, dentro de este subconjunto, siempre los mismos entoncespor conservación de la energía y conservación del número de partículas7 se tiene que las partículas y energía de A sonNA = NS −NBEA = ES − EB

y están fijas. Entonces este subconjunto define un ensamble microcanónico para el sistema A porque es

un conjunto de infinitas copias de A, todas en distintos microestados, todas con los mismos N,V y E. En consecuencia sellega, de la misma forma que en la sección 2.4, a que

P (B esté en el microestado |b〉) ∝ exp(S(NS −N|b〉, VA, ES − E|b〉

)kB

)7El número de partículas podría no conservarse, por ejemplo en un gas de electrones y positrones o en alguna reacción química. Sin embargo

desde el momento en que asumimos que S tiene N,V y E fijos ya implícitamente asumimos que N se conserva. El Pathria también lo asume comouna cantidad conservada [6, sec. 4.1].

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Ahora nuevamente hacemos uso de que S > A B lo cual implica que NS N|b〉 y que ES E|b〉. Esto nos habilita ahacer una aproximación de Taylor a primer orden para la entropía de la siguiente forma

S(NS −N|b〉, VA, EA − E|b〉

)≈ S (NS , VA, ES)− ∂S

∂NN|b〉 −

∂S

∂EE|b〉 + . . .

∂S

∂E

def= 1T

∂S

∂N

def= −µT

→ = S (NS , VA, ES) +µN|b〉 − E|b〉

T

donde se usó la definición del potencial químico µ [3, eq. (1.37)]. Metiendo esto en la expresión anterior de la probabilidadse obtiene

P (B esté en el microestado |b〉) ∝ e−E|b〉−µN|b〉

kBT

Debido a que esta expresión no depende en absoluto del sistema A entonces se puede generalizar para cualquier sistemaque esté a una temperatura T fija, a un volumen V y con un potencial químico µ. Se obtiene entonces la distribución grancanónica

P (|n〉) = e−β(E|n〉−µN|n〉)ZGC

→ Distribución gran canónica (11)

donde se ha hecho uso de la función gran canónica definida en la siguiente sección.

2.5.2. Función de partición gran canónica

La función de partición gran canónica se define [3, eq. (1.39)]

ZGC (Jµ, V, T KGC) def=∑∀|n〉

e−β(E|n〉−µN|n〉)

donde ∀ |n〉 significa que la sumatoria se hace sobre todos los microestados pertenecientes al conjunto de microestados delmacroestado Jµ, V, T KGC.

Factorización NIIP (Non Interacting and Indistinguishable Particles)8 Si las partículas no interactúan entre sí entonces laenergía E|n〉 de un microestado |n〉 con N|n〉 partículas se puede escribir como una suma según

E|n〉 = ε1,|n〉 + ε2,|n〉 + · · ·+ εN|n〉,|n〉 → Partículas no interactuantes

=N|n〉∑i=1

εi,|n〉

siendo εi,|n〉 la “energía de la partícula i cuando el sistema está en el microestado |n〉”. Si, además, las partículas son idénticas(aún no indistinguibles, sólo idénticas) entonces la energía de cada partícula, εi,|n〉, podrá adoptar los mismos valores paratodas las partículas en cualquier microestado. Esto es

εi,|n〉 ∈ ε1, ε2, ε3, ε4, ε5, ε6, . . . , εj , . . . → Partículas idénticas (12)

siendo εi los posibles valores de energía que puede adoptar cada una de las partículas, independientes del microestado |n〉. Esdecir que, por ejemplo, ε8,|2〉 = ε3 se lee “la partícula número 8 del microestado 2 está en el nivel de energía ε3”. Aquí se definenlos estados monoparticulares, que no son otra cosa que los distintos estados en los que puede estar cada partícula dentro desu propio espacio de fases (el µ− space, ver sección 2.2). En (12) el índice j recorre los distintos estados monoparticulares,y podría pasar que dos (o más) de ellos posean la misma energía, e.g. ε1 = ε4, si hay degeneración.

Considerando lo anterior, necesariamente, se tiene queN|n〉 =

∑∀i

ni,|n〉

E|n〉 =∑∀i

εini,|n〉

donde ni,|n〉 es “el número de partículas que están en el estado monoparticular i cuando el sistema está en el microestado|n〉”y el índice i recorre todos los estados monoparticulares de las partículas (es decir i es tal que εi va recorriendo cada uno de

8Este nombre “factorización NIIP” no existe, lo acabo de inventar simplemente porque esto es algo que se usa bastante cuando se entra en losgases ideales cuánticos, es bueno que tenga un nombre propio.

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los elementos del conjunto de (12)). La función de partición puede escribirse, entonces, según

ZGC =∑∀|n〉

exp(−β∑∀i

(εini,|n〉 − µni,|n〉

))

=∑∀|n〉

∏∀i

exp(−β (εi − µ)ni,|n〉

)=

∏∀i

∑∀|n〉

exp(−β (εi − µ)ni,|n〉

)donde en el último paso se puede conmutar

∏con

∑porque i recorre los estados monoparticulares que son independientes

del microestado |n〉. Definiendo la fugacidadz

def= eβµ → Fugacidad

lo anterior esZGC =

∏∀i

∑∀|n〉

(ze−βεi

)ni,|n〉Por último, si las partículas además son indistinguibles (como en el caso cuántico) entonces especificar un microestado |n〉implica decir cuántas partículas hay en cada estado monoparticular, de acuerdo a la siguiente figura:

Partícula 1 →

Partícula 2 →

Partícula 3 →

Partícula 4 →

Caso distinguible Caso indistinguible

2 1 1

Un microestado

Cada uno de estos es un estado

monoparticular

Figura 9: En el caso distinguible es necesario especificar el estado monoparticular de cada partícula paraespecificar un microestado del sistema (ver [4, fig. 5.2]). En el caso indistinguible basta con decir cuántaspartículas hay en cada estado monoparticular para especificar el microestado.

Esto implica que ∑∀|n〉

≡∑∀n1

∑∀n2

∑∀n3

. . .

por lo que la función de partición queda

Factorización NIIP de la función de partición gran canónica (Non Interacting & Indistinguishable Particles)

(notaa) Es válida para partículas no interactuantes e indistinguiblesb. En este caso se tiene que la función de parti-ción gran canónica de un sistema se puede expresar según

ZGC =∏∀i

∑∀ni

(ze−βεi

)ni (13)

donde i recorre todos los estados monoparticularesc, εi es la energía del estado monoparticular i, y ni es el número

de partículas en dicho estado monoparticular. Obsérvese que ∀ni significa que ni ∈0, 1 para fermiones0, 1, 2, . . . para bosones

.

aEste nombre “factorización NIIP” no existe, lo acabo de inventar simplemente porque esto es algo que se usa bastante cuando seentra en los gases ideales cuánticos, es bueno que tenga un nombre propio.

bO sea, gases ideales cuánticos.cLos estados monoparticulares son los estados en los que puede estar cada una de las partículas en su propio espacio de fase, lo

que llamé µ− space en la sección 2.2.

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2.5.3. Entropía del gran canónico

La entropía del ensamble gran canónico puede calcularse a partir de la fórmula de Shannon (10) o bien puede obtenersea partir de la función de partición gran canónica según [3, eq. (1.40)]

S (Jµ, V, T KGC) = kB∂

∂T(T lnZGC)

2.5.4. Energía del gran canónico

El valor medio de la energía del sistema en el ensamble gran canónico es [6, eq. (18) from sec. 4.3]

〈E〉 = − ∂

∂βlnZGC (14)

≡ kBT2 ∂

∂TlnZGC

2.5.5. Equivalencia con los demás ensambles

En el límite termodinámico (sección 2.2.2) los resultados obtenidos del ensamble gran canónico son los mismos que losobtenidos con el ensamble microcanónico y con el canónico [6, sec. (4.5)]. La razón es la misma que la de la equivalenciaentre el microcanónico y el canónico: las fluctuaciones de energía y de cantidad de partículas tienden a cero a medida queuno se aproxima cada vez más al límite termodinámico.

Fluctuación del número de partículas A partir de la definición del valor medio del número de partículas9,

〈N〉 def=∑∀|n〉

N|n〉P (|n〉) (15)

≡ 1β

∂

∂µlnZGC (16)

≡ z∂

∂zlnZGC (17)

donde P (|n〉) está dada por (11), la segunda igualdad la saqué de [3, eq. (1.42)] y la tercera de [1, teórica pag. 45] (ademáslas segundas dos igualdades son [6, eq. (17) from sec. 4.3]), es posible encontrar que

Cálculos Auxiliares

Aparentemente vale lo siguiente [6, sec. 4.5]

∆N2 = kBT∂ 〈N〉∂µ

(18)

por lo tanto∆N2

〈N〉2= kBT

〈N〉2∂ 〈N〉∂µ

Introduciendo ahora el volumen específico v def= V〈N〉 se tiene que

∆N2

〈N〉2= kBT

〈N〉2V 2

V 2

∂(〈N〉V V

)∂µ

= kBTv2

V 2∂ (V/v)∂µ

∂

∂µ≡ ∂

∂µ

⌋V,T

→ = kBTv2

V

∂1/v

∂µ

= −kBTV

∂v

∂µ

9Nótese que se ha usado además la hipótesis de ergodicidad ya que E [N ] def=∑

∀|n〉 N|n〉P (|n〉) y la igualdad 〈N〉 = E [N ] es válida bajo lahipótesis de ergodicidad.

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Ahora usamos la relación termodinámica dµ = v dP − s dT con lo cual, considerando que ∂∂µ ≡

∂∂µ

⌋V,T

, se tiene quedµ = v dP . Introduciendo esto en la ecuación anterior se obtiene [6, sec. 4.5, eq. (7)]

∆N2

〈N〉2= −kBT

V

1v

∂v

∂P

⌋T

= kBT

VκT

donde κT es la compresibilidad isotérmica del sistema.

∆N2

〈N〉2= kBT

VκT

Debido a que κT , la compresibilidad isotérmica del sistema, es una propiedad que depende de la sustancia y no de N ni deV [1, teórica pag. 27] (nota10) entonces al considerar el límite termodinámico (ver sección 2.2.2) se obtiene que

∆N2

〈N〉2−→V→∞

0

salvo en las transiciones de fase [6, sec. 4.5], [4, sec. 7.4]. En las transiciones de fase hay que usar el ensamble gran canónico[1, teórica pag. 27].

Fluctuaciones de energía Faltaría probar que E → 〈E〉 en el límite termodinámico y entonces ya estaría verificada laequivalencia con los otros dos ensambles. Para esto se calcula

∆E2 =⟨E2⟩− 〈E〉2

y entoncesCálculos Auxiliares

Se calcula ∆E2 con “el procedimiento habitual”a [6, sec. 4.5, eq. (8)]

∆E2 =⟨E2⟩− 〈E〉2

Magical formula→ = − ∂ 〈E〉∂β

⌋z,V

= kBT2 ∂ 〈E〉

∂T

⌋z,V

Ahora se hace el siguiente “cambio de variable + regla de la cadena”

∂ 〈E〉∂T

⌋z,V

= ∂ 〈E〉∂T

⌋N,V

+ ∂ 〈E〉∂N

⌋T,V

∂N

∂T

⌋z,V

y se usa que∂N

∂T

⌋z,V

= 1T

∂ 〈E〉∂µ

⌋T,V︸︷︷︸

CV

por lo tanto, juntando todo,

∆E2 = kBT2CV + kBT

∂ 〈E〉∂N

⌋T,V

∂ 〈E〉∂µ

⌋T,V

10No sé si κT es completamente independiente de N y de V o si en verdad es función de n = NV, con lo cual en el límite termodinámico

mantendría un valor acotado.

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3 ESTADÍSTICA CUÁNTICA

En lo anterior se puede reemplazar kBT 2CV =(∆E2)

C que es la dispersión en el ensamble canónico y se obtiene [6,eq. (14) pag. 105]

∆E2 =(∆E2)

C + kBT∂ 〈E〉∂N

⌋T,V

=1︷︸︸︷∂ 〈E〉∂N

⌋T,V

∂N

∂ 〈E〉

⌋T,V

∂ 〈E〉∂µ

⌋T,V

=(∆E2)

C + kBT∂ 〈E〉∂N

⌋T,V

∂ 〈N〉∂µ

⌋T,V

∆N2 = kBT∂ 〈N〉∂µ

→ =(∆E2)

C + ∆N2

(∂ 〈E〉∂N

⌋T,V

)2

donde he usado (18) en la última igualdad.aPara mí es el procedimiento mágico.

se encuentra que [6, eq. (14) pag. 105]

∆E2 =(∆E2)

C + ∆N2

(∂ 〈E〉∂N

⌋T,V

)2

donde(∆E2)

C es la dispersión que se tendría para el ensamble canónico. “Es obvio” que lo anterior se anula en el límitetermodinámico [6, sec. 4.5].

2.5.6. El potencial gran canónico

El potencial gran canónico es [3, sec. 1.4.2]

Ξ (µ, V, T ) = −kBT log (ZGC (Jµ, V, T KGC)) (19)

3. Estadística cuánticaLa diferencia con la estadística clásica es que las partículas ahora son indistinguibles. Esto modifica la forma en que se

calculan las multiplicidades de los macroestados. Vamos a considerar que un ensamble cuántico es un ensamble que contienecopias de los resultados de un experimento, para que no existan fenómenos de interferencia entre los distintos miembros delensamble [1, teórica pag. 39]. Por ejemplo: no es lo mismo tener en una caja un único espín en el estado |↑〉+|↓〉√

2 tal queP (|↑〉) = P (|↓〉) = 1

2 que tener dos espines distintos en estados bien definidos tal que P (|↑〉) = P (|↓〉) = 12 [1, teórica pag.

39]. Nosotros vamos a considerar el caso de los dos espines bien definidos.

Mapa conceptual para ordenar los temas que vimos

La siguiente lista indentada intenta ordenar los temas que entran dentro de estadística cuántica:

Gas ideal (partículas idénticas que no interactúan, i.e. la energía no tiene términos cruzados).

• Fermiones. Gas de partículas libres (partículas con energía p2

2m ). Límite de gas no degenerado. Corresponde a temperaturas muy altas y densidades muy bajas, elresultado es el gas ideal clásico.

Límite de gas degenerado. Es lo opuesto, temperaturas bajas y densidades altas. Aparece Paulicon su principio de exclusión.- Enanas blancas.

• Bosones. Gas de partículas libres (partículas con energía p2

2m ). Límite de gas no degenerado. Corresponde a temperaturas muy altas y densidades muy bajas, elresultado es el gas ideal clásico.

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3.1 Gas ideal cuántico 3 ESTADÍSTICA CUÁNTICA

Límite de gas degenerado. Es un condensado de Bose-Einstein. Gas de fotones (partículas con energía cp). Gas de fonones (partículas con energía ~ω

vs).

Superfluidos. Superconductores.

Otros temas que no sean gas ideal. No vimos nada, creo.

3.1. Gas ideal cuánticoEl concepto de gas ideal cuántico es similar al clásico en que se trata de un conjunto de partículas que no interactúan

entre sí pero difiere en el hecho de que las partículas son indistinguibles [6, sec. 6.1]. Si bien en el caso clásico se suele estudiarel gas ideal como aquel sistema en que la energía de las partículas es p2

2m , en el caso cuántico se estudian sistemas en los quelas partículas pueden tener otras energías (sin embargo siempre ocurre que las partículas no se ven unas con otras, por esoes un gas ideal).

3.1.1. Generalidades

3.1.1.1. Función de partición del gas ideal cuántico en el ensamble gran canónico Haremos la cuenta en el ensamblegran canónico pues es más fácil que en los demás ensambles [1, teórica]. Debido a que un gas ideal cuántico es una colecciónde partículas que no interactúan entre sí y además son indistinguibles11 entonces se puede usar la factorización NIIP para lafunción de partición, dada por (13). En consecuencia

ZGC =

∏∀i

(1 + ze−βεi

)fermiones

∏∀i

∞∑ni=0

(ze−βεi

)ni bosones

En el caso de los bosones encontramos una serie geométrica que requiere que

z < eβεi∀i para bosones

el para garantizar su convergencia. Entonces

ZGC =

∏∀i

(1 + ze−βεi

)fermiones

∏∀i

11− ze−βεi bosones

=∏∀i

(1 + aze−βεi

)a a = 1 para fermionesa = −1 para bosones

(20)

Estas dos funciones de partición dan origen a dos estadísticas conocidas como estadística de Fermi-Dirac y estadística deBose-Einstein. Cada estadística se aplica a un tipo de partícula y da origen a fenómenos muy peculiares como por ejemplosuperconductores, superfluidos y la presión de degeneración de electrones en las estrellas enanas blancas. Nótese que estasestadísticas se aplican a sistemas que puedan modelarse como gases ideales, es decir cuando las partículas no interactúanentre sí.

3.1.1.2. Límite clásico El número medio de partículas en el ensamble gran canónico está dado por (17)

〈N〉 ≡ N = z∂

∂zlnZGC (21)

y reemplazando ZGC por (20)

Sobre la degeneración Box 3.1

Para ver cómo incluir la degeneración en todo esto, ver el box que habla sobre ello en la página 29.

11La indistinguibilidad es una propiedad del mundo cuántico y no tiene análogo clásico.Los resueltos de

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https://en.wikipedia.org/wiki/Electron_degeneracy_pressure

https://en.wikipedia.org/wiki/White_dwarf




N = z∂

∂z

[a∑∀i

ln(1 + aze−βεi

)]

= za∑∀i

ae−βεi

1 + aze−βεi

a2 ≡ 1→ =∑∀i

1z−1eβεi + a

se obtieneN =

∑∀i

1z−1eβεi + a

Aquí reconocemos que cada uno de los términos de esta suma es el número medio de partículas en el estado monoparticulari-ésimo, es decir que

〈ni〉 ≡ ni = 1z−1eβεi + a

→ Promedio de partículas en estado i

zdef= eβµ → = 1

eβ(εi−µ) + a(22)

¿Cómo supimos que lo anterior era ni? Box 3.2

Pues si un sistema tiene N partículas (no en valor medio sino que tiene exactamente N partículas) de las cuales naestán en el estado monoparticular a, nb están en el estado monoparticular b, y así siguiendo, entonces necesaria-mente

N =∑∀i

ni

donde ∀i se lee “para todo estado monoparticular i”. Si ahora se arma un ensamble (gran canónico) en el que N yni son variables aleatorias y se toma la esperanzaa a ambos lados de la ecuación se obtiene

〈N〉 =⟨∑∀i

ni

⟩=

∑∀i

〈ni〉

que es justamente lo que se dijo. Recuérdese que en esta materia siempre se simplifica la notación y en lo que venía-mos haciendo fuera de este box N ≡ 〈N〉 y ni ≡ 〈ni〉.

aPor la hipótesis de ergodicidad la esperanza a lo largo del ensamble es igual al valor medio.

A continuación se reemplaza a = ±1 explícitamente y se considera

ni =

1

eβ(εi−µ) + 1Fermiones

1eβ(εi−µ) − 1

Bosones

e−β(εi−µ) Boltzmaniones

donde el tercer caso corresponde a partículas de un gas ideal clásico12, i.e. la distribución de Boltzmann. Gráficamente lasdistribuciones se ven así:

12En un gas ideal clásico las partículas son todas idénticas y no interactúan entre sí al igual que en un gas ideal cuántico pero a diferencia deéste las partículas son distinguibles.

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0.5

1

1.5

2

2.5

3

-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

FD

MB BE

límite clásico

condensado

Sobre el límite clásico... Box 3.3

“Se sabe” que los fenómenos cuánticos como por ejemplo los condensados de Bose-Einstein requieren temperaturasextremadamente bajas para lograrse en un laboratorio. Sin embargo, en base a lo anterior,

lımT→0

ni = lımT→0

1

eεi−µkBT + 1

Fermiones

1

eεi−µkBT − 1

Bosones

e− εi−µkBT Boltzmaniones

=

e− εi−µkBT Fermiones

e− εi−µkBT Bosones


lımT→∞

ni = lımT→∞

1

eεi−µkBT + 1

Fermiones

1

eεi−µkBT − 1

Bosones


=

12 Fermiones

∞ Bosones1 Boltzmaniones

por lo tanto parecería que el caso clásico (o sea, el caso en que Fermi-Dirac y Bose-Einstein coinciden con Maxwell-Boltzmann) es T → 0. No sé cómo interpretar esto.

3.1.2. Gas de partículas libres (H = p2

2m , FD y BE)

En esta sección se analizará un gas compuesto por partículas cuya energía es p2

2m (o sea, el de F4 pero teniendo en cuentalos efectos cuánticos). El objetivo es encontrar una ecuación de la forma PV

kBT= f (N) cuando los bosones/fermiones están

libres, es decir cuando la energía de cada partícula es de la forma

H = p2

2m

Para comenzar, considérese la siguiente relación

ln (ZGC) = PV

kBT(23)

Sobre la ecuación anterior Box 3.4

Utilizando las expresiones Ξ = E − TS − µN y E = TS − PV + µN (ver sec. 1.1.6) se encuentra trivialmenteque Ξ = −PV . Además se sabe que en el ensamble gran canónico el potencial gran canónico está dado por (19)Ξ = −kBT lnZGC. Es trivial ahora obtener ln (ZGC) = PV

kBT.

Reemplazando ahora ZGC por (20) se obtiene

PV

kBT= a

∑∀i

ln(1 + aze−βεi

) a = 1 fermionesa = −1 bosones

donde i recorre los estados monoparticulares.Ahora considérese lo siguiente: un gas ideal ese compone de partículas que no interactúan entre sí, confinadas en una

caja (un pozo infinito). Entonces el hamiltoniano de cada partícula, que da origen a los estados monoparticulares, es H =

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p2

2m +φ (r) donde φ (r) es el potencial de un pozo infinito. Entonces, para cualquier partícula “adentro del pozo” se tiene que

PV

kBT= a

∑∀pi

ln(

1 + aze−βp2i

2m

)Si las dimensiones de la caja son mucho más grandes que la longitud de onda de las partículas (ejemplo un átomo en

una botella) entonces los valores de pi admisibles para cada partícula formarán, aproximadamente, un continuo ya que lacuantización será despreciable. En este caso será lícito aproximar la sumatoria por una integral [1, teórica. pag. 47] por lotanto

PV

kBT≈

V

h3

∞

0

ln(

1 + ze−βp22m

)d3p Si a = 1 i.e. fermiones

− 1V

ln (1− z)− Vh3

∞

0

ln(

1− ze−βp22m

)d3p Si a = −1 i.e. bosones

donde se hizo un galerazo para el caso de los bosones haciendo aparecer el término ln (1− z) que se corresponde con eltérmino con pi = 0 en la sumatoria.

Sobre la aproximación del continuo y el galerazo Box 3.5

El galerazo para el caso de los bosones no es nada trivial. En palabras de Pathria & Beale [6, sec. 7.1]

We, however, note that by substituting this expression into our integrals we are inadver- tently givinga weight zero to the energy level ε = 0. This is wrong because in a quantum- mechanical treatment wemust give a statistical weight unity to each nondegenerate single-particle state in the system. It is,therefore, advisable to take this particular state out of the sum in question before carrying out theintegration; for a rigorous justification of this (unusual) step, see Appendix F.

Como se puede ver ellos dedican todo un apéndice entero (de varias páginas) a hacer ese paso en forma rigurosa.

Algoritmo para pasar al continuo

La aplicación algorítmica de esta aproximación del tipo plug’n play, en esta materia al menos, creo que sepuede expresar de la siguiente manera:

∑∀p

≡∑∀px

∑∀py

∑∀pz

→

V

h3

ˆd3p Para fermiones

(término con p = 0) + V

h3

ˆd3p Para bosones

(24)

Esto se usa siempre que uno quiere tomar el límite termodinámico.

Ahora se plantean las integrales en coordenadas esféricas y entonces, como sólo dependen de p2, quedan

P

kBT=

4πh3

∞

0

ln(

1 + ze−βp22m

)p2 dp Si a = 1 i.e. fermiones

− 1V

ln (1− z)− 4πh3

∞

0

ln(

1− ze−βp22m

)p2 dp Si a = −1 i.e. bosones

(25)

Por otro lado (nada que ver con lo anterior) se tiene que el número de partículas N está dado por (17) y, en este caso enparticular, la función de partición viene dada por (20). Entonces

N = z∂

∂zln(∏∀i

(1 + aze−βεi

)a)

=∑∀i

az∂

∂zln(1 + aze−βεi

)=

∑∀i

11 + az−1eβεi

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Nuevamente se considera que εi = p2i

2m para aplicar la aproximación del continuo y el galerazo de la siguiente forma

N ≈

V

h3

∞

0

1z−1 exp

(β p2

2m

)+ 1

d3p Si a = 1 i.e. fermiones

z

1− z + V

h3

∞

0

1z−1 exp

(β p2

2m

)− 1

d3p Si a = −1 i.e. bosones

Esféricas→ =

4πVh3

∞

0

p2

z−1 exp(β p2

2m

)+ 1

dp Si a = 1 i.e. fermiones

z

1− z + 4πVh3

∞

0

p2

z−1 exp(β p2

2m

)− 1

dp Si a = −1 i.e. bosones

(26)

Juntando (25) y (26) se tiene que

Para fermiones→

P

kBT= 4πh3

∞

0

ln(

1 + ze−βp22m

)p2 dp

N

V= 4πh3

∞

0

p2

z−1 exp(β p2

2m

)+ 1

dp

Para bosones→

P

kBT= − 1

Vln (1− z)− 4π

h3

∞

0

ln(

1− ze−βp22m

)p2 dp

N

V= 1V

z

1− z + 4πh3

∞

0

p2

z−1 exp(β p2

2m

)− 1

dp

Recuérdese que el objetivo es encontrar una ecuación de estado de la forma PVkBT

= f (N). Ahora se definen las famosas fν ygν .

Las funciones fν(z) y gν(z) y algunas de sus propiedades

Se definen según fν (z) def= 1

Γ (ν)

∞

0

xν−1

z−1ex + 1 dx

gν (z) def= 1Γ (ν)

∞

0

xν−1

z−1ex − 1 dx

y algunas de sus propiedades son

fν (z) gν (z)

Derivada g′ν (z) = gν−1(z)z

Altas temperaturas fν (z) −→z1

z gν (z) −→z1

z

Bajas temperaturas fν (z →∞) = (ln z)νΓ(ν+1)

[1 + π2

6ν(ν−1)(ln z)2 +O

((ln z)−3

)]gν (z = 1) =

∞ ν ≤ 1ζ (ν) ν > 1

↑ Sommerfeld ↑Monotonía Ambas son funciones monótonamente crecientes en z

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Si se aplica el cambio de variable x = β p2

2m tal que dx = βmp dp entonces la segunda integral para los fermiones es

N

V= 4π

h3

∞

0

p2

z−1 exp(β p2

2m

)+ 1

dp

= 4πh3

∞

0

p︷︸︸︷√x

2mβ

p dp︷︸︸︷m

βdx

z−1ex + 1

Γ(

32

)=√π

2 → = 4π√

2m3/2

h3β3/2

2√π

Γ (3/2)∞

0

x1/2 dx

z−1ex + 1︸︷︷︸f3/2(z)

=f3/2 (z)λ3

siendo λ def=√

2π~2

mkBTla longitud de onda térmica.

En cuanto a la primera de las integrales PkBT

= 4πh3

´∞0 ln

(1 + ze−β

p22m

)p2 dp hay que aplicar el mismo cambio de

variable x = β p2

2m y luego aplicar

∞

0

du ua log(1 + ze−bu

)= Γ (a+ 2)ba+1 (a+ 1)fa+2 (z)

∞

0

du ua log(1− ze−bu

)= − Γ (a+ 2)

ba+1 (a+ 1)ga+2 (z)

(esto último no es más que una integración por partes y un poco de manejo algebraico hasta llegar a eso, lo generalicéluego de hacer 20 mil problemas en la práctica y ver que siempre era lo mismo). Se termina encontrando que

P

kBT=f5/2 (z)λ3

Para las dos ecuaciones de bosones se procede igual pero usando la función g.

de modo tal que los problemas se escriben en forma más resumida como

Para fermiones→

P

kBT=f5/2 (z)λ3

N

V=f3/2 (z)λ3

Para bosones→

P

kBT= − 1

Vln (1− z)−

g5/2 (z)λ3

N

V= 1V

z

1− z +g3/2 (z)λ3

Ahora otro galerazo: la degeneración de espín gs se introduce así

Para fermiones→

P

kBT= gsλ3 f5/2 (z)

N

V= gsλ3 f3/2 (z)

Para bosones→

P

kBT= −gs

Vln (1− z)− gs

λ3 g5/2 (z)

N

V= gsV

z

1− z + gsλ3 g3/2 (z)

(27)

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Con estos resultados ya se pueden analizar los distintos límites que se plantean en las subsecciones siguientes que son

Límite de gas no degenerado. Se plantea en conjunto para bosones y fermiones ya que el resultado a obtener es el gasideal clásico, los dos convergen a lo mismo.

Límite de gas de fermiones degenerado (Pauli Exclusion Principle).

Límite de gas de bosones degenerado (Bose-Einstein condensate).

Sobre la degeneración de espín Box 3.6

El valor de gs se relaciona con el espín s de las partículas en cuestión según

gs = 2s+ 1

¿Sabías que... Box 3.7

En castellano se dice espín? Según la Real Academia Española espín es el momento intrínseco de rotación de unapartícula elemental.

3.1.2.1. Límite de gas no degenerado (fermiones y bosones) Corresponde a tomar el límite de altas temperaturas ybajas densidades. Se espera obtener como resultado el gas ideal clásico. Para imponer este límite consideramos lo siguiente

λ3

v 1 → Impone gas muy diluido (28)

siendo v = VN el volumen específico y λ =

√2π~2

mkBTla longitud de onda térmica. De (27) se obtiene (usando la segunda

ecuación de cada caso) λ3

v= gsf3/2 (z) 1 Para fermiones

λ3

v= gsg3/2 (z) 1 Para bosones

Debido a que tanto fν como gν son funciones monótonamente crecientes con z y gs es una constante, entonces13gsf3/2 (z) 1gsg3/2 (z) 1

⇐⇒ z 1 → Condición para gas no degenerado

Finalmente, para recuperar el caso clásico, introducimos z 1 en (27) y usamos quefν (z → 0) ≈ zgν (z → 0) ≈ z

y que

ln (1− z) ≈ −zz

1− z ≈ zcon lo cual

Para fermiones→

P

kBT= gsλ3 z

N

V= gsλ3 z

Para bosones→

P

kBT= gsVz − gs

λ3 z

N

V= gsVz + gs

λ3 z

Igualando las de fermiones se obtiene la famosa ecuación

PV = NkBT

del gas ideal clásico X. Con los bosones no sé qué pasó. Revisé los signos y parece estar todo bien. En clase simplemente sedijo “si hacen la cuenta igual que en fermiones les da lo mismo”.

13Un argumento prácticamente igual a este es el que usamos en clase para justificar que z 1 ⇐⇒ f3/2 (z) 1.

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3.1.2.2. Límite de gas de fermiones degenerado (Pauli Exclusion Principle, white dwarf) En este caso la condiciónpara que hayan altas densidades es la opuesta a (28), es decir

λ3

v 1 → Condición de gas poco diluido

Esto se puede aplicar a una enana blanca pues la longitud de onda de los fermiones abarca prácticamente toda la estrella.Introduciendo esta hipótesis en la segunda ecuación de fermiones en (27) se obtiene

λ3

v= gsf3/2 (z) 1 (29)

y, como gs es una constante (típicamente gs ∼ 1) y fν (z) es monótona en z, ocurre que

gsf3/2 (z) 1 ⇐⇒ z 1 → Condición para fermiones muy compactados

En vistas de que z 1 se puede utilizar la aproximación de Sommerfeld (ver tabla en el box de propiedades de fν en pág.25) tal que

f3/2 (z) ≈ 4 (ln z)3/2

3√π

+ . . . → Sommerfeld a orden más bajo

(en este caso hacemos Sommerfeld al orden más bajo, más adelante se hará a un orden más). Reemplazando esto en (29) sepuede despejar

ln z =(

3√π

4λ3

v

)2/3

λ =

√2π~2

mkBT→ = β

~2

2m

(6π2

gsv

)2/3

︸︷︷︸def= εF

= βεF (30)

por lo tantoz = eβεF ⇒ µ = εF → Cuando T = 0

En lo anterior se ha definido la energía de Fermi εF , y es una característica muy importante de los sistemas fermiónicos engeneral14.

La energía de Fermi Box 3.8

Para entender qué representa εF consideremos el nivel de ocupación dado por (22)

〈nε〉 = gseβ(ε−µ) + 1

14En los dispositivos electrónicos como diodos, transistores, etc., juega un papel importante, hasta donde sé.

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Sobre la degeneración gs y el factor de ocupación Box 3.9

La ecuación (22), que cité, es simplemente 〈ni〉 = 1eβ(εi−µ)+1

y yoa le agregué la degeneración gs (y ademáscambié los subíndices), es decir 〈nε〉 = gs

eβ(ε−µ)+1 . Para entender por qué la degeneración se incluye así sedebe hacer la cuenta de la sección 3.1.1.2 incluyendo a gs desde el principio. Básicamente entra en la funciónde partición gran canónica para el gas ideal cuántico dada por (20)

Zpara gas ideal de fermionesGC =

∏∀i∈estados monoparticulares

(1 + ze−βεi

)La productoria anterior se realiza sobre estados monoparticulares, pero se puede hacer un cambio de índice ypasar a los niveles de energía de la forma

∏∀ε∈niveles de energía. En este caso hay que tener en cuenta la po-

sible degeneración que pueda existir. El cambio de índice debe hacerse partiendo del pari

εiy reemplazarse

por el parε

gsiendo g la degeneración. Por ejemplo considérese lo siguiente:

i 0 1 2 3 4 5 6 7 . . .εi 0 1 1 1 2 2 3 4 . . .ε 0 1 2 3 4 . . .g(ε) 1 3 2 1 1 . . .

El estado monoparticular i = 0 tiene una energía ε0 = 0 y es el único que tiene dicha energía, por lo tantola degeneración es g(0) = 1. En cambio, los estados monoparticulares i = 1, 2, 3 tienen todos una energíaε1 = ε2 = ε3 = 1 por lo tanto el nivel de energía ε = 1 tiene una degeneración g(1) = 3. Entonces la formacorrecta de pasar de los dos índices de arriba a los dos de abajo sería∏

∀i∈estados monoparticulares

(1 + ze−βεi

)=

∏∀ε∈niveles de energía

(1 + ze−βε

)g(ε)

En particular si todos los niveles de energía tienen la misma degeneración, por ejemplo algo de la forma

i 0 1 2 3 4 5 6 7 . . .εi 0 0 1 1 2 2 3 3 . . .ε 0 1 2 3 . . .g(ε) 2 2 2 2 . . .

entonces g(ε) ≡ g y se obtiene que

ZGC =∏

∀ε∈niveles de energía

(1 + ze−βε

)gpor lo tanto

lnZGC =∑

∀ε∈niveles de energía

g ln(1 + ze−βε

)De acá en adelante no es más que introducir esta expresión de lnZGC en (21) y seguir la cuenta para obte-ner finalmente 〈nε〉 = gs

eβ(ε−µ)+1 .

aFue el docente en verdad. Lo aclaro simplemente para darle un respaldo.

Debido a que estamos estamos a T = 0 entonces β →∞, y además µ ≡ εF como se mencionó. Entonces se tiene queel factor de ocupación colapsa en

〈nε〉 =gs Si ε < εF

0 Si ε > εF→ A T = 0

Se ve entonces que los niveles de energía con energía menor a εF están llenos y aquellos con energía mayor a εFestán vacíos. Esto se debe al principio de exclusión de Pauli.

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3.2 Gas de fotones (radiación de cuerpo negro) 3 ESTADÍSTICA CUÁNTICA

Lo anterior tiene una astonishing consequence y es que incluso a T = 0 el gas de fermiones ejerce una presión. Esto sepuede entender recordando que la energía de los fermiones es ε = p2

2m por lo tanto se puede definir un impulso de FermipF

def=√

2mεF que será 6= 0 con lo cual habrá presión. Este es un fenómeno de naturaleza puramente cuántica.Ahora queremos encontrar la presión a la que está este gas. Para ello primero se expandirá (29) a un orden más alto

usando Sommerfeld (ver box en pag. 25), esto es

λ3

gsv= f3/2 (z)

= 4 (ln z)3/2

3√π

[1 + π2

8 (ln z)−2]← Sommerfeld

Ahora no tengo idea qué es lo que hay que hacer15, la conclusión es

kBT ln z ≈ εF[1− π2

12kBT

εF+ . . .

]Por otro lado se hará uso de la primera ecuación para fermiones en (27), i.e. P

kBT= gs

λ3 f5/2 (z). En este caso la aproximaciónde Sommerfeld (ver box en pag. 25) se hará a un orden más por lo tanto

P

kBT= gsλ3

f5/2︷︸︸︷8 (ln z)5/2

15√π

[1 + 5π2

8 (ln z)−2 + . . .

]YA FUE, VOY A SEGUIR CON GAS DE FOTONES QUE ES ALGO QUE SUELE TOMAR MÁS SEGUIDO, CREO.

3.1.2.3. Límite de gas de bosones degenerado (BEC)

3.2. Gas de fotones (radiación de cuerpo negro)Objetivo El objetivo es encontrar la ley de densidad espectral de Planck (aquella que resolvió la catástrofe del ultravioleta)para la radiación de cuerpo negro y luego la ecuación de estado para el gas de fotones.

Debido a que los fotones son partículas idénticas e indistinguibles y a que no interactúan entre sí entonces el gas defotones es un gas ideal cuántico. En consecuencia vale el análisis realizado en la sección 3.1.1. La función de partición grancanónica, entonces, está dada por (20) con a = −1 por tratarse de bosones, esto es

ZGC =∏


(1− ze−βεi

)−1

Las energías monoparticulares εi están dadas por la fórmula de Einstein E = ~ω, i.e.

εi = ~ωi → Energías monoparticulares

Además, los fotones tienen la peculiar propiedad de que su potencial químico es nulo

µfotones ≡ 0

por lo tanto z ≡ 1 y la función de partición queda

ZGC =∏∀ω

∏∀σ

(1− e−β~ω

)−1

σ ∈ vertical,horizontal → =∏∀ω

(1− e−β~ω

)−2 (31)

siendo σ el estado de polarización del fotón.Sobre el potencial químico de los fotones Box 3.10

El hecho de que µfotones ≡ 0 hace que armar un ensamble canónico o uno gran canónico sea completamente equiva-lente. Basta con colocar µ = 0 en la función de partición del gran canónico y compararla con la del canónico.El motivo por el cual µfotones ≡ 0 es que un fotón de frecuencia ω tiene la misma energía que dos fotones de fre-

15El docente en un único paso hizo lo anterior, además usó (30) e invirtió no sé qué y lo combinó un Taylor de alguna cosa. Todo en un paso.Los resueltos de

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3.2 Gas de fotones (radiación de cuerpo negro) 3 ESTADÍSTICA CUÁNTICA

cuencia ω2 , o en general n fotones de energía ω

n . Esto hace que la restricción sobre la energía no imponga ningunarestricción sobre el número de partículas haciendo que µ ≡ 0. Es decir, se pueden agregar o sacar tantos fotonescomo uno quiera sin alterar la energía.

La energía media del gas de fotones se puede calcular con (14)

〈E〉 = − ∂

∂βln(∏∀ω

(1− e−β~ω

)−2)

=∑∀ω

2~ωe−β~ω

1− e−β~ω

= 2~∑∀ω

ω

eβ~ω − 1

A continuación se aplica el límite termodinámico (sec. 2.2.2) en el cual 〈E〉 ≡ E y como V → ∞ entonces la cuantizaciónde los valores permitidos de ω deja de tener efecto, se aproxima la sumatoria por una integral tal como expresa el algoritmo(24). Antes de poder aplicar el algoritmo (24) se debe expresar la sumatoria sobre ω como una sumatoria sobre p. Esto essencillo ya que para los fotones c = ω

k y, según de Broglie, |p | = hλ por lo tanto ω = ~|p |

c y entonces ∀ω → ∀p. La conversiónes entonces

E = 2~ Vh3

ˆω (|p |)

eβ~ω(|p |) − 1d3p +(((((

(((((término con p = 0)

Integro en esféricas→ = 2~4πVh3

∞

0

ω (p)eβ~ω(p) − 1

p2 dp

p = ~

cω

dp = ~cdω

→ = 2~4πVh3

∞

0

ω

eβ~ω − 1

(~cω

)2 ~cdω

= V

∞

0

u (ω, T ) dω (32)

dondeu (ω, T ) = ~

π3c3ω3

eβ~ω − 1 → Plank!

es la densidad de energía espectral de Planck, the birth of Quantum Mechanics. Obsérvese que se encontró este importanteresultado mediante un gas de fotones.

Para encontrar la ecuación de estado se utiliza (23) y se aplica el algoritmo de pasaje al continuo (24). Lo que se obtienees

PV = E

3 → Eq. de estado del gas de fotones

A continuación dejo los cálculos que conducen a este resultado:

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3.3 Gas de fonones (Modelo de Debye) 3 ESTADÍSTICA CUÁNTICA


PV

kBT= lnZGC

e−β~ω ZGC está dada por (31)→ = −2∑∀ω

ln(1− e−β~ω

)Aplico (24)→ = −2 V

h3

ˆln(

1− e−β~ω(p))d3p

Integro en esféricas→ = −8πVh3

∞

0

p2 ln(

1− e−β~ω(p))dp

p = ~ωc→ = −8πV

h3

∞

0

~2

c2ω2 ln

(1− e−β~ω

) ~cdω

Integración por partes→ = −8πV ~3

h3c3

ω3

3 ln(1− e−β~ω

)⌋∞0− β~

3

∞

0

ω3

eβ~ω − 1 dω

= β

3

V 8π~3

h3c3

∞

0

ω3

eβ~ω − 1 dω

= βE

3

donde el corchete del último paso es (32), i.e. la energía total.

3.3. Gas de fonones (Modelo de Debye)Objetivo El objetivo es encontrar el calor específico de un sólido cristalino a baja temperatura y compararlo con el resultadoclásico (a altas temperaturas coinciden).

Los fonones son las partículas del sonido en un cristal. Son partículas virtuales que no existen, y se usan para modelar lasvibraciones de una red cristalina. Los fonones son bosones, son todos indistinguibles y no interactúan entre sí, en consecuenciavale el análisis de la sección 3.1.1. La función de partición gran canónica, entonces, está dada por (20) con a = −1 por tratarsede bosones, esto es

ZGC =∏


(1− ze−βεi

)−1

Las energías monoparticulares εi están dadas por (galerazo) E = ~ω, i.e.

εi = ~ωi → Energías monoparticulares de los fonones

Además, los fonones tienen, al igual que los fotones, la peculiar propiedad de que su potencial químico es nulo

µfonones ≡ 0

por lo tanto z ≡ 1 y la función de partición queda

ZGC =∏∀ω

∏∀σ

(1− e−β~ω

)−1

=∏∀ω

(1− e−β~ω

)−3 ←Es por la polarización

donde σ ∈ vertical,horizontal, longitudinal indica la polarización de los fonones.La energía media 〈E〉, que en el límite termodinámico coincidirá con la energía total E, está dada por (14)

E = − ∂

∂βlnZGC

= 3∑∀ω

−e−β~ω (−~ω)1− e−β~ω

= 3~∑∀ω

ω

eβ~ω − 1Los resueltos de

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3.3 Gas de fonones (Modelo de Debye) 3 ESTADÍSTICA CUÁNTICA

A continuación se aplica el algoritmo para pasar al continuo (24) usando el hecho de que el impulso de los fonones se relacionacon su frecuencia mediante (galerazo) p = ~ω

cssiendo cs la velocidad del sonido en el cristal.

E = 3~ Vh3

ˆω (p)

eβ~ω(p) − 1d3p

Integro en esféricas→ = 3~4πVh3

pmaxˆ

0

ω (p) p2

eβ~ω(p) − 1dp

p = ~ωcs→ = 3~4πV

h3

ωmaxˆ

0

ω(

~2

c2sω2)

eβ~ω − 1

(~csdω

)

= 12π~4V

h3c3s

ωmaxˆ

0

ω3 dω

eβ~ω − 1

= 12π~4V23π3~3c3s

ωmaxˆ

0

ω3 dω

eβ~ω − 1x

def= β~ωdx = β~ dω

→ = 3~V2π2c3s

1β4~4

β~ωmaxˆ

0

x3

ex − 1 dx

= 3V k4BT

4

2π2c3s~3

~ωmaxkBTˆ

0

x3

ex − 1 dx (33)

En este caso, a diferencia de los fotones, existe una frecuencia máxima ωmax ya que la red cristalina posee un número finitode modos. En particular si la red cristalina está formada por N osciladores armónicos 3D, la cantidad de modos que habránserán 3N , y alguno de ellos tendrá una frecuencia máxima ωmax.

Se puede estimar el valor de ωmax de la siguiente manera: “nos damos cuenta de que g (ω) = 34πVh3

~3

c3sω2 es la degeneración”

por lo que la energía es

E =ωmaxˆ

0

g (ω) ~ωeβ~ω − 1 dω

Usando la degeneración g (ω) el valor de ωmax se estima considerando el hecho de que

ωmaxˆ

0

g (ω) ∼ 3N ⇒ ωmax ∼ cs(

6π2N

V

)1/3def= ωde Debye (34)

No olvidar que lo anterior es una simple estimación ya que no se tuvo en cuenta ningún parámetro de la red cristalina comosu geometría o la forma en que interactúan los distintos átomos.

A continuación se define la temperatura de Debye según

TDdef= ~kB

ωD ωD ≡ ωde Debye

Combinando la temperatura de Debye, la expresión de ωD dada por (34) y la última expresión para la energía (33) se obtiene

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4 MODELO DE ISING


E = 3V k4BT

4

2π2c3s~3

TDT

0

x3

ex − 1 dx

= 3V k4BT

4

2π2c3s~3T 3D

T 3D

TDT

0

x3

ex − 1 dx

= V k4BTT

3D

2π2c3s~3

3(TD/T)3

TD/Tˆ

0

x

ex − 1 dx

TD = ~

kBωmax ∼

~kB

cs

(6π2N

V

)1/3

→ = 3NkBT

3(TD/T)3

TD/Tˆ

0

x

ex − 1 dx

E = 3NkBT

3(TD/T)3

TD/Tˆ

0

x

ex − 1 dx

Lo que está entre corchetes es la integral de Debye y es tal que

3(TD/T)3

TD/Tˆ

0

x

ex − 1 dx =

π4

15

(T

TD

)3para T TD

1 para T TD

por lo tanto

E =

π4NkBT

4

T 3D

para T TD Resultado experimental X

3NkBT para T TD Resultado clásico X

y entonces el calor específico del sólido a bajas temperaturas es

CV = dE

dT

⌋N,V

∝ T 3

y a altas temperaturas se recupera el resultado clásico CV = 3NkB .

4. Modelo de Ising¿Qué es? Es un modelo de juguete [1] que permite entender, en primera aproximación, el ferromagnetismo.

Objetivo El objetivo es entender el ferromagnetismo usando un modelo sencillo. Para ello buscaremos que un material semagnetice incluso en ausencia de campo magnético (como ocurre con los imanes de la heladera, por ejemplo). En consecuenciala cantidad que más nos va a interesar calcular es la magnetización, que en el ensamble canónico puede obtenerse según [6,sec. 3.9], [1, p. 70 de la teórica], [8]

〈M〉 ≡ M = N

β

∂

∂BlnZ(0)

C (35)

siendo Z(0)C dada por (39). Si obtenemos una magnetización no nula incluso cuando el campo externo B es nulo, entonces

habremos logrado un ferromagnético (i.e. un imán permanente).

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4.1 Generalidades 4 MODELO DE ISING

Sobre la fórmula (35) para la magnetización Box 4.1

En mis apuntes de la teórica (pag. 70) tengo que

M = − ∂F

∂B

⌋T

→?

Usando (9) y (38) entoncesF = −N

βlnZ(0)

C = −kBT lnZC

Introduciendo esta expresión en M = − ∂F∂B

⌋Tse obtiene la fórmula presentada M = N

β∂∂B lnZ(0)

C .

4.1. GeneralidadesEl modelo de Ising consiste en una colección de espines si que sólo pueden adoptar dos estados si ∈ ±1 y que interactúan

con un campo magnético externo B y con sus primeros vecinos (i.e. si interactúa con los espines que lo rodean). Además seconsideran condiciones de contorno periódicas, lo cual implica que si uno sale por un lado luego vuelve a entrar por el otro.Gráficamente el modelo de Ising se puede presentar del siguiente modo:

Salie

ndo p

or

acá

Se lle

ga a

cá

Saliendo por acá

Se llega acá

Espín siEspín si

Primeros vecinosPrimeros vecinos

Figura 10: Esquematización del modelo de Ising. El espín si (rojo) interactúa con sus primeros vecinos(celeste). Además están las condiciones de contorno periódicas que implican que los bordes del cristal estánconectados como se indicó.

El hamiltoniano para el modelo de Ising es como sigue

Ising exacto→ H =

− J

∑〈i,j〉

sisj − µB∑i

si → Notación habitual

−N∑i=1

µBsi + Jsi∑j∈Vi

sj

→ Mi notación, me gusta más(36)

donde J y µ son dos constantes, B es el valor del campo magnético externo, 〈i, j〉 significa “sumar sobre los primeros vecinos”y Vi es el conjunto índices j tales que sj son los primeros vecinos de si. Las dos expresiones son completamente equivalentes,son sólo distintas formas de escribirla16. Obsérvese que el hamiltoniano tiene dos partes bien distinguidas: una que tiene quever con la interacción con el campo externo B y otra que tiene que ver con la interacción interna entre los espines que formanal sistema.

Sobre el valor de J Box 4.2

El valor de J determina si se trata de un ferromagnético o un antiferromagnético según

J > 0⇒ ferromagnético J < 0⇒ antiferromagnético

16Lo que me gusta de “mi notación” es que el hamiltoniano queda factorizado en una suma de N términos y me parece más prolija. La notación〈i, j〉 es media difusa ya que no se aclara que i va desde 1 hasta N (lo cual es trivial una vez que ya lo sabés, pero hasta entonces es un completomisterio).

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4.2 Función de partición canónica 4 MODELO DE ISING

4.2. Función de partición canónicaDebido a que estamos interesados en el comportamiento de este sistema a una determinada temperatura T constante

entonces vamos a usar el ensamble canónico en el que los parámetros de control son N,V, T . La función de partición canónicaes (7)

ZC (JN,T K) =∑

∀|n〉∈JN,T K

e−βE|n〉

≡∑

∀ configuración posible con s1,...,sN

exp

β N∑i=1

si

µB + J∑j∈Vi

sj

donde ∑

∀ configuración posible con s1,...,sN

=∑s1=±1

∑s2=±1

. . .∑

sN=±1

porque los espines si sólo pueden adoptar dos estados ±1 (por hipótesis del modelo).

Sobre el volumen V Box 4.3

Nótese que, a diferencia del macroestado canónico JN,V, T KC definido en la sección 2.4, en la expresión de la fun-ción de partición usé un macroestado JN,T K que no depende del volumen V . Esto es porque el volumen no es unparámetro bien definido para el modelo de Ising, en ningún momento se tiene en cuenta una distancia entre cadauno de los espines que pueda generar una noción de volumen.

Expandiendo la exponencial la función de partición se puede escribir como

ZC =∑∀C.P.s

N∏i=1

exp

βsiµB + J

∑j∈Vi

sj

∏

y∑

conmutan→ =N∏i=1

∑∀C.P.s

exp

βsiµB + J

∑j∈Vi

sj

(37)

=N∏i=1

Z(i)C

Z(i)C = Z

(j)C → =

(Z

(0)C

)N(38)

donde he simplificado la notación ∀C.P.s ≡ ∀ configuración posible con s1, . . . , sN . Como conclusión llegamos a que podemosdefinir una función de partición “elemental” dada por

Z(0)C =

∑∀C.P.s

exp

βµBsi + Jsi

∑j∈Vi

sj

(39)

Esta factorización será de gran utilidad a la hora de calcular la magnetización.

4.3. Intento de análisis sin ninguna aproximaciónDijimos que estamos interesados en la magnetización del sistema. Usando la expresión (39) para Z(0)

C la magnetización(35) es

M = N

β

∂

∂Bln

∑∀C.P.s

exp

βsiµB + J

∑j∈Vi

sj

= N

β

∑∀C.P.s exp

(βsi

(µB + J

∑j∈Vi sj

))× βsiµ∑

∀C.P.s exp(βsi

(µB + J

∑j∈Vi sj

)) (40)

Acá el problema es que nadie sabe cómo hacer esa cuenta [1] [8], con lo cual vamos a introducir diversas aproximaciones y verqué pasa. En particular la más sencilla será la aproximación de Bragg-Williams o también conocida como de campo medio.

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4.4 Aproximación de campo medio (Bragg-Williams) 4 MODELO DE ISING

De todos modos se puede ver que si se impone B = 0 en la expresión anterior se obtiene que

M = µN

∑∀C.P.s si exp

(βsiJ

∑j∈Vi sj

)∑∀C.P.s exp

(βsiJ

∑j∈Vi sj

) ← Cuando B = 0

con lo cual podría existir magnetización incluso en ausencia de campo (también podría pasar que todo se cancele, peroseamos optimistas).

4.4. Aproximación de campo medio (Bragg-Williams)La aproximación de Bragg-Williams consiste en asumir que la interacción de si con sus primeros vecinos es a través de

un campo promedio de todo el cristal. La aproximación se hace como sigue: recuérdese el hamiltoniano dado por la eq. (36),i.e. H = −

∑Ni=1

(µBsi + J

∑j∈Vi sisj

). La interacción entre si con sus vecinos está dada por el término J

∑j∈Vi sisj . La

aproximación de campo medio consiste en asumir que [8]17∑j∈Vi

sj ≈ qs → Aproximación de campo medio!

siendo q = |Vi |2 el número de primeros vecinos de cada espín18 (dividido 2) y s = 1

N

∑Nj=1 sj el valor medio del espín a lo

largo del cristal.¿Sabías que... Box 4.4

William H. Bragg y su hijo William L. Bragg ganaron el premio Nobel en 1915, el mismo año en que Einstein pu-blicó la Relatividad General?

Introduciendo esto en la magnetización (40) se obtiene

M =µN

∑∀C.P.s si exp

(β[µBsi + siJ

∑j∈Vi sj

])∑∀C.P.s exp

(β[µBsi + siJ

∑j∈Vi sj

]) ← Eq. (40)

Campo medio∑j∈Vi

sj ≈ qs→ ≈ µN

∑si∈−1,1 sie

β[µBsi+Jqssi]∑si∈−1,1 e

β[µBsi+Jqssi]

= µNeβ[µB+Jqs] − e−β[µB+Jqs]

eβ[µB+Jqs] + e−β[µB+Jqs]

ex − e−x

ex + e−x= sinh x

cosh x = tanh x→ = µN tanh (β [µB + Jqs]) (41)

Hipótesis de autoconsistencia A continuación se utiliza la hipótesis de autoconsistencia19 que consiste en pedir que elvalor medio del espín a lo largo del cristal s sea

s = 〈s〉 → Autoconsistencia

donde 〈s〉 es el valor medio temporal del espín, que por hipótesis de ergodicidad (sec. 2.2.1) a su vez es igual al valor medioa lo largo del ensamble 〈s〉 = E [s] y este último es E [s] = 1

β∂∂B lnZ(0)

C , por lo que s = 1β∂∂B lnZ(0)

C . Usando además (35) seencuentra que

s = M

µN

por lo tanto, reemplazando en (41),s = tanh (β [µB + Jqs])

Como estamos interesados en encontrar un imán permanente, es decir una magnetización en ausencia de B, entonces seimpone B = 0 y queda

s = tanh (βJqs) (42)Como se dijo previamente, estamos interesados en la magnetización M ∝ s y hemos llegado a una ecuación de la forma

s = tanh (as)17En la referencia citada usan 〈s〉 en lugar de s. Acá cité una adaptación, ver el comentario sobre s donde aclaro el motivo de mi distinción.18El valor de q dependerá de la dimensión y de la configuración de la red. En el caso de la red de la figura 10 particularmente q = 4.19Esto de la autoconsistencia me lo hicieron notar en la práctica una vez que fui a hacer una consulta.

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https://es.wikipedia.org/wiki/William_Henry_Bragg

https://es.wikipedia.org/wiki/William_Lawrence_Bragg



con a = βJq (asumo J > 0). Gráficamente esta ecuación se puede representar de la siguiente manera:

-1

-0.5

0

0.5

1

2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

y=x

tanh(2x)

tanh(x)

tanh(x/2)

Todas tienen solución acá

Para a>1 tambiénestán estas soluciones

Figura 11: Representación gráfica de la ecuación x = tanh (ax) para distintos valores de a.

y como se puede ver según si a ≷ 1 se tienen dos situaciones claramente distintas.

Cuando a < 1 En este caso la ecuación s = tanh (as) tiene una única solución con s = 0 por lo tanto no habrá magnetizaciónpermanente.

Cuando a > 1 Por otro lado aquí la ecuación tiene tres soluciones: una con s = 0 y otras dos con s 6= 0 (ver gráfico en fig.11). En particular la solución con s = 0 es inestable y las dos soluciones con s 6= 0 son estables, lo cual significa que la másmínima perturbación hace que el sistema termine en una de las dos soluciones con s 6= 0. En consecuencia hemos encontradoque hay una magnetización permanente!

Sobre la estabilidad de las soluciones Box 4.5

Dada la ecuación x = f (x) una solución x0 será

inestable cuando f ′ (x0) > 1estable cuando f ′ (x0) < 1

En este momento no se me ocurre cómo demostrar esto rápidamente ni encuentro referencias, pero sé que es así.

Entonces se puede decir que a = βJq = 1 es un valor crítico que marca dos estados bien diferenciados del sistema, apartir del cual se puede definir una temperatura crítica

Tcrítica = Jq

kB

tal quesi T < Tcrítica ⇒ Puede haber magnetización permanentesi T > Tcrítica ⇒ No puede haber magnetización permanente

Ruptura de simetría También se observa que hay una ruptura de simetría ya que para T > Tcrítica no hay ninguna direcciónde magnetización privilegiada, pero para T < Tcrítica si el sistema se magnetiza de una forma entonces luego permanecerámagnetizado de dicha forma lo cual romperá la simetría (por ejemplo el sistema queda magnetizado en la dirección z haciendoque ya no haya simetría de rotación).

4.4.1. Comportamiento del cambio de fase en función de la temperatura

Para entender cómo funciona el cambio de fase vamos a considerar tres situaciones:

1. T → 0.

2. T > TC .

3. T → TC .

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Límite T → 0

En este caso se tiene que (42) se convierte en

s = lımT→0

tanh(Jq

kBTs

)

=

1 si s > 00 si s ≡ 0− 1 si s < 0

Caso T > TC En esta región de temperaturas se tiene que (42) es

s = tanh(< 1 s

)donde < 1 significa “algo menor que 1” y como se aprecia en el gráfico de la figura 11 la única solución posible es

s = 0

Caso T → TC La ecuación (41) se puede escribir en la forma

s = tanh(TCTs

)← Jq

kB= TC

Para T → TC se tiene que la magnetización s→ 0 por lo tanto el argumento de la tangente hiperbólica también, y entoncesse puede usar tanh x ≈ x− x3

3 por lo que

s ≈ TCTs−

(TCT

)3s3

cuyas soluciones son

s =

0 → Solución inestable

± T

TC

(3[1− T

TC

])1/2

→ Soluciones estables

Haciendo ahora un nuevo Taylor alrededor de TTC≈ 1 se encuentra que

s =

0 → Solución inestable

±

√3(

1− T

TC

)→ Soluciones estables

(43)

Entonces la magnetización como función de la temperatura es de la forma que se ve en la siguiente figura:

T/TCT/TC=1

s

µ

-µ rama inestable

Se rompe la simetría ya queel sistema elegirá una de lasdos ramas a medida quese enfría!

Figura 12: Magnetización del modelo de Ising con la aproximación de campo medio como función de latemperatura.

All of physics is either impossible or trivial. It is impossible until youunderstand it, and then it becomes trivial.

Ernest Rutherford

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4.4.2. Energía interna y calor específico

Estamos interesados en ver cómo se comporta en calor específico C = dEdT del modelo de Ising en en cambio de fase. Para

ello buscamos primero la energía interna “por fuerza bruta”. La energía E es, en verdad, el valor medio (temporal) de laenergía, es decir que E ≡ 〈E〉. Además para el modelo de Ising sabemos que el hamiltoniano está dado por (36), entonces

E = 〈Hexacto del modelo de Ising〉

=⟨−

N∑i=1

µBsi + J∑j∈Vi

sisj

⟩

= −N∑i=1

µB 〈si〉+ J

⟨si∑j∈Vi

sj

⟩Bragg-Williams→ ≈ −

N∑i=1

(µB 〈si〉+ J 〈siqs〉)

= −N∑i=1

(µB 〈si〉+ Jqs 〈si〉)

Por hipótesis de autoconsistencia (ver pag. 37) se tiene que 〈si〉 = s. Entonces la energía es [6, eq. 5 p. 421]

E = −NµBs−NJqs2

=

0 T > TC

−NµBs (T )−NJqs2 (T ) T < TC

donde se ha usado la forma funcional de la figura 12 para s (T ).El calor específico es, entonces,

C = dE

dT

=

0 T > TC

−N (µB + 2Jqs) dsdT

T < TC

Para calcular dsdT se puede utilizar la expresión (42) s = tanh

(TCT s)con lo cual

ds

dT=(TCT

ds

dT− TCs

T 2

)cosh−2

(TCTs

)⇒ ds

dT=

TCs cosh−2 (TCT s)

TCT cosh−2 (TCT s)− T 2

y entonces el calor específico es

C =

0 T > TC

−N (µB + 2Jqs)TCs cosh−2 (TC

T s)

TCT cosh−2 (TCT s)− T 2

T < TC

Para esbozar un gráfico para el calor específico se consideran dos límites:1. Para T → 0 se tiene que s −→

T→0±1 (ver fig. 12) y cosh−2 ( 1

T

)−→T→0

0 por lo que C −→T→0

0.

2. En el límite T → T−C se tiene que s −→T→T−

C

±√

3(

1− TTC

)→ 0 (ver eq. (43)) con lo cual

C −→T→T−

C

−N

(µB + 2Jq

√3(

1− T

TC

)) TC

√3(

1− TTC

)

: 1

cosh−2 (TCT s)

TCT − T 2

Asumo B ≡ 0→ −→T→T−

C

6JqN TC − TTCT − T 2

−→T→T−

C

6JqNTC

TC = Jq

kB→ = 6kBN

Llegué casi a lo mismo que el libro [6, p. 424], sólo que a él le queda C = 32kBT .

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Entonces el calor específico es de la forma

T

C

TC

Figura 13: Calor específico para el modelo de Ising en la aproximación de campo medio.

Sobre el calor específico del modelo de Ising en la aproximación de campo medio Box 4.6

Como se puede ver en la figura 13 el calor específico presenta dos fenómenos peculiares:

1. Es discontinuo en T = TC . Esto es de esperarse en una transición de fase.

2. Es nulo para T > TC . Esto no es físicamente aceptable y se explica simplemente como una falla de laaproximación de campo medio. Cuando se consideran aproximaciones más detalladas, como la de Bethe, estoya no es así.

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REFERENCIAS REFERENCIAS

Referencias[1] Mis apuntes de la clase.

[2] Herbert B Callen. Thermodynamics and an introduction to thermostatistics, 1985.

[3] D. Tong. Lectures on statistical physics. http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/statphys.html, 2012.

[4] Kerson Huang. Introduction to statistical physics. Taylor & Francis, illustrated edition edition, 2001.

[5] Lev Davidovich Landau, Evgenii M Lifshitz, and L P Pitaevskii. Statistical physics, part i, 1980.

[6] R. K. Pathria and P. D. Beale. Statistical Mechanics. Elsevier, 3 edition, 2011.

[7] Frederick Reif. Fundamentals of statistical and thermal physics. McGraw-Hill, 1965.

[8] The ising model. http://web.mit.edu/ceder/publications/Ising%20Model.pdf.

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http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/statphys.html

http://web.mit.edu/ceder/publications/Ising%20Model.pdf


resumen de física teórica 3 para final (con mininni) · 2018-08-06 ·...

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